第六章不等式推理与证明第一节不等关系与不等式
2018届高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 第一节 不等关系与不等式学案 文
第一节 不等关系与不等式1.了解现实世界和日常生活中的不等关系． 2．了解不等式(组)的实际背景． 3．掌握不等式的性质及应用．知识点一 两个实数比较大小 1．作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b>0⇔ab ，a －b ＝0⇔a b ，a －b<0⇔ab ；2．作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab>1⇔a R ，b，ab ＝1⇔a b a ∈R ，b，a b <1⇔a b a ∈R ，b答案1．> ＝ < 2.> ＝<1．判断正误(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a <b 三种关系中的一种．( ) (2)若a b>1，则a >b .( ) 答案：(1)√ (2)×2．(必修⑤P75习题3.1A 组第2题改编)15－2________16－5(填“>”“<”或“＝”)．解析：分母有理化有15－2＝5＋2，16－5＝6＋5，显然5＋2<6＋5，所以15－2<16－5.答案：<知识点二 不等式的性质 1．对称性：a >b ⇔b <a ； 2．传递性：a >b ，b >c ⇒______；3．可加性：a >b ⇔a ＋c ____b ＋c ，a >b ，c >d ⇒a ＋c ____b ＋d ； 4．可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ； 5．可乘方：a >b >0⇒a n____b n(n ∈N ，n ≥2)； 6．可开方：a >b >0⇒na >nb (n ∈N ，n ≥2)．答案2．a >c 3.> > 5.>3．判断正误(1)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( ) (2)一个非零实数越大，则其倒数就越小．( ) (3)同向不等式具有可加和可乘性．( ) (4)a >b >0，c >d >0⇒a d >b c.( ) (5)若ab >0，则a >b ⇔1a <1b.( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√4．设b <a ，d <c ，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a －c <b －d B ．ac <bd C ．a ＋c >b ＋dD ．a ＋d >b ＋c解析：由同向不等式具有可加性可知C 正确． 答案：C5．若－π2<α<β<π2，则α－β的取值范围是________．解析：由－π2<α<π2，－π2<－β<π2，α<β，得－π<α－β<0.答案：(－π，0)热点一 比较两个数(式)的大小【例1】 (1)已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M <N B ．M >N C ．M ＝ND ．不确定(2)已知a >b >0，比较a a b b与a b b a的大小．【解析】 (1)∵M －N ＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝a 1(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 1－1)(a 2－1) 又a 1，a 2∈(0,1)，故(a 1－1)(a 2－1)>0，故M >N .(2)解：∵a a b b a b b a ＝a a －b b a －b ＝(a b)a －b，又a >b >0，故a b>1，a －b >0，∴(a b )a －b >1，即a a b ba b ba >1， 又ab b a>0，∴a a b b>a b b a，∴a a b b与a b b a的大小关系为：a a b b>a b b a. 【答案】 (1)B (2)a a b b>a b b a(1)已知x ∈R ，m ＝(x ＋1)(x 2＋x 2＋1)，n ＝(x ＋12)(x 2＋x ＋1)，则m ，n 的大小关系为( )A ．m ≥nB ．m >nC ．m ≤nD ．m <n(2)若a ＝1816，b ＝1618，则a 与b 的大小关系为________． 解析：(1)m ＝(x ＋1)(x 2＋x2＋1) ＝(x ＋1)(x 2＋x －x2＋1)＝(x ＋1)(x 2＋x ＋1)－x2(x ＋1)，n ＝(x ＋12)(x 2＋x ＋1)＝(x ＋1－12)(x 2＋x ＋1)＝(x ＋1)(x 2＋x ＋1)－12(x 2＋x ＋1)，∴m －n ＝(x ＋1)(x 2＋x 2＋1)－(x ＋12)(x 2＋x ＋1)＝12(x 2＋x ＋1)－12x (x ＋1)＝12>0.则有x ∈R 时，m >n 恒成立，故选B.(2)a b ＝18161618＝(1816)161162 ＝(98)16(12)16＝(982)16， ∵982∈(0,1)，∴(982)16<1. ∵1816>0,1618>0，∴1816<1618，即a <b . 答案：(1)B (2)a <b 热点二 不等式的性质考向1 利用不等式的性质比较大小【例2】 若a >b >0，c <d <0，则一定有( ) A.a c >b d B.a c <b d C.a d >b cD.a d <b c【解析】 由c <d <0⇒－1d >－1c >0，又a >b >0，故由不等式性质，得－a d >－b c >0，所以a d <bc.【答案】 D考向2 不等式性质与函数性质的结合【例3】 (2016·北京卷)已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( ) A.1x －1y>0B ．sin x －sin y >0C ．(12)x －(12)y<0D ．ln x ＋ln y >0【解析】 解法1：因为x >y >0，选项A ，取x ＝1，y ＝12，则1x －1y ＝1－2＝－1<0，排除A ；选项B ，取x ＝π，y ＝π2，则sin x －sin y ＝sin π－sin π2＝－1<0，排除B ；选项D ，取x ＝2，y ＝12，则ln x ＋ln y ＝ln(xy )＝ln1＝0，排除D.故选C.解法2：因为函数y ＝(12)x 在R 上单调递减，且x >y >0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫12y，即(12)x －(12)y <0，故选C.【答案】 C(1)若a ，b 为实数，则“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)若1a <1b<0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④ab <b 2中，正确的不等式有( ) A ．①② B ．②③ C ．①④ D ．③④(3)已知a <b <c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式恒成立的是( ) A ．a 2<b 2<c 2B ．a |b |<c |b |C ．ba <caD ．ca <cb解析：(1)对于0<ab <1，如果a >0，则b >0，a <1b 成立，如果a <0，则b <0，b >1a成立，因此“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a ”的充分条件；反之，若a ＝－1，b ＝2，结论“a <1b 或b >1a”成立，但条件0<ab <1不成立，因此“0<ab <1”不是“a <1b 或b >1a ”的必要条件．即“0<ab <1”是“a <1b或b >1a”的充分不必要条件．(2)因为1a <1b<0，所以b <a <0，a ＋b <0，ab >0，所以a ＋b <ab ，|a |<|b |，在b <a 两边同时乘以b ，因为b <0，所以ab <b 2.因此正确的是①④.(3)因为a <b <c 且a ＋b ＋c ＝0，所以a <0，c >0，b 的符号不定，对于b >a ，两边同时乘以正数c ，不等号方向不变．答案：(1)A (2)C (3)D 热点三 求取值范围【例4】 已知－1<x <4,2<y <3，则x －y 的取值范围是________，3x ＋2y 的取值范围是________．【解析】 ∵－1<x <4,2<y <3. ∴－3<－y <－2，∴－4<x －y <2.由－1<x <4,2<y <3，得－3<3x <12,4<2y <6.∴1<3x ＋2y <18. 【答案】 (－4,2) (1,18)1．将本例条件改为－1<x <y <3，求x －y 的取值范围． 解：∵－1<x <3，－1<y <3，∴－3<－y <1. ∴－4<x －y <4.① 又∵x <y ，∴x －y <0，②由①②得－4<x －y <0.故x －y 的取值范围为(－4,0)．2．若将本例条件改为“－1<x ＋y <4,2<x －y <3”，求3x ＋2y 的取值范围． 解：设3x ＋2y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )．则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，m －n ＝2.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝52，n ＝12，即3x ＋2y ＝52(x ＋y )＋12(x －y )．又－1<x ＋y <4,2<x －y <3. ∴－52<52(x ＋y )<10,1<12(x －y )<32.∴－32<52(x ＋y )＋12(x －y )<232，即－32<3x ＋2y <232.故3x ＋2y 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，232.设实数x ，y 满足0<xy <4，且0<2x ＋2y <4＋xy ，则x ，y 的取值范围是( ) A ．x >2且y >2 B ．x <2且y <2 C ．0<x <2且0<y <2D ．x >2且0<y <2解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧xy >0，x ＋y >0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，由2x ＋2y －4－xy ＝(x －2)·(2－y )<0，得⎩⎪⎨⎪⎧x >2，y >2或⎩⎪⎨⎪⎧0<x <2，0<y <2，又xy <4，可得⎩⎪⎨⎪⎧0<x <2，0<y <2.答案：C1．洞察不等式的各个性质的结构特征，是寻找解题线索，启发解题思维的重要依据． 2．比较两数大小，一般运用作差法，具体步骤是：作差——变形——判断(与0比较)．3．判断不等式是否成立，一般可利用不等式性质、函数的单调性等进行推理，也可利用特殊值法对命题进行否定．易错警示——多次使用同向不等式的可加性致误【例】 设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围是________．【错解】 由⎩⎪⎨⎪⎧1≤f －，2≤f，得⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，①2≤a ＋b ≤4.②①＋②得32≤a ≤3.②－①得12≤b ≤1.由此得4≤f (－2)＝4a －2b ≤11. 所以f (－2)的取值范围是[4,11]． 【答案】 [4,11]【错因分析】 本题错解的主要原因是多次使用同向不等式的可加性而导致了f (－2)的范围扩大．【正解】 解法1：设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)，(m ，n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )，即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b .于是得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，n －m ＝－2.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4.∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.解法2：由⎩⎪⎨⎪⎧f－＝a －b ，f ＝a ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f －＋f ，b ＝12[f－f －，∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.解法3：由⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4确定的平面区域如图阴影部分，当f (－2)＝4a －2b 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12时，取得最小值4×32－2×12＝5，当f (－2)＝4a －2b 过点B (3,1)时， 取得最大值4×3－2×1＝10， ∴5≤f (－2)≤10. 【答案】 [5,10]解题策略：利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围．解决此类问题一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得待求整体的范围，是避免错误的有效途径．。
第一节---不等式的基本性质市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
[知识能否忆起] 1．实数大小顺序与运算性质之间旳关系 a－b＞0⇔ a＞b；a－b＝0⇔a＝b ；a－b＜0⇔ a＜b .
2．不等式旳基本性质
性质
性质内容
注意
对称性 a>b⇔ b<a
⇔
传递性 a>b，b>c⇒a>c
⇒
可加性 a>b⇒ a＋c>b＋c
⇒
可乘性
a>b⇒ ac>bc c>0 a>b⇒ ac<bc c<0
∴ad＜bc，故①错误． ∵a＞0＞b＞－a，∴a＞－b＞0，
∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，
∴a(－c)＞(－b)(－d)，
∴ac＋bd＜0，∴ad＋bc＝ac＋cdbd＜0， 故②正确． ∵c＜d，∴－c＞－d， ∵a＞b，∴a＋(－c)＞b＋(－d)， a－c＞b－d，故③正确． ∵a＞b，d－c＞0，∴a(d－c)＞b(d－c)， 故④正确，故选C. [答案] (1)A (2)C
＞|a|，即|a|＋b＜0，故②错误；③中，因为b＜a＜0，即0
＞a＞b，又因为
1 a
＜ 1b ＜0，所以a－ 1a ＞b－
1 b
，故③正确；
④中，因为b＜a＜0，根据y＝x2在(－∞，0)上为单调减函
数，可得b2＞a2＞0，而y＝ln x在定义域上为增函数，所以
ln b2＞ln a2，故④错误． [答案] C
答案： ②③
1.使用不等式性质时应注意旳问题： 在使用不等式时，一定要搞清它们成立旳前提条件．不 可强化或弱化成立旳条件．如“同向不等式”才可相加，“同 向且两边同正旳不等式”才可相乘；可乘性中“c旳符号”等也 需要注意． 2．作差法是比较两数(式)大小旳常用措施，也是证明 不等式旳基本措施．要注意强化化归意识，同步注意函数 性质在比较大小中旳作用．
高考一轮数学第六章 第一节 不等关系与不等式
能得出a>b＋1.因此，使a>b成立的充分不必要条件是 a>b＋1. [答案] A
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[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)
2．(2012· 潍坊模拟)设a，b∈R，若b－|a|>0，则下列不 等式中正确的是 A．a－b>0 C．a2－b2>0 B．a＋b>0 D．a3＋b3<0 ( )
等式的基本方法．要注意强化化归意识，同时注意
函数性质在大小比较中的作用． 返回
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[精析考题] [例1] 系为 x y A. > x＋a y＋b x y C. ＜ x＋a y＋b B. x y ≥ x＋a y＋b (2012· 珠海模拟)已知b>a>0，x>y>0，则： x y 与 的大小关 x＋a y＋b ( )
序号都填上)． 解析：①若c＝0则命题不成立．②正确．③中由2c>0知
成立． 答案：②③
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1．不等式性质使用时注意的问题：
在使用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条
件．不可强化或弱化成立的条件．如“同向不等式” 才可相加、“同向且两边同正的不等式”才可相乘； 可乘性中的“c的符号”等都需要注意． 2．作差法是比较两数(式)大小的常用方法，也是证明不
次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，要
特别注意．错因在于运用同向不等式相加这一性质时，不 是等价变形，导致f(－2)的取值范围扩大．另外，本题也可 用线性规划求解，题中a、b不是相互独立的，而是相互制 约的，故不可分割开来．先建立待求范围的整体与已知范
围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等式关系的运
x3 所以 y4的最大值是27.
答案：A
第六章 不等式、推理与证明
∴[f(x)]max＝－k＋120. 2 由g′(x)＝6x ＋10x＋4＝0，得x＝－1或x＝－3.
2
∵g(－3)＝－21，g(3)＝111，g(－1)＝－1，
2 28 － ＝－ ， g 3 27
∴[g(x)]min＝－21.则120－k≤－21，解得k≥141. ∴实数k的取值范围是[141，＋∞)．
e2－2e ，＋∞. 的取值范围是 e－1
[点评]
利用不等式与函数和方程之间的联系，将问题
转化成一次函数或二次函数(二次方程)的问题研究，一般有 下面几种类型：
1．一次函数型问题：利用一次函数的图象特点求解． 对于一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)，x∈[m，n]，有
fm≥0， (1)f(x)≥0恒成立⇔ fn≥0. fm<0， (2)f(x)<0恒成立⇔ fn<0.
②f(x)>g(a)恒成立⇔g(a)<[f(x)]min.
[例2]
已知函数f(x)＝aln x＋x2，(a为实常数)．
(1)若a＝－2，求函数f(x)的单调区间； (2)若对任意的x∈[1，e]，使得f(x)≤(a＋2)x恒成立，求 实数a的取值范围．
[思路点拨]
用导数法求解，利用函数单调性和最值解
值范围．
[思路点拨]
第(1)题求出F(x)＝g(x)－f(x)在x∈[－3,3]时的最
小值[F(x)]min，当[F(x)]min≥0时，求出实数k的取值范围；第(2)题 由题意得[f(x)]max≤[g(x)]min，分别求出[f(x)]max及[g(x)]min，解不等 式可得k的取值范围． [解] (1)令F(x)＝g(x)－f(x)＝2x3－3x2－12x＋k.
2015届高考数学总复习 第六章 第一节不等关系与不等式课时精练试题 文(含解析)
第六章 不等式、推理与证明第一节 不等关系与不等式1．(2012·福州模拟)下列四个数中最大的是( )A ．(ln 2)2B ．ln(ln 2)C ．ln 2D ．ln 2解析：∵0<ln 2<1，∴ln(ln 2)<0，(ln 2)2< ln 2，而ln 2＝12ln 2<ln 2，∴最大的数是ln 2.故选D.答案：D2．(2013·汕头检测)已知a <0，－1<b <0，那么下列不等式成立的是( )A ．a >ab >ab 2B ．ab 2>ab >aC ．ab >a >ab 2D ．ab >ab 2>a解析：∵a <0，－1<b <0，∴ab 2－a ＝a (b 2－1)>0，ab －ab 2＝ab (1－b )>0，∴ab >ab 2>a .也可利用特殊值法，取a ＝－2，b ＝－12，则ab 2＝－12，ab ＝1，从而ab >ab 2>a .故选D.答案：D3．(2013·东北三校高三第四次联考)若p ⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，y ＞1，Q ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＞2，xy ＞1，则p 是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当x ＞1且y ＞1时，由不等式的基本性质，能推出x ＋y ＞2，且x ·y ＞1.反过来取x ＝12，y ＝3，满足x ＋y ＞2，且x ·y ＞1，但推不出x ＞1且y ＞1.所以p 是q 成立的充分不必要条件.答案：A4．(2012·汕头质检)下列各式中错误的是( )A ．0.83>0.73B ．log 0.50.4>log 0.50.6C ．0.75－0.1<0.750.1D ．lg 1.6>lg 1.4解析：构造相应函数，再利用函数的性质解决．对于A ，构造幂函数y ＝x 3，为增函数，故A 正确；对于B ，D ，构造对数函数y ＝log 0.5x 为减函数，y ＝lg x 为增函数，B ，D 都正确；对于C ，构造指数函数y ＝0.75x，为减函数，故C 错误．答案：C5．(2013·全国新课标卷Ⅱ)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( ) A ．a >c >b B ．b >c >a C ．c >b >a D ．c >a >b解析：因为log 32＝1log 23<1，log 52＝1log 25<1，又log 23>1，所以c 最大．又1<log 23<log 25，所以1log 23>1log 25，即a >b ，所以c >a >b ，选D.答案：D6．(2012·湖南卷)设a ＞b ＞1，c ＜0，给出下列三个结论：①c a ＞c b；②a c ＜b c；③log b (a －c )＞log a (b －c )．其中所有的正确结论的序号是( )A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③解析：由不等式及a ＞b ＞1知1a ＜1b ，又c ＜0，所以c a ＞cb，①正确；由指数函数的图象与性质知②正确；由a ＞b ＞1，c ＜0知a －c ＞b －c ＞1－c ＞1，由对数函数的图象与性质知③正确．故选D.答案：D7．甲、乙两人同时驾车从A 地出发前往B 地，他们都以速度v 1或v 2行驶，在全程中，甲的时间速度关系如图甲，乙的路程速度关系如图乙，那么下列说法中正确的是( )A ．甲先到达B 地 B ．乙先到达B 地C ．甲乙同时到达B 地D ．无法确定谁先到达B 地答案：A8．如果a ＞b ，则下列各式正确的是________．①a ·lg x ＞b ·lg x (x ＞0)；②ax 2＞bx 2；③a 2＞b 2；④a ·2x ＞b ·2x.解析：当lg x ≤0时①错，当x ＝0时②错，当b ＜a ＜0时a 2＜b 2，③错，只有④正确． 答案：④9．(2013·临沂模拟)若x >y ，a >b ，则在①a －x >b －y ，②a ＋x >b ＋y ，③ax >by ，④x －b >y －a ，⑤a y >bx这五个式子中，恒成立的所有不等式的序号是________．解析：令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2， 符合题设条件x >y ，a >b ，∵a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5， ∴a －x ＝b －y ，因此①不成立．又∵ax ＝－6，by ＝－6，∴ax ＝by ，因此③也不正确．又∵a y ＝3－3＝－1，b x ＝2－2＝－1， ∴a y ＝bx，因此⑤不正确． 由不等式的性质可推出②④成立． 答案：②④ 10．设a ＝2－5，b ＝5－2，c ＝5－25，则a ，b ，c 之间的大小关系为______________．解析：a ＝2－5＝4－5＜0，∴b ＞0. c ＝5－25＝25－20＞0. b －c ＝35－7＝45－49＜0. ∴c ＞b ＞a . 答案：c ＞b ＞a11．已知a ＞2，b ＞2，试比较a ＋b 与ab 的大小．解析：∵ab －(a ＋b )＝(a －1)(b －1)－1， 又a ＞2，b ＞2，∴a －1＞1，b －1＞1.∴(a －1)(b －1)＞1，(a －1)(b －1)－1＞0. ∴ab ＞a ＋b .12．(2013·锦州模拟)已知x ，y 为正实数，满足1≤lg xy ≤2,3≤lg x y≤4，求lg(x 4y 2)的取值范围．解析：设a ＝lg x ， b ＝lg y ，则lg (xy )＝a ＋b ，lg x y＝a －b ，lg(x 4y 2)＝4a ＋2b ，设4a ＋2b ＝m (a ＋b )＋n (a －b )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m －n ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.又∵3≤3(a ＋b )≤6,3≤a －b ≤4. ∴6≤4a ＋2b ≤10.即lg(x 4y 2)的取值范围为[6,10]．13．(2013·大庆调研)已知a ，b ，c ∈R ＋，且a 2＋b 2＝c 2，当n ∈N ，n >2时比较c n 与a n＋b n的大小．解析：∵a ，b ，c ∈R ＋，∴a n ，b n ，c n>0， 而a n ＋b n cn ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n .∵a 2＋b 2＝c 2，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＝1，∴0<a c <1,0<b c<1. ∵n ∈N ，n >2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n <⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n <⎝ ⎛⎭⎪⎫b c2，∴a n＋b nc n＝⎝⎛⎭⎪⎫acn＋⎝⎛⎭⎪⎫bcn<a2＋b2c2＝1，∴a n＋b n<c n.。
不等关系与不等式 课件
不等式性质的应用
[探究问题] 1．小明同学做题时进行如下变形： ∵2<b<3， ∴13<1b<12， 又∵－6<a<8， ∴－2<ab<4. 你认为正确吗？为什么？
提示：不正确．因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变， 但同乘以一个负数，不等号方向改变，在本题中只知道－6<a<8.不明确 a 值 的正负．故不能将31<b1<21与－6<a<8 两边分别相乘，只有两边都是正数的同向 不等式才能分别相乘．
2．由－6<a<8，－4<b<2，两边分别相减得－2<a－b<6，你认为正确吗？ 提示：不正确．因为同向不等式具有可加性与可乘性．但不能相减或相 除，解题时要充分利用条件，运用不等式的性质进行等价变形，而不可随意 “创造”性质．
3．你知道下面的推理、变形错在哪儿吗？ ∵－2<a－b<4， ∴－4<b－a<－2. 又∵－2<a＋b<2， ∴0<a<3，－3<b<0， ∴－3<a＋b<3. 这怎么与－2<a＋b<2 矛盾了呢？
0<x≤18，
x15－2x≥110.
[规律方法] 1．此类问题的难点是如何正确地找出题中的显性不等关系和隐性不等 关系． 2．当问题中同时满足几个不等关系，则应用不等式组来表示它们之间 的不等关系，另外若问题有几个变量，选用几个字母分别表示这些变量 即可．
3．用不等式(组)表示不等关系的步骤： (1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、不多于、 不少于等． (2)适当的设未知数表示变量． (3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式．
不等关系与不等式ppt课件演示文稿
不等式、推理与证明
第一节 不等关系与不等式
基础梳理
1. 不等式的定义：用不等号≠、＞、＜、≥、≤ 连接 两个数或代数式 的式子叫做不等式. 2. 不等式的基本性质 (1)a＞b b＜a; (2)a>b,b>c a > c; (3)a>b a+c > b+c; (4)a>b,c>0 ac > bc; (5)a>b,c<0 ac＜bc; (6)a>b,c>d a+c > b+d; (7)a>b>0,c>d>0 ac > bd; > n b. (8)a>b>0,n∈N*,n>1 an > bn,n a ____
2
易错警示
【例】（2010· 辽宁）已知-1＜x+y＜4且2＜x-y＜3， 则z=2x-3y的取值范围是 （答案用区间表示）.
错解 ∵-1＜x+y＜4，① 2＜x-y＜3，② ∴-3＜-x+y＜-2,③ 1 7 由①+②得 2 ＜x＜2 ，由①+③得-2＜y＜1， ∴1＜2x＜7，-3＜-3y＜6,-2＜2x-3y＜13， ∴z的取值范围是（-2，13）.
变式3-1 已知- 2 ≤ a<b ≤ ，求 2 ， 2 的取值范围． 2 解析：∵- 2 ≤a< 2 ， ① - <b ≤ 2 ， ② ①+②得-p<a+b<p，∴- 2 < 2 < 2 . ∵- 2 <b ≤ 2 ，∴- 2 ≤ -b < 2 . ③ ①+③得-p≤a-b<p，∴- 2 ≤ < . 2 2 又a<b，∴ 2 <0，∴- ≤ 2 <0.
2014数学文补教案—第六章不等式与推理证明
第六章不等式、推理与证明【知识特点】（1）不等式应用十分广泛，是高中数学的主要工具，试题类型多、方法多、概念要求较高，特别是不等式性质的条件与结论，基本不等式的条件等。
（2）不等式的性质本身就是解题的手段和方法，要认真理解和体会不等式性质的条件与结论，并运用它去解题。
（3）一元二次不等式的解法及求解程序框图一定要在理解的基础上掌握，因为求解的程序框图就是求解的一般方法与步骤。
（4）二元一次不等式组与简单的线性规划是解决最优化问题的一个重要手段，但画图时一定要细心，然后求出目标函数的最值。
（5）基本不等式的条件是解题的关键，一定要认真体会，会运用基本不等式来证明或求解问题。
（6）推理与证明贯穿于每一个章节，是对以前所学知识的总结与归纳，概念较多，知识比较系统，逻辑性较强，在高中数学中有着特殊地位。
【重点关注】不等式、推理与证明的学习应立足基础，重在理解，加强训练，学会建模，培养能力，提高素质，因此在学习中应重点注意以下几点：（1）学习不等式性质时，要弄清条件与结论，要克服“想当然”和“显然成立”的思维定势，要以比较准则和实数的运算法则为依据解决问题。
（2）解某些不等式时，要与函数的定义域、值域、单调性联系起来，注重数形结合思想，解含参数不等式时要注重分类讨论的思想。
（3）利用基本不等式求最值时，要满足三个条件：一正，二定，三相等。
（4）要强化不等式的应用意识，同时要注意到不等式与函数和方程的对比与联系，充分利用函数方程思想、数形结合思想处理不等式问题。
（5）利用线性规划解决实际问题，充分利用数形结合思想，会达到事半功倍的效果，因此力求画图标准。
（6）深刻理解合情推理的含义，归纳解决这类问题的规律和方法，掌握分析法、综合法、反证法的证明过程和解题特点。
（7）合情推理中主要包括类比推理与归纳推理两种推理模式，类比、归纳的数学思想是在进行问题探讨、研究时常见的思想方法。
（8）数学归纳法是证明数列、等式、不等式的有效方法，证明问题时要注意充分利用归纳假设，同时注意项数的变化，在证明不等问题时，注意放缩、作差等方法的应用。
不等式性质 - 教案
第六章《不等式、推理与证明》
第一节不等关系与不等式—教案
☆教材的地位与作用——高考解读
1.了解现实世界和日常生活中的不等关系
2.了解不等式（组）的实际背景
3.掌握不等式的性质及应用
☆教法：启发引导、精讲点拨、有效训练
☆学法：自主学习、合作探究
☆教学难点：不等式的性质，有关分式的性质
☆教学重点：不等式有关性质，求代数式取值范围
①m－3>m－5；②5－m>3－m；③5m>3m；④5＋m>5－m.
用作差法比较两个实数大小的四步曲
考向二不等式的性质[自主练透型]
考向三求代数式的取值范围问题[互动讲练型]
2<x－。
平移直线，求范围。
课堂小结
1.洞察不等式的各个性质的结构特征，是寻找解题线索，
启发解题思维的重要依据。
2.比较两数大小的方法：作差法，作商法。
作差法具体步骤。
3.判断不等式是否成立，一般可利用不等式性质、函数的单调性等进行推理，也可以利用特殊值对命题进行否定。
课后分层作业：
1.《师说》课时作业33不等关系与不等式基础达标+能力挑战
2.《师说》课时作业33不等关系与不等式基础达标。
高三数学复习第六章 不等式、推理与证明
演 练 知 能 检 测
第一节
不等关系与不等式
[归纳· 知识整合]
回 扣 主 干 知 识
突 破 热 点 题 型
1．比较两个实数大小的法则 设a，b∈R，则 a－b＞0 (1)a＞b⇔ ； a－b＝0 (2)a＝b⇔ ； a－b＜0 (3)a＜b⇔ . 2．不等式的基本性质 性质 对称性 传递性 可加性 性质内容 a>b⇔_____ b<a a>b，b>c⇒______ a>c 注意 ⇔ ⇒ ⇔
[例3] 个结论： (1)(2012· 湖南高考)设a>b>1，c<0，给出下列三
提 升 学 科 素 养
突 破 热 点 题 型
c c ①a>b；②ac<bc；③logb(a－c)>loga(b－c)．
其中所有的正确结论的序号是 ( )
演 练 知 能 检 测
A．①
B．①②
C．②③
D．①②③
数学(6省专版)
＝(x－1)2＋1>0， ∴3x2－x＋1>2x2＋x－1.
演 练 知 能 检 测
数学(6省专版)
第一节
不等关系与不等式
回 扣 主 干 知 识
aa－b aabb a－b b－a a－b 1 a－b (2)abba＝a b ＝a b ＝b . aa－b a ∵当a>b，即a－b>0，b>1时，b >1，
第一节
不等关系与不等式
c d (2)已知三个不等式：ab>0，bc－ad>0， a － b >0(其中a，
回 扣 主 干 知 识
b，c，d均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个 不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是 ( )
高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明6.1不等式的性质及一元二次不等式课件理
合A,再求解.
(2)利用指数函数的性质,将原不等式化为关于x的一元
二次不等式求解即可.
【规范解答】(1)选C.A={x|1<x<3}， B={x|2<x<4}, 故A∩B={x|2<x<3}.
(2)因为4=22且y=2x在R上单调递增，所以 <4可化
为x2-x<2，解得-1<x<2.所以 <4的解集是 a(x 1 ) a
B．2个
C．433个，
D．4个
【解析】选C.运用倒数性质，
由a>b，ab>0可得 {x|2x
4}.
②④正确．又正数大于3 负数，①正确，③错误.
2.如果a,b,c满足c<b<a,且ac<0,那么下列选项中不一
定成立的是 ( )
A.ab>ac
B.c(b-a)>0
C.cb2<ab2
D.ac(a-c)<0
A.n>m>p
B.m>p>n
C.m>n>p
D.p>m>n
【解题导引】(1)根据已知条件可判断出x和z的符号, 然后由不等式的性质便可求解. (2)根据不等式性质和函数单调性求解.
【规范解答】(1)选C.因为x>y>z,x+y+z=0,所以x>0,
z<0.所以由 1 可得xy>xz. (2)选B.因为ax >1,所以a2+1-2a=(a-1)2>0,即a2+1>2a,
第六章 不等式、推理与证明 第一节
不等式的性质及一元二次不等式
ab
1
a
第六章不等式、推理与证明第一节不等关系与不等式
答案：B
5．(2013· 晋江模拟)已知三个不等式：①ab>0；②a>b；③bc>ad. 以其中两个作条件，余下一个作结论，则可组成 ________个 真命题． 解析： 此题共可组成三个命题即①②⇒ ③；①③⇒②；②③⇒
c d c d bc－ad ①.若 ab>0， > ，则 － ＝ >0，得 bc－ad>0，即可得 a b a b ab bc－ad c d 命题①②⇒③正确；若 ab>0，bc－ad>0，则 ＝ － >0， ab a b c d c d c d bc－ad 得 > ，即命题①③⇒②正确； 若 > ，bc>ad， 则 － ＝ a b d b a b ab >0，得 ab>0，即命题②③⇒ ①正确．
1 1 同理可知 D 不正确．综上所述，选 B.或可取特值 a＝ ，b＝ 代 2 4 入检验．
答案：B
四、当堂训练，针对点评
3．(2013· 厦门集美中学模拟)下面四个条件中， 使 a>b 成立的充分 而不必要的条件是 A．a>b＋1 C．a2>b2 B．a>b－1 D．a3>b3 ( )
解析：对 A 项，若 a>b＋1，则 a－b>1，则 a>b ；若 a>b，不 能得到 a>b＋1.对 B 项，若 a>b－1，不能得到 a>b；对 C 项， 若 a2>b2，可得(a＋b)(a－b)>0，不能得到 a>b；对 D 项，若 a3>b3，则 a>b，反之，若 a>b，则 a3>b3，a3>b3 是 a>b 成立 的充分必要条件.
四、当堂训练，针对点评
高三数学一轮总复习 第六章 不等式、推理与证明 6.1 不等关系与不等式课件.ppt
□ 性质(5)：a＞b，c＞d⇒a＋c 12 _＞___b＋d(加法法则)。 □ 性质(6)：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac 13 _＞___bd(乘法法则)。 □ 性质(7)：a＞b＞0，n∈N*，n＞1⇒an 14 __＞____bn(乘方法则)。 □ 性质(8)：a＞b＞0，n∈N*，n＞1⇒n a 15 __＞____n b(开方法则)。 □ 性质(9)：ab＞0，a＞b⇒1a 16 ___＜___b1(倒数法则)。
9
1．下列命题正确的是( A．若 ac＞bc，则 a＞b C．若1a＞1b，则 a＜b
) B．若 a2＞b2，则 a＞b
D．若 a＜ b，则 a＜b
解析：若 a＜ b，则( a)2＜( b)2，即 a＜b，选 D。 答案：D
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2．若 x＋y＞0，a＜0，ay＞0，则 x－y 的值( )
A．大于 0
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课堂学案 考点通关
考点例析 通关特训
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考点一
比较两个数(式)的大小
【例 1】 (1)设 x＜y＜0，比较(x2＋y2)(x－y)与(x2－y2)(x＋y)的大小；
解析：(1)(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y) ＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]＝－2xy(x－y)。 ∵x＜y＜0，∴xy＞0，x－y＜0。 ∴－2xy(x－y)＞0。 ∴(x2＋y2)(x－y)＞(x2－y2)(x＋y)。
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通关特训 1 (1)已知等比数列{an}中，a1＞0，q＞0，前 n 项和为 Sn，比较aS33与Sa55 的大小。
解析：(1)当 q＝1 时，aS33＝3，Sa55＝5，故aS33＜Sa55；当 q＞0 且 q≠1 时，Sa33－Sa55＝aa11q21－1－q3q －aa11q41－1－q5q＝q21－qq431－－q1－q5＝q4q21－－1q＝－q＋q4 1＜0，故aS33＜Sa55。综上，Sa33＜Sa55。
2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第六章 第一节不等关系与不等式 理
第六章不等式、推理与证明本章内容主要包括两个内容：不等式、推理与证明．不等式主要包括：不等式的基本性质、一元二次不等式的解法、基本不等式的应用、简单的线性规划问题、不等式的证明与应用．推理与证明主要包括：合情推理和演绎推理、直接证明与间接证明、数学归纳法等内容，其中推理中的合情推理、演绎推理几乎涉及数学的方方面面的知识，代表研究性命题的发展趋势，选择题、填空题、解答题都可能涉及，该部分命题的方向主要会在函数、三角、数列、立体几何、解析几何等方面，在新的高考中都会涉及和渗透，但单独出题的可能性较小．广东高考在这一章的命题上呈现以下特点：1．考查题型以选择题、填空为主，偶以解答题形式出现，但多数是解答题中的一部分，如与数列、函数、解析几何等结合考查，分值约占10%左右，既有中、低档题也会有高档题出现．2．重点考查不等式解法、不等式应用、线性规划以及不等式与其他知识的结合，另在推理与证明中将会重点考查．3．对合情推理与演绎推理及证明方法的考查，主要放在解答题中，偶尔会对数学归纳法进行考查，注重知识交汇处的命题．预计高考中对本章内容的考查仍将以不等式的解法、基本不等式应用、线性规划为重点，将推理与证明和其他知识相融合，更加注重应用与能力的考查．本章内容理论性强，知识覆盖面广，因此在复习过程中应注意：1．复习不等式的性质时，要克服“想当然”和“显然成立”的思维定势，要以比较准则和实数的运算法则为依据．2．不等式的证明方法除比较法、分析法、综合法外，还有反证法、换元法、判别式法、构造法、几何法，这些方法可作适当了解，但要控制量和度．3．解(证)某些不等式时，要把函数的定义域、值域和单调性结合起来．4．注意重要不等式和常用思想方法在解题、证题中的作用．在复习不等式的解法时，加强等价转化思想的训练与复习．解不等式的过程是一个等价转化的过程，通过等价转化可简化不等式(组)，以快速、准确求解．加强分类讨论思想的复习．在解不等式或证不等式的过程中，如含参数等问题，一般要对参数进行分类讨论．复习时，学生要学会分析引起分类讨论的原因，合理地分类，做到不重不漏．加强函数与方程思想在不等式中的应用训练．不等式、函数、方程三者密不可分，相互联系、互相转化．如求参数的取值范围问题，函数与方程思想是解决这类问题的重要方法．在不等式的证明中，加强化归思想的复习，证不等式的过程是一个已知条件向要证结论转化的过程，既可考查学生的基础知识，又可考查学生分析问题和解决问题的能力，正因为证不等式是高考考查学生代数推理能力的重要素材，复习时应引起我们的足够重视．5．强化不等式的应用．高考中除单独考查不等式的试题外，常在一些函数、数列、立体几何、解析几何和实际应用问题的试题中涉及不等式的知识，加强不等式应用能力，是提高解综合题能力的关键．因此，在复习时应加强这方面的训练，提高应用意识，总结不等式的应用规律，才能提高解决问题的能力．如在实际问题应用中，主要有构造不等式求解或构造函数求函数的最值等方法，求最值时要注意等号成立的条件，避免不必要的错误．6．利用平均值定理解决问题时，要注意满足定理成立的三个条件：“一正、二定、三相等”．7．要强化不等式的应用意识，同时要注意到不等式与函数、方程的区别与联系．对于类比型问题可以说是创新要求的体现，最常见的是二维问题与三维问题的类比，同结构问题的类比(比如圆锥曲线内的类比问题、数列内的类比问题等)，较少对照不同结构的类比问题．关于归纳、猜想、证明是考得比较多、比较成熟的题型了，在复习备考中要把握考试的特点，注重落实．归纳、演绎和类比推理在数学思维中所占的分量非常重，事实上，在高考中归纳、猜想、证明以及类比、证明这一类题目是常考常新的．推理与证明问题综合了函数、方程、不等式、解析几何与立体几何等多个知识点，需要采用多种数学方法才能解决问题，如：函数与方程思想、化归思想、分类讨论思想等，对学生的知识与能力要求较高，是对学生思维品质和逻辑推理能力、表述能力的全面考查，可以弥补选择题与填空题等客观题的不足，是提高区分度、增强选拔功能的重要题型，因此在最近几年的高考试题中，推理与证明问题正在成为一个热点题型，并且经常作为压轴题出现．第六章 不等式、推理与证明 第一节 不等关系与不等式知识梳理一、不等式的概念在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“<”，“>”，“≤”，“≥”，“≠”连接两个数式或代数式以表示它们之间的不等的关系的式子，叫做不等式．二、实数运算性质与大小顺序关系1．a >b ⇔a －b >0；2.a ＝b ⇔a －b ＝0；3.a <b ⇔a －b <0. 它是比较两实数大小的依据，也是作差比较法的依据． 三、不等式的基本性质 双向性：1．定理1(对称性)：a >b ⇔b <a . 单向性：2．定理2(传递性)：a >b ，b >c ⇒a >c .3．定理3(同加性)：a >b ，c 为整式或实数⇔a ＋c >b ＋c . 4.定理3推论(叠加性)： }a >b c >d ⇒a ＋c >b ＋d .5．定理4(可乘性)： }a >b c >0⇒ac >bc ； }a >b c <0⇒ac <bc .6．定理4推论1(叠乘性)： }a >bc >d >0⇒ac >bd . 7．定理4推论2(可乘方性)：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N *且n >1)．8．定理5(可开方性)：a >b >0⇒na ＞nb (n ∈N *且n >1)．四、不等式性质成立的条件例如，重要结论：a ＞b ，ab ＞0⇒1a ＜1b ，不能弱化条件得a ＞b ⇒1a ＜1b.五、正确处理带等号的情况如由a ＞b ，b ≥c 或a ≥b ，b ＞c 均可得出a ＞c ；而由a ≥b ，b ≥c 可能有a ＞c ，也可能有a ≥c ，当且仅当a ＝b 且b ＝c 时，才会有a ＝c .注意：不等式的性质从形式上可分两类：一类是“⇒”型；另一类是“⇔”型．要注意二者的区别．基础自测1．已知a ＜0，b ＜－1，则下列不等式成立的是( )A ．a ＞a b ＞a b 2 B.a b 2＞a b ＞aC.a b ＞a b 2＞aD.a b ＞a ＞a b2 了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式组的实际背景.解析：特殊值法，取a ＝－1，b ＝－2，验证知a b ＞ab2＞a 成立．也可用作差比较法． 答案：C2．若0<a <b ，且a ＋b ＝1，则下列各式中最大的是( ) A ．－1 B ．log 2bC ．log 2a ＋log 2b ＋1D ．log 2(a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3)解析：特殊值法．取a ＝13，b ＝23，则log 2b ＝log 2 23＝1－log 23>1－log 24＝－1；log 2b－(log 2a ＋log 2b ＋1)＝－1－log 213＝－1＋log 23>0；计算可知，b >a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3，∴log 2b >log 2(a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3)．故选B. 答案：B3．已知a ，b ∈R 且a ＞b ，则下列不等式中一定成立的是____________． ①a b ＞1 ②a 2＞b 2③lg(a －b )＞0 ④⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12 b解析：令a ＝2，b ＝－1，则a ＞b ，a b ＝－2，故a b＞1不成立；令a ＝1，b ＝－2，则a2＝1，b 2＝4，故a 2＞b 2不成立；当a －b 在区间(0,1)内时，lg(a －b )＜0；f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R上是减函数，∵a ＞b ，∴f (a )＜f (b )，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12b.故④正确．答案：④4．a >b >0，m >0，n >0，则b a ，a b ，b ＋m a ＋m ，a ＋nb ＋n由大到小的顺序是____________．解析：取特殊值．如a ＝2，b ＝1，m ＝n ＝1，则b a ＝12，a b ＝2，b ＋m a ＋m ＝23，a ＋n b ＋n ＝32.∴a b >a ＋n b ＋n >b ＋m a ＋m >b a. 答案：a b >a ＋n b ＋n >b ＋m a ＋m >b a1．设a ，b 为实数，则“0<ab <1”是“b <1a”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当0<ab <1，a <0，b <0时，有b >1a .反过来若b <1a，当a <0时，则有ab >1，所以“0<ab <1”是“b <1a”的既不充分也不必要条件．故选D.答案：D2．已知x ＝ln π，y ＝log 52，z ＝e －12，则( )A ．x <y <zB ．z <x <yC ．z <y <xD ．y <z <x解析：x ＝ln π>ln e ＝1，y ＝log 52<log 55＝12，z ＝e －12＝1e >14＝12，1e＜1.综上可得，y ＜z ＜x .故选D.答案：D1．(2013·江门一模)若x ＞0、y ＞0，则x ＋y ＞1是x 2＋y 2＞1的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：先看充分性，可取x ＝y ＝23，使x ＋y ＞1成立，而x 2＋y 2＞1不能成立，故充分性不能成立；若x 2＋y 2＞1，因为x ＞0，y ＞0，所以(x ＋y )2＝x 2＋y 2＋2xy ＞x 2＋y 2＞1， ∴x ＋y ＞1成立，故必要性成立．综上所述，x ＋y ＞1是x 2＋y 2＞1的必要不充分条件． 答案：B2．(2013·北京西城期末)已知a >b >0，给出下列四个不等式： ①a 2>b 2 ②2a >2b －1 ③a －b >a －b ④a 3＋b 3>2a 2b . 其中一定成立的不等式为________．解析：由a >b >0可得a 2>b 2，①成立；由a >b >0可得a >b －1，而函数f (x )＝2x 在R 上是增函数；∴f (a )>f (b －1)，即2a >2b －1，②成立；∵a >b >0，∴a >b ，∴(a －b )2－(a －b )2＝2ab －2b ＝2b (a －b )>0， ∴a －b >a －b ，③成立；若a ＝3，b ＝2，则a 3＋b 3＝35,2a 2b ＝36，a 3＋b 3<2a 2b ，④不成立． 答案：①②③。
高考数学一轮复习 第6章 不等式 第1讲 不等关系与不等式的性质及一元二次不等式讲义 理(含解析)-
第六章不等式第1讲不等关系与不等式的性质及一元二次不等式[考纲解读] 1.不等式性质是进行变形、证明、解不等式的依据，掌握不等式关系与性质及比较大小的常用方法：作差法与作商法．(重点)2.能从实际情景中抽象出一元二次不等式模型，通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数，一元二次方程之间的联系，能解一元二次不等式．(重点、难点)[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点内容，但一般不会单独命题．预测2020年将会考查：利用不等式的性质判断结论的成立性，求参数的取值X围；一元二次不等式的解法，对含参数的二次不等式的分类讨论等．命题时常将不等式与函数的单调性相结合．试题一般以客观题的形式呈现，属中、低档题型.1．两个实数比较大小的依据2．不等式的基本性质3．必记结论 (1)a >b ，ab >0⇒1a <1b.(2)a <0<b ⇒1a <1b.(3)a >b >0,0<c <d ⇒a c >b d. (4)0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a.(5)若a >b >0，m >0，则b a <b ＋ma ＋m； b a >b －m a －m (b －m >0)；a b >a ＋m b ＋m ； a b <a －m b －m(b －m >0)． 4．一元二次函数的三种形式(1)一般式：□01y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． (2)顶点式：□02y ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a (a ≠0)． (3)两根式：□03y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 5．三个二次之间的关系1．概念辨析(1)a＞b⇔ac2＞bc2.( )(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.( )(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( )(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.()答案(1)×(2)√(3)×(4)×2．小题热身(1)设集合M＝{x|x2－3x－4<0}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N等于( )A ．(0,4]B ．[0,4)C ．[－1,0)D ．(－1,0] 答案 B解析 因为M ＝{x |－1<x <4}，N ＝{x |0≤x ≤5}，所以M ∩N ＝[0,4)． (2)已知a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中一定成立的是( ) A ．ab >ac B ．c (b －a )<0 C ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )>0 答案 A解析 因为c <b <a ，且ac <0，所以a >0，c <0.b 的符号不确定，b －a <0，a －c >0，据此判断A 成立，B ，C ，D 不一定成立．(3)设M ＝2a (a －2)，N ＝(a ＋1)(a －3)，则有( ) A ．M >N B ．M ≥N C ．M <N D ．M ≤N 答案 A解析 M －N ＝2a (a －2)－(a ＋1)(a －3)＝a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2>0，故M >N . (4)已知函数f (x )＝ax 2＋ax －1，若对任意实数x ，恒有f (x )≤0，则实数a 的取值X 围是________．答案 [－4,0]解析 当a ＝0时，f (x )＝－1≤0成立， 当a ≠0时，若对∀x ∈R ，f (x )≤0，须有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4×a ×－1≤0，a <0，解得－4≤a ＜0.综上知，实数a 的取值X 围是[－4,0]．题型 一 不等式性质的应用1．若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a c ＞b d B.a c ＜b d C.a d ＞b c D.a d ＜b c答案 D 解析 解法一：⎭⎪⎬⎪⎫c ＜d ＜0⇒cd ＞0 c ＜d ＜0⇒⎭⎪⎬⎪⎫c cd ＜d cd ＜0⇒1d ＜1c ＜0⇒－1d ＞－1c ＞0 a ＞b ＞0⇒－a d ＞－b c ⇒a d ＜b c .故选D. 解法二：依题意取a ＝2，b ＝1，c ＝－2，d ＝－1， 代入验证得A ，B ，C 均错误，只有D 正确．故选D.2．已知等比数列{a n }中，a 1>0，q >0，前n 项和为S n ，则S 3a 3与S 5a 5的大小关系为________．答案S 3a 3<S 5a 5解析 当q ＝1时，S 3a 3＝3，S 5a 5＝5，所以S 3a 3<S 5a 5. 当q >0且q ≠1时，S 3a 3－S 5a 5＝a 11－q 3a 1q 21－q －a 11－q 5a 1q 41－q ＝q 21－q 3－1－q 5q 41－q ＝－q －1q 4<0，所以S 3a 3<S 5a 5.综上可知S 3a 3<S 5a 5.3．已知二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且1≤f (－1)≤2,3≤f (1)≤4，求f (－2)的取值X 围．解 由题意知f (x )＝ax 2＋bx ，则f (－2)＝4a －2b ， 由f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，设存在实数x ，y ，使得4a －2b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )， 即4a －2b ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，所以f (－2)＝4a －2b ＝(a ＋b )＋3(a －b )． 又3≤a ＋b ≤4,3≤3(a －b )≤6，所以6≤(a ＋b )＋3(a －b )≤10， 即f (－2)的取值X 围是[6,10]．1．判断不等式是否成立的方法(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．(2)在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断．2．比较两个数(式)大小的两种方法3．求代数式的取值X 围利用不等式性质求某些代数式的取值X 围时，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体X 围，是避免错误的有效途径．如举例说明3.1．若1a <1b <0，给出下列不等式：①1a ＋b <1ab ；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b ；④ln a 2>ln b 2.其中正确的不等式是( )A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④ 答案 C解析 因为1a <1b <0，所以b <a <0，|b |>|a |，所以|a |＋b <0，ln a 2<ln b 2，由a >b ，－1a>－1b 可推出a －1a >b －1b ，显然有1a ＋b <0<1ab，综上知，①③正确，②④错误． 2．若a >0，且a ≠7，则( ) A ．77a a<7a a 7B ．77a a ＝7a a 7C ．77a a >7a a 7D ．77a a与7a a 7的大小不确定 答案 C解析 显然77a a>0,7a a 7>0，因为77a a7a a 7＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 7a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7·⎝ ⎛⎭⎪⎫7a －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a.当a >7时，0<7a <1,7－a <0，⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a>1，当0<a <7时，7a>1,7－a >0，⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a>1. 综上知77a a>7a a 7.3．若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值X 围是________． 答案 (－3,3)解析 ∵－4<β<2，∴0≤|β|<4，∴－4<－|β|≤0. ∴－3<α－|β|<3.题型 二 不等式的解法1．函数f (x )＝1ln －x 2＋4x －3的定义域是( )A ．(－∞，1)∪(3，＋∞) B．(1,3) C ．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(1,2)∪(2,3) 答案 D解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x －3>0，ln －x 2＋4x －3≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0，x 2－4x ＋4≠0.解得1<x <3且x ≠2，所以函数f (x )的定义域为(1,2)∪(2,3)． 2．解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )． 解 本题采用分类讨论思想． 原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0.①当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x ≤－1.②当a >0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0，解得x ≥2a或x ≤－1.③当a <0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.当2a >－1，即a <－2时，解得－1≤x ≤2a；当2a ＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1满足题意； 当2a<－1，即0>a >－2，解得2a≤x ≤－1.综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}；当a >0时，不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≥2a或x ≤－1；当－2<a <0时，不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2a≤x ≤－1；当a ＝－2时，不等式的解集为{－1}； 当a <－2时，不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－1≤x ≤2a .条件探究 把举例说明2中的不等式改为“ax 2－(a ＋1)x ＋1<0，a ∈R ”，如何解答？ 解 若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1.若a <0，则原不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)>0，解得x <1a或x >1.若a >0，原不等式等价于⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0.①当a ＝1时，1a＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0无解；②当a >1时，1a <1，解⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0得1a<x <1；③当0<a <1时，1a>1，解⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0得1<x <1a.综上所述，当a <0时，解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x <1a或x >1；当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1<x <1a ；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1a<x <1.1．解一元二次不等式的四个步骤2．分式不等式的解法求解分式不等式的关键是对原不等式进行恒等变形，转化为整式不等式(组)求解． (1)f xg x>0(<0)⇔f (x )·g (x )>0(<0)；如巩固迁移2.(2)f xg x ≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f x ·g x ≥0≤0，g x ≠0.1．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( ) A.52 B.72 C.154 D.152 答案 A解析 由条件知x 1，x 2为方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2.故(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a )2－4×(－8a 2)＝36a 2＝152，得a ＝52，故选A.2．不等式2x ＋1x －5≥－1的解集为________．答案 {x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤43或x >5解析 将原不等式移项通分得3x －4x －5≥0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧3x －4x －5≥0，x －5≠0，解得x ≤43或x >5.∴原不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤43或x >5.题型 三 二次不等式中的任意性与存在性角度1 任意性与存在性1．(1)若关于x 的不等式x 2－ax －a ＞0的解集为(－∞，＋∞)，某某数a 的取值X 围； (2)若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，某某数a 的取值X 围． 解 (1)设f (x )＝x 2－ax －a ，则关于x 的不等式x 2－ax －a ＞0的解集为(－∞，＋∞)⇔f (x )＞0在(－∞，＋∞)上恒成立⇔f (x )min ＞0，即f (x )min ＝－4a ＋a24＞0，解得－4＜a ＜0(或用Δ<0)．(2)设f (x )＝x 2－ax －a ，则关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集⇔f (x )≤－3在(－∞，＋∞)上能成立⇔f (x )min ≤－3，即f (x )min ＝－4a ＋a24≤－3，解得a ≤－6或a ≥2.角度2 给定区间上的任意性问题2．(1)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值X 围是________．(2)设函数f (x )＝mx 2－mxx ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值X 围． 答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 (2)见解析解析 (1)要满足f (x )＝x 2＋mx －1＜0对于任意x ∈[m ，m ＋1]恒成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧ f m ＜0，f m ＋1＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2m 2－1＜0，m ＋12＋m m ＋1－1＜0，解得－22＜m ＜0.(2)要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：解法一：令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)，即7m －6<0，所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)，即m －6<0，所以m <6，所以m <0.综上所述，m 的取值X 围是{m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫m <67.解法二：因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．所以m 的取值X 围是{m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫m <67.角度3 给定参数X 围的恒成立问题3．已知a ∈[－1,1]时不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则x 的取值X 围为()A ．(－∞，2)∪(3，＋∞)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞)C ．(－∞，1)∪(3，＋∞)D ．(1,3)答案 C解析 把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，则由f (a )＞0对于任意的a ∈[－1,1]恒成立，所以f (－1)＝x 2－5x ＋6＞0，且f (1)＝x 2－3x ＋2＞0即可，解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－5x ＋6＞0，x 2－3x ＋2＞0，得x ＜1或x ＞3.故选C.形如f (x )≥0(f (x )≤0)恒成立问题的求解思路(1)x ∈R 的不等式确定参数的X 围时，结合二次函数的图象，利用判别式来求解． (2)x ∈[a ，b ]的不等式确定参数X 围时，①根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于0，从而求参数的X 围；②数形结合，利用二次函数在端点a ，b 处的取值特点确定不等式求X 围．如举例说明2.(3)已知参数m ∈[a ，b ]的不等式确定x 的X 围，要注意变换主元，一般地，知道谁的X围，就选谁当主元，求谁的X 围，谁就是参数．如举例说明3.1．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值X 围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞ 解析 由Δ＝a 2＋8>0，知方程x 2＋ax －2＝0恒有两个不等实数根，又知两根之积为负，所以方程x 2＋ax －2＝0必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)>0，解得a >－235，故a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞. 2．函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，某某数a 的取值X 围；(2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，某某数a 的取值X 围； (3)当a ∈[4,6]时，f (x )≥0恒成立，某某数x 的取值X 围．解 (1)∵当x ∈R 时，x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0，∴实数a 的取值X 围是[－6,2]．(2)当x ∈[－2,2]时，设g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ≥0，分如下三种情况讨论(如图所示)： ①如图1，当g (x )的图象恒在x 轴上方且满足条件时，有Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即－6≤a ≤2.②如图2，g (x )的图象与x 轴有交点，但当x ∈[－2，＋∞)时，g (x )≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，x ＝－a 2≤－2，g －2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－43－a ≥0，－a 2≤－2，4－2a ＋3－a ≥0， 可得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－6，a ≥4，a ≤73，解得a ∈∅. ③如图3，g (x )的图象与x 轴有交点，但当x ∈(－∞，2]时，g (x )≥0. 即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，x ＝－a 2≥2，g 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－43－a ≥0，－a 2≥2，7＋a ≥0， 可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥2或a ≤－6，a ≤－4，a ≥－7.∴－7≤a ≤－6.综上，实数a 的取值X 围是[－7,2]．(3)令h (a )＝xa ＋x 2＋3.当a ∈[4,6]时，h (a )≥0恒成立．只需⎩⎪⎨⎪⎧ h 4≥0，h 6≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4x ＋3≥0，x 2＋6x ＋3≥0，解得x ≤－3－6或x ≥－3＋ 6.∴实数x 的取值X 围是(－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞)．。
2015届高考数学(人教,理科)大一轮复习配套讲义：第六章 不等式、推理与证明及不等式选讲
第六章不等式、推理与证明及不等式选讲(选修4－5)第一节不等关系与不等式1．实数大小顺序与运算性质之间的关系a－b＞0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b＜0⇔a<b.2．不等式的基本性质1．在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如a≤b，b<c⇒a<c.2．在乘法法则中，要特别注意“乘数c的符号”，例如当c≠0时，有a>b⇒ac2>bc2；若无c≠0这个条件，a>b⇒ac2>bc2就是错误结论(当c＝0时，取“＝”)．[试一试]1．(2013·北京高考)设a，b，c∈R，且a>b，则()A ．ac >bc B.1a <1b C ．a 2>b 2D. a 3>b 3解析：选D 由性质知选D. 2.12－1________3＋1(填“>”或“<”)． 解析：12－1＝2＋1＜3＋1. 答案：<1．不等式的倒数性质 (1)a >b ，ab >0⇒1a <1b ；(2)a <0<b ⇒1a <1b ；(3)a >b >0,0<c <d ⇒a c >bd ；(4)0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a .2．不等式的分数性质 (1)真分数的性质：b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －m a －m (b －m >0)； (2)假分数的性质：a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －m b －m (b －m >0)． [练一练]若0<a <b ，c >0，则b ＋c a ＋c 与a ＋cb ＋c 的大小关系为________．答案：b ＋c a ＋c >a ＋c b ＋c的大小1.已知a 121212，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M <N B ．M >N C ．M ＝ND ．不确定解析：选B M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1) ＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝a 1(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 1－1)(a 2－1)， 又∵a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)， ∴a 1－1<0，a 2－1<0.∴(a 1－1)(a 2－1)>0，即M －N >0. ∴M >N .2．若实数a ≠1，比较a ＋2与31－a 的大小．解：a ＋2－31－a ＝－a 2－a －11－a ＝a 2＋a ＋1a －1∴当a >1时，a ＋2>31－a ；当a <1时，a ＋2<31－a .[类题通法]比较大小的常用方法(1)作差法：一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．(2)作商法：一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论． (3)特值法：若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可先用特值探究思路，再用作差或作商法判断．注意：用作商法时要注意商式中分母的正负，否则极易得出相反的结论．不等式的性质[典例] >b 且c >d ”的A ．充分不必要条件 B ．既不充分也不必要条件 C ．充分必要条件D ．必要不充分条件(2)若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列结论：①ad ＞bc ；②a d ＋bc ＜0；③a －c ＞b －d ；④a ·(d －c )＞b (d －c )中成立的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] (1)由“a ＋c >b ＋d ”不能得知“a >b 且c >d ”，反过来，由“a >b 且c >d ”可得知“a ＋c >b ＋d ”，因此“a ＋c >b ＋d ”是“a >b 且c >d ”的必要不充分条件，选D.(2)法一：∵a ＞0＞b ，c ＜d ＜0，∴ad ＜0，bc ＞0， ∴ad ＜bc ，故①错误．∵a ＞0＞b ＞－a ，∴a ＞－b ＞0， ∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0， ∴a (－c )＞(－b )(－d )，∴ac ＋bd ＜0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bd cd ＜0，故②正确．∵c ＜d ，∴－c ＞－d ，∵a ＞b ，∴a ＋(－c )＞b ＋(－d )， a －c ＞b －d ，故③正确．∵a ＞b ，d －c ＞0，∴a (d －c )＞b (d －c )， 故④正确，故选C. 法二：取特殊值． [答案] (1)D (2)C [类题通法]判断多个不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质，常见的反例构成方式可从以下几个方面思考：(1)不等式两边都乘以一个代数式时，考察所乘的代数式是正数、负数或0；(2)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变； (3)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时取倒数后不等号方向不变等． [针对训练](2014·北京东城区综合练习)若a >b >0，则下列不等式不成立的是( ) A.1a <1bB ．|a |>|b |C ．a ＋b <2abD.⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12b解析：选C ∵a >b >0，∴1a <1b，且|a |>|b |，a ＋b >2ab ，又2a >2b ，∴⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12b ，选C. 不等式性质的应用[典例] ，2≤f (1)≤4.求 [解] f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b .f (－2)＝4a －2b .设m (a ＋b )＋n (a －b )＝4a －2b .则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，m －n ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3.∴f (－2)＝(a ＋b )＋3(a －b )＝f (1)＋3f (－1)． ∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴5≤f (－2)≤10.即f (－2)的取值范围为[5,10]．又∵1<f (－1)≤2,2≤f (1)<4， ∴5<3f (－1)＋f (1)<10， 故5<f (－2)<10.故f (－2)的取值范围为(5,10)． [类题通法]利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围．解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．[针对训练]若α，β满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤α＋β ≤1，1≤α＋2β ≤3，试求α＋3β的取值范围．解：设α＋3β＝x (α＋β)＋y (α＋2β)＝(x ＋y )α＋(x ＋2y )β.则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，x ＋2y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.∵－1≤－(α＋β)≤1,2≤2(α＋2β)≤6， 两式相加，得1≤α＋3β≤7. ∴α＋3β的取值范围为[1,7]．第二节一元二次不等式及其解法一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系1．二次项系数中含有参数时，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零时的情形，以便确定解集的形式．2．当Δ<0时，易混ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集为R 还是∅. [试一试]1．(2013·浙江高考)设集合S ＝{x |x >－2}，T ＝{x |x 2＋3x －4≤0}，则(∁R S )∪T ＝( ) A ．(－2,1] B ．(－∞，－4] C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)解析：选C T ＝ {x |－4≤x ≤1}，根据补集定义， ∁R S ＝{x |x ≤－2}，所以(∁R S )∪T ＝{x |x ≤1}，选C.2．不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎝⎛⎭⎫－12，13，则a ＋b 的值是( ) A ．10 B ．－10 C ．14D ．－14解析：选D 由题意知－12、13是ax 2＋bx ＋2＝0的两根．则a ＝－12，b ＝－2.a ＋b ＝－14.故选D.3．不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，∴Δ＝a 2－4×4>0，即a 2>16. ∴a >4或a <－4.答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)1．由二次函数图像与一元二次不等式的关系得到的两个常用结论(1)不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b ＝0，c >0，或⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0.(2)不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b ＝0，c <0，或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.2．分类讨论思想解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．[练一练]若不等式mx 2＋2mx ＋1>0的解集为R ，则m 的取值范围是________． 解析：①当m ＝0时，1>0显然成立． ②当m ≠0时，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝4m 2－4m <0. 得0<m <1， 由①②知0≤m <1. 答案：[0,1)一元二次不等式的解法[典例] (1)0＜x 2－x －2≤4； (2)x 2－4ax －5a 2＞0(a ≠0)． [解] (1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2＞0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，x 2－x －6≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)(x ＋1)＞0，(x －3)(x ＋2)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2或x ＜－1，－2≤x ≤3.借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{}x |－2≤x ＜－1或2＜x ≤3. (2)由x 2－4ax －5a 2＞0知(x －5a )(x ＋a )＞0. 由于a ≠0故分a ＞0与a ＜0讨论． 当a ＜0时，x ＜5a 或x ＞－a ； 当a ＞0时，x ＜－a 或x ＞5a .综上，a ＜0时，解集为{}x |x ＜5a 或x ＞－a ；a ＞0时，解集为{}x |x ＞5a 或x ＜－a . [类题通法]1．解一元二次不等式的一般步骤：(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)，ax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)；(2)计算相应的判别式；(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根； (4)根据对应二次函数的图像，写出不等式的解集．2．解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即Δ的符号进行分类，最后在根存在时，根据根的大小进行分类．[针对训练] 解下列不等式： (1)－3x 2－2x ＋8≥0； (2)ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ＞0)．解：(1)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0， 即(3x －4)(x ＋2)≤0. 解得－2 ≤x ≤43，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－2≤x ≤43. (2)原不等式变为(ax －1)(x －1)＜0， 因为a ＞0，所以a ⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＜0. 所以当a ＞1时，解为1a ＜x ＜1；当a ＝1时，解集为∅； 当0＜a ＜1时，解为1＜x ＜1a.综上，当0＜a ＜1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1＜x ＜1a ； 当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a ＞1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a＜x ＜1.一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系.在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换.对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图像与x 轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围.归纳起来常见的命题角度有：(1)形如f (x )≥0(x ∈R )确定参数的范围； (2)形如f (x )≥0(x ∈[a ，b ])确定参数范围； (3)形如f (x )≥0(参数m ∈[a ，b ])确定x 的范围.角度一 形如f (x )≥0(x ∈R )确定参数的范围1．(2013·重庆高考)设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为________．解析：根据题意可得(8sin α)2－4×8cos 2α≤0，即2sin 2α－cos 2α≤0，2sin 2α－(1－2sin 2 α)≤0，即－12≤sin α≤12.因为0≤α≤π，故α∈06π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，∪56ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 答案：06π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，∪56ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，角度二 形如f (x )≥0(x ∈[a ，b ])确定参数范围2．对任意x ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，求a 的取值范围． 解：函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的对称轴为x ＝－a －42＝4－a2.①当4－a2<－1，即a >6时，f (x )的值恒大于零等价于f (－1)＝1＋(a －4)×(－1)＋4－2a >0， 解得a <3，故有a ∈∅；②当－1≤4－a2≤1，即2≤a ≤6时，只要f ⎝⎛⎭⎫4－a 2＝⎝⎛⎭⎫4－a 22＋(a －4)×4－a 2＋4－2a >0，即a 2<0，故有a ∈∅；③当4－a 2>1，即a <2时，只要f (1)＝1＋(a －4)＋4－2a >0， 即a <1，故有a <1.综上可知，当a <1时，对任意x ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零． 角度三 形如f (x )≥0(参数m ∈[a ，b ])确定x 的范围3．对任意a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于零，求x 的取值范围． 解：由f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4， 令g (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4.由题意知在[－1,1]上，g (a )的值恒大于零，∴⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)＝(x －2)×(－1)＋x 2－4x ＋4>0，g (1)＝(x －2)＋x 2－4x ＋4>0， 解得x <1或x >3.故当x <1或x >3时，对任意的a ∈[－1,1]，函数f (x )的值恒大于零． [类题通法]恒成立问题及二次不等式恒成立的条件(1)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．(2)对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴下方．一元二次不等式的应用[典例] 件，年销量是a 件．现经销商计划在2014年将该商品的价格降至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格是4元/件．经测算，该商品价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比，比例系数为k .该商品的成本价为3元/件．(1)写出该商品价格下降后，经销商的年收益y 与实际价格x 的函数关系式；(2)设k ＝2a ，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2014年的收益比2013年至少增长20%?[解] (1)设该商品价格下降后为x 元/件， 则由题意可知年销量增加到⎝⎛⎭⎫k x －4＋a 件，故经销商的年收益y ＝⎝⎛⎭⎫kx －4＋a (x －3)，5.5≤x ≤7.5.(2)当k ＝2a 时，依题意有⎝⎛⎭⎫2ax －4＋a (x －3)≥(8－3)a ×(1＋20%)，化简得x 2－11x ＋30x －4≥0，解得x ≥6或4<x ≤5.又5.5≤x ≤7.5，故6≤x ≤7.5，即当实际价格最低定为6元/件时，仍然可以保证经销商2014年的收益比2013年至少增长20%.[类题通法]构建不等式模型解决实际问题不等式的应用问题常常以函数为背景，多是解决实际生活、生产中的最优化问题等，解题时，要仔细审题，认清题目的条件以及要解决的问题，理清题目中各量之间的关系，建立恰当的不等式模型进行求解．[针对训练]某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围． 解：(1)由题意得y ＝100⎝⎛⎭⎫1－x 10·100⎝⎛⎭⎫1＋850x . 因为售价不能低于成本价， 所以100⎝⎛⎭⎫1－x10－80≥0. 所以y ＝f (x )＝20(10－x )(50＋8x )，定义域为[0,2]． (2)由题意得20(10－x )(50＋8x )≥10 260， 化简得8x 2－30x ＋13≤0. 解得12≤x ≤134.所以x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，2.第三节绝对值不等式(选修4－5)1．绝对值三角不等式(1)定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立．(2)定理2：如果a ，b ，c 是实数，则|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x |<a 与|x |>a 的解集①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； ②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .(3)|x －a |＋|x －b |≥c (c >0)和|x －a |＋|x －b |≤c (c >0)型不等式的解法有以下几种： ①利用绝对值不等式的几何意义求解的思想； ②利用“零点分段法”求解；③通过构造函数，利用函数的图象求解．1．对于绝对值三角不等式，易忽视等号成立的条件．对|a ＋b |≥|a |－|b |，当且仅当a >－b >0时，等号成立，对|a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |，如果a <－b <0当且仅当|a |≥|b |且ab ≥0时左边等号成立，当且仅当ab ≤0时右边等号成立．2．形如|x －a |＋|x －b |≥c (c >0)的不等式解法在讨论时应注意分类讨论点处的处理及c 的符号判断，若c <0则不等式解集为R.[试一试]1．(2013·广东高考)不等式|x 2－2|<2的解集是( ) A ．(－1,1) B ．(－2,2) C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－2,0)∪(0,2)解析：选D 由|x 2－2|<2得－2<x 2－2<2，即0<x 2<4，所以－2<x <0或0<x <2. 2．不等式|x －2|－|x －1|>0的解集为( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，32 B.⎝⎛⎭⎫－∞，－32 C.⎝⎛⎭⎫32，＋∞D.⎝⎛⎭⎫－32，＋∞ 解析：选A 原不等式等价于|x －2|>|x －1|， 则(x －2)2>(x －1)2，解得x <32.含绝对值不等式的常用解法1．基本性质法：对a ∈R ＋，|x |<a ⇔－a <x <a ，|x |>a ⇔x <－a 或x >a . 2．平方法：两边平方去掉绝对值符号．3．零点分区间法(或叫定义法)：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．4．几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解． 5．数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解．[练一练]1．已知不等式|2x －t |＋t －1<0的解集为(－12，12)，则t ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选B |2x －t |<1－t ，t －1<2x －t <1－t ， 2t －1<2x <1，t －12<x <12，∴t ＝0.2．若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________． 解析：利用绝对值不等式的性质求解． ∵|x －a |＋|x －1|≥|(x －a )－(x －1)|＝|a －1|， 要使|x －a |＋|x －1|≤3有解，可使|a －1|≤3，∴－3≤a －1≤3，∴－2≤a ≤4. 答案：[－2,4]绝对值不等式的解法1．在实数范围内，不等式|x －12|＋|x ＋12|≤3的解集为____________．解析：法一：分类讨论去绝对值号解不等式．当x >12时，原不等式转化为2x ≤3⇒x ≤32；当－12≤x ≤12时，原不等式转化为1≤3，恒成立；当x <－12时，原不等式转化为－2x ≤3⇒x ≥－32.综上知，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32≤x ≤32.法二：利用几何意义求解．不等式⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪x ＋12≤3，其几何意义为数轴上到12，－12两点的距离之和不超过3的点的集合，数形结合知，当x ＝32或x ＝－32时，到12，－12两点的距离之和恰好为3，故当－32≤x ≤32时，满足题意，则原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32≤x ≤32.答案：⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫－32≤x ≤32 2．(2013·西安质检)若关于x 的不等式|x －a |<1的解集为(1,3)，则实数a 的值为________． 解析：原不等式可化为a －1<x <a ＋1，又知其解集为(1,3)，所以通过对比可得a ＝2. 答案：23．如果关于x 的不等式|x －3|－|x －4|<a 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．解析：法一：令y 1＝|x －3|－|x －4| ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x >4，2x －7， 3≤x ≤4，－1，x <3.y 2＝a . 如图要使|x －3|－|x －4|<a 的解集不是空集，则a 的取集范围是a >－1.法二：注意到||x －3|－|x －4||≤|(x －3)－(x －4)|＝1，－1≤|x －3|－|x －4|≤1.若不等式|x －3|－|x －4|<a 的解集是空集，则有|x －3|－|x －4|≥a 对任意的x ∈R 都成立，即有(|x －3|－|x －4|)min ≥a ，a ≤－1.因此，由不等式|x －3|－|x －4|<a 的解集不是空集可得，实数a 的取值范围是a >－1.答案：(－1，＋∞) [类题通法]利用零点分类讨论法解绝对值不等式时，注意分类讨论时要不重不漏．绝对值不等式的证明[典例] ，不等式f (x )<4M . (1)求M ；(2)当a ，b ∈M 时，证明：2|a ＋b |<|4＋ab |. [解] (1)f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x <－1，2，－1≤x ≤1，2x ，x >1，当x <－1时，由－2x <4，得－2<x <－1； 当－1≤x ≤1时，f (x )＝2<4，∴－1≤x ≤1； 当x >1时，由2x <4，得1<x <2，∴M ＝(－2,2)．(2)证明：a ，b ∈M 即－2<a <2，－2<b <2.∵4(a ＋b )2－(4＋ab )2＝4(a 2＋2ab ＋b 2)－(16＋8ab ＋a 2b 2)＝(a 2－4)·(4－b 2)<0，∴4(a ＋b )2<(4＋ab )2，∴2|a ＋b |<|4＋ab |.又|x ＋1|＋|x －1|≥|(x ＋1)－(x －1)|＝2，∴a ≤2. 故a 的取值范围为(2，＋∞)． [类题通法]证明绝对值不等式主要有三种方法(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明； (2)利用三角不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |进行证明； (3)转化为函数问题，数形结合进行证明． [针对训练](2014·乌鲁木齐高三诊断性测验)设函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|. (1)求证：f (x )≥1； (2)若f (x )＝a 2＋2a 2＋1成立，求x 的取值范围．解：(1)证明：f (x )＝|x －1|＋|x －2|≥|(x －1)－(x －2)|＝1. (2)∵a 2＋2a 2＋1＝a 2＋1＋1a 2＋1＝a 2＋1＋1a 2＋1≥2，∴要使f (x )＝a 2＋2a 2＋1成立，需且只需|x －1|＋|x －2|≥2，即⎩⎪⎨⎪⎧ x <1，1－x ＋2－x ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤x <2，x －1＋2－x ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x －1＋x －2≥2，解得x ≤12或x ≥52，故x 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，12∪⎣⎡⎭⎫52，＋∞.绝对值不等式的综合应用[|2x ＋a |，g (x )＝(1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集；(2)设a ＞－1，且当x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围．[解] (1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0.设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x ，x ＜12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x ＞1.其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y <0.所以原不等式的解集是{x |0＜x＜2}．(2)当x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12时，f (x )＝1＋a . 不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3. 所以x ≥a －2对x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，12都成立． 故－a 2≥a －2，即a ≤43.从而a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－1，43. [类题通法]1．研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后数形结合解决是常用的思维方法．2．对于求y ＝|x －a |＋|x －b |或y ＝|x ＋a |－|x －b |型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．形如y ＝|x －a |＋|x －b |的函数只有最小值，形如y ＝|x －a |－|x －b |的函数既有最大值又有最小值．[针对训练](2013·辽宁模拟)已知f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|. (1)当a ＝－1时，解关于x 的不等式f (x )>5；(2)已知关于x 的不等式f (x )＋a <2 014(a 是常数)的解集是非空集合，求实数a 的取值范围． 解：(1)构造函数g (x )＝|x －1|＋|x －2|－5， 则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2(x ≤1)，－4(1<x <2)，2x －8(x ≥2).令g (x )>0，则x <－1或x >4，∴原不等式的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)． (2)∵f (x )＋a ＝|x ＋a |＋|x －2|＋a ≥|a ＋2|＋a ， 又关于x 的不等式f (x )＋a <2 014的解集是非空集合，∴|a ＋2|＋a <2 014，解得a <1 006.第四节二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题1．二元一次不等式(组)表示的平面区域2．1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式化为ax ＋by ＋c >0(a >0)．2．线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有．[试一试]1．(2013·全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，x ≤3，则z ＝2x －3y 的最小值是( ) A ．－7 B ．－6 C ．－5D ．－3解析：选B 作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．易知直线z ＝2x －3y 过点C 时，z 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4，∴z min ＝2×3－3×4＝－6，故选B. 2．如图所示的平面区域(阴影部分)满足不等式________．答案：x ＋y －1>01．确定二元一次不等式表示平面区域的方法二元一次不等式所表示的平面区域的确定，一般是取不在直线上的点(x 0，y 0)作为测试点来进行判定，满足不等式的则平面区域在测试点所在的直线的一侧，反之在直线的另一侧．2．求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值的方法将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb 的最值间接求出z 的最值．(1)当b >0时，截距z b 取最大值时，z 也取最大值；截距zb 取最小值时，z 也取最小值；(2)当b <0时，截距z b 取最大值时，z 取最小值；截距zb 取最小值时，z 取最大值．[练一练](2013·陕西高考)若点(x ，y )位于曲线y ＝|x －1|与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为________．解析：由题意知y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1(x ≥1)，1－x (x <1)，作出曲线y ＝|x －1|与y ＝2所围成的封闭区域，如图中阴影部分所示，即得过点A (－1,2)时，2x －y 取最小值－4.答案：－41.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A.32 B.23 C.43D.34解析：选C 平面区域如图所示．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4得A (1,1)， 易得B (0,4)，C ⎝⎛⎭⎫0，43， |BC |＝4－43＝83.∴S △ABC ＝12×83×1＝43.2．若满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥a 的整点(x ，y )恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a 的值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．0解析：选C 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当a ＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当a ＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)5个整点，故选C.3．如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为________．解析：两直线方程分别为x －2y ＋2＝0与x ＋y －1＝0. 由(0,0)点在直线x －2y ＋2＝0右下方可知x －2y ＋2≥0， 又(0,0)点在直线x ＋y －1＝0左下方可知x ＋y －1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0为所表示的可行域． 答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0[类题通法]二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，测试点常选取原点．求目标函数的最值线性规则问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致.归纳起来常见的命题角度有：(1)求线性目标函数的最值； (2)求非线性目标的最值； (3)求线性规划中的参数. 角度一 求线性目标函数的最值1．(1)(2013·湖南高考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则x ＋2y 的最大值是( )A ．－52B ．0 C.53D.52(2)如果函数x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，y ＋1≥0，x ＋y ＋1≤0，那么z ＝2x －y 的最大值为( )A ．2B ．1C ．－2D ．－3解析：(1)选C 不等式组表示的平面区域为图中阴影部分．平行移动y ＝－12x ＋12z ，可知该直线经过y ＝2x 与x ＋y ＝1的交点A ⎝⎛⎭⎫13，23时，z 有最大值为13＋43＝53.(2)选B 如图作出可行域，当z 经过直线y ＋1＝0与x ＋y ＋1＝0的交点(0，－1)时，z max＝1.角度二 求非线性目标的最值2．(1)(2013·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( )A ．2B ．1C ．－13D ．－12解析：选C 已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，显然当点M 与点A 重合时直线OM 的斜率最小，由直线方程x ＋2y －1＝0和3x ＋y －8＝0，解得A (3，－1)，故OM 斜率的最小值为－13. (2)(2014·长春调研)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧12≤x ≤1，y ≥－x ＋1，y ≤x ＋1，则y ＋1x的取值范围是________．解析：由题可知y ＋1x ＝y －(－1)x －0，即为求不等式所表示的平面区域内的点与(0，－1)的连线斜率k 的取值范围，由图可知k ∈[1,5]．答案：[1,5]角度三 求线性规划中的参数3．(1)(2013·浙江高考)设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0.若z 的最大值为12，则实数k ＝________.解析：画出可行域，根据线性规划知识，目标函数取最大值12时，最优解一定为(4,4)，这时12＝4k ＋4，k ＝2.答案：2(2)(2014·江西七校联考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋2y －8≤0，x ≤3.若点⎝⎛⎭⎫3，52是使ax －y 取得最小值的唯一的可行解，则实数a 的取值范围为________．解析：记z ＝ax －y ，注意到当x ＝0时，y ＝－z ，即直线z ＝ax －y 在y 轴上的截距是－z .在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，满足题意的实数a 的取值范围为a <－12.答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－12 [类题通法]1．求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．2．常见的目标函数有： (1)截距型：形如z ＝ax ＋by .求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋zb ，通过求直线的截距zb的最值间接求出z 的最值．(2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2. (3)斜率型：形如z ＝y －bx －a .注意：转化的等价性及几何意义．线性规划的实际应用[典例] (2013·两种型号的客车安排名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( )A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元[解析] 设租用A 型车x 辆，B 型车y 辆，目标函数为z ＝1 600x ＋2 400y ，则约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧36x ＋60y ≥900，y －x ≤7，y ＋x ≤21，x ，y ∈N ，作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点(5,12)时，有最小值z min ＝36 800(元)．[答案] C [类题通法]求解线性规划应用题的注意点(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件中是否能够取到等号． (2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x ，y 的取值范围，特别注意分析x ，y 是否是整数、非负数等．(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式． [针对训练]某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( )A ．1 800元B ．2 400元C ．2 800元D ．3 100元解析：选C 设每天分别生产甲产品x 桶，乙产品y 桶，相应的利润为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12，x ≥0，y≥0，z ＝300x ＋400y ，在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线300x ＋400y ＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点A (4,4)时，相应直线在y 轴上的截距达到最大，此时z ＝300x ＋400y 取得最大值，最大值是z ＝300×4＋400×4＝2 800，即该公司可获得的最大利润是2 800元．第五节基本不等式与柯西不等式(选修4－5)1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．3．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则：(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)4．平均值不等式(1)定理：如果a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．我们称a ＋b ＋c 3为正数a ，b ，c 的算术平均值，3abc 为正数a ，b ，c 的几何平均值，定理中的不等式为三个正数的算术—几何平均值不等式，简称为平均值不等式．(2)一般形式的算术—几何平均值不等式：如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a nn ≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．5．柯西不等式(1)柯西不等式的代数形式：设a 1，a 2，b 1，b 2均为实数，则(a 21＋a 22)(b 21＋b 22)≥(a 1b 1＋a 2b 2)2(当且仅当a 1b 2＝a 2b 1时，等号成立)．(2)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|. (3)二维形式的三角不等式：设x 1，y 1，x 2，y 2∈R ，那么x 21＋y 21＋x 22＋y 22≥(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2.(4)柯西不等式的一般形式：设a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n 为实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0或存在一个数k ，使a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．1．求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑等号成立的条件． 2．多次使用基本不等式时，易忽视取等号的条件的一致性． 3．使用柯西不等式或平均值不等式时易忽视等号成立的条件． [试一试]1．“a >0且b >0”是“a ＋b2≥ab ”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A2．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A.13B.12C.34D.23解析：选B 由0<x <1，故3－3x >0，则x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×94＝34，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝12时等号成立．3．已知x 2＋y 2＝10，则3x ＋4y 的最大值为( ) A ．510 B ．410 C ．310D ．210解析：选A ∵(32＋42)(x 2＋y 2)≥(3x ＋4y )2， 当且仅当3y ＝4x 时等号成立， ∴25×10≥(3x ＋4y )2， ∴(3x ＋4y )max ＝510.1．活用几个重要的不等式a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )；b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)．ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )．2．巧用“拆”“拼”“凑”在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．[练一练] 若x >1，则x ＋4x －1的最小值为________． 解析：x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5.当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时等号成立．答案：5利用基本不等式求最值[典例] (1)(2013·四川高考)已知函数f (x )＝4x ＋ax (x ＞0，a ＞0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________.[解析] f (x )＝4x ＋ax ≥24x ·a x ＝4a (x >0，a >0)，当且仅当4x ＝ax，即a ＝4x 2时取等号，则由题意知a ＝4×32＝36.[答案] 36(2)(2014·长春调研)若两个正实数x ，y 满足2x ＋1y ＝1，并且x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是________．[解析] x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝⎛⎭⎫2x ＋1y ＝2＋4y x ＋x y ＋2≥8，当且仅当4y x ＝xy ，即x ＝2y ＝4时等号成立．由x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，可知m 2＋2m <8，m 2＋2m －8<0，解得－4<m <2.[答案] (－4,2)(3)(2013·山东高考改编)设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则zxy 的最小值为________．[解析] z ＝x 2－3xy ＋4y 2(x ，y ，z ∈R ＋)，∴z xy ＝x 2－3xy ＋4y 2xy ＝x y ＋4y x－3≥2x y ·4yx－3＝1. 当且仅当x y ＝4yx ，即x ＝2y ＝4时“＝”成立．[答案] 1解：由(3)知当zxy取最小值时x ＝2y .∴z ＝x 2－3xy ＋4y 2＝4y 2－6y 2＋4y 2＝2y 2，∴x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y 2＝－2y 2＋4y ＝－2(y －1)2＋2. ∴当y ＝1时，x ＋2y －z 取最大值2. [类题通法]两个正数的和与积的转化基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．[针对训练](1)当x ＞0时，则f (x )＝2xx 2＋1的最大值为________． (2)已知log 2a ＋log 2b ≥1，则3a ＋9b 的最小值为________．(3)已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________． 解析：(1)∵x ＞0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x ≤22＝1，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号．(2)由log 2a ＋log 2b ≥1得log 2(ab )≥1，即ab ≥2，∴3a ＋9b ＝3a ＋32b ≥2×3a ＋2b2(当且仅当3a ＝32b ，即a ＝2b 时取等号)．又∵a ＋2b ≥22ab ≥4(当且仅当a ＝2b 时取等号)， ∴3a ＋9b ≥2×32＝18.即当a ＝2b 时，3a ＋9b 有最小值18.(3)由x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ≥22xy ，得xy ≥8，于是由m －2≤xy 恒成立，得m －2≤8，即m ≤10.故m 的最大值为10.答案：(1)1 (2)18 (3)10基本不等式的实际应用[典例] 经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2013年生产该产品的固定投入为8万元．每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2013年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家2013年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ [解] (1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1(万件)， ∴1＝3－k ⇒k ＝2，∴x ＝3－2m ＋1， 每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx(元)， ∴2013年的利润y ＝1.5x ×8＋16xx －8－16x －m＝－⎣⎡⎦⎤16m ＋1＋(m ＋1)＋29(m ≥0)．(2)∵m ≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8， ∴y ≤－8＋29＝21，当且仅当16m ＋1＝m ＋1⇒m ＝3(万元)时，y max ＝21(万元)．故该厂家2013年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元． [类题通法]利用基本不等式求解实际应用题的方法(1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、税收、原材料”等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．[针对训练](2013·湖南省五市十校联合检测)某化工企业2012年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该企业使用该设备x 年的年平均污水处理费用为y (单位：万元)．(1)用x 表示y ；(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备．则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备．。
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2．在使用不等式的性质时，要先确定变量，再 搞清它们成立的条件． (1)在应用传递性时，如果两个不等式中有一个带 等号而另一个不带等号，那么等号是传递不过去 的．如 a≤b，b＜c⇒a＜c. (2)在乘法法则中，要特别注意“乘数 c 的符号”， 例如当 c≠0 时，有 a＞b⇒ac2＞bc2；若无 c≠0 这个条件，则 a＞b⇒ac2＞bc2 就是错误结论(当 c ＝0 时，取“＝”)．
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【变式训练】 3.若 a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，
则下列命题成立的有( )
(1)ad＞bc；(2)ad＋bc＜0；(3)a－c＞b－d；
(4)a(d－c)＞b(d－c)．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
第32页
解析： 因为 a＞0＞b，c＜d＜0，所以 ad＜0， bc＞0， 所以 ad＜bc，(1)错误． 因为 a＞0＞b＞－a，所以 a＞－b＞0. 因为 c＜d＜0，所以－c＞－d＞0， 所以 a(－c)＞(－b)(－d)， 所以 ac＋bd＜0， 所以ad＋bc＝ac＋cdbd＜0， 所以(2)正确．
第36页
(3)“a＞b＞0⇒an＞bn＞0(n∈N，n＞1)”成立的 条件是“n 为大于 1 的自然数，a＞b＞0”，假 如去掉“n 为大于 1 的自然数”这个条件，取 n ＝－1，a＝3，b＝2，那么就会出现“3－1＞2－1， 即13＞12”的错误结论；假如去掉“b＞0”这个 条件，取 a＝3，b＝－4，n＝2，那么就会出现 “32＞(－4)2”的错误结论．
第2页
知识点
考纲下载
简单线性规划
1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组． 2.了解二元一次不等式几何意义，能用平面区域表 示二元一次不等式组．
高中数学一轮复习 不等式、推理与证明 第1节 不等关系与不等式
又 ab>0，∴ab>ab2>a.
【答案】 ab>ab2>a
考向 1
利用不等式(组)表示不等关系
【例 1】 某厂拟生产甲、乙两种适销产品，甲、乙产品 都需要在 A，B 两台设备上加工，在 A，B 设备上加工一件甲 产品所需工时分别为 1 小时、2 小时，加工一件乙产品所需工 时分别为 2 小时、1 小时，A，B 两台设备每月有效使用时数 分别为 400 和 500.写出满足上述所有不等关系的不等式．
【思路点拨】 明真假．
利用不等式的性质判定正误或举反例说
【尝试解答】
∵a＞0＞b，c＜d＜0，
∴ad＜0，bc＞0，则 ad＜bc，(1)错误． 由 a＞0＞b＞－a，知 a＞－b＞0， 又－c＞－d＞0， 因此 a· (－c)＞(－b)· (－d)，即 ac＋bd＜0， a b ac＋bd ∴d＋ c＝ cd ＜0，故(2)正确． 显然 a－c＞b－d，∴(3)正确． ∵a＞b，d－c＞0，∴a(d－c)＞b(d－c)，∴(4)正确． 【答案】 (2)(3)(4)
【思路点拨】 设出甲、 乙两种产品的产量， 根据设备 A、 B 的有效使用时数，与甲、乙两种产品使用设备 A、B 的工时 数的关系列不等式组．
【尝试解答】 设甲、乙两种产品的产量分别为 x 件，y 件， x＋2y≤400， 2x＋y≤500， 由题意可知， x≥0，x∈N， y≥0，y∈N.
【解】
5－x>0， 由题意知5－x＋12－x>13－x， 5－x2＋12－x2<13－x2.
考向 2
不等式性质的应用
【例 2】 若 a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ命题：(1)ad a b ＞bc；(2)d＋ c ＜0；(3)a－c＞b－d；(4)a· (d－c)＞b(d－c)中能成 立的命题为________．
2015高考人教版理科数学复习配套 重点内容精选：第六章 不等式、推理与证明
高频考点全通关——一元二次不等式的解法
闯关二:典题针对讲解——已知一元二次不等式的解集求参数
[例 1]
(2013·重庆高考)关于 x 的不等式 x2－2ax－8a2<0(a>0)的 解集为(x1，x2)，且 x2－x1＝15，则 a＝ ( ) 5 7 15 15 A. B. C. D. 2 2 4 2
第六章
不等式、推理与证明
目录链接
第一节 不等关系与不等式……………………….…3 第二节 一元二次不等式及其解法…………………12 第三节 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题..…20 第四节 基本不等式……………………………….…27 第五节 合情推理与演绎推理……………………......36 第六节 直接证明与间接证明……….….............……44 第七节 数学归纳法………………………..........……51
A．充分而不必要条件 C．充要条件
【解析】(a－b)·a2<0 ，则必有 a－b<0，即 a<b；
而 a<b 时，不能推出(a－ b)·a2<0，如 a＝ 0， b＝ 1， 所以 “(a－ b)·a2<0”是 “a<b”的充分而不必要条件．
【答案】A
高频考点全通关——平面向量的线性运算
闯关二：典题针对讲解——与命题真假的判断相结合命题
高频考点全通关——不等式性质的简单应用 闯关四：及时演练，强化提升解题技能
1．已知 a>b>0，给出下列四个不等式：
① a2>b2；②2a>2 b 1；③ a－b> a－ b；④a3＋ b3>2a2b. 其中一定成立的不等式为 ( ) A ．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
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答案：[5,10]
三、考点分析，把脉高考
[冲关锦囊] 1．同向不等式相加或相乘不是等价变形，在解题过程中多 次使用有可能扩大所求范围． 2．此类问题的解决方法是：先建立待求整体与已知范围的 整体的等量关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算求得待 求整体的范围．
性质
性质内容
注意
对称性
a>b⇔ _b_<_a__
⇔
传递性
a>b，b>c⇒ _a_>_c__
⇒
可加性
a>b⇒ _a_＋__c_>_b_＋__c___
⇒
二、复习巩固，任务驱动
性质
性质内容
注意
可乘性
同向可加性 同向同正可乘性
可乘方性 可开方性
a>b ⇒ ac>bc c>0
a>b⇒ ac<bc c<0 a>b⇒ a＋c>b＋d c>d
a>b>0⇒ ac>bd c>d>0
a>b>0⇒ _a_n_>_b_n_ (n∈N，n≥2)
a>b>0⇒ n a>n b (n∈N，n≥2)
c的符号 ⇒ ⇒
同正
一、导学提示，自主复习
2.本节主要考点 考点一 比较大小 考点二 不等式性质 考点三 不等式性质的应用 3.自主复习三维设计P80-P81 第六章 不等式、推理与证明 第一节 不等关系与不等式
比较大小的方法 (1)作差法： 其一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键 是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或 者完全平方式．当两个式子都为正数时，也可以先平方再作差． (2)作商法： 其一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与 1 的大小；④结 论． (3)特例法： 若是选择题还可以用特殊值法比较大小，若是解答题，也可以 用特殊值法探路．
－a，－a2 的大小关系是
()
A．a2>a>－a2>－a
B．a2>－a>a>－a2
C．－a>a2>a>－a2
D．－a>a2>－a2>a
[自主解答] (1)对于 0＜ab＜1，如果 a＞0，则 b＞0，a＜b1成
立，如果 a＜0，则 b＜0，b＞1a成立，因此“0＜ab＜1”是“a
＜b1或 b＞1a”的充分条件；反之，若 a＝－1，b＝2，结论“a＜b1
第一节不等关系与不等式（2课时）
一、导学提示，自主复习 二、复习巩固，任务驱动 三、考点分析，把脉高考 四、当堂训练，针对点评 五、课堂总结，布置作业
一、导学提示，自主复习
1.本节备考方向
第一节
不等关系与不等式
[备考方向要明了]
考什么 1.了解现实世界和日常生活中的不等关系． 2.了解不等式(组)的实际背景.
一、导学提示，自主复习
怎么考 1.从高考内容上来看，不等关系、不等式的性质及应用是命
题的热点． 2.着重突出考查对不等式性质的灵活运用，有时与充要性的
判断交汇命题，难度中、低档． 3.考查题型多为选择、填空题.
二、复习巩固，任务驱动
1．实数大小顺序与运算性质之间的关系 a－b＞0⇔ a＞b ；a－b＝0⇔a＝b ；a－b＜0⇔ a＜b . 2．不等式的基本性质
三、考点分析，把脉高考
不等式性质的应用 [例 3] 设实数 x，y 满足 3≤xy2≤8,4≤xy2≤9，则xy43的最大值是
A．27
B．3
()
81
C. [8自主解答]
令 a＝xy2，b＝xyD2.．72
则 3≤a≤8,4≤b≤9.
而xy43＝1a·b2＝ba2，
三、考点分析，把脉高考
∴18×42≤ba2≤92×13， ∴2≤ba2≤27. ∴yx43的最大值是 27.
三、考点分析，把脉高考
[冲关锦囊] 1．判断一个关于不等式的命题的真假时，先把要判断的命题 与不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质 判断命题的真假，当然判断的同时可能还要用到其他知识，比如对 数函数、指数函数的性质． 2．特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法，在命题真 假未定时，先用特殊值试试可以得到一些对命题的感性认识，如正 好找到一组特殊值使命题不成立，则该命题为假命题．
[答案] A
三、考点分析，把脉高考
思考：
若 1≤a－b≤2,2≤a＋b≤4，则 4a－2b 的范围是 ________________________．
解析：令 m＝a－b，n＝a＋b，则 a＝12(m＋n)，b＝12(n－m)． ∴4a－2b＝2m＋2n－(n－m)＝3m＋n.
又 1≤m≤2,2≤n≤4， ∴5≤3m＋n≤10.
[自主解答]
∵x－
y
xy＋b－yx＋a ＝
x＋a y＋b x＋ay＋b
xy＋bx－xy－ay bx－ay
＝
＝
，
x＋ay＋b x＋ay＋b
又 bx>>ya>>00⇒x＋a>0，y＋b>0，bx>ay，
∴ bx－ay >0，即 x > y 成立．
x＋ay＋b
x＋a y＋b
三、考点分析，把脉高考
[冲关锦囊]
或
三、考点分析，把脉高考
b＞1a”成立，但条件 0＜ab＜1 不成立，因此“0＜ab＜1”不 是“a＜b1或 b＞1a”的必要条件；即“0＜ab＜1”是“a＜b1或 b＞1a”的充分而不必要条件．
(2)由 a2＋a<0，得 a<－a2，a2<－a，a≠0，所以 a<－a2<a2<
－a.
[答案] (过本节的复习你能掌握不等式的性质与 应用吗？
三、考点分析，把脉高考
考点一 比较大小 考点二 不等式性质 考点三 不等式性质的应用
三、考点分析，把脉高考
比较大小
[例 1] (2013·珠海模拟)已知 b>a>0，x>y>0，求证：x＋x a >y＋y b.
三、考点分析，把脉高考
四、当堂训练，针对点评
1．已知 a1，a2∈(0,1)，记 M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则 M 与 N
的大小关系是
()
A．M<N
B．M>N
C．M＝N
D．不确定
解析：由题意得 M－N＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)·(a2－1)>0，
三、考点分析，把脉高考
不等式的性质
[精析考题]
[例 2] (1)若 a，b 为实数，则“0＜ab＜1”是“a＜1b或 b＞1a”
的
()
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
三、考点分析，把脉高考
(2)(2013·福州三中模拟)如果 a∈R，且 a2＋a<0，那么 a，a2，