高等数学——81多元函数的基本概念知识课件
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f (x，y)在D内每一点连续．此时称f (x，y)是D 内的连续函数．
二元函数的连续性概念可相应地推广到n元函数f(P)上去．
函数的间断点： 若函数f(x，y)在点P0(x0，y0)不连续，则P0 称为函数f(x，y)的
间断点． 注：间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点．
例
f(x，y)
x2
xy y2
二元函数的图形：
点集{(x，y，z)|z=f(x，y)，(x，y)D}称为二元函数zf(x，y)
的图形．
z
二元函数的图形是一张曲面．
例
M0
z=a x+b y + c是一张平面，
O
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y0
y
x0
x
由方程x2y2z2a 2确定的函数z=f (x，y)是中心在原点，半径 为a的球面．它的定义域为
D ={(x，y)|x2y2 a 2}． 由方程x2y2z2a 2确定的函数z=f (x，y)有两个：
E的边界点的全体称为E的边 界．
开集： E{(x，y)|1<x2 +y2<4}
E
P
边界 ：x2 +y2 1和x2y24
有界点集和无界点集： 对于点集E如果存在正数K，使一切点PE与某一定点A间的
距离|AP|不超过K，即 |AP|K
对一切PE与成立，则称E为有界点集，否则称为无界点集．
例如 E={(x，y)|1≤x2y2≤4}是有界的， {(x，y)|x2y21}是 无界的．
d
P0
U(P0，d )
去心邻域：U ( P0 )
P0
U ( P0 )
内点：
设E 是平面上的一个点集，P是平面
E
上的一个点． 如果存在点P 的某一邻域
U(P)，使U(P)E，则称P为E 的内点，
P
开集： 如果点集E 的点都是内点，
则称E为开集． 边界点、边界：
如果点P的任一邻域内既有 属于E的点，也有不属于E的点， 则称P点为E的边点．
距 离规定为 P ( y 1 Q x 1 ) 2 ( y 2 x 2 ) 2 ( y n x n ) 2
二．多元函数概念
二元函数的定义： 设D是平面上的一个点集．如果对于每个点P(x，y)D，变
量 z 按照一定法则总有确定的值和它对应，则称 z 是变量 x，y 的二元函数(或点P的函数)，记为
x 0 y 0
证 因 为 |(x2 y2)sinx2 1y2 0||x2y2|· |sinx2
1 y2
|x2y2，
e de 可 见 ， 对 任 给 > 0 ， 取 ， 则当
0(x0 )2(y0 )2d
时，总有
|(x2y2)sin 1 0|<e
x2y2 成 立 ， 所 以 lim f(x,y)0．
x 0 y 0
za2x2y2，za2x2y2．
y
za2x2y2，
O
x
za2x2y2．
三．多元函数的极限
二重极限的定义： 设函数f (x，y)在开区域(或闭区域)D内有定义，P0(x0，y0)是
D的内点或边界点．如果对于任意给定的正数e 总存在正数d ，
使得对于适合不等式
d 0 P 0 P (x x 0 )2 (y y 0 )2
z=f(x，y)(或z=f(P))
其中D称为定义域，x，y 称为自变量，z 称为因变量．
例 函数z=ln(x+y)的定义域为
y x2y21
{(x，y)|x+y>0}(无界开区域)；
函数zarcsin(x2y2)的定义域为
O
x
{(x，y)|x2y21}(有界闭区域)．
值域： {z|z=f (x，y)，(x，y)D}
§8．1 多元函数的基本概念
一、区域
邻域、 内点、开集、边界点、边界 连通性、区域、闭区域 n维空间、点的坐标、两点间的距离
二．多元函数概念
二元函数的定义、值域、二元函数的图形
三．多元函数的极限 四．多元函数的连续性
二元函数连续性定义、 函数的间断点 多元连续函数的性质、 多元初等函数
一、区域
邻域:
,
x2
y2
0,
点(0，0)是f(x，y)的间断点；
0 , x2 y2 0.
zsinx21y21，x2y21上的点是其间断点．
z
O
y
P0
x
性质1 (最大值和最小值定理)： 在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和
最小值．
性质2 (介值定理)： 在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不
x0 xy x0
y2
y2
y2
y2
2limsinx(y)2． xy0 xy
四．多元函数的连续性
二元函数连续性定义： 设函数f (x，y)在开区域(或闭区域)D内有定义，P0(x0，y0)
D ．如果 xl ix0 m f(x,y)f(x0,y0)
y y0
则称函数f (x，y)在点P0(x0，y0)连续． 函数f (x，y)在区域(开区域或闭区域)D 内连续： 是指函数
必须注意： (1) 二重极限存在，是指P以任何方式趋于P0时，函数都无
限接近于A (2) 如果当P以两种不同方式趋于P0时，函数趋于不同的值，
则函数的极限不存在．
例 函 数 f(x， y) x2xyy2,x2y20, 0 ,x2y20.
当点P(x，y)沿 x 轴、y 轴趋于点(0，0)时函数的极限为零，
(1，2)是连续的，所以
limf(x， y)f(1， 2)3．
x 1
2
y2
例 7求limxy11． x 0 xy
y 0
解 lim xy 11 lim ( xy11)(xy11)
x0
xy
x 0 x(y xy11)
y0
y 0
lim 1 1 ． x0 xy11 2
y0
的一切点P(x，y)D ，都有
|f (x，y)A|<e
成立，则称常数A为函数f (x，y)当x x0，y y0时的极限，记为
limf(x,y)A，或f(x，y)A (r0) ，
xx0 yy0
这里r|P P0|．
z A
M0
O
y0
y
x0 P P P PP0
x
例 4 设 f( x ,y ) ( x 2 y 2 ) sx 2 i 1 n y 2 ,( x 2 y 2 0 ) ， 求 证lim f(x,y)0 ．
结论： 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．
用函数的连续性求极限：
如果f(P)是初等函数，且P0是f(P)的定义域的内点，则
p l ip0m f(p)f(p0)．
例6求lim xy． x 1 xy
y 2
解 函 数 f(x ， y ) x y是 初 等 函 数 ， 它的定义域为 xy
D{(x，y)| x 0，y 0}，点(1，2)是D的内点，函数f(x，y)在
z=f(x，y)(或z=f(P))
其中D称为定义域，x，y 称为自变量，z 称为因变量．
例 函数z=ln(x+y)的定义域为
y x+y0
{(x，y)|x+y>0}(无界开区域)；
O
x
二．多元函数概念
二元函数的定义： 设D是平面上的一个点集．如果对于每个点P(x，y)D，变
量 z 按照一定法则总有确定的值和它对应，则称 z 是变量 x，y 的二元函数(或点P的函数)，记为
设P0(x0，y0)是xOy平面上的一个点，d 是某一正数．与点 P0(x0，y0)距离小于d 的点P(x，y)的全体，称为点P0(x0，y0)的邻 域，记为U(P0，d )或U(P0)，即
d U(P0，d ) {P | |P P0|<d } { ( x ， y ) | ( x x 0 ) 2 ( y y 0 ) 2 < }
E
n维空间： 设n为取定的一个自然数，则称有序n元数组(x1，x2，···，xn)
的全体为n维空间，记为R n ．
n维空间中点： 每个有序n元数组(x1，x2，···，xn)称为n维空间中的一个点．
点的坐标： 数xi 称为点(x1，x2，···，xn)的第i 个坐标．
两点间的距离： n维空间中两点P(x1，x2，···，xn)及Q(y1，y2，···，yn)间的
当点P(x，y)沿直线y=k x 趋于点(0，0)时
lim
x0
xy x2 y2
lxim0 x2
kx2 k2x2
k 1 k
2
．
ykx0
z
O
y
P0
x
例5 求limsinx(y) ． x0 x
y2
解 lim sin( xy ) limsin(xy) y limsinx(y) limy
x0 x
x0 xy
同的函数值，则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少 一次．
多元连续函数的和、差、积、商（分母不为零）均为连续 函数，多元连续函数的复合函数也是连续函数．
多元初等函数： 是可用一个式子所表示的多元函数，而这个式子是由多元
多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构 成的．
例如sin(x+y)是由sin u 与u=x+y 复合而成的，它是多元初等 函数．
二元函数的连续性概念可相应地推广到n元函数f(P)上去．
函数的间断点： 若函数f(x，y)在点P0(x0，y0)不连续，则P0 称为函数f(x，y)的
间断点． 注：间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点．
例
f(x，y)
x2
xy y2
二元函数的图形：
点集{(x，y，z)|z=f(x，y)，(x，y)D}称为二元函数zf(x，y)
的图形．
z
二元函数的图形是一张曲面．
例
M0
z=a x+b y + c是一张平面，
O
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y0
y
x0
x
由方程x2y2z2a 2确定的函数z=f (x，y)是中心在原点，半径 为a的球面．它的定义域为
D ={(x，y)|x2y2 a 2}． 由方程x2y2z2a 2确定的函数z=f (x，y)有两个：
E的边界点的全体称为E的边 界．
开集： E{(x，y)|1<x2 +y2<4}
E
P
边界 ：x2 +y2 1和x2y24
有界点集和无界点集： 对于点集E如果存在正数K，使一切点PE与某一定点A间的
距离|AP|不超过K，即 |AP|K
对一切PE与成立，则称E为有界点集，否则称为无界点集．
例如 E={(x，y)|1≤x2y2≤4}是有界的， {(x，y)|x2y21}是 无界的．
d
P0
U(P0，d )
去心邻域：U ( P0 )
P0
U ( P0 )
内点：
设E 是平面上的一个点集，P是平面
E
上的一个点． 如果存在点P 的某一邻域
U(P)，使U(P)E，则称P为E 的内点，
P
开集： 如果点集E 的点都是内点，
则称E为开集． 边界点、边界：
如果点P的任一邻域内既有 属于E的点，也有不属于E的点， 则称P点为E的边点．
距 离规定为 P ( y 1 Q x 1 ) 2 ( y 2 x 2 ) 2 ( y n x n ) 2
二．多元函数概念
二元函数的定义： 设D是平面上的一个点集．如果对于每个点P(x，y)D，变
量 z 按照一定法则总有确定的值和它对应，则称 z 是变量 x，y 的二元函数(或点P的函数)，记为
x 0 y 0
证 因 为 |(x2 y2)sinx2 1y2 0||x2y2|· |sinx2
1 y2
|x2y2，
e de 可 见 ， 对 任 给 > 0 ， 取 ， 则当
0(x0 )2(y0 )2d
时，总有
|(x2y2)sin 1 0|<e
x2y2 成 立 ， 所 以 lim f(x,y)0．
x 0 y 0
za2x2y2，za2x2y2．
y
za2x2y2，
O
x
za2x2y2．
三．多元函数的极限
二重极限的定义： 设函数f (x，y)在开区域(或闭区域)D内有定义，P0(x0，y0)是
D的内点或边界点．如果对于任意给定的正数e 总存在正数d ，
使得对于适合不等式
d 0 P 0 P (x x 0 )2 (y y 0 )2
z=f(x，y)(或z=f(P))
其中D称为定义域，x，y 称为自变量，z 称为因变量．
例 函数z=ln(x+y)的定义域为
y x2y21
{(x，y)|x+y>0}(无界开区域)；
函数zarcsin(x2y2)的定义域为
O
x
{(x，y)|x2y21}(有界闭区域)．
值域： {z|z=f (x，y)，(x，y)D}
§8．1 多元函数的基本概念
一、区域
邻域、 内点、开集、边界点、边界 连通性、区域、闭区域 n维空间、点的坐标、两点间的距离
二．多元函数概念
二元函数的定义、值域、二元函数的图形
三．多元函数的极限 四．多元函数的连续性
二元函数连续性定义、 函数的间断点 多元连续函数的性质、 多元初等函数
一、区域
邻域:
,
x2
y2
0,
点(0，0)是f(x，y)的间断点；
0 , x2 y2 0.
zsinx21y21，x2y21上的点是其间断点．
z
O
y
P0
x
性质1 (最大值和最小值定理)： 在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和
最小值．
性质2 (介值定理)： 在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不
x0 xy x0
y2
y2
y2
y2
2limsinx(y)2． xy0 xy
四．多元函数的连续性
二元函数连续性定义： 设函数f (x，y)在开区域(或闭区域)D内有定义，P0(x0，y0)
D ．如果 xl ix0 m f(x,y)f(x0,y0)
y y0
则称函数f (x，y)在点P0(x0，y0)连续． 函数f (x，y)在区域(开区域或闭区域)D 内连续： 是指函数
必须注意： (1) 二重极限存在，是指P以任何方式趋于P0时，函数都无
限接近于A (2) 如果当P以两种不同方式趋于P0时，函数趋于不同的值，
则函数的极限不存在．
例 函 数 f(x， y) x2xyy2,x2y20, 0 ,x2y20.
当点P(x，y)沿 x 轴、y 轴趋于点(0，0)时函数的极限为零，
(1，2)是连续的，所以
limf(x， y)f(1， 2)3．
x 1
2
y2
例 7求limxy11． x 0 xy
y 0
解 lim xy 11 lim ( xy11)(xy11)
x0
xy
x 0 x(y xy11)
y0
y 0
lim 1 1 ． x0 xy11 2
y0
的一切点P(x，y)D ，都有
|f (x，y)A|<e
成立，则称常数A为函数f (x，y)当x x0，y y0时的极限，记为
limf(x,y)A，或f(x，y)A (r0) ，
xx0 yy0
这里r|P P0|．
z A
M0
O
y0
y
x0 P P P PP0
x
例 4 设 f( x ,y ) ( x 2 y 2 ) sx 2 i 1 n y 2 ,( x 2 y 2 0 ) ， 求 证lim f(x,y)0 ．
结论： 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．
用函数的连续性求极限：
如果f(P)是初等函数，且P0是f(P)的定义域的内点，则
p l ip0m f(p)f(p0)．
例6求lim xy． x 1 xy
y 2
解 函 数 f(x ， y ) x y是 初 等 函 数 ， 它的定义域为 xy
D{(x，y)| x 0，y 0}，点(1，2)是D的内点，函数f(x，y)在
z=f(x，y)(或z=f(P))
其中D称为定义域，x，y 称为自变量，z 称为因变量．
例 函数z=ln(x+y)的定义域为
y x+y0
{(x，y)|x+y>0}(无界开区域)；
O
x
二．多元函数概念
二元函数的定义： 设D是平面上的一个点集．如果对于每个点P(x，y)D，变
量 z 按照一定法则总有确定的值和它对应，则称 z 是变量 x，y 的二元函数(或点P的函数)，记为
设P0(x0，y0)是xOy平面上的一个点，d 是某一正数．与点 P0(x0，y0)距离小于d 的点P(x，y)的全体，称为点P0(x0，y0)的邻 域，记为U(P0，d )或U(P0)，即
d U(P0，d ) {P | |P P0|<d } { ( x ， y ) | ( x x 0 ) 2 ( y y 0 ) 2 < }
E
n维空间： 设n为取定的一个自然数，则称有序n元数组(x1，x2，···，xn)
的全体为n维空间，记为R n ．
n维空间中点： 每个有序n元数组(x1，x2，···，xn)称为n维空间中的一个点．
点的坐标： 数xi 称为点(x1，x2，···，xn)的第i 个坐标．
两点间的距离： n维空间中两点P(x1，x2，···，xn)及Q(y1，y2，···，yn)间的
当点P(x，y)沿直线y=k x 趋于点(0，0)时
lim
x0
xy x2 y2
lxim0 x2
kx2 k2x2
k 1 k
2
．
ykx0
z
O
y
P0
x
例5 求limsinx(y) ． x0 x
y2
解 lim sin( xy ) limsin(xy) y limsinx(y) limy
x0 x
x0 xy
同的函数值，则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少 一次．
多元连续函数的和、差、积、商（分母不为零）均为连续 函数，多元连续函数的复合函数也是连续函数．
多元初等函数： 是可用一个式子所表示的多元函数，而这个式子是由多元
多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构 成的．
例如sin(x+y)是由sin u 与u=x+y 复合而成的，它是多元初等 函数．