《整式乘除》复习精品课件
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例.已知10m5,10n 7，求102m3n
的值。
逆用“积的乘方”、“幂的乘方”：
(ab)mambm(m是正整数) (am)n amn (m，n都是正整数)
4.单项式与单项式相乘的法则：
单项式与单项式相乘，把它们 的系数、相同字母分别相乘，对于 只在一个单项式里含有的字母，则 连同它的指数作为积的一个因式。
11 311 5 3 2 8 3 8 24
6.乘法公式：
（1）、平方差公式
一般的，我们有：
(ab)(ab)a2 b2
其中 a,b既可以是 ,也数可以是代. 数
即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个 数的平方差。这个公式叫（乘法的）平方差公式
说明：平方差公式是根据多项式乘以多 项式得到的，它是两个数的和与同样的 两个数的差的积的形式。
（2）、完全平方公式
一般的，我们有：
(ab)2 a2 2abb2;
(ab)2 a2 2abb2 其中a,b既可以是,数 也可以是代数. 式
即 :(a b )2a 2 2 a b b 2
法则：两数和（或差）的平方，等于它们的 平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
注意：
• （1）(a-b)=-(b-a) • (2 )（a-b)2=(b-a)2 • (3) (-a-b)2=(a+b)2 • (4) (a-b)3=-(b-a)3
法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方， 再把所得的幂相乘。 符号表示：
(ab)n anbn,(其中 n为正整),数 (ab)cn anbncn(其中 n为正整) 数
练习：计算下列各式。
(2 x) y 4,(z 1a 2 b )3,( 2 x2y )3,( a 3 b 2)3 2
幂运算性质逆用
4.已知 9x2kx25是一个完全平
方式，求k的值。
典型例题 特殊公式
例4.要在二次三项式 x2 x6 中 填上一个整数，使它能按型 x2(pq)x pq分解为的形式，那么这些数只能
是( )
A 1, 1
B 5,5
C 1,1,5,5 D 都不对
典型例题 实际应用 例5.如图，在一块边长为acm的正方形 纸板四角，各剪去一个边长为bcm (b a )
整3式化运简 算 求 :(x2值 y2z2)1[(xy)2(yz)2
2 (zx)2] 其中 x1 y2 z3
2 34
解: 原式 (x2 y2 z2 ) 1 (2x2 2y2 2z2 2
2xy 2yz 2zx) xy yz xz
1 ( 2) ( 2) ( 3) ( 3) 1 2 3 3 4 42
完全平方公式的变化形式
变式一： a2+b2=(a+b)2-2ab 变式二： a2+b2=(a-b)2+2ab 变式三：(a+b)2=(a-b)2+4ab 变式四：(a-b)2=(a+b)2-4ab 变式五：(a+b)2-(a-b)2=4ab
7.添括号的法则：
• 添括号时，如果括号前面是正号，括 到括号里的各项都不变符号；如果括 号前面是负号，括到括号里的各项都 要改变符号。
2. 己知x-y=4 , xy=21 ,则 x2+y2 的值等于多少？
解 xy4 xy21 (xy)2 16即x22xyy2 16 x2y2 162xy1622158
典型例题 完全平方式
例3.已知 x22ax16是一个完全平
方式，则a的值是( )
A8
B4
C 8
D 4
完全平方式：
a22abb2
配套练习 完全平方式
特殊乘法公式：
(xp )x ( q ) x2 (p q )xpq
配套练习 1.计算：
乘法公式
(1 )2 (b 3 a ) (2 b 3 a )
(2)(2xy)2
（2）、单项式除以单项式
法则：单项式除以单项式，把它们的系数、同 底数幂分别相除作为商的一个因式，对于只在被 除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一 个因式。 （3）、多项式除以单项式
小结与复习
（一）知识构架
单
整式加减
项
公式
式整
整
式 整式乘法
式
运
多算
项 式
整式除法
（二）整式的乘法
1、同底数幂的乘法 法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
a •aa 数学符号表示：
mn
mn
（其中m、n为正整数）
练习：判断下列各式是否正确。
a3•a32a3,b4b4b8,m2m22m2
(x)3•(x)2•(x)(x)6x6
5 .多项式与多项式相乘：
( a+b)(m+n) = a(m+n)+b(m+n)
=am+an+bm+bn
(a+b)( m+n)=am+an+bm+bn
• 法则： 多项式与多项式相乘,先用一个多项 式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把 所得的积相加.
配套练习 整式运算
例.先化简，再求值：
x ( x 2 y 2 x ) y ( y x 2 x 百度文库 y ) 3 x 2 y
2
的正方形，计算当 a1.3 2,b3.4
时，剩余部分的面积。 a
b
小结
单
整式加减
项
公式
式整
整
式 整式乘法
式
运
多算
项 式
整式除法
8.整式的除法：
（1）、同底数幂的除法
一般地，我们有
aaa m n
mn （其中a≠0，m、n为
正整数,并且m＞n ）
即：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
a 0 1(a 0 )
即任何不等于0的数的0次幂都等于1
重点知识 乘法公式 平方差公式：
(ab)a (b)a2b2
完全平方公式公式：
(ab)2a22a bb2
其中x 1, y 1 。 2
1先化简，后求值:3x(-4x3y2)2-(2x2y)3·5xy 其中 x=1, y=2 .
解:原式3x16x6y4 8x6y35xy 48x7y4 40x7y4 8x7y4 817 24 128
2. 己知x+5y=6 , 求 x2+5xy+30y 的值。
解: x5y6 原式 x(x5y)30y x630y6(x5y)36
法则：多项式除以单项式，先把这个多项 式的每一项除以这个单项式，再把所得的商 相加。
典型例题 乘法公式 例1.计算：
(1 )3 (y z)2 (2 y z) ( z 2 y )
( 2 )3 x ( 2 )x ( 2 ) ( 3 x ) x ( 3 )
分清公式类型
典型例题 乘法公式灵活运用
例2.若ab3,ab 1，求 a2abb2的取值范围。
整体思想：
a2 b2 ab
ab
公式：
(ab)2a22a bb2
配套练习 乘法公式灵活运用
1. 己知x+y=3 ，x2+y2=5 则xy 的值等于多少？
解xy3 x2y25 (xy)29 即x22xyy29 2xy9(x2y2)954 故xy2
2、幂的乘方
法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
数学符号表示： (am)n amn
（其中m、n为正整数）
[(am)n]p amnp （其中m、n、P为正整数）
练习：判断下列各式是否正确。
(a4)4a44a8,[b(2)3]4b234b24
(x2)2n1x4n2,(a4)m(am)4(a2m)2
3、积的乘方
的值。
逆用“积的乘方”、“幂的乘方”：
(ab)mambm(m是正整数) (am)n amn (m，n都是正整数)
4.单项式与单项式相乘的法则：
单项式与单项式相乘，把它们 的系数、相同字母分别相乘，对于 只在一个单项式里含有的字母，则 连同它的指数作为积的一个因式。
11 311 5 3 2 8 3 8 24
6.乘法公式：
（1）、平方差公式
一般的，我们有：
(ab)(ab)a2 b2
其中 a,b既可以是 ,也数可以是代. 数
即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个 数的平方差。这个公式叫（乘法的）平方差公式
说明：平方差公式是根据多项式乘以多 项式得到的，它是两个数的和与同样的 两个数的差的积的形式。
（2）、完全平方公式
一般的，我们有：
(ab)2 a2 2abb2;
(ab)2 a2 2abb2 其中a,b既可以是,数 也可以是代数. 式
即 :(a b )2a 2 2 a b b 2
法则：两数和（或差）的平方，等于它们的 平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
注意：
• （1）(a-b)=-(b-a) • (2 )（a-b)2=(b-a)2 • (3) (-a-b)2=(a+b)2 • (4) (a-b)3=-(b-a)3
法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方， 再把所得的幂相乘。 符号表示：
(ab)n anbn,(其中 n为正整),数 (ab)cn anbncn(其中 n为正整) 数
练习：计算下列各式。
(2 x) y 4,(z 1a 2 b )3,( 2 x2y )3,( a 3 b 2)3 2
幂运算性质逆用
4.已知 9x2kx25是一个完全平
方式，求k的值。
典型例题 特殊公式
例4.要在二次三项式 x2 x6 中 填上一个整数，使它能按型 x2(pq)x pq分解为的形式，那么这些数只能
是( )
A 1, 1
B 5,5
C 1,1,5,5 D 都不对
典型例题 实际应用 例5.如图，在一块边长为acm的正方形 纸板四角，各剪去一个边长为bcm (b a )
整3式化运简 算 求 :(x2值 y2z2)1[(xy)2(yz)2
2 (zx)2] 其中 x1 y2 z3
2 34
解: 原式 (x2 y2 z2 ) 1 (2x2 2y2 2z2 2
2xy 2yz 2zx) xy yz xz
1 ( 2) ( 2) ( 3) ( 3) 1 2 3 3 4 42
完全平方公式的变化形式
变式一： a2+b2=(a+b)2-2ab 变式二： a2+b2=(a-b)2+2ab 变式三：(a+b)2=(a-b)2+4ab 变式四：(a-b)2=(a+b)2-4ab 变式五：(a+b)2-(a-b)2=4ab
7.添括号的法则：
• 添括号时，如果括号前面是正号，括 到括号里的各项都不变符号；如果括 号前面是负号，括到括号里的各项都 要改变符号。
2. 己知x-y=4 , xy=21 ,则 x2+y2 的值等于多少？
解 xy4 xy21 (xy)2 16即x22xyy2 16 x2y2 162xy1622158
典型例题 完全平方式
例3.已知 x22ax16是一个完全平
方式，则a的值是( )
A8
B4
C 8
D 4
完全平方式：
a22abb2
配套练习 完全平方式
特殊乘法公式：
(xp )x ( q ) x2 (p q )xpq
配套练习 1.计算：
乘法公式
(1 )2 (b 3 a ) (2 b 3 a )
(2)(2xy)2
（2）、单项式除以单项式
法则：单项式除以单项式，把它们的系数、同 底数幂分别相除作为商的一个因式，对于只在被 除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一 个因式。 （3）、多项式除以单项式
小结与复习
（一）知识构架
单
整式加减
项
公式
式整
整
式 整式乘法
式
运
多算
项 式
整式除法
（二）整式的乘法
1、同底数幂的乘法 法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
a •aa 数学符号表示：
mn
mn
（其中m、n为正整数）
练习：判断下列各式是否正确。
a3•a32a3,b4b4b8,m2m22m2
(x)3•(x)2•(x)(x)6x6
5 .多项式与多项式相乘：
( a+b)(m+n) = a(m+n)+b(m+n)
=am+an+bm+bn
(a+b)( m+n)=am+an+bm+bn
• 法则： 多项式与多项式相乘,先用一个多项 式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把 所得的积相加.
配套练习 整式运算
例.先化简，再求值：
x ( x 2 y 2 x ) y ( y x 2 x 百度文库 y ) 3 x 2 y
2
的正方形，计算当 a1.3 2,b3.4
时，剩余部分的面积。 a
b
小结
单
整式加减
项
公式
式整
整
式 整式乘法
式
运
多算
项 式
整式除法
8.整式的除法：
（1）、同底数幂的除法
一般地，我们有
aaa m n
mn （其中a≠0，m、n为
正整数,并且m＞n ）
即：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
a 0 1(a 0 )
即任何不等于0的数的0次幂都等于1
重点知识 乘法公式 平方差公式：
(ab)a (b)a2b2
完全平方公式公式：
(ab)2a22a bb2
其中x 1, y 1 。 2
1先化简，后求值:3x(-4x3y2)2-(2x2y)3·5xy 其中 x=1, y=2 .
解:原式3x16x6y4 8x6y35xy 48x7y4 40x7y4 8x7y4 817 24 128
2. 己知x+5y=6 , 求 x2+5xy+30y 的值。
解: x5y6 原式 x(x5y)30y x630y6(x5y)36
法则：多项式除以单项式，先把这个多项 式的每一项除以这个单项式，再把所得的商 相加。
典型例题 乘法公式 例1.计算：
(1 )3 (y z)2 (2 y z) ( z 2 y )
( 2 )3 x ( 2 )x ( 2 ) ( 3 x ) x ( 3 )
分清公式类型
典型例题 乘法公式灵活运用
例2.若ab3,ab 1，求 a2abb2的取值范围。
整体思想：
a2 b2 ab
ab
公式：
(ab)2a22a bb2
配套练习 乘法公式灵活运用
1. 己知x+y=3 ，x2+y2=5 则xy 的值等于多少？
解xy3 x2y25 (xy)29 即x22xyy29 2xy9(x2y2)954 故xy2
2、幂的乘方
法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
数学符号表示： (am)n amn
（其中m、n为正整数）
[(am)n]p amnp （其中m、n、P为正整数）
练习：判断下列各式是否正确。
(a4)4a44a8,[b(2)3]4b234b24
(x2)2n1x4n2,(a4)m(am)4(a2m)2
3、积的乘方