多元函数偏导连续与可微
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),(y x f 在点),(00y x 处两个偏导连续与在点),(00y x 处可微之间的关系？
（作者：谢洁）
（申明一下以下证明在函数的两个偏导数存在的前提下进行。） 由偏导连续⇒可微
证：设点),(y y x x ∆+∆+为点),(y x 的该邻域内的任意一点，函数的全增量为
[][]
),(),(),(),(),(),(y x f y y x f y y x f y y x x f y x f y y x x f z -∆++∆+-∆+∆+=-∆+∆+=∆对于第一个方括号内的表达式而言，由于y y ∆+不变，故可看作x 的一元函数
),(y y x f ∆+在点x 处的增量。
由拉格朗日中值定理，得
),(),(y y x f y y x x f ∆+-∆+∆+=x y y x x f x ∆∆+∆+),(1θ )10(1<<θ.
又由假设条件),(y x f x 在点),(y x 处连续，上式进一步化简
),(),(y y x f y y x x f ∆+-∆+∆+=x x y x f x ∆+∆1),(ε，其中1ε是y x ∆∆,的函数，并且
当0,0→∆→∆y x 时，01→ε. 同理，第二个方括号可写为
),(),(y x f y y x f -∆+=y y y x f y ∆+∆2),(ε （*）， 其中2ε是y ∆的函数，并且当0→∆y 时，02→ε.
由上述可得，在连续偏导的假设条件下，全增量z ∆可表示为
=∆z x x y x f x ∆+∆1),(ε+y y y x f y ∆+∆2),(ε，易得
2121εερ
εε+≤∆+∆y
x ，它是随
着)0,0(),(→∆∆y x 即0→ρ而趋于零的。即上（*）式中)(21ροεε=∆+∆y x ，因此由定义，此函数),(y x f z =在),(00y x 处可微分。
那么是否意味着函数在),(00y x 处可微分⇒两个偏导数一定连续呢？下面举一反例：
)0,0(),()0,0(),(0,1sin )(),(22
2
2=≠⎪⎩
⎪⎨⎧++=y x y x y
x y x y x f 的两个一阶偏导数),('y x f x 与),('y x f y 在（0，0）点处都不连续，但),(y x f 在（0，0）点可微。
证明如下：
0)
(1
sin
)(1
sin
)()
0,0()0,()0,0(2
2
20
'lim lim lim
=∆∆=∆∆∆=∆-∆=→∆→∆→∆x x x
x x x f x f f x x o
x x 则
)0,0(),()0,0(),(0,1cos 21sin 2),(222222'=≠⎪⎩
⎪⎨⎧
++-+=y x y x y
x y x x y x x y x f x 由于
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=→∆=→∆220'
021cos 121sin 2),(lim lim x x x x y x x x x
y x f
不存在，由于
lim 0
→∆x 22
21
sin
x x =0， lim
→∆x 221
cos 1x
x 不存在，则),('y x f x 在（0，0）点不连续，由变量x 与y 的对称性知),('y x f y 在（0，0）点不连续。而
2
2''0
)()()0,0()0,0()0,0(),(lim
y x y
f x f f y x f y x y x ∆+∆∆-∆--∆∆→∆→∆
=[]
2
22
222
0)()()()(1
sin
)()
(lim
y x y x y x y x ∆+∆∆+∆∆+∆→∆→∆=lim 0
0→∆→∆y x 22)()(y x ∆+∆2
2)()(1
sin
y x ∆+∆=0
故),(y x f 在（0，0）点可微。此反例说明函数可微偏导不一定连续。