【精选】高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明第1讲不等关系与不等式知能训练轻松闯关理北师大版
新高考数学一轮复习课件：第六章 不等式、推理与证明 第1节
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第六章 不等式、推理与证明
[变式探究] 将(2)中不等式改为ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)，求不等式的解集．
解 原不等式变为(ax－1)(x－1)<0，因为 a>0，所以 ax－1a(x－1)<0.
所以当
a>1
时，解集为1a<x<1；当
a＝1
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第六章 不等式、推理与证明
4．(2018·河南洛阳期末)若 a，b∈R，且 a>b，则下列不等式恒成立的是( C )
A．a2>b2
B．ab>1
C．2a>2b
D．lg(a－b)>0
解析 取a＝－1，b＝－2，排除A、B、D．
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第六章 不等式、推理与证明
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第六章 不等式、推理与证明
2．若1a<1b<0，则下列不等式：①a＋b<ab；②|a|>|b|；③a<b；④ab<b2 中，正确
高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 第1讲 不等关系与不等式分层演练直击高考 文
第1讲 不等关系与不等式1．“1≤x ≤4”是“1≤x 2≤16”的________条件．解析：由1≤x ≤4可得1≤x 2≤16，但由1≤x 2≤16可得1≤x ≤4或－4≤x ≤－1，所以“1≤x ≤4”是“1≤x 2≤16”的充分不必要条件．答案：充分不必要2．设集合S ＝{x |x >－2}，T ＝{x |x 2＋3x －4≤0}，则(∁R S )∪T ＝________． 解析：T ＝{x |－4≤x ≤1}，根据补集定义，∁R S ＝{x |x ≤－2}，所以(∁R S )∪T ＝{x |x ≤1}． 答案：(－∞，1]3．不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，所以Δ＝a 2－4×4>0，即a 2>16.所以a >4或a <－4.答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)4．(2018·扬州模拟)若a 1<a 2，b 1<b 2，则a 1b 1＋a 2b 2与a 1b 2＋a 2b 1的大小关系是________． 解析：作差可得(a 1b 1＋a 2b 2)－(a 1b 2＋a 2b 1)＝(a 1－a 2)·(b 1－b 2)，因为a 1<a 2，b 1<b 2，所以(a 1－a 2)(b 1－b 2)>0，即a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1.答案：a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 15．在R 上定义运算：x *y ＝x (1－y )．若不等式(x －y )*(x ＋y )<1对一切实数x 恒成立，则实数y 的取值范围是________．解析：由题意，知(x －y )*(x ＋y )＝(x －y )·[1－(x ＋y )]<1对一切实数x 恒成立，所以－x 2＋x ＋y 2－y －1<0对于x ∈R 恒成立．故Δ＝12－4×(－1)×(y 2－y －1)<0，所以4y2－4y －3<0，解得－12<y <32. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 6．(2018·信阳模拟)A 杯中有浓度为a 的盐水x 克，B 杯中有浓度为b 的盐水y 克，其中A 杯中的盐水更咸一些．若将A ，B 两杯盐水混合在一起，其咸淡的程度可用不等式表示为________．解析：依题意，知a >b ，将A ，B 两杯盐水混合后，盐水的浓度变为ax ＋by x ＋y，则有ax ＋by x ＋y >bx ＋by x ＋y ＝b ，ax ＋by x ＋y <ax ＋ay x ＋y ＝a ，故有b <ax ＋by x ＋y<a . 答案：b <ax ＋by x ＋y<a 7．如果关于x 的不等式5x 2－a ≤0的正整数解是1，2，3，4，那么实数a 的取值范围是________．解析：由5x 2－a ≤0，得－a 5≤x ≤ a 5， 而正整数解是1，2，3，4，则4≤ a 5＜5， 所以80≤a ＜125.答案：[80，125)8．(2018·苏北三市高三模拟)已知对于任意的x ∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x 2－2(a －2)x ＋a ＞0，则实数a 的取值范围是________．解析：记f (x )＝x 2－2(a －2)x ＋a ，令f (x )＝0，由题意得，Δ＝4(a －2)2－4a ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧f （1）≥0，f （5）≥0，Δ≥0，1≤a －2≤5，所以1＜a ＜4或4≤a ≤5，即实数a 的取值范围是(1，5]．答案：(1，5]9．(2018·盐城模拟)若－1<a ＋b <3，2<a －b <4，则2a ＋3b 的取值范围为________． 解析：设2a ＋3b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝－12.又因为－52<52(a ＋b )<152， －2<－12(a －b )<－1， 所以－92<52(a ＋b )－12(a －b )<132. 即－92<2a ＋3b <132. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，13210．当且仅当a ∈(m ，n )时，2－ax ＋x 21－x ＋x 2<3对x ∈R 恒成立，则m ＋n ＝________． 解析：因为1－x ＋x 2>0恒成立，所以原不等式等价于2－ax ＋x 2<3(1－x ＋x 2)，即2x 2＋(a －3)x ＋1>0恒成立．所以Δ＝(a －3)2－8<0，3－22<a <3＋2 2.依题意有m ＝3－22，n ＝3＋22，所以m ＋n ＝6.答案：611．若k ∈R ，求解关于x 的不等式x 22－x <（k ＋1）x －k 2－x. 解：不等式x 22－x ＜（k ＋1）x －k 2－x 可化为 x 2－（k ＋1）x ＋k 2－x＜0， 即(x －2)(x －1)(x －k )＞0.当k ＜1时，x ∈(k ，1)∪(2，＋∞)；当k ＝1时，x ∈(2，＋∞)；当1＜k ＜2时，x ∈(1，k )∪(2，＋∞)；当k ≥2时，x ∈(1，2)∪(k ，＋∞)．12．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠．解：设该单位职工有n (n ∈N *)人，全票价为x 元，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元，则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34xn ，y 2＝45nx . 所以y 1－y 2＝14x ＋34xn －45nx ＝14x －120nx ＝14x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－n 5. 当n ＝5时，y 1＝y 2；当n ＞5时，y 1＜y 2；当n ＜5时，y 1＞y 2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，甲车队更优惠；少于5人时，乙车队更优惠．。
高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明第1讲不等关系与不等式文北师大版
40x＋90y≤1 000， 4x＋9y≤100，
x≥5，
则
y≥6，
x≥5， 即
y≥6，
x，y∈N*.
x，y∈N*.
考点二 不等式的性质(高频考点) 不等式的性质及其 应用是高考命题的热点．不等式性质的应 用是高考的常考点，常以选择题、填空题的形 式出现，题目 难度不大． 高考对不等式性质 的考查有以下三个命题角度： (1)判断 命题的真假； (2)与充 要条件相结合命题； (3)求代 数式的取值范围．
3．(必修 5 P74 练习 T3 改编)下列四个结论，正确的是( D ) ① a>b， c<d⇒ a－ c>b－ d； ② a>b>0， c<d<0⇒ ac>bd；
③
a>b>0⇒
3
3 a>
b；
④ a>b>0⇒a12 >b12. A．①②
C．①④
B．② ③ D．①③
解析：对于①，因为 a>b，c<d，所以－c>－d， 所以 a－c>b－d. 对于③，a>b>0，则3 a>3 b>0.
2．不等式中的倒数 性质 (1)a>b， ab>0⇒1a<1b； (2)a<0<b⇒1a<1b； (3)a>b>0， 0<c<d⇒ac >bd； (4)0<a<x<b 或 a<x<b<0⇒1b<1x<1a.
1．设非零实数 a，b 满足 a<b，则下列不等式中一定成立的
是( D )
A.1a>1b
B． ab<b2
规划问题 3．会从实际情境．
高考一轮数学第六章 第一节 不等关系与不等式
能得出a>b＋1.因此，使a>b成立的充分不必要条件是 a>b＋1. [答案] A
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[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)
2．(2012· 潍坊模拟)设a，b∈R，若b－|a|>0，则下列不 等式中正确的是 A．a－b>0 C．a2－b2>0 B．a＋b>0 D．a3＋b3<0 ( )
等式的基本方法．要注意强化化归意识，同时注意
函数性质在大小比较中的作用． 返回
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[精析考题] [例1] 系为 x y A. > x＋a y＋b x y C. ＜ x＋a y＋b B. x y ≥ x＋a y＋b (2012· 珠海模拟)已知b>a>0，x>y>0，则： x y 与 的大小关 x＋a y＋b ( )
序号都填上)． 解析：①若c＝0则命题不成立．②正确．③中由2c>0知
成立． 答案：②③
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1．不等式性质使用时注意的问题：
在使用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条
件．不可强化或弱化成立的条件．如“同向不等式” 才可相加、“同向且两边同正的不等式”才可相乘； 可乘性中的“c的符号”等都需要注意． 2．作差法是比较两数(式)大小的常用方法，也是证明不
次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，要
特别注意．错因在于运用同向不等式相加这一性质时，不 是等价变形，导致f(－2)的取值范围扩大．另外，本题也可 用线性规划求解，题中a、b不是相互独立的，而是相互制 约的，故不可分割开来．先建立待求范围的整体与已知范
围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等式关系的运
x3 所以 y4的最大值是27.
答案：A
高考数学一轮总复习第6章不等式推理与证明6.1不等关系与不等式课件理
)
A．－n<m<n<－m B．－n<m<－m<n
C．m<－n<－m<n D．m<－n<n<－m
解析 解法一：(取特殊值法)令 m＝－3，n＝2 分别代 入各选项检验即可．
解法二：m＋n<0⇒m<－n⇒n<－m，又由于 m<0<n，故 m<－n<n<－m 成立．
3．[ 2017·贵阳测试] 下列命题中，正确的是(
【变式训练 2】 若实数 x，y 满足 3≤xy2≤8,4≤xy2≤9， 则xy34的最大值是___2_7____．
解析 解法一：由 3≤xy2≤8,4≤xy2≤9，可知 x>0，y>0， 且18≤x1y2≤13，16≤xy42≤81，由性质 6，得 2≤xy34≤27，故xy34的 最大值是 27.
5.注意不等式性质中“⇒”与“⇔”的区别，如：a>b，
b>c⇒a>c，其中
a>c
不能推出a>b， b>c.
6.作商法比较大小时，要注意两式的符号.
板块三 启智培优·破译高考
易错警示系列 7——不等式性质应用不当致误
[2017·长春模拟]若1a<1b<0，则下列不等式：①a＋1 b<a1b；
解 设 3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，
则mm＋ －nn＝ ＝32， ，
∴m＝52， n＝21，
即 3x＋2y＝52(x＋y)＋12(x－y)，
又－1<x＋y<4,2<x－y<3，
∴－52<52(x＋y)<10,1<12(x－y)<32， ∴－32<52(x＋y)＋12(x－y)<223， 即－32<3x＋2y<223. 故 3x＋2y 的取值范围为－32，223.
高考数学(理)总复习备考指导课件：第六章 不等式、推理与证明 第1节 不等关系与不等式
网
典
络 构
【尝试解答】 ∵a＞0＞b，c＜d＜0，
例 探
建
究
· 览
∴ad＜0，bc＞0，则 ad＜bc，(1)错误．
· 提
全
知
局
由 a＞0＞b＞－a，知 a＞－b＞0，
能
策 略
又－c＞－d＞0，
高 考
指
体
导 ·
因此 a·(－c)＞(－b)·(－d)，即 ac＋bd＜0，
验 ·
备
高 考
∴ad＋bc＝ac＋cdbd＜0，故(2)正确．
网
典
络
例
构
探
建
究
· 览
3．(2013·北京高考)设 a，b，c∈R，且 a>b，则(
)
· 提
全
知
局
策
A．ac>bc
11 B.a<b
能 高
略
考
指 导
C．a2>b2
D．a3>b3
体 验
·
·
备
明
高 考
【解析】 当 c<0 时，ac>bc 不成立，故 A 不正确，当 a 考 情
自 ＝1，b＝－3 时，B、C 均不正确，故选 D.
明 考 情
自
主 落 实 · 固 基 础
显然 a－c＞b－d，∴(3)正确．
课
∵a＞b，d－c＞0，∴a(d－c)＞b(d－c)，∴(4)正确．
时 作
【答案】 (2)(3)(4)
业
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高三一轮总复习理科数学 ·（安徽专用）
网
典
络
例
构
探
建
究
·
·
高考一轮总复习数学 第六章 第1讲 不等关系与不等式
)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 充分性：令 a＝－12，b＝－1，满足 0<ab<1，但推不出 b<1a，所以充分性不成立；必要性：令 a＝1，b＝0，满足 b<1a，但推不出 0<ab<1，所以必要性不成立．所以“0<ab<1”是“b<1a”的既不充分也不 必要条件．故选 D.
其中所有的正确结论的序号是( )
A．①
B．①②
C．②③
D．①②③
解析 对①，a>b>1，所以1a<1b.又因为 c<0，所以ac>bc，正确． ②幂函数 y＝xc，c<0 为减函数． 又因为 a>b>1，所以 ac<bc，正确． ③因为 a>b>1，c<0，所以－c>0，所以 a－c>b－c>1， 所以 logb(a－c)>loga(a－c)>loga(b－c)正确，故选 D.
第6章 不等式、推理与证明
第1讲 不等关系与不等式
1.了解现实世界和日常生活中的不等关系. 2.了解不等式组的实际背景. 3.掌握不等式的性质及应用.
板块一 知识梳理·自主学习
[必备知识] 考点 1 比较两个实数的大小 两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有 a－b>0⇔ a>b；a－b＝0⇔ a＝b ；a－b<0⇔ a<b .另外，若 b>0，则有ab>1⇔a>b；ab＝1⇔a＝b；ab<1⇔a<b. 考点 2 不等式的性质 1．对称性：a>b⇔b<a； 2．传递性：a>b，b>c⇔ a>c ； 3．可加性：a>b⇔a＋c > b＋c；a>b，c>d⇔a＋c > b＋d； 4．t;b>0，c>d>0⇒ac>bd； 5．可乘方：a>b>0⇒an > bn(n∈N，n≥2)；
2020高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明第1讲不等关系与不等式课件
用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式
子都为正数时，也可以先平方再作差．
(2)作商法 一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与 1 的大小；④结论(注意所比较的 两个数的符号)． 3．不等式的性质 (1)对称性：a>b⇔b<a；
a>c (2)传递性：a>b，b>c⇒________； > b＋d； > (3)同向可加性：a>b⇔a＋c______ b＋c；a>b，c>d⇒a＋c_____ < bc； (4)同向同正可乘性： a>b， c>0⇒ac>bc； a>b， c<0⇒ac______ a>b>0， c>d>0
第六章
不等式 推理与证明
第一讲 不等关系与不等式
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知识梳理双基自测 考点突破互动探究 名师讲坛素养提升
知识梳理双基自测
1．实数的大小与运算性质的关系 a－b>0 ； (1)a>b⇔________ －b＝0 ； (2)a＝b⇔a ________ a－b<0 (3)a<b⇔________. 2．比较大小的常用方法： (1)作差法 一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采
1y －(2) <0，故选 C． (3)由函数 y＝lgx 的单调性知 lga>lgb⇔a>b>0⇒ a> b，但 a> b 如 a＝1，b＝0.故选 B． lga>lgb，
考点3 不等式性质的应用——多维探究
角度1 应用性质研究不等式是否成立 (2018 例· 3课标Ⅲ，12)设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则( B)
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第1讲 不等关系与不等式
1．(2016·安徽省淮北一模)设a ＝30.5，b ＝log 32，c ＝cos 2，则( )
A ．c <b <a
B ．c <a <b
C ．a <b <c
D ．b <c ＜a 解析：选A.由题意知a ＝30.5>30＝1，b ＝log 32，
因为1<2<3，所以0<b <1.
又因为π2<2<π，所以c ＝cos 2<0，所以c <b <a . 2．(2016·石家庄质检)如果a <b <0，那么下列不等式成立的是( ) A ．－1a <－1b B ．ab <b 2 C ．－ab <－a 2 D ．|a |<|b | 解析：选A.利用作差法逐一判断．因为1b －1a ＝a －b ab <0，所以－1a <－1b ，A 正确；因为ab －b 2＝b (a －b )>0，所以ab >b 2，B 错误；因为ab －a 2＝a (b －a )<0，所以－ab >－a 2，C 错误；a <b <0⇒|a |>|b |，D 错误，故选A. 3．(2016·江西省重点中学盟校联考)已知a >0且a ≠1，则“a b >1”是“(a －1)b >0”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选C.由a b >1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a>1，b>0或⎩⎪⎨⎪⎧0<a<1，b<0；
由(a －1)b >0⇒⎩⎪⎨⎪
⎧a －1>0，b>0或⎩⎪⎨⎪
⎧a －1<0，b<0，又a >0且a ≠1，所以“a b >1”是“(a －1)b >0”的充要
条件．
4．(2016·西安质检)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，π2，那么2α－β3的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5π6 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6
C ．(0，π) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π
解析：选D.由题设得0<2α<π，0≤β3≤π6
， 所以－π6≤－β3≤0，
所以－π6<2α－β3
<π. 5．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和
小于20元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是( )
A ．2枝玫瑰的价格高
B ．3枝康乃馨的价格高
C ．价格相同
D ．不确定 解析：选A.设1枝玫瑰与1枝康乃馨的价格分别为x 元、y 元，则6x ＋3y >24，4x ＋4y <20⇒2x ＋y >8，x ＋y <5，因此2x －3y ＝5(2x ＋y )－8(x ＋y )> 5×8－8×5＝0，所以2x >3y ，因此
2枝玫瑰的价格高，故选A.
6．已知a <b <c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式恒成立的是( )
A ．a 2<b 2<c 2
B ．a |b |<c |b |
C ．ba <ca
D ．ca <cb
解析：选D.因为a <b <c 且a ＋b ＋c ＝0，所以a <0，c >0，b 的符号不定，对于b >a ，两边同时
乘以正数c ，不等号方向不变，故选D.
7．已知a ，b ，c ∈R ，有以下命题：
①若ac 2>bc 2，则a >b ；②若a >b ，则a ·2c >b ·2c .
其中正确的是________(把正确命题的序号都填上)．
解析：①正确．②中由2c >0可知式子成立．
答案：①②
8．(2016·郑州联考)已知a ，b ，c ∈R ，给出下列命题：
①若a >b ，则ac 2>bc 2；②若ab ≠0，则a b ＋b a ≥2；
③若a >|b |，则a 2>b 2. 其中真命题的个数为________．
解析：当c ＝0时，ac 2＝bc 2＝0，故①为假命题；当a 与b 异号时，a b <0，b a <0，a b ＋b a ≤－2，
故②为假命题；因为a >|b |≥0，所以a 2>b 2，故③为真命题．
答案：1
9．用一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 cm ，要求菜园的面积不
小于216 m 2，靠墙的一边长为x m ，其中的不等关系可用不等式(组)表示为________．
解析：矩形靠墙的一边长为x m ，则另一边长为30－x 2 m ，即⎝
⎛⎭⎪⎫15－x 2 m ， 根据题意知⎩⎪
⎨⎪⎧0<x≤18，
x ⎝ ⎛⎭⎪⎫15－x 2≥216. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧0<x≤18，x ⎝
⎛⎭⎪⎫15－x 2≥216 10．(2016·盐城一模)若－1<a ＋b <3，2<a －b <4，则2a ＋3b 的取值范围为________．
解析：设2a ＋3b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，
则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝－12.
又因为－52<52
(a ＋b )<152，－2<－12(a －b )<－1， 所以－92<52(a ＋b )－12(a －b )<132. 即－92<2a ＋3b <132. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，132 11．若a >b >0，c <d <0，e <0.求证：e （a －c ）2>e （b －d ）2
. 证明：因为c <d <0，
所以－c >－d >0，
又因为a >b >0，所以a －c >b －d >0.
所以(a －c )2>(b －d )2>0.
所以0<1（a －c ）2<1（b －d ）2.
又因为e <0，所以e （a －c ）2>e （b －d ）2. 12．已知12<a <60，15<b <36，求a －b ，a b
的取值范围． 解：因为15<b <36，
所以－36<－b <－15.
又12<a <60，
所以12－36<a －b <60－15，
所以－24<a －b <45，
即a －b 的取值范围是(－24，45)．
因为136<1b <115
， 所以1236<a b <6015
， 所以13<a b
<4， 即a b 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，4.。