中科院计算流体力学最新讲义CFD117讲有限体积法126页

u2 uv
p
nx
vu v2
p
n
x
( E p )u ( E p )v
un
uun vun (E
pnx pny p )u n
un unx vny 法向速度
Copyright by Li Xinliang
nr nr
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3）有限体积法中物理量的含义
Ò UIJ
1 IJ
UdV
含义： 控制体内的平均量
（平均质量密度、平均动量密度、 平均能量密度）
二阶精度 近似
控制体几何中心处的当地密度、 动量密度、能量密度
4） 残差
蜒 R IJ 1 IJ F n d s 1 IJ F vn d s U tIJ
残差=净通量=右端项
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计算方法： 与差分法完全相同 各种差分格式，均可直接使用 也称为“差分格式”
u a u 0 t x
u
xi
1 x
ui1/2ui1/2
a 0: ui1/2 ...... a0: ui1/2 ......
该过程称为“重构”（很多文献中称为“插值”）
有限体积与有限差 分共通之处, 可直 接使用差分格式
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2. 无粘通量的计算
Ñ F nds
常用方法 （流过AB边的通量）：
a. 利用周围点的值，计算出(I+1/2,J) 点处的物理量；
b. 利用该处的物理量，计算出流过 AB边的流通量
方法1： 中心型有限体积法
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UI1/2,J 2UI,JUI1,J F I 1/2,JF (U I 1/2,J)vis
节点（中心）型控制体与网格型控制体
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2） 积分型控制方程
U F 1(U ) F 2(U ) F v1(U ) F v2(U ) t x y x y
在控制体上积分
蜒 U tIJ 1 IJ F n d s 1 IJ F vn d s0
x
y
x y
Qnt[AQ nBn Q ]tRHS
x
y
Q i[ 1 j x t* A y t* B ] [ x tA i 1 ,j Q i 1 ,j y tB i ,j 1 Q i ,j 1 ] [ x tA i 1 ,j Q i 1 ,j y tB i ,j 1 Q i ,j 1 ] t RHS
~ A(UR,UL)
应当具有的性质
~
fR ( ) f U L ( ) A U (R , U U L )R ( U U L )
~ A(UR,UL)
连续，且
A ~(U U,)A(U)
~ A(UR,UL)
可通过相似变换对角化
fj 1 /2 1 2 [f(U R ) f(U L )] 1 2 S % 1 % S % (U R U L ) UR
人工粘性项
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方法2： 迎风型有限体积法
Step 1: 利用（偏）左侧点及（偏）右侧点
的值，计算出I+1/2,J点的值
U IL 1 /2 ,Jg L (U I 1 ,J,U I,J,U I 1 ,J)
U IR 1 /2 ,Jg R (U I,J,U I 1 ,J,U I 2 ,J)
坐标变换函数必须足够光滑—— 否则损失精度
实际问题： 外形复杂， 光滑的结构网格生成困难
差分法
有限体积法
优点 不足
简单、计算量小、易 本身包含几何信息，
于提高精度
易处理复杂网格
差分离散与几何解耦，复杂、不易提高精度 难以处理复杂网格
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1. 基本概念
1） 控制体
无粘通量
粘性通量
Ò UIJ
1 IJ
UdV
物理含义：
控制体内总质量/动量/能量的增加 = 穿过控制体边界流入 的净质量/动量/能量
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物理含义： 单位时间内，无粘流动流过
F gn 垂直于n方向的单位面积的质量、动量和
能量
u u
F gn F1n x F百度文库 n y
Q%11 R11 /a11 Q % ij (R ij d ijQ % i 1 ,j e ijQ % i,j 1 )/a ij
Step 2: 求解
a ijQ ij b ijQ i 1 ,j cijQ i,j 1a ijQ % ij
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QmnRmn/amn Q ij (a ijQ % ij b ijQ i 1 ,j c ijQ i,j 1 )/a ij
知识回顾： Roe 格式
平均斜率 ~ A(UR,UL)
Uf(U) 0 t x
UA(U)U0, Af(U)
t
x
U
线性化，以平均增长 率代替瞬时增长率
f 1
x
j
( x
f
j1/2
fj1/2)
fˆ(Uj1,Uj) 经常记 fˆ(UR,为 UL)
[j,j+1]区间内
UA~ U0 t x
常系数方程的 Riemann解
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§ 7.1 结构网格有限体积法
有限体积法主要优势： 处理复杂网格
差分法处理复杂外形 —— 坐标变换
x x( , , )
y
y (
, ,
)
z z ( , , )
U tˆ fˆ1 f ˆ2 fˆ3 V ˆ1 V ˆ2 V ˆ3
fˆ1J1(xf1yf2zf3)
J1 (x, y, z) (,, )
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D U L (D L )D 1 (D U ) L 1 U D
a i j Q i j b i j Q i 1 ,j c i j Q i ,j 1 d i j Q i 1 ,j e i j Q i ,j 1 R i j
Step 1: 求解
aijQ % ijdijQ % i 1 ,jeijQ % i,j 1R ij
% ( L R ) / 2
%u% ( LuL RuR) / 2
%H% ( L HL R HR) / 2
UL
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知识回顾2： LU-SGS
Uf1(U)f2(U)0 t x y
U n1U nf1(U n1)f2(U n1)0
t
x
y
Qn Un1Un
Q n t[ (f1 n 1 f1 n) (f2 n 1 f2 n)] t[ f1 n f2 n]