单因素优化实验设计

3） 0.618法具体作法
x1=a+0.618（b-a） x2=a+0.382（b-a）
设 f ( x ) 和 f ( x 2 ) 表示 x1、x2 两点的实验结果，且 f ( x) 值 越大，效果越好，分几种情况讨论。 （1)若 f ( x ) ＞ f ( x ) ，即 f ( x ) 比 f ( x ) 好，则根据“留好去坏” 的原则，去掉实验范围 [a，x2]部分，在[x2，b]内 继续实验。见图 1。 ★若去掉实验范围的左边区间，则新试验点将它 排在新实验范围的 0.618 的位置上， 另一个试验点 在新范围的 0.382 的位置上， 但这一点恰巧在旧区 间已试的实验点上。 x3 x2 0.618 (b x2 ) x4=x2+0.382（b-x2） | x2 x1 | 0.236 0.382 而 | x2 b | （已试） 0.618
1、均分法 2、对分法 3、黄金分割法（0.618法） 4、分数法 5.抛物线法
1．均分法
• 1） 作法
x：实验点
a＜x＜b
• 2） 优点：只要把实验放在等分点上，实验 点安排简单。n次实验可同时做，节约时间， 也可一个接一个做，灵活性强。 • 3）缺点：实验次数较多，代价较大，不经济。
2．对分法（中点取点）
3）分数法具体作法
• 分两种情况
① 所有可能进行的实验总次数 m=Fn-1 时，即 m 正好 与 Fibonacci 数列中某数减一相一致时。 则 前 两 个 实 验 点 分 别 放 在 Fn-1 和 Fn-2 位 置 上
Fn 1 （ Fn
+
Fn 2 Fn
=1）
例：在配制某种清洗液时，要优选某材料的加入量 P， 实验范围 2%~13%，变为 1%为一个实验点。
20 40 50 55 60
3．黄金分割法（0.618法）
• 1）单峰函数（实验中指标函 数）
• 注：单峰函数不一定是光滑 的，甚至也不一定是连续的， 它只要求在定义区间内只有 一个“峰”。 • 函数的单峰性使我们可以根 据消去法原理逐步地缩小搜 索区间，已知其中包括了极 小点的区间，称为搜索区间。
下面通过实例，说明黄金分割法设计实验的具体步骤。 例 1: 目前，合成乙苯主要采用乙烯与苯烷基化的方法。为了因地 制宜，对于没有石油乙烯的地区，我们开发了乙醇和苯在分子筛催化下 一步合成乙苯的新工艺： Ｃ６Ｈ６＋Ｃ２Ｈ５ＯＨ—→Ｃ６Ｈ５Ｃ２Ｈ５＋Ｈ２Ｏ 筛选了多种组成的催化剂，其中效果较好的一种催化剂的最佳反应温 度，就是用黄金分割法通过实验找出的。 初步实验找出，反应温度范围在 340－420℃之间。在苯与乙醇的摩 尔比为 5：1，重量空速为 11.25h-1 的条件下,苯的转化率 XB 是: 340℃ 420℃ 10.98% 15.13%
1
1 2 1 2
所以 x4=x1
★即除第一次要取二个试点外，以后每次只取一 个试点，另一个试验点在已试点上（不做） 。 同理，比较两个结果，去坏留好，进一步缩小 范围，进一步做实验，最后找出最佳点。
（ 2）若 f ( x 2 ) ＞ f ( x1 ) ，即 f ( x 2 ) 比 f ( x1 ) 好，则根据“留好去坏” 的原则，去掉实验范围的 [x1， b]，在剩余范围 [a， x1]内继 续实验。见图 2。 ★若去掉实验范围的右区间，则新点安排在新实验范围的 0.382 处，已试点一定在新区间的 0.618 处。
• 1）作法 每次实验点都取在实验范围的中点，即中 点取点法。 • 2）优点：每做一个实验就可去掉试验范围的 一半，且取点方便，试验次数大大减小，故效 果较好。 • 3）适用情况：适用于预先已了解所考察因素 对指标的影响规律，能从一个试验的结果直接 分析出该因素的值是取大了或取小了的情况， 即每做一次实验，根据结果就可确定下次实验 方向的情况，这无疑使对分法应用受到限制。
黄金分割法举例
• 例2：为了达到某种产品质量标准，需要加入一种材料。已知 其最佳加入量在1000g～2000g之间的某一点，现在要通过 做实验的办法找到最佳加入量。
解：首先在实验范围的0.618处做第一个实验，这一点的加 入量为：x1=1000+(2000-1000) ×0.618=1618g 在这一点的对称点，即0.382处做第二个试验，这一点加入 量为：x2=1000+(2000-1000) ×0.382=1382g 比较两次试验结果，如果第二点较第一点好，则去掉1618g 以上部分，然后在(1000,1618)之间，找x2的对称点： X3=1000+(1618-1000) ×0.382=1236g 如果仍然是第二点好，则去掉1236g以下的一段，在留下的 部分(1236~1618)，继续找第二点的对称点，做第四次试验。 如果这一点比第2点好，则去掉1236~1382这一段，在留下 的部分按同样方法继续做下去，直到找到最佳点。 •
2）0.618法（黄金分割法） 的构思
• 设指标函数是一个单峰函数，即在某区间内只有一极 小点，为最佳实验点
1
λ β β
(a)
a
c
d
ຫໍສະໝຸດ Baidu
b
(b)
a
e
f(c)
d
•f(c)<f(d)
•
以图a看，设区间[a，b]的长为1，在与点a相 距分别为β 、λ 的点处插入c、d两点，为确定β 、λ 的数值，提出如下条件：
x 4 x 2 0.382( x1 x 2 )
0.618 法的核心： ①选实验点时，用 0.618 分割法，掌握公式（1） 、 （ 2） 。 ②比较实验点时，是根据“留好去坏”的原则。 4）优点：每次可去掉实验范围的 0.382，每次缩小的比例一样（即 0.618） ，除第一次要取二个试点外，以后每次只取一个试点，用起 来较方便，可用较少的实验次数迅速找到最佳点。 5）适用条件：指标函数为单峰函数。
从图 a)，b)看，在新区间[a,d]内，已包含算出了函数值的 点 f((即为原区间中 c))。所以在其内只需再取一个点（而 不是两个点）计算函数值，就可进一步把新区间短缩。 根据条件 2 有： 即
1 ，有
af ac ad ad ad ab
2
2
②
将②式代入①式，得关于 解出

的一元二次方程
1 0

5 1 5 1 0.618 （另一根 2 负数，舍） 2
再由①式得

3 5 0.382 2
3） 0.618法一般步骤
• • • • ①确定实验范围（在一般情况下，通过预实验或其它先验信息，确定了 实验范围[a，b] ）； ②选实验点（这一点与前述均分、对分法的不同处在于它是按0.618、 0.382的特殊位置定点的，一次可得出两个实验点x1,x2的实验结果）； ③根据“留好去坏”的原则对实验结果进行比较，留下好点，从坏点处 将实验范围去掉，从而缩小了实验范围； ④在新实验范围内按0.618、0.382的特殊位置再次安排实验点， 重复上述过程，直至得到满意结果，找出最佳点。
1）菲波那契数列 13 世纪意大利人 Fibonacci 曾经考虑过这样 一串数：
F0 F1 1 Fn1 Fn Fn1 , n 2
称之为 Fibonacci 数列{Fn}。
这个整数序列写出来就是： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，„„ （1） 2）菲波那契搜索法（分数法） Fn 用 Fibonacci 数列的规律进行区间搜索最优点 这个数列的前后两项的比为一分数数列 的方法称之为 Fibonacci 法。 Fn 1 ：
•
• • •
4、分数法 （Fibonacci Search）
• 分数法又称费波那契搜索（Fibonacci Search），基本思想和0.618法是一致 的，主要不同点是：0.618法每次都按 同一比例常数0.618来缩短区间，而分 数法每次都是按不同的比例来缩短区间 的，它是按菲波那契数列{Fn}产生的分 数序列为比例来缩短区间的 。
1
Fn 1 Fn 2 ， Fn 1 Fn1 （即按分数序列的规律选
择实验点位置） ，比较 f (1 ) 及 f (2 ) ，然后舍掉 不包括最优点的一段，在缩短了搜索范围后继 续找点，比较实验结果，当搜索区间小于给定 精度值时，整个过程结束。 因为选择的 是一个分数，所以这种方法 又称为分数法。
第二节 单因素优化实验设计
一、定义
实验中只有一个影响因素，或虽有多个影 响因素，在安排实验时，只考虑一个对指标影 响最大的因素，其它因素尽量保持不变的实验， 即为单因素实验。 二、步骤 1）确定实验范围
2）确定指标 3）根据实际情况及实验要求，选择实验方法， 科学安排实验点
x：实验点
a＜x＜b
三、单因素优化实验设计方法
第一个实验点位置是: (420-340)×0.618+340=389.4 取决于 390℃实验结果是:XB=16.5%。 第二个实验点的位置是: ( 420-340) ×0.382+340=370 实验测得,370℃下, XB=15.4%。 比较两个实验点的结果,因 390℃的 XB 大于 370℃的 XB,删去 340-370℃一段, 在 370℃到 420℃范围内再优选。第三个实验点位置是: (420-370) ×0.618+370=400 实验测得 400℃下,XB=17.07%。 因 400℃的 XB 大于 390℃的 XB,再删去 370-390℃一段,在 390-420℃范围内再优 选。第四个实验点的位置是: (420-390) ×0.618+390=410 在 410℃下测得 XB=16.00%,已经小于 400℃的结果。故此,实验的最佳温度确定为 400℃。在此温度下进行反应,获得成功,通过了鉴定。
对分法举例
• 例1：如火电厂冲灰水，当水膜除尘器中出来的酸性水进入冲 灰管以前，必须加碱调整pH=7~8，加碱量范围[a，b]，试确 定最佳投药量。因素是加碱量，指标是加药后pH。采用对分 法安排实验。
• 第一次加药量 • i）若加药后水样pH＜7，加药范围中小于 x1的范围可舍弃，新的实验范围 x b [x1，b] ，第二次加药量x 2 。 • 实验后再测加药后水样pH。根据pH大小再次取舍，直到得到满意结果。 • ii）若加药后水样pH＞8，说明第一次实验碱加多了，舍弃加药 范围中大于x1的范围，取另一半重复实验，直至得到满意结果。
1， 2 ， 3 ， 5 ， 8 ， 13 ， 21 ， 34 ，„„
1
2
3
5
8
13
21
（ 2）
由上述菲波那契整数数列 Fn1
Fn Fn1 ，n ≥2
（3）
Fn Fn 1 1 有 Fn 1 Fn 1
Kiefer 首先研究利用上述分数数列及其关 系式（3）找实验范围内最佳实验点。 方法是：在[0，1]区间内选择 1 ， 2 两点， 令
x1
2 1
ab 2
对分法举例
• 例2：称量质量为20~60g某种样品时， 第一次砝码的质量为40g，如果砝码偏 轻，则可判断样品的质量为40~60g，于 是，第二次砝码的质量为50g，如果砝 码又偏轻，则可判断样品的质量为 50~60g，接下来砝码的质量为55g，如 此称下去，直到天平平衡为准。
x3 a 0.382( x1 a)
x 4 a 0.618( x1 a)
（新实验点 x3） （ x4 即 x2，原来的好点）
（3 ）若 f ( x1 ) 和 f ( x 2 ) 实验效果一样，去掉两端，在剩余范围 [x 1， x 2]内继续实验。见图 3 。 两个新实验点：
x3 x 2 0.618( x1 x 2 )
1．c、d 两点在[a，b]中的位置是对称的。这样，无论删去哪一段，总是保留长 为 的区间，即有 ac 即
db 。 1
①
2．无论删掉哪一段，例如删掉（db） ，在留下的新区间[ad]内，再插入一新点 e， 使 e,f(即为原区间中 c)在新区间[a,d]中的位置与 c，d 在原区间[a,b]中的位置具有 相同的比列。 这就保证了每次都以同一入的比率缩短区间。这样做的目的是为了减少函数值的 计算次数。