浅议数学概括

浅议数学概括

我国著名数学家、数学教育家华罗庚先生生前十分重视中学数学教育事业。他提出的读书公式：“豹厚—北在中学数学界乃至整个教育界广为流传和称颂。学生学习数学知识、技能和方法的过程是一个从不知到知，从知之不多到知之甚多的不断积聚的过程。这就是公式的第一步：“从薄到厚”。公式的第二步：“从厚到北是数学知识、技能的总结概括，思想方法的提炼升华的过程。而培养学生的数学概括能力，对学生正确认识数学，发展数学学习能力，优化学习效果都有相当重要的作用。

数学作为一门学科，它的本质特征之一是高度的抽象性和高度的概括性，数学本身就是客观世界的数量关系和空间形式的最抽象、最概括的反映。就数学教育而言，培养学生概括能力无疑是提高学生数学思维水平的一项重要内容。

什么是数学概括？曹才翰教授在《中学数学教学概论》中指出了它的意义：“其一，指在思想上把具有相同本质特性的事物联系起来；其二，是把被研究对象的本质特性推广为范围更广的包含这个对象的同类事物的本质特性。”

本文拟从中学数学教育的角度浅议数学概括，着重讨论中学数学教材涉及的数学通则通法的概括和数学迁移概括。

１数学通则通法的概括

１．１概括和再概括数学通则通法是数学教学研究的重要素材，包括定理、性质、公式和法则在内的数学教学内容是前人研究和总结出来的数学成果，是真知。数学教学的一个任务就

是要把这些数学成果用科学的教学方法传授给学生，使之能理解、掌握和应用。是把知识总结概括的过程停留在课本内容（包括每章后面的“小结”）上，还是让学生继续参与概括的过程去发现所知？我们采取了后者的做法。如最简三角方程ｓｉｎｘ＝ａ（ａ∈Ｒ）的解，课本从实例出发最后概括为（１）｜ａ｜＜１，（２）｜ａ｜＝１，（３）｜ａ｜＞１三种情形分别给出了解的公式。能否在这一层次上再度概括？教师首先提出比较三种情形的重要程度，学生从它们的应用范围出发而认为第一种最重要。教师继续提出能否将三种情形的讨论归结为一种情形？学生经过验证发现第一种情形的解ｘ＝ｋπ＋（－１）ｋａｒｃｓｉｎａ（ｋ∈Ｚ）对第二种情形完全适用。即当ａ＝１时不论ｋ为齐数或偶数，恒有ｘ＝２ｋπ＋π２（ｋ∈Ｚ），对ａ＝－１亦然。对第三种情形也能解释：即当｜ａ｜＞１时ａｒｃｓｉｎａ不存在，所以ｘ∈ 。这就是说，第一种情形的解的公式实质上已经概括了第二、三种情形的解。所以ｓｉｎｘ＝ａ（ａ∈Ｒ）的解就是ｘ＝ｋπ＋（－１）ｋａｒｃｓｉｎａ（ｋ∈Ｚ）。又如在实数集中研究含绝对值不等式的解，｜ｘ｜＜ａ及｜ｘ｜＞ａ的解课本是按ａ＞０，ａ＜０，ａ＝０三种情形讨论的，同上例一样，解的公式能再度概括。

１．２建模和扩模不论是把实际问题转化为数学问题，还是单纯解数学题，都离不开把问题和解决问题的方法进行比较分类，抽象概括出一种数学结构形式，然后利用这种结构形式来熟练地解决同类型的实际问题和数学问题。这就是从狭义的角度来认识建构数学模型。从这个意义上讲，数学模型是数学抽象概括的结果。数学中每一个计算公式、每一类方程、每一种函数都可以看作一个数学模型。在建模用模的同时，不应把模型看成僵化的、一成不变的东西，而应考虑模型及其功能的变化发展。如在学习了负数的平方根后，学生会解Δ＜０时的实系数一元二次方程，此后课本中又出现可用因式分解方法求解的虚系数一元二次方程，学生就提出：复数系数的一元二次方程是否有求根公式？经师生共同探讨，注意到复数集对

加减乘除、乘方开方各级运算都是封闭的，只是虚数的平方根尚无统一的符号表示，因此ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ，ｂ，ｃ∈Ｃ，ａ≠０）的求根公式应该是ｘ１，２＝－ｂ＋［（ｂ２－４ａｃ）的平方根］２ａ，这一概括形式穷尽了实系数一元二次方程求实根、求虚根以及教材上没有给出的一般虚系数一元二次方程的求根问题，若把实系数一元二次方程求实根、求虚根公式分别看作两个模型，则上述公式是包含这两个模型的更大的模型，建模扩模的结果满足了学生的求知欲。又如柱体、锥体作为台体的特例，它们的体积公式都可以统一为台体的体积公式，把三个体积公式看作三个模型，那么台体体积公式无疑是包含前两者的较大的模型，拟柱体体积公式Ｖ＝ｈ６（Ｓ１＋４Ｓ０＋Ｓ２）是一个更大的模型，它把柱锥台甚至球体的体积公式都作为它的特殊形式，它还可以跨越空间图形和平面图形的界限来表示梯形的面积（Ｓ０表示梯形中位线长），这一公式作为数学模型，它的形式未见变化，但它的功能扩大了，这是另一意义下的扩模。

２数学迁移概括

在学习过程中，先行学习和后续学习总是互相影响、互相干扰的，我们把这两者之间的影响、干扰称为“迁移”。学习甲时获得的一般数学原理方法如能适用于学习乙时，若能从学习甲、乙过程中概括出它们的共同的数学原理和方法，我们称之为数学迁移概括。求解二次方程，无论是分解因式还是开平方，都是为了降为一次方程，引导学生把降次法迁移到解特殊的高次方程上来，这就是一种数学迁移概括。许多学生对“ｘ＞１ ｘ≥１”这一推理的正确性持怀疑态度，认为结论中的“ｘ＝１”在前提中不存在，是无论如何推导不出的。又如对“ｚ∈Ｃ，ｚ＝１ ｚ＝ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ，θ∈Ｒ”学生也觉得不可思议。从逻辑学的角度看，上述两例均属选言判断。即Ａｉ（ｉ＝１，２，３，…，ｎ）为第ｉ个事件，则Ａ１∪Ａ２∪…∪Ａｍ Ａ１∪Ａ２∪…∪Ａｎ对ｍ≤ｎ（ｍ，ｎ∈Ｎ）恒成立。但学生接受有

困难，换个讲法学生就容易接受：前一例结论改为ｘ≦１，后一例结论改为｜ｚ｜＝１（即结论改用等价命题形式）。集合观念较强的学生能对这类问题进行概括，利用子集的定义予以透彻的解释。依据“Ａ Ｂ ｘ∈Ａ ｘ∈Ｂ”，则对前一例设Ａ＝｛ｘ｜ｘ＞１，ｘ∈Ｒ｝，Ｂ＝｛ｘ｜ｘ≥１，ｘ∈Ｒ｝，有Ａ Ｂ。而ｘ∈Ａ即ｘ＞１，ｘ∈Ｂ即ｘ≥１。对后一例，设Ａ＝｛１｝，Ｂ＝｛ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ｜θ∈Ｒ｝可作同样解释。再如充分条件、必要条件分别作为具有某种条件的元素构成的集合，那么命题的前提和结论的关系就是两个集合间的包含关系。可见把这一类问题提到集合思想观念的高度来认识处理，这实际上就是把子集概念的数学结构迁移概括到一些特殊数学事实的认识和处理上了。对中学数学教材结构体系，学生一般了解不深，但能粗浅地认识到数学教材总是从建立公理、定义概念开始，一步步演绎出一系列的数学知识和方法，有的同学还能注意到教材中定理、公式出现的逻辑顺序，并从自己的学习经验中意识到用前一个定理的结果去推证后一定理（或推论），比用定义、概念出发去推证更为简易。所有这些实质上是对数学公理化思想的点滴意会。高中代数“不等式”一章着重介绍了两个重要不等式：定理１和定理２。其中定理２的证明用到初中因式分解一个要求较高的题目：“ａ３＋ｂ３＋ｃ３－３ａｂｃ＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ２＋ｂ２＋ｃ２－ａｂ－ｂｃ－ａｃ）”。学生对此觉得突然，能不能另辟蹊经？能不能把定理２作为定理１的推论来证明？同学们经过尝试后很快就得到新的证法：ａ３＋ｂ３＋ｃ３≥３ａｂｃ。验证各式等号成立的条件综合为ａ＝ｂ＝ｃ。学生的思维活动实质上是把公理化这一数学思想迁移概括到教材定理的推理论证，从而获得了新知。

３数学概括能力的培养

３．１必须重视数学知识发展过程的教学数学具有逻辑严谨的特点，新概念（新知识）往往是在原有概念（旧知识）的基础上引进和建立的。合理组织教学活动，加强新旧知识的联系