2015-2016年山东省枣庄市高三上学期期末数学试卷(理科)和答案

2015-2016学年山东省枣庄市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={﹣2，0，2}，B={x|x2﹣x﹣2≤0}，则A∩B=（）A．{0}B．{2}C．{﹣2，0}D．{0，2}2．（5分）直线l：x+y﹣3=0的倾斜角α为（）A．B．C．D．3．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=2，b=2，C=30°，则角B等于（A．30°B．60°C．30°或60°D．60°或120°4．（5分）已知实数x，y满足，则x+y的最小值为（）A．2B．3C．4D．55．（5分）设a=log0.32，b=log32，c=20.3，则这三个数的大小关系是（）A．b＞c＞a B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．c＞b＞a 6．（5分）已知命题p：∀x∈（1，+∞），＞1；命题q：∀a∈（0，1），函数y=a x在（﹣∞，+∞）上为减函数，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q7．（5分）若函数的图象向左平移个单位，得到的函数图象的对称中心与f（x）图象的对称中心重合，则ω的最小值是（）A．1B．2C．4D．88．（5分）已知△ABC，若对∀t∈R，||，则△ABC的形状为（）A．必为锐角三角形B．必为直角三角形C．必为钝角三角形D．答案不确定9．（5分）函数的零点的个数为（）A．3B．4C．5D．610．（5分）已知圆C：x2+y2=1，点P在直线l：y=x+2上，若圆C上存在两点A，B使得，则点P的横坐标的取值范围为（）A．B．C．[﹣1，0]D．[﹣2，0]二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．（5分）已知随机变量X﹣B（n，p），且E（X）=2，D（X）=1，则p=．12．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈[0，1）时，f（x）=x，则=．13．（5分）观察如图等式，照此规律，第n个等式为．14．（5分）某几何体的三视图如图所示，其俯视图的外轮廓是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是．15．（5分）已知直线y=k（x﹣m）与抛物线y2=2px（p＞0）交于A、B两点，O 为坐标原点，OA⊥OB，OD⊥AB于D，点D在曲线x2+y2﹣4x=0上，则p=．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．（12分）已知直线x=与直线x=是函数的图象的两条相邻的对称轴．（1）求ω，φ的值； （2）若，f （α）=﹣，求sinα的值．17．（12分）已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=，公比q ＞0，S 1+a 1，S 3+a 3，S 2+a 2成等差数列． （1）求a n ； （2）设b n =，求数列{c n }的前n 项和T n ．18．（12分）甲，乙，丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为，乙，丙做对的概率分别为m ，n （m ＞n ），且三位学生是否做对相互独立．记ξ为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为： ξ 01 2 3Pab（1）求至少有一位学生做对该题的概率； （2）求m ，n 的值； （3）求ξ的数学期望．19．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC=2，E 是PC 的中点． （1）求证：PA ∥平面EDB ；（2）求锐二面角C ﹣PB ﹣D 的大小．20．（13分）已知椭圆+=1（a ＞b ＞0）上一点与它的左、右两个焦点F 1，F 2的距离之和为2，且它的离心率与双曲线x 2﹣y 2=2的离心率互为倒数．（1）求椭圆的方程；（2）如图，点A 为椭圆上一动点（非长轴端点），AF 1的延长线与椭圆交于点B ，AO 的延长线与椭圆交于点C ．①当直线AB的斜率存在时，求证：直线AB与BC的斜率之积为定值；②求△ABC面积的最大值，并求此时直线AB的方程．21．（14分）已知函数f（x）=x4lnx﹣a（x4﹣1），a∈R．（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若当x≥1时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；（3）f（x）的极小值为φ（a），当a＞0时，求证：．（e=2.71828…为自然对数的底）2015-2016学年山东省枣庄市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={﹣2，0，2}，B={x|x2﹣x﹣2≤0}，则A∩B=（）A．{0}B．{2}C．{﹣2，0}D．{0，2}【解答】解：由B中不等式变形得：（x﹣2）（x+1）≤0，解得：﹣1≤x≤2，即B=[﹣1，2]，∵A={﹣2，0，2}，∴A∩B={0，2}，故选：D．2．（5分）直线l：x+y﹣3=0的倾斜角α为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得直线的斜率k==﹣，即tanα=﹣，故α=，故选：D．3．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=2，b=2，C=30°，则角B等于（A．30°B．60°C．30°或60°D．60°或120°【解答】解：∵c=2，b=2，C=30°，∴由正弦定理可得：sinB===，∵b＞c，可得：B∈（30°，180°），∴B=60°或120°．故选：D．4．（5分）已知实数x，y满足，则x+y的最小值为（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+y，得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最小，此时z最小．由，得，即A（1，1），此时z的最小值为z=1+1=2，故选：A．5．（5分）设a=log0.32，b=log32，c=20.3，则这三个数的大小关系是（）A．b＞c＞a B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．c＞b＞a【解答】解：∵a=log0.32＜0，0＜b=log32＜1，c=20.3＞1，∴c＞b＞a．故选：D．6．（5分）已知命题p：∀x∈（1，+∞），＞1；命题q：∀a∈（0，1），函数y=a x在（﹣∞，+∞）上为减函数，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q【解答】解：命题p：∀x∈（1，+∞），由幂函数的性质可得＞1，是真命题；命题q：∀a∈（0，1），函数y=a x在（﹣∞，+∞）上为减函数，利用指数函数的单调性可知：是真命题．则下列命题为真命题的是p∧q，其余的为假命题．故选：A．7．（5分）若函数的图象向左平移个单位，得到的函数图象的对称中心与f（x）图象的对称中心重合，则ω的最小值是（）A．1B．2C．4D．8【解答】解：∵将函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的图象向左平移个单位，得到的函数图象的对称中心与f（x）图象的对称中心重合，设T为函数f（x）=sin（ωx+）的最小正周期，∴=k×=k×，k∈N+，即：ω=4k，k∈N+，∴当k=1时，ω取得最小值是4，故选：C．8．（5分）已知△ABC，若对∀t∈R，||，则△ABC的形状为（）A．必为锐角三角形B．必为直角三角形C．必为钝角三角形D．答案不确定【解答】解：如图，延长BC到D，使BD=2BC，连接DA，则：，；设，则E在直线BC上，连接EA，则：；∵；∴；∴AD⊥BD；∴∠ACD为锐角；∴∠ACB为钝角；∴△ABC为钝角三角形．故选：C．9．（5分）函数的零点的个数为（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：∵f（x）=|lg（x﹣）|﹣cosx，∴由f（x）=0得|lg（x﹣）|﹣cosx=0，即|lg（x﹣）|=cosx，作出函数y=|lg（x﹣）|和y=cosx的图象如图：则由图象知两个图象的交点个数为4，故函数f（x）的零点个数为4，故选：B．10．（5分）已知圆C：x2+y2=1，点P在直线l：y=x+2上，若圆C上存在两点A，B使得，则点P的横坐标的取值范围为（）A．B．C．[﹣1，0]D．[﹣2，0]【解答】解：由题意可得得圆心C（0，0），根据圆C上存在两点A、B使得，则点P到圆上的点的最小距离应小于或等于半径．设点P的坐标为（m，m+2），则有﹣1≤1，化简求得﹣2≤m≤0，故选：D．二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．（5分）已知随机变量X﹣B（n，p），且E（X）=2，D（X）=1，则p=．【解答】解：随机变量X﹣B（n，p），且E（X）=2，D（X）=1，可得np=2，np（1﹣p）=1，解得p=．故答案为：．12．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈[0，1）时，f（x）=x，则=﹣．【解答】解：=f（），∵f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈[0，1）时，f（x）=x，∴f（）=﹣f（）=，故答案为：﹣13．（5分）观察如图等式，照此规律，第n个等式为n+（n+1）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2．【解答】解：等式的右边为1，9，25，49，即12，32，52，72…，为奇数的平方．等式的左边为正整数为首项，每行个数为对应奇数的和，∴第n个式子的右边为（2n﹣1）2，左边为n+（n+1）+…+（3n﹣2），∴第n个等式为：n+（n+1）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2．故答案为：n+（n+1）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2．14．（5分）某几何体的三视图如图所示，其俯视图的外轮廓是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是．【解答】解：由已知几何体的三视图得到几何体是半个底面直径为4高为1的圆柱与个底面半径为2，高为2的圆锥的组合体，所以几何体的条件为；故答案为：15．（5分）已知直线y=k（x﹣m）与抛物线y2=2px（p＞0）交于A、B两点，O 为坐标原点，OA⊥OB，OD⊥AB于D，点D在曲线x2+y2﹣4x=0上，则p=2．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）由，整理得：k2x2﹣（2k2m+2p）x+k2m2=0，由韦达定理可知：x1•x1=m2，由OA⊥OB，则•=0，即x1•x1+y1•y1=0，即m2﹣2pm=0，解得：m=2p，∵点D在直线AB：y=k（x﹣m）上，∴设D坐标为（x，k（x﹣m）），则OD的斜率为k′=；又∵OD⊥AB，AB的斜率为k，∴k•k′==﹣1，即k（x﹣m）=﹣；又∵动点D的坐标满足x2+y2﹣4x=0，即x2+[k（x﹣m）]2﹣4x=0，将k（x﹣m）=﹣代入上式，得x=；再把x代入到=﹣1中，化简得4k2﹣mk2+4﹣m=0，即（4﹣m）•（k2+1）=0，∵k2+1≠0，∴4﹣m=0，∴m=4．∴p=2故答案为：2．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．（12分）已知直线x=与直线x=是函数的图象的两条相邻的对称轴．（1）求ω，φ的值；（2）若，f（α）=﹣，求sinα的值．【解答】解：（1）因为直线、是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，所以，函数的最小正周期T=2×=2π，从而，因为函数f（x）关于直线对称．所以，即．…（5分）又因为，所以．…（6分）（2）由（1），得．由题意，．…（7分）由，得．从而．…（8分），…（10分）=．…（12分）17．（12分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a1=，公比q＞0，S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列．（1）求a n；（2）设b n=，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（1）因为S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列，所以S3+a3﹣S1﹣a1=S2+a2﹣S3﹣a3．…（1分）化简得4a3=a1．…（3分）所以．因为q＞0，所以．…（4分）故．…（6分）（2）由（1）可知．…（8分）．…（10分）T n=c1+c2+c3+…+c n﹣1+c n===…（12分）18．（12分）甲，乙，丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为，乙，丙做对的概率分别为m，n（m＞n），且三位学生是否做对相互独立．记ξ为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：（1）求至少有一位学生做对该题的概率；（2）求m，n的值；（3）求ξ的数学期望．【解答】解：设“甲做对”为事件A，“乙做对”为事件B，“丙做对”为事件C，由题意知，．（1）由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“ξ=0”是对立的，所以至少有一位学生做对该题的概率是．（2）由题意知，，整理得mn=，．由m＞n，解得，．（3）由题意知=，b=P（ξ=2）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=1）﹣P（ξ=3）=，∴ξ的数学期望为Eξ==．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中点．（1）求证：PA∥平面EDB；（2）求锐二面角C﹣PB﹣D的大小．【解答】（1）解法一：如图，以D为坐标原点，分别以所在的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系D﹣xyz．则A（2，0，0），P（0，0，2），D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），E （0，1，1）．…（2分）法一：．设，即（2，0，﹣2）=λ（2，2，0）+μ（0，1，1）．解得λ=1，μ=﹣2．所以．又PA⊄平面EDB，所以PA∥平面EDB．…（4分）法二：取BD的中点G，则G（1，1，0）.，．所以，所以PA∥EG．又PA⊄平面EDB，EG⊂平面EDB，所以PA∥平面EDB．…（4分）法三：．设=（x，y，z）为平面EDB的一个法向量，则，即2x+2y=0，y+z=0．取y=﹣1，则x=z=1．于是=（1，﹣1，1）．又，所以．所以．又PA⊄平面EDB，所以PA∥平面EDB．…（4分）解法二：连接AC，设AC∩BD=G．因为ABCD是正方形，所以G是线段AC的中点．又E是线段PC的中点，所以，EG是△PAC的中位线．所以PA∥EG．…（2分）又PA⊄平面EDB，EG⊂平面EDB，所以PA∥平面EDB．…（4分）（2）解法一：由（1）中的解法一，，．设=（x1，y1，z1）为平面CPB的一个法向量，则，．取y1=1，则z1=1．于是=（0，1，1）．…（7分）因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD．因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥AC．又PD∩BD=D，所以AC⊥平面PDB．所以是平面PDB的一个法向量．…（10分）所以．…（11分）所以，锐二面角C﹣PB﹣D的大小为60°．…（12分）解法二：如图，设AC∩BD=G．在Rt△PDB中，过G作GF⊥PB于F，连接FC．…（5分）因为四边形ABCD是正方形，所以CA⊥BD，即CG⊥BD．…（6分）因为侧棱PD⊥底面ABCD，CG⊂平面ABCD，所以CG⊥PD．…（7分）又CG⊥BD，PD∩BD=D，所以CG⊥平面PDB．所以CG⊥PB．…（8分）又PB⊥GF，CG∩GF=G，所以PB⊥平面CGF．所以PB⊥FC．从而∠GFC就是二面角C﹣PB﹣D的一个平面角…（9分）在Rt△PDB中，．…（11分）在Rt△FGC中，．所以∠GFC=60°．所以二面角C﹣PB﹣D的大小为60°．…（12分）20．（13分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）上一点与它的左、右两个焦点F1，F2的距离之和为2，且它的离心率与双曲线x2﹣y2=2的离心率互为倒数．（1）求椭圆的方程；（2）如图，点A为椭圆上一动点（非长轴端点），AF1的延长线与椭圆交于点B，AO的延长线与椭圆交于点C．①当直线AB的斜率存在时，求证：直线AB与BC的斜率之积为定值；②求△ABC面积的最大值，并求此时直线AB的方程．【解答】解：（1）由椭圆的定义知2a=2，双曲线x2﹣y2=2的离心率为，故椭圆+=1的离心率e=，故a=，c=1，b=1；故椭圆的方程为+y2=1；（2）①证明：设A（x A，y A），B（x B，y B），则C（﹣x A，﹣y A），设直线BA的方程为y=k（x+1），联立方程化简得，（2k2+1）x2+4k2x+2k2﹣2=0，∴x A+x B=﹣，y A+y B=k（x A+x B）+2k=k（﹣+2）=k，∴k AB k BC=k•==﹣；②当直线AB的斜率不存在时，可知A（﹣1，），B（﹣1，﹣），C（1，﹣），=，故S△ABC当直线AB的斜率存在时，由①知，x A+x B=﹣，x A x B=，故|x A﹣x B|==•，故|AB|=|x A﹣x B|=••，点C到直线AB的距离d==，=•（••）•故S△ABC=2=2•＜，故△ABC面积的最大值为，此时AB的方程为x+1=0．21．（14分）已知函数f（x）=x4lnx﹣a（x4﹣1），a∈R．（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若当x≥1时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；（3）f（x）的极小值为φ（a），当a＞0时，求证：．（e=2.71828…为自然对数的底）【解答】解：（1）f'（x）=4x3lnx+x3﹣4ax3．…（1分）则f'（1）=1﹣4a．又f（1）=0，所以，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=（1﹣4a）（x﹣1）．…（3分）（2）由（1）得f'（x）=x3（4lnx+1﹣4a）．①当时，因为y=4lnx+1﹣4a为增函数，所以当x≥1时，4lnx+1﹣4a≥4ln1+1﹣4a=1﹣4a＞0，因此f'（x）≥0．当且仅当，且x=1时等号成立，所以f（x）在（1，+∞）上为增函数．因此，当x≥1时，f（x）≥f（1）=0．所以，满足题意．…（6分）②当时，由f'（x）=x3（4lnx+1﹣4a）=0，得，解得．因为，所以，所以．当时，f'（x）＜0，因此f（x）在上为减函数．所以当时，f（x）＜f（1）=0，不合题意．综上所述，实数a的取值范围是．…（9分）（3）由f'（x）=x3（4lnx+1﹣4a）=0，得，．当时，f'（x）＜0，f（x）为减函数；当时，f'（x）＞0，f（x）为增函数．所以f（x）的极小值=．…（10分）由φ'（a）=1﹣e4a﹣1=0，得．当时，φ'（a）＞0，φ（a）为增函数；当时，φ'（a）＜0，φ（a）为减函数．所以．…（11分）==．下证：a＞0时，．，∴，∴，∴．…（12分） 令，则．当时，r'（a ）＜0，r （a）为减函数；当时，r'（a ）＞0，r （a ）为增函数．所以，即．所以，即．所以．综上所述，要证的不等式成立．…（14分）赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k 2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②0b x ->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =． xxxx>O-=f (p) f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x xf xfxx<O-=f (p)f(q)()2b f a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。