1-3 函数的极限
合集下载
1-3无穷小无穷大与极限运算法则
(x − 3)(x −1) x −1 = lim = lim x→3 (x − 3)(x + 3) x→3 x + 3
x = 3 时分母为 0 !
3.
4.求 解: x = 1 时 分母 = 0 , 分子≠0 , 但因
x2 − 5x + 4 12 − 5⋅1+ 4 = =0 lim 2⋅1− 3 x→ 1 2x − 3
5.
解: 时, 分母 分子分母同除以 x3 , 则 原式 分子
= lim
x→∞
4 −3 +9 5+ 2 −
1 x2 1 x2
1 x3 1 x3
“ 抓大头” 抓大头”
一般有如下结果： 一般有如下结果：
a0 xm + a1xm−1 +⋯+ am lim x→∞ b xn + b xn−1 +⋯+ b 0 1 n
1.若 lim f (x) = A, limg(x) = B ,
则有
证: 因 lim f (x) = A, limg(x) = B , 则有
f (x) = A+α , g(x) = B + β (其中α , β 为无穷小)
于是
f (x) ± g(x) = ( A+α ) ± (B + β ) = ( A± B) + (α ± β )
f (x) = A+α , g(x) = B + β (其中α , β 为无穷小)
f (x)ig(x) = AB + α ⋅ A +β ⋅ B + α ⋅ β
= AB + γ
3. 若
lim f (x) = A, limg(x) = B , 且 B≠0 , 则有
x = 3 时分母为 0 !
3.
4.求 解: x = 1 时 分母 = 0 , 分子≠0 , 但因
x2 − 5x + 4 12 − 5⋅1+ 4 = =0 lim 2⋅1− 3 x→ 1 2x − 3
5.
解: 时, 分母 分子分母同除以 x3 , 则 原式 分子
= lim
x→∞
4 −3 +9 5+ 2 −
1 x2 1 x2
1 x3 1 x3
“ 抓大头” 抓大头”
一般有如下结果： 一般有如下结果：
a0 xm + a1xm−1 +⋯+ am lim x→∞ b xn + b xn−1 +⋯+ b 0 1 n
1.若 lim f (x) = A, limg(x) = B ,
则有
证: 因 lim f (x) = A, limg(x) = B , 则有
f (x) = A+α , g(x) = B + β (其中α , β 为无穷小)
于是
f (x) ± g(x) = ( A+α ) ± (B + β ) = ( A± B) + (α ± β )
f (x) = A+α , g(x) = B + β (其中α , β 为无穷小)
f (x)ig(x) = AB + α ⋅ A +β ⋅ B + α ⋅ β
= AB + γ
3. 若
lim f (x) = A, limg(x) = B , 且 B≠0 , 则有
1.3 函数的极限
→0
第三节 函数的极限
第一章 函数与极限
第一章 函数与极限
定理1 （函数极限的唯一性）
若 lim 存在, 则这个极限唯一.
→0
自证.提示:参考数列极限唯一性的证明, 用反证法.
若函数()在自变量的某一变化过程中极限存在,
则这个极限唯一.
→ 0 ,
→ ∞,
第三节
第三节 函数的极限
=
当 < −或 > 时,
函数 = ()图形
完全落在以直线
= 为中心线,
宽为2的带形区域内.
直线= A 为曲线 = () 的水平渐近线
第三节 函数的极限
第一章 函数与极限
3）两种特殊情形：
lim () =
→+∞
lim () =
→−∞
∀ > 0, ∃ > 0, 当 > 时, 有
数值, 那么叫做函数()当 → 0 时的极限.
如何描述？
|() − | <
问题：如何用数学语言描述这个极限过程？
2 − 1
在 → 1时的趋向
观察函数 () =
−1
( − 1)( + 1)
() =
= + 1, ≠ 1
−1
第三节 函数的极限
第一章 函数与极限
定义
都满足不等式
() − < ,
则称常数 A 为函数 () 当 → 0 时的极限, 记作
lim () = 或 → 当 → 0 .
→0
“ − ”定义
lim () =
→0
第三节 函数的极限
∀ > 0, ∃ > 0, 当 ∈Ů(0 , ) 时, 有
第三节 函数的极限
第一章 函数与极限
第一章 函数与极限
定理1 （函数极限的唯一性）
若 lim 存在, 则这个极限唯一.
→0
自证.提示:参考数列极限唯一性的证明, 用反证法.
若函数()在自变量的某一变化过程中极限存在,
则这个极限唯一.
→ 0 ,
→ ∞,
第三节
第三节 函数的极限
=
当 < −或 > 时,
函数 = ()图形
完全落在以直线
= 为中心线,
宽为2的带形区域内.
直线= A 为曲线 = () 的水平渐近线
第三节 函数的极限
第一章 函数与极限
3）两种特殊情形：
lim () =
→+∞
lim () =
→−∞
∀ > 0, ∃ > 0, 当 > 时, 有
数值, 那么叫做函数()当 → 0 时的极限.
如何描述？
|() − | <
问题：如何用数学语言描述这个极限过程？
2 − 1
在 → 1时的趋向
观察函数 () =
−1
( − 1)( + 1)
() =
= + 1, ≠ 1
−1
第三节 函数的极限
第一章 函数与极限
定义
都满足不等式
() − < ,
则称常数 A 为函数 () 当 → 0 时的极限, 记作
lim () = 或 → 当 → 0 .
→0
“ − ”定义
lim () =
→0
第三节 函数的极限
∀ > 0, ∃ > 0, 当 ∈Ů(0 , ) 时, 有
同济大学高等数学第七版1-3函数极限
问题: 函数 y f ( x ) 在 x 的过程中, 对应 函数值 f ( x ) 无限趋近于确定值 A.
如何用精确的数学数学语言刻划函数“无 限接近”.
f ( x ) A 表示 f ( x ) A 任意小; x X 表示x (不论它多么小), 总存在着正数 X ,使得 x 满足不等式 x X 时,所对应 的函数值 f ( x ) 都满足不等式
x x0
证明 lim4 x 1 9
x2
证 0, 由于 4 x 1 9 4 x 2 要使 4 x 1 9 解不等式, 解出 x 2 ( ) 只要 x 2 , 可取 4 4 当0 x 2 时, 有
4 x 1 9 ,
lim 4 x 1 9
x2
3. 左、右极限(单侧极限) 例如,
y 1 x y
y x2 1
1 x, x 0 设 f ( x) 2 x 1, x 0
lim f ( x ) 1.
x0
1
O
x
分x 0和x 0 两种情况分别讨论!
y
y x 1
x
lim f ( x) lim ( x 1) 1
x0
lim f ( x) lim ( x 1) 1
x 0 x 0
显然 f (0 ) f (0 ) , 所以 lim f ( x) 不存在 .
x2 x 1 1 求 f ( x) x 1 在 x = 1 处的左、右极限. 2 x 1 x 1
f ( x) A ,
那么常数 A 就叫函数 f ( x ) 当 x 时的极限,记作
lim f ( x ) A 或
如何用精确的数学数学语言刻划函数“无 限接近”.
f ( x ) A 表示 f ( x ) A 任意小; x X 表示x (不论它多么小), 总存在着正数 X ,使得 x 满足不等式 x X 时,所对应 的函数值 f ( x ) 都满足不等式
x x0
证明 lim4 x 1 9
x2
证 0, 由于 4 x 1 9 4 x 2 要使 4 x 1 9 解不等式, 解出 x 2 ( ) 只要 x 2 , 可取 4 4 当0 x 2 时, 有
4 x 1 9 ,
lim 4 x 1 9
x2
3. 左、右极限(单侧极限) 例如,
y 1 x y
y x2 1
1 x, x 0 设 f ( x) 2 x 1, x 0
lim f ( x ) 1.
x0
1
O
x
分x 0和x 0 两种情况分别讨论!
y
y x 1
x
lim f ( x) lim ( x 1) 1
x0
lim f ( x) lim ( x 1) 1
x 0 x 0
显然 f (0 ) f (0 ) , 所以 lim f ( x) 不存在 .
x2 x 1 1 求 f ( x) x 1 在 x = 1 处的左、右极限. 2 x 1 x 1
f ( x) A ,
那么常数 A 就叫函数 f ( x ) 当 x 时的极限,记作
lim f ( x ) A 或
G1_3数列的极限--从有限到无限的桥梁
0.1
n
n
若要 an a
n 11 n
1 0.01,即接近1的距离小于0.01, n
此时,只要n 1 100, 对一切这样的n，就有 0.01
n 1 1 1 0.01.
n
n
退出
高等数学（上）
出版社 理工分社
若要 an a
n 11 n
1 n
0.00001,即接近1的距离小于
刻化“数列{n
1}无限接近于1”.用 n
an
a
n 11 n
1 n
来描述接近1的程度。
退出
高等数学（上）
出版社 理工分社
若要 an a
n 11 n
1 0.1,即接近1的距离小于0.1,此 n
时,只要n 1 10, 对一切这样的n，就有 n 1 1 1 0.1.
21 1
2 1 4
21 2 1 2 1
9
16
25
an
(
1)n 2
1 2
1 4
1 8
1 16
1 32
n
2 0
退出
高等数学（上）
出版社 理工分社
由上表可以看出
(1)lim n
an
1
lim(2
n
n2
)
2;
(2)lim n
an
lim( 1)n n 2
ba 2
0,因为
limnana, 所以存在正整数N1,当n
N1时, 有
ba an a 2 .
退出
高等数学（上）
1-3 函数极限2017
x
二、不同过程的函数极限的关系
定理1 lim f ( x ) A lim f ( x ) lim f ( x ) A
x x0 x x0 x x0
推论 例4
若 lim f ( x) lim f ( x) 则 lim f ( x) 不存在. x x x x
例：
f ( x ) arctan x 当 x 时，
x
2 lim f ( x) A
f ( x)
-X
o
x
2
0
一个时刻” “ X >0 f ( x) A
恒有 使得 “ 在该时刻以后” 当 x<-X时
3．x
1 f ( x) 1 x2 当 x 时，
x
0
“>0 一个时刻” δ f ( x) A
恒有 使得 “x 在该时刻以后” 当 0-δ<x<x0+δ时
举例
例1 证明 lim x x0
x x0
例2
证明 lim ( 2 x 1) 1
x 1
1 例3 证明 lim 0 x x 注
若 lim f ( x ) c , 则直线 y c 是函数 y f ( x ) 的水平渐近线.
小结
一、函数极限的概念
统一定义、各过程的函数极限定义
二、不同过程的函数极限的关系
x x0
lim f ( x ) A lim f ( x ) lim f ( x ) A
x x0 x x0
lim f ( x ) A lim f ( x ) lim f ( x ) A
0 0
二、不同过程的函数极限的关系
定理1 lim f ( x ) A lim f ( x ) lim f ( x ) A
x x0 x x0 x x0
推论 例4
若 lim f ( x) lim f ( x) 则 lim f ( x) 不存在. x x x x
例：
f ( x ) arctan x 当 x 时，
x
2 lim f ( x) A
f ( x)
-X
o
x
2
0
一个时刻” “ X >0 f ( x) A
恒有 使得 “ 在该时刻以后” 当 x<-X时
3．x
1 f ( x) 1 x2 当 x 时，
x
0
“>0 一个时刻” δ f ( x) A
恒有 使得 “x 在该时刻以后” 当 0-δ<x<x0+δ时
举例
例1 证明 lim x x0
x x0
例2
证明 lim ( 2 x 1) 1
x 1
1 例3 证明 lim 0 x x 注
若 lim f ( x ) c , 则直线 y c 是函数 y f ( x ) 的水平渐近线.
小结
一、函数极限的概念
统一定义、各过程的函数极限定义
二、不同过程的函数极限的关系
x x0
lim f ( x ) A lim f ( x ) lim f ( x ) A
x x0 x x0
lim f ( x ) A lim f ( x ) lim f ( x ) A
0 0
高等数学的教学课件1-3函数的极限
自变量无限变化的过程有如下几种形式：
一、x 无限增大，记为x 1 x 0且 x 无限增大，记为x 2 x 0且 x 无限增大，记为x
二、x无限接近某定值 x0，记为x x0 1 x x0且x x0，记为x x0 2 x x0且x x0，记为x x0
一、自变量趋向无穷大时函数的极限
x0
x0
f (0 ) f (0 ) 1, lim f ( x) 1. x0
例13
x 1, x 0 假设f ( x) ax b, 0 x 1
2 x, x 1
试确定a、b之值，使得lim f ( x)及 lim f ( x)都存在
x0
x1
解 f (0 ) lim (x 1) 0 1 1.
x
2
证
任给 0,
要使 arctan x arctan x ,
22
即 arctanx ,
2
故只需 x tan( ).
2
取G tan( )，
2
当x G时,
就有 arctan x , 证毕。
2
lim arctanx
x
2
lim arctanx
x
2
典型极限
例12
x0
x0 x
点x0的去心邻域, 体现x接近x0程度.
1. 定义 :
定义 2 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),
总存在正数 ,使得对于适合不等式0 x x0 的 一切x ,对应的函数值 f ( x)都满足不等式
f (x) A ,
那末常数 A就叫函数 f ( x)当x x0 时的极限,记作
例5
证明
lim
x x0
x
x0 .
证 f ( x) A x x0 , 任给 0, 取 ,
一、x 无限增大，记为x 1 x 0且 x 无限增大，记为x 2 x 0且 x 无限增大，记为x
二、x无限接近某定值 x0，记为x x0 1 x x0且x x0，记为x x0 2 x x0且x x0，记为x x0
一、自变量趋向无穷大时函数的极限
x0
x0
f (0 ) f (0 ) 1, lim f ( x) 1. x0
例13
x 1, x 0 假设f ( x) ax b, 0 x 1
2 x, x 1
试确定a、b之值，使得lim f ( x)及 lim f ( x)都存在
x0
x1
解 f (0 ) lim (x 1) 0 1 1.
x
2
证
任给 0,
要使 arctan x arctan x ,
22
即 arctanx ,
2
故只需 x tan( ).
2
取G tan( )，
2
当x G时,
就有 arctan x , 证毕。
2
lim arctanx
x
2
lim arctanx
x
2
典型极限
例12
x0
x0 x
点x0的去心邻域, 体现x接近x0程度.
1. 定义 :
定义 2 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),
总存在正数 ,使得对于适合不等式0 x x0 的 一切x ,对应的函数值 f ( x)都满足不等式
f (x) A ,
那末常数 A就叫函数 f ( x)当x x0 时的极限,记作
例5
证明
lim
x x0
x
x0 .
证 f ( x) A x x0 , 任给 0, 取 ,
1--3 无穷大量与无穷小量
x x0
lim f ( x ) 0 (或 lim f ( x ) 0).
x
例如,
lim sin x 0, 函数sin x是当x 0时的无穷小 .
x 0
1 lim 0, x x
1 函数 是当x 时的无穷小 . x
( 1) n ( 1) n lim 0, 数列{ }是当n 时的无穷小. n n n
x
特殊情形：正无穷大，负无穷大．
x x0 ( x )
lim f ( x ) (或 lim f ( x ) )
x x0 ( x )
注意 1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆.
2.切勿将 lim f ( x ) 认为极限存在 .
x x0
3. 无穷大是一种特殊的无界变量,但是 无界变量未必是无穷大.
意义： 1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);
2.给出了函数f ( x )在x 0附近的近似表达式 f ( x ) A, 误差为( x ).
3.无穷小的运算性质:
1） 有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 1 例如, n 时, 是无穷小， n 1 但n个 之和为 不是无穷小 1 . n
如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),
总 存 在 正 数 ( 或 正 数 X ), 使 得 对 于 适 合 不 等 式
0 x x 0 (或 x X )的一切 x ,对应的函数值
f ( x ) 都满足不等式 f ( x ) ,
那末 称函数 f ( x ) 当 x x 0 (或 x )时为无穷小, 记作
第三节 无穷大量与无穷小量
利用极限的定义，从变量的变化趋势来观察函数 的极限，对于比较复杂的函数难于实现。为此需 要介绍极限的运算法则，首先来介绍无穷小量。
lim f ( x ) 0 (或 lim f ( x ) 0).
x
例如,
lim sin x 0, 函数sin x是当x 0时的无穷小 .
x 0
1 lim 0, x x
1 函数 是当x 时的无穷小 . x
( 1) n ( 1) n lim 0, 数列{ }是当n 时的无穷小. n n n
x
特殊情形：正无穷大，负无穷大．
x x0 ( x )
lim f ( x ) (或 lim f ( x ) )
x x0 ( x )
注意 1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆.
2.切勿将 lim f ( x ) 认为极限存在 .
x x0
3. 无穷大是一种特殊的无界变量,但是 无界变量未必是无穷大.
意义： 1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);
2.给出了函数f ( x )在x 0附近的近似表达式 f ( x ) A, 误差为( x ).
3.无穷小的运算性质:
1） 有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 1 例如, n 时, 是无穷小， n 1 但n个 之和为 不是无穷小 1 . n
如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),
总 存 在 正 数 ( 或 正 数 X ), 使 得 对 于 适 合 不 等 式
0 x x 0 (或 x X )的一切 x ,对应的函数值
f ( x ) 都满足不等式 f ( x ) ,
那末 称函数 f ( x ) 当 x x 0 (或 x )时为无穷小, 记作
第三节 无穷大量与无穷小量
利用极限的定义，从变量的变化趋势来观察函数 的极限，对于比较复杂的函数难于实现。为此需 要介绍极限的运算法则，首先来介绍无穷小量。
1-4极限定义
第一章 函数、极限 与连续
1-1 函数及其特性 1-2 初等函数 1-3 函数极限的重要引例 1-4 函数极限的概念
1-5 无穷小与无穷大、无穷小的比较
1-6 函数的连续性及间断点 1-7 闭区间上连续函数的性质
1-4 函数极限的概念
一、自变量趋于有限值时函数的极限
二、单侧极限 三、自变量趋于无穷大时函数的极限
左极限
当x从x0的左侧无限趋于x0 （记x→x0— ）
时，函数f(x)无限接近常数A. 则称A为函数f(x)当 x→x0时的左极限.
记作
f ( x0 ) lim f ( x) A.
x x0
右极限 当x从x0的右侧无限趋于x0 （记x→x0+ ） 时，函数f(x)无限接近常数A. 则称A为函数f(x)当 x→x0时的右极限.
三、自变量趋向无穷大时函数的极限
问题:函数 y f ( x ) 在 x 的过程中, 对应 函数值 f ( x ) 无限趋近于确定值 A.
sin x 当 x 无限增大时, f ( x ) 无限接近于 0. x
问题: 如何用数学语言刻划函数“无限接近”.
f ( x ) A 表示 f ( x ) A 任意小; x X 表示x 的过程.
2.与任意给定的正数有关.
二、单侧极限
例1
y 1 x
y
1 x, 设 f ( x) 2 x 1, 证明lim f ( x ) 1.
x 0
x0 x0
1
y x2 1
o
x
分x 0和x 0两种情况分别讨论
x从左侧无限趋近 0 , 记作x x0 0; x x从右侧无限趋近 0 , 记作x x0 0; x
1-1 函数及其特性 1-2 初等函数 1-3 函数极限的重要引例 1-4 函数极限的概念
1-5 无穷小与无穷大、无穷小的比较
1-6 函数的连续性及间断点 1-7 闭区间上连续函数的性质
1-4 函数极限的概念
一、自变量趋于有限值时函数的极限
二、单侧极限 三、自变量趋于无穷大时函数的极限
左极限
当x从x0的左侧无限趋于x0 （记x→x0— ）
时，函数f(x)无限接近常数A. 则称A为函数f(x)当 x→x0时的左极限.
记作
f ( x0 ) lim f ( x) A.
x x0
右极限 当x从x0的右侧无限趋于x0 （记x→x0+ ） 时，函数f(x)无限接近常数A. 则称A为函数f(x)当 x→x0时的右极限.
三、自变量趋向无穷大时函数的极限
问题:函数 y f ( x ) 在 x 的过程中, 对应 函数值 f ( x ) 无限趋近于确定值 A.
sin x 当 x 无限增大时, f ( x ) 无限接近于 0. x
问题: 如何用数学语言刻划函数“无限接近”.
f ( x ) A 表示 f ( x ) A 任意小; x X 表示x 的过程.
2.与任意给定的正数有关.
二、单侧极限
例1
y 1 x
y
1 x, 设 f ( x) 2 x 1, 证明lim f ( x ) 1.
x 0
x0 x0
1
y x2 1
o
x
分x 0和x 0两种情况分别讨论
x从左侧无限趋近 0 , 记作x x0 0; x x从右侧无限趋近 0 , 记作x x0 0; x
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
则当0 x + 1 d 时,
x2 - 1 lim -2. x -1 x + 1
注意 : 该函数在 x -1 处没有定义 , 但 lim f ( x ) 存在. 返回 x -1
x x0
lim f ( x ) A e 0, d 0, 当0 x - x 0 d , 有 f ( x ) - A e
A-e
0
x0 - d
x0
x0 + d
x
返回
.
函数的极限
e 0, d 0, 当
x x
lim f ( x ) A 的几何解释
y f (x)
0 | x - x 0 | δ 时, 恒有 f ( x ) - A e .
A+e
A的e邻域, A x0的空心d 邻域, e
A-
e
sin x 观察函数 当 x 时的变化趋势. x
返回
二、自变量趋向无穷大时函数的极限
sin x 观察函数 当 x 时的变化趋势. x
返回
二、自变量趋向无穷大时函数的极限
sin x 观察函数 当 x 时的变化趋势. x
返回
通过上面演示实验的观察: sin x 当 x 无限增大时, f ( x ) 无限接近于 0. x
例3 证
x2 - 1 证明 lim -2. x -1 x + 1
函数在点x = −1处没有定义.
x2 - 1 f ( x) - A - ( -2 ) x+1
x+1
只要取d e,
x2 - 1 就有 - ( -2) e , x -1
任给e 0, 要使 f ( x ) - A e ,
d刻划了 与x 0的接近程度 x ;
2. e是任意给定正数，是随e而确定的 d .
返回
x x0
x x
lim f ( x ) A e 0, d 0, 当0 x - x 0 d , 有 f ( x ) - A e
lim f ( x ) A 的几何解释 y
e 0, d 0, 当
第三节
函数的极限
一、自变量趋于有限值时函数的极限 二、自变量趋于有无穷大时函数的极限 三、函数极限的性质
四、小结
返回
一、自变量趋向有限值时函数的极限 函数极限的的通俗定义
如果当x无限地接近于x0时 函数f(x)的值无限地 接近于常数A 则常数A就叫做函数f(x)当xx0 时的极限 记作 lim f(x)A 或 f(x)A(当 x x0 )
例4 证明 : 当x0 0时, lim
x x0xx0来自.证 函数 x的定义域是[0,+),因此我们考察的x 0的邻域 ( x 0 - d , x 0 + d )必须落在[0,+)内, 即d x 0 . x - x0 x - x0 f ( x ) - A x - x0 , x + x0 x0
f ( x ) - A C - C 0 e成立, lim C C . x x
0
例2
证明 lim x x 0 .
x x0
证 f ( x ) - A x - x 0 , 任给e 0, 取d e,
当0 x - x 0 d e时,
f ( x ) - A x - x 0 e成立,
lim x x 0 . 返回 x x0
" e - d" 定义
x x0
lim f ( x ) A
e 0, d 0, 使当0 x - x 0 d时, 恒有 f ( x ) - A e .
1. f ; 注意： f ( x ) - A e中的e刻划了 ( x )与A的接近程度
返回
1.定义：如果对于任意给定的正数 e (不论它多么小), 总存在正数 d ,使得对于适合不等式 0 x - x 0 d 的 一切 x ,对应的函数值 f ( x ) 都满足不等式
f ( x) - A e,
那末常数 A就叫函数 f ( x ) 当 x x 0 时的极限,记作
x x0
返回
函数的左极限
A的e邻域，
x x
lim f ( x ) A 的几何解释 y f (x)
x0的左半d 邻域， A+e
该邻域内所有点x 对应的曲线上的点 落在绿色区域内. A A–e
0
x0 - d
x0
x
返回
定理 : lim f ( x ) A f ( x 0 - 0) f ( x 0 + 0) A.
(或A 0), 则d 0, 当x U ( x 0 , d )时, f ( x ) 0(或f ( x ) 0).
o
x x0
证明 就A0的情形证明
A d 0, d 0| 因为 lim f (x) A 所以对于 e 当0|x-x0d 时 有 2 x x0 A AA A A A A A A A | f (x) - A| e ||ff((-AA e f (xA - (xf((x) ff((x) 0 x)) -e-| e ) - ) f x) x) 0 x 0 (取A| ) A f 2 222 2 2 2 2 2 2
x x0
定理 : lim f ( x ) A f ( x 0 - 0) f ( x 0 + 0) A.
x x0
推论：若函数f(x)在点x0的左、右极限有一个不 lim 存在，或都存在但不相等，则极限 x x0 f ( x ) 不存在
y
x 例6 验证 lim 不存在. x0 x
显然, 找到一个d后, d越小越好.
返回
x x0
lim f ( x ) A e 0, d 0, 当0 x - x 0 d , 有 f ( x ) - A e
例1 证明 lim C C , (C为常数).
x x0
证 任给e 0, 任取d 0, 当0 x - x 0 d时,
定理2 若 lim f ( x ) A, 且d 0,当x U ( x 0 , d )时,
o
f ( x ) 0(或f ( x ) 0), 则A 0(或A 0). 反证法
x x0
返回
2.单侧极限:
例1,
y 1- x
2 - x, x 0 f ( x) 2 x + 1, x 0 lim f ( x) 1.
f (x)
A+e A
0 | x - x 0 | δ 时, 恒有 f ( x ) - A e .
A的e邻域, A–e x0的空心d 邻域,
该邻域内所有点 x 的纵坐标 f(x)落在 A的 e 邻域 内， 即相应的点(x, f(x)) 落在绿色区域内. 0
x0 - d
x0
x0 + d
x 返回
记 作 lim f ( x ) A 或
x x0 - 0
f ( x 0 - 0) A.
右极限
e 0, d 0, 使当x 0 x x 0 + d时, 恒有 f ( x ) - A e.
f ( x 0 + 0) A.
记 作 lim f ( x ) A 或
x x0 + 0
返回
二、自变量趋向无穷大时函数的极限
sin x 观察函数 当 x 时的变化趋势. x
返回
二、自变量趋向无穷大时函数的极限
sin x 观察函数 当 x 时的变化趋势. x
返回
二、自变量趋向无穷大时函数的极限
sin x 观察函数 当 x 时的变化趋势. x
返回
二、自变量趋向无穷大时函数的极限
函数的极限
e 0, d 0, 当
x x
lim f ( x ) A 的几何解释
y f (x)
0 | x - x 0 | δ 时, A+e 恒有 f ( x ) - A e . A + e A+e
A+e
A的e邻域, A x0的空心d 邻域, - e A e
A-
e
该邻域内所有点 x A - e 的纵坐标 f(x)落在 A的 e 邻域 内， 即相应的点(x,f(x)) 落在绿色区域内.
分析:
x x0
当xx0时 f(x)A
当|x-x0|0时 |f(x)-A|0
x2 - 1 如 f ( x) x - 1
当|x-x0|小于某一正数d后 |f(x)-A|能小于给定的正数e 任给e 0 存在d 0 使当0 |x-x0|d 时 有|f(x)-A|e
lim f ( x ) A 或
f ( x ) A(当x x 0 )
" e - d" 定义 e 0, d 0, 使当0 x - x 0 d时,
恒有 f ( x ) - A e .
注意：1.函数极限与f ( x )在点x 0是否有定义无关;
2.d与任意给定的正数e有关.
x -x lim lim 证 x -0 x -0 x x
1
o
x
-1
lim ( -1) -1
x -0
x x lim lim lim 1 1 x +0 x +0 x x+0 x
左右极限存在但不相等, lim f ( x ) 不存在. x 0
返回
思考题
5 + x , x 0 试 问 函 数 f ( x ) 10, x 0 5 + x2, x0
x 0
y
2
1