走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学阶段性测试题5

阶段性测试题五(平面向量)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150

分。考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题共60分)

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．(文)(2014·浙江杜桥中学期中)已知向量a＝(1，m)，向量b＝(m,2)．若a∥b，则实数m等于()

A．－2 B. 2

C．±2 D．0

[答案] C

[解析]∵a∥b，∴1×2－m2＝0，

∴m＝±2.

(理)(2014·抚顺市六校联合体期中)已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)．若a＋b与4b－2a平行，则实数x的值是()

A．－2 B．0

C．1 D．2

[答案] D

[解析]∵a＋b＝(3,1＋x)，4b－2a＝(6,4x－2)，a＋b与4b－2a 平行，∴3(4x－2)－6(1＋x)＝0，∴x＝2.

2．(2014·威海期中)已知|a|＝1，|b|＝2，〈a，b〉＝60°，则|2a－b|＝()

A．2 B．4

C．2 2 D．8

[答案] A

[解析] 由条件知|a |2＝1，|b |2＝4，a ·b ＝1， ∴|2a －b |2＝4|a |2＋|b |2－4a ·b ＝4，∴|2a －b |＝2.

3．(文)(2014·甘肃省金昌市二中期中)若|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为( )

A ．30°

B ．60°

C ．120°

D ．150°

[答案] C

[解析] ∵c ⊥a ，∴c ·a ＝(a ＋b )·a ＝|a |2＋a ·b ＝0，∴a ·b ＝－1，即1×2×cos 〈a ，b 〉＝－1，

∴cos 〈a ，b 〉＝－1

2，∴〈a ，b 〉＝120°.

(理)(2014·营口三中期中)已知a ＋b ＋c ＝0，且a 与c 的夹角为60°，|b |＝3|a |，则cos 〈a ，b 〉等于( )

A.32

B.2

2 C ．－12 D ．－3

2 [答案] D

[解析] 设〈a ，b 〉＝α，∵|b |＝3|a |， ∴|b |2＝3|a |2，a ·b ＝3|a |2cos α， a ·c ＝|a |·|c |·cos60°＝12|a |·|a ＋b |. ∵a ·c ＝－(a ＋b )·a ＝－|a |2－a ·b ＝－|a |2－3|a |2cos α， |a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b

＝|a |2＋3|a |2＋23|a |2cos α＝4|a |2＋23|a |2cos α，

∴－|a |2

－3|a |2

cos α＝1

2|a |·4|a |2＋23|a |2cos α，

∴－3cos α－1＝124＋23cos α，∴cos α＝－3

2，故选D. 4．(2014·泸州市一诊)△ABC 中，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝( )

A.1

3 B.23 C ．－23 D ．－13

[答案] B

[解析] ∵AD →＝2DB →，∴AD →＝23AB →＝23(CB →－CA →)，

∴CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →， ∴λ＝2

3.

5．(文)(2014·华安、连城、永安、漳平、泉港一中、龙海二中六校联考)在△ABC 中，D 是BC 的中点，AD ＝3，点P 在AD 上且满足AD →＝3AP →，则DA →·(PB

→＋PC →)＝( ) A ．6 B ．－6 C ．－12 D ．12

[答案] C

[解析] ∵AD ＝3，AD

→＝3AP →，∴|AD →|＝3，|AP →|＝1，

∴|PD

→|＝2， ∵D 为BC 的中点，∴DA →·(PB →＋PC →)＝DA →·2PD →＝－2·|DA →|·|PD →|＝－12.

(理)(2014·开滦二中期中)已知△ABC 中，AB ＝AC ＝4，BC ＝43，点P 为BC 边所在直线上的一个动点，则AP →·(AB

→＋AC →)满足( ) A ．最大值为16 B ．最小值为4 C ．为定值8 D ．与P 的位置有关

[答案] C

[解析] 设BC 边中点为D ，〈AP →，AD →〉＝α，则|AD →|＝|AP →|·cos α，

∵AB ＝AC ＝4，BC ＝43，∴∠BAC ＝120°，∴0°≤α≤60°， ∴AP →·(AB →＋AC →)＝AP →·2AD →＝2|AP →|·|AD →|·cos α ＝2|AD

→|2＝8. 6．(2014·辽宁师大附中期中)已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb ，λ，μ∈R ，那么A 、B 、C 三点共线的充要条件为( )

A ．λ＋μ＝2

B ．λ－μ＝1

C ．λμ＝－1

D ．λμ＝1

[答案] D

[解析] ∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →与AC →共线，∴存在实数k ，使得AB

→＝kAC →，即λa ＋b ＝k (a ＋μb )，

∵a 、b 不共线，∴⎩

⎪⎨⎪⎧

λ＝k ，

1＝kμ，∴λμ＝1，故选D.

7．(2014·抚顺二中期中)已知向量a ＝(cos75°，sin75°)，b ＝(cos15°，sin15°)，则a －b 与b 的夹角为( )

A ．30°

B ．60°

C ．120°

D ．150°

[答案] C

[解析] 解法1：∵a －b ＝(cos75°－cos15°，sin75°－sin15°)， ∴|a －b |2＝(cos75°－cos15°)2＋(sin75°－sin15°)2＝2－2(cos75°cos15°＋sin75°sin15°)＝2－2cos60°＝1，

∴|a －b |＝1，又b ＝1，(a －b )·b ＝a ·b －|b |2

＝cos75°cos15°＋sin75°sin15°－1＝cos60°－1＝－1

2， ∴cos 〈a －b ，b 〉＝(a －b )·b |a －b |·|b |＝－1

2

1×1＝－1

2，

∴〈a －b ，b 〉＝120°.

解法2：作单位圆如图，∠AOx ＝75°，∠BOx ＝15°，则OA →＝a ，OB

→＝b ，BA →＝OA →－OB →＝a －b ，∴△AOB 为正三角形，

∴∠ABO ＝60°，从而OB →与BA →所成的角为120°， 即b 与a －b 所成的角为120°.

[点评] 数形结合解答本题显得特别简捷．