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函数有两个零点与导数

解决方法1:若能分离参数，构造函数，数形结合，转化为“直线与函数图象有两个交点的问题”. 解决方法2：若不能分离参数，则转化为极大值>0或极小值V0问题。

注意：首选方法1・

1.若关于x 的方程1 -x+2xlnx-2mx=0在区间［丄，e ］内恰有两个相异的实根，求实数m 的取值范围.

e

方法思路：分离参数，构造函数，数形结合

解：方程1-x+x2lnx-2mx=0在区间［丄，e ］内恰有两个相异的实数根，

e

推得方程 —+ /m:-m=0在区间［A e ］内恰有两个相异的实数根，

2x e

1 — X 1

即方程m = — + bvc 在区间［丄，e ］内恰有两个相异的实数根，

2x e

令 g (兀)=-―-+ Inx ,

2x

1 — V 1

则g(x)= —+ //U 的图象与函数y=m 的图象在区间c, e ］内恰有两个交点・

2x e

伯」右+：=罟‘则g

\—P

1 + £?

+ lne= ------------------------ +1= ------- >0

2幺 2e + 中”2<。 2

| _ r

I 画函数g(x}=----- + lnx 9 xe ［-9可的草图，

2x e

1 _ Y 1

要使函数g(x)=— +lnx, XG|-,创

2x e

的图象与函数y 二m 的图象在区间［丄，e ］内恰有两个交点，

e

则要满足 2 e

1

—3 所以m 的取值范围为{m|丄-ln2

2 2 则有: g(—) = ----- +//?—=

° 2x1 ° V0

2.已知函数/(x) = —+ lnx o

ax

(1)若函数f (x)在［1, +8)上为增函数，求实数a的取值范围;

(2)若函数f (x)有两个零点，求实数a的取值范围.

思路方法：转化为极大值>0或极小值VO 问题。

解：(1)函数的定义域为(0, +8),

•/ f (x ) =-— +h?x ，

ax

・「 , 、 a 2

x-a

・・f (x)= -------------- --- ----- 十持

a 卞 x a-x-

Vf (X )在[1，+8)上为増函数，

f z ( x )二■' ； : PCP 恒成立'即a z x-a=a ( ax-1 )恒成立， erx 2 若a > 0时'则等价为ax A 1 ‘即8 $ 1 ‘

若a<0时'则等价为ax { 1，则a"C 贝l]a<0，

X

综上所述：(-00, 0) U [1，+00 ).

-ax-(l-x)a i ^a 2x-a ax-1 x

JX -

有两个零点• 当a>0时，令f ，(x)二竺？■=()，解得戸丄，贝住(x)在(0,丄)上为减函数, w a a 在(丄，+8)上为増函数，

a

1-丄 即f (1) =—^-ln-=l~lna<0 即可， a 1 a a cr-

令g (a) =1-—-lna» 贝 l]g z ( a)=厶-丄二]斗=0， a

ct- a a-

解得a=l ，即g (a)在(D ，l)上为増函数，在(1，+8)上为减函数，

又g ( 1 ) =1-1-51=0,则 1-丄-lna<0等价为a€ ( 0，1 ) U ( 1 > +«>). a

综上所述：沁(0，1) U (1，+8).

3. (2016*兰州模拟)已知函数/&) = —、—+ 3 x>l.

lnx

(I )若f (x)在(1, +8)上单调递减，求实数a 的取值范围；

(II )若a=2,求函数f (x)的极小值；

(UI)若方程(2x-m) lnx+x=O 在(1, e]上有两个不等实根，求实数m 的取值范围. 方法思路：分离参数，构造函数，数形结合

r

解：(I ) V /(%) = ------------- + ax, x>\ ,

lnx

.Q (、 lnx-1

：•

+ s

In x Vf (x)在(1, +8)上单调递减,

(2) f z ，定义域为(O, +8)

当 a

(x) dx-l >0, f (x)在(0, +8)上为増函数，不可能

(x) WO 在 xW (1, +8)上恒成立;

In 2 x lnx Inx 2

4

VxG (1, +8), AinxG (0, +8),

1 1 1 lol 1 1 •••—；=0时函数2(—-r 的最小值为一丁，•••aW -丁。 lnx

2 lnx 2 4 4 4

令 f ，(x) =0 得 21n 2x+lnx-l=0, 解得 lnx= 或 1 nx=-l (舍)，即 x=/

当 lVxV*时，f‘ (x) <0,当 x>J 时，f‘ (x) >0；・・・f (x)的极小值为 f(J)= — + 2e 2 =4e- o

2

(HI)将方程(2x-m) lnx+x=0 两边同除 lnx 得(2x-m)+^—=09 lnx

Y

整理得 —+2x=/n,(分离参数，数形结合) lnx

V (2x-m) lnx+x=0在(1, e ］上有两个不等实根，

・・・函数f (x)的图象与直线尸m 在(1, e ］上有两个不同的交点；

由(II)可知，f (x)在(1, /)上单调递减，在(丄，可上单调递增，

「•f (x) ^=f(e 2 ) = 4戶二4&，

X | 又 V 当 xf 1 时， ------------- T +CO , A4 .2 lnx e

实数m 的取值范围为(4貞，3e ］o

4. 已知函数 f (x) =lnx -丄ax?-2x 2

(1) 当a=l 时，mx°W ［l, e ］,使不等式f (X 。)Wm,求实数m 的取值范围；

(2) 若a 二-丄，且关于x 的方程f (x)二-丄x+b 在［1, 4］上恰有两个不等的实根，求实数b 的取值范围; 2 2

解：(1)当 a=l 时，€ [1 , e] > 使不等式f (xg )(x) min ，e].

・••函数f (X )在［1，e ］单调递减， ■ . 1 7

・■•当x=eB 寸'f ( x )取得最小值f ( e ) = 1

. ・••实数m 的取值范国是［1 一加2-2“ +X )；

(2)方法思路：分离参数，构造函数，数形结合

(2) a 二丄，关于x 的方程f (x)二-士x+b 化为 lnx+丄天 v-b 二 0， 2 2 4 2

令g (x ) =lnx+jA _~—^-x-b ，x € ［ 1, 4］,

(II)当 a=2 时，/(x)=— Inx + 2g) = ]nx — \ +21n 2x In 2 x

X

x X