【精选】高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明第1讲不等关系与不等式知能训练轻松闯关理北师大版
新高考数学一轮复习课件：第六章 不等式、推理与证明 第1节
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第六章 不等式、推理与证明
[变式探究] 将(2)中不等式改为ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)，求不等式的解集．
解 原不等式变为(ax－1)(x－1)<0，因为 a>0，所以 ax－1a(x－1)<0.
所以当
a>1
时，解集为1a<x<1；当
a＝1
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第六章 不等式、推理与证明
4．(2018·河南洛阳期末)若 a，b∈R，且 a>b，则下列不等式恒成立的是( C )
A．a2>b2
B．ab>1
C．2a>2b
D．lg(a－b)>0
解析 取a＝－1，b＝－2，排除A、B、D．
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第六章 不等式、推理与证明
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第六章 不等式、推理与证明
2．若1a<1b<0，则下列不等式：①a＋b<ab；②|a|>|b|；③a<b；④ab<b2 中，正确
高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 第1讲 不等关系与不等式分层演练直击高考 文
第1讲 不等关系与不等式1．“1≤x ≤4”是“1≤x 2≤16”的________条件．解析：由1≤x ≤4可得1≤x 2≤16，但由1≤x 2≤16可得1≤x ≤4或－4≤x ≤－1，所以“1≤x ≤4”是“1≤x 2≤16”的充分不必要条件．答案：充分不必要2．设集合S ＝{x |x >－2}，T ＝{x |x 2＋3x －4≤0}，则(∁R S )∪T ＝________． 解析：T ＝{x |－4≤x ≤1}，根据补集定义，∁R S ＝{x |x ≤－2}，所以(∁R S )∪T ＝{x |x ≤1}． 答案：(－∞，1]3．不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，所以Δ＝a 2－4×4>0，即a 2>16.所以a >4或a <－4.答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)4．(2018·扬州模拟)若a 1<a 2，b 1<b 2，则a 1b 1＋a 2b 2与a 1b 2＋a 2b 1的大小关系是________． 解析：作差可得(a 1b 1＋a 2b 2)－(a 1b 2＋a 2b 1)＝(a 1－a 2)·(b 1－b 2)，因为a 1<a 2，b 1<b 2，所以(a 1－a 2)(b 1－b 2)>0，即a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1.答案：a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 15．在R 上定义运算：x *y ＝x (1－y )．若不等式(x －y )*(x ＋y )<1对一切实数x 恒成立，则实数y 的取值范围是________．解析：由题意，知(x －y )*(x ＋y )＝(x －y )·[1－(x ＋y )]<1对一切实数x 恒成立，所以－x 2＋x ＋y 2－y －1<0对于x ∈R 恒成立．故Δ＝12－4×(－1)×(y 2－y －1)<0，所以4y2－4y －3<0，解得－12<y <32. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 6．(2018·信阳模拟)A 杯中有浓度为a 的盐水x 克，B 杯中有浓度为b 的盐水y 克，其中A 杯中的盐水更咸一些．若将A ，B 两杯盐水混合在一起，其咸淡的程度可用不等式表示为________．解析：依题意，知a >b ，将A ，B 两杯盐水混合后，盐水的浓度变为ax ＋by x ＋y，则有ax ＋by x ＋y >bx ＋by x ＋y ＝b ，ax ＋by x ＋y <ax ＋ay x ＋y ＝a ，故有b <ax ＋by x ＋y<a . 答案：b <ax ＋by x ＋y<a 7．如果关于x 的不等式5x 2－a ≤0的正整数解是1，2，3，4，那么实数a 的取值范围是________．解析：由5x 2－a ≤0，得－a 5≤x ≤ a 5， 而正整数解是1，2，3，4，则4≤ a 5＜5， 所以80≤a ＜125.答案：[80，125)8．(2018·苏北三市高三模拟)已知对于任意的x ∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x 2－2(a －2)x ＋a ＞0，则实数a 的取值范围是________．解析：记f (x )＝x 2－2(a －2)x ＋a ，令f (x )＝0，由题意得，Δ＝4(a －2)2－4a ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧f （1）≥0，f （5）≥0，Δ≥0，1≤a －2≤5，所以1＜a ＜4或4≤a ≤5，即实数a 的取值范围是(1，5]．答案：(1，5]9．(2018·盐城模拟)若－1<a ＋b <3，2<a －b <4，则2a ＋3b 的取值范围为________． 解析：设2a ＋3b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝－12.又因为－52<52(a ＋b )<152， －2<－12(a －b )<－1， 所以－92<52(a ＋b )－12(a －b )<132. 即－92<2a ＋3b <132. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，13210．当且仅当a ∈(m ，n )时，2－ax ＋x 21－x ＋x 2<3对x ∈R 恒成立，则m ＋n ＝________． 解析：因为1－x ＋x 2>0恒成立，所以原不等式等价于2－ax ＋x 2<3(1－x ＋x 2)，即2x 2＋(a －3)x ＋1>0恒成立．所以Δ＝(a －3)2－8<0，3－22<a <3＋2 2.依题意有m ＝3－22，n ＝3＋22，所以m ＋n ＝6.答案：611．若k ∈R ，求解关于x 的不等式x 22－x <（k ＋1）x －k 2－x. 解：不等式x 22－x ＜（k ＋1）x －k 2－x 可化为 x 2－（k ＋1）x ＋k 2－x＜0， 即(x －2)(x －1)(x －k )＞0.当k ＜1时，x ∈(k ，1)∪(2，＋∞)；当k ＝1时，x ∈(2，＋∞)；当1＜k ＜2时，x ∈(1，k )∪(2，＋∞)；当k ≥2时，x ∈(1，2)∪(k ，＋∞)．12．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．解：设该单位职工有n (n ∈N *)人，全票价为x 元，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元，则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34xn ，y 2＝45nx . 所以y 1－y 2＝14x ＋34xn －45nx ＝14x －120nx ＝14x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－n 5. 当n ＝5时，y 1＝y 2；当n ＞5时，y 1＜y 2；当n ＜5时，y 1＞y 2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，甲车队更优惠；少于5人时，乙车队更优惠．。
高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明第1讲不等关系与不等式文北师大版
40x＋90y≤1 000， 4x＋9y≤100，
x≥5，
则
y≥6，
x≥5， 即
y≥6，
x，y∈N*.
x，y∈N*.
考点二 不等式的性质(高频考点) 不等式的性质及其 应用是高考命题的热点．不等式性质的应 用是高考的常考点，常以选择题、填空题的形 式出现，题目 难度不大． 高考对不等式性质 的考查有以下三个命题角度： (1)判断 命题的真假； (2)与充 要条件相结合命题； (3)求代 数式的取值范围．
3．(必修 5 P74 练习 T3 改编)下列四个结论，正确的是( D ) ① a>b， c<d⇒ a－ c>b－ d； ② a>b>0， c<d<0⇒ ac>bd；
③
a>b>0⇒
3
3 a>
b；
④ a>b>0⇒a12 >b12. A．①②
C．①④
B．② ③ D．①③
解析：对于①，因为 a>b，c<d，所以－c>－d， 所以 a－c>b－d. 对于③，a>b>0，则3 a>3 b>0.
2．不等式中的倒数 性质 (1)a>b， ab>0⇒1a<1b； (2)a<0<b⇒1a<1b； (3)a>b>0， 0<c<d⇒ac >bd； (4)0<a<x<b 或 a<x<b<0⇒1b<1x<1a.
1．设非零实数 a，b 满足 a<b，则下列不等式中一定成立的
是( D )
A.1a>1b
B． ab<b2
规划问题 3．会从实际情境．
高考一轮数学第六章 第一节 不等关系与不等式
能得出a>b＋1.因此，使a>b成立的充分不必要条件是 a>b＋1. [答案] A
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[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)
2．(2012· 潍坊模拟)设a，b∈R，若b－|a|>0，则下列不 等式中正确的是 A．a－b>0 C．a2－b2>0 B．a＋b>0 D．a3＋b3<0 ( )
等式的基本方法．要注意强化化归意识，同时注意
函数性质在大小比较中的作用． 返回
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[精析考题] [例1] 系为 x y A. > x＋a y＋b x y C. ＜ x＋a y＋b B. x y ≥ x＋a y＋b (2012· 珠海模拟)已知b>a>0，x>y>0，则： x y 与 的大小关 x＋a y＋b ( )
序号都填上)． 解析：①若c＝0则命题不成立．②正确．③中由2c>0知
成立． 答案：②③
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1．不等式性质使用时注意的问题：
在使用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条
件．不可强化或弱化成立的条件．如“同向不等式” 才可相加、“同向且两边同正的不等式”才可相乘； 可乘性中的“c的符号”等都需要注意． 2．作差法是比较两数(式)大小的常用方法，也是证明不
次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，要
特别注意．错因在于运用同向不等式相加这一性质时，不 是等价变形，导致f(－2)的取值范围扩大．另外，本题也可 用线性规划求解，题中a、b不是相互独立的，而是相互制 约的，故不可分割开来．先建立待求范围的整体与已知范
围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等式关系的运
x3 所以 y4的最大值是27.
答案：A
高考数学一轮总复习第6章不等式推理与证明6.1不等关系与不等式课件理
)
A．－n<m<n<－m B．－n<m<－m<n
C．m<－n<－m<n D．m<－n<n<－m
解析 解法一：(取特殊值法)令 m＝－3，n＝2 分别代 入各选项检验即可．
解法二：m＋n<0⇒m<－n⇒n<－m，又由于 m<0<n，故 m<－n<n<－m 成立．
3．[ 2017·贵阳测试] 下列命题中，正确的是(
【变式训练 2】 若实数 x，y 满足 3≤xy2≤8,4≤xy2≤9， 则xy34的最大值是___2_7____．
解析 解法一：由 3≤xy2≤8,4≤xy2≤9，可知 x>0，y>0， 且18≤x1y2≤13，16≤xy42≤81，由性质 6，得 2≤xy34≤27，故xy34的 最大值是 27.
5.注意不等式性质中“⇒”与“⇔”的区别，如：a>b，
b>c⇒a>c，其中
a>c
不能推出a>b， b>c.
6.作商法比较大小时，要注意两式的符号.
板块三 启智培优·破译高考
易错警示系列 7——不等式性质应用不当致误
[2017·长春模拟]若1a<1b<0，则下列不等式：①a＋1 b<a1b；
解 设 3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，
则mm＋ －nn＝ ＝32， ，
∴m＝52， n＝21，
即 3x＋2y＝52(x＋y)＋12(x－y)，
又－1<x＋y<4,2<x－y<3，
∴－52<52(x＋y)<10,1<12(x－y)<32， ∴－32<52(x＋y)＋12(x－y)<223， 即－32<3x＋2y<223. 故 3x＋2y 的取值范围为－32，223.
高考数学(理)总复习备考指导课件：第六章 不等式、推理与证明 第1节 不等关系与不等式
网
典
络 构
【尝试解答】 ∵a＞0＞b，c＜d＜0，
例 探
建
究
· 览
∴ad＜0，bc＞0，则 ad＜bc，(1)错误．
· 提
全
知
局
由 a＞0＞b＞－a，知 a＞－b＞0，
能
策 略
又－c＞－d＞0，
高 考
指
体
导 ·
因此 a·(－c)＞(－b)·(－d)，即 ac＋bd＜0，
验 ·
备
高 考
∴ad＋bc＝ac＋cdbd＜0，故(2)正确．
网
典
络
例
构
探
建
究
· 览
3．(2013·北京高考)设 a，b，c∈R，且 a>b，则(
)
· 提
全
知
局
策
A．ac>bc
11 B.a<b
能 高
略
考
指 导
C．a2>b2
D．a3>b3
体 验
·
·
备
明
高 考
【解析】 当 c<0 时，ac>bc 不成立，故 A 不正确，当 a 考 情
自 ＝1，b＝－3 时，B、C 均不正确，故选 D.
明 考 情
自
主 落 实 · 固 基 础
显然 a－c＞b－d，∴(3)正确．
课
∵a＞b，d－c＞0，∴a(d－c)＞b(d－c)，∴(4)正确．
时 作
【答案】 (2)(3)(4)
业
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高三一轮总复习理科数学 ·（安徽专用）
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典
络
例
构
探
建
究
·
·
高考一轮总复习数学 第六章 第1讲 不等关系与不等式
)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 充分性：令 a＝－12，b＝－1，满足 0<ab<1，但推不出 b<1a，所以充分性不成立；必要性：令 a＝1，b＝0，满足 b<1a，但推不出 0<ab<1，所以必要性不成立．所以“0<ab<1”是“b<1a”的既不充分也不 必要条件．故选 D.
其中所有的正确结论的序号是( )
A．①
B．①②
C．②③
D．①②③
解析 对①，a>b>1，所以1a<1b.又因为 c<0，所以ac>bc，正确． ②幂函数 y＝xc，c<0 为减函数． 又因为 a>b>1，所以 ac<bc，正确． ③因为 a>b>1，c<0，所以－c>0，所以 a－c>b－c>1， 所以 logb(a－c)>loga(a－c)>loga(b－c)正确，故选 D.
第6章 不等式、推理与证明
第1讲 不等关系与不等式
1.了解现实世界和日常生活中的不等关系. 2.了解不等式组的实际背景. 3.掌握不等式的性质及应用.
板块一 知识梳理·自主学习
[必备知识] 考点 1 比较两个实数的大小 两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有 a－b>0⇔ a>b；a－b＝0⇔ a＝b ；a－b<0⇔ a<b .另外，若 b>0，则有ab>1⇔a>b；ab＝1⇔a＝b；ab<1⇔a<b. 考点 2 不等式的性质 1．对称性：a>b⇔b<a； 2．传递性：a>b，b>c⇔ a>c ； 3．可加性：a>b⇔a＋c > b＋c；a>b，c>d⇔a＋c > b＋d； 4．t;b>0，c>d>0⇒ac>bd； 5．可乘方：a>b>0⇒an > bn(n∈N，n≥2)；
2020高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明第1讲不等关系与不等式课件
用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式
子都为正数时，也可以先平方再作差．
(2)作商法 一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与 1 的大小；④结论(注意所比较的 两个数的符号)． 3．不等式的性质 (1)对称性：a>b⇔b<a；
a>c (2)传递性：a>b，b>c⇒________； > b＋d； > (3)同向可加性：a>b⇔a＋c______ b＋c；a>b，c>d⇒a＋c_____ < bc； (4)同向同正可乘性： a>b， c>0⇒ac>bc； a>b， c<0⇒ac______ a>b>0， c>d>0
第六章
不等式 推理与证明
第一讲 不等关系与不等式
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知识梳理双基自测 考点突破互动探究 名师讲坛素养提升
知识梳理双基自测
1．实数的大小与运算性质的关系 a－b>0 ； (1)a>b⇔________ －b＝0 ； (2)a＝b⇔a ________ a－b<0 (3)a<b⇔________. 2．比较大小的常用方法： (1)作差法 一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采
1y －(2) <0，故选 C． (3)由函数 y＝lgx 的单调性知 lga>lgb⇔a>b>0⇒ a> b，但 a> b 如 a＝1，b＝0.故选 B． lga>lgb，
考点3 不等式性质的应用——多维探究
角度1 应用性质研究不等式是否成立 (2018 例· 3课标Ⅲ，12)设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则( B)
高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 第一节
第一节 不等关系与不等式1.了解现实世界和日常生活中的不等关系． 2．了解不等式(组)的实际背景． 3．掌握不等式的性质及应用．知识点一 两个实数比较大小 1．作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b>0⇔ab ，a －b＝0⇔a b ，a －b<0⇔ab ；2．作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab>1⇔a b a∈R ，b >0，ab ＝1⇔a b a ∈R ，b >0，a b <1⇔a b a ∈R ，b >0.答案1．> ＝ < 2.> ＝ <1．判断正误(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a <b 三种关系中的一种．( ) (2)若a b>1，则a >b .( ) 答案：(1)√ (2)×2．(必修⑤P75习题3.1A 组第2题改编)15－2________16－5(填“>”“<”或“＝”)．解析：分母有理化有15－2＝5＋2，16－5＝6＋5，显然5＋2<6＋5，所以15－2<16－5.答案：<知识点二 不等式的性质 1．对称性：a >b ⇔b <a ； 2．传递性：a >b ，b >c ⇒______；3．可加性：a >b ⇔a ＋c ____b ＋c ，a >b ，c >d ⇒a ＋c ____b ＋d ； 4．可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ； 5．可乘方：a >b >0⇒a n____b n(n ∈N ，n ≥2)； 6．可开方：a >b >0⇒na >nb (n ∈N ，n ≥2)．答案2．a >c 3.> > 5.>3．判断正误(1)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( ) (2)一个非零实数越大，则其倒数就越小．( ) (3)同向不等式具有可加和可乘性．( ) (4)a >b >0，c >d >0⇒a d >b c.( ) (5)若ab >0，则a >b ⇔1a <1b.( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√4．设b <a ，d <c ，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．a －c <b －d B ．ac <bd C ．a ＋c >b ＋dD ．a ＋d >b ＋c解析：由同向不等式具有可加性可知C 正确． 答案：C5．若－π2<α<β<π2，则α－β的取值范围是________．解析：由－π2<α<π2，－π2<－β<π2，α<β，得－π<α－β<0.答案：(－π，0)热点一 比较两个数(式)的大小【例1】 (1)已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M <N B ．M >N C ．M ＝ND ．不确定(2)已知a >b >0，比较a a b b与a b b a的大小．【解析】 (1)∵M －N ＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝a 1(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 1－1)(a 2－1) 又a 1，a 2∈(0,1)，故(a 1－1)(a 2－1)>0，故M >N .(2)解：∵a a b b a b b a ＝a a －b b a －b ＝(a b)a －b，又a >b >0，故a b>1，a －b >0，∴(a b )a －b >1，即a a b ba b ba >1， 又ab b a>0，∴a a b b>a b b a，∴a a b b与a b b a的大小关系为：a a b b>a b b a. 【答案】 (1)B (2)a a b b>a b b a【总结反思】 比较大小的常用方法 (1)作差法：一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差． (2)作商法：一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论．(3)函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系.(1)已知x ∈R ，m ＝(x ＋1)(x 2＋x 2＋1)，n ＝(x ＋12)(x 2＋x ＋1)，则m ，n 的大小关系为( )A ．m ≥nB ．m >nC ．m ≤nD ．m <n(2)若a ＝1816，b ＝1618，则a 与b 的大小关系为________． 解析：(1)m ＝(x ＋1)(x 2＋x2＋1) ＝(x ＋1)(x 2＋x －x2＋1)＝(x ＋1)(x 2＋x ＋1)－x2(x ＋1)，n ＝(x ＋12)(x 2＋x ＋1)＝(x ＋1－12)(x 2＋x ＋1)＝(x ＋1)(x 2＋x ＋1)－12(x 2＋x ＋1)，∴m －n ＝(x ＋1)(x 2＋x 2＋1)－(x ＋12)(x 2＋x ＋1)＝12(x 2＋x ＋1)－12x (x ＋1)＝12>0.则有x ∈R 时，m >n 恒成立，故选B.(2)a b ＝18161618＝(1816)161162 ＝(98)16(12)16＝(982)16， ∵982∈(0,1)，∴(982)16<1. ∵1816>0,1618>0，∴1816<1618，即a <b . 答案：(1)B (2)a <b 热点二 不等式的性质考向1 利用不等式的性质比较大小【例2】 若a >b >0，c <d <0，则一定有( ) A.a c >b d B.a c <b d C.a d >b cD.a d <b c【解析】 由c <d <0⇒－1d >－1c >0，又a >b >0，故由不等式性质，得－a d >－b c >0，所以a d <bc.【答案】 D考向2 不等式性质与函数性质的结合【例3】 (2016·北京卷)已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( ) A.1x －1y>0B ．sin x －sin y >0C ．(12)x －(12)y<0D ．ln x ＋ln y >0【解析】 解法1：因为x >y >0，选项A ，取x ＝1，y ＝12，则1x －1y ＝1－2＝－1<0，排除A ；选项B ，取x ＝π，y ＝π2，则sin x －sin y ＝sinπ－sin π2＝－1<0，排除B ；选项D ，取x ＝2，y ＝12，则ln x ＋ln y ＝ln(xy )＝ln1＝0，排除D.故选C.解法2：因为函数y ＝(12)x 在R 上单调递减，且x >y >0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫12y，即(12)x －(12)y <0，故选C.【答案】 C 【总结反思】(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等.(1)若a ，b 为实数，则“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)若1a <1b<0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④ab <b 2中，正确的不等式有( ) A ．①② B ．②③ C ．①④ D ．③④(3)已知a <b <c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式恒成立的是( ) A ．a 2<b 2<c 2B ．a |b |<c |b |C ．ba <caD ．ca <cb解析：(1)对于0<ab <1，如果a >0，则b >0，a <1b 成立，如果a <0，则b <0，b >1a成立，因此“0<ab <1”是“a <1b 或b >1a ”的充分条件；反之，若a ＝－1，b ＝2，结论“a <1b 或b >1a”成立，但条件0<ab <1不成立，因此“0<ab <1”不是“a <1b 或b >1a ”的必要条件．即“0<ab <1”是“a <1b或b >1a”的充分不必要条件．(2)因为1a <1b<0，所以b <a <0，a ＋b <0，ab >0，所以a ＋b <ab ，|a |<|b |，在b <a 两边同时乘以b ，因为b <0，所以ab <b 2.因此正确的是①④.(3)因为a <b <c 且a ＋b ＋c ＝0，所以a <0，c >0，b 的符号不定，对于b >a ，两边同时乘以正数c ，不等号方向不变．答案：(1)A (2)C (3)D 热点三 求取值范围【例4】 已知－1<x <4,2<y <3，则x －y 的取值范围是________，3x ＋2y 的取值范围是________．【解析】 ∵－1<x <4,2<y <3. ∴－3<－y <－2，∴－4<x －y <2.由－1<x <4,2<y <3，得－3<3x <12,4<2y <6.∴1<3x ＋2y <18. 【答案】 (－4,2) (1,18)1．将本例条件改为－1<x <y <3，求x －y 的取值范围． 解：∵－1<x <3，－1<y <3，∴－3<－y <1. ∴－4<x －y <4.① 又∵x <y ，∴x －y <0，②由①②得－4<x －y <0.故x －y 的取值范围为(－4,0)．2．若将本例条件改为“－1<x ＋y <4,2<x －y <3”，求3x ＋2y 的取值范围． 解：设3x ＋2y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )．则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，m －n ＝2.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝52，n ＝12，即3x ＋2y ＝52(x ＋y )＋12(x －y )．又－1<x ＋y <4,2<x －y <3. ∴－52<52(x ＋y )<10,1<12(x －y )<32.∴－32<52(x ＋y )＋12(x －y )<232，即－32<3x ＋2y <232.故3x ＋2y 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，232.【总结反思】由a <f (x ，y )<b ，c <g (x ，y )<d ，求F (x ，y )的取值范围，可利用待定系数法解决，即设F (x ，y )＝mf (x ，y )＋ng (x ，y )(或其他形式)，通过恒等变形求得m ，n 的值，再利用不等式的同向可加和同向同正可乘的性质求得F (x ，y )的取值范围.设实数x ，y 满足0<xy <4，且0<2x ＋2y <4＋xy ，则x ，y 的取值范围是( ) A ．x >2且y >2 B ．x <2且y <2 C ．0<x <2且0<y <2 D ．x >2且0<y <2解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧xy >0，x ＋y >0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，由2x ＋2y －4－xy ＝(x －2)·(2－y )<0，得⎩⎪⎨⎪⎧x >2，y >2或⎩⎪⎨⎪⎧0<x <2，0<y <2，又xy <4，可得⎩⎪⎨⎪⎧0<x <2，0<y <2.答案：C1．洞察不等式的各个性质的结构特征，是寻找解题线索，启发解题思维的重要依据． 2．比较两数大小，一般运用作差法，具体步骤是：作差——变形——判断(与0比较)．3．判断不等式是否成立，一般可利用不等式性质、函数的单调性等进行推理，也可利用特殊值法对命题进行否定．易错警示——多次使用同向不等式的可加性致误【例】 设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围是________．【错解】 由⎩⎪⎨⎪⎧1≤f －1≤2，2≤f 1≤4，得⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，①2≤a ＋b ≤4.②①＋②得32≤a ≤3.②－①得12≤b ≤1.由此得4≤f (－2)＝4a －2b ≤11. 所以f (－2)的取值范围是[4,11]． 【答案】 [4,11]【错因分析】 本题错解的主要原因是多次使用同向不等式的可加性而导致了f (－2)的范围扩大．【正解】 解法1：设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)，(m ，n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )，即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b .于是得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，n －m ＝－2.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4.∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.解法2：由⎩⎪⎨⎪⎧f－1＝a －b ，f 1＝a ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f －1＋f 1]，b ＝12[f1－f －1]，∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.解法3：由⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4确定的平面区域如图阴影部分，当f (－2)＝4a －2b 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12时，取得最小值4×32－2×12＝5，当f (－2)＝4a －2b 过点B (3,1)时， 取得最大值4×3－2×1＝10， ∴5≤f (－2)≤10. 【答案】 [5,10]解题策略：利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围．解决此类问题一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得待求整体的范围，是避免错误的有效途径．。
高考数学一轮复习 第6章 不等式 第1讲 不等关系与不等式的性质及一元二次不等式讲义 理(含解析)-
第六章不等式第1讲不等关系与不等式的性质及一元二次不等式[考纲解读] 1.不等式性质是进行变形、证明、解不等式的依据，掌握不等式关系与性质及比较大小的常用方法：作差法与作商法．(重点)2.能从实际情景中抽象出一元二次不等式模型，通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数，一元二次方程之间的联系，能解一元二次不等式．(重点、难点)[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点内容，但一般不会单独命题．预测2020年将会考查：利用不等式的性质判断结论的成立性，求参数的取值X围；一元二次不等式的解法，对含参数的二次不等式的分类讨论等．命题时常将不等式与函数的单调性相结合．试题一般以客观题的形式呈现，属中、低档题型.1．两个实数比较大小的依据2．不等式的基本性质3．必记结论 (1)a >b ，ab >0⇒1a <1b.(2)a <0<b ⇒1a <1b.(3)a >b >0,0<c <d ⇒a c >b d. (4)0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a.(5)若a >b >0，m >0，则b a <b ＋ma ＋m； b a >b －m a －m (b －m >0)；a b >a ＋m b ＋m ； a b <a －m b －m(b －m >0)． 4．一元二次函数的三种形式(1)一般式：□01y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． (2)顶点式：□02y ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a (a ≠0)． (3)两根式：□03y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 5．三个二次之间的关系1．概念辨析(1)a＞b⇔ac2＞bc2.( )(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.( )(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( )(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.()答案(1)×(2)√(3)×(4)×2．小题热身(1)设集合M＝{x|x2－3x－4<0}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N等于( )A ．(0,4]B ．[0,4)C ．[－1,0)D ．(－1,0] 答案 B解析 因为M ＝{x |－1<x <4}，N ＝{x |0≤x ≤5}，所以M ∩N ＝[0,4)． (2)已知a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列选项中一定成立的是( ) A ．ab >ac B ．c (b －a )<0 C ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )>0 答案 A解析 因为c <b <a ，且ac <0，所以a >0，c <0.b 的符号不确定，b －a <0，a －c >0，据此判断A 成立，B ，C ，D 不一定成立．(3)设M ＝2a (a －2)，N ＝(a ＋1)(a －3)，则有( ) A ．M >N B ．M ≥N C ．M <N D ．M ≤N 答案 A解析 M －N ＝2a (a －2)－(a ＋1)(a －3)＝a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2>0，故M >N . (4)已知函数f (x )＝ax 2＋ax －1，若对任意实数x ，恒有f (x )≤0，则实数a 的取值X 围是________．答案 [－4,0]解析 当a ＝0时，f (x )＝－1≤0成立， 当a ≠0时，若对∀x ∈R ，f (x )≤0，须有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4×a ×－1≤0，a <0，解得－4≤a ＜0.综上知，实数a 的取值X 围是[－4,0]．题型 一 不等式性质的应用1．若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a c ＞b d B.a c ＜b d C.a d ＞b c D.a d ＜b c答案 D 解析 解法一：⎭⎪⎬⎪⎫c ＜d ＜0⇒cd ＞0 c ＜d ＜0⇒⎭⎪⎬⎪⎫c cd ＜d cd ＜0⇒1d ＜1c ＜0⇒－1d ＞－1c ＞0 a ＞b ＞0⇒－a d ＞－b c ⇒a d ＜b c .故选D. 解法二：依题意取a ＝2，b ＝1，c ＝－2，d ＝－1， 代入验证得A ，B ，C 均错误，只有D 正确．故选D.2．已知等比数列{a n }中，a 1>0，q >0，前n 项和为S n ，则S 3a 3与S 5a 5的大小关系为________．答案S 3a 3<S 5a 5解析 当q ＝1时，S 3a 3＝3，S 5a 5＝5，所以S 3a 3<S 5a 5. 当q >0且q ≠1时，S 3a 3－S 5a 5＝a 11－q 3a 1q 21－q －a 11－q 5a 1q 41－q ＝q 21－q 3－1－q 5q 41－q ＝－q －1q 4<0，所以S 3a 3<S 5a 5.综上可知S 3a 3<S 5a 5.3．已知二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且1≤f (－1)≤2,3≤f (1)≤4，求f (－2)的取值X 围．解 由题意知f (x )＝ax 2＋bx ，则f (－2)＝4a －2b ， 由f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，设存在实数x ，y ，使得4a －2b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )， 即4a －2b ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，所以f (－2)＝4a －2b ＝(a ＋b )＋3(a －b )． 又3≤a ＋b ≤4,3≤3(a －b )≤6，所以6≤(a ＋b )＋3(a －b )≤10， 即f (－2)的取值X 围是[6,10]．1．判断不等式是否成立的方法(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．(2)在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断．2．比较两个数(式)大小的两种方法3．求代数式的取值X 围利用不等式性质求某些代数式的取值X 围时，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体X 围，是避免错误的有效途径．如举例说明3.1．若1a <1b <0，给出下列不等式：①1a ＋b <1ab ；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b ；④ln a 2>ln b 2.其中正确的不等式是( )A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④ 答案 C解析 因为1a <1b <0，所以b <a <0，|b |>|a |，所以|a |＋b <0，ln a 2<ln b 2，由a >b ，－1a>－1b 可推出a －1a >b －1b ，显然有1a ＋b <0<1ab，综上知，①③正确，②④错误． 2．若a >0，且a ≠7，则( ) A ．77a a<7a a 7B ．77a a ＝7a a 7C ．77a a >7a a 7D ．77a a与7a a 7的大小不确定 答案 C解析 显然77a a>0,7a a 7>0，因为77a a7a a 7＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 7a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7·⎝ ⎛⎭⎪⎫7a －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a.当a >7时，0<7a <1,7－a <0，⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a>1，当0<a <7时，7a>1,7－a >0，⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a>1. 综上知77a a>7a a 7.3．若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值X 围是________． 答案 (－3,3)解析 ∵－4<β<2，∴0≤|β|<4，∴－4<－|β|≤0. ∴－3<α－|β|<3.题型 二 不等式的解法1．函数f (x )＝1ln －x 2＋4x －3的定义域是( )A ．(－∞，1)∪(3，＋∞) B．(1,3) C ．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(1,2)∪(2,3) 答案 D解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x －3>0，ln －x 2＋4x －3≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0，x 2－4x ＋4≠0.解得1<x <3且x ≠2，所以函数f (x )的定义域为(1,2)∪(2,3)． 2．解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )． 解 本题采用分类讨论思想． 原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0.①当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x ≤－1.②当a >0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0，解得x ≥2a或x ≤－1.③当a <0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.当2a >－1，即a <－2时，解得－1≤x ≤2a；当2a ＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1满足题意； 当2a<－1，即0>a >－2，解得2a≤x ≤－1.综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}；当a >0时，不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≥2a或x ≤－1；当－2<a <0时，不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2a≤x ≤－1；当a ＝－2时，不等式的解集为{－1}； 当a <－2时，不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－1≤x ≤2a .条件探究 把举例说明2中的不等式改为“ax 2－(a ＋1)x ＋1<0，a ∈R ”，如何解答？ 解 若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1.若a <0，则原不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)>0，解得x <1a或x >1.若a >0，原不等式等价于⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0.①当a ＝1时，1a＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0无解；②当a >1时，1a <1，解⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0得1a<x <1；③当0<a <1时，1a>1，解⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0得1<x <1a.综上所述，当a <0时，解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x <1a或x >1；当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1<x <1a ；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1a<x <1.1．解一元二次不等式的四个步骤2．分式不等式的解法求解分式不等式的关键是对原不等式进行恒等变形，转化为整式不等式(组)求解． (1)f xg x>0(<0)⇔f (x )·g (x )>0(<0)；如巩固迁移2.(2)f xg x ≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f x ·g x ≥0≤0，g x ≠0.1．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( ) A.52 B.72 C.154 D.152 答案 A解析 由条件知x 1，x 2为方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2.故(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a )2－4×(－8a 2)＝36a 2＝152，得a ＝52，故选A.2．不等式2x ＋1x －5≥－1的解集为________．答案 {x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤43或x >5解析 将原不等式移项通分得3x －4x －5≥0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧3x －4x －5≥0，x －5≠0，解得x ≤43或x >5.∴原不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤43或x >5.题型 三 二次不等式中的任意性与存在性角度1 任意性与存在性1．(1)若关于x 的不等式x 2－ax －a ＞0的解集为(－∞，＋∞)，某某数a 的取值X 围； (2)若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，某某数a 的取值X 围． 解 (1)设f (x )＝x 2－ax －a ，则关于x 的不等式x 2－ax －a ＞0的解集为(－∞，＋∞)⇔f (x )＞0在(－∞，＋∞)上恒成立⇔f (x )min ＞0，即f (x )min ＝－4a ＋a24＞0，解得－4＜a ＜0(或用Δ<0)．(2)设f (x )＝x 2－ax －a ，则关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集⇔f (x )≤－3在(－∞，＋∞)上能成立⇔f (x )min ≤－3，即f (x )min ＝－4a ＋a24≤－3，解得a ≤－6或a ≥2.角度2 给定区间上的任意性问题2．(1)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值X 围是________．(2)设函数f (x )＝mx 2－mxx ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值X 围． 答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 (2)见解析解析 (1)要满足f (x )＝x 2＋mx －1＜0对于任意x ∈[m ，m ＋1]恒成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧ f m ＜0，f m ＋1＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2m 2－1＜0，m ＋12＋m m ＋1－1＜0，解得－22＜m ＜0.(2)要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：解法一：令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)，即7m －6<0，所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)，即m －6<0，所以m <6，所以m <0.综上所述，m 的取值X 围是{m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫m <67.解法二：因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．所以m 的取值X 围是{m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫m <67.角度3 给定参数X 围的恒成立问题3．已知a ∈[－1,1]时不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则x 的取值X 围为()A ．(－∞，2)∪(3，＋∞)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞)C ．(－∞，1)∪(3，＋∞)D ．(1,3)答案 C解析 把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，则由f (a )＞0对于任意的a ∈[－1,1]恒成立，所以f (－1)＝x 2－5x ＋6＞0，且f (1)＝x 2－3x ＋2＞0即可，解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－5x ＋6＞0，x 2－3x ＋2＞0，得x ＜1或x ＞3.故选C.形如f (x )≥0(f (x )≤0)恒成立问题的求解思路(1)x ∈R 的不等式确定参数的X 围时，结合二次函数的图象，利用判别式来求解． (2)x ∈[a ，b ]的不等式确定参数X 围时，①根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于0，从而求参数的X 围；②数形结合，利用二次函数在端点a ，b 处的取值特点确定不等式求X 围．如举例说明2.(3)已知参数m ∈[a ，b ]的不等式确定x 的X 围，要注意变换主元，一般地，知道谁的X围，就选谁当主元，求谁的X 围，谁就是参数．如举例说明3.1．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值X 围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞ 解析 由Δ＝a 2＋8>0，知方程x 2＋ax －2＝0恒有两个不等实数根，又知两根之积为负，所以方程x 2＋ax －2＝0必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)>0，解得a >－235，故a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞. 2．函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，某某数a 的取值X 围；(2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，某某数a 的取值X 围； (3)当a ∈[4,6]时，f (x )≥0恒成立，某某数x 的取值X 围．解 (1)∵当x ∈R 时，x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0，∴实数a 的取值X 围是[－6,2]．(2)当x ∈[－2,2]时，设g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ≥0，分如下三种情况讨论(如图所示)： ①如图1，当g (x )的图象恒在x 轴上方且满足条件时，有Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即－6≤a ≤2.②如图2，g (x )的图象与x 轴有交点，但当x ∈[－2，＋∞)时，g (x )≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，x ＝－a 2≤－2，g －2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－43－a ≥0，－a 2≤－2，4－2a ＋3－a ≥0， 可得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－6，a ≥4，a ≤73，解得a ∈∅. ③如图3，g (x )的图象与x 轴有交点，但当x ∈(－∞，2]时，g (x )≥0. 即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，x ＝－a 2≥2，g 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－43－a ≥0，－a 2≥2，7＋a ≥0， 可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥2或a ≤－6，a ≤－4，a ≥－7.∴－7≤a ≤－6.综上，实数a 的取值X 围是[－7,2]．(3)令h (a )＝xa ＋x 2＋3.当a ∈[4,6]时，h (a )≥0恒成立．只需⎩⎪⎨⎪⎧ h 4≥0，h 6≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4x ＋3≥0，x 2＋6x ＋3≥0，解得x ≤－3－6或x ≥－3＋ 6.∴实数x 的取值X 围是(－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞)．。
高考数学一轮复习 第6章 不等式、推理与证明 第1讲 不等关系与不等式课件 理 北师大版
C．a＋b>0
D．a－b<0
2．已知 a，b 是实数，则“a>0 且 b>0”是“a＋b>0 且 ab>0”
的( C )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
a>0， a＋b>0，
解析：
⇒
又当 ab>0 时，a 与 b 同号，由 a
b>0 ab>0.
40x＋90y≤1 000， 4x＋9y≤100，
x≥5，
则
y≥6，
x≥5， 即
y≥6，
x，y∈N*.
x，y∈N*.
考点二 不等式的性质(高频考点) 不等式的性质及其 应用是高考命题的热点．不等式性质的应 用是高考的常考点，常以选择题、填空题的形 式出现，题目 难度不大． 高考对不等式性质 的考查有以下三个命题角度： (1)判断 命题的真假； (2)与充 要条件相结合命题； (3)求代 数式的取值范围．
第六章 不等式、推理与证明
栏目 导引
解析：(1)A：取 a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，可知 A 错 误；B：当 c<0 时，ac>bc⇒a<b，所以 B 错误；C：因为ca2<cb2， 所以 c≠0，又 c2>0，所以 a<b，C 正确；D：取 a＝c＝2，b ＝d＝1，可知 D 错误，故选 C. (2)因为－4<β<2，所以 0≤|β|<4. 所以－4<－|β|≤0. 所以－3<α－|β|<3.
A．x－y＞0
B．x＋y＜0
C．x－y＜0
D．x＋y＞0
解析：(1)当 q＝1 时，Sa33＝3，Sa55＝5， 所以Sa33<Sa55； 当 q>0 且 q≠1 时，Sa33－Sa55＝aa11q（2（1－1－q3q））－aa11q（4（1－1－q5q））＝ q2（1－q4q（3）1－ －（ q）1－q5）＝－qq－4 1<0，所以有Sa33<Sa55.综上可知
2020版高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明第1讲不等关系与不等式课件
B．②③ D．①③
[解析] 利用不等式的同向可加性可知①正确；对②根据不等式的性质可知 ac<bd，故②不正确；因为函数 y＝x13是单调递增的，所以④正确；当 a＝2，b＝ －1 时，a>b，但1a>1b，故③不正确，故选 C．
2．下面的推理过程 ac>>db⇒⇒bacc>>bbdc⇒ac>bd⇒ad>bc，其中四个“⇒”中错误之处
(2)作商法 一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与 1 的大小；④结论(注意所比较的 两个数的符号)． 3．不等式的性质 (1)对称性：a>b⇔b<a； (2)传递性：a>b，b>c⇒__a_>_c____； (3)同向可加性：a>b⇔a＋c__>____b＋c；a>b，c>d⇒a＋c__>___b＋d； (4)同向同正可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac___<___bc；a>b>0，c>d>0 ⇒ac>bd； (5)可乘方性：a>b>0⇒an___>_____bn(n∈N，n≥2)；
又∵a<β，∴α－β<0，从而－32π<α－β<0.
5．(教材改编)已知 a<b<0，c>0，在下列空白处填上恰当的不等号： ①若 ad>bd，则 d_____<___0； ②(a－2)c__<______(b－2)c； ③ |a|_____>___ |b|； ④ac_____>___bc.
6．(教材改编)
[引申]本例(2)的条件下 aabb____>____(ab)a＋2 b.
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第1讲 不等关系与不等式
1．(2016·安徽省淮北一模)设a ＝30.5，b ＝log 32，c ＝cos 2，则( )
A ．c <b <a
B ．c <a <b
C ．a <b <c
D ．b <c ＜a 解析：选A.由题意知a ＝30.5>30＝1，b ＝log 32，
因为1<2<3，所以0<b <1.
又因为π2<2<π，所以c ＝cos 2<0，所以c <b <a . 2．(2016·石家庄质检)如果a <b <0，那么下列不等式成立的是( ) A ．－1a <－1b B ．ab <b 2 C ．－ab <－a 2 D ．|a |<|b | 解析：选A.利用作差法逐一判断．因为1b －1a ＝a －b ab <0，所以－1a <－1b ，A 正确；因为ab －b 2＝b (a －b )>0，所以ab >b 2，B 错误；因为ab －a 2＝a (b －a )<0，所以－ab >－a 2，C 错误；a <b <0⇒|a |>|b |，D 错误，故选A. 3．(2016·江西省重点中学盟校联考)已知a >0且a ≠1，则“a b >1”是“(a －1)b >0”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选C.由a b >1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a>1，b>0或⎩⎪⎨⎪⎧0<a<1，b<0；
由(a －1)b >0⇒⎩⎪⎨⎪
⎧a －1>0，b>0或⎩⎪⎨⎪
⎧a －1<0，b<0，又a >0且a ≠1，所以“a b >1”是“(a －1)b >0”的充要
条件．
4．(2016·西安质检)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，π2，那么2α－β3的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5π6 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6
C ．(0，π) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π
解析：选D.由题设得0<2α<π，0≤β3≤π6
， 所以－π6≤－β3≤0，
所以－π6<2α－β3
<π. 5．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和
小于20元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是( )
A ．2枝玫瑰的价格高
B ．3枝康乃馨的价格高
C ．价格相同
D ．不确定 解析：选A.设1枝玫瑰与1枝康乃馨的价格分别为x 元、y 元，则6x ＋3y >24，4x ＋4y <20⇒2x ＋y >8，x ＋y <5，因此2x －3y ＝5(2x ＋y )－8(x ＋y )> 5×8－8×5＝0，所以2x >3y ，因此
2枝玫瑰的价格高，故选A.
6．已知a <b <c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式恒成立的是( )
A ．a 2<b 2<c 2
B ．a |b |<c |b |
C ．ba <ca
D ．ca <cb
解析：选D.因为a <b <c 且a ＋b ＋c ＝0，所以a <0，c >0，b 的符号不定，对于b >a ，两边同时
乘以正数c ，不等号方向不变，故选D.
7．已知a ，b ，c ∈R ，有以下命题：
①若ac 2>bc 2，则a >b ；②若a >b ，则a ·2c >b ·2c .
其中正确的是________(把正确命题的序号都填上)．
解析：①正确．②中由2c >0可知式子成立．
答案：①②
8．(2016·郑州联考)已知a ，b ，c ∈R ，给出下列命题：
①若a >b ，则ac 2>bc 2；②若ab ≠0，则a b ＋b a ≥2；
③若a >|b |，则a 2>b 2. 其中真命题的个数为________．
解析：当c ＝0时，ac 2＝bc 2＝0，故①为假命题；当a 与b 异号时，a b <0，b a <0，a b ＋b a ≤－2，
故②为假命题；因为a >|b |≥0，所以a 2>b 2，故③为真命题．
答案：1
9．用一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 cm ，要求菜园的面积不
小于216 m 2，靠墙的一边长为x m ，其中的不等关系可用不等式(组)表示为________．
解析：矩形靠墙的一边长为x m ，则另一边长为30－x 2 m ，即⎝
⎛⎭⎪⎫15－x 2 m ， 根据题意知⎩⎪
⎨⎪⎧0<x≤18，
x ⎝ ⎛⎭⎪⎫15－x 2≥216. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧0<x≤18，x ⎝
⎛⎭⎪⎫15－x 2≥216 10．(2016·盐城一模)若－1<a ＋b <3，2<a －b <4，则2a ＋3b 的取值范围为________．
解析：设2a ＋3b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，
则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝－12.
又因为－52<52
(a ＋b )<152，－2<－12(a －b )<－1， 所以－92<52(a ＋b )－12(a －b )<132. 即－92<2a ＋3b <132. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，132 11．若a >b >0，c <d <0，e <0.求证：e （a －c ）2>e （b －d ）2
. 证明：因为c <d <0，
所以－c >－d >0，
又因为a >b >0，所以a －c >b －d >0.
所以(a －c )2>(b －d )2>0.
所以0<1（a －c ）2<1（b －d ）2.
又因为e <0，所以e （a －c ）2>e （b －d ）2. 12．已知12<a <60，15<b <36，求a －b ，a b
的取值范围． 解：因为15<b <36，
所以－36<－b <－15.
又12<a <60，
所以12－36<a －b <60－15，
所以－24<a －b <45，
即a －b 的取值范围是(－24，45)．
因为136<1b <115
， 所以1236<a b <6015
， 所以13<a b
<4， 即a b 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，4.。