初一数学培优专题---规律探究题的解题方

七年级培优专题--规律探究题的解法指导

一、数式规律探究

1.一般地，常用字母n表示正整数，从1开始。

2.在数据中，分清奇偶，记住常用表达式。

正整数…n-1,n,n+1…奇数…2n-3,2n-1,2n+1,2n+3…偶数…2n-2,2n,2n+2…

3.熟记常见的规律

① 1、4、9、16......n2② 1、3、6、10……

(1)

2

n n+

③ 1、3、7、15……2n -1 ④ 1+2+3+4+…n=

(1)

2

n n+

⑤ 1+3+5+…+(2n-1)= n2 ⑥ 2+4+6+…+2n=n(n+1)

⑦ 12+22+32….+n2=1

6

n(n+1)(2n+1) ⑧ 13+23+33….+n3=

1

4

n2(n+1）

⑨2，4.8.16.32...... 2n

4、初中阶段会考察的规律，大部分为等差数列

等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。

例如：1,3,5,7,9……2n-1。通项公式为：a n=a1+(n-1)×d。首项a1=1，公差d=2。前n项和公式为：S n=[n×(a1+a n)]÷2。注意：以上n均属于正整数。

数字规律探究反映了由特殊到一般的数学方法，解决此类问题常用的方法有以下两种：

①.观察法：

例1.观察下列等式：①1×1

2

=1-

1

2

②2×

2

3

=2-

2

3

③3×

3

4

=3-

3

4

④4×4

5

=4-

4

5

……猜想第几个等式为（用含n的式子表示）

分析：将等式竖排：

①1×1

2

=1-

1

2

观察相应位置上变化的数字与序列号

②2×2

3

=2-

2

3

的对应关系（注意分清正整数的奇偶）

③ 3×3

4

=3-

3

4

易观察出结果为：

④ 4×4

5

=4-

4

5

例2.探索规律：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729……，那么32009的个位数字是。3200 的个位数字是。

分析：这类问题，主要是通过观察末位数字，找出其循环节共几位，然后用指数除以循环节的位数，结果余几，就和第几个数的末位数字相同，易得出本

题结果为：

②.作差法

例 3.将一正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方

则a

n

= （用含n的代数式表示）

分析：对结果数据做求差处理（相邻两数求差，大数减小数）

例4.有一组数：1、2、5、10、17、26……请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为。

课堂练习：

1.观察下列等式：1×3=12+2×1

；2×4=22+2×2；3×

5=32+2×3……请将你猜想到的规律用含自然数

n(n≥1)的代数式表示出来：。

2.观察下列各式：

2

1

×2=

2

1

+2

；

3

2

×3=

3

2

+3；

4

3

×4=

4

3

+4；

5

4

×5=

5

4

+5……

设n为正整数，用关于n的等式表示这个规律为。

3.

的规律用含正整数n(n≥1)的代数式表示出来为。

4.已知：2+

2

3

=22×

2

3

；3+

3

8

=32×

3

8

；4+

4

15

=42×

4

15

；5+

5

24

=52×

5

24

…，若

10+

b

a

=102×

b

a

符合前面式子的规律，则a+b= 。

5.已知下列等式：①13=12；②13+23=32；③13+23+33=62；④13+23+33+43=102…由此规

律可推出第n等式：。

二、图形规律探究

解决思路有两种：一种是数图形，将图形转化为数字规律，用作差法看能否解决，另一种在过程中找规律（图形的构成或者是作差法的过程）

例4．如图，由若干火柴棒摆成的正方形，第①图用了4根火柴，第②图用了7根火柴棒，第③图用了10根火柴棒，依次类推，第⑩图用根火柴棒，摆第n个图时，要用根火柴棒。

例5．按如下规律摆放三角形：则第④堆三角形的个数为 ；第（n ）堆三角形的个数为 。

△ △ △ △ △ △ △△△ △ △ △△△△△ △

△△△△△△△

① ② ③

》》》》》》规律探究题大练兵《《《《《《

1.如图7－①，图7－②，图7－③，图7－④，，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一

行“广”字，按照这种规律，第5个“广”字中的棋子个数是________，第n 个“广”字中的棋子个数是________

2．观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色三角形有 个 ．

3．图（3）是用火柴棍摆成的边长分别是1，2，3 根火柴棍时的正方形．当边长为n 根火柴棍时，设摆出的正方形所用的火柴棍的根数为s ，则s ＝ ． （用n 的代数式表示s ）

4．用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖 __________块，第n 个图形中需要黑色瓷砖__________块（用含n 的代数式表示）．

5．如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n 个图形需要黑色棋子的个数是 ． 6．观察，，，

，

，…，它们是按一定规律排列的，则第n 个数是 ．

7.观察一列单项式：1x ，3x 2，5x 2，7x ，9x 2，11x 2，…，则第2013个单项式是 ． 8.将连续正整数按以下规律排列，则位于第7行第7列的数x 是 ．

10.如图，是用火柴棒拼成的图形，则第n 个图形需__________根火柴棒.

11.为庆祝“六•一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：按照上面的规律，摆第（n ）图，需用火柴棒的根数为 ．

12.如图，古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．例如：称图中的数1，5，12，22…为五边形数，则第6个五边形数是 ．

13.如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成：第1个图案需7根火柴，第2个图案需13根火柴，…，依此规律，第11个图案需____________根火柴．

14.如图所示，以O 为端点画六条射线后OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，O 后F ，再从射线OA 上某点开始按逆时针方向依次在射线上描点并连线，若将各条射线所描的点依次记为1，2，3，4，5，6，7，8…后，那么所描的第2013个点在射线 上．

15.探索规律：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729……那么32008的个位数字是 。

16.观察下列等式：71=7，72=49，73=343，74=2041……由此可判断7100的个位数字是 。

17.瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据95，1612，2521，36

32……中得到巴尔末公式，

从而打开了光谱奥妙的大门，按此规律第七个数据是 。

18．用边长为1cm 的小正方形搭成如下的塔状图形，则第n 次所搭图形的周长是_______________cm （用含n 的代数式表示）。

第1个

第2个

第3个

第1次 第2次 第3次 第4

···

…

n =n =n = （（（第11题

第10题