几何三大变换问题之对称
几何变换的特点认识平移旋转和对称的性质
几何变换的特点认识平移旋转和对称的性质几何变换的特点：认识平移、旋转和对称的性质几何变换是数学中对图形进行变换、移动或者改变形状的操作。
它是研究几何性质和图像的重要方法之一。
本文将重点讨论几何变换中的平移、旋转和对称三种基本变换，并阐述它们的特点和性质。
一、平移平移是指将图形在平面上沿着某个方向移动一定的距离，保持图形内部各点之间的相对位置不变。
平移的特点有：1. 平移是保形变换，即图形的形状不发生改变，只是位置发生了移动。
例如，一个正方形经过平移后仍然是一个正方形。
2. 平移是等距变换，即原图形和移动后的图形之间的距离保持不变。
例如，一个直角三角形经过平移后，各边之间的夹角大小不变。
3. 平移满足能够叠加的性质，即若干次平移变换的次序可以改变，但最终的结果是相同的。
例如，图形先向右平移再向上平移，与先向上平移再向右平移的结果是相同的。
二、旋转旋转是指将图形围绕某个点进行旋转，使得图形的各点相对于旋转中心点保持一定的角度不变。
旋转的特点有：1. 旋转同样是保形变换，即图形的形状不发生改变，只是位置和旋转方向发生变化。
例如，一个正三角形经过旋转后仍然是一个正三角形。
2. 旋转是等角变换，即旋转前后的角度大小保持不变。
例如，一个矩形经过旋转后，各个顶点之间的角度大小仍然相等。
3. 旋转也满足能够叠加的性质，即若干次旋转变换的次序可以改变，但最终的结果是相同的。
例如，图形先顺时针旋转90°再逆时针旋转90°，与先逆时针旋转90°再顺时针旋转90°的结果是相同的。
在旋转中，旋转中心点的选择对于结果有重要影响。
三、对称对称是指图形围绕某条直线或者点对称，使得图形在这条直线或者点上的两侧是完全相同的。
对称的特点有：1. 对称是保形变换，即图形的形状不发生改变，只是位置发生了变化。
例如，一个圆经过对称后仍然是一个圆。
2. 对称是等距变换，即对称前后图形内部各点之间的距离保持不变。
几何变换对称
几何变换对称几何变换是指在平面或空间中改变图形的形状、大小、位置的操作。
对称是指图形中存在一条轴线、中心点或平面，使得图形在这条轴线、中心点或平面的对立侧存在对称关系。
几何变换对称是指在进行几何变换的同时，保持图形的对称性不变。
下面将分别介绍几何变换中的平移、旋转、翻转和尺度变换对称。
一、平移对称平移是指将图形在平面上按照一定的方向和距离进行移动。
平移操作不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。
当一个图形在平移前后仍然保持对称时，称这个图形具有平移对称性。
例如，一个正方形在平移前后仍然保持对称。
当你将这个正方形沿着平面上的任意直线进行平移，正方形的每一部分都能沿着对应的位置平移，仍然保持对称关系。
二、旋转对称旋转是指围绕一个点或一条轴线将图形按照一定的角度进行旋转。
旋转操作改变图形的角度，但不改变图形的形状和大小。
当一个图形在旋转前后仍然保持对称时，称这个图形具有旋转对称性。
例如，一个圆形在任意一个中心点处都具有旋转对称性。
无论你将这个圆形围绕中心点旋转多少度，它的每个点都能找到对应的对称点，保持对称关系。
三、翻转对称翻转是指将图形绕着一条轴线进行镜像反转。
翻转操作改变图形的位置和方向，但不改变图形的形状和大小。
当一个图形在翻转前后仍然保持对称时，称这个图形具有翻转对称性。
例如，一个矩形具有关于某条中心线的翻转对称性。
当你将这个矩形绕着中心线进行翻转，矩形的每个点都存在对应的对称点，保持对称关系。
四、尺度变换对称尺度变换是指将图形等比例地放大或缩小。
尺度变换改变图形的大小，但不改变图形的形状和位置。
当一个图形在经过尺度变换后仍然保持对称时，称这个图形具有尺度变换对称性。
例如，一个正三角形具有尺度变换对称性。
无论你将这个正三角形放大或缩小，三角形的每个边和角度都保持等比例关系，保持对称性。
综上所述，几何变换对称是指在进行几何变换时，图形仍然保持原有的对称性。
平移、旋转、翻转和尺度变换分别对应不同的对称性。
专题9：几何三大变换之对称探讨
初中学习资料整理总结专题9：几何三大变换之轴对称探讨一、轴对称和轴对称图形的识别和构造：典型例题：例1. （2012重庆市4分）下列图形中，是轴对称图形的是【】A．B．C．D．【答案】B。
【考点】轴对称图形。
【分析】根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合。
因此，A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项正确；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误。
故选B。
例2. （2012广东湛江4分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是【】A．B．C．D．【答案】A。
【考点】轴对称图形。
【分析】根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，因此A、是轴对称图形，符合题意；B、不是轴对称图形，不符合题意；C、不是轴对称图形，不符合题意；D、不是轴对称图形，不符合题意。
故选A。
例3. （2012四川达州3分）下列几何图形中，对称性与其它图形不同的是【】【答案】A。
【考点】轴对称图形，中心对称图形。
【分析】根据轴对称及中心对称的定义，分别判断各选项，然后即可得出答案：A、是轴对称图形，不是中心对称图形；B、既是轴对称图形也是中心对称图形；C、既是轴对称图形也是中心对称图形；D、既是轴对称图形也是中心对称图形。
故可得选项A与其他图形的对称性不同。
故选A。
例4. （2012广西柳州3分）娜娜有一个问题请教你，下列图形中对称轴只有两条的是【】【答案】C。
【考点】轴对称图形。
【分析】根据轴对称图形的概念，分别判断出四个图形的对称轴的条数即可：A、圆有无数条对称轴，故本选项错误；B、等边三角形有3条对称轴，故本选项错误；C、矩形有2条对称轴，故本选项正确；D、等腰梯形有1条对称轴，故本选项错误。
故选C。
例5. （2012福建三明8分）如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（－2，－1），B（－3，－3），C（－1，－3）.①画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；（4分）②画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点A2的坐标.（4分）【答案】解：①如图所示，A1（－2，1）。
几何形的变换与对称性
几何形的变换与对称性几何形的变换与对称性是数学中重要的概念之一，它们在几何学、物理学以及其他科学领域都有着广泛的应用。
本文将介绍几何形的变换和对称性的基本概念，以及它们在实际中的应用。
一、几何形的变换几何形的变换是指对图形进行改变的操作，主要包括平移、旋转和镜像三种基本变换。
1. 平移: 平移是指图形在平面上沿着某个方向保持大小和形状不变地移动。
平移可以由向量表示，将图形上的每个点都按照相同的向量进行平移。
2. 旋转: 旋转是指图形按照某个中心点进行旋转，使得图形在平面上绕中心点进行旋转。
旋转可以由角度表示，将图形上的每个点都按照相同的角度进行旋转。
3. 镜像: 镜像是指图形关于一条直线或一个点对称。
图形通过镜像变换后，与原来的图形完全重合，但是对称于镜像中心。
这三种基本变换可以组合使用，实现更复杂的变换效果，例如平移结合旋转可以实现圆周运动，平移结合镜像可以实现图形在平面上的滑移等。
二、对称性对称性是指一个图形相对于某条直线、某个平面或一个点而言能够完全或部分重合。
对称性可以分为以下几种类型：1. 线对称: 图形相对于一条直线对称，即左右对称。
直线可以是任意位置的，图形中的每个点关于直线都有对称点。
2. 面对称: 图形相对于一个平面对称，即上下对称或前后对称。
平面可以是任意位置的，图形中的每个点关于平面都有对称点。
3. 点对称: 图形相对于一个点对称，即中心对称。
点可以是图形中的任意一个点，图形中的每个点关于对称中心都有对称点。
对称性具有重要的几何性质，它可以帮助我们研究图形的性质和相似性质，简化计算和分析的过程。
三、应用案例几何形的变换与对称性在实际中有着广泛的应用。
以下是几个应用案例的介绍：1. 制造业: 在制造业中，使用几何形的变换和对称性可以帮助工程师设计、分析和生产产品。
例如，通过对产品进行平移、旋转和镜像变换，可以评估产品的装配性能、运动轨迹和外观质量。
2. 计算机图形学: 在计算机图形学中，几何形的变换和对称性是实现计算机动画和图形处理的基础。
全国中考数学分类解析汇编专题10：几何三大变换问题之对称
2 012年全国中考数学分类解析汇编专题10：几何三大变换问题之对称一、选择题1. （2012江苏连云港3分）小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，这样就可以求出67.5°角的正切值是【】A3 1 B2 1 C．2.5 D5【答案】B。
【考点】翻折变换(折叠问题)，折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，锐角三角函数定义，勾股定理。
【分析】∵将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，∴AB＝BE，∠AEB＝∠EAB＝45°，∵还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，∴AE＝EF，∠EAF＝∠EFA＝045＝22.5°。
∴∠FAB＝67.5°。
2设AB＝x，则AE＝EF＝2x，∴an67.5°＝tan∠FAB＝t FB2x+x21==+。
故选B。
AB x2. （2012江苏南京2分）如图，菱形纸片ABCD中，∠A=600，将纸片折叠，点A、D分的值为【】别落在A’、D’处，且A’D’经过B，EF为折痕，当D’F⊥CD时，CFFDA. 31-B. 3C. 231-D. 31+【答案】A。
【考点】翻折变换（折叠问题），菱形的性质，平行的性质，折叠的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】延长DC与A′D′，交于点M，∵在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，∴∠DCB=∠A=60°，AB ∥CD 。
∴∠D=180°-∠A=120°。
根据折叠的性质，可得∠A′D′F=∠D=120°，∴∠FD′M=180°-∠A′D′F=60°。
∵D′F⊥CD ，∴∠D′FM=90°，∠M=90°-∠FD′M=30°。
初中三大几何变换---对称
初中三⼤⼏何变换---对称对称，我们熟知的三⼤⼏何变换之⼀，⼏何题中往往都有它的⾝影，我们知道它很重要，但有时候可能并不清晰，关于对称我们要了解什么．我们将从基本性质说起，到⼀些常见图形的隐含结论，再到对称的构造．本⽂从性质说起：关于对称的性质，⼤概可以有以下三点，由于对称前后的图形是全等的，所以（1）对应⾓相等；（2）对应边相等；（3）对称点连线被对称轴垂直且平分．以上由对称必然可以得到，选取恰当的性质帮助解题，不仅要了解知识点，也要了解与其相关配套的条件与问题．01对应⾓相等由对称得到的对应⾓相等尤其适合⽤在求⾓度的问题中，练习参考以下1-3题：2019江西中考2019邵阳中考2018兰州中考对称的图形中可能会有特殊⾓，⽽此时特殊⾓带来的不仅仅是其本⾝，也可能会连带其他⾓也变成特殊⾓．4、5有关30°特殊⾓，6、7有关60°特殊⾓．2018毕节中考2019辽阳中考2019潍坊中考2018遵义中考2019黄冈中考02对应边相等但凡涉及到对称，基本上都会⽤到对应边相等，很多内容很难割裂分开，或许按知识点作题⽬分类值得商榷，但此处只需强调⼀点：对应边相等．在某些问题中是解题关键．2019朝阳中考2018威海中考2019杭州中考03对称点连线被对称轴垂直平分连接对称点连线可得垂直，由垂直，或可得直⾓三⾓形，或可得三垂直全等或相似，或可⽤三⾓函数，但终可求线段长．2018襄阳中考2018青海中考2019淮安中考2017资阳中考2019重庆中考【⼩结】以上3个题均是从中点处折叠，连接对称点，可得直⾓三⾓形．知识点都熟，但也要了解与问题的搭配，⽅能有的放⽮．。
对称、平移和旋转变换
对称、平移和旋转变换在平面几何的解证题中，往往由条件的隐蔽和分散，以至找不到解证题的途径，而恰当地运用几何变换，就可以使“分散”变为“集中”，“隐蔽”变为“明显”，使解证题思路清晰起来。
这一讲我们着重学习三种主要的合同变换——对称变换、平移变换、旋转变换及其在解证几何题中的运用。
一、对称变换对称变换包括轴对称变换和中心对称变换。
将一个图形以一条定直线为轴作对称图形，这种变换是轴对称变换。
将一个图形以一个定点为中心作对称图形，这种变换是中心对称变换（也是旋转变换的特殊情况）。
对称变换的特点是不改变图形的形状和大小，只是改变了图形的位置。
一条直线或一个点就确定了一个对称变换。
例1：试证：等腰三角形的底角相等。
已知：如图（1），在△ABC 中，AB=AC ，求：∠B=∠C分析：（1）由于等腰三角形是一个轴对称图形，则可添加对称轴证之，如作AD ⊥BC 于D ，再证△ABD ≌△ACD 即可。
（2）更妙的是，把△ABC 看作是以AD 为轴的两个重叠在一起的三角形由△ABC ≌△ACB 换出∠B=∠C 。
例2：如图（2），四边形ABCD 中，AB ∥CD ，且有AB=AC=AD=213cm ，BC=5cm ，求BD 的长。
分析：由于△ACD 是等腰三角形，以底边CD 中垂线NM 为轴补全图形，做出△ABC 关于MN 的对称△AED ，则AB=AD=AE=213，所以∠BDE=Rt ∠，而DE=BC=5，所以BD=12。
例3：如图（3），在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 是CD 的中点，EF ⊥A B 于F ，则S ABCD 梯形=AB •EF 。
分析：由于DE=EC ，因此，以E 为定点作A 的对称点G ，则△ADE 与△GCE 关于点E 对称，且B ，C ，G 三点共线，所以S BEG ∆=S ABE ∆=21AB •EF ，故S ABCD 梯形= AB •EF 。
二、平移变换平移变换是将一个图形向某一个方向移动一个距离得到一个新的图形，其平移前后的线段保持相等且平行，角也保持相等。
几何三大变换问题之对称问题
一、选择题1. （2013年湖南郴州3分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点．将Rt△ABC 沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于【】A．25°B．30°C．35°D．40°2. （2013年湖北鄂州3分）如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB 的长度和最短，则此时AM+NB=【】A．6 B．8 C．10 D．123. （2013年湖北随州4分）如图，正方形ABCD中，AB=3，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF．下列结论：①点G是BC中点；②FG=FC；③．其中正确的是【】A．①②B．①③C．②③D．①②③【答案】B。
【考点】翻折变换（折叠问题），正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，【分析】∵正方形ABCD中，AB=3，CD=3DE，∴DE=×3=1，CE=3﹣1=2。
∵△ADE沿AE对折至△AFE，∴AD=AF，EF=DE=1，∠AFE=∠D=90°。
∴AB=AF=AD。
在Rt△ABG和Rt△AFG中，∵AG=AG，B=AF，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）。
∴BG=FG，4. （2013年江苏苏州3分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B 的坐标为（3，），点C的坐标为（，0），点P为斜边OB上的一动点，则PA＋PC的最小值为【】A．B．C．D．2【答案】B。
【考点】单动点问题，轴对称的应用（最短线段问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理。
【分析】如图，作点C关于OB的对称点C′，交OB于点D，连接AC′交OB于点P，根据轴对称的知识可知，此时A C′=PA＋PC最小。
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专题10：几何三大变换问题之对称
2. （2012江苏南京2分）如图，菱形纸片ABCD中，∠A=600，将纸片折叠，点A、D分别落在A’、D’处，
且A’D’经过B，EF为折痕，当D’F⊥CD时，CF
FD
的值为【】
3. （2012福建南平4分）如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD 分别和AE、AF折叠，点B、D恰好都将在点G处，已知BE=1，则EF的长为【】
A．3
2
B．
5
2
C．
9
4
D．3
4. （2012四川资阳3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在
AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC＝6，NC＝，则四边形MABN的面积是【】
A．63 B．3C．183D．
5. （2012贵州遵义3分）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF=1，FD=2，则BC的长为【】
A．B．C．D．
6. （2012山东济宁3分）如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，EH=12厘米，EF=16厘米，则边AD的长是【】
A．12厘米 B．16厘米 C．20厘米 D．28厘米
7. （2012广西河池3分）如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，将矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，
折痕为MN，连结CN．若△CDN的面积与△CMN的面积比为1︰4，则MN
BM
的值为【】
A．2 B．4 C．D．
8（2012上海市4分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，点D在AC上，将△ADB沿直线BD翻折后，将点A落在点E处，如果AD⊥ED，那么线段DE的长为▲．
9 （2012浙江杭州4分）如图，平面直角坐标系中有四个点，它们的横纵坐标均为整数．若在此平面直角坐标系内移动点A，使得这四个点构成的四边形是轴对称图形，并且点A的横坐标仍是整数，则移动后点A的坐标为▲ ．
10 （2012福建莆田4分）点A、Ｂ均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐
-的值最大的点，
标系如图所示．若P是x轴上使得PA PB
⋅＝▲．
Q是y轴上使得QA十QB的值最小的点，则OP OQ
11（2012四川内江6分）已知A（1，5），B（3，－1）两点，在x轴上取一点M，使AM－BN取得最大值时，则M的坐标为▲
12 （2012辽宁大连3分）如图，矩形ABCD中，AB＝15cm，点E在AD上，且AE＝9cm，连接EC，将矩形ABCD沿直线BE翻折，点A恰好落在EC上的点A'处，则A'C＝▲ cm。
13（2012贵州黔西南3分）把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF，若AB＝3cm，BC＝5cm，则重叠部分△DEF的面积为▲ cm 2。
14 （2012山东青岛3分）如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点
C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为▲ cm．
15（2012河南省5分）如图，在Rt△ABC中，∠C=900，∠B=300，BC=3，点D是BC边上一动点（不与点B、C重合），过点D作DE⊥BC交AB边于点E，将∠B沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的点F处，当△AEF 为直角三角形时，BD的长为▲。