第六章不等式推理与证明第一节不等关系与不等式

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2018届高考数学一轮复习第六章不等式、推理与证明第一节不等关系与不等式学案文

第一节不等关系与不等式1.了解现实世界和日常生活中的不等关系． 2．了解不等式(组)的实际背景． 3．掌握不等式的性质及应用．知识点一两个实数比较大小 1．作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b>0⇔ab ，a －b ＝0⇔a b ，a －b<0⇔ab ；2．作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab>1⇔a R ，b，ab ＝1⇔a b a ∈R ，b，a b <1⇔a b a ∈R ，b答案1．> ＝ < 2.> ＝<1．判断正误(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a 1，则a >b .( ) 答案：(1)√ (2)×2．(必修⑤P75习题3.1A 组第2题改编)15－2________16－5(填“>”“<”或“＝”)．解析：分母有理化有15－2＝5＋2，16－5＝6＋5，显然5＋2<6＋5，所以15－2<16－5.答案：<知识点二不等式的性质 1．对称性：a >b ⇔b <a ； 2．传递性：a >b ，b >c ⇒______；3．可加性：a >b ⇔a ＋c ____b ＋c ，a >b ，c >d ⇒a ＋c ____b ＋d ； 4．可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ； 5．可乘方：a >b >0⇒a n____b n(n ∈N ，n ≥2)； 6．可开方：a >b >0⇒na >nb (n ∈N ，n ≥2)．答案2．a >c 3.> > 5.>3．判断正误(1)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( ) (2)一个非零实数越大，则其倒数就越小．( ) (3)同向不等式具有可加和可乘性．( ) (4)a >b >0，c >d >0⇒a d >b c.( ) (5)若ab >0，则a >b ⇔1a <1b.( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√4．设b <a ，d <c ，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a －c b ＋dD ．a ＋d >b ＋c解析：由同向不等式具有可加性可知C 正确．答案：C5．若－π2<α<β<π2，则α－β的取值范围是________．解析：由－π2<α<π2，－π2<－β<π2，α<β，得－π<α－β<0.答案：(－π，0)热点一比较两个数(式)的大小【例1】 (1)已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M <N B ．M >N C ．M ＝ND ．不确定(2)已知a >b >0，比较a a b b与a b b a的大小．【解析】 (1)∵M －N ＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝a 1(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 1－1)(a 2－1) 又a 1，a 2∈(0,1)，故(a 1－1)(a 2－1)>0，故M >N .(2)解：∵a a b b a b b a ＝a a －b b a －b ＝(a b)a －b，又a >b >0，故a b>1，a －b >0，∴(a b )a －b >1，即a a b ba b ba >1，又ab b a>0，∴a a b b>a b b a，∴a a b b与a b b a的大小关系为：a a b b>a b b a. 【答案】 (1)B (2)a a b b>a b b a(1)已知x ∈R ，m ＝(x ＋1)(x 2＋x 2＋1)，n ＝(x ＋12)(x 2＋x ＋1)，则m ，n 的大小关系为( )A ．m ≥nB ．m >nC ．m ≤nD ．m <n(2)若a ＝1816，b ＝1618，则a 与b 的大小关系为________．解析：(1)m ＝(x ＋1)(x 2＋x2＋1) ＝(x ＋1)(x 2＋x －x2＋1)＝(x ＋1)(x 2＋x ＋1)－x2(x ＋1)，n ＝(x ＋12)(x 2＋x ＋1)＝(x ＋1－12)(x 2＋x ＋1)＝(x ＋1)(x 2＋x ＋1)－12(x 2＋x ＋1)，∴m －n ＝(x ＋1)(x 2＋x 2＋1)－(x ＋12)(x 2＋x ＋1)＝12(x 2＋x ＋1)－12x (x ＋1)＝12>0.则有x ∈R 时，m >n 恒成立，故选B.(2)a b ＝18161618＝(1816)161162 ＝(98)16(12)16＝(982)16， ∵982∈(0,1)，∴(982)16<1. ∵1816>0,1618>0，∴1816<1618，即a b >0，c <d <0，则一定有( ) A.a c >b d B.a c b cD.a d －1c >0，又a >b >0，故由不等式性质，得－a d >－b c >0，所以a d <bc.【答案】 D考向2 不等式性质与函数性质的结合【例3】 (2016·北京卷)已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( ) A.1x －1y>0B ．sin x －sin y >0C ．(12)x －(12)y<0D ．ln x ＋ln y >0【解析】解法1：因为x >y >0，选项A ，取x ＝1，y ＝12，则1x －1y ＝1－2＝－1<0，排除A ；选项B ，取x ＝π，y ＝π2，则sin x －sin y ＝sin π－sin π2＝－1<0，排除B ；选项D ，取x ＝2，y ＝12，则ln x ＋ln y ＝ln(xy )＝ln1＝0，排除D.故选C.解法2：因为函数y ＝(12)x 在R 上单调递减，且x >y >0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫12y，即(12)x －(12)y <0，故选C.【答案】 C(1)若a ，b 为实数，则“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)若1a <1b<0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a 0，则b >0，a <1b 成立，如果a <0，则b <0，b >1a成立，因此“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a ”的充分条件；反之，若a ＝－1，b ＝2，结论“a <1b 或b >1a”成立，但条件0<ab <1不成立，因此“0<ab <1”不是“a <1b 或b >1a ”的必要条件．即“0<ab <1”是“a <1b或b >1a”的充分不必要条件．(2)因为1a <1b<0，所以b <a <0，a ＋b <0，ab >0，所以a ＋b <ab ，|a |<|b |，在b <a 两边同时乘以b ，因为b <0，所以ab 0，b 的符号不定，对于b >a ，两边同时乘以正数c ，不等号方向不变．答案：(1)A (2)C (3)D 热点三求取值范围【例4】已知－1<x <4,2<y <3，则x －y 的取值范围是________，3x ＋2y 的取值范围是________．【解析】 ∵－1<x <4,2<y <3. ∴－3<－y <－2，∴－4<x －y <2.由－1<x <4,2<y <3，得－3<3x <12,4<2y <6.∴1<3x ＋2y <18. 【答案】 (－4,2) (1,18)1．将本例条件改为－1<x <y <3，求x －y 的取值范围．解：∵－1<x <3，－1<y <3，∴－3<－y <1. ∴－4<x －y <4.① 又∵x <y ，∴x －y <0，②由①②得－4<x －y <0.故x －y 的取值范围为(－4,0)．2．若将本例条件改为“－1<x ＋y <4,2<x －y <3”，求3x ＋2y 的取值范围．解：设3x ＋2y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )．则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，m －n ＝2.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝52，n ＝12，即3x ＋2y ＝52(x ＋y )＋12(x －y )．又－1<x ＋y <4,2<x －y <3. ∴－52<52(x ＋y )<10,1<12(x －y )<32.∴－32<52(x ＋y )＋12(x －y )<232，即－32<3x ＋2y <232.故3x ＋2y 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，232.设实数x ，y 满足0<xy <4，且0<2x ＋2y <4＋xy ，则x ，y 的取值范围是( ) A ．x >2且y >2 B ．x <2且y <2 C ．0<x <2且0<y <2D ．x >2且0<y <2解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧xy >0，x ＋y >0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，由2x ＋2y －4－xy ＝(x －2)·(2－y )<0，得⎩⎪⎨⎪⎧x >2，y >2或⎩⎪⎨⎪⎧0<x <2，0<y <2，又xy <4，可得⎩⎪⎨⎪⎧0<x <2，0<y <2.答案：C1．洞察不等式的各个性质的结构特征，是寻找解题线索，启发解题思维的重要依据． 2．比较两数大小，一般运用作差法，具体步骤是：作差——变形——判断(与0比较)．3．判断不等式是否成立，一般可利用不等式性质、函数的单调性等进行推理，也可利用特殊值法对命题进行否定．易错警示——多次使用同向不等式的可加性致误【例】设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围是________．【错解】由⎩⎪⎨⎪⎧1≤f －，2≤f，得⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，①2≤a ＋b ≤4.②①＋②得32≤a ≤3.②－①得12≤b ≤1.由此得4≤f (－2)＝4a －2b ≤11. 所以f (－2)的取值范围是[4,11]．【答案】 [4,11]【错因分析】本题错解的主要原因是多次使用同向不等式的可加性而导致了f (－2)的范围扩大．【正解】解法1：设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)，(m ，n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )，即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b .于是得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，n －m ＝－2.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)．又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4.∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.解法2：由⎩⎪⎨⎪⎧f－＝a －b ，f ＝a ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f －＋f ，b ＝12[f－f －，∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)．又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.解法3：由⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4确定的平面区域如图阴影部分，当f (－2)＝4a －2b 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12时，取得最小值4×32－2×12＝5，当f (－2)＝4a －2b 过点B (3,1)时，取得最大值4×3－2×1＝10， ∴5≤f (－2)≤10. 【答案】 [5,10]解题策略：利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围．解决此类问题一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得待求整体的范围，是避免错误的有效途径．。

第一节---不等式的基本性质市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件

第六章不等式、推理与证明
[知识能否忆起] 1．实数大小顺序与运算性质之间旳关系 a－b＞0⇔ a＞b；a－b＝0⇔a＝b ；a－b＜0⇔ a＜b .
2．不等式旳基本性质
性质
性质内容
注意
对称性 a>b⇔ b<a
⇔
传递性 a>b，b>c⇒a>c
⇒
可加性 a>b⇒ a＋c>b＋c
⇒
可乘性
a>b⇒ ac>bc c>0 a>b⇒ ac<bc c<0
∴ad＜bc，故①错误． ∵a＞0＞b＞－a，∴a＞－b＞0，
∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，
∴a(－c)＞(－b)(－d)，
∴ac＋bd＜0，∴ad＋bc＝ac＋cdbd＜0，故②正确． ∵c＜d，∴－c＞－d， ∵a＞b，∴a＋(－c)＞b＋(－d)， a－c＞b－d，故③正确． ∵a＞b，d－c＞0，∴a(d－c)＞b(d－c)，故④正确，故选C. [答案] (1)A (2)C
＞|a|，即|a|＋b＜0，故②错误；③中，因为b＜a＜0，即0
＞a＞b，又因为
1 a
＜ 1b ＜0，所以a－ 1a ＞b－
1 b
，故③正确；
④中，因为b＜a＜0，根据y＝x2在(－∞，0)上为单调减函
数，可得b2＞a2＞0，而y＝ln x在定义域上为增函数，所以
ln b2＞ln a2，故④错误． [答案] C
答案： ②③
1.使用不等式性质时应注意旳问题：在使用不等式时，一定要搞清它们成立旳前提条件．不可强化或弱化成立旳条件．如“同向不等式”才可相加，“同向且两边同正旳不等式”才可相乘；可乘性中“c旳符号”等也需要注意． 2．作差法是比较两数(式)大小旳常用措施，也是证明不等式旳基本措施．要注意强化化归意识，同步注意函数性质在比较大小中旳作用．

高考一轮数学第六章第一节不等关系与不等式

能得出a>b＋1.因此，使a>b成立的充分不必要条件是 a>b＋1. [答案] A
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[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)
2．(2012· 潍坊模拟)设a，b∈R，若b－|a|>0，则下列不等式中正确的是 A．a－b>0 C．a2－b2>0 B．a＋b>0 D．a3＋b3<0 ( )
等式的基本方法．要注意强化化归意识，同时注意
函数性质在大小比较中的作用．返回
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[精析考题] [例1] 系为 x y A. > x＋a y＋b x y C. ＜ x＋a y＋b B. x y ≥ x＋a y＋b (2012· 珠海模拟)已知b>a>0，x>y>0，则： x y 与的大小关 x＋a y＋b ( )
序号都填上)．解析：①若c＝0则命题不成立．②正确．③中由2c>0知
成立．答案：②③
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1．不等式性质使用时注意的问题：
在使用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条
件．不可强化或弱化成立的条件．如“同向不等式” 才可相加、“同向且两边同正的不等式”才可相乘；可乘性中的“c的符号”等都需要注意． 2．作差法是比较两数(式)大小的常用方法，也是证明不
次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，要
特别注意．错因在于运用同向不等式相加这一性质时，不是等价变形，导致f(－2)的取值范围扩大．另外，本题也可用线性规划求解，题中a、b不是相互独立的，而是相互制约的，故不可分割开来．先建立待求范围的整体与已知范
围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等式关系的运
x3 所以 y4的最大值是27.
答案：A

第六章不等式、推理与证明

∴[f(x)]max＝－k＋120. 2 由g′(x)＝6x ＋10x＋4＝0，得x＝－1或x＝－3.
2
∵g(－3)＝－21，g(3)＝111，g(－1)＝－1，
2 28 －＝－， g 3 27
∴[g(x)]min＝－21.则120－k≤－21，解得k≥141. ∴实数k的取值范围是[141，＋∞)．
e2－2e ，＋∞. 的取值范围是 e－1
[点评]
利用不等式与函数和方程之间的联系，将问题
转化成一次函数或二次函数(二次方程)的问题研究，一般有下面几种类型：
1．一次函数型问题：利用一次函数的图象特点求解．对于一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)，x∈[m，n]，有
fm≥0， (1)f(x)≥0恒成立⇔ fn≥0. fm<0， (2)f(x)<0恒成立⇔ fn<0.
②f(x)>g(a)恒成立⇔g(a)<[f(x)]min.
[例2]
已知函数f(x)＝aln x＋x2，(a为实常数)．
(1)若a＝－2，求函数f(x)的单调区间； (2)若对任意的x∈[1，e]，使得f(x)≤(a＋2)x恒成立，求实数a的取值范围．
[思路点拨]
用导数法求解，利用函数单调性和最值解
值范围．
[思路点拨]
第(1)题求出F(x)＝g(x)－f(x)在x∈[－3,3]时的最
小值[F(x)]min，当[F(x)]min≥0时，求出实数k的取值范围；第(2)题由题意得[f(x)]max≤[g(x)]min，分别求出[f(x)]max及[g(x)]min，解不等式可得k的取值范围． [解] (1)令F(x)＝g(x)－f(x)＝2x3－3x2－12x＋k.

2015届高考数学总复习第六章第一节不等关系与不等式课时精练试题文(含解析)

第六章不等式、推理与证明第一节不等关系与不等式1．(2012·福州模拟)下列四个数中最大的是( )A ．(ln 2)2B ．ln(ln 2)C ．ln 2D ．ln 2解析：∵0<ln 2<1，∴ln(ln 2)<0，(ln 2)2< ln 2，而ln 2＝12ln 2<ln 2，∴最大的数是ln 2.故选D.答案：D2．(2013·汕头检测)已知a <0，－1ab >ab 2B ．ab 2>ab >aC ．ab >a >ab 2D ．ab >ab 2>a解析：∵a <0，－10，ab －ab 2＝ab (1－b )>0，∴ab >ab 2>a .也可利用特殊值法，取a ＝－2，b ＝－12，则ab 2＝－12，ab ＝1，从而ab >ab 2>a .故选D.答案：D3．(2013·东北三校高三第四次联考)若p ⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，y ＞1，Q ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＞2，xy ＞1，则p 是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当x ＞1且y ＞1时，由不等式的基本性质，能推出x ＋y ＞2，且x ·y ＞1.反过来取x ＝12，y ＝3，满足x ＋y ＞2，且x ·y ＞1，但推不出x ＞1且y ＞1.所以p 是q 成立的充分不必要条件.答案：A4．(2012·汕头质检)下列各式中错误的是( )A ．0.83>0.73B ．log 0.50.4>log 0.50.6C ．0.75－0.1<0.750.1D ．lg 1.6>lg 1.4解析：构造相应函数，再利用函数的性质解决．对于A ，构造幂函数y ＝x 3，为增函数，故A 正确；对于B ，D ，构造对数函数y ＝log 0.5x 为减函数，y ＝lg x 为增函数，B ，D 都正确；对于C ，构造指数函数y ＝0.75x，为减函数，故C 错误．答案：C5．(2013·全国新课标卷Ⅱ)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( ) A ．a >c >b B ．b >c >a C ．c >b >a D ．c >a >b解析：因为log 32＝1log 23<1，log 52＝1log 25<1，又log 23>1，所以c 最大．又1<log 23<log 25，所以1log 23>1log 25，即a >b ，所以c >a >b ，选D.答案：D6．(2012·湖南卷)设a ＞b ＞1，c ＜0，给出下列三个结论：①c a ＞c b；②a c ＜b c；③log b (a －c )＞log a (b －c )．其中所有的正确结论的序号是( )A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③解析：由不等式及a ＞b ＞1知1a ＜1b ，又c ＜0，所以c a ＞cb，①正确；由指数函数的图象与性质知②正确；由a ＞b ＞1，c ＜0知a －c ＞b －c ＞1－c ＞1，由对数函数的图象与性质知③正确．故选D.答案：D7．甲、乙两人同时驾车从A 地出发前往B 地，他们都以速度v 1或v 2行驶，在全程中，甲的时间速度关系如图甲，乙的路程速度关系如图乙，那么下列说法中正确的是( )A ．甲先到达B 地 B ．乙先到达B 地C ．甲乙同时到达B 地D ．无法确定谁先到达B 地答案：A8．如果a ＞b ，则下列各式正确的是________．①a ·lg x ＞b ·lg x (x ＞0)；②ax 2＞bx 2；③a 2＞b 2；④a ·2x ＞b ·2x.解析：当lg x ≤0时①错，当x ＝0时②错，当b ＜a ＜0时a 2＜b 2，③错，只有④正确．答案：④9．(2013·临沂模拟)若x >y ，a >b ，则在①a －x >b －y ，②a ＋x >b ＋y ，③ax >by ，④x －b >y －a ，⑤a y >bx这五个式子中，恒成立的所有不等式的序号是________．解析：令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2，符合题设条件x >y ，a >b ，∵a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5， ∴a －x ＝b －y ，因此①不成立．又∵ax ＝－6，by ＝－6，∴ax ＝by ，因此③也不正确．又∵a y ＝3－3＝－1，b x ＝2－2＝－1， ∴a y ＝bx，因此⑤不正确．由不等式的性质可推出②④成立．答案：②④ 10．设a ＝2－5，b ＝5－2，c ＝5－25，则a ，b ，c 之间的大小关系为______________．解析：a ＝2－5＝4－5＜0，∴b ＞0. c ＝5－25＝25－20＞0. b －c ＝35－7＝45－49＜0. ∴c ＞b ＞a . 答案：c ＞b ＞a11．已知a ＞2，b ＞2，试比较a ＋b 与ab 的大小．解析：∵ab －(a ＋b )＝(a －1)(b －1)－1，又a ＞2，b ＞2，∴a －1＞1，b －1＞1.∴(a －1)(b －1)＞1，(a －1)(b －1)－1＞0. ∴ab ＞a ＋b .12．(2013·锦州模拟)已知x ，y 为正实数，满足1≤lg xy ≤2,3≤lg x y≤4，求lg(x 4y 2)的取值范围．解析：设a ＝lg x ， b ＝lg y ，则lg (xy )＝a ＋b ，lg x y＝a －b ，lg(x 4y 2)＝4a ＋2b ，设4a ＋2b ＝m (a ＋b )＋n (a －b )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m －n ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.又∵3≤3(a ＋b )≤6,3≤a －b ≤4. ∴6≤4a ＋2b ≤10.即lg(x 4y 2)的取值范围为[6,10]．13．(2013·大庆调研)已知a ，b ，c ∈R ＋，且a 2＋b 2＝c 2，当n ∈N ，n >2时比较c n 与a n＋b n的大小．解析：∵a ，b ，c ∈R ＋，∴a n ，b n ，c n>0，而a n ＋b n cn ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n .∵a 2＋b 2＝c 2，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＝1，∴0<a c <1,02，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n <⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n <⎝ ⎛⎭⎪⎫b c2，∴a n＋b nc n＝⎝⎛⎭⎪⎫acn＋⎝⎛⎭⎪⎫bcn<a2＋b2c2＝1，∴a n＋b n<c n.。

不等关系与不等式课件

不等式性质的应用
[探究问题] 1．小明同学做题时进行如下变形： ∵2<b<3， ∴13<1b<12，又∵－6<a<8， ∴－2<ab<4. 你认为正确吗？为什么？
提示：不正确．因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变，但同乘以一个负数，不等号方向改变，在本题中只知道－6<a<8.不明确 a 值的正负．故不能将31<b1<21与－6<a<8 两边分别相乘，只有两边都是正数的同向不等式才能分别相乘．
2．由－6<a<8，－4<b<2，两边分别相减得－2<a－b<6，你认为正确吗？提示：不正确．因为同向不等式具有可加性与可乘性．但不能相减或相除，解题时要充分利用条件，运用不等式的性质进行等价变形，而不可随意 “创造”性质．
3．你知道下面的推理、变形错在哪儿吗？ ∵－2<a－b<4， ∴－4<b－a<－2. 又∵－2<a＋b<2， ∴0<a<3，－3<b<0， ∴－3<a＋b<3. 这怎么与－2<a＋b<2 矛盾了呢？
0<x≤18，
x15－2x≥110.
[规律方法] 1．此类问题的难点是如何正确地找出题中的显性不等关系和隐性不等关系． 2．当问题中同时满足几个不等关系，则应用不等式组来表示它们之间的不等关系，另外若问题有几个变量，选用几个字母分别表示这些变量即可．
3．用不等式(组)表示不等关系的步骤： (1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、不多于、不少于等． (2)适当的设未知数表示变量． (3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式．

不等关系与不等式ppt课件演示文稿

第五单元
不等式、推理与证明
第一节不等关系与不等式
基础梳理
1. 不等式的定义：用不等号≠、＞、＜、≥、≤ 连接两个数或代数式的式子叫做不等式. 2. 不等式的基本性质 (1)a＞b b＜a; (2)a>b,b>c a > c; (3)a>b a+c > b+c; (4)a>b,c>0 ac > bc; (5)a>b,c<0 ac＜bc; (6)a>b,c>d a+c > b+d; (7)a>b>0,c>d>0 ac > bd; > n b. (8)a>b>0,n∈N*,n>1 an > bn,n a ____
2
易错警示
【例】（2010· 辽宁）已知-1＜x+y＜4且2＜x-y＜3，则z=2x-3y的取值范围是（答案用区间表示）.
错解 ∵-1＜x+y＜4，① 2＜x-y＜3，② ∴-3＜-x+y＜-2,③ 1 7 由①+②得 2 ＜x＜2 ，由①+③得-2＜y＜1， ∴1＜2x＜7，-3＜-3y＜6,-2＜2x-3y＜13， ∴z的取值范围是（-2，13）.
变式3-1 已知- 2 ≤ a<b ≤ ，求 2 ， 2 的取值范围． 2 解析：∵- 2 ≤a< 2 ， ① - <b ≤ 2 ， ② ①+②得-p<a+b<p，∴- 2 < 2 < 2 . ∵- 2 <b ≤ 2 ，∴- 2 ≤ -b < 2 . ③ ①+③得-p≤a-b<p，∴- 2 ≤ < . 2 2 又a<b，∴ 2 <0，∴- ≤ 2 <0.

2014数学文补教案—第六章不等式与推理证明

第六章不等式、推理与证明【知识特点】（1）不等式应用十分广泛，是高中数学的主要工具，试题类型多、方法多、概念要求较高，特别是不等式性质的条件与结论，基本不等式的条件等。

（2）不等式的性质本身就是解题的手段和方法，要认真理解和体会不等式性质的条件与结论，并运用它去解题。

（3）一元二次不等式的解法及求解程序框图一定要在理解的基础上掌握，因为求解的程序框图就是求解的一般方法与步骤。

（4）二元一次不等式组与简单的线性规划是解决最优化问题的一个重要手段，但画图时一定要细心，然后求出目标函数的最值。

（5）基本不等式的条件是解题的关键，一定要认真体会，会运用基本不等式来证明或求解问题。

（6）推理与证明贯穿于每一个章节，是对以前所学知识的总结与归纳，概念较多，知识比较系统，逻辑性较强，在高中数学中有着特殊地位。

【重点关注】不等式、推理与证明的学习应立足基础，重在理解，加强训练，学会建模，培养能力，提高素质，因此在学习中应重点注意以下几点：（1）学习不等式性质时，要弄清条件与结论，要克服“想当然”和“显然成立”的思维定势，要以比较准则和实数的运算法则为依据解决问题。

（2）解某些不等式时，要与函数的定义域、值域、单调性联系起来，注重数形结合思想，解含参数不等式时要注重分类讨论的思想。

（3）利用基本不等式求最值时，要满足三个条件：一正，二定，三相等。

（4）要强化不等式的应用意识，同时要注意到不等式与函数和方程的对比与联系，充分利用函数方程思想、数形结合思想处理不等式问题。

（5）利用线性规划解决实际问题，充分利用数形结合思想，会达到事半功倍的效果，因此力求画图标准。

（6）深刻理解合情推理的含义，归纳解决这类问题的规律和方法，掌握分析法、综合法、反证法的证明过程和解题特点。

（7）合情推理中主要包括类比推理与归纳推理两种推理模式，类比、归纳的数学思想是在进行问题探讨、研究时常见的思想方法。

（8）数学归纳法是证明数列、等式、不等式的有效方法，证明问题时要注意充分利用归纳假设，同时注意项数的变化，在证明不等问题时，注意放缩、作差等方法的应用。

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∴4a－2b 的范围是[5,10]．
答案：[5,10]
三、考点分析，把脉高考
[冲关锦囊] 1．同向不等式相加或相乘不是等价变形，在解题过程中多次使用有可能扩大所求范围． 2．此类问题的解决方法是：先建立待求整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算求得待求整体的范围．
性质
性质内容
注意
对称性
a>b⇔ _b_<_a__
⇔
传递性
a>b，b>c⇒ _a_>_c__
⇒
可加性
a>b⇒ _a_＋__c_>_b_＋__c___
⇒
二、复习巩固，任务驱动
性质
性质内容
注意
可乘性
同向可加性同向同正可乘性
可乘方性可开方性
a>b ⇒ ac>bc c>0
a>b⇒ ac<bc c<0 a>b⇒ a＋c>b＋d c>d
a>b>0⇒ ac>bd c>d>0
a>b>0⇒ _a_n_>_b_n_ (n∈N，n≥2)
a>b>0⇒ n a>n b (n∈N，n≥2)
c的符号 ⇒ ⇒
同正
一、导学提示，自主复习
2.本节主要考点考点一比较大小考点二不等式性质考点三不等式性质的应用 3.自主复习三维设计P80-P81 第六章不等式、推理与证明第一节不等关系与不等式
比较大小的方法 (1)作差法：其一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，也可以先平方再作差． (2)作商法：其一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与 1 的大小；④结论． (3)特例法：若是选择题还可以用特殊值法比较大小，若是解答题，也可以用特殊值法探路．
－a，－a2 的大小关系是
()
A．a2>a>－a2>－a
B．a2>－a>a>－a2
C．－a>a2>a>－a2
D．－a>a2>－a2>a
[自主解答] (1)对于 0＜ab＜1，如果 a＞0，则 b＞0，a＜b1成
立，如果 a＜0，则 b＜0，b＞1a成立，因此“0＜ab＜1”是“a
＜b1或 b＞1a”的充分条件；反之，若 a＝－1，b＝2，结论“a＜b1
第一节不等关系与不等式（2课时）
一、导学提示，自主复习二、复习巩固，任务驱动三、考点分析，把脉高考四、当堂训练，针对点评五、课堂总结，布置作业
一、导学提示，自主复习
1.本节备考方向
第一节
不等关系与不等式
[备考方向要明了]
考什么 1.了解现实世界和日常生活中的不等关系． 2.了解不等式(组)的实际背景.
一、导学提示，自主复习
怎么考 1.从高考内容上来看，不等关系、不等式的性质及应用是命
题的热点． 2.着重突出考查对不等式性质的灵活运用，有时与充要性的
判断交汇命题，难度中、低档． 3.考查题型多为选择、填空题.
二、复习巩固，任务驱动
1．实数大小顺序与运算性质之间的关系 a－b＞0⇔ a＞b ；a－b＝0⇔a＝b ；a－b＜0⇔ a＜b . 2．不等式的基本性质
三、考点分析，把脉高考
不等式性质的应用 [例 3] 设实数 x，y 满足 3≤xy2≤8,4≤xy2≤9，则xy43的最大值是
A．27
B．3
()
81
C. [8自主解答]
令 a＝xy2，b＝xyD2.．72
则 3≤a≤8,4≤b≤9.
而xy43＝1a·b2＝ba2，
三、考点分析，把脉高考
∴18×42≤ba2≤92×13， ∴2≤ba2≤27. ∴yx43的最大值是 27.
三、考点分析，把脉高考
[冲关锦囊] 1．判断一个关于不等式的命题的真假时，先把要判断的命题与不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题的真假，当然判断的同时可能还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质． 2．特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法，在命题真假未定时，先用特殊值试试可以得到一些对命题的感性认识，如正好找到一组特殊值使命题不成立，则该命题为假命题．
[答案] A
三、考点分析，把脉高考
思考：
若 1≤a－b≤2,2≤a＋b≤4，则 4a－2b 的范围是 ________________________．
解析：令 m＝a－b，n＝a＋b，则 a＝12(m＋n)，b＝12(n－m)． ∴4a－2b＝2m＋2n－(n－m)＝3m＋n.
又 1≤m≤2,2≤n≤4， ∴5≤3m＋n≤10.
[自主解答]
∵x－
y
xy＋b－yx＋a ＝
x＋a y＋b x＋ay＋b
xy＋bx－xy－ay bx－ay
＝
＝
，
x＋ay＋b x＋ay＋b
又 bx>>ya>>00⇒x＋a>0，y＋b>0，bx>ay，
∴ bx－ay >0，即 x > y 成立．
x＋ay＋b
x＋a y＋b
三、考点分析，把脉高考
[冲关锦囊]
或
三、考点分析，把脉高考
b＞1a”成立，但条件 0＜ab＜1 不成立，因此“0＜ab＜1”不是“a＜b1或 b＞1a”的必要条件；即“0＜ab＜1”是“a＜b1或 b＞1a”的充分而不必要条件．
(2)由 a2＋a<0，得 a<－a2，a2<－a，a≠0，所以 a<－a2<a2<
－a.
[答案] (过本节的复习你能掌握不等式的性质与应用吗？
三、考点分析，把脉高考
考点一比较大小考点二不等式性质考点三不等式性质的应用
三、考点分析，把脉高考
比较大小
[例 1] (2013·珠海模拟)已知 b>a>0，x>y>0，求证：x＋x a >y＋y b.
三、考点分析，把脉高考
四、当堂训练，针对点评
1．已知 a1，a2∈(0,1)，记 M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则 M 与 N
的大小关系是
()
A．M<N
B．M>N
C．M＝N
D．不确定
解析：由题意得 M－N＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)·(a2－1)>0，
三、考点分析，把脉高考
不等式的性质
[精析考题]
[例 2] (1)若 a，b 为实数，则“0＜ab＜1”是“a＜1b或 b＞1a”
的
()
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
三、考点分析，把脉高考
(2)(2013·福州三中模拟)如果 a∈R，且 a2＋a<0，那么 a，a2，

第六章不等式推理与证明第一节不等关系与不等式

2018届高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 第一节 不等关系与不等式学案 文

第一节---不等式的基本性质市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件

高考一轮数学第六章 第一节 不等关系与不等式

第六章 不等式、推理与证明

2015届高考数学总复习 第六章 第一节不等关系与不等式课时精练试题 文(含解析)