BS模型在资产评估中的应用

B-S模型在资产评估中的应用

主讲老师赵强

一、Black-Scholes模型介绍

（一）Black-Scholes模型介绍

Black-Scholes模型是Fisher Black和Myron Scholes首先提出了一种估算期权价值的方法：Black-Scholes模型（即：B-S模型）。

除此之外，期权价值还可以采用以下方法估算：

（1）二项式定价模型方法；

（2）风险中性定价方法。

期权定价存在多种方法中，B-S模型最为常用。

（二）B-S模型的适用前提

B-S模型是建立在以下假设基础上的：

（1）股票价格是一个随机变量服从对数正态分布；

（2）在期权有效期内，无风险利率是恒定的；

（3）市场无摩擦，即不存在税收和交易成本，所有证券完全可分割；

（4）该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施；

（5）不存在无风险套利机会；

（6）证券交易是持续的；

（7）投资者能够以无风险利率借贷。

设：μ为股票每年投资回报率期望值；σ为股票价格的年波动率。

在t时刻股票价格为S，则在t＋dt时刻股票的价格应该为S＋μS，如果用微分方程描述就是：

上述推导过程说明，股票价格与时间之间的关系服从指数函数的关系。

进一步推导，可以得出结论：

即：Ln（S T）－Ln（S0）＝Ln（S T/S0）～N（（μ－σ2/2）T，σ2T）。

其中：S0：股票初始价格；

T：是初始时间距目前阶段的时间。

进一步：Ln（S T）～N（Ln（S0）＋（μ－σ2/2）T，σ2T）

如果设S T是股票在T时刻的价值，则看涨期权的价值应该可以用下列函数表述：

如果S T是一个随机变量，满足S T≥X的概率为P，则满足S T＜X的概率就是1－P，这样投资者获利的数学期望值就是：

E（S T）＝（S T－X）×P＋0×（1－P）

这就是看涨期权C的价值估算。

对于看跌期权P：

如果满足S T＜X的概率为P，则满足S T≥X的概率就是1－P，这样投资者获利的数学期望值就是：

E（S T）＝（X－S T）×P＋0×（1－P）

这就是看跌期权P的价值估算。

B-S模型的推导：

由于看涨期权的收益：

C＝e-rT E（max（S T－X），0）＝e-rT[E（S T－X/S T＞X）＋E（S T－X/S T＜X）]

上式中的后半部分，根据看涨期权的定义是等于0的，因此可以得到看涨期权的收益：C＝e-rT E（S T－X/S T＞X）

设：Y＝Ln（），则Y服从正态分布，而＝e Y，这样看涨期权的收益C可以改写为：

注意关注下式：

该等式定义了N（d2）是随机变量大于行权价X的概率，也就是发生行权事件的概率。

（三）B-S模型的分类

B-S模型一般分为两类：

（1）不含分红派息的B-S模型：所谓不含分红派息的B-S模型就是在估算股票期权价值时，认为标的股票在期权到期日之前这段时间内没有分红派息，或者说不考虑分红派息；

（2）含分红派息的B-S模型：所谓含分红派息的B-S模型就是在估算股票期权价值时，需要考虑标的股票在期权到期日之前这段时间内进行的分红派息对期权价值的影响。

不含分红派息的买期权C（Call Option）：

C0＝SN（d1）－Xe-rT N（d2）

上式中：

C0：不含分红派息买期权（看涨期权）；

X：期权执行价；

S：标的资产现实价格；

r：连续复利计算的无风险收益率；

T：期权到期时间；

N（）：标准正态密度函数；

d1，d2：B-S模型的两个参数。

上式中：

X：期权执行价；

S：标的资产现实价格；

r：连续复利计算的无风险收益率；

T：期权到期时间；

σ：股票波动率。

含分红派息的买期权C（看涨期权）：

C1＝Se-δT N（d1）－Xe-rT N（d2）

上式中：

C1：含分红派息的买期权（买期权、看涨期权）；

X：期权执行价；

S：标的资产现实价格；

r：连续复利计算的无风险收益率；

T：期权限制时间；

δ：连续复利计算的股息率；

N（）：标准正态密度函数；

d1，d2：B-S模型的两个参数。

上式中：

X：期权执行价；

S：标的资产现实价格；

r：连续复利计算的无风险收益率；

T：期权到期时间；

σ：股票波动率；

δ：连续复利计算的股息率。

不含分红派息的卖期权P0（看跌期权）：

P0＝Xe-rT N（-d2）－SN（-d1）

含分红派息卖期权P1（看跌期权）:

P1＝Xe-rT N（-d2）－Se-δT N（-d1）

看涨期权实际就是当标的资产的价格S T高于约定的行权价X时，期权拥有人就会行权，按行权价X买入标的资产，这时由于S T≥X，因此期权拥有者可以获利S T－X，反之当标的资产价格S T＜X时，权利人不会行权，这时期权价值就是0，上述情况可以用以下函数表述：

看涨期权函数曲线

看跌期权实际就是当标的资产的价格S T低于约定的行权价X时，期权拥有人就会行权，按行权价X卖出标的资产，这时由于S T≤X，因此期权拥有者按X价卖出标的资产，还可以按S T再买回标的资产，这样就可以获利X－S T，反之当标的资产价格S T＞X时，权利人不会行权，这时期权价值就是0，上述情况可以用以下函数表述：