利用导数研究函数的单调性专题

利用导数研究函数的单调性

1.函数的单调性与导数的关系

函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：

(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；

(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；

(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.

2.函数的极值与导数

f′(x0)＝0

x0附近的左侧f′(x)<0，右侧条件

x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0

f′(x)>0

图象

形如山峰形如山谷

极值f(x0)为极大值f(x0)为极小值

极值点x0为极大值点x0为极小值点

3.函数的最值与导数

(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件

如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.

(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤

①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；

②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.( )

(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性.( )

(3)函数的极大值一定大于其极小值.( )

(4)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件.( )

(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.( )

2.(选修2－2P32A4 改编)如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为( )

A.1

B.2

C.3

D.4

3.(选修2－2P32A5(4)改编)函数f(x)＝2x－x ln x的极值是( )

A.1

e

B.

2

e

C.e

D.e2

4.(2019·青岛月考)函数f(x)＝cos x－x在(0，π)上的单调性是( )

A.先增后减

B.先减后增

C.单调递增

D.单调递减

5.(2017·浙江卷)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( )

6.(2019·豫南九校考评)若函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则常数c的值为( )

A.4

B.2或6

C.2

D.6

考点一 求函数的单调区间

【例1】 已知函数f (x )＝ax 3＋x 2

(a ∈R)在x ＝－43处取得极值.

(1)确定a 的值；

(2)若g (x )＝f (x )e x

，求函数g (x )的单调减区间. 【规律方法】 1.求函数单调区间的步骤：

(1)确定函数f (x )的定义域；(2)求f ′(x )；(3)在定义域内解不等式f ′(x )>0，得单调递增区间；(4)在定义域内解不等式f ′(x )<0，得单调递减区间.

2.若所求函数的单调区间不止一个时，用“，”与“和”连接. 【训练1】 (1)已知函数f (x )＝x ln x ，则f (x )( ) A.在(0，＋∞)上递增

B.在(0，＋∞)上递减

C.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上递增

D.在⎝ ⎛⎭

⎪⎫0，1e 上递减 (2)已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递增区间为________.

【例2】 (2017·全国Ⅰ卷改编)已知函数f (x )＝e x

(e x

－a )－a 2

x ，其中参数a ≤0. (1)讨论f (x )的单调性； (2)若f (x )≥0，求a 的取值范围.

【训练2】 已知f (x )＝x 2

2－a ln x ，a ∈R ，求f (x )的单调区间.

考点三 函数单调性的简单应用 角度1 比较大小或解不等式

【例3－1】 (1)已知函数y ＝f (x )对于任意的x ∈⎝

⎛⎭⎪⎫0，π2满足f ′(x )cos x ＋f (x )sin x ＝1＋ln x ，其中

f ′(x )是函数f (x )的导函数，则下列不等式成立的是( )

A.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3

⎪⎫π4

B.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4

C.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>3f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π4

D.3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π6 (2)已知函数f ′(x )是函数f (x )的导函数，f (1)＝1

e

，对任意实数都有f (x )－f ′(x )>0，设F (x )＝

f （x ）

e

x ，则不等式F (x )<1

e

2的解集为( )

A.(－∞，1)

B.(1，＋∞)

C.(1，e)

D.(e ，＋∞)

角度2 根据函数单调性求参数

【例3－2】 (2019·日照质检)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2

＋2x .

(1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求实数a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上单调递减，求实数a 的取值范围.

【训练3】 (1)已知f (x )是定义在区间(0，＋∞)内的函数，其导函数为f ′(x )，且不等式xf ′(x )<2f (x )恒成立，则( )

A.4f (1)

B.4f (1)>f (2)

C.f (1)<4f (2)

D.f (1)>4f ′(2) (2)(2019·淄博模拟)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(2，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是( ) A.(－∞，－2] B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ C.[2，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12

【基础巩固题组】(建议用时：40分钟) 一、选择题

1.函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝f ′(x )的图象可能是( )