基于神经网络方法的期权定价研究

2*in，Daivid 的（in*out）/2 规则。其中，in 表示输入变量个数，out 表示输出变量个数。
6.确定最优的预测周期
训练成功后，对权证价格进行预测，本文进行了多组预测，ANN1 是利用训练的网络预测一天后的权证价
格，ANN5 是利用训练的网络预测后五天的权证价格。通过比较各个模型的预测效果得出最优的预测周期。
图 2 认购权证训练误差曲线
从图 2 可以看出这次训练是非常成功的，在十几次以后误差就已经达到了 10-4 以下。然而人工神经网络 模型的成功与否的关键是能否正确利用训练好的网络来预测区间外的数据。利用训练好的网络预测权证价 格。不失一般性，选择了隐含层为 10 个神经元的神经网络模型为例，其中 ANN1 表示利用训练好的模型向后 预测一期得到的一系列权证价格，ANN5 表示利用训练好的模型向后预测五期得到的一系列权证价格。如图 3 所示：
基于神经网络方法的期权定价研究
王启敢 张艳锋
（中南财经政法大学 信息学院，湖北 武汉 430060）
摘 要 ：人工 神经 网 络是 一种 非 线性 非参 数 模型 , 它不 对 市场 和变 量 做任 何的 主 观假 设。 所 以它 具有 许 多存 在假 设条 件的 模 型所 无法 具 备的 优点 。 通过 选 择输 入和 输 出变 量，设 置 BP 神 经网 络 的结 构，选 择 预测 期限 就 可以 训练 该神 经网 络 模型 ，训练 成 功后 即可 对 我国 的权 证 进行 预测 。并 利用 四 个误 差指 标 来评 价模 型 定价 结 果的 优劣 ，实证 研究 发现 神 经网 络方 法 在我 国权 证 市场 的 定价 效果 要 好于 B-S 定 价 方法 。
型的输入参数。由于权证的执行价格一般不发生变化，而无风险利率在短期内变化的幅度也比较小，所以我
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们以三项因子即：股价、权证距离到期日所剩时间和标的股价波动率作为 BP 模型的输入。为了评价各个模 型结果的优劣，本文采用平均误差（MD）、均方误差（MSD）、平均绝对误差（MAD）和平均绝对百分比误差 （MPD）这四个指标来评价模型中估计价格与市场价格的差别，然后对 BP 模型、B-S 模型结果进行比较分析。
C=SN（d1）-Xe-（r T-t）N（d2）
（1）
其中 C 为 t 时刻期权的价格，其中 S 表示股票价格，r 表示无风险利率，表示波动率，T 为期权的执行日
期，N（x）表示累积正态分布，1=ln（ / ）+（ + 2/2）（ ），2= 1
。
然而 B-S 模型有五条严格的假设：（1）允许卖空证券，没有交易费用，税收和保证金，证券高度可分，交易 连续。（2）衍生证券的存续期内没有红利支付。（3）无风险利率为常数，投资者可以任意的储蓄和借款。（4） 不存在套利机会。（5）股票价格遵循几何布朗运动。在我国的权证市场上述的五个条件都无法得到满足，那 么在这样的假设下就有可能导致权证定价的系统性偏差。
三 、实 证 研 究
本文采用权证—江西铜业 CWB1（代码 580026）作为研究对象，选取 2008 年 10 月 10 日至 2009 年 05 月
27 日共 152 个交易日的数据和其标的资产江西铜业（代码 600362）2008 年 8 月 26 日到 2009 年 05 月 27 日共
179 个交易日的数据。
7.对于不同模型预测结果进行评价
本文采用平均误差（MD）、均方误差（MSD）、平均绝对误差（MAD）和平均绝对百分比误差（MPD）这四个
指标对模型的预测结果进行评价。其中：
（6）
（7）
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（8）
（
（9） 其中的 yi 为实际值，y为模型的预测值。 （二）实证研究结果 利用已知数据和具体的程序可以求出 B-S 和各种神经网络方法计算出的权证价格。计算结果是利用 MATLAB 6.5 编程得到。[2（] P265）图 2 是认购权证训练误差曲线的其中一个：
BP 神经网络分为三个层次：输入层、隐含层和输出层。输入，隐含与输出层的神经元个数根据具体的问 题来确定。如图 1 所示：
图 1 神经网路的结构图
在神经网络中权重和传输函数是两个关键的因素。权重的意义可以理解为输入信号的强度。传输函数
也称为激励函数，可以理解为对信号的非线性映射。常用的传输函数有 Sigmoid 函数和对数 sigmoid 函数，其
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表2
节点数 MD MSD MAD MPD
2 0.65 0.61 29.40 0.25
3 -0.35 0.33 32.56 0.27
隐含层节点数与其对应的误差指标
4 -0.40 0.38 36.28 0.30
5 -0.21 0.17 23.54 0.20
6 -0.06 0.04 10.22 0.09
动率会随着经济环境的变化而发生变化。所以该种方法计算权证价格时，采用其前面的 25 个交易日的波动
率。计算公式如下：
=
1
25
（
24 =1
）2
其中 为波动率，xi 为股票的收益率，x 为 25 天收益率的均值。
2.标的资产股票的价格
（4）
在本文中，标的资产股票的价格采用股票收盘价格。
3.对于 BP 人工神经网络中的输入数据进行归一化处理
本文采用的归一化公式如下：
（
4.输入的选取
x=
min
max min
（5）
选 30 组数据进行训练，即对预测的价格的前三十天的输入输出数据进行训练。
5.确定神经网络结构
关于网络的结构没有严格的限定，一般采用经验规则。如 Hornik 提出的隐含层神经元个数为（2*in+out）/2
至（2*in+out），Hecht-Nielsen 和 Lippmann 提出的隐含层神经元个数为 2*in+1,Wong 提出隐含层神经元个数为
作者简介：王启敢（1984— ），男，河南商丘人，中南财经政法大学数量经济学专业 2007 级硕士研究生； 张艳锋（1984— ），女，河南濮阳人，中南财经政法大学管理科学与系统工程专业 2008 级硕士研究生。
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二 、模 型 的 介 绍
（一）期权定价以及 B-S 模型 期权的种类繁多，定价的方法也不尽相同。本文仅以欧式看涨期权问题为讨论对象。Black 和 Scholes （1973）提出了著名的 B-S 模型，开创了利用随机微分方程进行期权定价研究的先河。其欧式看涨期权定价模 型如下：[1（] P216）
图 3 人 工神 经网 络 方法 、B-S 方 法 计算 价格 与 实际 收盘 价 格
利用各种模型计算出的权证价格，可以得到各个误差指标的具体数值，如表 1：
表1
各种模型预测值的四种误差指标值对比
MD MSD MAD MPD
B-S -0.0624 0.3162 51.2340 0.4270
ANN1 -0.0049 0.0105 3.6043 0.0300
ANN8 -0.0561 0.0237 6.3899 0.0532
ANN12 -0.1159 0.0557 9.5463 0.0796
ANN20 -0.0402 0.0588 11.2780 0.0940
为了确定最优的隐含层神经元个数，表 2 列出了神经元个数从 2 至 10 时的神经网络模型误差指标值。如 表 2：
关 键 词：期 权定 价 ；BP 神 经 网络 ；B-S 期权 定价 公 式
七十年代末期各国金融当局逐步放松了对于金融市场的监管，金融创新层出不穷，股票期权等衍生品应 运而生，拉开了金融衍生产品崛起的序幕。特别是股票期权交易产生以来，很多学者一直致力于对期权定价 问题的研究。合理的期权价格是进行期权的一切交易的基础。期权定价技术的应用贯穿于金融产品创新、市 场创新、金融体系的设计、金融资产的风险管理、金融监管这一系列环节之中。合理的期权定价模型在降低交 易成本、减少信息及代理成本、提取适当的保证金等方面都发挥着重要作用。公司的期权激励、公司资产的管 理和对风险的价值测算也都离不开期权定价模型。由于金融市场的不确定性、高风险性和复杂性，国内外学 者一直在探索利用各种方法正确评估期权的价值。
江西铜业权证的基本信息如下：该权证为认购权证，执行价格为 15.44 元，存续起始日为 2008 年 10 月 10
日，存续终止日为 2010 年 10 月 4 日。行权比例为 1:0.2500。每年按 240 个交易日计算，所以每个交易日代表
1/240 年。
（一）研究步骤
1.历史波动率的计算
采用移动平均的方法计算标的资产收益率的波动率，由于标的资产收益率受宏观经济等因素的影响，波
一 、关 于 权 证 定 价 问 题 的 文 献 述 评
Black 和 Scholes（1973）利用微分方程求解了 B-S 期权定价模型，从而得到欧式看涨期权的定价公式，该 定价公式为期权定价理论奠定了非常重要的基础。然而该模型提出了五条严格的假设条件。这些假设是与 实际情况相背离的，很多学者希望能放宽假定条件来解决与现实情况背离的问题。但 B-S 模型及其各种变形 都属于参数化模型，该类模型或多或少都要进行一些假设，比如标的资产价格变动假定为 Brownian 运动，但 Mackinlary A C（. 1998）已有实证研究，表明股票的价格并不符合几何布朗运动的假定。经济系统是一个复杂的 非线性系统，且系统的环境每时每刻都在变化，因而我们希望能够建立一个随预测环境的变化而变化的模型。 人工神经网络是一种非线性非参数模型,具有高速计算和学习的特性，在复杂系统的建模问题上表现出它的优 越性,在预测评价等方面都取得了很好的应用效果。Hutchison（1994）等最早将神经网络模型引入到欧式期权的 定价模型中，使用 RBF 和 BP 神经网络对期权价格进行模拟，得出了神经网络模型要优于 B-S 模型。Yao(2000) 对亚洲期权市场 Nikkei225 的研究中使用 BP 神经网络。国内学者张鸿彦和林辉（2007）应用小波神经网络的 方法对香港恒指买权进行了研究，研究表明该类方法对于期权价格的模拟好于 B-S 定价模型。张根明、刘娟 和卿小明（2007）利用 BP 神经网络对中国权证进行了研究。然而前人很少利用神经网络的方法对国内权证市 场进行研究，再加上研究的过程中选取的对比数据过少，往往得不到理想的效果。本文在此以江西铜业 CWB1 该只权证为例，通过 B-S 方法和各种 BP 神经网络方法计算得到该权证 120 天的价格，然后进行比较研究。
数学表达式为：
Sigmoid 函数：
Hale Waihona Puke Baidu
（ ）=11+
2 2
（2）
对数 sigmoid 函数：
（ ）=1+1
（3）
理论上认为影响权证价格的因素主要有权证标的股价、权证距离到期日所剩时间、权证行权价格、无风
险利率和标的股价收益率的波动率。其中前四项可由市场及权证的发行条件以及历史数据得到，而波动率只
能通过计算取得, 在过去的研究中通常以历史波动率或隐含波动率来处理。本文采用历史波动率作为 BP 模
（二）BP 神经网络 人工神经网络是在对复杂的生物神经网络研究和理解的基础上发展起来的。仿照生物的神经元，根据神
经元的相互连接方式不同定义出不同种类的神经网络。人工神经网络是一种非线性非参数模型, 具有高速计 算和学习的特性 , 该模型对市场上的各中数据不做任何的假设，仅仅利用市场上的数据来发现变量之间的现 实关系。在复杂系统的建模问题上表现出它的优越性,在预测和评价等方面取得了很好的应用效果。
7 -0.35 0.32 32.27 0.27
8 -0.41 0.40 37.86 0.32
9 0.00 0.41 35.95 0.30
10 0.44 0.63 33.89 0.28
四 、结 论 分 析
从图 3 可以看出人工神经网络的计算方法拟合的非常好，预测值与真实值非常接近。表 1 是对各个模型 预测结果优劣的定量评价，综合比较实证分析结果可得出下面结论：
ANN2 0.0149 0.0139 3.8258 0.0319
ANN3 0.0103 0.0138 4.5053 0.0375
ANN4 -0.0360 0.0269 6.2025 0.0517
ANN5 0.0054 0.0183 4.8546 0.0405
ANN6 -0.0332 0.0468 8.2608 0.0688