检错纠错码

循环码的产生
M(x)=1100
3 ＝ 生成多项式 G(X)＝X +X+1＝1011
计 算 机 系 统 概 论
1110 做模2除 做模 除 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1011 1除运算规则 110 模2除运算规则 1100 减时，被减数的最高位为1则 做模 减时，1 0 1 1 － 1 0 1 1 做模2减时 被减数的最高位为 则 为够减---即：低位借位不影响高位 为够减 即 1 0 1 0 1 1 11 够减 商 0 1011 － 1011 1 0 00 0 1 0 1 1010 够减 商 1 得--校验位 校验位 模二除得余数 1r1 0010－ 1 1 1 0 － 10 01 0 0111 商1 够减 1商 1 1 01 － 够减得 CRC校验码 = 商 M(x) + 校验位 = 1100 010 校验码 0 不够减
计 算 机 系 统 概 论
为了描述不断移位操作过程中的数据， 为了描述不断移位操作过程中的数据，引进伪变量 和它的的不同的幂， X 和它的的不同的幂，以表示一个二进制数取 的那些位的值。 位数据， 值为 1 的那些位的值。此时原来说的 k 位数据， k + r 位码字，r 位的余数均可以用一元多项式 位码字， 表示。模 2 除时作除数用的二进制数也表现为 表示。 多项式的形式，叫做生成多项式 生成多项式。 多项式的形式，叫做生成多项式。
计 算 机 组 成 原 理
2章 章
检错纠错码
为了提高计算机的可靠性， 为了提高计算机的可靠性，除了采 可靠性 取选用更高可靠性的器件， 取选用更高可靠性的器件，更好的生产 工艺等措施之外， 工艺等措施之外，还可以从数据编码上 想一些办法，即采用一点冗余的线路， 想一些办法，即采用一点冗余的线路， 在原有数据位之外再增加一到几位校验 在原有数据位之外再增加一到几位校验 使新得到的码字带上某种特性， 位，使新得到的码字带上某种特性，之 后则通过检查该码字是否仍保持有这一 后则通过检查该码字是否仍保持有这一 特性， 发现是否出现了错误 是否出现了错误， 特性，来发现是否出现了错误，甚至于 这一错误， 定位错误后，自动改正这一错误 定位错误后，自动改正这一错误，这就 是我们这里说的检错纠错编码技术 检错纠错编码技术。 是我们这里说的检错纠错编码技术。
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计 算 机 组 成 原 理
2章 章
模 2 除与移位寄存器
除类似于正常二进制除法， 模 2 除类似于正常二进制除法， 区别有两点： 区别有两点：
*上商只看被除数的最高位， 上商只看被除数的最高位， 上商只看被除数的最高位
其值为 1 则上商 1 ，其值为 0 则上商 0。 。
*求余数用本位相减，上商为 1 时，求余 求余数用本位相减， 求余数用本位相减
数只用本位相减，位间无借位。 数只用本位相减，位间无借位。
计 算 机 系 统 概 论
除运算， 模 2 除运算，可以用带有异或门控制的移位 寄存器实现，不用加法电路， 寄存器实现，不用加法电路，简单又速度 且可与串行数据移位输出用同一电路。 快，且可与串行数据移位输出用同一电路。
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计 算 机 组 成 原 理
计 算 机 系 统 概 论
P4 = P3 + P2 + P1 + D3 + D2 + D1 S1 = P1 + S2 = P2 + S3 = P3 + S4 = P4 + D2 + D1 D3 + D1 D3 + D2 P3 + P2 + P1 + D3 + D2 + D1
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循环冗余码 CRC
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 0 1
0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0
1 1 0 1 1 1 1 1
0 1 0 0 0 0 0 0
计 算 机 系 统 概 论
错 误
1 1 1 0
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2章 章
码字的循环结构
k 位数据位 r 个校验位
数据接收 校验纠错
计 算 机 系 统 概 论
10110100
去掉 校验位
加校验位 数据发送
在接收端再对 k+r 位的码字进行合 法与出错检查，若可能则自动改错。 法与出错检查，若可能则自动改错。
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计 算 机 组 成 原 理
2章 章
CＲＣ ＲＣ
例： 有效编码
计 算 机 系 统 概 论
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计 算 机 组 成 原 理
2章 章
纠错码分类 纠错码 线性码 非线性码 卷积码 分组码
信息位与校验 位的约束条件 码字本身的 结构特点 校验位与信息 位的形成关系
计 算 机 系 统 概 论
非循环码
循环码
信息位与校验位排列位置关系
随机 错误
突发 错误
非系统码
系统码
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计 算 机 组 成 原 理
2章 章
几种常用的检错纠错码
我们只介绍三种常用的检错纠错码： 我们只介绍三种常用的检错纠错码：
奇偶检错码， 用于并行 并行数据传送中 奇偶检错码， 用于并行数据传送中 循环冗余码， 用于串行 串行数据传送中 循环冗余码， 用于串行数据传送中 海明检错与纠错码，用于并行 并行数据传送中 海明检错与纠错码，用于并行数据传送中
+ + + +
+ +
侧 电 路
D7 D6 D5 D4
D3 D2 D1 D0
P (校验 校验
)
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计 算 机 组 成 原 理
2章 章
海明校验码
用于多位并行数据检错纠错处理 用于多位并行数据检错纠错处理 检错纠错
实现：为 k 个数据位设立 r 个校验位， 实现： 个校验位， 位的码字同时具有这样两个特性： 使 k+r 位的码字同时具有这样两个特性：
+ 1 0
+ 0 0
+ 1 0
+ 1 0
+
串行 数据 D
1 上商 1 0 上商 0
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循环冗余码的实现电路
计 算 机 组 成 原 理
2章 章
线性分组（ ， ） 位数据加4位校验 线性分组（7，3）码，即3位数据加 位校验 位数据加 查表得到生成多项式： （ ） 查表得到生成多项式：G（X）=X4+X2+X+1 T4 T3 T2 T1 T0
计 算 机 系 统 概 论
+ 1 0
+ 0 0
+ 1 0
+ 1 0
+
串行 数据 D
1 上商 1 0 上商 0
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计 算 机 组 成 原 理
2章 章
循环冗余码的实现电 路
线性分组（ ， ） 位数据加4位校验 线性分组（7，3）码，即3位数据加 位校验 位数据加 查表得到生成多项式： （ ） 查表得到生成多项式：G（X）=X4+X2+X+1 T4
计 算 机 组 成 原 理
2章 章
例如： 海明码的实现原理 例如： k =3, r =4
D3 D2 D1 P4 P3 P2 P1
1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1
P1 = D2 + D1 P2 = D3 + D1 P3 = D3 + D2
4 2
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循环冗余码的实现电路
计 算 机 组 成 原 理
2章 章
线性分组（ ， ） 位数据加4位校验 线性分组（7，3）码，即3位数据加 位校验 位数据加 查表得到生成多项式： （ ） 查表得到生成多项式：G（X）=X4+X2+X+1 T4
CP
T3
T2
T1
T0
计 算 机 系 统 概 论
偶校验 奇校验
例如： 例如：
计 算 机 系 统 概 论
0001 0101
原有数字位
10001 00101
00001 10101
校验位
两个新的码字
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奇偶校验码的实现电路
计 算 机 组 成 原 理
2章 章
奇较验 偶校验
出错指示
p 编码电路 +
八 位 数 据 位
译码电路
同 左
+
计 算 机 系 统 概 论
计 算 机 系 统 概 论
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计 算 机 组 成 原 理
2源自文库 章
例如： 海明码的实现方案 例如： k =3, r =4
D3 D2 D1 P4 P3 P2 P1
1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1
+ ：异或
P1 = D2 + D1 P2 = D3 + D1 P3 = D3 + D2
1001011 ----4 0010111 ---- 1 0101110 ---- 2 1011101 -----5 0111011 -----3 1110110 -----7 1101101 -----6 0000000 -----0 合法码字循环移位， 合法码字循环移位， 得到的一定是合法 码字， 码字，可能是原码 字本身， 字本身，或另外一 个码字， 个码字，这正是循 环码名字的由来。 环码名字的由来。
计 算 机 系 统 概 论
编码方案 S1 = 译码 S2 = 方案 S3 = S4 =
P4 = P3 + P2 + P1 + D3 + D2 + D1 P1 + D2 + D1 P2 + D3 + D1 P3 + D3 + D2 P4 + P3 + P2 + P1 + D3 + D2 + D1
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计 算 机 系 统 概 论
数据 编码过程
的 ，
码 传 送
数据 译码过程
检 送的码 ， / 错
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奇偶校验码
计 算 机 组 成 原 理
2章 章
用于并行码检错 用于并行码检错
原理： 位校验位， 原理：在 k 位数据码之外增加 1 位校验位， 的位数总保持 使 K+1 位码字中取值为 1 的位数总保持 偶数（偶校验） 奇数（奇校验）。 为 偶数（偶校验）或 奇数（奇校验）。
计 算 机 组 成 原 理
2章 章
用于多位串行数据传送中的检错纠错处理 用于多位串行数据传送中的检错纠错处理 串行数据
位数据位串行移位输出的过程中， 在 k 位数据位串行移位输出的过程中，用带有异或门控 个校验位的值， 制的移位寄存器形成 r 个校验位的值，跟随在数据位之后 传送走。 传送走。
10110100 110
计 算 机 系 统 概 论
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计 算 机 组 成 原 理
2章 章
循环冗余码的实现原理
位数据位串行移位输出过程中求 循环冗余码是在 k位数据位串行移位输出过程中求 位数据位 个校验位的值 的值。 出 r 个校验位的值。其数学原理用的是模 2 除， 即对由 k 个数据位后跟 r 个 取值为 0 的位构成 的数， 的数，除以从数学表中查来的一个生成多项式 位的二进制数）， ），求出 （对应一个特定的 r + 1 位的二进制数），求出 位的余数就是校验位的结果。 的 r 位的余数就是校验位的结果。
计 算 机 系 统 概 论
1. 能发现并改正 k+r 位中任何一位出错， 位中任何一位出错， 2. 能 发 现 k+r 位中任何二位同时出错， 位中任何二位同时出错， 但已无法改正。 但已无法改正。
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计 算 机 组 成 原 理
2章 章
海明码的编码方法
合理地用 k 位数据位形成 r 个校验位的 值，即保证用 k 个数据位中不同的数据位组 合来形成每个校验位的值， 合来形成每个校验位的值，使任何一个数据 位出错时，将影响 r 个校验位中不同的校验 位出错时， 位组合起变化。 位组合起变化。 换言之， 换言之，通过检查是哪种校验位组合起了 变化，就能确定是哪个数据位错， 变化，就能确定是哪个数据位错，对该位求 反则实现纠错。 反则实现纠错。 有时两位错与某种情况的一位错对校验位组 合的影响相同，必须加以区分与解决。 合的影响相同，必须加以区分与解决。
2章 章
循环冗余码的实现的数学原理 k=3 r=4 数据为 100 求出的校验值为 1011
2
101 10111 1000000 10111 01110 00000 11100 10111 1011 码字为 1001011
100 可写成 X
计 算 机 系 统 概 论
为求四位校验位，可用 为求四位校验位， X 4+ X 2 + X + 1去模 2 去模 2 除 X * X4 X + X + X + 1 叫做 生成多项式， 查表得到。 生成多项式，由查表得到。
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计 算 机 组 成 原 理
2章 章
G(x)=1011时的（7，4）循环码的出错模式 时的（ ， ） 时的 K1 K2 K3 K4 K5 K6 K7
正确
出错位
余数 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 无 7 6 5 4 3 2 1