立体几何的解题技巧

立体几何大题的解题技巧

——综合提升

【命题分析】高考中立体几何命题特点：

1.线面位置关系突出平行和垂直,将侧重于垂直关系．

2.空间“角”与“距离”的计算常在解答题中综合出现．

３.多面体及简单多面体的概念、性质多在选择题，填空题出现．

4.有关三棱柱、四棱柱、三棱锥的问题,特别是与球有关的问题将是高考命题的热点． 此类题目分值一般在17---22分之间,题型一般为１个选择题,1个填空题，1个解答题. 【考点分析】掌握两条直线所成的角和距离的概念,对于异面直线的距离,只要求会计算已给出公垂线时的距离．掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念.掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念.

【高考考查的重难点*状元总结】空间距离和角：

“六个距离”：

１两点间距离 221221221)()()(d z z y y x x -+-+-= 2点Ｐ到线l

的距离d = （Q 是直线ｌ上任意一点,u 为过点P 的直线l 法向量）

3

两异面直线的距离d =

（P 、Ｑ分别是两直线上任意两点u 为两直线公共法向量）

４点P 到平面的距离

d =

(Q 是平面上任意一点，u 为平面法向量）

5直线与平面的距离【同上】 ６平行平面间的距离【同上】

“三个角度”:

1异面直线角【0,2π

】cos θ=2

121v v v v 【辨】直线倾斜角范围【0,π)

2线面角 【0,2π

】sin θ=n

v vn n v =,cos 或者解三角形

3二面角 【０，π】cos 2

121n n n n ±

=θ 或者找垂直线,解三角形

不论是求空间距离还是空间角，都要按照“一作，二证，三算”的步骤来完成,即寓证明于运算之中，正是本专题的一大特色．

求解空间距离和角的方法有两种:一是利用传统的几何方法,二是利用空间向量。 其中，利用空间向量求空间距离和角的套路与格式固定，是解决立体几何问题这套强有力的工具时，使得高考题具有很强的套路性。

【例题解析】

考点1 点到平面的距离

求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度,其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用. 典型例题

例1（福建卷）如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2,D 为1CC 中点. （Ⅰ）求证:1AB ⊥平面1A BD ; (Ⅱ）求二面角1A A D B --的大小; (Ⅲ)求点C 到平面1A BD 的距离.

考查目的：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的 大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维 能力和运算能力．

解:解法一:(Ⅰ)取BC 中点O ,连结AO ．

ABC △为正三角形，AO BC ∴⊥．

正三棱柱111ABC A B C -中,平面ABC ⊥平面11BCC B ,

AO ∴⊥平面11BCC B ．

连结1B O ，在正方形11BB C C 中，O D ，分别为

1BC CC ，的中点， 1B O BD ∴⊥, 1AB BD ∴⊥．

在正方形11ABB A 中，11AB A B ⊥, 1AB ∴⊥平面1A BD ．

(Ⅱ）设1AB 与1A B 交于点G ,在平面1A BD 中，作1GF A D ⊥于F ,连结AF ,由(Ⅰ）得1AB ⊥平面1A BD ．

1AF A D ∴⊥， AFG ∴∠为二面角1A A D B --的平面角.

在1AA D △中,

由等面积法可求得AF

A

B C

D

1

A

1

C

1

B

A B

C

D

1

A

1

C

1

B

O F

又112AG AB =

sin AG AFG AF ∴==∠．

所以二面角1A A D B

--的大小为

(Ⅲ)1A

BD △中

,1

11A BD BD A D A B S ==△1BCD S =△.

在正三棱柱中，1A 到平面1

1BCC B 设点C 到平面1A BD 的距离为d ． 由1

1

A BCD C A BD V V --=，得111

33

3

BCD

A BD S S d

=△△，

1A BD d ∴=

△

∴点C 到平面1A BD

解法二：（Ⅰ)取BC 中点O ,连结AO .

ABC △为正三角形，AO BC ∴⊥．

在正三棱柱111ABC A B C -中,平面ABC ⊥平面11BCC B ，

AD ∴⊥平面11BCC B ．

取11B C 中点1O ，以O 为原点，OB ，1OO ，OA 的方向为x y z ，，轴的正方向建立空间直角坐标系,则(100)B ，，,

(110)D -，，

，1(02A ,(0A ，1

(120)B ，，， 1(12AB ∴=，,

(210)BD =-，，，1(1

2BA =-. 12200AB BD =-++=，111430AB BA =-+-=， 1AB BD ∴⊥，11AB BA ⊥.

1AB ∴⊥平面1A BD ．

（Ⅱ）设平面1A AD 的法向量为()

x y z =，，n . (11AD =-，，1(020)AA =，，．

AD ⊥n ，1AA ⊥n ,

100AD AA ⎧=⎪∴⎨

=⎪

⎩，，n n 020x y y ⎧-+=

⎪∴⎨=⎪

⎩，，0y x =⎧⎪∴⎨=⎪⎩

，． 令1z =得(=，n 为平面1A AD 的一个法向量．