二次函数表达式的确定
第二章二次函数
《确定二次函数的表达式(第1课时）》
教学设计
一、学生知识状况分析
学生已经学习了二次函数的一般式和顶点式表达式，二次函数的图像和性质，尤其对特殊类型的二次函数图像已有充分的认识.以前学生已经学习了用待定系数法确定一次函数和反比例函数的关系式，因此本节课学生用类比的方法学习待定系数法确定二次函数的表达式应该并不陌生和困难，因此，课堂教学时应鼓励学生敢于探究与实践，通过小组合作交流等形式，充分调动学生自主学习积极性和培养学生主动发展的习惯和能力.在学生自主学习时，要注意引导学生灵活应用二次函数的三种形式:一般式，顶点式，交点式，以便在用待定系数法求解二次函数表达式时减少未知数的个数，简化运算过程.
二、教学任务分析
本节内容是义务教育课程标准实验教科书数学（北师大版）九年级下册第二章第3节《确定二次函数的表达式》的第1课时. 本节课是在学习二次函数的表达式和图像性质的基础上展现，目的为二次函数的的实际应用奠基，是本章学习的关键点.本节课既要承接上一节课的数形结合的数学思想，又要能够根据实际问题抽象数学模型，用待定系数法求解二次函数表达式，学生能够根据条件灵活应用二次函数的三种形式:一般式，顶点式，交点式，以便在用待定系数法求解二次函数表达式时减少未知数的个数，简化运算过程.
本节课的教学目标
知识与技能：
能够根据二次函数的图像和性质建立合适的直角坐标系，确定函数关系式，并会根据条件利用待定系数法求二次函数的表达式.
过程与方法：
经历确定适当的直角坐标系以及根据点的坐标确定二次函数表达式的思维过程，类比求一次函数的表达式的方法，体会求二次函数表达式的思想方法.
情感、态度与价值观：
能把实际问题抽象为数学问题，也能把所学知识运用于实践，培养学生积极参与的意识，加深学生在生活中学数学，将数学知识服务于生活的学习理念，养成学生善于主动学习、乐于合作交流、学会总结提升的学习习惯，激发和调动学生学习的积极性和主动性，培养数学的应用意识.
学习重点：根据问题灵活选用二次函数表达式的不同形式，用待定系数法确定二次函数表达式.
学习难点：根据问题灵活选用二次函数表达式的不同形式，用待定系数法确定二次函数表达式.
三、教学过程设计
本节课设计了六个教学环节：
第一环节 复习引入
1.二次函数表达式的一般形式是什么?
y=ax 2+bx+c (a,b,c 为常数,a ≠0) 2.二次函数表达式的顶点式是什么?
k h x a y +-=2)( (a ≠0).
3.若二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)与x 轴两交点为(1x ,0),( 2x ,0)则其函数表达式可以表示成什么形式?
)x -x (x -x 21）（a y = (a ≠0).
复习引入
初步探究
深入探究
反馈练习 与知识拓展
课时小结
作业布置
4.我们在用待定系数法确定一次函数y=kx+b (k,b 为常数，k ≠0)的关系式时，通常需要 个独立的条件；确定反比例函数x
k
y =(k ≠0)的关系式时，通常只需要 个条件.
如果要确定二次函数的关系式y=ax 2+bx+c (a,b,c 为常数,a ≠0)，通常又需要几个条件 ?(学生思考讨论后，回答)
第二环节 初步探究
引例 如图2-7是一名学生推铅球时，铅球行进高度y (m)与水平距离x (m)的图象，你能求出其表达式吗？
分析：要求y 与x 之间的关系式，首先应观察图
象，确定函数的类型，然后根据函数的类型设它对应的解析式，再把已知点的坐标代入解析式求出待定系数即可．
此题设二次函数的顶点坐标式进行求解较为简便，学生较易接受；如学生通
过找（10，0）在抛物线上的对称点（-2，0），用交点式)x -x (x -x 21）
（a y = (a ≠0)求解或用其他方法求解均可.
解：根据图象是一抛物线且顶点坐标为（4，3），因此设它的关系式为
3)4(2+-=x a y ,
又∵图象过点（10，0）, ∴03)410(2=+-a , 解得 12
1
-
=a , ∴图象的表达式为3)4(12
1
2+--
=x y . 想一想：确定二次函数的表达式需要几个条件？
小结：确定二次函数的关系式y=ax 2+bx+c (a,b,c 为常数,a ≠0)，通常需要3 个条件; 当知道顶点坐标（h,k ）和知道图象上的另一点坐标两个条件，用顶点式k h x a y +-=2)(可以确定二次函数的关系式.
例1 已知二次函数y=ax 2+c 的图象经过点（2，3）和（－1，－3），求出这
个二次函数的表达式.
分析：二次函数y=ax 2+c 中只需确定a,c 两个系数，需要知道两个点坐标，因此此题只要把已知两点代入即可.
解：将点（2，3）和（－1，－3）分别代入二次函数y=ax 2+c 中，得
?
?
?+=-+=,3,
43c a c a 解这个方程组，得
??
?-==.
5,
2c a ∴所求二次函数表达式为：y=2x 2－5.
第三环节 深入探究
例 已知二次函数的图象与y 轴交点的纵坐标为1，且经过点（2，5）和（-2，13），求这个二次函数的表达式.
目的：此例求二次函数的表达式，一方面让学生深入探究根据不同的条件灵活选用二次函数的不同形式，通过待定系数法求出函数关系式，另一方面让学生通过实践感受到二次函数一般式y=ax 2+bx+c 确定二次函数需要三个条件．但由于这个二次函数图象与y 轴交点的纵坐标为1，所以c =1，因此可设y=ax 2+bx+1把已知的二点代入关系式求出a,b 的值即可.
教学注意事项：学生可能会根据条件，设二次函数的解析式y=ax 2+bx+c ，把点（0，1），（2，5），（-2，13）代入，用三元一次方程组解决，这对一些学生可能有一定的困难，可通过小组合作交流、个别辅导等形式解决.
解法 1 解：因为抛物线与y 轴交点纵坐标为1，所以设抛物线关系式为
12++=bx ax y ，
∵图象经过点(2,5)和(-2,13)
∴???=+-=++,
13124,5124b a b a 解得：a=2,b=-2.
∴这个二次函数关系式为 1222+-=x x y .
解法2 解：设抛物线关系式为 y=ax 2+bx+c ,由题意可知，图象经过点（0，1），(2,5)和(-2,13)，
∴???
??=+-=++=,
1324,524,
1c b a c b a c 解方程组得：a =2,b =-2，c =1.
∴这个二次函数关系式为 1222+-=x x y 想一想
在什么情况下，一个二次函数只知道其中两点就可以确定它的表达式？ 小结：1.用顶点式k h x a y +-=2)(确定二次函数关系式，当知道顶点（h,k ）坐标时，那么再知道图象上的另一点坐标，就可以确定这个二次函数的关系式. 2. 用一般式y=ax 2+bx+c 确定二次函数时，如果系数a,b,c 中有两个是未知的，知道图象上两个点的坐标，也可以确定二次函数的表达式.
如果系数a,b,c 中三个都是未知的，这个我们将在下节课中进行研究.
第四环节：反馈练习与知识拓展
1.已知二次函数的图象顶点是（-1，1），且经过点（1，-3），求这个二次函数的表达式.
2. 已知二次函数y=x 2+bx+c 的图象经过点（1，1）与（2，3）两点.求这个二次函数的表达式.
答案：1.用顶点式1)1(2++-=x y ；
2.12+-=x x y ； 目的：
四个练习旨在对学生求二次函数表达式的掌握情况进行反馈，以便及时调整教学进程．
四个不同类型的问题由浅入深，学生能从不同角度掌握求二次函数的方法．对于练习题3，设抛物线的三种表达式都可以求解，应给学生有充分的交流
时间，让学生体会到这题用交点式求解更为简便.可以形对于练习题４，教师可引导学生分析，并教学生要学会建立适当的直角坐标系，利用图象分析问题，体会数形结合方法的重要性．学生若出现解题格式不规范的情况，教师应纠正并给予示范，训练学生规范答题的习惯．
第五环节课时小结
内容：
总结本课知识与方法
1．本节课主要学习了怎样确定二次函数的表达式，在确定二次函数的表达式时可以用待定系数法，即先设出二次函数的解析式，再根据题目条件（根据图象或已知点）列出方程（组），解方程组求出待确定的系数，最后答(把求出的系数代回关系式中写出关系式).在解题时应灵活应用二次函数的三种形式:一般式，顶点式，交点式，以便在用待定系数法求解二次函数表达式时减少未知数的个数，简化运算过程.
因此，用待定系数法确定二次函数表达式的步骤：（设-列-解-答）
方程思想
数形结合
2．本节课用到的主要的数学思想方法：数形结合、方程的思想．
目的：引导学生小结本课的知识及数学方法，使知识系统化．
3.学习了在什么情况下，一个二次函数只知道其中两点就可以确定它的表达式？
（1）用顶点式k
=2)
(确定二次函数关系式，当知道顶点（h,k）坐
-
a
h
x
y+
标时，那么再知道图象上的另一点坐标，就可以确定这个二次函数的关系式.
（2）用一般式y=ax2+bx+c确定二次函数时，如果系数a,b,c中有两个是未
知的，知道图象上两个点的坐标，也可以确定二次函数的表达式.
第六环节作业布置
课本习题 2.6 第1，2，3题
四、教学设计反思
1.设计理念
本节课的重点是要学生了解用待定系数法求二次函数的表达式需要两个条
件的情况，掌握用待定系数法确定二次函数表达式的步骤和方法，并能根据条件
灵活应用二次函数的三种形式:一般式，顶点式，交点式，以便在用待定系数法
求解二次函数表达式时减少未知数的个数，简化运算过程.本节课设计注重发展
了学生的数形结合的思想方法及综合分析解决问题的能力及应用意识的培养，为
后继学习打下基础．
2．突出重点、突破难点策略
探究的过程由浅入深，并利用了丰富的实际情景，既增加了学生学习的兴趣，
又让学生深切体会到二次函数就在我们身边．教学中注意到利用问题串的形式，
层层递进，逐步让学生掌握求二次函数表达式的一般方法．教学中还注意到尊重
学生的个体差异，开展小组合作交流，充分调动学生自主学习的积极性和创造性，
使每个学生都学有所获．
3.分层教学
根据本班学生及教学情况可在教学过程中还可选用拓展资源中《确定二次函
数关系式的常见题型及解法》或补充练习题进行相应的补充或拓展．
附：板书设计
学生演算板书
引例
用待定系数法确定二次函数的表达式的步骤例1
（设-列-解-答）
《求二次函数的表达式》练习题
3.求二次函数的表达式 类型一：已知顶点和另外一点用顶点式 已知一个二次函数的图象过点（0，1），它的顶点坐标是（8，9），求这个二次函数关系式． 练习： 已知抛物线的顶点是（－1，－2），且过点（1，10），求其解析式 类型二：已知图像上任意三点（现一般有一点在y轴上）用一般式 已知二次函数的图象过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式． 练习： 已知抛物线过三点：（－1，2），（0，1），（2，－7）．求解析式
类型三：已知图像与x轴两个交点坐标和另外一点坐标，用两根式 已知二次函数的图象过（-2，0）、（4，0）、（0，3）三点，求这个二次函数的关系式． 练习： 已知抛物线过三点：（－1，0）、（1，0）、（0，3）． （1）.求这条抛物线所对应的二次函数的关系式； （2）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？ 巩固练习： 1.已知二次函数的图象过（3，0）、（2，-3）二点,且对称轴是x=1，求这个二次函数的关系式． 2..已知二次函数的图象过（3，-2）、（2，-3）二点,且对称轴是x=1，求这个二次函数的关系式．
3.已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C。若AC=20,BC=15, ∠ACB=90°，试确定这个二次函数的解析式 4.已知一个二次函数当x=8时,函数有最大值9,且图象过点（0，1）,求这个二次函数的关系式． 小测： 1.二次函数y=x2－2x－k的最小值为－5，则解析式为。 2.若一抛物线与x轴两个交点间的距离为8，且顶点坐标为（1, 5），则它们的解析式为。 3.已知一个二次函数的图象经过点(6,0),且抛物线的顶点是(4,－8)，求它的解析式。 4.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象顶点坐标为(－2，3)，且过点(1，0)，求此二次函数的解析式．
二次函数的图像及其三种表达式
二次函数的图像及其三种表达式 学生： 时间： 学习目标 1、熟悉常见的二次函数的图像； 2、理解二次函数的三种表达式 知识点分析 1、.二次函数的三种表达式 一般式：y=ax^2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ≠0） 顶点式：y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P （h ，k ）] 交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x 轴有交点A （x1，0）和 B （x2，0）的抛物线] 2、一般地，自变量x 和因变量y 之间存在如下关系： y=ax^2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ≠0，且a 决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI 还可以决定开口大小,IaI 越大开口就越小,IaI 越小开口就越大.） 则称y 为x 的二次函数。 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 例题精讲 例题1已知函数y=x 2 ＋bx ＋1的图象经过点（3，2）． （1）求这个函数的表达式； （2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标； （3）当x ＞0时，求使y ≥2的x 的取值范围． 例题2、一次函数y=2x ＋3，与二次函数y=ax 2 ＋bx ＋c 的图象交于A （m ，5）和B （3，n ）两点，且当x=3时，抛物线取得最值为9． （1）求二次函数的表达式； （2）在同一坐标系中画出两个函数的图象； （3）从图象上观察，x 为何值时，一次函数与二次函数的值都随x 的增大而增大． （4）当x 为何值时，一次函数值大于二次函数值？ 随堂练习 1．已知函数y=ax 2 ＋bx ＋c （a ≠0）的图象，如图①所示，则下列关系式中成立的是（ ） A ．0＜－ a b 2＜1 B ．0＜－a b 2＜2 C ．1＜－a b 2＜2 D ．－a b 2=1 图① 图② 2.函数y = 21x 2 +2x +1写成y =a (x －h)2+k 的形式是 A.y =21(x －1)2+2 B.y =21(x －1)2+2 1
九年级数学：二次函数表达式的确定练习(含解析)
九年级数学：二次函数表达式的确定练习（含解析） 1.函数y =21 x 2+2x +1写成y =a (x －h)2+k 的形式是 A.y =21 (x －1)2+2 B.y =21(x －1)2+21 C.y =21 (x －1)2－3 D.y =21 (x +2)2－1 2.抛物线y =－2x 2－x +1的顶点在第_____象限 A.一 B.二 C.三 D.四 3.不论m 取任何实数，抛物线y =a (x +m )2+m (a ≠0)的顶点都 A.在y =x 直线上 B.在直线y =－x 上 C.在x 轴上 D.在y 轴上 4.任给一些不同的实数n ，得到不同的抛物线y =2x 2+n ，如当n =0，±2时，关于这些抛物线有以下结论：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状都相同；④都有最低点，其中判断正确的个数是 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.二次函数y =x 2+p x +q 中，若p+q=0，则它的图象必经过下列四点中 A.(－1，1) B.(1，－1) C.(－1，－1) D.(1，1) 图3 6.下列说法错误的是 A.二次函数y =－2x 2中，当x =0时，y 有最大值是0 B.二次函数y =4x 2中，当x >0时，y 随x 的增大而增大 C.在三条抛物线y =2x 2 ，y =－0.5x 2 ，y =－x 2 中，y =2x 2 的图象开口最大，y =－x 2 的图象开口最小 D.不论a 是正数还是负数，抛物线y =ax 2(a ≠0)的顶点一定是坐标原点 7.已知二次函数y =x 2+(2k +1)x +k 2－1的最小值是0，则k 的值是 A.43 B.－43 C.45 D.－45
二次函数表达式、图象、性质及计算(讲义)
二次函数表达式、图象、性质 及计算（讲义） 一、知识点睛 1． 一般地，形如__________________（_______________）的 函数叫做x 的二次函数． 2． 表达式、图象及性质： ①由一般式通过______________可推导出顶点式． 顶点式：________________（其中h =______，k =_________）． ②二次函数的图象是_________，是________图形，对称轴是__________，顶点坐标是_____________． ③当a_______时，函数有最_____值，是____________； 当a_______时，函数有最_____值，是____________． ④当a _____时，图象以对称轴为界，当x______时，y 随x 的增大而_______，当x______时，y 随x 的增大而_______；当a_____时，图 象以对称轴为界，当x______时，y 随x 的增大而_______，当x______时，y 随x 的增大而_______． ⑤a ，b ，c 符号与图象的关系： a 的符号决定了抛物线的开口方向，当_____时，开口向____；当_____时，开口向____． c 是抛物线与_______交点的______． b 的符号：与a_____________，根据_____________可推导． 3． 二次函数图象平移： ①二次函数图象平移的本质是__________，关键在______． ②图象平移口诀：________________、________________． 平移口诀主要针对二次函数_________________． 二、精讲精练 1. 下列函数（x ，t 是自变量）是二次函数的有________．（填写序号） ①2132y x x =--；②2123y x x =-+；③21 32 y x =-+； ④2 22y x =+；⑤2y x =-；⑥231252 y x x =-+； ⑦215s t t =++；⑧2 20x y -+=． 2. 若函数7 2 )3(--a x a y =为二次函数，则a =（ ） A ．-3 B ．3 C ．±3 D ．5 3. 通过配方把221213y x x =-+写成2 ()y a x h k =-+的形式（ ） A ．2 (3)5y x =-- B ．2 (3)5y x =+- C ．2 2(3)5y x =-+ D ．2 2(3)5y x =--