多元函数的基本概念

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xy 1 1 例6. 求 lim x 0 xy y 0
( xy 1 1 lim 解： lim x 0 x 0 xy y 0
y 0
xy 1 1 )( xy 1 1 ) xy ( xy 1 1 )
lim

x 0 ( y 0
1 xy 1 1 )
都有
| f ( x, y) A |
成立，则称常数A为二元函数f (x, y)当PP0 (或xx0, yy0)时的极限，记作
P P0
lim f ( P) A或 lim f ( x, y ) A
x x0 y y0
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注1：二元函数的极限称为二重极限；
二重极限存在是指点P(x, y)以任何方式趋于
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注2: 对于Rn中的两个点P(x1、x2、…、xn ), Q(y1、y2、…、yn ). 称 ( y 1 x1 ) 2 ( y 2 x 2 ) 2 ( y n x n ) 2 为两点P、Q的距离, 记作:
| PQ | ( y 1 x 1 ) 2 ( y 2 x 2 ) 2 ( y n x n ) 2
z z = f ( x , y) M
o x x
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y
P D
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y
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三、二元函数的极限
1. 定义: 设二元函数y =f (x, y)在点P0(x0, y0)附近 有定义,若对于任意给定的>0, 总存在 >0. 当 0 | PP0 | ( x x 0 ) 2 ( y y 0 ) 2 时
1 1 0 1 1 2
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五、小结
多元函数的定义 多元函数极限的概念
（注意趋近方式的任意性）
多元函数连续的概念 闭区域上连续函数的性质
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思考题
若点( x , y ) 沿着无数多条平面曲线趋向于 点( x0 , y0 ) 时，函数 f ( x , y ) 都趋向于 A，能否 断定
P0(x0, y0)时， z = f (x, y)都无限接近于A.
y P0
x
o
注2：二元函数的极限概念可相应地推广到n元函数.
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1 2 2 , ( x y 0) 例1：设 f ( x, y) ( x y ) sin 2 2 x y 求证：lim f ( x, y ) 0
z a2 x2 y2
是多值函数, 它有两个单值支:
z a2 x2 y2 及 z a2 x2 y2
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(2) 二元函数的图形.
设函数 z = f (x, y)的定义域为D, 将空间点集
{ (x, y, z)| z = f (x, y), (x, y)D} 称为二元函数 z = f (x, y)的图形.
例如：sin(x2 y), x 2 y 2 都是二元初等函数. 注: 类似地定义多元初等函数
结论：多元初等函数在其定义区域内连续. (定义区域指包含在定义域内的区域或闭区域)
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x y 例5. 求 lim x 1 xy y 2
x y 解： f ( x, y ) 是二元初等函数 xy
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1 2 2 2 例如： z cos 2 的间断点是圆 x y R . 2 2 x y R
注：二元函数的连续概念可相应地推广到n元函数 上去.
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2. 有界闭区域上多元连续函数性质 性质1. (最大值和最小值定理) 在有界闭区域D上的多元连续函数在D上一定 有最大值和最小值.
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y
例如: 函数 z = ln(x+y)的
定义域为{(x, y)| x+y > 0}
0 x+y=0
x
例如: 函数 z x y 的定义域 为{(x, y)| x y2 0}, 即 y2 x.
2
y x = y2 0
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x
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注2: 二元函数也引入了多值函数, 单值函数的概念. 例如: 由方程 x2 + y2 + z2 = a2, 确定的函数
即: P1, P2 D , 对于PD. 都有
f (P2)≤ f (P) ≤ f (P1)
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性质2. (介值定理) 在有界闭区域D上的多元连续函数, 如果在D上 取得两个不同的函数值. 则它在D上取得介于这两 个值之间的任何值至少一次。 特别地：设m, M分别是f (P)在D上的最大值、 最小值, m≤≤M , 则 QD, 使 f (Q)=
2 2
x 0 y 0
1 2 2 0 | 证： | f ( x, y) 0 || ( x y ) sin 2 x y x y2
2 2
>0, 取
, 则当
0 ( x 0) 2 ( y 0) 2 时，
总有
| ( x 2 y 2 ) sin 1 2 2 0 | x y 成立 2 2 (x y )
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xy
例2. 设 f (x, y) =
x y
2
2
,
x y 0
2 2
0
x 0 y 0
2 2 x y 0 ,
证明： lim f ( x, y )不存在
证明：令P(x, y)沿直线 y = kx 趋于O(0, 0), 则
x 0 y kx0
lim
xy x2 y2
k x kx lim 2 2 x 0 x ( kx ) 1 k 2
y P1 o y P1 o
1 2
x
P2
P2
x
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E3 = {(x,y)| x2 + y2 <1} {(x,y)| (x2)2 + (y2) 2 <1}
不是区域.
y 2 1 P 2 o 1 P1 x
2
注1: 开区域连同其边界点称为闭区域.
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(4)有界区域 对于区域E, 如果存在M > 0. 使得E内任何点 到原点的距离都小于M, 即: (x, y)E. x2 + y2 < M 2 则称E为有界区域, 否则, 称为无界区域.
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3. 多元初等函数 (1) 二元基本初等函数 考虑一个变量x或y的基本初等数，将它们当成 二元函数. 如：C, x , y , sinx, siny，…… 称为二元基本初等函数.
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(2) 二元初等函数 将二元基本初等函数经有限次四则运算与复合 所组成的函数，称为二元初等函数.
第八章 多元函数微分法及其应用
第一节 多元函数的基本概念
一、区域 1. 邻域: y 设P0(x0, y0)是xOy面上一点, 是某一正数, 与P0(x0, y0)距离 小于 的点P(x, y)的全体, 称为 o P0的 邻域, 记为U(P0, ).

P0 x
即:
或
U(P0, ) = {P | |P0P| < }
当k=0时，极限为0.
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1 当k=1时，极限为 ; 2
故极限不存在。
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注4. 二元函数极限有与一元函数极限类似的四则 运算法则，夹逼定理.
x3 y3 例3. 求 ( x, ylim )( 1, 2 ) x 2 y 2 x y 解： lim ( x , y )( 1, 2 ) x 2 y 2
y
P0
D1
o x
定义域 D ={(x, y) | x 0 或 y 0} 因D不连通，故D不是区域. 但
D1={(x, y)| x >0, y >0}是区域, 且D1 D
故D1是 f (x, y)的一个定义区域, 且P0(1, 2) D1
故
x y 1 2 3 lim x 1 1 2 2 xy y 2
y 0
sin xy 1 解： lim sin xy lim x x 0 x 0 y xy y 0 y 0
sin xy lim x lim x0 x0 xy y 0 y 0
0 1
0
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四、二元函数的连续性 1. 定义：设z =f (x, y)在P0(x0, y0)的邻域内有定义.
U(P) E
则称点P为点集E的内点.
o
P
E
x y o
1 x
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注: 若点集E的点都是内点, 则称E为开集.
例如: 点集 E1= {(x,y)| x2 + y2 < 1}是开集.
点集 E2= {(x,y)| x2 + y2 1}不是开集.
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(2) 边界点: 设E为一平面点集, P1为一点, 不论P1点 是否属于 E, 如果 P1 的任何邻域内 , 既 有属于E的点, 也有不属于E的点, 则称 点P1为点集E的边界点.y P1 注: 点集E的全体边界点
U ( P0 , ) {( x , y ) | ( x x 0 ) 2 ( y y 0 ) 2 }

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注: 去心邻域 U(P0, ) = {P |0 < |P0P| < }
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2. 区域
(1) 内点: 设E为一平面点集, P为E的一点, 如果 存在点P的某个邻域U(P), 使这个邻域 整个包含在E内, y
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称为该函数的值域.
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类似地: 可以定义三元函数, 即三维空间中的点函数 u = f (M ) = f (x, y, z). n元函数是n维空间中的点函数 y = f (M ) = f (x1, x2, …, xn).
注1: 讨论算式表达的函数u = f (x,y)时, 规定其定义域
就是使这个算式有确定值u的全体自变量的集合.
lim f ( P) f ( P0 ) ) 若 lim f ( x, y ) f ( x0 , y 0 )或( P P
x 0 y 0
0
则称 z =f (x, y)在点P0连续. 若f (x, y)在区域D内每一点连续，则称 f (x, y) 在D内连续.
若f (x, y)在点P0不连续，则点P0称为 f (x, y) 的间断点.
故
lim f ( x, y ) 0
x 0 y 0
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注3： 若P(x, y)以某一特殊方式趋于P0(x0, y0)时，
f (x, y)能无限接近于某一定值, 还不能判定 函数的极限是否存在；反之, 若当P(x, y)以 不同方式趋于P0(x0, y0)时，函数趋于不同的 值，则可判定函数的极限不存在。
3 3
( x , y ) ( 1, 2 ) ( x , y ) ( 1, 2 )
lim
x3 x2
( x , y ) ( 1, 2 ) ( x , y ) ( 1, 2 )
lim lim
y3 y2
lim
1 8 7 1 4 5
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1 例4. 求 lim sin xy . x 0 y
y P E
o
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x
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3. n 维空间 n个有次序的实数 (x1, x2,…, xn)的全体所成 的集合称为n维空间. 记成Rn, 将(x1, x2,…, xn )称为 n维空间Rn中的点, 数 xi 称为该点的第 i个坐标.
注1: 一维空间R1就是直线. 二维空间R2就是平面.
三维空间R3就是现实空间.
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二、多元函数概念
1. 二元函数 (1)定义: 设D是平面上的一个点集. 如果对于每个 点P(x, y)D, 变量 z 按照一定法则总有确定的值和 它对应, 则称z是变量x, y的二元函数(或点P的函数), 记为 z= f (x, y) 或 (z= f (P))
点集D称为该函数的定义域, x, y称为自变量. z称为因变量. 数集: { z| z = f (x, y), (x, y)D}
所成的点集, 称为点 集E的边界. 例如: 点集 E= {(x, y)| 1 x2 + y2 < 4} 的边界点是圆 x2 + y2 = 1和 x2 + y2 = 4 .
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E o x
y x
o
1 2
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(3) 区域 设E为一平面点集, 如果E的每一个点都是E的 内点, 并且对E内任何两个点, 都可以用一包含在E 内的折线连结起来, 则称E为一个开区域, 或区域. 注: 点集E内任何两点, 可用E内的一折线连起来, 又称E是连通的. 2 + y2 <4} 2 2 E = {( x , y )| 1< x 例如: E1 = {(x,y)| x + y > 0} 2 也是区域. 是区域.