不等式I推理与证明附实例讲解
高二数学证明不等式的基本方法1
例2、如果用akg白糖制出bkg糖溶液，则糖
的质量分数为 a .若在上述溶液中再添加mkg b
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
白糖，此时糖的质量分数增加到
a b
m m
.将这
个事实抽象为数学问题，并给出证明.
2、作商法 原理：若a,b R 则
a 1 a b b
a 1 a b b
a 1 a b b
步骤：作商---变形---与1比较---定论
注意：1、作商法的前提为a,b为 正实数； 2、在证明幂、指数不等式时常用 作商法.
例3、试比较 2 7与 3 6的大小.
例4、已知a, b, c 0, 求证 a2b2 b2c2 c2a2 abc
证明不等式的基本方法
一、比较法
原理: a b a b 0 ab ab0
a b ab0
步骤：作差---变形---判号---定论
关键：判号，常用方法是将“差式” 变形为一个常数，或几个因式的 乘积.
例1、已知a, b都是正数，且a b, 求证：a3 b3 a2b ab2
怪芽疯速膨胀起来……一簇簇亮橙色糖块模样的腐烂巨大枝叶疯速向外扩张……突然！一朵火橙色猩猩模样的受伤巨蕾恐怖地钻了出来……随着金红色鲇鱼模样的腐 臭巨花狂速盛开，无数粉红色闪电模样的阴森花瓣和暗橙色花蕊飞一样伸向远方……突然，无数绿宝石色恐龙模样的阴暗果实从巨花中窜出，接着飞一样射向魔墙！ 只见每个巨大果实上都骑着一个奖章铜翅仙的小替身，而那伙校精的真身也混在其中……“哇！真有小康性！”壮扭公主道。“还多少带点贿赂性！咱们让他们看看 什么高层次！嘻嘻！”月光妹妹和壮扭公主一边说着一边念动咒语……只见巨大奖章铜翅仙猛然间长啸一声！巨大果实的飞速顿时变得慢如蜗牛，只见镊子驴脚鬼抖 动活像香肠似的铃铛，整个身体快速变成一枚巨大的缤纷奇蛋，这枚奇蛋一边旋转一边射出万道奇光……突然，整个奇蛋像巨大的金红色花蕾一样绽开……七条淡橙 色瓜子模样的奇妙尾巴急速从里面伸出……接着，一颗鲜红色琵琶模样的恐怖巨 大鹰头快速探了 出来……一簇簇紫红色糖块模样的奇妙巨大翅膀飘然向外伸展……突 然！两只浅黑色瓜子模样的受伤巨爪威武地伸了出来……随着金红色鲇鱼模样的奇特亮光的狂速飞舞，无数暗青色闪电模样的飘然羽毛和粉红色鳞甲飞一样射出…… 突然，无数亮橙色铁锅模样的明丽鳞片从奇蛋中窜出，飞一样射向个个巨果！只见每只巨大鳞片上都站着一个奖章铜翅仙模样的武士……与此同时壮扭公主朝奖章铜 翅仙变成的巨大植物根基飞去，而月光妹妹则朝那伙校精的真身冲飞去……奖章铜翅仙的所有果实和替身都被撞得粉碎！而巨大的植物已经被壮妞公主一顿肥拳猛腿 弄得稀烂，再看奖章铜翅仙的真身也被月光妹妹一顿飞拳云腿，直玩得满脸桃花开，浑身别样肿……“算你们狠，俺们还是走吧！”女樵夫Ｍ．翁贝叶娆仙女见无法 取胜，急忙变成长着离奇大腿的亮白色古怪锁孔朝西南方向飞去……月光妹妹笑道：“嘻嘻！除非你们往回走！想过去是不可以的！”月光妹妹一边说着一边变成长 着怪异下巴的水红色超级小号追了上去……女樵夫Ｍ．翁贝叶娆仙女“见月光妹妹快要追上，又急忙变成长着离奇犄角的纯红色古怪小旗朝正南方向飞去……月光妹 妹笑道：“嘻嘻！又换一套马甲，我的存货能让你们欣赏到万年以后……”月光妹妹一边说着一边变成长着怪异舌头的暗青色超级药片追了上去……只见Ｘ．妮什科 招待和另外四个校精怪突然齐声怪叫着组成了一个巨大的梨妖凤趾仙！这个巨大的梨妖凤趾仙，身长四百多米，体重二百多万吨。最奇的是这个怪物长着十分温柔的 凤趾！这巨仙有着亮红色怪藤一般的身躯和淡橙色细
高考数学中常规的不等式证明思路及技巧
高考数学中常规的不等式证明思路及技巧数学是高考中必不可少的一门科目，而数学中的不等式证明题目更是高考难点之一。
不等式证明题目考察的是学生的推理能力、逻辑思维能力和精准计算能力。
本文将介绍常见的不等式证明思路及技巧，以帮助高中生更好地应对高考数学中的不等式证明题目。
一、利用已知条件推出结论在不等式证明题目中，往往会给出一些已知条件，利用这些条件我们可以推出某个结论，从而间接证明不等式的正确性。
在做题时，我们应该把题目中的已知条件先作出标注，理清思路后再进行推导。
例如：给定实数 $x$，$y$，$z$，满足 $x^2+y^2+z^2=1$，求证：$x+y+z\leq \sqrt{3}$。
解析：首先，我们可以根据均值不等式得出 $x+y+z\leq\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}$。
接下来，根据题目中的条件$x^2+y^2+z^2=1$，我们可以将被开方量化简为 $\sqrt{3}$，从而得到 $x+y+z\leq \sqrt{3}$。
因此，我们成功地证明了该不等式的正确性。
二、借助已知不等式证明目标不等式借助已知不等式间接证明目标不等式的正确性是不等式证明中最常用的方法之一。
这种方法需要对不等式理解深入，需要对不等式的性质有全面认知。
可以通过加、减、乘、除等运算方式进行变形，或者通过引理证明的方式来证明目标不等式的正确性。
例如：已知 $ab+bc+ca=1$，证明$\dfrac{a}{1+b^2}+\dfrac{b}{1+c^2}+\dfrac{c}{1+a^2}\geq\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$。
解析：首先，我们可以通过柯西不等式将原不等式中的多项式化成分数进行求解。
具体而言，我们有：$$\begin{aligned}&\dfrac{a}{1+b^2}+\dfrac{b}{1+c^2}+\dfrac{c}{1+a^2}\\ &\geq\dfrac{(a+b+c)^2}{a+ab^2+b+b^2c+c+c^2a+a^2}\\ &\geq\dfrac{3}{\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+1}\\ &\geq\dfrac{3}{\sqrt[4]{\dfrac{abc}{abc}}+1}\\ &=\dfrac{3}{2}\end{aligned}$$由此，我们可以通过制定合适的策略，借助已知不等式成功证明了目标不等式的正确性。
证明不等式的方法及举例
证明不等式的方法及举例提起不等式，大家都很熟悉，不等式就是用不等号连接起来形成的式子。
由于虚数不能比较大小，所以不等式的研究是在数集中进行的。
要想证明一个不等式首先要知道不等式有什么样的性质，下面简单介绍一下不等式的性质。
不等式的性质总结起来有九个。
①a>b ⇔b<a.（对称性）。
②a>b,b>c ⇔a>c(传递性)。
③a>b ⇔(a+c)>(b+c) （加法单调性）④a 或乘法的单调性)⑤同向不等式相加)⑥同乡不等式相乘)⑦n >b n (n €N 且n>1)(乘方法则)⑧√a >√b n (n €N 且n>1)(开方法则)⑨倒数法则)。
以上是不等式的基本性质。
这些性质了解后，我们就可以通过这些性质去推导验证一些不等式，再推倒验证之前，再介绍不等式中几个重要的不等式。
①a 2>0(a ∈ R) ②a 2+b 2≥2ab (此式有一式推导出来) ③a+b2≥√ab (a,b ∈R )适用条件为一正二定三相等。
④b a +2b ≥2（ab >0）;当a=b 时取等号；⑤a+b+c3≥√abc 3(a,b,c ∈R +)当a=b=c 时取等号 ⑥a 1 +a 2 +⋯a n n ≥√a 1 a 2 …a n n (a 1 ∈R +,=1,2, …n ∈N +)当且仅当a 1 =a 2 =⋯a n 时取等号⑦（a 1 2+a 2 2+⋯a n 2）(b 1 2+b 1 2+⋯b 1 2) ≥（a 1 b 1 +a 2 b 2 … …a n b n ）2，当a 与b 成比例时取等号。
这也就是常说的柯西不等式，⑧若f(x)在[a,b]上为增减函数且a <b ,则f(a)<f(b)[f(a)>f(b)]，⑨21a +1b≤√ab ≤a+b2≤√a 2+b 22≤b (0<a ≤b)这是不等式a+b2≥√ab的延伸条件。
不等式证明三法例析
不等式证明“三法”例析不等式是高中数学的重要内容，而不等式的证明是不等式内容的重要组成部分，因此，同学们需要熟练掌握不等式证明的常用方法。
本文总结了常见的不等式证明的三种方法，并用具体的例题加以说明，希望对同学们的学习有所帮助。
一、综合法综合法是指从已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后得到结论，其特点“由因导果”，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”。
例1 已知a ，b ，c>0，1c b a =++，求证18c4b 2a 1≥++。
证明：∵a+b+c=1， ∴18abc 3abc83)c b a )(c 4b 2a 1(c 4b 2a 133=⋅≥++++=++ ∴18c4b 2a 1≥++。
点评：①用综合法证明不等式时，要注意应用重要不等式和不等式的性质，要注意公式应用的条件及等号成立的条件；②原题实际上可以加强，改为证明18c4b 2a 1>++，因为在上述证明过程中当且仅当c 4b 2a 1==，且a=b=c=31时，等号成立，而当a=b=c=31时c4b 2a 1≠≠，所以等号取不到。
二、分析法分析法是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件进而判定这些条件是否具备。
其思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。
例2 已知a>1，λ>0，求证)2a (log )a (log a a λλλ+>++。
证明：∵a>1，λ>0∴0a lg >，0)a lg (>+λ，0)2a lg (>+λ)2a lg(a lg )]a [lg()a lg()2a lg(a lg )a lg()2a (log )a (log 2a a λλλλλλλλ+⋅>+⇔++>+⇔+>++)2a lg(a lg )a lg(λλ+⋅>+⇔ ∵)2a lg(a lg 2)2a lg(a lg λλ+⋅>++ ∴若能证明2)2a lg(a lg )a lg(λλ++>+，即可证明结论∵0)2a (a )a (22>=+-+λλλ∴)2a (a )a (2λλ+>+∴)2a lg (a lg )a lg (2λλ++>+，2)2a lg(a lg )a lg(λλ++>+综上所述，可得)2a (a lg )a (log a λλλ++>+三、比较法 比较法有求差比较法（也叫比差法）和求商比较法（也叫比商法）两种，它们的理论依据分别是：①0b a b a >-⇔>，0b a b a <-⇔<；②当a>0，b>0时，1ba b a >⇔>，1b a b a <⇔<。
不等式与推理证明
数学归纳法是一种常用的证明方法， 用于证明与自然数有关的数学命题。 通过归纳法，可以从一个或有限个初 始情况推导出一般的结论。
反证法是通过假设与要证明的结论相 反的情况，然后推导出矛盾，从而证 明原命题正确的方法。例如，费马大 定理的证明就使用了反证法。
物理定理的证明
物理定理的证明
物理定理的证明依赖于实验和观测数据，通过实验验证和 逻辑推理来证明物理定理的正确性。例如，牛顿运动定律、 万有引力定律等。
代数法通常用于解决一元一次不等式和一元二次不等式，通过移项、合并同类项、化简等步骤，求得不 等式的解集。
代数法在解决不等式问题时，需要特别注意不等式的性质，如传递性、可加性、可乘性等，以确保解题 过程的正确性。
几何法
几何法是通过几何图形直观地解释和解决不等式问题的方法。通过绘制图形，将不等式 问题转化为几何问题，从而更直观地理解不等式的意义和性质。
例子
应用场景
如果$1^2 = 1$，$2^2 = 4$， $3^2 = 9$，则归纳出$n^2 = n times n$的一般性结论。
适用于大量具体实例的情况，通 过归纳法可以得出一般性的结论。
05
推理证明的实例
数学定理的证明
数学定理的证明
数学归纳法
反证法
数学定理的证明是推理证明的一种重 要形式。通过逻辑推理和数学公式的 应用，可以证明数学定理的正确性。 例如，勾股定理、欧几里得定理等。
热力学
热力学中的不等式用于描述热量的传递、热容和熵等物理量之间的关系。例如，热力学 第二定律可以用不等式来表示，限制了热力学过程的方向。
电磁学
在电磁学中，不等式用于描述电场和磁场的变化规律，例如高斯定理和安培环路定律。 这些不等式为电磁波的传播和电磁力的计算提供了基础。
不等式的几种证明方法及其应用
不等式的几种证明方法及其应用不等式的证明方法多种多样，常用的证法有初等数学中的综合法、分析法、比较法和数学归纳法等，高等数学中常用的方法是利用函数的单调性、凹凸性等方法．本文将对其中一些典型证法给出系统的归纳与总结，并以例题的形式展示这些方法的应用．1 利用构造法证明不等式“所谓构造思想方法就是指在解决数学问题的过程中，为完成从条件向结论的转化，利用数学问题的特殊性设计一个新的关系结构系统，找到解决原问题的具体方法．利用构造思想方法不是直接解决原问题，而是构造与原问题相关或等价的新问题．”)52](1[P 在证明不等式的问题中，构造思想方法常有以下几种形式：1.1 构造函数证明不等式构造函数指根据所给不等式的特征，巧妙地构造适当的函数，然后利用一元二次函数的判别式或函数的有界性、单调性、奇偶性等来证明不等式．1.1.1 利用判别式在含有两个或两个以上字母的不等式中，若根据题中所给的条件，能与一元二次函数有关或能通过等价形式转化为一元二次函数的，都可考虑使用判别式法．例1 设R z y x ∈,,，证明0)(322≥+++++z y x z y xy x 成立． 解 令22233)3()(z yz y x z y x x f +++++=为x 的二次函数． 由2222)(3)33(4)3(z y z yz y z y +-=++-+=∆知0≤∆，所以0)(≥x f ． 故0)(322≥+++++z y x z y xy x 恒成立．对于某些不等式，若能根据题设条件和结论，结合判别式的结构特征，通过构造二项平方和函数)(x f =(11b x a -)2＋(x a 2－22)b ＋…＋2)(n n b x a -，由0)(≥x f 得出0≤∆，从而即可得出所需证的不等式．例2 设+∈R d c b a ,,,，且1=+++d c b a ，求证614141414<+++++++d c b a )18](2[P ．证明 令)(x f =(x a 14+－1)2＋(114-+x b )2＋)114(-+x c 2＋)114(-+x d 2=4)14141414(282++++++++-x d c b a x (因为1=+++d c b a )．由0)(≥x f 得0≤∆ 即0128)14141414(42≤-+++++++d c b a ．所以62414141414<≤+++++++d c b a ．1.1.2 利用函数有界性若题设中给出了所证不等式中各个变量的变化范围，可考虑利用函数的有界性来证明，具体做法是将所证不等式视为某个变量的函数．例3 设,1,1,1<<<c b a 求证1->++ca bc ab )18](2[P ． 证明 令1)()(+++=ac x c a x f 为x 的一次函数． 因为,1,1<<c a 所以0)1)(1(1)1(>++=+++=c a ac c a f ，0)1)(1(1)()1(>--=+++-=-c a ac c a f ．即∀)1,1(-∈x ，恒有0)(>x f ．又因为)1,1(-∈b ，所以0)(>b f ， 即01>+++ca bc ab ． 1.1.3 利用函数单调性在某些问题中，若各种式子出现统一的结构，这时可根据这种结构构造函数，把各种式子看作同一函数在不同点的函数值，再由函数的单调性使问题得到解决．例４ 求证121212121111n n n na a a a aa a a a a a a +++≤++++++++++)53](1[P ．分析 通过观察可发现式中各项的结构均相似于式子M M +1，于是构造函数xxx f +=1)()0(≥x ．证明 构造函数xxx f +=1)( )0(≥x ． 因为0)1(1)(2'>+=x x f ， 所以)(x f 在),0[+∞上严格递增．令n a a a x +++= 211，n a a a x +++= 212． 因为21x x ≤，所以)()(21x f x f ≤． 所以≤+++++++nn a a a a a a 21211nn a a a a a a +++++++ 21211=+++++na a a a 2111++++++ n a a a a 2121nna a a a ++++ 211nna a a a a a ++++++≤1112211 ．1.1.4 利用函数奇偶性 例５ 求证221xx x <-)0(≠x ．证明 设)(x f 221x x x --=，对)(x f 进行整理得)(x f )21(2)21(xx x -+=， )(x f -＝)21(2)21(xx x ---+-＝)12(2)12(-+-x x x ＝)21(2)21(x x x -+＝)(x f ， 所以)(x f 是偶函数．当0>x 时，12>x ，所以021<-x，所以0)(<x f ． 由偶函数的图象关于y 轴对称知，当0<x 时，0)(<x f ． 即 当0≠x 时，恒有0)(<x f ，即221xx x <- )0(≠x ． 注意 由以上几种情况可以看出，如何构造适当的函数并利用函数的性质来证明不等式是解题的关键．1.2 构造几何图形证明不等式构造几何图形，就是把题中的元素用一些点或线来取代，使题中的各种数量关系得以在图中表现出来，然后借助几何图形的直观性或几何知识来寻求问题的解答．一般是在问题的条件中数量关系有明显的几何意义，或可以通过某种方式与几何形（体）建立联系时宜采用此方法.)52](1[P 这种方法十分巧妙且有效，它体现了数形结合的优越性．下面将具体介绍用几何法证明不等式的几种途径：1.2.1 构造三角形)1](3[P例６ 已知z y x ,,为正数，求证22y xy x ++＋22z xz x ++＞22z yz y ++．分析 注意到︒-+=++120cos 22222xy y x y xy x ，于是22y xy x ++可看作是以y x ,为两边，夹角为︒120的三角形的第三边，由此，易得出下面的证明:证 如图1 ，在BC A ∆内取一点O ，分别连接OC OB OA ,,，使图1B︒=∠=∠=∠120COA BOC AOB ，z OC y OB x OA ===,,则22y xy x AB ++=，22z xz x AC ++=，22z yz y BC ++=．由BC AC AB >+， 即得所要证明的不等式．注 该题可做如下推广:已知z y x ,,为正数，πα<<0，πβ<<0，πγ<<0，且πγβα2=++，求证++-22cos 2y xy x α>+-22cos 2z xz x β22cos 2z yz y +-γ，令γβα,,为满足条件的特殊角可设计出一系列的不等式．例7 已知正数k n m c b a ,,,,,满足p k c n b m a =+=+=+,求证2p cm bk an <++． 证明 如图2，构造边长为p 的正三角形ABC ，在边BC AB ,,上依次截取 n FA b CF k EC c BE m DB a AD ======,,,,,．因为ABC FEC DBE ADF S S S S ∆∆∆∆<++所以243434343p bk cm an <++， 即2p cm bk an <++． 1.2.2 构造正方形)1](3[P例8 已知+∈R x ,d c b a ,,,均是小于x 的正数，求证+-+22)(b x a +-+22)(c x b +-+22)(d x c x a x d 4)(22<-+．分析 观察不等式的左边各式，易联想到用勾股定理，每个式子代表一直角三角形的一斜边，且)()()()(d x d c x c b x b a x a -+=-+=-+=-+，所以可构造边长为x 的正方形．证明 如图3，构造边长为x 的正方形ABCD ，在边DA CD BC AB ,,,上 依次截取,a AE =,a x EB -=,d BF =c CG d x FC =-=,，b DHc x GD =-=,，b x HA -=．则四边形EFGH 的周长为+-+22)(b x a +-+22)(c x b +-+22)(d x c 22)(a x d -+．由三角形两边之和大于第三边知，四边形EFGH 的周长小于正方形ABCD 的周长， 从而命题得证．1.2.3 构造矩形图2x-c 图3例9 已知z y x ,,为正数，证明))((z y y x yz xy ++≤+．分析 两个数的乘积，可看作以这两个数为边长的矩形的面积，也可以看成以这两个数为直角边长的三角形面积的两倍．证明 如图4 ，造矩形ABCD ，使,y CD AB ==,x BE =,z EC =设α=∠AED ．由AED ECD ABE ABCD S S S S ∆∆∆++=矩形知 =+)(z x y ++yz xy 2121αsin ))((21z y y x ++． 化简得αsin ))((z y y x yz xy ++=+．因为1sin 0≤<α，所以))((z y y x yz xy ++≤+(当且仅当︒=90α时，等号成立)．1.2.4 构造三棱锥例10 设,0,0,0>>>z y x 求证22y xy x +->+-+22z yz y 22x zx z +-)129](4[P ．分析 注意到22y xy x +-︒-+=60cos 222xy y x ，可以表示以y x ,为边， 夹角为︒60的三角形的第三边，同理22z yz y +-，22x zx z +-也有类似意义．证明 如图5，构造顶点为O 的四面体ABC O -，使︒=∠=∠=∠60AOC BOC AOB ，z OC y OB x OA ===,,，则有22y xy x AB +-=，22z yz y BC +-=，22x xz z AC +-=．在ABC ∆中AC BC AB >+，即得原不等式成立．注 该题还可做如下推广:已知z y x ,,为正数，,0πα<<,0πβ<<πγ<<0时πγβα20<++<且,βαγβα+<<-求证22cos 2y xy x +-α+22cos 2z xz x +-β>22cos 2z yz y +-γ.例10便是当︒===60γβα时的特殊情况．1.3 构造对偶式证明不等式对偶思想是根据矛盾双方既对立又统一的二重性，巧妙地构造对偶数列，从而将问题解决的一种思想．⌒ADCBE y x +图4图5OAC例11 求证1212124321+<-⨯⨯⨯n nn ．分析 令=P nn 2124321-⨯⨯⨯ ，由于P 中分子为奇数、分母为偶数，则由奇数的对偶数为偶数可构造出关于P 的一个对偶式Q ，1225432+⨯⨯⨯=n nQ ．证明 设=P n n 2124321-⨯⨯⨯ ，构造P 的对偶式Q ，1225432+⨯⨯⨯=n nQ ．因为Q P <<0，所以=<PQ P 2)2124321(n n -⨯⨯⨯ 121)1225432(+=+⨯⨯⨯n n n ．所以121+<n P ，即原不等式成立．注 构造对偶式的途径很多，本题是利用奇偶性来构造对偶式，此外，还可利用倒数关系、相反关系、对称性关系等来构造对偶式．1.4 构造数列证明不等式这种方法一般用于与自然数有关的不等式证明，当问题无法从正面入手时，可考虑将它转化为数列，然后利用数列的单调性来证明．例12 求证:不等式!21n n ≤-，对任何正整数n 都成立)55](1[P ．分析 不等式可变形为,1!21≤-n n n 是正整数，所以可构造数列{},n a 其中1,!211==-a n a n n ，则只需证1a a n ≤即可．对于任意正整数n ，=-+=--+!2)!1(211n n a a n n n n 0)!1(2)1()!1()1(2211≤+-=++---n n n n n n n ， 所以{}n a 是递减数列．所以1a a n ≤，即原命题成立．1.5 构造向量证明不等式向量由于其自身的形与数兼备的特性，使得它成了数形结合的桥梁，也是解决一些问题的有利工具．对于某些不等式的证明，若能借助向量模的意义、数量积的性质等，可使不等式得到较易的证明．1.5.1 利用向量模的性质 例13 已知,,,,R d c b a ∈求证++++2222c b b a 2222a d d c +++)(2d c b a +++≥．证明 在原点为O 的直角坐标系内取四个点：()(),,,,c b b a B b a A ++(),,d c b c b a C ++++(),,a d c b d c b a D ++++++则原问题可转化为+，该不等式显然成立．1.5.2 利用向量的几何特征例14 设{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 是前n 项和，求证)31](5[12.022.02.0log 2log log P n n n S S S ++>+． 分析 可将上述不等式转化为,212++<⋅n n n S S S 构造向量，用平行四边形的几何特征来证明．证明 设该等比数列的公比为q ，如图6，构造向量(),,11a a OA =(),,1n n qS qS OB +=()()12111,,+++=++=n n n n S S qS a qS a OC ，则OB OA OC +=，故B C A O ,,,构成平行四边形．由于OB OA ,在对角线OC 的两侧，所以斜率OB OA k k ,中必有一个大于OC k ，另一个小于OC k ．因为{}n a 是由正数组成的等比数列，所以OA n n OC k S S k =<=++121， 所以OC OB k k <， 即<+1n n S S 21++n n S S ． 所以212++<⋅n n n S S S ． 此外，还可以利用向量的数量积证明不等式，一般是根据向量的数量积公式θb a =⋅找出不等关系，如b a ≤⋅≤等，然后利用不等关系证明不等式，在此对这种方法不再举例说明．综上所述，利用构造思想证明不等式时，需对题目进行全面分析，抓住可构造的因素，并借助于与之相关的知识，构造出所求问题的具体形式或是与之等价的新问题，通过解决所构造的问题使原问题获得解决．就构造的对象来说它的表现形式是多样的，这就需要我们牢固的掌握基础知识和解题技巧，综合运用所学知识将问题解决．2 利用换元法证明不等式换元法是数学解题中的一种重要方法，换元的目的是通过换元达到减元，或通过换元得到熟悉的问题形式．换元法主要有以下几种形式：图6O xyABC2.1 三角换元法例15 已知,122≤+y x 求证2222≤-+y xy x ．证明 设θθsin ,cos r y r x ==()10≤≤r ，则=-+222y xy x θθθθ22222sin sin cos 2cos r r r -+θθθ222sin 2sin cos -+=r224sin 22sin 2cos 222≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=r r r πθθθ．注 这种方法一般是已知条件在结构上与三角公式相似时宜采用．若题设为,12=+y x 可设;sin 2,cos θθ==y x 题设为,122=-y x 可设θθtan ,sec ==y x 等．2.2 均值换元法例16 设,1,,,=++∈z y x R z y x 求证31222≥++z y x )12](2[P ．证明 设,31α+=x ,31β+=y ,31γ+=z 其中0=++γβα 则 =++222z y x ++2)31(α++2)31(β=+2)31(γ31)(231222≥++++++γβαγβα(当且仅当γβα==时取等号)．2.3 增量换元法这种方法一般用于对称式(任意互换两个字母顺序，代数式不变)和给定字母顺序的不等式的证明．例17 已知,0>>y x 求证 yx y x -<-)55](6[P ．证明 由,0>>y x 可令t y x += )0(>t ． 因为2)(2t y yt t y t y +=++<+， 所以t y t y +<+， 即y x y x -<-．总之，证明不等式时适当的引进换元，可以比较容易的找到解题思路，但具体使用何种代换，则因题而异，总的目的是化繁为简．3 利用概率方法证明不等式)51](7[P利用概率方法证明不等式，主要是根据实际问题，构造适当的概率模型，然后利用有关结论解决实际问题．3.1利用概率的性质：对任意事件A ，1)(0≤≤A P ，证明不等式例18 证明若,10,10≤≤≤≤b a 则1+≤+≤ab b a ab ．分析 由,10,10≤≤≤≤b a 可把a 看做事件A 发生的概率，b 看做事件B 发生的概率． 证明 设事件A 与B 相互独立，且,)(,)(b B P a A P ==则ab b a B A P B P A P B A P -+=-+=)()()()( ．因为,1)(0≤≤B A P 所以10≤-+≤ab b a ，所以1+≤+≤ab b a ab ．3.2 利用Cauchy-Schwarz 不等式：2))((ξηE ≤22ηξE E 例19 设0>i a ，0>i b ，,2,1=i …n ,， 则 21)(∑=ni i i b a ≤))((1212∑∑==ni in i i ba ．证明 设随机变量ξηηξ,,满足下列要求ξ概率分布:P (ξ=i a )=n 1(n i ,,2,1 =)，η概率分布:P (η=i b )=n1(n i ,,2,1 =)，ξη概率分布:⎪⎩⎪⎨⎧≠=== )(0)(1)(j i j i nb a P j i ξη， 则 2ξE ＝∑=n i i a n 121，2ηE ＝∑=n i i b n 121，)(ξηE ＝∑=n i i i b a n 11．由2))((ξηE ≤22ηξE E 得 212)(1∑=n i i i b a n ≤)1)(1(1212∑∑==n i i n i i b n a n ．即 21)(∑=ni i i b a ≤))((1212∑∑==ni in i i ba ．用概率证明不等式比较新颖，开辟了证明不等式的又一途径．但该法用起来不太容易，因为读者必须对概率这部分知识熟悉掌握，才能选择适当的结论加以利用，因此对这种方法只做简单了解即可．4 用微分方法证明不等式在高等数学中我们接触了微分, 用微分方法讨论不等式,为不等式证明方法开辟了新的视野． 4.1利用微分中值定理微分中值定理包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理，下面仅给出拉格朗日中值定理、泰勒定理的应用：拉格朗日中值定理)120](8[P 若函数)(x f 在[]b a ,上连续，()b a ,内可导，则在()b a ,内至少存在一点ξ，使得)('ξf ＝ab a f b f --)()(．例20 已知0>b ,求证b b bb<<+arctan 12． 证明 函数x arctan 在[]b ,0上满足拉格朗日中值定理的条件，所以有b arctan －0arctan ＝)0()(arctan '-=b x x ξ＝21ξ+b，),0(b ∈ξ． 而b bx b <+<+2211ξ， 故原不等式成立．泰勒定理)138](8[P 若函数)(x f 在[]b a , 上有直至n 阶的连续导数，在()b a ,内存在()1+n 阶导函数，则对任意给定的0,x x ()b a ,∈，使得10)1(00)(200''00'0)()!1()()(!)()(!2)())(()()(++-++-++-+-+=n n nn x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f ξ 该式又称为带有拉格朗日余项的泰勒公式．例21 设函数)(x f 在[]b a ,上二阶可导，且M x f ≤)(''，,1,0)2(=-=+a b ba f 试证 4)()(M b f a f ≤+)69](9[P ．证明 将函数)(x f 在点20ba x +=展成二阶泰勒公式 ++-+++=)2)(2()2()('b a x b a f b a f x f 2'')2)((21b a x f +-ξ＝)2)(2('ba xb a f +-+＋2'')2)((21b a x f +-ξ． 将b a x ,=代入上式得)21)(2()('b a f a f +-=＋)(811''ξf ，)(81)21)(2(')(2''ξf b a f b f ++=． 相加得))()((81)()(2''1''ξξf f b f a f +=+． 取绝对值得))()((81)()(2''1''ξξf f b f a f +≤+≤4M ．4.2 利用极值例22 设12ln ->a 为任一常数，求证xeax x <+-122()0>x )188](10[P ．证明 原问题可转化为求证012)(2>-+-=ax x e x f x)0(>x ．因为0)0(=f ,所以只需证022)('>+-=a x e x f x．由02)(''=-=xe xf 得)('x f 的稳定点2ln =x ．当2ln <x 时，0)(''<x f ． 当2ln >x 时，0)(''>x f ． 所以 02)2ln 1(222ln 22)2(ln )(min ''>+-=+-==>a a f x f x ．所以原不等式成立．4.3 利用函数的凹凸性定义)193](10[P )(x f 在区间I 上有定义，)(x f 称为I 上的凸（凹）函数，当且仅当：21,x x ∀∈I ，有)2(21x x f +≤2)()(21x f x f + （)2(21x x f +≥2)()(21x f x f +）． 推论)201](10[P 若)(x f 在区间I 上有二阶导数，则)(x f 在I 上为凸（凹）函数的充要条件是：0)(''≥x f （0)(''≤x f ）．例23 证明na a a n +++ 21≥n n a a a 21 ),,2,1,0(n i a i =>)125](11[P ．证明 令,ln )(x x f =则01)(,1)(2'''<-==xx f x x f ，所以 x x f ln )(=在()+∞,0上是凹函数，对),0(,,,21+∞∈n a a a 有)ln ln (ln 1ln 2121n n a a a nn a a a +++≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+++ ，所以na a a n +++ 21≥nn a a a 21．例24 对任意实数,,b a 有)(212b ab a e e e+≤+)80](12[P ．证明 设xe xf =)(，则),(,0)(''+∞-∞∈>=x e x f x，所以)(x f 为),(+∞-∞上凸函数．从而对b x a x ==21,有2)()()2(b f a f b a f +≤+． 即)(212b ab a e e e+≤+． 5 利用几个著名的不等式来证明不等式5.1 均值不等式)133](4[P定理 1 设n a a a ,,,21 是n 个正数，则)()()()(n Q n A n G n H ≤≤≤称为均值不等式，其中,111)(21na a a nn H +++=,)(21n n a a a n G =,)(21na a a n A n+++=na a a n Q n22221)(+++=分别称为n a a a ,,,21 的调和平均值，几何平均值，算术平均值，均方根平均值．例25 已知,10<<a ,02=+y x 求证812log )(log +≤+a yx a a a ． 证明 由,10<<a ,0,0>>yxa a 有y x y x y x a a a a a +=⋅≥+22，从而得22log )2(log )(log yx a a a a y x a y x a ++=≤++， 故现在只需证812≤+y x 或 41≤+y x 即可． 而4141)21(22≤+--=-=+x x x y x (当21=x 时取等号)，所以812log )(log +≤+a yx a a a ．5.2 Cauchy 不等式 定理2)135](4[P 设),,2,1(,n i R b a i i =∈，则∑∑∑===≥⋅n i ni i i ni ii b a ba 121122,)(当且仅当nn a b a b a b === 2211时等号成立. 例26 证明三角不等式 2112)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑=ni i i b a ≤2112⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=ni i a ＋2112⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=ni i b )33](12[P ．证明 因为∑=+ni i ib a12)(＝∑=+ni i i i a b a 1)(＋∑=+ni i i i b b a 1)(根据Cauchy 不等式，可得∑=+ni i i ia b a1)(≤211212)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∑==ni i n i i i a b a ． （1）∑=+ni i i i b b a 1)(≤211212)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∑==ni i ni i ib b a ． （2） 把（1）（2）两个式子相加，再除以2112)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑=ni i i b a ，即得原式成立．5.3 Schwarz 不等式Cauchy 不等式的积分形式称为Schwarz 不等式． 定理3)271](10[P )(),(x g x f 在[]b a ,上可积，则⎰⎰⎰≤b ababadx x g dx x f dx x g x f .)()())()((222若)(),(x g x f 在[]b a ,上连续，其中等号当且仅当存在常数βα,，使得)()(x g x f βα≡时成立(βα,不同时为零)．例27 已知)(x f 在[]b a ,上连续，,1)(=⎰badx x f k 为任意实数，求证2)cos )((⎰bakxdx x f 1)sin )((2≤+⎰b akxdx x f )272](10[P ．证明 上式左端应用Schwarz 不等式得2)cos )((⎰bakxdx x f 2)cos )(()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰badx kx x f x f⎰⎰⋅≤babakxdx x f dx x f 2cos )()(⎰=bakxdx x f 2cos )(． (1)同理2)sin )((⎰bakxdx x f ⎰≤bakxdx x f 2sin )(． (2)由(1)+(2)即得原不等式成立． 5.4 利用W.H.Young 不等式 定理4)288](10[P 设)(x f 单调递增，在),0[+∞上连续，,0)0(=f )(,0,1x fb a ->表示)(x f 的反函数，则⎰⎰-+≤bady y f dx x f ab 010,)()(其中等号当且仅当b a f =)(时成立．例28 设,0,>b a ,1>p ,111=+qp 试证q b p a ab q p +≤)290](10[P ．证明 因为,1>p 所以1)(-=p xx f 单调递增且连续 (当0≥x 时)，1111)(---==q p y yy f )111(-=-q p ． 应用W.H.Young 不等式有 qb p a dy y f dx x f ab qp ba+=+≤⎰⎰-01)()(．。
不等式证明方法举例
不等式证明方法举例不等式证明方法举例不等式是数学中的重要概念，它描述了数值之间的大小关系。
在数学解题过程中，经常需要证明各种各样的不等式。
本文将介绍一些常见的不等式证明方法，并通过实例演示其应用。
一、直接证明法直接证明法是最基本的证明方法之一，它的思路是根据不等式中的条件以及已知数学性质，通过逻辑推理得出结论。
例1：证明对于任意实数x，都有x^2≥0。
解：根据平方的定义，可知x^2≥0，所以不等式x^2≥0成立。
例2：证明对于任意实数x和y，都有xy≥0。
解：我们可以分两种情况进行讨论。
若x≥0，那么y≥0时，显然有xy≥0；若x<0，那么y<0时，也有xy≥0。
综上所述，不等式xy≥0成立。
二、数学归纳法数学归纳法是一种常用的证明方法，它常用于证明递推关系式或者命题在整数集上的成立情况。
例3：证明对于任意正整数n，下列不等式成立：1+2+3+...+n≤(n^2)/2。
解：当n=1时，左边等于1，右边等于1/2，不等式成立。
假设当n=k时不等式成立，即1+2+3+...+k≤(k^2)/2成立。
当n=k+1时，左边等于(1+2+3+...+k)+(k+1)，根据我们的假设，左边不超过(k^2)/2+(k+1)。
我们需要证明(k^2)/2+(k+1)≤((k+1)^2)/2，即不等式(k^2)+2k+2≤(k^2)+2k+1。
经过化简，可知2≤1，显然不成立。
因此，原不等式对于任意正整数n成立。
三、反证法反证法是一种常用的证明方法，它的思路是假设命题不成立，然后通过推理得出与已知条件矛盾的结论，从而得出结论的正确性。
例4：证明当x为正实数时，不等式x+1/x≥2成立。
解：假设不等式不成立，即存在一个正实数x，使得x+1/x<2成立。
那么我们可以得到如下不等式：x^2+1<x^2+2x。
经过化简，得到1<2x，也就是1/2<x。
这与假设x为正实数矛盾。
因此，原不等式成立。
不等式归纳法推理证明基本不等式课件文ppt
对于一个具体的不等式，需要根据其特征进行判别，以确定其类型和证明方法。
不等式的证明方法
不等式的证明方法
不等式的证明方法包括比较法、综合法、分析法、反证法和 放缩法等。
基本不等式的证明
基本不等式是证明其他不等式的基础，其证明方法包括利用 导数或积分进行放缩、利用琴生不等式进行放缩等。
03
利用数学归纳法证明基本不等式
数学归纳法是证明不等式的常用方法之一，证明基本不等式也可以使用该方法。具体步骤包括奠基步骤和归纳 步骤。
04
不等式归纳法推理证明基本不等式
不等式归纳法证明基本不等式的思路
通过对已知数据的观察、分析 ，寻找规律，提出猜想，并用 数学归纳法证明猜想的正确性
将n个不等式转化为(n+1)个不 等式
课程内容
1
介绍不等式归纳法的定义、性质和证明方法。
2
通过实例详解，使学生掌握不等式归纳法的证 明步骤和技巧。
3
针对常见题型，进行归纳总结，帮助学生掌握 常见问题的解决方法。
课程目标
理解不等式归纳法 的概念、性质和证 明方法。
理解常见题型及其 解决方法，提高解 题能力和数学素养 。
掌握不等式归纳法 的证明步骤和技巧 ，并能灵活运用到 实际问题中。
不等式归纳法推理证明基本不等式 课件文ppt
xx年xx月xx日
目录
• 引言 • 不等式归纳法 • 基本不等式 • 不等式归纳法推理证明基本不等式 • 结论与展望
01
引言
课程背景
学生在学习不等式性质时，已经了解了不等式的概念、性质 、判定方法等相关基础知识。
学生在学习归纳法证明时，已经掌握了归纳法的基本思想、 步骤和证明方法。
证明不等式的八种方法
利用导数证明不等式的八种方法构造函数法---1研究其单调性2 极值、最值与0的关系 张红娟学习所得 2012.10.181、利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。
2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。
以下介绍构造函数法证明不等式的八种方法：一、移项法构造函数【例1】 已知函数x x x f -+=)1ln()(，求证：当1->x 时，恒有x x x ≤+≤+-)1ln(111 分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数111)1ln()(-+++=x x x g ，从其导数入手即可证明。
【解】1111)(+-=-+='x x x x f ∴当01<<-x 时，0)(>'x f ，即)(x f 在)0,1(-∈x 上为增函数当0>x 时，0)(<'x f ，即)(x f 在),0(+∞∈x 上为减函数故函数()f x 的单调递增区间为)0,1(-，单调递减区间),0(+∞于是函数()f x 在),1(+∞-上的最大值为0)0()(max ==f x f ，因此，当1->x 时，0)0()(=≤f x f ，即0)1ln(≤-+x x ∴x x ≤+)1ln( （右面得证）， 现证左面，令111)1ln()(-+++=x x x g ， 22)1()1(111)(+=+-+='x x x x x g 则 当0)(,),0(;0)(,)0,1(>'+∞∈<'-∈x g x x g x 时当时 ，即)(x g 在)0,1(-∈x 上为减函数，在),0(+∞∈x 上为增函数，故函数)(x g 在),1(+∞-上的最小值为0)0()(min ==g x g ，∴当1->x 时，0)0()(=≥g x g ，即0111)1ln(≥-+++x x ∴111)1ln(+-≥+x x ，综上可知，当x x x x ≤+≤-+->)1ln(111,1有时 【警示启迪】如果()f a 是函数()f x 在区间上的最大（小）值，则有()f x ≤()f a （或()f x ≥()f a ），那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过0就可得证． 2、作差法构造函数证明【例2】已知函数.ln 21)(2x x x f += 求证：在区间),1(∞+上，函数)(x f 的图象在函数332)(x x g =的图象的下方；分析：函数)(x f 的图象在函数)(x g 的图象的下方)()(x g x f <⇔不等式问题， 即3232ln 21x x x <+，只需证明在区间),1(∞+上，恒有3232ln 21x x x <+成立，设)()()(x f x g x F -=，),1(+∞∈x ，考虑到061)1(>=F 要证不等式转化变为：当1>x 时，)1()(F x F >，这只要证明： )(x g 在区间),1(+∞是增函数即可。
不等式—不等式的证明(初等数学课件)
1 12
1 22
1 32
1 n2
1
1 1 2
1 2
3
1
nn 1
不等式的证明
1
1
1 2
1 2Biblioteka 1 3n1 1
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21 2 n
初等数学研究
不等式的证明--综合法
不等式的证明
从已知条件或已证明的基本不等式出发，根据不等式的性质，利用比较、 适当放缩、换元或判别式等技巧，直接导出所要证明的结论，即为综合法。 这是最基本、最常见且技巧性较强的方法，是典型的“由因导果”型的逻辑 方法。
不等式的证明
例 1（比较法） 证明：若 a,b R ，则 a4 b4 a3b ab3
初等数学研究
不等式的证明--分析法
不等式的证明
分析法是从要证明的结论出发，利用不等式的性质，或已证明过的不等 式，寻求使结论成立的充分条件（充要条件），最后归结为一个明显成立的 不等式或题目的已知条件，从而证出所要的不等式成立，即所谓的“执果索 因”法。
不等式的证明
用分析法证明不等式的步骤： （1）想要证明结论成立； （2）只需证明…； （3）只需证明…； 直至找出使结论成立的充要条件。
例题讲解
例 2 求证： 2 7 3 6 。
证明 要证 2 7 3 6 ，由于 2 7 0 ， 3 6 0
所以只需要证明
2
2
2 7 3 6
即证
9 2 14 9 2 18
例题讲解
只需证
14 18
即只需要证明
14 18
因为14 18 成立，所以 2 7 3 6 成立。
证明 因为 a4 b4 a3b ab3 a4 a3b b4 ab3
用数学归纳法证明不等式举例 课件
1
k＋
1
＋ k＋ ＋1.
所以Βιβλιοθήκη k＋1 1＋k＋1 2＋k＋1 3＋…＋3k1＋1
＋
1
3k＋2
＋
1
k＋
＋
1
k＋
＋1－k＋1 1
>1＋3k1＋2＋
1
k＋
＋3k1＋4－
3
k＋
＝1＋3k1＋2＋3k1＋4－
2
k＋
，
由
于
1
3k＋2
＋
1
3k＋4
－
2
k＋
＝
6k＋6
k＋
k＋
－
k＋
6k＋6
6k＋6
k＋ 2 ＝9k2＋18k＋8－9k2＋18k＋9>0，
分析：用数学归纳法证明．从 n＝k 到 n＝k＋1 时，为利用假设
1
需要增加因式k＋1，对于除含有
n＝k
的因式外的其余的项，需运用
不等式的性质证明其大于零即可．
解析：取 n＝1，1＋1 1＋1＋1 2＋3×11＋1＝2264，
令2264＞2a4⇒ a＜26，而 a∈N*，
∴取 a＝25.下面用数学归纳法证明：
∴k＋1 1＋k＋1 2＋…＋3k1＋1＋3k1＋2＋3k1＋3＋
(2) 3k1＋4－k＋1 1＞2254＋3k1＋2＋3k1＋4－
2
k＋
.
1
1
k＋
2
∵3k＋2＋3k＋4＝9k2＋18k＋8＞ k＋ ＝
k＋ 9k2＋18k＋9，
∴3k1＋2＋3k1＋4－
2
k＋
＞0，
∴k＋1 1＋k＋1 2＋…＋3k1＋1＋3k1＋2＋3k1＋3＋
数学中的不等式证明与推导
数学中的不等式证明与推导在数学领域中，不等式证明与推导是一项重要的技能，广泛应用于各个数学分支中。
通过证明与推导不等式，我们可以深入理解数学规律，拓展思维方式，并为解决实际问题提供定量依据。
本文将介绍不等式的基本概念、证明和推导方法，并以具体案例来说明其应用。
一、不等式的基本概念不等式是数学中常见的一个概念，用于表示两个数之间的大小关系。
常见的不等式符号有大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）和小于等于（≤）。
例如，对于两个实数a和b，我们可以表示不等式a > b，表示a大于b。
在不等式中，除了变量外，还经常涉及到常数和函数。
常数即确定的数值，函数是一个数到另一个数的映射关系。
不等式中常用的函数有一次函数、二次函数、指数函数和对数函数等。
二、不等式的证明方法不等式的证明方法主要分为直接证明法、间接证明法、反证法和数学归纳法等。
这里我们重点介绍直接证明法和间接证明法。
1. 直接证明法直接证明法是一种通过逻辑推理，从已知条件出发，逐步得出结论的证明方法。
在证明不等式时，我们需要根据不等式的性质和已知条件，运用数学定理和推理规则来逐步推导，直到达到所要证明的结论。
例如，我们需要证明对于任意正实数a和b，有(a+b)^2 ≥ 4ab。
可以按照以下步骤进行证明：（1）展开(a+b)^2，得到a^2 + 2ab + b^2；（2）根据二次项的非负性质，得到a^2 + 2ab + b^2 ≥ 2ab；（3）进一步化简，得到a^2 + 2ab + b^2 ≥ 2√(ab) * 2√(ab) = 4ab。
通过以上步骤的逐步推导，我们证明了(a+b)^2 ≥ 4ab。
2. 间接证明法间接证明法是一种通过对假设的否定进行推理，推导出矛盾结论来证明原命题的方法。
在证明不等式时，如果直接证明较为困难，我们可以采用间接证明法。
例如，我们需要证明对于任意正实数a，有(a+1/a) ≥ 2。
可以按照以下步骤进行证明：（1）假设(a+1/a) < 2；（2）根据假设，可得a^2 + 1 < 2a；（3）进一步化简，得到a^2 - 2a + 1 < 0；（4）根据二次函数的性质，得出(a-1)^2 < 0；（5）然而，根据实数的性质，一个数的平方不可能小于0，与假设矛盾；（6）因此，假设错误，可得出(a+1/a) ≥ 2。
高等数学中不等式证明的方法示例
高等数学中不等式证明的方法示例在高等数学中，不等式证明是一个十分重要的概念，它可以用来证明或者反证某个数学命题是否正确。
研究不等式的证明方法，至关重要，下面就来介绍一些不等式证明的方法示例。
一、集合与集合之间的不等式证明1. 左边≦右边：证明A∪B⊆C；首先，因为A⊆C及B⊆C，那么A∪B也是⊆C。
因此，A∪B⊆C证毕。
2. 左边＞右边：证明A∩B≠A；首先，因为A∩B的元素满足A的全部条件及B的全部条件，那么A∩B的元素定小于A。
因此，A∩B≠A，证毕。
二、集合和标量之间的不等式证明1. 左边＞右边：证明x∈A，x＞c；首先，如果x∈A，那么x满足A的全部条件，那么x一定大于c。
因此，x∈A，x＞c，证毕。
2. 左边≦右边：证明x∈A，x≤b；首先，如果x∈A，那么x满足A的全部条件，那么x一定小于等于b。
因此，x∈A，x≤b，证毕。
三、定义的不等式证明1. 左边＞右边：证明x⋅y≠0；首先，由x⋅y=0的定义我们知道，x⋅y等于零只有在两个值a、b均为零时才成立。
但是，如果其中一个值不等于零，那么x⋅y一定不等于零。
因此，x⋅y≠0，证毕。
2. 左边≦右边：证明x⋅y≤0；首先，由x⋅y=0的定义我们知道，x⋅y等于零只有在两个值a、b均为零时才成立，当其中一个值不等于零时，则x⋅y一定小于等于零。
因此，x⋅y≤0，证毕。
四、映射的不等式证明1. 左边＞右边：证明f(x)＞f(y)；首先，如果x>y ,根据函数f的定义，我们知道f(x)满足y的全部条件及x超出了y，那么f(x)肯定大于f(y)。
因此，f(x)＞f(y)，证毕。
2. 左边≦右边：证明f(x)≤f(y)；首先，如果x≤y，根据函数f的定义，我们知道f(x)满足y的全部条件及x的全部条件，那么f(x)肯定小于等于f(y)。
因此，f(x)≤f(y)，证毕。
以上就是高等数学中不等式证明的方法示例。
通过以上介绍，我们可以看出，不等式证明是高等数学中一个十分重要的概念，熟捻这种证明方法对于我们正确理解不等式非常有利，正确使用它们可以让我们更轻松地证明不等式的正确性。
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D．26
5．不等式 ax2＋2ax＋1≥0 对一切 x∈R 恒成立，则实数 a 的取 值范围为__________．
解析：当 a＝0 时，不等式为 1≥0 恒成立；当 a≠0 时，须aΔ＞≤00，，
即a4＞ a2－0，4a≤0， 所以 0＜a≤1. 综上 0≤a≤1.
答案：[0,1]
考点一
含参数的一元二次不等式的解法
(1)当 x∈R 时，f(x)≥a 恒成立，求 a 的范围；
(2)当 x∈[－2,2]时，f(x)≥a 恒成立，求 a 的范围；
(3)当 a∈[4,6]时，f(x)≥0 恒成立，求 x 的范围．
通关特训 2 设函数 f(x)＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数 x，f(x)＜0 恒成立，求 m 的取值范围； (2)若对于 x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5 恒成立，求 m 的取值范围．
1 个过程——一元二次不等式的求解过程 解一元二次不等式的一般过程是：一看(看二次项系数的符 号)，二算(计算判别式，判断方程根的情况)，三写(写出不等式 的解集)．
2 种思想——分类讨论和转化思想 (1)分类讨论的思想：含有参数的一元二次不等式一般需要分类 讨论．在判断方程根的情况时，判别式是分类的标准；需要表示不 等式的解集时，根的大小是分类的标准． (2)转化思想：不等式在指定范围的恒成立问题，一般转化为求 函数的最值或值域问题．
通关特训 3 某农贸公司按每担 200 元收购某农产品，并每 100 元纳税 10 元(又称征税率为 10 个百分点)，计划可收购 a 万担，政 府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低 x(x≠0) 个百分点，预测收购量可增加 2x 个百分点．
(1)写出降税后税收 y(万元)与 x 的函数关系式； (2)要使此项税收在税率调节后不少于原计划税收的 83.2%，试 确定 x 的取值范围．
3．一元二次不等式的解集
判别式 Δ＝b2－4ac
Δ＞0
二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图像
Δ＝0
Δ＜0
4．分式不等式与一元二次不等式的关系
(1)xx－ －ab＞0等价于□9 __________________. (2)xx－ －ab＜0等价于□10 __________________. (3)xx－ －ab≥0等价于□11 __________________. (4)xx－ －ab≤0等价于□12 __________________.
【例 1】 解关于 x 的不等式：ax2－2≥2x－ax(a∈R)．
通关特训 1 已知不等式 ax2－3x＋6＞4 的解集为{x|x＜1 或 x ＞b}．
(1)求 a，b 的值； (2)解关于 x 的不等式 ax2－(ac＋b)x＋bc＜0.
考点二
一元二次不等式恒成立问题
【例 2】 函数 f(x)＝x2＋ax＋3.
1．不等式 x2－3x＋2＜0 的解集是( ) A．(－∞，－2)∪(－1，＋∞) B．(－2，－1) C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D．(1,2)
2．不等式 2x2－x－1＞0 的解集是( ) A.－12，1 B．(1，＋∞) C．(－∞，1)∪(2，＋∞) D.－∞，－12∪(1，＋∞)
3．不等式 9x2＋6x＋1≤0 的解集是( )
考点三 一元二次不等式的实际应用 【例 3】 某商人如果将进货单价为 8 元的商品按每件 10 元出 售，每天可销售 100 件．现在他采用提高售价，减少进货量的办法 增加利润．已知这种商品每件销售价每提高 1 元，销售量就要减少 10 件，则他将销售价每件定为多少元时，才能使得每天所获的利润 最大？销售价每件定为多少元时，才能保证每天所获的利润在 300 元以上？
不x＞b(a≠0)：
(1)当a＞0时，解集为□1 ______________.
(2)当a＜0时，解集为□2 ______________.
2．一元二次不等式的解法 (1)将不等式的右端化为0，左端化为二次项系数大于零的不 等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)． (2)求出相应一元二次方程的根． (3)利用二次函数的图像与x轴的交点情况确定一元二次不等 式的解集．
A．{x|x≠－13}
B．{－13}
C．{x|－13≤x≤13}
D．R
解析：∵9x2＋6x＋1＝(3x＋1)2≥0，
∴9x2＋6x＋1≤0 的解集为{x|x＝－13}，故选 B 项．
答案：B
4．若不等式 ax2＋bx－2＜0 的解集为{x|－2＜x＜14}，则 ab＝
() A．－28
B．－26
C．28
3 个注意点——解含参数不等式应注意的问题 (1)二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集； 不要忘了二次项系数为零的情况． (2)解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的 大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论， 分类要不重不漏． (3)不同参数范围的解集切莫取并集，应分类表述．