2020高考数学大一轮复习第六章不等式推理与证明第四节合情推理与演绎推理检测理新人教A版

第四节 合情推理与演绎推理限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)A 级 基础夯实练1.(2018·宁波模拟)观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x )解析：选D.观察可知，偶函数f (x )的导函数g (x )都是奇函数，所以g (－x )＝－g (x )． 2.(2018·石家庄检测)若a ，b ，c ∈R ，下列使用类比推理得到的结论正确的是( ) A ．“若a ·2＝b ·2，则a ＝b ”类比推出“若a ·c ＝b ·c ，则a ＝b ” B ．“若(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“(a ·b )c ＝ac ·bc ” C ．“若(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“a ＋bc ＝a c ＋bc(c ≠0)” D ．“(ab )n＝a n b n”类比推出“(a ＋b )n＝a n＋b n(n ∈N *)”解析：选C.对于A ，“若a ·2＝b ·2，则a ＝b ”类比推出“若a ·c ＝b ·c ，则a ＝b ”，不正确，如c ＝0时，则a ，b 不一定相等，故A 错误；对于B ，“若(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”，而(a ·b )c ＝ac ·b ＝a ·bc ，故B 错误；对于C ，“若(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比推出“a ＋bc ＝a c ＋bc(c ≠0)”，故C 正确； 对于D ，由“(ab )n＝a n b n”类比推出“(a ＋b )n＝a n＋b n(n ∈N *)”，当n ＝2时，(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，故D 错误．3.(2018·江西新余月考)我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣．”它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式1＋11＋11＋…中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程1＋1x ＝x 求得x ＝5＋12.类似上述过程，则3＋23＋2…＝( )A ．3B ．13＋12C ．6D ．2 2解析：选A.由题意结合所给的例子类比推理可得， 3＋2x ＝x (x ≥0)，整理得(x ＋1)(x －3)＝0，则x ＝3， 即 3＋23＋2…＝3.故选A.4.(2018·山师附中质检)等差数列{a n }的公差为d ，前n 项的和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列，公差为d2.类似地，若各项均为正数的等比数列{b n }的公比为q ，前n 项的积为T n ，则等比数列{nT n }的公比为( )A.q2 B ．q 2C.qD ．nq解析：选C.由题设，得T n ＝b 1·b 2·b 3·…·b n ＝b 1·b 1q ·b 1q 2·…·b 1q n －1＝b n 1q1＋2＋…＋(n－1)＝b n 1q （n －1）n2.∴n T n ＝b 1q n －12，∴等比数列{nT n }的公比为q ，故选C.5.(2018·成都模拟)从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为( )A ．2 018B ．2 019C ．2 020D ．2 021解析：选D.根据题干图所示的规则排列，设最上层的一个数为a ，则第二层的三个数为a ＋7，a ＋8，a ＋9，第三层的五个数为a ＋14，a ＋15，a ＋16，a ＋17，a ＋18，这九个数之和为a ＋3a ＋24＋5a ＋80＝9a ＋104. 由9a ＋104＝2 021，得a ＝213，是自然数，故选D.6.(2018·潍坊模拟)为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a 0a 1a 2，a i ∈{0，1}(i ＝0，1，2)，传输信息为h 0a 0a 1a 2h 1，其中h 0＝a 0⊕a 1，h 1＝h 0⊕a 2，⊕的运算规则为0⊕0＝0，0⊕1＝1，1⊕0＝1，1⊕1＝0.例如原信息为111，则传输信息为01111，信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是( )A ．11010B ．01100C ．10111D ．00011解析：选C.对于选项C ，传输信息是10111，对应的原信息是011，由题目中的运算规则知h 0＝0⊕1＝1，h 1＝h 0⊕a 2＝1⊕1＝0，故传输信息是10110.7.(2018·武汉武昌区调研)一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁解析：选B.由题可知，乙、丁两人的观点一致，即同真同假，假设乙、丁说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说的是真话，推出丙是罪犯，由甲说的是假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯，显然两个结论相互矛盾，所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙供述可得，乙是罪犯．8.观察下列等式：ln 1＝0， ln(2＋3＋4)＝2ln 3， ln(3＋4＋5＋6＋7)＝2ln 5， ln(4＋5＋6＋7＋8＋9＋10)＝2ln 7， …则根据以上四个等式，猜想第n 个等式为________． 解析：题中等式可改写为ln (3×1－2)＝2ln (2×1－1)， ln[2＋3＋(3×2－2)]＝2ln (2×2－1)， ln[3＋4＋5＋6＋(3×3－2)]＝2ln (2×3－1)， ln[4＋5＋…＋(3×4－2)]＝2ln (2×4－1)，故第n 个式子为ln[n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)]＝2ln(2n －1)． 答案：ln[n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)]＝2ln(2n －1)9.(2018·漳州八校联考)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n 个三角形数为n （n ＋1）2＝12n 2＋12n ，记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数N (n ，3)＝12n 2＋12n ，正方形数N (n ，4)＝n 2， 五边形数N (n ，5)＝32n 2－12n ，六边形数N (n ，6)＝2n 2－n ， …可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10，24)＝________．解析：由N (n ，4)＝n 2，N (n ，6)＝2n 2－n ，可以推测：当k 为偶数时，N (n ，k )＝k －22n2＋4－k 2n ，所以N (10，24)＝24－22×100＋4－242×10＝1 100－100＝1 000.答案：1 00010.已知O 是△ABC 内任意一点，连接AO ，BO ，CO 并延长，分别交对边于A ′，B ′，C ′，则OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝1，这是一道平面几何题，其证明常采用“面积法”： OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝S △OBC S △ABC ＋S △OCA S △ABC ＋S △OAB S △ABC ＝S △ABCS △ABC＝1. 请运用类比思想，对于空间中的四面体A ­BCD ，存在什么类似的结论，并用“体积法”证明．解：在四面体A ­BCD 中，任取一点O ，连接AO ，DO ，BO ，CO 并延长，分别交四个面于E ，F ，G ，H 点．则OE AE ＋OF DF ＋OG BG ＋OHCH＝1.证明：在四面体O ­BCD 与A ­BCD 中， OE AE ＝h 1h ＝13S △BCD ·h 113S △BCD ·h ＝V O ­BCDV A ­BCD. 同理有OF DF ＝V O ­ABC V D ­ABC ；OG BG ＝V O ­ACD V B ­ACD ；OH CH ＝V O ­ABDV C ­ABD.∴OE AE ＋OF DF ＋OG BG ＋OHCH＝V O ­BCD ＋V O ­ABC ＋V O ­ACD ＋V O ­ABD V A ­BCD ＝V A ­BCDV A ­BCD＝1.B 级 能力提升练11.(2018·济南模拟)中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹．在古代是用算筹来进行计数的，表示数的算筹有纵、横两种形式，如图所示．表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位上的数用纵式表示，十位、千位、十万位上的数用横式表示，以此类推．例如6 613用算筹表示就是，则9 117用算筹可表示为( )解析：选A.由题意知，千位9为横式，百位1为纵式，十位1为横式，个位7为纵式，故选A.12.(2018·温州质检)如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为1n(n ≥2)，其余每个数是它下一行左右相邻两数的和，如11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则第11行第2个数(从左往右数)为( )11 12 12 13 16 13 14 112 112 14 15 120 130 120 15…A.190 B ．1110 C.1132D ．111解析：选B.由“莱布尼兹调和三角形”中数的排列规律，我们可以推断：第10行的第一个数为110，第11行的第一个数为111，则第11行的第二个数为110－111＝1110.13.(2018·湖北八校联考)祖暅是我国南北朝时期的数学家，是祖冲之的儿子．他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．设由椭圆y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)所围成的平面图形绕y 轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体(称为椭球体)如图所示，课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的方法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积等于________．解析：设椭圆的长半轴长为a ，短半轴长为b ，现构造两个底面半径为b ，高为a 的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球体的体积V ＝2(V 圆柱－V 圆锥)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫π×b 2×a －13π×b 2×a ＝43πb 2a .答案：43πb 2a14.已知函数f (x )＝－24x ＋2.(1)证明函数y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12对称；(2)求f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)的值．解：(1)证明：函数的定义域为R.设点P (x ，y )是y ＝f (x )的图象上任意一点， 则点P (x ，y )关于⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12的对称点P ′(1－x ，－1－y )．∵y ＝－24x ＋2，则－1－y ＝－1＋24x ＋2＝－4x4x ＋2.又f (1－x )＝－241－x ＋2＝－4x4x ＋2.∴－1－y ＝f (1－x )，即点P ′(1－x ，－1－y )在函数y ＝f (x )的图象上，因此y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12对称．(2)由(1)知－1－f (x )＝f (1－x )， 即f (x )＋f (1－x )＝－1.∴f (－2)＋f (3)＝－1，f (－1)＋f (2)＝－1，f (0)＋f (1)＝－1.因此f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝－3.15.(2018·广东七校联考)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°；②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解：(1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α·(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝sin 2α＋34cos 2α－14sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.C 级 素养加强练16.(2018·长春市高三第四次质量检测)有甲、乙二人去看望高中数学老师张老师，期间他们做了一个游戏，张老师的生日是m 月n 日，张老师把m 告诉了甲，把n 告诉了乙，然后张老师列出来如下10个日期供选择：2月5日，2月7日，2月9日，5月5日，5月8日，8月4日，8月7日，9月4日，9月6日，9月9日．看完日期后，甲说：“我不知道，但你一定也不知道．”乙听了甲的话后，说：“本来我不知道，但现在我知道了．”甲接着说：“哦，现在我也知道了．”请问，张老师的生日是________．解析：根据甲说的“我不知道，但你一定也不知道”，可排除5月5日、5月8日、9月4日、9月6日、9月9日；根据乙听了甲的话后说的“本来我不知道，但现在我知道了”，可排除2月7日、8月7日；根据甲接着说的“哦，现在我也知道了”，可以得知张老师生日为8月4日．答案：8月4日。