机器人操作的数学导论——机器人位置控制与轨迹跟踪。

(0) d (0),(0) d (0)
M (d )d C(d ,d )d N (d ,d )
根据微分方程解的唯一性，且θ和θd有相同的初始条件，
故对所有t≥0,有θ(t)=θd(t)。这属于开环控制：机器人的 当前状态未用作控制输入。
1 位置控制与轨迹跟踪
前馈分量
后馈分量
前馈分量是驱使系统沿名义轨迹运动所需的力矩 后馈分量是消除机器人轨迹误差所需的补偿力矩
1 位置控制与轨迹跟踪
2 计算力矩法
计算力矩控制规则的稳定性
易知 (e,e) (0,0) 是误差方程的全局渐进稳定平衡点。 若Kd和Kp为正定对称矩阵，那么计算力矩控制规则将使 系统得到指数轨迹跟踪。
若J可逆，则
J 1x, J 1x d (J 1 )x
dt
1 位置控制与轨迹跟踪
4 工作空间控制
将以上各式代入动力学方程，可得
设
则动力学方程 M~ ( )x C~( ,)x N~( ,) F
以上是以工作空间坐标x与机器人位形θ表示的动力学方程。
进稳定的。
V
(
,)

1 T
2
M
(
)

1 2

T
K
p
上述PD规则只对定点是渐进稳定的，若对轨迹跟踪则
需要对控制规则做如下修正。
M ()d C(,)d N(,) Kd e K pe
式中e=θ-θd ,
若Kd，Kp>0,则可证明该控制规则将使系统得到指数稳
用这种方式来设计会存在一些问题，首先，运动学逆 解计算费时，影响实时性要求，另外，在关节空间选 取反馈增益矩阵也比较困难，因为所给的任务是末端 执行器的轨迹。
为克服这些缺点，可以考虑在末端执行器坐标系中解决 问题，这样就无需求解运动学逆解，在控制设计时可使 增益矩阵直接与任务相关。为此可以使用欧拉角等方式 来表示姿态。
这是一个线性系统，有可能根据线性控制理论选取合适 的增益矩阵Kd和Kp，获得所希望的性能指标。 若跟踪轨迹，所选取的增益矩阵不能始终保证处于运动 轨迹上，增益矩阵可能也不合适。
1 位置控制与轨迹跟踪
4 工作空间控制
假设已知表示末端执行器的期望位形轨迹为gd(t)∈SE(3), 可以求解每一瞬时的运动学逆解，获得期望关节转角规 律θd(t)∈Q,然后用前面的方法来设计跟踪改轨迹的反 馈控制器。
1 位置控制与轨迹跟踪
4 工作空间控制
设f:Q→Rp表示 关节变量θ∈Q与工作空间变量x∈Rp之间
光滑且可逆的映射。通常n=p。
机器人在关节空间中的动力学方程为
M ( ) C( ,) N ( ,)
映射f的雅可比矩阵如下
x J ( )
J ( ) f
对于该控制规则，若 d 0 , Kd，Kp>0，则控制规则 （2）将使系统在平衡点θ=θd处为全局渐进稳定。
此时，该闭环系统为
M () C(,) Kd K p ( d ) 0
1 位置控制与轨迹跟踪
3 PD控制
可构造如下利亚普诺夫函数，可证明其在平衡点是渐
1 提出
这样的控制策略鲁棒性差，若θ(0)≠θd(0), 则开环控制无 法修正该误差。
由此，必须在控制规则中引入反馈系统，是机器人的实 际轨迹收敛于期望轨迹，当轨迹为一点时，闭环系统在 期望点处应为渐进稳定。
控制规则的性能很大程度上与机器人有关，下面给出的 控制规则仅是反馈补偿的基础。
1 位置控制与轨迹跟踪
计算力矩法是典型的考虑机器人动力学模型的动态控 制方案，解决机器人轨迹跟踪的许多其它控制方法均 可视为计算力矩法的推广。
1 位置控制与轨迹跟踪
3 PD控制
非线性系统的另一种控制方法是基于系统在操作点线 性化的控制器，基于这种思想，便有PD控制规则。
K d e K pe
（2）
Fra Baidu bibliotek式中e=θ-θd ,Kd和Kp为正定矩阵。该控制规则没有前馈 项，不能获得准确的无误差轨迹跟踪。
d
该控制规则不能修正初始条件误差。
1 位置控制与轨迹跟踪
2 计算力矩法
引入状态反馈后，可提高控制规则的跟踪性，如下
M()(d Kd e K pe) C(,) N(,) （1）
式中e=θ-θd ,Kd和Kp为定常增益矩阵 代入动力学方程可得
2 计算力矩法
控制方案基本思路：给定操作器当前位置和速度，引 入一非线性补偿，将其化为一更易于控制的线性定常 系统。具体地，先引入控制
M ( )d C( ,) N ( ,)
代入动力学方程可得，消去非线性项
M ( ) M ( )d
M(θ)关于θ一致正定，得一解耦的线性系统
M ( )(e K d e K pe) 0
M(θ)总是正定，故有 e K d e K pe 0
这就是控制实际轨迹与期望轨迹之间误差的线性微分方 程。式（1）称为计算力矩控制规则
1 位置控制与轨迹跟踪
2 计算力矩法
该力矩控制规则由两部分组成
M ()d C(,) N(,) M ()(Kd e K pe)
1 位置控制与轨迹跟踪
4 工作空间控制
工作空间动力学结构特性
工作空间动力学与一关节坐标写出的开链机器人动力 学方程具有相同的基本结构，且具有以上两个性质， 故可将控制规则推广到工作空间坐标。 计算力矩规则为：
定性，进行轨迹跟踪。
运用该控制规则时的困难是如何选取合适的增益矩阵。
1 位置控制与轨迹跟踪
3 PD控制
闭环系统的方程为。
M ()e C(,)e Kd e K pe 0
对其在给定工作点θ0线性化时误差动力学方程为：
M (0 )e K d e K pe 0
机器人位置控制与轨迹跟踪
主要内容
1、 计算力矩法 2、PD控制 3、工作空间控制
1 位置控制与轨迹跟踪
1 问题描述
机器人的动力学方程为：
M ( ) C( ,) N ( ,)
若给定关节期望运动规律θd, 假设θd在任意时刻都是确
定的，且至少二阶可微。并且
通过取