《线性代数与概率统计》(线性代数)试卷A 答案

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计算机系

《线性代数与概率统计》（线性代数）课程试卷 (A)

参考答案及评分标准

一、单项选择题（本大题共 5 题，每小题 3 分，共 15 分)

1. 行列式x 010x

4

x

1

3 的展开式中，2x 的系数为（ B ）

A. -1

B. 2

C. 3

D. 4

2. n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是( B )。 A.n r A r <=)(

B.A 的列秩为n

C.A 的每一个行向量都是非零向量

D. 伴随矩阵存在

3.n 维向量组)2(,,,21≥s s ααα 线性相关的充要条件是( D ) A. s ααα,,,21 中至少有一个零向量 B. s ααα,,,21 中至少有两个向量成比例 C. s ααα,,,21 中任意两个向量不成比例

D.

s ααα,,,21 中至少有一向量可由其它向量线性表示

4. n 阶对称阵A 为正定矩阵的充分必要条件是（ C ）

A. 0A >

B. A 等价于单位矩阵E

C. A 的特征值都大于0

D. 存在n 阶矩阵C ，使T

A C C =

5. 当r (A )=r (A ,B ) < n 时，则n 元线性方程组AX = B （ A ） A ．有无穷多解

B. 无解

C. 有唯一解

D. 无法确定解的个数

二、填空题（本大题共 5 题，每小题 3 分，共 15 分)

1. 设A 为三阶矩阵，且2=A ，则=A 3 54

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线 内 不 准 答 题

2. n 维零向量一定线性___相___关。

3. 设向量T )1,0,

1(1=α与T a ),1,1(2=α正交，则=a -1 。

4. 设A 为正交矩阵，则=A A T

1

5. 设三阶矩阵A 的特征值为-2、1、4，则=A -8

三、计算题（本大题共6 题，每小题10分，共 60 分)

1. 计算4阶行列式

21231000

23126231

解： 21231000

2312

6231

=

(4分) =-1*（1+8+27-6-6-6） (8分)

=-18 (10分)

2. 求矩阵⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛---145243121的逆矩阵。

解法一： |A |=2≠0, 故A -1存在.

(2分)

因为

⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A ,

(6分)

所以

*||11

A A A =-⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-----=1716213213012.

(10分)

解法二：⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛---100145010243001121

(4分)

132213321)1(12+-

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⎪

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-----→1716100213213010012001

(8分)

所以

1

-A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛-----=1716213213012

(10分)

3.设向量组()T

a 1,3,1=α，()T

b 3,,22=α，()T 1,2,13=α，()T

1,3,24=α的秩为2，求a,b 。

解：()⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛=3111332221,,,2143b a αααα (3分)

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛----→52001110311

1b a a (7分)

而r ()2143,,,αααα=2,

(8分) 所以a =2,b =5。

(10分)

4.求齐次线性方程组的基础解系:

⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=++-02683054202108432143214321x x x x x x x x x x x x ;

解 对系数矩阵进行初等行变换, 有

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=00004/14/31004

01 2683154221081~r A , (5分)

于是得

⎩⎨⎧+=-=432

3

1)4/1()4/3(4x

x x x x . (7分) 取(x 3, x 4)T =(4, 0)T , 得(x 1, x 2)T =(-16, 3)T ; 取(x 3, x 4)T =(0, 4)T , 得(x 1, x 2)T =(0, 1)T .

(9分) 因此方程组的基础解系为

ξ1=(-16, 3, 4, 0)T

, ξ2=(0, 1, 0, 4)T

.

(10分)

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线 内 不 准

答 题

5、判断实二次型：31212

3222132122462),,(x x x x x x x x x x f ++---=的正定性。

解：由于⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛---=40

1061

112

A (3分)

a 11=-2<0

(5分) 0116

11

2>=--

(7分)

0384

01

0611

12<-=---

(9分)

所以f 为负定的。

(10分)

6、求矩阵⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛--=314020

112A 的全部特征值和特征向量 解：I A λ-=

λ

λλ

-----314

020

1

12

(2分)

()()2

21-+-=λλ

所以 A 的特征值为 1λ = −1，2λ = 3λ= 2 ． (4分)

当1λ = −1 时，因为

解方程组 (A + E ) x = 0．

解得基础解系

1111101030~010414000r

A E A E λ--⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪-=+= ⎪

⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝

⎭

1101p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪

⎝⎭