第二讲 远期与期货的定价

(1 + r )
r t
T −t
1 + r
* ∧ T −T
= 1+ r
∧
(
* * T −t
)
r
T T*
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当即期利率和远期利率所用的利率均为连续复利时，
e
r (T − t )
( ×e
∧
r T * −T
*
) = e r (T −t )
* *
所以， r (T − t ) + r T − T = r T − t
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类似地，在期货合约中，我们定义期货价格 期货价格 （Futures Prices）为使得期货合约价值为零 ） 的理论交割价格。 但值得注意的是，对于期货合约来说，一般较 少谈及“期货合约价值”这个概念。基于期货 的交易机制，投资者持有期货合约，其价值的 变动来源于实际期货报价的变化。由于期货每 日盯市结算、每日结清浮动盈亏，因此期货合 约价值在每日收盘后都归零。
之升高，期货合约的多头将因每日结算制而立即获利，并可按高于 平均利率的利率将所获利润进行再投资。而当标的资产价格下跌时， 期货合约的多头将因每日结算制而立即亏损，但是可按低于平均利 率的利率从市场上融资以补充保证金。相比之下，远期合约的多头 将不会因利率的变动而受到上述影响。在此情况下，期货多头比远 期多头更具吸引力，期货价格自然就大于远期价格。
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例如：为了给无收益资产的远期合约定价，我们构建如 例如：为了给无收益资产的远期合约定价， 下两个组合： 下两个组合： 组合A 组合A：一份远期合约多头加上一笔数额为Ke-r（T－t）的 现金； 现金； 组合B 一单位标的资产。 组合B：一单位标的资产。
组 合 A
远期 合约
现金
组 合 B
标的资产
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远期价格是指使远期合约签订时价值为零的交 远期价格 割价格。远期价格是理论上的交割价格。关于 远期价格的讨论也要分远期合约签订时和签订 后两种情形。
－ 一份公平合理的远期合约在签订的当天应使交 割价格等于远期价格。如果实际交割价格不等于这个理 论上的远期价格，该远期合约价值对于多空双方来说就 都不为零 ，实际上隐含了套利空间。 － 在远期合约签订以后，交割价格已经确定，远 期合约价值不一定为零，远期价格也就不一定等于交割 价格。
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盈亏
盈亏
K
标的资产价 格
K
标的资产价 格
(a) 远期多头的 到期盈亏
(b) 远期空头的 到期盈亏
如果到期标的资产的市场价格高于交割价格K，远期多头就盈利而空头 就会亏损;反之，远期多头就亏损而空头就会盈利。
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合约中规定的未来买卖标的物的价格称为交割价格 交割价格（Delivery 交割价格 Price）。如果信息是对称的，而且合约双方对未来的预期相同，那么 如果信息是对称的， 如果信息是对称的 而且合约双方对未来的预期相同， 合约双方所选择的交割价格应使合约的价值在签署合约时等于零。 合约双方所选择的交割价格应使合约的价值在签署合约时等于零。这 意味着无需成本就可处于远期合约的多头或空头状态。 使得远期合约价值为零的交割价格称为远期价格（ 使得远期合约价值为零的交割价格称为远期价格（Forward Price）。它是理论价格，与远期合约在实际交易中的实际价格（即双 ） 方签约时所确定的交割价格）并不一定相等。但是，一旦理论价格与 实际价格不相等，就会出现套利（Arbitrage）机会。
无收益资产是指在到期日前不产生现金流收入 的资产，如贴现债券。
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本章所用的定价方法为无套利定 价法。基本思路为：构建两种投资 组合，令其终值相等，则其现值一 定相等；否则就可进行套利，即卖 出现值较高的投资组合，买入现值 较低的投资组合，并持有到期末， 套利者就可赚取无风险收益。众多 套利者这样做的结果，将使较高现 值的投资组合价格下降，而较低现 值的投资组合价格上升，直至套利 机会消失，此时两种组合的现值相 等。这样，我们就可根据两种组合 现值相等的关系求出远期价格。
S = 960, K = 970, r = 4.17%, T − t = 0.5
则根据式（3.1） ，该远期合约多头的远期价值 f 为：
f = S − Ke − r (T −t ) = 960 − 970e −4.17%*0.5 ≈ 10.02美元
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一般地说，如果现在时刻为t 一般地说，如果现在时刻为t，T时刻到期的即期利率为r，T*时 时刻到期的即期利率为r >T） 时刻的T 刻（T*>T）到期的即期利率为 r* ，则t时刻的T*－T期间的远期 可以通过下式求得（可以根据下图理解这个公式）： 利率可以通过下式求得（可以根据下图理解这个公式）：
第二讲 远期与期货的定价
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金融远期合约（ 金融远期合约（Forward Contracts）是指双方约定在 ） 未来的某一确定时间， 未来的某一确定时间，按确定的价格买卖一定数量的某种 金融资产的合约。 金融资产的合约。 在合约中,未来将买入标的物的一方称为多方 多方（Long 多方 Position），而在未来将卖出标的物的一方称为空方 空方 （Short Position）。 远期合约并不能保证其投资者未来一定盈利，但投资 者可以通过远期合约获得确定的未来买卖价格，从而消除 了价格风险。
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由于远期价格就是使远期合约价值为零的交割价格K， 即当 f =0时， = F。据此可令式（3.1）中的 f =0，则 K
F = Se r (T −t )
(3.2)
这就是无收益资产的现货-远期平价定理（SpotForward Parity Theorem），或称现货期货平价定理 （Spot-Futures Parity Theorem）。
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案例 3.1
无收益资产远期合约的价值
2007 年 8 月 31 日，美元 6 个月期的无风险年利率为 4.17%。市场上正在交易一份标的证券为 一年期贴现债券、剩余期限为 6 个月的远期合约多头，其交割价格为 970 美元，该债券的现价为 960 美元。请问对于该远期合约的多头和空头来说，远期价值分别是多少？ 根据题意，我们有
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远期价值是指远期合约本身的价值。关于远期 远期价值 价值的讨论要分远期合约签订时和签订后两种 情形。
－ 在签订远期合约时，如果信息是对称的，而 且合约双方对未来的预期相同，对于一份公平的合约， 多空双方所选择的交割价格应使远期价值在签署合约 时等于零。 － 在远期合约签订以后，由于交割价格不再变 化，多空双方的远期价值将随着标的资产价格的变化 而变化。
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为了证明无收益资产的现货-远期平价定理 ，我们用反 证法证明等式不成立时的情形是不均衡的。 若K>Ser（T－t），即交割价格大于现货价格的终值。 在这种情况下，套利者可以按无风险利率r 借入S现金， 期限为T－t。然后用S购买一单位标的资产，同时卖出一 份该资产的远期合约，交割价格为K。在T时刻，该套利 者就可将一单位标的资产用于交割换来K现金，并归还 借款本息Se r（T－t），这就实现了 K－Ser（T－t） 的无风险 利润。 若K<Se r（T－t），即交割价值小于现货价格的终值。 套利者就可进行反向操作，即卖空标的资产，将所得收 入以无风险利率进行投资，期限为T-t，同时买进一份该 标的资产的远期合约，交割价格为K。在T时刻，套利者 收到投资本息Ser（T－t），并以K现金购买一单位标的资产， 用于归还卖空时借入的标的资产，从而实现Ser（T－t）-K 的利润。
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为分析简便起见，本章的分析是建立在如下假设前提下的： 1．没有交易费用和税收。 2．市场参与者能以相同的无风险利率借入和贷出资金。 3．远期合约没有违约风险。 4．允许现货卖空。 5．当套利机会出现时，市场参与者将参与套利活动，从 而使套利机会消失，我们得到的理论价格就是在没有套利 机会下的均衡价格。 6．期货合约的保证金账户支付同样的无风险利率。这意 味着任何人均可不花成本地取得远期和期货的多头和空头 地位。
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本章将要用到的符号主要有： T：远期和期货合约的到期时间，单位为年。 t：现在的时间，单位为年。变量T 和t 是从合约生效之前的 某个日期开始计算的，T-t 代表远期和期货合约中以年为单 位的距离到期的剩余时间。 S：远期（期货）标的资产在时间t时的价格。 ST：远期（期货）标的资产在时间T时的价格（在t时刻这个 值是个未知变量）。 K：远期合约中的交割价格。 f：远期合约多头在t时刻的价值，即t时刻的远期价值。 F：t时刻的远期合约和期货合约中的理论远期价格和理论期 货价格，在本书中如无特别注明，我们分别简称为远期价 格和期货价格。 r：T时刻到期的以连续复利计算的t时刻的无风险利率（年 利率），在本书中，如无特别说明，利率均为连续复利的 18 年利率。
当标的资产价格与利率呈负相关时，远期价格就会高于 15 期货价格。
远期价格和期货价格的差异幅度还取决于合约有 效期的长短。当有效期只有几个月时，两者的差距通 常很小。此外，税收、交易费用、保证金的处理方式、 违约风险、流动性等方面的因素或差异都会导致远期 价格和期货价格的差异。 远期价格与期货价格的定价思想在本质上是相同 的，其差别主要体现在交易机制和交易费用的差异上， 在很多情况下常常可以忽略，或进行调整。因此在大 多情况下，我们可以合理地假定远期价格与期货价格 相等，并都用F来表示。
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根据罗斯等美国著名经济学家证明：当无风险利率恒定 且对所有到期日都相同时，交割日相同的远期价格和期 货价格应相等。 但是，当利率变化无法预测时．远期价 格和期货价格就不相等，至于两者孰高孰低则取决于标 的资产价格与利率的相关性。 当标的资产价格与利率呈正相关时，期货价格高于远期 价格。 － 这是因为当标的资产价格上升时，期货价格通常也会随
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在组合A中，Ke-r（T－t）的现金以无风险利率投资， 投资期为（T－t）。到T时刻，其金额将达到K。这是因 为：Ke-r（T－t）er（T－t）=K 在远期合约到期时，这笔现金刚好可用来交割换来 一单位标的资产。这样，在T时刻，两种组合都等于一 单位标的资产。根据无套利原则：终值相等，则其现值 一定相等，这两种组合在t时刻的价值必须相等。 即： f+ Ke-r（T－百度文库）=S f=S－Ke-r（T－t） （3.1） 该公式表明，无收益资产远期合约多头的价值等于 标的资产现货价格与交割价格现值的差额。或者说,一 单位无收益资产远期合约多头等价于一单位标的资产多 头和Ke-r（T－t）单位无风险负债的资产组合。
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根据标的资产不同，常见的金融远期合约包括: 1.远期利率协议 2.远期外汇协议 3.远期股票合约
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1．远期利率协议 ． 远期利率协议（Forward Rate Agreements，简称FRA） 是买卖双方同意从未来某一商定的时刻开始，在某 一特定时期内按协议利率借贷一笔数额确定、以特 定货币表示的名义本金的协议。合约中最重要的条 款要素为协议利率，我们通常称之为远期利率，即 现在时刻的将来一定期限的利率。例如1×4远期利率， 即表示1个月之后开始的期限3个月的远期利率； 3×6远期利率，则表示3个月之后开始的期限为3个 月的远期利率。
* *
∧
(
)
(
)
即期利率和远期利率的关系可表示为：
r * T * − t − r (T − t ) r= T* −T
∧
(
)
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2．远期外汇合约 ． 远期外汇合约是指双方约定在将来某一时间 按约定的汇率买卖一定金额的某种外汇的合约。 3．远期股票合约 ． 远期股票合约（Equity Forwards）是指在将来某 一特定日期按特定价格交付一定数量单个股票或 一揽子股票的协议。远期股票合约在世界上出现 时间不长，总交易规模也不大。
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当远期价格等于交割价格时，远期价值为零。 当远期价格等于交割价格时，远期价值为零。因为远 期价格指远期合约中标的物的远期价格，它是跟标的 物的现货价格紧密相联的，而远期价值则是指远期合 远期价值则是指远期合 约本身的价值，它是由远期实际价格与远期理论价格 约本身的价值 的差距决定的。在合约签署时，若交割价格等于远期 理论价格，则此时合约价值为零。但随着时间推移， 远期理论价格有可能改变，而原有合约的交割价格则 不可能改变，因此原有合约的价值就可能不再为零。