2020届高三适应性考试理科数学试卷答案
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2x 2, x 1 当 x 3 时，由 2x 2 8 ，解得 x 5 ，此时 x 5 ；
当 3 x 1时， f x 8 不成立；
当 x 1时，由 2x 2 8 ，解得 x 3 ，此时 x 3 .
综上所述，不等式 f x 4 的解集为 , 5 3, ；
（2）要证
f
1 3 时 FB FA
6
FA FB
3 也成立，
6 3
22.
【解析】（1）设点 M
在极坐标系中的坐标
3 , 2
，由
1 sin
，得
3 2
1 sin
，
sin
1 2
，
0
2
，
7 6
或
11 6
，所以点
M
的极坐标为
3 2
,
7 6
或
3 2
, 11 6
.
（2）由题意可设
M
1, ，
令
，，
因为 在
处取得极值，所以
，
当
时， 在 上单调递增，在 上单调递减
所以 在区间 上的最大值为 ，
令
，解得
当，
当
时， 在 上单调递增， 上单调递减， 上单调递增
所以最大值 1 可能在
或 处取得
而
所以
，解得
当
时， 在区间 上单调递增，
所以最大值 1 可能在 而 所以
或 处取得 ， ，
解得
，与
矛盾.
（2）因为 an 2n ，所以 bn 2log2an 1 2n 1． anbn 2n 1 2n ．
则Tn 1 2 3 22 5 23 2n 3 2n1 2n 1 2n ，①
2Tn 1 22 3 23 5 24 2n 3 2n 2n 1 2n1 .②
①－②得， Tn 2 2 22 2 23 2 2n 2n 1 2n1
x0
3 x1
x2
1 ，
y0 y1 y2 2m ，
FA
x1 12 y12
x1 12
2
2 3
x12
x1 3 x1 3
3
3
x1
3
，
同理可得
FB
x2
3
3
x2
3
，因为点 P x0, y0 在椭圆上，所以
x02 y02 12 2m2 1，
32 3
2
理科数学（答案）
1.C 2.D 3.C 4.A 5.C 6.B 7.D 8.B 9.C 10.D 11.A 12.C
13. (e, e) 14. 2 15. 3 16. 2
3 21 14
17.（1）随机抽样的 100 名居民每人每天的平均健身时间为
1.2 40 0.810 1.5 30 0.7 20 1.15 小时， 100
4 1 2n1
2 2 1 2
2n 12 n1 6 2n 3 2 n1 ，所以 Tn 6 2n 3 2n1 ．
19．
20. 因为
所以
，
因为函数
在 处取得极值， ，
当 时，
，
，
， 随 x 的变化情况如下表：
x
1
0
0
增
极大值
减
极小值
增
所以 的单调递增区间为 ，
Βιβλιοθήκη Baidu
，单调递减区间为
因为
18.（1）设数列 an 的公比为 ，因为 a2 4 ，所以 a3 4q ， a4 4q2 ．
因为 a3 2 是 a2 和 a4 的等差中项，所以 2 a3 2 a2 a4 ．即 24q 2 4 4q2 ，化
简得 q2 2q 0 ．
因为公比 q 0 ，所以 q = 2 ．所以 an a2qn2 4 2n2 2n （ n N * ）．
N
2
,
2
.由
1 sin
，得
1
1 sin
，
2
1
sin
2
1
cos
.
MN
12 22
1 sin 2 1 cos 2
3 2sin cos
32
2 sin
4
,故
5 4
时，
MN
的最大值为
2 1.
2x 2, x 3
23. （1） f x f x 4 x 1 x 3 4, 3 x 1 .
3
2
由线段 AB 的中点在直线 x 1 上，可设此中点 M 1, m ，因为直线 AB 的斜率存在，所
以m0，
设其斜率为 k ，由 (*) 式得 2 mk 0 ，即 k 2 .
3
3m
由于弦 AB 的中点 1, m 必在椭圆内部，则 12 m2 1 ，解得
32
2 m 2 m 0.
3
由此估计该小区居民每人每天的平均健身时间为 1.15 小时，
因为
1.15
小时
7 6
小时=70
分钟，所以该社区不可称为“健身社区”；
（2）由联立表可得，
K2
a
n ad bc2 bc da cb
d
100 40 20 30 10 2
70 30 50 50
4.762
3.840
，
所以能在犯错误概率不超过 5%的情况下认为“健康族”与“性别”有关.
解得 m
1 .当 m 3
1 时， k 2
3
3m
2 ，直线 AB 的方程为 y 3
1 3
2 x 1 ，
3
代入
x2 3
y2 2
1得 2x2
4x
1
0 ，由根与系数关系得
x1 x2
1 2
.
则
FB
FA
x2 x1
3
1 3
x1 x2 2 4x1x2
1 3
22 2
6. 3
m
由对称性知，当
上单调递减，
上单调递增
当
时， 在区间 上单调递增，在 单调递减，
所以最大值 1 可能在 处取得，而
，矛盾。
综上所述，
或
21.（1）设 A x1, y1
，B
x2 , y2
，则 x12 y12 1 ， x22 y22 1，
32
32
两式相减得： x2 x1 x2 x1 y2 y1 y2 y1 0 (*) ，
ab
a
f
a b
，即证
ab
1
ab
，
因为 a 1 ， b 1，所以， a2 1 ， b2 1，
ab 12 a b 2 a2b2 2ab 1 a2 2ab b2 a2b2 a2 1 b2 a2 b2 1 b2 1 a2 1b2 1 0 .
所以， ab 1 a b .故所证不等式成立.
3
又
k
2 3m
，所以斜率
k
的取值范围为
,
3 3
3 3
,
.
（2）由（1）知 A x1, y1 ， B x2, y2 ，因为椭圆的左焦点 F 为 1, 0 ，
所以
FA
x1
1,
y1
，
FB
x2
1,
y2
，设
P
x0
,
y0
，则
FP
x0
1,
y0
，
FA
FB
PF
x1
x2
2,
y1
y2
x0
1, y0
当 3 x 1时， f x 8 不成立；
当 x 1时，由 2x 2 8 ，解得 x 3 ，此时 x 3 .
综上所述，不等式 f x 4 的解集为 , 5 3, ；
（2）要证
f
1 3 时 FB FA
6
FA FB
3 也成立，
6 3
22.
【解析】（1）设点 M
在极坐标系中的坐标
3 , 2
，由
1 sin
，得
3 2
1 sin
，
sin
1 2
，
0
2
，
7 6
或
11 6
，所以点
M
的极坐标为
3 2
,
7 6
或
3 2
, 11 6
.
（2）由题意可设
M
1, ，
令
，，
因为 在
处取得极值，所以
，
当
时， 在 上单调递增，在 上单调递减
所以 在区间 上的最大值为 ，
令
，解得
当，
当
时， 在 上单调递增， 上单调递减， 上单调递增
所以最大值 1 可能在
或 处取得
而
所以
，解得
当
时， 在区间 上单调递增，
所以最大值 1 可能在 而 所以
或 处取得 ， ，
解得
，与
矛盾.
（2）因为 an 2n ，所以 bn 2log2an 1 2n 1． anbn 2n 1 2n ．
则Tn 1 2 3 22 5 23 2n 3 2n1 2n 1 2n ，①
2Tn 1 22 3 23 5 24 2n 3 2n 2n 1 2n1 .②
①－②得， Tn 2 2 22 2 23 2 2n 2n 1 2n1
x0
3 x1
x2
1 ，
y0 y1 y2 2m ，
FA
x1 12 y12
x1 12
2
2 3
x12
x1 3 x1 3
3
3
x1
3
，
同理可得
FB
x2
3
3
x2
3
，因为点 P x0, y0 在椭圆上，所以
x02 y02 12 2m2 1，
32 3
2
理科数学（答案）
1.C 2.D 3.C 4.A 5.C 6.B 7.D 8.B 9.C 10.D 11.A 12.C
13. (e, e) 14. 2 15. 3 16. 2
3 21 14
17.（1）随机抽样的 100 名居民每人每天的平均健身时间为
1.2 40 0.810 1.5 30 0.7 20 1.15 小时， 100
4 1 2n1
2 2 1 2
2n 12 n1 6 2n 3 2 n1 ，所以 Tn 6 2n 3 2n1 ．
19．
20. 因为
所以
，
因为函数
在 处取得极值， ，
当 时，
，
，
， 随 x 的变化情况如下表：
x
1
0
0
增
极大值
减
极小值
增
所以 的单调递增区间为 ，
Βιβλιοθήκη Baidu
，单调递减区间为
因为
18.（1）设数列 an 的公比为 ，因为 a2 4 ，所以 a3 4q ， a4 4q2 ．
因为 a3 2 是 a2 和 a4 的等差中项，所以 2 a3 2 a2 a4 ．即 24q 2 4 4q2 ，化
简得 q2 2q 0 ．
因为公比 q 0 ，所以 q = 2 ．所以 an a2qn2 4 2n2 2n （ n N * ）．
N
2
,
2
.由
1 sin
，得
1
1 sin
，
2
1
sin
2
1
cos
.
MN
12 22
1 sin 2 1 cos 2
3 2sin cos
32
2 sin
4
,故
5 4
时，
MN
的最大值为
2 1.
2x 2, x 3
23. （1） f x f x 4 x 1 x 3 4, 3 x 1 .
3
2
由线段 AB 的中点在直线 x 1 上，可设此中点 M 1, m ，因为直线 AB 的斜率存在，所
以m0，
设其斜率为 k ，由 (*) 式得 2 mk 0 ，即 k 2 .
3
3m
由于弦 AB 的中点 1, m 必在椭圆内部，则 12 m2 1 ，解得
32
2 m 2 m 0.
3
由此估计该小区居民每人每天的平均健身时间为 1.15 小时，
因为
1.15
小时
7 6
小时=70
分钟，所以该社区不可称为“健身社区”；
（2）由联立表可得，
K2
a
n ad bc2 bc da cb
d
100 40 20 30 10 2
70 30 50 50
4.762
3.840
，
所以能在犯错误概率不超过 5%的情况下认为“健康族”与“性别”有关.
解得 m
1 .当 m 3
1 时， k 2
3
3m
2 ，直线 AB 的方程为 y 3
1 3
2 x 1 ，
3
代入
x2 3
y2 2
1得 2x2
4x
1
0 ，由根与系数关系得
x1 x2
1 2
.
则
FB
FA
x2 x1
3
1 3
x1 x2 2 4x1x2
1 3
22 2
6. 3
m
由对称性知，当
上单调递减，
上单调递增
当
时， 在区间 上单调递增，在 单调递减，
所以最大值 1 可能在 处取得，而
，矛盾。
综上所述，
或
21.（1）设 A x1, y1
，B
x2 , y2
，则 x12 y12 1 ， x22 y22 1，
32
32
两式相减得： x2 x1 x2 x1 y2 y1 y2 y1 0 (*) ，
ab
a
f
a b
，即证
ab
1
ab
，
因为 a 1 ， b 1，所以， a2 1 ， b2 1，
ab 12 a b 2 a2b2 2ab 1 a2 2ab b2 a2b2 a2 1 b2 a2 b2 1 b2 1 a2 1b2 1 0 .
所以， ab 1 a b .故所证不等式成立.
3
又
k
2 3m
，所以斜率
k
的取值范围为
,
3 3
3 3
,
.
（2）由（1）知 A x1, y1 ， B x2, y2 ，因为椭圆的左焦点 F 为 1, 0 ，
所以
FA
x1
1,
y1
，
FB
x2
1,
y2
，设
P
x0
,
y0
，则
FP
x0
1,
y0
，
FA
FB
PF
x1
x2
2,
y1
y2
x0
1, y0