(完整版)大连理工大学高等数值分析有限元简述-2017

椭圆与抛物微分方程的有限元法
空间m H 作为例子，我们将考虑区间()0,1I =上的微分
方程。

用2()L I 表示在I 上勒贝格平方可积函数的集合，
()m H I 表示本身以及直到m 阶的导数都属于2()L I 的函数的集合。

我们下面用到的主要是1()H I 。

这里所说的导数准确地说是应该是广义导数，对此我们不予详细说明，只需知道比如说，连续的分片线性函数（折线函数）就属于1()H I ，其广义导数是分
片常数函数。

另外，我们还用到空间}0)0(),({)(11
=∈=v I H v I H E。

（空间=函数集合。

）
微分方程 考虑两点边值问题
(), (0,1)pu qu f x ''-+=∈
（1） (0)0u = （2）
0)1(='u
（3）
其中, , p q f 都是区间)1,0(上的光滑函数，0≥q , 并且0p p ≥，0p 是
一个正常数。

用)(1
I H E
中任一函数v 乘（1）式两端，并在]1,0[上积分，得
1
0[()]0pu v quv fv dx ''-+-=⎰ （4） 利用分部积分，并注意0)1(='u 和0)0(=v ，得
⎰⎰''+'-=''-1
01
1
0|)(dx v u p v u p vdx u p ⎰''=1
0dx v u p
以此代入到（4）得到
⎰=-+''1
00)(dv fv quv v u p （5） 为了方便，定义
()1
0,w v w vdx =⋅⎰ （7）
),(),(),(v qw v w p v w a +''=
（8）
则相应于微分方程（1）-（3）的变分方程为：求)(1
I H u E
∈满足
),(),(v f v u a = )(1
I H v E
∈∀ （9）
注意在（9）中不出现二阶导数。

可以证明，满足微分方程（1）-（3）的光滑解一定满足变分方程（9）。

（9）的解称之为（1）-（3）的广义解，它可能只有一阶导数，因此可能
不是（1）-（3）的解；但是如果它在通常意义下二阶可微，则一定也是（1）-（3）的解。

另外注意，在变分方程（9）中，我们强制要求广义解u 满足边值条件(0)0u =，因而称之为强制（或本质）边界条件；而对边值条件0)1(='u ，则不加要求。

但是可以证明，如果广义解u 在通常意义下二阶可微，则一定有0)1(='u ，即这个边界条件自然满足。

这类边界条件称之为自然边界条件。

总之，变分方程（9）不但降低了对解的光滑性的要求，也降低了对边值条件的要求。

有限元空间 构造有限元法的第一步与差分法一样，也是对求解区间作网格剖分0101n x x x =<<<=L。

相邻节点1,i i x x -之间
的小区间[]1,i i i I x x -=称为第i 个单元，其长度为1i i i h x x -=-。

记
max i h h =。

在空间1
()E
H I 中，按如下原则选取有限元空间h V ：它的元素()h u x 满足所谓本质边界条件(0)0h u =，在每一单元上是m 次多项式，并且在每个节点上都是连续的。

当1m =时，就得到最简单的线性元，这时每个h h u V ∈可表为
1
1(), i i h i i i i i
x x x x u x u u x I h h ----=
+∈，1,2,,i n =L （10）
其中(),i h i u u x = 0(0)0h u u ==。

图1. 一维线性元
线性元的另外一种表示方法是利用以下具有局部支集的基函数：
111
1,(
)1,0,i
i i
i
i
i i i i x x x x x h x x x x x x h ϕ-++-⎧+≤≤⎪⎪
⎪-=-≤≤⎨⎪
⎪⎪⎩
在别处
1,2,,1i n =-L （11）
11,()0,n
n n n n x x x x x h x ϕ--⎧+≤≤⎪=⎨
⎪⎩
在别处 （12）
图2. 线性元的基函数
显然，任一h h u V ∈可以表为
1()()n
h i i i u x u x ϕ==∑
（13）
有限元方程 将变分方程（9）局限在有限元空间上考虑，就得到有限元方程：求有限元解h h u V ∈满足
),(),(h h h v f v u a =
h h V v ∈∀ （14）
注意到h u 和h v 都可以表示成（13）形式，容易看出（14）等价于如下的线性方程组：求节点上的近似解1,,n u u L 满足
1(,)(,),1,,n
i j i j i a u f j n ϕϕϕ===∑L
（15）
这个线性方程组是三对角的，可以用追赶法求解。

可以把微分方程（1）、变分方程（9）和有限元方程（15）比喻为确定“好人”的三种标准：他每一时刻表现都好；每一个人都说他好；一个遴选委员会说他好。

误差估计 可以证明，微分方程（1）-（3）的解u 和有限元方程（14）或（15）的解h u 之间的误差满足
||||||||||||u Ch u u h u u h
h ''≤'-'+- （16）
其中C 是一个常数；||||• 表示2()L I 范数，定义为 12
2
b a v v dx ⎡⎤
==⎢⎥⎣⎦
⎰, 2()v L I ∀∈ （17）
二维椭圆方程有限元法 以二维区域上的Poisson 方程第一边值问题为例：
2222(,
)u u
f x y x y
∂∂--=∂∂，(,)x y G ∈ （18） |0u Γ=
（19）
其中G 是以Γ为边界的一个二维区域。

利用Green 公式，容易推出相应的变分方程：求10()u H G ∈满足
(,)(,)a u v f v =，1
()v H G ∀∈ （20）
其中空间10()H G 由在边界Γ上为零且广义偏导数在区域G 上勒贝格可积的所有函数组成， (,) dxdy G
w v wv ≡⎰⎰
（21）
(,)(
)G
w v w v a w v dxdy x x y y
∂∂∂∂=+∂∂∂∂⎰⎰ （22）
二维区域上最常用的剖分是形如下图的三角剖分：
我们可以相应地构造三角剖分上的线性元。

对内点集合h G （例如上图中3，6，5这三个点）中每个节点i ，定义其基函数(,)i x y ϕ为一个分片线性函数，它在节点i 取值为1，而在所有其他节点为0。

这样，有限元空间h V 中任一元素就可以表示成()()h
h i i i G u x u x ϕ∈=∑。

把它带入到变分方程（20）便得有限
元方程：求h G 上的近似解i u 满足 (,)(,),
h
i j i j h i G a u f j G ϕϕϕ∈=∀∈∑
（23）
高次元 可以从两个途径来提高有限元法的精度，一个是加密网格，另一个是利用高次元。

例如对于一维问题，可以使用所谓Hermite 三次元，它在每一个单元[]1,i i i I x x -=上是一个三次多项式，由两个端点上的函数值和导数值总共4个参数确定。

这时，相应于（16）我们有误差估计
||||||||||||)(3
4
k k h
h u Ch u u h u u ∑
=≤'-'+- （24）
其中()k u 表示k 阶导数。

对于二维问题也可以使用高次元，但是其定义要稍微复杂一点。

抛物方程有限元法 考虑一维抛物方程
(), 0<, 01u u
p qu f t T x t x x
∂∂∂-+=≤≤≤∂∂∂ （25）
0(,0)(), 01u x u x x =≤≤
（26）
(0,)0,
(1,)0, 0u
u t t t T x
∂==≤≤∂ （27）
其中系数,,p q f 都是x 和t 的已知光滑函数，初值0()u x 是x 的已知光滑函数。

它的变分方程为：求(,)u x t 使得对每一个固定的
[0,]t T ∈，都有1
(,)()E
u x t H I ∈，并且 1
(
,)(,)(,), ()E u v a u v f v v H I t
∂+=∀∈∂ （28）
其中
1
(,) dxdy w v wv ≡⎰
（29）
),(),(),(v qw x
v
x w p
v w a +∂∂∂∂= （30）
抛物方程有限元法的通常做法是在时间方向用差分法，在空间方向用有限元法。

象在（10）中那样，可以关于变量
x 构造线性有限元空间h V 。

令时间方向步长为τ。

若时间方向
用向前差商，空间方向用线性有限元，并记(,)k f f x k τ=，则有
限元方程为：对1,,/k K T τ==L ，逐层求1
() n k
k h
i i h i u u x V ϕ==∈∑满足
1(
,)(,)(,), k k k
k h h
h h h h h h u u v a u v f v v V τ
+-+=∀∈ （31）
这相当于在每一层要解一个线性方程组： 111
(,)(
)(,)(,), 1,,k k
n
n
k k i i i j i j i j i i u u a u f j n ϕϕϕϕϕτ
+==-+=∀=∑∑L
或者稍微整理一下： 1
11
1
(,)(,)(,)(,), 1,,n
n n
k k
k k i j i
i j i
i j i j i i i u
u a u f j n ϕϕϕϕτϕϕτϕ+====-+∀=∑∑∑L （32）
如果在时间方向用梯形公式，则类似于（31）得到所谓Crank-Nicolson 格式：
111(
,)(,)(,), 22
k k k k
k k
h h
h h h h h h h u u u u f f v a v v v V τ
+++-+++=∀∈
（33）
习题1 设边值条件为 (0)0u =，0)1(='u ，步长为h =0.5。

写出
相应的线性元的各个基函数，并图示。

习题2 假设如习题1，并设1p =，0q =，1f =，具体写出线
性元有限元方程相应的线性方程组。

习题3 仿照（32），将Crank-Nicolson 格式（33）写成线性方程组形式。

习题4 将边界条件（3）换成(1)0u =，试推出相应于（14）的有限元方程。