河南省郑州四中高三年级第五次月考数学试题(理科)

河南省郑州四中2007-2008学年高三年级第五次月考

数学试题（理科）

2007.12.23

一．选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）

1的虚部是 A ．i -

B ．-1

C ．1

D ．i

2．集合Q P x y y Q R a a a x x P 则},2|{},,23|{2-=

=∈+-===

A ．),0[+∞

B ．),4

1

[+∞-

C ．),2[+∞

D ．φ

3．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

4．函数)10(|

|<<=a x xa y x 的图象的大致形状是

5．圆02422=-+=+y x y x 上到直线的距离等于1的点的个数为

A ．3

B ．2

C ．1

D ．0

6．函数y = )a x a ≥的反函数是

A ．y ＝(x －a)2－a (x≥a)

B ．y ＝(x －a)2＋a (x≥a)

C ．y ＝(x －a)2－a (x≤a)

D ．y ＝(x －a)2＋a (x≤a)

7．已知m ∈R ，函数3()f x x mx =-在[1，+∞）上是单调增函数，则m 的最大值是

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若9S =18，n S =240，4n a -=30，则n 的值为 A ．18 B ．17 C ．16 D ．15

9．以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是

A ．33

87C C

B ．4

8C

C ．4

86C -

D ．4

812C -

10．已知双曲线12

22=-y a

x ()0>a 的一条渐进线与直线032=+-y x 垂直，则该双曲线的准线方程是

A ．23±

=x B ．2

5±=x C ．334±=x D ．554±=x 11．下列四个命题中，不正确．．．

的是 A ．若函数()f x 在0x x =处连续，则)(lim )(lim 0

x f x f x x x x -

+→→= B ．若函数()f x 、()g x 满足lim[()()]0x f x g x →∞

-=，则lim ()lim ()x x f x g x →∞

→∞

=

C ．函数()f x =

23

9

x x +-的不连续点是x =3和x =-3 D ．2

1

11lim

1

=--→x x x 12．已知偶函数]0,1[)(-=在x f y 上为增函数，又βα，为锐角三角形的两内角，则必须

A ．)(cos )(sin βαf f >

B ．)(cos )(sin βαf f <

C ．)(sin )(sin βαf f >

D ．)(cos )(cos βαf f >

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13

．6

1)x

的展开式中的常数项为 ．(用数字做答)

14．已知直线l 的斜率为k ，且过点P (,)-20，抛物线C y x :()241=+，直线l 与抛物线C 有两个不同的交点,则k 的取值范围是 ．

15．若x 、y 满足⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0

09382y x y x y x ，，，则y x z 2+=的最大值为________．

16．半径为25的球面上有A 、B 、C 三点，AB=6，BC=8，AC=10，则球心到平面ABC 的距离为 ．

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分10分）

已知向量3(sin ,),(cos ,1).2

a x

b x ==- （1）当//a b 时，求2

2cos sin 2x x -的值； （2）求函数x f ∙+=)()(当∈x ,02π⎡⎤

-

⎢⎥⎣⎦

时的值域．

18．（本小题满分12分）

有一个4×5×6的长方体, 它的六个面上均涂上颜色．现将这个长方体锯成120个1×1×1的小正方体，

从这些小正方体中随机地任取1个．

（1）设小正方体涂上颜色的面数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

（2）如每次从中任取一个小正方体，确定涂色的面数后，再放回，连续抽取6次，设恰好取到两面涂有颜色的小正方体次数为η．求η的数学期望．

19．（本小题满分12分）

如图：正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点，AA 1=AB=1．

（1）求证：A 1C//平面AB 1D ；

（2）求二面角B —AB 1—D 的大小； （3）求点C 到平面AB 1D 的距离．

20．（本小题满分12分）

已知等比数列{}n a ，n S 是其前n 项的和，且1345,15a a S +==． （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设25

log 2

n n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ； （3）比较（2）中n T 与3

12(1,2,3)2

n n +=⋅⋅⋅的大小，并说明理由．

21．（本小题满分12分）

设P(x,y)为椭圆x a y b

222

21+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β．