两个正态总体均值差及方差比的置信区间

2 2 Y ~ N 2 , n , 2
或
X Y 1 2 ~ N 0, 1,
1
2
n1

2
2
n2
于是得 1 2的一个置信度为1 的置信区间
2 2 1 2 X Y z / 2 . n n 1 2
2
个总体 N ( 2 , 2 )的样本, X ,Y 分别是第一、二个
2
总体的样本均值 , S1 , S2 分别是第一、二个总体 的样本方差.
2
2
讨论两个正态总体均值差和方差比的估计问题.
1. 两个总体均值差1 2 的置信区间
(1) 1 和 2 均为已知
2 2
1 2的一个置信度为1 的置信区间
要点回顾
无偏性 1. 估计量的评选的三个标准 有效性 相合性 2. 置信区间是一个随机区 间 ( , ), 它覆盖未知参 数具有预先给定的概率 ( 置信水平) , 即对于任
意的 , 有 P{ } 1 . 求置信区间的一般步骤(分三步).
的置信水平为0.95的置信区间。
样本容量 样本均值 样本标准差
连续训练 间断训练 n2 7 n1 9 x 43.71 y 39.63
s1 5.88 s2 7.68
解
现在 1 0.95 , / 2 0.025 ,
t0.025 (n1 n2 2) t0.025 (14) 2.1448.
( 3) 1
2
1 2的一个置信度为1 的置信区间
1 1 X Y t / 2 ( n1 n2 2) S w n n . 1 2
其中 S w
2
( n 1) S1 ( n2 1) S2 2 1 , Sw Sw . n1 n2 2
y 176.78,
s2 5.86,
得 1 2 的一个置信水平为0.90的置信区间为
，
解
现在 n1 n2 5 , 1 0.90, / 2 0.05, t0.05 (5 5 2) 1.8595.
2 2 4( s1 s2 ) x y 11.16, s (5.96) 2 8 2 w
经计算 x 165.62,
s1 6.05,
3. 单个正态总体均值 的置信区间 2 X z (1) 为已知, / 2 . n S ( 2) 2为未知, X t ( n 1 ) . /2 n
4. 单个正态总体方差 2 的置信区间
( n 1) S 2 ( n 1) S 2 2 ( n 1) , 2 ( n 1) . /2 1 / 2
1 1 x y t 0.025 ( n1 n2 2) s w n1 n2
(43.71 - 39.63 2.1448 6.71 16/ 63) ,
即 （4.08±7.25）＝（－3.17，11.33）.
例2 测得两个民族中各5位成年人的身高 （以cm计）如下
2
2
例1. 耗氧率是跑步运动员生理活力的一个重要测度。 文献中报导了大学生男运动员的两种不同的训练方法， 一种是在一定时段内每日连续训练；另一种是间断训练 （两种训练方法总训时间相同）。下面给出了两种不同 训练方法下的实测数据。单位为毫升（氧）/千克 （体重）· 分钟。设数据分别来自正态总体 N ( 1 , 2 ) ，两总体方差相同， 和 N ( 2 , 2 ) 样本相互独立， 两 2 2， 1 ， 均未知。求两总体均值差 1 2
( 50即可), 则有 ( 2) 1 和 2 均为未知, 只要n1和n2都很大
2 2
1 2的一个置信度为1 的近似置信区间
2 2 S S 1 2 X Y z / 2 . n n 1 2 2 2 2 2 , 但 为未知,
2 2 1 2 X Y z / 2 . n n 1 2
推导过程如下:
因为 X , Y 分别是 1 , 2 的无偏估计, 所以 X Y 是 1 2 的无偏估计,
2 1 由 X , Y 的独立性及 X ~ N 1 , n , 1 2 2 1 2 可知 X Y ~ N 1 2 , , n1 n2
6.5 两个正态总体均值差及 方差比的置信区间
1. 两正态总体均值差 1 2的置信区间
1 2. 两 个 总 体 方 差 比 2 的 置 信 区 间 2
2
3. 小结
设给定置信度为 1 , 并设 X 1 , X 2 ,, X n 为 第一个总体N ( 1 , 1 )的样本, Y1 ,Y2 ,,Yn 为第二
A民族 162.6 170.2 172.7 165.1 157.5
B民族 175.3
177.8 167.6
，
180.3 182.9
设样本分别来自总体 N (1 , 2 ) , 源自文库 ( 2 , 2 ) , 1 ,
2 , 2 未知，两样本独立，求 1 2 的置信水
平为0.90的置信区间。
2 2 ( n 1 ) s ( n 1 ) s 2 1 2 2 sw 1 n1 n2 2
8 5.882 6 7.682 6.712 . 14
1 1 由 X Y t / 2 ( n1 n2 2) S w n n .得所求 1 2 1 2 的一个置信水 平为0.95的置信区间为