波导模式理论小结

=0.85 m的光波也不能传播。 光通信工作波长在1.31 m和1.55 m，早期的协议规定用 1.31 m，如果取 0.003 ， n1=1.46，则光纤的半径应该 满足：
a 0.38 / n1 2 4.38 m
这就是单模光纤直径选在8~9 m的依据。
3. 多模光纤中的模式数量
' J m U J UJ m U ' K m W K WK m W
• 其中
• 弱导波光纤（<<1）特征方程：
' ' J m U K m W 1 1 m 2 2 UJ m U WK m W W U
三、利用特征方程的讨论
mn
2 Pcore W 2 U 2 Km W 2 1 2 P V W Km1 W Km1 W
W2 2 V
2 J m U 1 J U J U m 1 m 1
• 两种极端状态： – 远离截至状态：功率几乎集中在纤芯传输；
表示轴向相位常数，与波矢量k0和横向传播常数kc之 间有确定关系： 2 k 2n2
2 2 k0 n2 2 kc2
0
2 2 U 2 k0 n1 - 2 a 2 0
k c2
V
W2
U 2 W 2 V 2
V k0 a n - n
2 1 2 2
2
U2
2a

n -n
m = 0、1、2、- - -
ra
ra
• 其中：
பைடு நூலகம்N m kc r —— 第二类贝塞尔函数 K m ac r 和 I m ac r
变态贝塞尔函数
J m k c r —— 第一类贝塞尔函数
纤芯内场量在半径方向的分布：第一类贝塞尔函数
J 0 X 1 m x 0 1 X J m X m! 2 x 2 m J m X cos X X 4 2
H z1
cos m jz B1 J m k c r sin m e
sin m jz A2 K m ac r cos m e cos m jz B2 K m ac r sin m e
2 Ur n1 J m a 2 1 A2 J m U * Sz E y H x cos2 m 2 2 Z0 2 n2 K m Wr a K 2 W m
ra
r>a
• LPmn模在纤芯中传输的功率因子：
HE 混合模的截止频率
a) m = 1 ，截止状态特征方程为： U c J 1 U c 0 • 归一化截至频率为：
U c Vc 0 u1,n 1 0,0.3832,7.016 （一阶贝塞尔函数的零点）
• 其中HE 11模是光纤中的主模 —— 理想极限： U 其截止频率为： c Vc 0 截至波长为： c HE11 可以以任意低的频率在光纤中传播，不存在截止。
b)
•
m 2，截止状态特征方程为：
J m2 U c 0
归一化截止频率为：
U c Vc u m 2,n
（ m = 2、3、4 - - -，n =1、2、3 - - - ） m是贝塞尔函数的阶数，n是贝塞尔函数的零点； • 当m = 2时，就是零阶贝塞尔函数的根，与TE01模和 TM01模具有相同的截止参数，成为简并模。
1. 导波模的分类 1) TM模和TE模 • 对弱导光纤有相同的特征方程： J 1 U K1 W 0 UJ 0 U WK 0 W • TE波或 TM波在光纤中存在条件是m = 0，意味着场 量不是的函数，在光纤中呈轴对称分布，只能以子 午光线形式传播。 2) EH模和HE模——混合模 • 则在弱导光纤条件下，EH、HE模有与TM、TE模相同 的特征方程。
V 2 V M 4 2
2 m cosU U 4 2
• 常用的估算公式： M V 2 / 2 2 式中： V 2 k02a 2 n12 n2
4.
阶跃折射率光纤中的功率流
• 沿光纤轴向单位横截面中传输的功率：
x 0
包层内场量在半径方向的分布：变态贝塞尔函数
2 K0 X ln X m x 0 1 2 K m X m 1! 2 X
Km X
x
x 0
e X 2X
纵向分量Ez 和 Hz的特点：
1. 1) 2) 3) 4) 2. 1) 在纤芯内 沿半径方向场量呈驻波分布，用贝塞尔函数描述。 在圆周方向场量呈sin m 或 cos m 驻波分布，m是沿圆 周方向出现最大值的对数。 m = 0 对应子午光线。 沿z轴呈行波状态，波的相位常数为。 在包层内 沿半径方向呈渐消场，用变态贝塞尔函数描述，以保证电 磁波能量集中在纤芯和边界面附近。
2 2 H Z k0 n 2 H Z 0
2 2 H T k0 n 2 H T 0
1 Ez 1 2 Ez k02n 2 - Ez 0 r 2 r r r r 2
1 H z 1 2 H z k02n 2 - H z 0 r 2 r r r r 2
n 1,2,3
u 0 n 2.405， 5.520， 8.654，- - -零阶贝塞尔函数的根
光纤中任意一个传播模式必须满足波导参数大于截止频率： 2 2 2 1/ 2 V Vc a n1 n2 c 满足最低归一化频率模（ TE01和TM01）的截止波长: 2 2 2 1/ 2 2 c TE01 , TM 01 a n1 n2 2.613a n12 n2 2.405
2.
1)
导波模的截止参数和单模传输条件
TE模和TM模的截止频率 在W 0 条件下，由特征方程
J 1 U K1 W 0 UJ 0 U WK 0 W
解得其截止状态的特征方程为： J 0 U c 0
即归一化截止频率是零阶贝塞尔函数的零点（根）：
U c Vc u 0 n
m 1,2,3
n 1,2,3
最小归一化频率为： c Vc 3.832 U
最小截止波长为： 2 2 c a n12 n2 3.832


1/ 2
2 1.640a n12 n2
3)
•
J m1 U K m1 W 0 在W 0 条件下，由特征方程 UJ m U WK m W 其截止状态特征方程分为两种情况：
mn W 2 / V 2 1
– 截至状态：
0 n 1n 0
mn 1
1 m
m=0，1 m>2
波导模式理论小结
（阶跃光纤部分） 2006年3月
一、阶跃光纤的矢量模解
• 三维矢量波动方程分解成横向分量和纵向分量
2 2 E - k0 n 2 E 0 2 2 H - k0 n 2 H 0
2 2 E Z k0 n 2 E Z 0
2 2 ET k0 n 2 ET 0
例：某光纤 a = 4.0m， 0.003 ，纤芯折射率n1=1.48， • 对TE01和TM01模：
2 2 c TE01, TM 01 2.613a n1 n2 1.20 m
最简单的模式TE01模和TM01在工作波长 =1.31 m时不能 传播，只能传播=0.85 m的光波。 • 对EH 11模： 2 2 c 1.640a n1 n2 0.75 m
• 截止状态下的特征方程为：
J m1 U J m1 U c o
• 因 V 2 U 2 W 2，当W=0时， U c V • 利用贝塞尔函数的渐近式：
J m U
U
• 特征方程改写成： U C 2n m V 2 • 利用作图法并考虑模之间的简并，其模式数量近似等于：
圆柱面波导波动方程纵向分量的微分方程
• 用分离变量法解二阶偏微分方程，得到关于R 和 两个解。
cos m sin m
J m kc r R r N k r m c
K m ac r R r I a r m c
2 1 2 2
2a

NA
二、导波模的特征方程
• 利用边界条件（边界场的切向分量连续）确定特征方 程：
n12 1 n12 1 1 1 2 J K 2 J K m 2 2 2 2 2 n W n2 U W U 2


阶跃光纤低阶模的场分布
2)
•
J m1 U K m1 W 在W 0 条件下，由特征方程 UJ U WK W 0 m m 解得其截止状态特征方程为 Jm（Uc）= 0
EH混合模的截止频率
即归一化截至频率UC 是m阶贝塞尔函数的零点：
U c Vc u mn
2)
3)
在圆周方向场量分布和纤芯内相同，以保证满足界面边界 条件。
具有表面波特性。否则成为辐射波而不是导波。
纵向分量（3.2）式场解用贝塞尔函数表示，则有：
E z1
纤芯内 的场解
sin m jz A1 J m k c r cos m e
A1， B1是 待定常数 （3.8）
包层内 的场解
Ez2 H z2
A2， B2是 待定常数 （3.9）
注意两个贝塞尔函数的差异。
引入两个参数： U kc a ——表示纤芯内场沿半径a方向分布规律 kc ——纤芯内横向传播常数
W ac a ——表示包层内场沿半径a方向衰减程度 ac ——包层内横向衰减系数 2 2 W 2 2 - k0 n2 a 2 0