极限思想在高中数学的应用

极限思想在高中解题中的运用

宜宾县一中雷勇

极限的思想是近代数学的一种重要思想，我们在大学所学的数学分析就是以极限概念为基础、极限理论为主要工具来研究函数的一门学科。而在高中一些数学问题的解答上如运用极限的思想，会是我们的解答简单而高效。

所谓极限的思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。下面将用例题举出极限思想的妙处。尝试将极限思想和方法渗透、融合在解题教学中，实现方法与内容的整合实践，以期引起广大师生的广泛关注和高度重视。

例1、过抛物线

的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段

与

的长分别是

、

,则

等于（）

(A)

(B)

(C)

(D)

分析：本题是有关不变性的问题，常规解法是探求

的关系，过程繁琐，且计算较复杂。若能充分借助于极限思想即取PQ的极限位置可使问题变得简便易行：将直线PQ绕点F顺时针方向旋转到与

轴重合，此时Q与O重合，点P运动到无穷远处，虽不能再称它为抛物线的弦了，它是弦的一种极限情形，因为

，而

，所以

，故选择（C）。针对客观选择题题型的特点，这种解法体现出思维的灵活性和敏捷性，凸现了试题的选拔功能。

例2、正

棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是（）

A（

） B（

）

C（

） D（

）

分析：当正棱锥的顶角无限接近底面时，两侧面所成的二面角无限接近

.当正棱锥的高无限增大时，两侧面所成的二面角无限接近正

多边形的一个内角，即为

，因此，所求二面角的范围应为（

）

例3、已知长方形的四个项点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点

沿与AB夹角为

的方向射到BC上的点

后，依次反射到CD、DA和

AB上的点

、

和

（入射角等于反射角），设

坐标为

若

则

的取值范围是（）

A．

B．

C．

D．

分析：本题命制得很有趣，它把人们常见的台球活动模型迁移到数学试题中，考查了处理几何、代数问题的能力，是一个小型综合题，我们可以充分利用几何关系通过“极端位置”找出

的取值范围，根据极限的观点，令

，不妨令

与

重合，依据入射角等于反射角，即知

、

、

均为各边中点，此时

，而四个选择项中仅有选择项（C）与此数据有关，故选（C）例4、已知函数

，若存在

为实数，只要

，就有

，则

的最大值是

分析：作函数

与

的图像，平移f(x)的图像.使之与直线

交于（1，1）和

两点，此时所得的图像是

，图像的极端位置；于是解方程组

，再由

，得

，所以

例5、已知数列

中，

且对于任意正整数

，总有

，是否存在实数

，使得

，对于任意正整数

恒成立？若存在，给出证明；若不存在，说明理由。

分析: 如果这样的

存在的话，则由

，可得

。

对

两边取极限，得

，解得

或

。

若

，则数列

应该是以

为首项、以

为公比的等比数列，

于是，

，

不符合

显然，不可能对任意的正整数

都满足

；

若

，将

代入

，可求得

，此时，

，验证：

，不符合

。

所以，这样的实数

不存在。

例6、设n 为自然数，求证:

分析：当

时，不等式显然成立。

设

时，不等式成立，即

那么，当

时，

由于

，

证到此处，用数学归纳法证题思路受阻。

之所以用数学归纳法证题思路行不通，其原因在于

是一个常数，从

到

右边常量不变，而左边在增大，这样，无法使用归纳假设。

当联想

，且当

时，

，不妨把要证结论强化为：

证明：①当

时，

，不等式

成立，

②设

时，不等式

成立，即

那么，当

时，

即当

时，不等式

成立，所以有

通过以上例题可以看出，让学生掌握和运用极限思想，不仅降低了某些问题的解题难度，而且在寻找解题思路、探索发现新结论有着重大作用。