一阶电路的详细分析

1. RC电路的零状态响应
K(t=0)
i
+
+
uR R +
US –
–
u+C C
US –
–
1、电路特征 （换路后）
i
2、建立方程
+
（换路后）
uR
–
R 3、微分方程的解
u+C C
–
uC (0－)=0
换路后的电路
t
t
uc U S U S e U S (1 e ) (t 0)
从上式可以得出：
U0 uC
连续 函数
i I0
跃变
0
t
0
t
（2）响应衰减快慢与有关；
=RC ,称为一阶电路的时间常数



RC


欧法

欧
库 伏

欧
安秒 伏


秒
（3）时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短
大 → 过渡过程时间长
uC U0
小 → 过渡过程时间短
3、微分方程的解
1t
i(t) I0e t 0
uL (t)
L diL dt
t
RI 0e
从以上式子可以得出：
（1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；
I0 iL
连续 函数
0
t
uL
t
-RI0
跃变
（2）其衰减快慢与 =L/R有关；
大 → 过渡过程时间长 小 → 过渡过程时间短
= L/R , 称为一阶RL电路时间常数
[
]

[
L] R

亨 [欧
]

韦 [安欧
]

[ 伏安
秒 欧]

[秒]
（3）如何在响应曲线上确定时间常数 的大小
t
t
iL I0e
0
I0 I0 e -1 I0 0.368 I0
2
305 I0
1. 全响应
K(t=0) R
i
+
+ uR –
+
US
C uC
–
–
1、电路特征（换路后）
2、建立方程（换路后）
RC duC dt
uC
US
3、微分方程的解
uC(t) = uC' + uC"
t
t
uC US Ae US (U0 US )e t 0
2. 全响应的两种分解方式
第六章 一阶电路
重点
1. 动态电路方程的建立及初始条件的确定； 2. 一阶电路的零输入响应、零状态响应和
全响应求解； 3. 稳态分量、暂态分量求解； 4. 一阶电路的阶跃响应和冲激响应。
6.1 动态电路的方程及其初始条件
一. 动态电路
含有电容和电感这样的动态元件的电路称动态电路。
1.特点：
①当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化 过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过 渡过程。(例)
- 10V
iC
0+等效电路
-
电容用电 压源替代
iC
(0
)

10 10
8

0.2mA
iC(0－-)=0 iC(0+)
求初始值的步骤:
1. 由换路前电路（一般为稳定状态）求uC(0－)和iL(0－)； 2. 由换路定律得 uC(0+) 和 iL(0+)。
3. 画0+等效电路。
此时电容用电压源替代[电压值为uC(0+)] 。电感用电流 源替代[电流值为iL(0+)] 。
4. 由0+电路求所需各变量的0+值。
例 2 t = 0时闭合开关k , 求 uL(0+)
1 4
1
+
K 10V
L uL
iL -
10V
解 先求
4
iL(0 )
电 感 短 路
0+电路 1
10V
电感用电 流源替代
4 2A
iL (0
)

10 1 4

2A
+
uL
uL (0 ) 0
0.368U0
t
物理含义
电压初值一定： O 1 2 3
不同 值对应的 uC 变化规律
C 大（R一定） W=Cu2/2 储能大
R 大（ C一定） i=u/R
放电电流小
放电时间长
（4）如何在响应曲线上确定时间常数 的大小
t 0
t
uc U0e U0 U0 e -1
2
U0 e -2
)
100(1 - e-200t)V
(t 0)
i
C duC

US

e
t RC
0.2e200t A
dt R
（2）设经过t1秒，uC＝80V
80 100(1 - e-200t1 ) t1 8.045ms
2. RL电路的零状态响应
K(t=0) R
iL
已知iL(0－)=0，电路方程为：
uL (0 ) 0
- 由换路定律:
iL(0+)= iL(0－) =2A
uL (0 ) 2 4 8V
例3 求 iC(0+) , uL(0+)
解 由0－电路得：
L iL
+ uL –
iC+
IS
K(t=0)
R
C
uC
–
IS R
0－电路
0+电路 IS
+ uL – R
iC
+ R IS –
t
f (0 ) lim f (t) t0 t0
f (0 ) lim f (t) t0 t 0
初始条件是指 t = 0＋时u ，i 及其各阶导数的值
三、电路的初始条件
(2)换路定律
证明
uC (0+) = uC (0－) 即:电容电压换路前后保持不变。
成立条件：换路瞬间，电容电流保持为有限值
i C duC
US
t
e
dt R
（1）电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数；
电容电压由两部分构成：
稳态分量（强制分量） + 暫态分量（自由分量）
uc US
u“ C
US i 跃变
R
0 -US
t
u‘ C
连续
0
函数
t
（2）响应变化的快慢，由时间常数＝RC决定；大，充电
慢，小充电就快。
5
I0 e -5 0.007 I0
：电感电流衰减到原来电压36.8%所需的时间。
工程上经过3 ~5 放电过程结束
例1 t=0时 , 打开开关K，求uv。 RV 10k
K(t=0)
电压表量程：50V
+
10V
+
uV V RV
iL
––
R=10 L=4H
+
10V
+
uV V RV
iL
––
（1） 着眼于电路的两种工作状态
t
uc U0e RC t 0
i1 K
5F +
uC
－
2
i2
3 6
i3
5F + i1
uC 4
－
2. RL电路的零输入响应
K(t=0)
+
US
i+
– L uL
–
1、电路特征（换路后）
R
2、建立方程（换路后） L di Ri 0 t 0 dt
i+
–
uR R
uL
+
–
t > 0 时的电路
4
–
iL 3
+
6
uL
–
2
i
iL 3
+
6
4 uL 6H
–
换路前电路
6
+ iL uL 6H
–
换路后电路
换路后电路的等效电路
小结
1. 一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的 响应, 都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。
y(t )

y(0
)e

t

RC电路 uC (0+) = uC (0－) RL电路 iL(0+)= iL(0－)
本章 采用
时域分析法
经典法 状态变量法 卷积积分 数值法
复频域分析法
拉普拉斯变换法 状态变量法 付氏变换
第十 三章
三、电路的初始条件
(1) t = 0＋与t = 0－的概念 认为换路在 t=0时刻进行
0－ 换路前一瞬间 0＋ 换路后一瞬间
f (0 ) f (0 )
f(t)
0－0 0＋
f (0 ) f (0 )
R=10 L=4H
换路前的电路
+
iL
uV V RV
–
解 (1)、换路前电路中
R=10
求初始值；
(2)、换路后的电路；
L=4H
说明：(1)、现象；
换路后的电路
(2)、措施；
例2 t=0时 , 开关K由1→2，求电感电压和电流
K(t=0) 2
i
2
+1 24V 2
iL
3
+ 24V
–
+
6
–
4 4 uL 6H
3
U0 e -3
U0 0.368 U0 0.135 U0 0.05 U0
5
U0 e -5 0.007 U0
：电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。
工程上经过3 ~5 放电过程结束
例 已知图示电路中的电容原本充有24V电压，求K闭合
后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。
解 这是一个求一阶RC零输入响应问题，有：
5 2A +
u K10
–
5 2A +
u 10
–
10
+
2H uL iL –
10
+ 2A +
2H uL
u
iL –
–
20
+
+
20V 2H uL
–
iL –
(c)
5 10
+
10
2H uL
iL –
(a) 换路后的电路
(b)
6.4 一阶电路的全响应
全响应
电路的初始状态不为零，同时又有外加激 励源作用时电路中产生的响应。
稳态分析和动态分析的区别
稳态
恒定或周期性激励 换路发生很长时间后状态 微分方程的特解
动态
任意激励 换路发生后的整个过程 微分方程的一般解
动态电路的分析方法
建立微分方程：
dnx
d n1 x
dx
an dt n an1 dt n1 a1 dt a0 x e(t ) t 0
2. 衰减快慢取决于时间常数 RC电路 = RC , RL电路 = L/R
R为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。
3. 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。
4.一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。
6.3 一阶电路的零状态响应
零状态响应
动态元件初始能量为零，由t >0电路 中外加输入激励作用所产生的响应。
iL(0+) = iL(0－) = IS
uC(0+) = uC(0－) = RIS
由0＋电路得：
iC (0 )
Is

RI S R
0
uL(0+)= - RIS
6.2 一阶电路的零输入响应
零输入响应
换路后外加激励为零，仅由动态元件初 始储能所产生的电压和电流。
（一） RC电路的零输入响应
C
(t=0) i
+
uC
+
R uR
1、电路特征（换路后）
已知 uC (0－)=U0 2、建立方程（换路后）
–
–
RC
duC (t) dt

uC
(t )

0
4、确定其他响应
初始条件： uC (0+)= uC (0－)=U0
i(t)

U0
1t
e
R
3、微分方程的解
1t
uc (t) U0e
结论：
（1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；
iL (0+) = iL (0－) 即:电感电流换路前后保持不变。
说明: 成立条件：换路瞬间，电感电压保持为有限值
①这就是换路定律,注意它成立的条件;
②这是由元件的性质决定的,与其他元件无关，故 uC (0+) 、iL (0+)称为独立的初始条件 ; ③根据这两个独立初始条件可以确定其他电压电流 的初始值;
i
（3）响应与外加激励成线性关系；
+
（4）能量关系
US
电容储存：
1 2
CU
2 S
–
电源提供能量：
0
U S idt

USq

CU
2 S
电阻消耗
e i 2R d t
(U S

t
RC
)2
R
d
t
0
0R
+
uR R
–
u+C C
–

1 2
CU
2 S
电源提供的能量一半消耗在电阻上， 一半转换成电场能量储存在电容中。
＋
US －
(t >0)
i
R+
－ uC＋u–L
Ri uL uc US
L
LC
d 2uc dt 2

RC
duc dt

uc

US
C 二阶电路
二阶微分方程
结论： （1）描述电阻电路的电路方程为代数方程；描述动态 电路的电路方程为微分方程；
（2）动态电路方程的阶数等于电路中动态元件的个数； 相应的电路分别称为一阶电路、二阶电路…….
L
d iL dt

RiL

US
+
US
+ uR–
L
+
uL
–
–
iL

iL

iL
US R

Rt
Ae L
US iL
R
iL
(0
)

0

A


US R
0
t
iL

US R
(1
Rt
eL
)
uL US
uL

L diL dt
Rt
USe L
0
t
例 t=0时 ,开关K打开，求t>0后iL、uL的及电流源的端电压
②当电路含有电感L 或电容C 时，电路方程是以电流或电压