【研究生课件应用数学基础】2.线性空间.ppt

=(y1+x1,y2+x2, …,yn+xn)T =y+x
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(2)(x+y)+z
=((x1+y1)+z1,(x2+y2)+z2, …,(xn+yn)+zn)T =(x1+(y1+z1),x2+(y2+z2), …,xn+(yn+zn))T =x+(y+z)
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(3)存在零向量=（0，0，…，0）T，使
证明：只要定义： x=(x1,x2, ‥‥,xn)T ， y=(y1,y2, ‥‥,yn)TRn,kR,
x+y=(x1+y1,x2+y2, ‥‥,xn+yn)T∈Rn k·x=(kx1,kx2, ‥‥,kxn)T∈Rn 满足：x=(x1,x2, …,xn)T,y=(y1,y2, …,yn)T,
z=(z1,z2, …,zn)TRn,k,lR （1）x+y=(x1+y1,x2+y2, …,xn+yn)T
y1=Ax1,y2=Ax2,
y1+y2=Ax1+Ax2=A(x1+x2) ∈R(A)
kC,ky1=kAx1=A(kx1) ∈R(A)
x1,x2N(A),则Ax1=0,Ax2=0,
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A(x1+x2)=Ax1+Ax2=0+0=0 ∴ x1+x2∈N(A), kC,A(kx1)=kAx1=k0=0,所以，kx1∈N(A). 例2.6 设A∈Cm×n,V={x∈Cn|Ax=b,b≠0}按向 量的加法和数乘不是线性空间。 这是因为，x,y∈V,Ax=b,Ay=b,
第一章集合上的数学结构
2.线性空间
一、线性空间的概念
二、线性空间的基、坐标和维数
（一）线性表示与向量组的线性相关性
（二）线性空间的基、坐标、维数
（三）基变换与坐标变换
三、子空间
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四、维数定理 五、子空间的直和
六、线性空间的线性同构
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一、线性空间的概念
❖线性空间的定义 ❖线性空间的例：
R,Rn,Rn×n,Rn[x]都是R上的线性空间. C,Cn,Cn×n,Cn[x]都是C上向量空间. C[a,b],Cn[x] ❖线性空间的简单性质
⑦(+)x=x+x; ⑧(x+y)=x+y. 则称V为数域F上的线性空间,
其中元素称为向量, 所以线性空间也叫向量空间.
R,Rn,Rn×n,Rn[x]都是R上的线性空间. C,Cn,Cn×n,Cn[x]都是C上向量空间.
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例2.1 Rn={x=(x1,x2,‥‥,xn)T|xi∈R,1≤i≤n} 是R上的线性空间。
定义加法和数乘: (x+y)(t)=x(t)+y(t) (kx)(t)=kx(t)
由于两个连续函数之和仍为连续函数, 连续函数与常数相乘仍是连续函数, 由此易知,C[a,b]是R上的线性空间. 例2.3 次数不超过n的复系数多项式集合 Cn[x]={p(x)=a0xn+a1xn-
1+…+an|ai∈C,0≤i≤n} 按通常多项式加法和数与多项的乘法，构成复 数域C上的向量空间。
A(x+y)=Ax+Ay=b+b≠b 即x+yV
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线性空间有以下简单性质：
（1）线性空间V（F）有唯一的零元 ;xV(F),
有唯一的负元-x.
实际上，若有两个零向量和′，则
+′==′
xV(F),若有两个负向量y1和y2,满足 x+y1=x+y2=
于是， y1-y2=,即y1=y2 (2)设x∈V(F),k∈F,则有
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•定义2.1 设V是一个非空集合,F是一个数域
(实数域R或复数域C),在集合V的元素之间定义 了一种代数运算，叫做加法；这就是说，给出了 一个法则，对于V中任意两个元素x与y，在V中 都有唯一的一个元素z与它们对应，称为x与y的 和，记为z=x+y。在数域F与集合V的元素之间 还定义了一种运算，叫做数量乘法；这就是说， 对于数域中任一数k与V中任一元素x，在V中都 有唯一的一个元素y与它们对应，称为k与x的数 量乘积，记为y=kx。如果加法与数量乘法满足 下述规则，那么称V为数域F上的线性空间。
(7)(k+l)x=((k+l)x1,(k+l)x2, ‥‥,(k+l)xn)T =k(x1,x2, ‥‥,xn)T +l (x1,x2, ‥‥,xn)T =k·x+l·x
(8)k·(x+y)=k·(x1+y1,x2+y2, ‥‥,xn+yn)T =k·x+k·y
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例2.2 考虑C[a,b],x,yC[a,b],kR,
x+ = +x=x
(4)-x= (-x1,-x2, ‥‥,-xn)T ,使 x+(-x)=(-x)+x=
(5) k·(l·x)=k (lx1,lx2, ‥‥,lxn)T
=(kl)((x1,x2, ‥‥,xn)T
=(kl) ·x
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(6)1·x=1·(x1,x2, ‥‥,xn)T = (1x1,1x2, ‥‥,1xn)T = (x1,x2, ‥‥,xn)T =x
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在线性代数中，大家已熟悉了具体的线性空间Rn 和Cn。 这里要在一般集合上建立线性结构，即加法 运算和数乘运算，使集合上有了代数结构。 线性空间上首先有了向量组的线性相关性的概 念，接着建立线性空间上基、坐标、维数的概念。 这样，可以象在Rn上那样研究一般的线性空间。
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一、线性空间的概念
设C是复数集合，K是C的一个非空集合，它含有 0和1，且其中任意两数的和、差、积、商 （除数不为零）仍属于该集合，则称K是一个数 域。 显然，有理数集Q，实数集R，复数集C都是数域。 分别称为有理数域，实数域和复数域。 今后用F代表数域（实数域R或复数域C）。
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(1) 加法满足下面四条规则：x,y,zV,有 ①x+y=y+x; ②x+(y+z)=(x+y)+z; ③零元素V,使x+=x=+x; ④x的唯一负元素-xV,使x+(-x)=.
(2) 数乘满足下面两条规则： x,yV,,F,有 ⑤(x)=()x; ⑥1x=x.
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(3)数乘相对于V上加法和F上的加法相对于 数乘有分配律:
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例2.4 元素属于复数域C的m×n矩阵集合 Cm×n={A=(aij)mn|aij∈C}
按矩阵的加法和数乘构成C上向量空间。
例2.5 给定A∈Cm×n,记
R（A）={y∈Cm|y=Ax,x∈Cn}
N(A)={x∈Cn|Ax=0}
按向量的加法和数乘，是C上线性空间。
证明：设y1,y2∈R(A),则存在x1,x2∈Cn,使