人教版七年级下册数学期中专题复习
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(4)若按以上规律，猜想并直接写出 ∠CAP1+∠AP1P2+…+∠P5BD的度数(不必写出过 程)．
解：(1)因为CM∥DN． 所以∠CAB+∠ABD=180°； (2)点P1作平行于CM和DN的平行线， 所以∠AP1E+∠CAP1=180°，∠EP1B+∠P1BD=180°， 所以
2．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，且 AD＜BC，三角形ABC平移到三角形DEF的 位置．
(1)指出平移的方向和平移的距离；
(2)试说明AD+BC=BF．
2．解：(1)平移的方向是点A到点D的方向， 平移的距离是线段AD的长度；
(2)因为三角形ABC平移到三角形DEF的位 置，
再向下平移5个格，经过的区域是长是5， 宽是4的矩形，面积是5×4=20．
则在正方形ABCD平移到正方形EFGH的过 程中，所经过或覆盖的区域的面积为 12+20=32．
专题4 利用平行线的性质求角
如图，DB∥FG∥EC，∠ACE=36°， AP平分∠BAC，∠PAG=12°，求 ∠ABD的度数．
a，b，c两两相交如图(2)，所以三条直线互 不重合，交点有0个或1个或2个或3个，共 四种情况．
专题二 相交线所成的角 2．如图，直线AB与CD相交于点O，OD恰
为∠BOE的角平分线． (1)写出∠AOD所有的的补角； (2)若∠AOD=150°，求∠AOE的度
数．
2.解：(1)∠AOC、∠BOD、∠EOD；
(2)因为∠AOD=150°，
所以∠BOD=180°－∠AOD ＝180°－ 150°＝30°．
因为OD为∠BOE的角平分线，所以 ∠EOD=∠BOD=30°，
所以∠AOE=∠AOD﹣∠EOD＝140°－ 30°=110°．
3．如图，直线AB，CD，EF交于点O， ∠BOC=46°．射线OE平分∠BOC，求：
∠APC=∠PAB+∠PCD； 图2：∠APC+∠PAB+∠PCD=360°． 理由：过点P作PE∥AB． 因为AB∥CD， 所以AB∥PE∥CD(平行关系的传递性)， 所以∠A+∠1=180°，∠2+∠C=180°， 所以∠A+∠1+∠2+∠C=360°， 所以∠APC+∠PAB+∠PCD=360°；
如图，∠BAF=46°，∠ACE=136°， ∠DCE=90°．问CD∥AB吗？为什么？
解：CD∥AB． 理由：因为∠DCE=90°，∠ACE=136°， 所以∠ACD=360°﹣136°﹣90°=134°， 因为∠BAF=46°，
所以 ∠BAC=180°﹣∠BAF=180°﹣46°=134 °，
专题 3 平移的性质
1．如图所示，在长方形菜地内修建了条弯 曲的柏油小路(小路任何地方的水平宽度都 相同)．已知长方形的水平方向的边长为6米， 竖直方向的边长为4米，菜地的面积为18平 方米，求小路的宽度．
1．解：设小路的宽为x米，根据题意得， 4(6-x)=18 4x=6×4﹣18， 解得x=1．5米． 答：小路的宽为1.5米。
解：因为AB∥CD，∠B=40°， 所以
∠BCE=180°﹣∠B=180°﹣40°=140°， 因为CN是∠BCE的平分线， 所以∠BCN= ∠BCE= ×140°=70°， 因为CM⊥CN， 所以∠BCM=20°．
∠CAP1+∠AP1B+∠P1BD=∠AP1E+∠CAB+∠EP1B+∠P1 BD=180°+180°=360°； (3)过点P1、P2作平行于CM和DN的平行线， 所以∠AP1E+∠CAP1=180°，∠EP1P2+∠P1P2F=180°， ∠FP2B+∠P2BD=180°， 所以 ∠CAP1+∠AP1P2+∠P1P2B+∠P2BD=∠AP1E+∠CAB+∠ EP1P2+∠P1P2F+∠FP2B+∠P2BD=3×180°=540°； (4)∠CAP1+∠AP1P2+…+∠P5BD=6×180°=1080°．
所以CF=AD， 因为CF+BC=BF， 所以AD+BC=BF．
3.如图，在小方格的边长为1的方格纸中， 将正方形ABCD先向右平移3格，再向下平 移5格，得到正方形EFGH，求正方形 ABCD平移到正方形EFGH的过程中，所经 过或覆盖的区域的面积为多少？
3.解：图象向右平移3个格，则覆盖的区域 以及进过的区域是一个长是4，宽是3的矩 形，则面积是4×3=12；
3．解：因为FG∥EC， 所以∠ACE=∠CAG=36°， 因为∠PAC=∠CAG+∠PAG， 所以∠PAC=36°+12°=48°， 因为AP平分∠BAC， 所以∠PAC=∠BAP=48°， 因为DB∥FG，
所以 ∠ABD=∠BAG=48°+∠PAG=48°+12° =60°．
Fra Baidu bibliotek
图3：∠APC=∠PCD﹣∠PAB． 理由：延长DC交AP于点E． 因为AB∥CD， 所以∠1=∠PAB(两直线平行，同位角相等)； 又因为∠PCD=∠1+∠APC， 所以∠APC=∠PCD﹣∠PAB； 图4：所以∠PAB=∠APC+∠PCD． 理由：因为AB∥BC， 所以∠1=∠PAB(两直线平行，内错角相等)； 又因为∠1=∠APC+∠PCD， 所以∠PAB=∠APC+∠PCD．
专题一 平面内直线交点的交点个数
1．在同一平面内三条直线交点有多少个？ 甲：同一平面三直线相交交点的个数为0个，因为a∥b∥c ，如图(1)所示． 乙：同一平面内三条直线交点个数只有1个，因为a，b，c 交于同一点O，如图(2)所示． 以上说法谁对谁错？为什么？
．1.解：甲、乙说法都不对，都少了三种情 况．a∥b，c与a，b相交如图(1)；
专题5 平行线的判定
如图，直线AB过点C，∠2=62°， ∠D=59°，∠1=∠3，AB∥DE吗？为 什么？
解：AB∥DE．理由如下：因为∠2=62°， ∠1=∠3(已知)
∠1+∠2+∠3=180°(平角定义) 所以∠1=∠3=59°． 又因为∠D=59°，(已知) 所以∠1=∠D．(等量代换) 所以AB∥DE．(内错角相等，两直线平行)
(1)∠2和∠3的度数；
(2)射线OF平分∠AOD吗？请说明理由．
3.解：(1)因为∠BOC=46°，而射线OE 平分∠BOC，
所以∠1=23°， 而∠2+∠BOC=180°， 所以∠2=180°﹣46°=134°， 而∠1+∠2+∠3=180°， 所以∠3=23°； (2)因为∠3=23°， 而∠AOD=∠BOC=46°， 所以OF平分∠AOD
所以CD∥AB．
已知：如图，∠1=∠2，∠A=∠C．试说明： AE∥BC．
因为∠1=∠2， 所以DC∥AB， 所以∠A+∠ADC=180°． 又因为∠A=∠C， 所以∠ADC+∠C=180°， 所以AE∥BC．
如图，已知AB∥CD，∠B=40°，CN是 ∠BCE的平分线，CM⊥CN，求∠BCM的 度数．
如图，点A、B分别在直线CM、DN上，CM∥DN．
(1)如图1，连接AB，则∠CAB+∠ABD= ；
(2)如图2，点P1是直线CM、DN内部的一个点，连接 AP1、BP1．求证： ∠CAP1+∠AP1B+∠P1BD=360°；
(3)如图3，点P1、P2是直线CM、DN内部的一个点， 连接AP1、P1P2、P2B．试求 ∠CAP1+∠AP1P2+∠P1P2B+∠P2BD的度数；
如图所示，已知AB∥CD，分别探讨下面四 个图形中，∠APC，∠PAB与∠PCD的关 系．
解：图1：∠APC=∠PAB+∠PCD． 理由：过点P作PE∥AB， 因为AB∥CD， 所以AB∥PE∥CD(平行关系的传递性)， 所以∠1=∠A，∠2=∠C， 所以∠APC=∠1+∠2=∠PAB+∠PCD，即
解：(1)因为CM∥DN． 所以∠CAB+∠ABD=180°； (2)点P1作平行于CM和DN的平行线， 所以∠AP1E+∠CAP1=180°，∠EP1B+∠P1BD=180°， 所以
2．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，且 AD＜BC，三角形ABC平移到三角形DEF的 位置．
(1)指出平移的方向和平移的距离；
(2)试说明AD+BC=BF．
2．解：(1)平移的方向是点A到点D的方向， 平移的距离是线段AD的长度；
(2)因为三角形ABC平移到三角形DEF的位 置，
再向下平移5个格，经过的区域是长是5， 宽是4的矩形，面积是5×4=20．
则在正方形ABCD平移到正方形EFGH的过 程中，所经过或覆盖的区域的面积为 12+20=32．
专题4 利用平行线的性质求角
如图，DB∥FG∥EC，∠ACE=36°， AP平分∠BAC，∠PAG=12°，求 ∠ABD的度数．
a，b，c两两相交如图(2)，所以三条直线互 不重合，交点有0个或1个或2个或3个，共 四种情况．
专题二 相交线所成的角 2．如图，直线AB与CD相交于点O，OD恰
为∠BOE的角平分线． (1)写出∠AOD所有的的补角； (2)若∠AOD=150°，求∠AOE的度
数．
2.解：(1)∠AOC、∠BOD、∠EOD；
(2)因为∠AOD=150°，
所以∠BOD=180°－∠AOD ＝180°－ 150°＝30°．
因为OD为∠BOE的角平分线，所以 ∠EOD=∠BOD=30°，
所以∠AOE=∠AOD﹣∠EOD＝140°－ 30°=110°．
3．如图，直线AB，CD，EF交于点O， ∠BOC=46°．射线OE平分∠BOC，求：
∠APC=∠PAB+∠PCD； 图2：∠APC+∠PAB+∠PCD=360°． 理由：过点P作PE∥AB． 因为AB∥CD， 所以AB∥PE∥CD(平行关系的传递性)， 所以∠A+∠1=180°，∠2+∠C=180°， 所以∠A+∠1+∠2+∠C=360°， 所以∠APC+∠PAB+∠PCD=360°；
如图，∠BAF=46°，∠ACE=136°， ∠DCE=90°．问CD∥AB吗？为什么？
解：CD∥AB． 理由：因为∠DCE=90°，∠ACE=136°， 所以∠ACD=360°﹣136°﹣90°=134°， 因为∠BAF=46°，
所以 ∠BAC=180°﹣∠BAF=180°﹣46°=134 °，
专题 3 平移的性质
1．如图所示，在长方形菜地内修建了条弯 曲的柏油小路(小路任何地方的水平宽度都 相同)．已知长方形的水平方向的边长为6米， 竖直方向的边长为4米，菜地的面积为18平 方米，求小路的宽度．
1．解：设小路的宽为x米，根据题意得， 4(6-x)=18 4x=6×4﹣18， 解得x=1．5米． 答：小路的宽为1.5米。
解：因为AB∥CD，∠B=40°， 所以
∠BCE=180°﹣∠B=180°﹣40°=140°， 因为CN是∠BCE的平分线， 所以∠BCN= ∠BCE= ×140°=70°， 因为CM⊥CN， 所以∠BCM=20°．
∠CAP1+∠AP1B+∠P1BD=∠AP1E+∠CAB+∠EP1B+∠P1 BD=180°+180°=360°； (3)过点P1、P2作平行于CM和DN的平行线， 所以∠AP1E+∠CAP1=180°，∠EP1P2+∠P1P2F=180°， ∠FP2B+∠P2BD=180°， 所以 ∠CAP1+∠AP1P2+∠P1P2B+∠P2BD=∠AP1E+∠CAB+∠ EP1P2+∠P1P2F+∠FP2B+∠P2BD=3×180°=540°； (4)∠CAP1+∠AP1P2+…+∠P5BD=6×180°=1080°．
所以CF=AD， 因为CF+BC=BF， 所以AD+BC=BF．
3.如图，在小方格的边长为1的方格纸中， 将正方形ABCD先向右平移3格，再向下平 移5格，得到正方形EFGH，求正方形 ABCD平移到正方形EFGH的过程中，所经 过或覆盖的区域的面积为多少？
3.解：图象向右平移3个格，则覆盖的区域 以及进过的区域是一个长是4，宽是3的矩 形，则面积是4×3=12；
3．解：因为FG∥EC， 所以∠ACE=∠CAG=36°， 因为∠PAC=∠CAG+∠PAG， 所以∠PAC=36°+12°=48°， 因为AP平分∠BAC， 所以∠PAC=∠BAP=48°， 因为DB∥FG，
所以 ∠ABD=∠BAG=48°+∠PAG=48°+12° =60°．
Fra Baidu bibliotek
图3：∠APC=∠PCD﹣∠PAB． 理由：延长DC交AP于点E． 因为AB∥CD， 所以∠1=∠PAB(两直线平行，同位角相等)； 又因为∠PCD=∠1+∠APC， 所以∠APC=∠PCD﹣∠PAB； 图4：所以∠PAB=∠APC+∠PCD． 理由：因为AB∥BC， 所以∠1=∠PAB(两直线平行，内错角相等)； 又因为∠1=∠APC+∠PCD， 所以∠PAB=∠APC+∠PCD．
专题一 平面内直线交点的交点个数
1．在同一平面内三条直线交点有多少个？ 甲：同一平面三直线相交交点的个数为0个，因为a∥b∥c ，如图(1)所示． 乙：同一平面内三条直线交点个数只有1个，因为a，b，c 交于同一点O，如图(2)所示． 以上说法谁对谁错？为什么？
．1.解：甲、乙说法都不对，都少了三种情 况．a∥b，c与a，b相交如图(1)；
专题5 平行线的判定
如图，直线AB过点C，∠2=62°， ∠D=59°，∠1=∠3，AB∥DE吗？为 什么？
解：AB∥DE．理由如下：因为∠2=62°， ∠1=∠3(已知)
∠1+∠2+∠3=180°(平角定义) 所以∠1=∠3=59°． 又因为∠D=59°，(已知) 所以∠1=∠D．(等量代换) 所以AB∥DE．(内错角相等，两直线平行)
(1)∠2和∠3的度数；
(2)射线OF平分∠AOD吗？请说明理由．
3.解：(1)因为∠BOC=46°，而射线OE 平分∠BOC，
所以∠1=23°， 而∠2+∠BOC=180°， 所以∠2=180°﹣46°=134°， 而∠1+∠2+∠3=180°， 所以∠3=23°； (2)因为∠3=23°， 而∠AOD=∠BOC=46°， 所以OF平分∠AOD
所以CD∥AB．
已知：如图，∠1=∠2，∠A=∠C．试说明： AE∥BC．
因为∠1=∠2， 所以DC∥AB， 所以∠A+∠ADC=180°． 又因为∠A=∠C， 所以∠ADC+∠C=180°， 所以AE∥BC．
如图，已知AB∥CD，∠B=40°，CN是 ∠BCE的平分线，CM⊥CN，求∠BCM的 度数．
如图，点A、B分别在直线CM、DN上，CM∥DN．
(1)如图1，连接AB，则∠CAB+∠ABD= ；
(2)如图2，点P1是直线CM、DN内部的一个点，连接 AP1、BP1．求证： ∠CAP1+∠AP1B+∠P1BD=360°；
(3)如图3，点P1、P2是直线CM、DN内部的一个点， 连接AP1、P1P2、P2B．试求 ∠CAP1+∠AP1P2+∠P1P2B+∠P2BD的度数；
如图所示，已知AB∥CD，分别探讨下面四 个图形中，∠APC，∠PAB与∠PCD的关 系．
解：图1：∠APC=∠PAB+∠PCD． 理由：过点P作PE∥AB， 因为AB∥CD， 所以AB∥PE∥CD(平行关系的传递性)， 所以∠1=∠A，∠2=∠C， 所以∠APC=∠1+∠2=∠PAB+∠PCD，即