几何三大变换问题之对称

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几何变换的特点认识平移旋转和对称的性质

几何变换的特点认识平移旋转和对称的性质几何变换的特点：认识平移、旋转和对称的性质几何变换是数学中对图形进行变换、移动或者改变形状的操作。

它是研究几何性质和图像的重要方法之一。

本文将重点讨论几何变换中的平移、旋转和对称三种基本变换，并阐述它们的特点和性质。

一、平移平移是指将图形在平面上沿着某个方向移动一定的距离，保持图形内部各点之间的相对位置不变。

平移的特点有：1. 平移是保形变换，即图形的形状不发生改变，只是位置发生了移动。

例如，一个正方形经过平移后仍然是一个正方形。

2. 平移是等距变换，即原图形和移动后的图形之间的距离保持不变。

例如，一个直角三角形经过平移后，各边之间的夹角大小不变。

3. 平移满足能够叠加的性质，即若干次平移变换的次序可以改变，但最终的结果是相同的。

例如，图形先向右平移再向上平移，与先向上平移再向右平移的结果是相同的。

二、旋转旋转是指将图形围绕某个点进行旋转，使得图形的各点相对于旋转中心点保持一定的角度不变。

旋转的特点有：1. 旋转同样是保形变换，即图形的形状不发生改变，只是位置和旋转方向发生变化。

例如，一个正三角形经过旋转后仍然是一个正三角形。

2. 旋转是等角变换，即旋转前后的角度大小保持不变。

例如，一个矩形经过旋转后，各个顶点之间的角度大小仍然相等。

3. 旋转也满足能够叠加的性质，即若干次旋转变换的次序可以改变，但最终的结果是相同的。

例如，图形先顺时针旋转90°再逆时针旋转90°，与先逆时针旋转90°再顺时针旋转90°的结果是相同的。

在旋转中，旋转中心点的选择对于结果有重要影响。

三、对称对称是指图形围绕某条直线或者点对称，使得图形在这条直线或者点上的两侧是完全相同的。

对称的特点有：1. 对称是保形变换，即图形的形状不发生改变，只是位置发生了变化。

例如，一个圆经过对称后仍然是一个圆。

2. 对称是等距变换，即对称前后图形内部各点之间的距离保持不变。

几何变换对称

几何变换对称几何变换是指在平面或空间中改变图形的形状、大小、位置的操作。

对称是指图形中存在一条轴线、中心点或平面，使得图形在这条轴线、中心点或平面的对立侧存在对称关系。

几何变换对称是指在进行几何变换的同时，保持图形的对称性不变。

下面将分别介绍几何变换中的平移、旋转、翻转和尺度变换对称。

一、平移对称平移是指将图形在平面上按照一定的方向和距离进行移动。

平移操作不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。

当一个图形在平移前后仍然保持对称时，称这个图形具有平移对称性。

例如，一个正方形在平移前后仍然保持对称。

当你将这个正方形沿着平面上的任意直线进行平移，正方形的每一部分都能沿着对应的位置平移，仍然保持对称关系。

二、旋转对称旋转是指围绕一个点或一条轴线将图形按照一定的角度进行旋转。

旋转操作改变图形的角度，但不改变图形的形状和大小。

当一个图形在旋转前后仍然保持对称时，称这个图形具有旋转对称性。

例如，一个圆形在任意一个中心点处都具有旋转对称性。

无论你将这个圆形围绕中心点旋转多少度，它的每个点都能找到对应的对称点，保持对称关系。

三、翻转对称翻转是指将图形绕着一条轴线进行镜像反转。

翻转操作改变图形的位置和方向，但不改变图形的形状和大小。

当一个图形在翻转前后仍然保持对称时，称这个图形具有翻转对称性。

例如，一个矩形具有关于某条中心线的翻转对称性。

当你将这个矩形绕着中心线进行翻转，矩形的每个点都存在对应的对称点，保持对称关系。

四、尺度变换对称尺度变换是指将图形等比例地放大或缩小。

尺度变换改变图形的大小，但不改变图形的形状和位置。

当一个图形在经过尺度变换后仍然保持对称时，称这个图形具有尺度变换对称性。

例如，一个正三角形具有尺度变换对称性。

无论你将这个正三角形放大或缩小，三角形的每个边和角度都保持等比例关系，保持对称性。

综上所述，几何变换对称是指在进行几何变换时，图形仍然保持原有的对称性。

平移、旋转、翻转和尺度变换分别对应不同的对称性。

专题9：几何三大变换之对称探讨

初中学习资料整理总结专题9：几何三大变换之轴对称探讨一、轴对称和轴对称图形的识别和构造：典型例题：例1. （2012重庆市4分）下列图形中，是轴对称图形的是【】A．B．C．D．【答案】B。

【考点】轴对称图形。

【分析】根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合。

因此，A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项正确；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误。

故选B。

例2. （2012广东湛江4分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是【】A．B．C．D．【答案】A。

【考点】轴对称图形。

【分析】根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，因此A、是轴对称图形，符合题意；B、不是轴对称图形，不符合题意；C、不是轴对称图形，不符合题意；D、不是轴对称图形，不符合题意。

故选A。

例3. （2012四川达州3分）下列几何图形中，对称性与其它图形不同的是【】【答案】A。

【考点】轴对称图形，中心对称图形。

【分析】根据轴对称及中心对称的定义，分别判断各选项，然后即可得出答案：A、是轴对称图形，不是中心对称图形；B、既是轴对称图形也是中心对称图形；C、既是轴对称图形也是中心对称图形；D、既是轴对称图形也是中心对称图形。

故可得选项A与其他图形的对称性不同。

故选A。

例4. （2012广西柳州3分）娜娜有一个问题请教你，下列图形中对称轴只有两条的是【】【答案】C。

【考点】轴对称图形。

【分析】根据轴对称图形的概念，分别判断出四个图形的对称轴的条数即可：A、圆有无数条对称轴，故本选项错误；B、等边三角形有3条对称轴，故本选项错误；C、矩形有2条对称轴，故本选项正确；D、等腰梯形有1条对称轴，故本选项错误。

故选C。

例5. （2012福建三明8分）如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（－2，－1），B（－3，－3），C（－1，－3）.①画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；（4分）②画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点A2的坐标.（4分）【答案】解：①如图所示，A1（－2，1）。

几何形的变换与对称性

几何形的变换与对称性几何形的变换与对称性是数学中重要的概念之一，它们在几何学、物理学以及其他科学领域都有着广泛的应用。

本文将介绍几何形的变换和对称性的基本概念，以及它们在实际中的应用。

一、几何形的变换几何形的变换是指对图形进行改变的操作，主要包括平移、旋转和镜像三种基本变换。

1. 平移: 平移是指图形在平面上沿着某个方向保持大小和形状不变地移动。

平移可以由向量表示，将图形上的每个点都按照相同的向量进行平移。

2. 旋转: 旋转是指图形按照某个中心点进行旋转，使得图形在平面上绕中心点进行旋转。

旋转可以由角度表示，将图形上的每个点都按照相同的角度进行旋转。

3. 镜像: 镜像是指图形关于一条直线或一个点对称。

图形通过镜像变换后，与原来的图形完全重合，但是对称于镜像中心。

这三种基本变换可以组合使用，实现更复杂的变换效果，例如平移结合旋转可以实现圆周运动，平移结合镜像可以实现图形在平面上的滑移等。

二、对称性对称性是指一个图形相对于某条直线、某个平面或一个点而言能够完全或部分重合。

对称性可以分为以下几种类型：1. 线对称: 图形相对于一条直线对称，即左右对称。

直线可以是任意位置的，图形中的每个点关于直线都有对称点。

2. 面对称: 图形相对于一个平面对称，即上下对称或前后对称。

平面可以是任意位置的，图形中的每个点关于平面都有对称点。

3. 点对称: 图形相对于一个点对称，即中心对称。

点可以是图形中的任意一个点，图形中的每个点关于对称中心都有对称点。

对称性具有重要的几何性质，它可以帮助我们研究图形的性质和相似性质，简化计算和分析的过程。

三、应用案例几何形的变换与对称性在实际中有着广泛的应用。

以下是几个应用案例的介绍：1. 制造业: 在制造业中，使用几何形的变换和对称性可以帮助工程师设计、分析和生产产品。

例如，通过对产品进行平移、旋转和镜像变换，可以评估产品的装配性能、运动轨迹和外观质量。

2. 计算机图形学: 在计算机图形学中，几何形的变换和对称性是实现计算机动画和图形处理的基础。

全国中考数学分类解析汇编专题10：几何三大变换问题之对称

2 012年全国中考数学分类解析汇编专题10：几何三大变换问题之对称一、选择题1. （2012江苏连云港3分）小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，这样就可以求出67.5°角的正切值是【】A3 1 B2 1 C．2.5 D5【答案】B。

【考点】翻折变换(折叠问题)，折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，锐角三角函数定义，勾股定理。

【分析】∵将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，∴AB＝BE，∠AEB＝∠EAB＝45°，∵还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，∴AE＝EF，∠EAF＝∠EFA＝045＝22.5°。

∴∠FAB＝67.5°。

2设AB＝x，则AE＝EF＝2x，∴an67.5°＝tan∠FAB＝t FB2x+x21==+。

故选B。

AB x2. （2012江苏南京2分）如图，菱形纸片ABCD中，∠A=600，将纸片折叠，点A、D分的值为【】别落在A’、D’处，且A’D’经过B，EF为折痕，当D’F⊥CD时，CFFDA. 31-B. 3C. 231-D. 31+【答案】A。

【考点】翻折变换（折叠问题），菱形的性质，平行的性质，折叠的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】延长DC与A′D′，交于点M，∵在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，∴∠DCB=∠A=60°，AB ∥CD 。

∴∠D=180°-∠A=120°。

根据折叠的性质，可得∠A′D′F=∠D=120°，∴∠FD′M=180°-∠A′D′F=60°。

∵D′F⊥CD ，∴∠D′FM=90°，∠M=90°-∠FD′M=30°。

初中三大几何变换---对称

初中三⼤⼏何变换---对称对称，我们熟知的三⼤⼏何变换之⼀，⼏何题中往往都有它的⾝影，我们知道它很重要，但有时候可能并不清晰，关于对称我们要了解什么．我们将从基本性质说起，到⼀些常见图形的隐含结论，再到对称的构造．本⽂从性质说起：关于对称的性质，⼤概可以有以下三点，由于对称前后的图形是全等的，所以（1）对应⾓相等；（2）对应边相等；（3）对称点连线被对称轴垂直且平分．以上由对称必然可以得到，选取恰当的性质帮助解题，不仅要了解知识点，也要了解与其相关配套的条件与问题．01对应⾓相等由对称得到的对应⾓相等尤其适合⽤在求⾓度的问题中，练习参考以下1-3题：2019江西中考2019邵阳中考2018兰州中考对称的图形中可能会有特殊⾓，⽽此时特殊⾓带来的不仅仅是其本⾝，也可能会连带其他⾓也变成特殊⾓．4、5有关30°特殊⾓，6、7有关60°特殊⾓．2018毕节中考2019辽阳中考2019潍坊中考2018遵义中考2019黄冈中考02对应边相等但凡涉及到对称，基本上都会⽤到对应边相等，很多内容很难割裂分开，或许按知识点作题⽬分类值得商榷，但此处只需强调⼀点：对应边相等．在某些问题中是解题关键．2019朝阳中考2018威海中考2019杭州中考03对称点连线被对称轴垂直平分连接对称点连线可得垂直，由垂直，或可得直⾓三⾓形，或可得三垂直全等或相似，或可⽤三⾓函数，但终可求线段长．2018襄阳中考2018青海中考2019淮安中考2017资阳中考2019重庆中考【⼩结】以上3个题均是从中点处折叠，连接对称点，可得直⾓三⾓形．知识点都熟，但也要了解与问题的搭配，⽅能有的放⽮．。

对称、平移和旋转变换

对称、平移和旋转变换在平面几何的解证题中，往往由条件的隐蔽和分散，以至找不到解证题的途径，而恰当地运用几何变换，就可以使“分散”变为“集中”，“隐蔽”变为“明显”，使解证题思路清晰起来。

这一讲我们着重学习三种主要的合同变换——对称变换、平移变换、旋转变换及其在解证几何题中的运用。

一、对称变换对称变换包括轴对称变换和中心对称变换。

将一个图形以一条定直线为轴作对称图形，这种变换是轴对称变换。

将一个图形以一个定点为中心作对称图形，这种变换是中心对称变换（也是旋转变换的特殊情况）。

对称变换的特点是不改变图形的形状和大小，只是改变了图形的位置。

一条直线或一个点就确定了一个对称变换。

例1：试证：等腰三角形的底角相等。

已知：如图（1），在△ABC 中，AB=AC ，求：∠B=∠C分析：（1）由于等腰三角形是一个轴对称图形，则可添加对称轴证之，如作AD ⊥BC 于D ，再证△ABD ≌△ACD 即可。

（2）更妙的是，把△ABC 看作是以AD 为轴的两个重叠在一起的三角形由△ABC ≌△ACB 换出∠B=∠C 。

例2：如图（2），四边形ABCD 中，AB ∥CD ，且有AB=AC=AD=213cm ，BC=5cm ，求BD 的长。

分析：由于△ACD 是等腰三角形，以底边CD 中垂线NM 为轴补全图形，做出△ABC 关于MN 的对称△AED ，则AB=AD=AE=213，所以∠BDE=Rt ∠，而DE=BC=5，所以BD=12。

例3：如图（3），在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 是CD 的中点，EF ⊥A B 于F ，则S ABCD 梯形=AB •EF 。

分析：由于DE=EC ，因此，以E 为定点作A 的对称点G ，则△ADE 与△GCE 关于点E 对称，且B ，C ，G 三点共线，所以S BEG ∆=S ABE ∆=21AB •EF ，故S ABCD 梯形= AB •EF 。

二、平移变换平移变换是将一个图形向某一个方向移动一个距离得到一个新的图形，其平移前后的线段保持相等且平行，角也保持相等。

几何三大变换问题之对称问题

一、选择题1. （2013年湖南郴州3分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点．将Rt△ABC 沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于【】A．25°B．30°C．35°D．40°2. （2013年湖北鄂州3分）如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB 的长度和最短，则此时AM+NB=【】A．6 B．8 C．10 D．123. （2013年湖北随州4分）如图，正方形ABCD中，AB=3，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF．下列结论：①点G是BC中点；②FG=FC；③．其中正确的是【】A．①②B．①③C．②③D．①②③【答案】B。

【考点】翻折变换（折叠问题），正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，【分析】∵正方形ABCD中，AB=3，CD=3DE，∴DE=×3=1，CE=3﹣1=2。

∵△ADE沿AE对折至△AFE，∴AD=AF，EF=DE=1，∠AFE=∠D=90°。

∴AB=AF=AD。

在Rt△ABG和Rt△AFG中，∵AG=AG，B=AF，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）。

∴BG=FG，4. （2013年江苏苏州3分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B 的坐标为（3，），点C的坐标为（，0），点P为斜边OB上的一动点，则PA＋PC的最小值为【】A．B．C．D．2【答案】B。

【考点】单动点问题，轴对称的应用（最短线段问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理。

【分析】如图，作点C关于OB的对称点C′，交OB于点D，连接AC′交OB于点P，根据轴对称的知识可知，此时A C′=PA＋PC最小。

专题9：几何三大变换之对称探讨

【2013年中考攻略】专题9：几何三大变换之轴对称探讨轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。

由一个平面图形变为另一个平面图形，并使这两个图形关于某一条直线成轴对称，这样的图形改变叫做图形的轴对称变换。

轴对称具有这样的重要性质：（1）成轴对称的两个图形全等；（2）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。

在初中数学以及日常生活中有着大量的轴对称和轴对称变换的知识，是中考数学的必考内容。

结合2012年全国各地中考的实例，我们从下面九方面探讨轴对称和轴对称变换：（1）轴对称和轴对称图形的识别和构造；（2）线段、角的轴对称性；（3）等腰（边）三角形的轴对称性；（4）矩形、菱形、正方形的轴对称性；（5）等腰梯形的轴对称性；（6）圆的轴对称性；（7）折叠的轴对称性；（8）利用轴对称性求最值；（9）平面解析几何中图形的轴对称性。

一、轴对称和轴对称图形的识别和构造：典型例题：例1. （2012重庆市4分）下列图形中，是轴对称图形的是【】A．B．C．D．【答案】B。

【考点】轴对称图形。

【分析】根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合。

故选B。

例2. （2012广东湛江4分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是【】A．B．C．D．【答案】A。

【考点】轴对称图形。

故选A。

例3. （2012四川达州3分）下列几何图形中，对称性与其它图形不同的是【】【答案】A。

【考点】轴对称图形，中心对称图形。

空间几何的对称和对称变换

空间几何的对称和对称变换在日常生活中，我们经常会看到对称的事物，比如水滴、翅膀、建筑物等等，这些都是空间几何中的对称形状。

在空间几何中，对称是一个很重要的性质，它反映了我们周围的世界的一种特殊关系。

本文将从对称的概念、性质和对称变换三个方面进行探讨。

一、对称的概念对称是一种几何性质，它涉及到形状、大小、位置等多个方面。

在空间几何中，对称的定义比较明确：一个平面图形或立体图形，如果存在对称轴或对称中心，就称为对称图形。

对称轴是一个直线，可以把平面图形或立体图形对称成自身。

如果存在一个平面分割图形使得两个部分互相重合，就称这个平面为对称轴。

对称中心是一个点，可以把平面图形对称成自身。

如果存在一个点，可以过这个点作任意一条直线，这条直线分割出的部分互相相等，就称这个点为对称中心。

二、对称的性质对称具有一些重要的性质，有助于人们更好地理解和利用对称。

1. 对称性质是普遍存在的无论是自然界中的生物体，还是人类自己的建筑艺术和日用品等，都展现出对称性质。

人类在设计和创造事物时，经常会利用对称来达到美学和实用的双重效果。

2. 对称性质可以变形尽管对称图形本身不能与自身相似，但对称图形在经过一些变形后仍然具有对称性质。

比如把正方形沿对角线旋转45度，即可变成另一个正方形，尽管它不是与原正方形相似，但仍然具有对称性质。

3. 对称性质与角度、长度和面积无关对称性质不受角度、长度和面积的限制，在变形的过程中，对称性质是不会发生改变的。

比如从平面矩形变成平面正方形，虽然面积有所变化，但对称性质并未改变。

三、对称变换对称变换是指把图形按照对称性质进行变换，使得变换前后的图形是相同的。

对称变换可以分为三类：1. 翻转翻转是指将一个平面图形或立体图形沿对称轴翻转180度，得到一个与原图形相同但方向相反的镜像图形。

在平面几何中，翻转有两种情形：水平翻转和竖直翻转。

2. 平移平移是指将一个平面图形或立体图形沿直线平移一定的距离，仍得到一个与原图形相同但位置不同的图形。

关于对称知识点总结

关于对称知识点总结一、对称的定义对称是指一个物体的一部分关于某个中心或轴旋转、翻转等操作后，与另一部分完全重合的性质。

简单地说，就是一个物体可以通过某种变换保持不变。

在几何学中，对称通常涉及到轴对称和中心对称两种类型。

1. 轴对称：轴对称是指存在一个直线，使得图形绕这条直线旋转180度后，图形仍然不变。

这条直线就被称为轴线，而关于轴线的对称变换就被称为轴对称变换。

轴对称的图形通常具有左右对称或上下对称的性质。

2. 中心对称：中心对称是指存在一个点，使得图形绕这个点旋转180度后，图形仍然不变。

这个点就被称为中心，而关于中心的对称变换就被称为中心对称变换。

中心对称的图形通常具有圆形或椭圆形的性质。

二、对称的性质对称具有许多重要的性质，在数学中，这些性质对于解题和证明都具有重要的作用。

下面我们来介绍一些常见的对称性质：1. 对称性质：对称性是物体的一种基本性质。

一个图形如果关于某个中心或轴对称，那么它的两部分互为镜像，即完全重合。

这种性质在几何学中有很广泛的应用，比如在证明定理、计算面积等方面。

2. 对称轴：对称轴是指一个图形能够关于其上的直线旋转180度后仍保持不变的直线。

对称轴通常具有一些特殊的性质，比如在研究多边形的对称性质时，我们常常需要找到多边形的对称轴来简化问题。

3. 对称中心：对称中心是指一个图形能够关于其上的点旋转180度后仍保持不变的点。

对称中心通常具有一些特殊的性质，比如在研究圆的对称性质时，我们常常需要找到圆的对称中心来简化问题。

4. 对称图形：对称图形是指具有轴对称或中心对称性质的图形。

对称图形通常具有美观性和稳定性，因此在设计建筑、家具等方面都得到了广泛的应用。

三、对称的分类在数学中，对称的分类通常以轴对称和中心对称为基础进行划分。

不同类型的对称性质具有不同的特点和应用，下面我们来介绍一些常见的对称类型：1. 轴对称图形：轴对称图形是指具有轴对称性质的图形。

轴对称图形通常都具有左右对称或上下对称的性质，比如矩形、正方形、等腰三角形等都是轴对称图形。

解析几何对称问题__

解析几何中对称问题的常见求解方法知识整理（一）、关于点对称。

1、点关于点对称。

2、直线关于点对称。

3、曲线关于点对称。

（二）、关于直线对称1、点关于直线对称。

2、直线1l关于直线l的对称直线2l。

3、曲线关于直线对称。

综合上述，求对称问题通常采用变量替换、数形结合等解题思想。

求对称问题的P x y，再利用中点坐标公式或垂通法是：⑴求对称点一般采用，先设对称点(,)直、平分等条件，列出,x y的方程组，解方程组所得的解就是对称点的坐标，⑵P x y，再利用求对称点的方程求求对称直线一般是：先设对称曲线上任一点(,)出P点的对称点Q点坐标，将Q点坐标代入已知曲线方程中，所得的关于,x y的关系式，就是所求对称曲线的方程。

称问题带来很大的方便。

例题选讲：【例1】(1)下列方程所表示的曲线关于直线x ＋y ＝0不对称的是 ( )A ．x 2－3xy ＋y 2＝3B ．x 2＋3xy －y 2＝3C ．x 3－y 3＝3D ．x 3－y 3＝－3(2)曲线2x 2－5xy ＋2y 2＝3关于 ( )A ．点(1，1)对称B ．x 轴对称C ．y 轴对称D ．两直线y ＝±x 对称 (3)已知平行四边形ABCD 的两个定顶点A(15，－1)和C(10，14)，点B 在直线2x －y ＋31＝0上移动，则点D 的轨迹方程是(4)椭圆42x ＋y 2＝1关于点A(2，3)对称的椭圆的方程是【例2】已知△ABC 的一个顶点A(2，－4)，且∠B ，∠C 的内角平分线所在直线的方程依次是x ＋y －2＝0，x －3y －6＝0，求△ABC的三边所在直线的方程．【例3】设曲线C 的方程是y ＝x 3－x ，将曲线C 按向量 a ＝(t ，s)平移后得曲线C1，(1)写出曲线C1的方程； (2)证明曲线C 和曲线C1关于点A(2t ，2s)对称；(3)如果曲线C 和C1有且仅有一个公共点，证明：s ＝43t －t 且t ≠0【例4】知椭圆方程为13422=+y x ，试确定实数m 的取值范围，使得椭圆上有不同的两点关于直线m x y +=4对称。

小学数学几何变换中的对称与错切

判断对称与错切
对称的定义：两个图形关于某条直线或某点对称错切的定义：两个图形关于某条直线或某点错切判断对称的方法：观察两个图形是否关于某条直线或某点对称判断错切的方法：观察两个图形是否关于某条直线或某点错切
利用对称与错切解决几何问题
对称性：在几何图形中，对称性是指图形的一部分与另一部分相同或相似。
数学问题：对称性可以帮助我们简化问题，找到解决方案
物理现象：对称性在物理学中广泛应用，如光的反射、折射等
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错切变换
错切的定义
错切变换是一种几何变换，可以将一个图形变为另一
个图形。
错切变换可以将一个图形的某些部分进行拉伸或压缩，而其他部分保持不变。
错切变换可以将一个图形的某些部分进行旋转，而
自然现象：对称与错切在自然现象中的应用，如雪花、贝壳等数学教育：对称与错切在小学数学教育中的应用，如通过剪纸、拼图等游戏让学生理解对称与错切的概念
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关
对称与错切在数学中的历史：从古希腊时期到现代数学，对称与错切一直是
数学家们关注的焦点
对称与错切在现代数学中的应用：如群论、拓扑学、微分几何等学科中都有重
要的应用
对称与错切在现实生活中的应用
建筑设计：对称性在建筑设计中的应用，如故宫、天坛等著名建筑
艺术创作：错切在艺术创作中的应用，如毕加索的《格尔尼卡》等作品
通过对称与错切的学习，学生可以培养空间观念，提高几何直觉，更好地理解和解决几何问题。
对称与错切在小学数学几何中的应用，还可以帮助学生掌握几何变换的技巧，提高几何思维能力。

几何变换和对称性

几何变换和对称性几何变换是指平面或者空间中的图形，通过旋转、平移、缩放以及翻转等操作而得到的新图形。

几何变换是数学中一个重要的概念，它在几何学、物理学和计算机图形学等领域中有着广泛的应用。

一、平移变换平移变换是将图形按照指定的方向和距离进行移动，图形的大小和形状保持不变。

在平面几何中，平移变换可以通过将图形上的每个点同时按照相同的向量平移来实现。

例如，将一个正方形沿着x轴正方向平移3个单位，则每个点的坐标都分别增加3。

二、旋转变换旋转变换是将图形按照指定的中心点和角度进行旋转，图形的大小和结构保持不变。

在平面几何中，旋转变换可以通过将图形上的每个点绕着中心点按照逆时针方向旋转指定角度来实现。

例如，将一个正方形绕着原点逆时针旋转45度，则每个点的新坐标可以通过对原坐标进行矩阵运算得到。

三、缩放变换缩放变换是将图形按照指定的比例因子进行放大或者缩小，图形的形状改变，但是结构保持不变。

在平面几何中，缩放变换可以通过将图形上的每个点的坐标分别乘上指定的比例因子来实现。

例如，将一个正方形按照x方向放大2倍、y方向缩小一半，则每个点的新坐标可以通过对原坐标进行相应的运算得到。

四、翻转变换翻转变换是将图形按照指定的轴线或者中心点进行镜像翻转，图形的结构和形状发生改变。

在平面几何中，翻转变换可以通过将图形上的每个点按照指定线段进行镜像翻转来实现。

例如，将一个正方形以x轴为轴线进行翻转，则每个点的新坐标可以通过对原坐标进行相应的运算得到。

五、对称性的应用对称性在几何变换中起着重要的作用。

对称性是指图形存在某种操作，使得通过该操作得到的新图形与原图形完全相同。

在几何学中，有三种常见的对称性，即点对称、轴对称和中心对称。

点对称是指图形在某一个点上对称，即通过这个点将图形翻转180度后，得到的新图形与原图形完全相同。

例如，一个圆的任意两个点之间都存在着点对称关系。

轴对称是指图形相对于一条直线对称，即通过这条直线将图形翻转180度后，得到的新图形与原图形完全相同。

几何图形的对称性与变换

几何图形的对称性与变换是几何学中的重要概念，它们在数学、艺术、工程设计等多个领域都有着广泛的应用。

对称性是指物体或图形在某种变换下保持不变的性质，而变换则是指图形在空间中的位置、形状、大小等特征的改变。

一、对称性对称性是几何图形的一种基本属性，它反映了图形在某种对称变换下的不变性。

对称性可以分为两种基本类型：轴对称和中心对称。

1. 轴对称：如果一个几何图形关于一条直线（对称轴）对称，即在直线两侧的部分能够通过这条直线对折而完全重合，那么这个图形具有轴对称性。

轴对称的图形在日常生活中非常常见，如蝴蝶、叶子等。

轴对称的性质在数学上有助于简化一些问题的求解，如计算图形的面积或周长等。

2. 中心对称：如果一个几何图形关于一个点（对称中心）对称，即图形上的每一点与对称中心连接形成的线段都被该点平分，那么这个图形具有中心对称性。

中心对称的图形如圆形、正方形等，它们在视觉上呈现出一种平衡和稳定感。

中心对称的性质在数学上也有着广泛的应用，如计算图形的旋转、平移等变换后的位置。

对称性不仅存在于二维平面图形中，还存在于三维立体图形中。

在三维空间中，几何图形的对称性可以表现为面对称、线对称和旋转对称等多种形式。

这些对称性质在工程设计、建筑设计等领域中具有重要的应用价值，可以帮助设计师创造出美观且结构稳定的作品。

二、变换变换是指几何图形在空间中的位置、形状、大小等特征的改变。

常见的变换包括平移、旋转、缩放等。

1. 平移：平移是指图形在空间中沿某一方向移动一定的距离，而形状和大小保持不变的操作。

平移是一种简单的变换，它不会改变图形的任何内在属性，只是改变了图形在空间中的位置。

平移在数学、计算机图形学等领域有着广泛的应用，如在动画制作中通过平移实现物体的运动效果。

2. 旋转：旋转是指图形在空间中以某一点为中心，沿某一方向旋转一定的角度，而形状和大小保持不变的操作。

旋转变换可以改变图形的方向，但不会改变图形的大小和形状。

在日常生活中，许多物体都具有旋转对称性，如轮子、表盘等。

《解析几何》：对称问题

对称性与生物分子结构
生物分子如蛋白质和核酸等也具有对称性，通过对称性分析可以深入理解生物分子的结构和功能。
对称性与生物演化
生物演化过程中，某些物种可能会因为环境压力而发生对称性的变化，通过对称性分析可以深入理解生物演化的规律和机制。
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对称的性质
对称性质1
对称的图形是全等的。
对称性质2
对称的图形具有等长的对应边和等角。
对称性质3
对称的图形具有等面积的对应部分。
02 平面上的对称问题
点关于点的对称
总结词
若点A关于点B的对称，则线段AB的中点是两点的对称中心，且AB与对称中心连线垂直。
详细描述
设点A和点B为平面上的两个点，如果存在另一点C，使得线段AC与线段BC的中点都是B，并且线段AB与线段BC垂直，则称点A关于点B有对称点C。
详细描述
设直线l和点P为平面上的一个直线和一个点，如果存在另一直线m，使得点P位于直线m上，并且直线l与过点P的垂线垂直，则称直线l关于点P有对称直线m。
直线关于直线的对称
总结词
若直线l1关于直线l2的对称，则两直线的斜率互为相反数。
详细描述
设直线l1和直线l2为平面上的两条直线，如果存在另一直线l3，使得直线l1与直线l3平行且等距，并且直线l2与直线l3垂直，则称直线l1关于直线l2有对称直线l3。
03
对称性与物理现象
对称性在物理现象中也有广泛应用，如晶体结构、电磁波的传播等。通
过对称性分析，可以深入理解这些物理现象的本质和规律。
对称与化学
分子的对称性
化学中的分子具有不同的对称性，如对称轴、对称面等。这些对称性对分子的性质和反应活性有重要影响，可以通过对称性分析来预测和解释化学反应的规律。