多元函数的基本概念
多元函数的基本概念
多元函数的基本概念
一、多元函数的基本概念
多元函数是一种把多个变量结合起来的函数。
它的定义由一个有限个变量的有限个自变量组成，而这些变量所表达的函数又是满足某种关系式的。
多元函数由以下三个特征来定义：
1. 自变量个数：多元函数可以由一个自变量，也可以由多个自变量组成，而多元函数的具体形式由自变量个数决定。
2. 函数形式：多元函数可以是一元函数、二元函数、三元函数、四元函数和多元函数。
3. 变量关系：多元函数的定义就是根据一定的关系式，把多个自变量结合起来构成的函数。
二、多元函数的性质
多元函数的性质也就是函数的一些性质，这些性质对于函数的理解和应用都非常重要，在学习多元函数时，一定要掌握这些性质。
性质1：多元函数可以变换形式，但其多项式整体的幂次不变。
性质2：多元函数可以拆开成多个小函数，但总体的变量不变。
性质3：多元函数可以进行拟合，但只能用更加简单的函数拟合更加复杂的函数。
性质4：多元函数的单调性与函数的极值分布有关，函数的极值也是多元函数的最重要的一种性质。
三、多元函数的应用
多元函数在工程和科学中都有着广泛的应用，比如在机器学习、机器人控制学、信号处理、经济学、生物学等领域中都有着广泛的应用，以及在财务和统计学中的应用，例如多元回归分析，协方差分析等。
此外，多元函数也在计算机科学中有实际的应用，比如在计算机图形学中，可以用多元函数来描述三维空间中的形体，在模拟技术中，也可以用多元函数来模拟真实的系统。
多元函数微分学知识点梳理
多元函数微分学知识点梳理
第九章多元函数微分学
内容复
一、基本概念
1.多元函数的基本概念包括n维空间、n元函数、二重极限、连续等。
其中，偏导数和全微分也是重要的概念。
2.重要定理：
1）二元函数中，可导、连续、可微三者的关系为偏导数
连续→可微。
同时，偏导数存在和函数连续是可微的必要条件。
2）二元函数的极值必须满足必要条件和充分条件。
二、基本计算
一）偏导数的计算
1.偏导数值的计算有三种方法：先代后求法、先求后代法
和定义法。
2.偏导函数的计算包括简单的多元初等函数和复杂的多元
初等函数。
对于复杂的函数，可以使用链式法则，或者隐函数求导法。
3.高阶导数的计算需要注意记号表示和求导顺序。
二）全微分的计算
1.叠加原理可以用于计算全微分，即dz=∂z/∂x dx+∂z/∂y dy。
2.一阶全微分形式不变性对于自变量和中间变量均成立。
三、偏导数的应用
在优化方面，多元函数的极值和最值是常见的应用。
1.无条件极值可以用必要条件和充分条件来求解。
2.条件极值可以使用Lagrange乘数法来求解。
3.最值可以通过比较区域内部驻点处函数值和区域边界上最值的大小来确定。
多元函数与偏导数
多元函数与偏导数多元函数是数学中的一个重要概念，它是自变量具有多个分量的函数。
偏导数则是多元函数中的一种导数，用于衡量函数在各个分量上的变化率。
本文将探讨多元函数的基本概念、性质以及偏导数的定义、计算方法和应用。
1. 多元函数的基本概念多元函数是自变量具有多个分量的函数，一般形式为 f(x₁, x₂, ..., xₙ)，其中x₁, x₂, ..., xₙ分别代表自变量的各个分量。
多元函数中的每个自变量都存在定义域和值域。
与一元函数类似，多元函数也具有图像和性质，如连续性、可微性等。
2. 偏导数的定义偏导数是多元函数中关于某一个自变量的导数。
在多元函数中，除了变化一个自变量外，其他自变量均视作常数。
对于二元函数 f(x, y)来说，偏导数可记作∂f/∂x 或 f₁，表示对 x 分量的偏导数；∂f/∂y 或 f₂，表示对 y 分量的偏导数。
对于n 元函数类似地，可分别计算各个分量的偏导数。
3. 偏导数的计算方法（1）对于一元函数来说，其导数的计算可以借助于极限的方法，即求取函数值在某一点的极限。
同样，对于多元函数的偏导数，也可以通过极限的方式求得。
（2）对于高阶偏导数，可以先计算一阶偏导数，然后再次应用偏导数定义计算二阶偏导数，以此类推。
（3）对于具有特定形式的多元函数，如幂函数、指数函数、三角函数等，可以根据函数特性直接计算偏导数。
4. 偏导数的性质（1）对称性：对于二阶连续可导的函数，偏导数的求导次序不影响结果，即∂²f/∂x∂y = ∂²f/∂y∂x。
（2）混合偏导数的存在性：如果 f(x, y) 在某一点处的混合偏导数∂²f/∂x∂y 与∂²f/∂y∂x 在该点处连续，那么它们相等，即∂²f/∂x∂y = ∂²f/∂y∂x。
（3）偏导数与连续性的关系：若多元函数在某一点处连续可导，那么其各个分量的偏导数存在且连续。
5. 偏导数的应用（1）极值问题：多元函数中的极值点可以通过求解偏导数为零的点得到。
多元函数基本概念
多元函数基本概念多元函数是数学中常见的概念，它与一元函数相比具有更加复杂的性质和表达方式。
在本文中，将介绍多元函数的基本概念，包括定义域、值域、级数、偏导数以及极值等。
一、定义域和值域在讨论多元函数之前，我们首先需要明确定义域和值域的概念。
对于一个多元函数，其定义域是指所有自变量可以取值的集合，通常用D表示。
而值域则是函数在定义域上所有可能取到的函数值的集合，通常用R表示。
例如，考虑一个二元函数f(x, y)，其定义域可以是实数集合R，而值域也可以是实数集合R。
二、偏导数偏导数是多元函数的一种导数形式，用于描述函数在某个给定自变量上的变化率。
对于一个具有多个自变量的函数f(x1, x2, ..., xn)，其关于第i个自变量的偏导数表示为∂f/∂xi。
偏导数的计算方法与一元函数的导数类似，只需将其他自变量视为常数，对目标自变量求导即可。
需要注意的是，对于每个自变量，都要分别计算其对应的偏导数。
三、级数多元函数的级数是指将多个单变量函数按照一定方式组合而成的函数序列。
常见的多元函数级数有泰勒级数和傅里叶级数等。
泰勒级数是指将一个多元函数在某个点附近展开成幂级数的形式。
通过选择适当的展开点和级数项，可以将函数在该点附近近似表示。
泰勒级数在数学和物理学中有广泛的应用，特别是用于函数的近似计算和数据拟合等方面。
傅里叶级数是指将一个局部有界的周期函数分解成一组正弦和余弦函数的级数。
通过傅里叶级数的展开，可以将周期函数在全局范围内表示，并进行频谱分析和信号处理等操作。
四、极值多元函数的极值是指函数在定义域上取得的最大值或最小值。
与一元函数不同的是，多元函数的极值可能在某些特定点取得，也可能在边界或无穷远处取得。
求解多元函数的极值通常需要使用极值判定条件。
常见的方法有利用偏导数等于零来确定驻点，然后通过二阶偏导数判定极值类型。
同时，还要考虑定义域的边界条件，以确定是否存在边界极值。
总结在本文中，我们介绍了多元函数的基本概念，包括定义域和值域、偏导数、级数以及极值。
多元函数的基本概念
sin xy lim ( x , y )( 0 , 2 ) x 2 sin( x y) (2) lim ( x , y ) ( 0 , 0 ) x 2 y 2
(1)
1 (3) lim ( x y ) sin 2 ( x , y ) ( 0 , 0 ) x y2
二 多元函数的极限
（一）有关概念 （二）多元函数极限的定义
二元函数的图形 对于在z=f(x,y)的定义域内任意取定的点P(x,y)，对应的
函数值为z=f(x,y). 当(x,y)遍取D上的一切点时，得到的空间点集
z
M
{( x, y, z ) | z f ( x, y ), ( x, y ) D}
称为二元函数的图形. 二元函数的图形通常是一张曲面. 二元函数的定义域
0
x2 y (2) f ( x , y ) 4 x y2
当 ( x , y ) (0,0) 时
多元函数的基本概念
一、多元函数的概念
二、多元函数的极限 三、多元函数的连续性
多元函数的基本概念
一、多元函数的概念
二、多元函数的极限 三、多元函数的连续性
三、 多元函数的连续性
（一）多元函数连续性的概念
空间点集
平面点集的有关概念 二维空间：
二元有序实数组(x,y)的全体, 即： {( x , y ) | x R, y R}
记作： R 2或 R R
注 (1) 二维空间的几何意义—坐标平面
(2) 二维空间的元素— P ( x, y ) 坐标平面内的点 平面点集： 二维空间的任一子集, 记作： E R2 注 平面点集E通常是具有某种性质的点的集合, 记作： E={(x,y)|(x,y)具有性质P}
多元函数的基本概念
多元函数的基本概念
多元函数的基本概念
多元函数是数学中一种重要的概念，它是在多个变量之间写成的函数，能表示多变量间的关系。
为了便于描述，这里使用z来表示变量的总体，用x, y, u等来索引。
例如，多元函数可以使用表达式
z=f（x，y，u）来表示，这里z是函数的输出，x, y和u是函数的输入。
通过多元函数，可以将多变量之间的关系表示出来，从而更加清楚地理解问题。
在数学中，多元函数的应用比较广泛，可以用来描述物理学中的各种力，比如重力，电力等，也可以用来描述量子力学中的任意力。
此外，还可以用多元函数来描述数学计算机科学中的几何图形，从而研究几何图象的形状及相关的物理量。
总之，多元函数可以为人们提供更丰富的信息，以便更好地理解事物，解决实际问题。
多元函数也可以用来计算极限值，也就是极限的函数值的限制，这可以帮助我们在实际应用中研究函数的极限值。
极限值的计算可以帮助我们找到函数的极值点，从而获得函数的最大值和最小值，从而更好地实现函数的优化。
总之，多元函数是数学中重要的概念，它可以用来描述物理学中的各种力，也可以用来描述数学计算机科学中的几何图形，还可以用来计算函数的极限值，从而更好地解决实际问题。
- 1 -。
10-1多元函数的基本概念
E-mail: xuxin@
注4. 定义中，当x,y的值取定后，z的取值
就根据f的方程来定。通常情况下，这个值是 唯一的，这时我们称z=f(x,y)为单值函数；
但有时候取值是不唯一的，这时我们称之 为多值函数； 例如 x2 y2 z2 9
(0,0)既是边界点也是聚点；
E-mail: xuxin@
点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E． 例如,
{( x, y) | 0 x2 y2 1}
(0,0) 是聚点但不属于集合．
例如 {( x, y) | x2 y2 1}
边界上的点都是聚点也都属于集合．
所谓多元函数, 直观的说, 就是有多个自变量的 函数. 函数 y 随多个自变量的变化而变化.
圆柱体体积 V = r 2 h
体积 V 随 r, h的变化而变化. 或者说, 任给 一对数(r, h), 就有唯一的一个V与之对应.
E-mail: xuxin@
长方体体积 V = xyz V 随 x, y, z 的变化而变化. 或者说, 任给 一组数(x, y, z), 就有唯一的一个V与之对应.
闭区域 开区域与其边界一起称为闭区域．
例如: E1 {(x, y) x2 y2 7}
注6. 两个二元函数相等
即：f(x,y)=g(x,y)充要条件是定义域相等且对应 法则也必须相等。
注7. 二元函数的几何意义
二元函数的图形是一张曲面，其定义域D正是这 个曲面在xoy面上的投影区域。
（其图形见下页）
E-mail: xuxin@
如 z = ax +by + c , 表平面. z a2 x2 y2表上半球面. z a2 x2 y2表下半球面.
9.1 多元函数的基本概念
1．多元函数：设 D 为 R 2 的一个非空子集，称映射 f : D R 为定义在 D 上的二 元函数，通常记为
z f ( x, y ) ，其中 ( x, y ) D
或者
z f ( P) ，其中 P D
特别地， D 称为二元函数 f ( x, y ) 的定义域， x, y 称为二元函数 f ( x, y ) 的自变量，
( x , y ) (0,0)
lim
f ( x, y ) 0
6．多元函数在某点处的连续性：设二元函数 f ( x, y ) 的定义域为 D ， P0 ( x0 , y0 ) 为
D 的一个聚点，且 P0 ( x0 , y0 ) D 。若
( x , y ) ( x0 , y0 )
lim
所表示的图形，即以点 P0 ( x0 , y0 ) 为圆心， 为半径的圆的内部 ，但不包括圆周
( x y0 )2 ( y y0 )2 2 以及圆心 P0 ( x0 , y0 ) 。
注 2： 邻域与去心邻域的区别在于后者不包括圆心， 即不包括点 P0 ( x0 , y0 ) 。 于是， 去心可看作去圆心。 例：设 P0 P0 (0,1) ，以及 2 。点 P0 (0,1) 的 2 邻域 U ( P0 , 2) 正是不等式 0 ( x 0)2 ( y 1)2 2 2 所表示的图形，即以点 P0 (0,1) 为圆心， 2 为半径的圆的内部，但不包括圆周 ( x 0)2 ( y 1)2 2 2 ；而点 P0 (0,1) 的去心 2 邻域 U ( P0 , 2) 正是不等式 0 ( x 0)2 ( y 1)2 2 2 所表示的图形，即以点 P0 (0,1) 为圆心， 2 为半径的圆的内部，但不包括圆周 ( x 0)2 ( y 1)2 2 2 以及圆心 P0 (0,1) 。
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| f ( x, y) A |
成立，则称常数A为二元函数f (x, y)当PP0 (或xx0, yy0)时的极限，记作
P P0
lim f ( P) A或 lim f ( x, y ) A
x x0 y y0
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注1：二元函数的极限称为二重极限；
二重极限存在是指点P(x, y)以任何方式趋于
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3. 多元初等函数 (1) 二元基本初等函数 考虑一个变量x或y的基本初等数，将它们当成 二元函数. 如：C, x , y , sinx, siny，…… 称为二元基本初等函数.
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(2) 二元初等函数 将二元基本初等函数经有限次四则运算与复合 所组成的函数，称为二元初等函数.
U(P) E
则称点P为点集E的内点.
o
P
E
x y o
1 x
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注: 若点集E的点都是内点, 则称E为开集.
例如: 点集 E1= {(x,y)| x2 + y2 < 1}是开集.
点集 E2= {(x,y)| x2 + y2 1}不是开集.
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(2) 边界点: 设E为一平面点集, P1为一点, 不论P1点 是否属于 E, 如果 P1 的任何邻域内 , 既 有属于E的点, 也有不属于E的点, 则称 点P1为点集E的边界点.y P1 注: 点集E的全体边界点
所成的点集, 称为点 集E的边界. 例如: 点集 E= {(x, y)| 1 x2 + y2 < 4} 的边界点是圆 x2 + y2 = 1和 x2 + y2 = 4 .
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E o x
y x
o
1 2
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(3) 区域 设E为一平面点集, 如果E的每一个点都是E的 内点, 并且对E内任何两个点, 都可以用一包含在E 内的折线连结起来, 则称E为一个开区域, 或区域. 注: 点集E内任何两点, 可用E内的一折线连起来, 又称E是连通的. 2 + y2 <4} 2 2 E = {( x , y )| 1< x 例如: E1 = {(x,y)| x + y > 0} 2 也是区域. 是区域.
y 0
sin xy 1 解： lim sin xy lim x x 0 x 0 y xy y 0 y 0
sin xy lim x lim x0 x0 xy y 0 y 0
0 1
0
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四、二元函数的连续性 1. 定义：设z =f (x, y)在P0(x0, y0)的邻域内有定义.
2 2
x 0 y 0
1 2 2 0 | 证： | f ( x, y) 0 || ( x y ) sin 2 x y x y2
2 2
>0, 取
, 则当
0 ( x 0) 2 ( y 0) 2 时，
总有
| ( x 2 y 2 ) sin 1 2 2 0 | x y 成立 2 2 (x y )
z z = f ( x , y) M
o x x
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y
P D
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y
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三、二元函数的极限
1. 定义: 设二元函数y =f (x, y)在点P0(x0, y0)附近 有定义,若对于任意给定的>0, 总存在 >0. 当 0 | PP0 | ( x x 0 ) 2 ( y y 0 ) 2 时
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称为该函数的值域.
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类似地: 可以定义三元函数, 即三维空间中的点函数 u = f (M ) = f (x, y, z). n元函数是n维空间中的点函数 y = f (M ) = f (x1, x2, …, xn).
注1: 讨论算式表达的函数u = f (x,y)时, 规定其定义域
就是使这个算式有确定值u的全体自变量的集合.
3 3
( x , y ) ( 1, 2 ) ( x , y ) ( 1, 2 )
lim
x3 x2
( x , y ) ( 1, 2 ) ( x , y ) ( 1, 2 )
lim lim
y3 y2
lim
1 8 7 1 4 5
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1 例4. 求 lim sin xy . x 0 y
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二、多元函数概念
1. 二元函数 (1)定义: 设D是平面上的一个点集. 如果对于每个 点P(x, y)D, 变量 z 按照一定法则总有确定的值和 它对应, 则称z是变量x, y的二元函数(或点P的函数), 记为 z= f (x, y) 或 (z= f (P))
点集D称为该函数的定义域, x, y称为自变量. z称为因变量. 数集: { z| z = f (x, y), (x, y)D}
lim f ( P) f ( P0 ) ) 若 lim f ( x, y ) f ( x0 , y 0 )或( P P
x 0 y 0
0
则称 z =f (x, y)在点P0连续. 若f (x, y)在区域D内每一点连续，则称 f (x, y) 在D内连续.
若f (x, y)在点P0不连续，则点P0称为 f (x, y) 的间断点.
1 1 0 1 1 2
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五、小结
多元函数的定义 多元函数极限的概念
（注意趋近方式的任意性）
多元函数连续的概念 闭区域上连续函数的性质
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思考题
若点( x , y ) 沿着无数多条平面曲线趋向于 点( x0 , y0 ) 时，函数 f ( x , y ) 都趋向于 A，能否 断定
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1 2 2 2 例如： z cos 2 的间断点是圆 x y R . 2 2 x y R
注：二元函数的连续概念可相应地推广到n元函数 上去.
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2. 有界闭区域上多元连续函数性质 性质1. (最大值和最小值定理) 在有界闭区域D上的多元连续函数在D上一定 有最大值和最小值.
当k=0时，极限为0.
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1 当k=1时，极限为 ; 2
故极限不存在。
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注4. 二元函数极限有与一元函数极限类似的四则 运算法则，夹逼定理.
x3 y3 例3. 求 ( x, ylim )( 1, 2 ) x 2 y 2 x y 解： lim ( x , y )( 1, 2 ) x 2 y 2
例如：sin(x2 y), x 2 y 2 都是二元初等函数. 注: 类似地定义多元初等函数
结论：多元初等函数在其定义区域内连续. (定义区域指包含在定义域内的区域或闭区域)
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x y 例5. 求 lim x 1 xy y 2
x y 解： f ( x, y ) 是二元初等函数 xy
y P E
o
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x
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3. n 维空间 n个有次序的实数 (x1, x2,…, xn)的全体所成 的集合称为n维空间. 记成Rn, 将(x1, x2,…, xn )称为 n维空间Rn中的点, 数 xi 称为该点的第 i个坐标.
注1: 一维空间R1就是直线. 二维空间R2就是平面.
三维空间R3就是现实空间.
P0(x0, y0)时， z = f (x, y)都无限接近于A.
y P0
x
o
注2：二元函数的极限概念可相应地推广到n元函数.
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1 2 2 , ( x y 0) 例1：设 f ( x, y) ( x y ) sin 2 2 x y 求证：lim f ( x, y ) 0
第八章 多元函数微分法及其应用
第一节 多元函数的基本概念
一、区域 1. 邻域: y 设P0(x0, y0)是xOy面上一点, 是某一正数, 与P0(x0, y0)距离 小于 的点P(x, y)的全体, 称为 o P0的 邻域, 记为U(P0, ).
P0 x
即:
或
U(P0, ) = {P | |P0P| < }
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xy
例2. 设 f (x, y) =
x y
2
2
,
x y 0
2 2
0
x 0 y 0
2 2 x y 0 ,
证明： lim f ( x, y )不存在
证明：令P(x, y)沿直线 y = kx 趋于O(0, 0), 则
x 0 y kx0
lim
xy x2 y2
k x kx lim 2 2 x 0 x ( kx ) 1 k 2
y
P0
D1
o x
定义域 D ={(x, y) | x 0 或 y 0} 因D不连通，故D不是区域. 但
D1={(x, y)| x >0, y >0}是区域, 且D1 D
故D1是 f (x, y)的一个定义区域, 且P0(1, 2) D1
故
x y 1 2 3 lim x 1 1 2 2 xy y 2
z a2 x2 y2
是多值函数, 它有两个单值支:
z a2 x2 y2 及 z a2 x2 y2
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(2) 二元函数的图形.
设函数 z = f (x, y)的定义域为D, 将空间点集
{ (x, y, z)| z = f (x, y), (x, y)D} 称为二元函数 z = f (x, y)的图形.
y P1 o y P1 o