衡水中学2019届高三理科数学周测5答案

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河北衡水中学2019高三第五次调研考试--数学理

河北衡水中学2019高三第五次调研考试--数学理第一卷〔选择题共60分〕【一】选择题〔每题5分，共60分〕1.假设复数ii a 21-+是纯虚数,那么实数a 的值为〔〕A.2B.21- C.51D.52- 2.以下四个函数中，在区间(0，1)上是减函数的是()A .2log y x =B .1y x =C .1()2x y =-D .13y x =4.为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：那么y 对x 的线性回归方程为 ()A 1-=x y 、B.1+=x y C 、8821+=x y D.176=y 5.某学校课题组为了研究学生的数学成绩和物理成绩之间的关系，随机抽取高二年级20名有多少的把握认为学生的数学成绩与物理成绩之间有关系〔〕 A.99.9%B.99%C.97.5%D.95%A.第10项B .第9项C .第8项D :第7项 7.33)6cos(-=-πx ，那么=-+)3cos(cos πx x ()A.332- B.332±C.1-D.1±8.过(2,2)点且与曲线222220x y x y ++--=相交所得弦长为()A 、3420x y -+=B 、3420x y -+=或2x =C 、3420x y -+=或2y =D 、2x =或2y = 9.两点(2,2),(2,1)A B ，O 为坐标原点，假设255OA tOB -≤，那么实数t 的值为()A.56B.65C.1D.3410.把6张座位编号为1,2,3,4,5,6的电影票分发给4个人，每人至少1张，最多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是〔〕A.168B.96C.72D.14411.某几何体的三视图如右图，其正视图中的曲线部分为半个圆弧，那么该几何体的表面积为〔〕A 、π42616++2cmB 、π32616++2cmC 、π42610++2cmD 、π32610++2cm 12、方程|sin |(0)x k k x=>有且仅有两个不同的实数解,()θϕθϕ>，那么以下有关两根关系的结论正确的选项是〔〕A 、sin cos ϕϕθ=B 、sin cos ϕϕθ=-C 、cos sin ϕθθ=D 、sin sin θθϕ=-第二卷非选择题〔共90分〕【二】填空题〔本大题共4个小题，每题5分，共20分〕13.一个圆锥和一个半球有公共底面，假如圆锥的体积和半球的体积相等，那么那个圆锥的母线与轴所成角正弦值为14.在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，222a c b -=，且s i n c o s 3c o ss i n A C A C =求b=15.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，那么ab 312+的最小值为 16.对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为na ，那么数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和的公式是__________、【三】解答题〔共6个小题，共70分〕17.〔此题总分值12分〕为了让学生了解更多“奥运会”知识，某中学进行了一次“奥运知识竞赛”，共有800名学生参加了这次竞赛，为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取部分学生的成绩(得分均为整数，总分值为100分)进行统计、请你依照尚未完成并有局部污损的频率(1)假设用系统学生随机地编号为000,001,002，…，799，试写出第二组第一位学生的编号；(2)填充频率分布表的空格(将答案直截了当填在表格内)，并作出频率分布直方图； (3)假设成绩在85.5～95.5分的学生为二等奖，问参赛学生中获得二等奖的学生约为多少人？ 18、〔此题总分值12分〕如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥面ABC ，BC ⊥AC ，BC=AC=2，AA 1=3，D 为AC 的中点.〔1〕求证：AB 1//面BDC 1；〔2〕求二面角C 1—BD —C 的余弦值；〔3〕在侧棱AA 1上是否存在点P ，使得CP ⊥面BDC 1？并证明你的结论.19.〔此题总分值12分〕如下图，某市政府决定在以政府大楼O 为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建筑一个图书馆.为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的半径OM R =，45MOP ∠=，OB 与OM 之间的夹角为θ. 〔1〕将图书馆底面矩形ABCD 的面积S 表示成θ的函数.〔2〕假设m R 3=，求当θ为何值时，矩形ABCD的面积S 有最大值？其最大值是多少？20、〔此题总分值12分〕如图，曲线1C 是以原点O 为中心、12,F F 为焦点的椭圆的一部分，曲线2C 是以O 为顶点、2F 为焦点的抛物线的一部分，A 是曲线1C 和2C 的交点且21AF F ∠为钝角，假设172AF =，252AF =. 〔1〕求曲线1C 和2C 的方程；〔2〕过2F 作一条与x 轴不垂直的直线，分别与曲线12C C 、依次交A C D MO Q FBP于B 、C 、D 、E 四点，假设G 为CD 中点、H 为BE 中点，问22BE GF CD HF ⋅⋅是否为定值？假设是求出定值；假设不是说明理由.21、〔此题总分值12分〕设函数22()f x a x =〔0a >〕，()ln g x b x =、(1)将函数()y f x =图象向右平移一个单位即可得到函数()y x ϕ=的图象，试写出()y x ϕ=的解析式及值域；(2)关于x 的不等式2(1)()x f x ->的解集中的整数恰有3个，求实数a 的取值范围； (3)关于函数()f x 与()g x 定义域上的任意实数x ，假设存在常数,k m ，使得()f x kx m ≥+和()g x kx m ≤+都成立，那么称直线y kx m =+为函数()f x 与()g x 的“分界线”、设2a =，b e =，试探究()f x 与()g x 是否存在“分界线”？假设存在，求出“分界线”的方程；假设不存在，请说明理由、请考生在第〔22〕、〔23〕、〔24〕三题中任选一题做答，假如多做，那么按所做的第一题记分.此题总分值10分。

河北省衡水市2019届高三第三次模拟考试数学(理)试卷附答案

2018-2019学年高三年级第三次质检考试数学试题（理）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

2．答题前请仔细阅读答题卡（纸）上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题。

3．选择题答案涂在答题卡上，非选择题答案写在答题卡上相应位置，在试卷和草稿纸上作答无效。

第Ⅰ卷选择题（共60分）一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求,将正确答案填涂在答题卡上。

1.已知集合{}{}1|,1|<=<=x e x B x x A ，则( )A. {}1|<=x x B AB. {}e x x B A <=|C. R B C A R =)(D.{}10|)(<<=x x B A C R2. 已知i 为虚数单位，若1i(,)1+ia b a b =+∈R ，则b a = （） A. 1 B.2 C.22D.2 3.向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示.若向量λ+a b 与c 共线,则实数λ=（）A.2-B.1-C.1D.2 4.函数)6cos()3sin(51)(ππ-++=x x x f 的最大值为（）A. 51 B. 1 C. 53 D. 565.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（）A ． 932 B ．516C ．38D ． 7166.已知0>a ，)6(log )(ax x f a -=，则“31<<a ”“是)(x f 在)2,1(上单调递减”的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件7.一给定函数)(x f y =的图象在下列四个选项中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数列{}n a 满足n n a a<+1.则该函数的图象可能是( )A. B. C. D.8.某几何体的三视图如图所示，其中主视图，左视图均是由高为2三角形构成，俯视图由半径为3的圆与其内接正三角形构成，则该几何体的体积为( )A. B. C. D. .9.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ， 122F F c =，过2F 作x 轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A ，已知3,2a Q c ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 22F Q F A >，点P 是双曲线C 右支上的动点，且11232PF PQ F F +>恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（）A. ⎫+∞⎪⎪⎝⎭B. 71,6⎛⎫⎪⎝⎭C. 76⎛ ⎝⎭D. ⎛ ⎝⎭10.已知实数、满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-+≥+--033042242421y x y x y x y x ，若1)1(-+≥x k y 恒成立，那么k 的取值范围是( )A ．]3,21[B ．]34,(-∞ C ．),3[+∞ D ．]21,(-∞11.已知三棱锥A BCD -中，2,2AB AC BD CD BC AD =====，直线AD 与底面BCD 所成角为3π，则此时三棱锥外接球的表面积为（）A. π8 B.π6 C. π9 D. π5 12.已知函数是定义在R 上的奇函数，当时，⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<=--,2),2(21,202)(,1|1|x x f x x f x 则函数1)()(-=x xf x g 在),7[+∞-上的所有零点之和为( )A ．7 B ．8 C ．9 D ．10第Ⅱ卷非选择题（共90分）二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡上相应位置。

2019年河北衡水中学高三上学期第五次调研考试数学(理)试卷(含答案)

高考数学精品复习资料2019.520xx —20xx 学年度第一学期高三年级五调考试数学（理）试卷本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：（每小题5分，共60分，下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上） 1. 设i 是虚数单位，则复数i－1＋i的虚部是( )A. －i 2 B ．－12 C.12 D ．i 22.已知命题x x R x p lg 2,:>-∈∃，命题0,:2>∈∀x R x q ，则( ) A.命题q p ∨是假命题 B.命题q p ∧是真命题 C.命题)(q p ⌝∧是真命题 D.命题)(q p ⌝∨是假命题3.一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m ）, 则该几何体的体积为（）3m ． A ．37B.29C ．27D.494．以下四个命题中：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (1，σ2)(σ＞0)．若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为0.8 ；④对分类变量X 与Y 的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握程度越大．其中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 5. 已知等比数列{n a }的公比2=q ,且42a ,6a ,48成等差数列,则{n a }的前8项和为( )A ．127B ．255C ．511D ．10236．程序框图如图所示：如果上述程序运行的结果S ＝1320，那么判断框中应填入( ) A ．K ＜10? B ．K ≤10? C ．K <9? D ．K ≤11? 7.已知43sin()sin 0,352ππααα++=--<<则2cos()3πα+等于（） A.45-B.35-C.45D.358.已知菱形ABCD 的边长为4，0051ABC =∠，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离大于1的概率（） A.4π B. 41π- C. 8π D. 81π-9.函数|1|,1()1()1,12x a x f x x -=⎧⎪=⎨+≠⎪⎩若关于x 的方程22()(23)()30f x a f x a -++=有五个不同的实数解,则a 的取值范围是（）A.(1,2)B.)2,23()23,1(Y C.3[,2)2 D. 3(1,)210.已知向量a ，b ，c 满足||||2a b a b ==⋅=，()(2)0a c b c -⋅-=，则||b c -的最小值为（）A ．732B ．312C ．32D ．7211.已知双曲线12222=-b y a x 的左右焦点分别为12F F 、，O 为双曲线的中心，P 是双曲线右支上的点，21F PF ∆的内切圆的圆心为I ，且圆I 与x 轴相切于点A ，过2F 作直线PI 的垂线，垂足为B ，若e 为双曲线的离心率，则( )A. ||||OA e OB =B. ||||OB e OA =C. ||||OA OB =D. ||OA 与||OB 关系不确定 12．数列{}n a 共有12项，其中10a =，52a =，125a =，且11,1,2,3,11k k a a k +-==⋅⋅⋅，则满足这种条件的不同数列的个数为（）A.84B.168C.76D.152第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题（每小题5分，共20分. 每小题的答案填在答题纸的相应位置）13.已知7270127()x m a a x a x a x -=++++L 的展开式中4x 的系数是－35，则1237a a a a ++++L =14.已知f (x )是R 上的减函数，A (3，-1)，B (0，1)是其图象上两个点，则不等式|(1ln )|1f x +< 的解集是__________15.已知抛物线)1)0(22m M p px y ，（上一点>=到其焦点的距离为5，双曲线122=-ay x 的左顶点为A ，若双曲线一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a=16.在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是AC 1、A 1B 1的中点．点P 在正方体的表面上运动，则总能使MP 与BN 垂直的点P 所构成的轨迹的周长等于．三、解答题（共70分.解答应写在答题纸的相应位置，并写出必要的文字说明、推理过程） 17. （本小题满分12分）已知圆O 的半径为R (R 为常数),它的内接三角形ABC 满足B b aC A R sin )2()sin (sin 222-=-成立,其中c b a ,,分别为C B A ∠∠∠,,的对边,求三角形ABC 面积S 的最大值.18.（本小题满分12分）某公司计划在迎春节联欢会中设一项抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样号码分别为1，2，3，…，10的十个小球。

2019届河北省衡水市高三下学期五月大联考数学(理)试题(解析版)

2019届河北省衡水市高三下学期五月大联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}|1M x x =≥，()122|2N x y x x ⎧⎫==-⎨⎬⎩⎭，则集合M N =I （）A ．φB ．(2,)+∞C ．[2,)+∞D ．[1,2]【答案】C【解析】求出函数()1222y x x=-的定义域，表示出集合N ，得出M N ⋂.【详解】{0N x x =≤Q 或}2x ≥，[)2,M N ∴=+∞I .故选：C 【点睛】本题主要考查了集合的表示，集合的运算，属于基础题.解此题要理解集合N 表示函数()1222y x x =-的定义域.2．已知i 为虚数单位，且复数z 满足：(1)23i z i -=-，则z 的虚部为（） A ．12-B ．2i -C ．12D ．52【答案】A【解析】通过运算得出5122z i =-，从而判定出的z 的虚部. 【详解】23(23)(1)12i i i z i --+==-5122i =-，故z 的虚部为12-. 故选：A 【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，属于基础题.对复数的实部，虚部的正确理解是判断答案的关键.3．已知抛物线2:2C x py =（0p >）的焦点F 在直线:4l x y +=上，则点F 到C 的准线的距离为（） A ．2B ．4C ．8D ．16【解析】由抛物线的方程判断出焦点在y 轴上，所以由直线方程求出焦点坐标()0,4，得到8p =，进而求出点F 到C 的准线的距离. 【详解】在方程4x y +=中，令0x =，得4y =，即42p=，8p ∴=，则点F 到C 的准线的距离是8p =. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程，属于基础题.4．如图是我国2018年1月至12月石油进口量统计图（其中同比是今年第n 个月与去年第n 个月之比），则下列说法错误的是（）A ．2018年下半年我国原油进口总量高于2018年上半年B ．2018年12个月中我国原油月最高进口量比月最低进口量高1152万吨C ．2018年我国原油进口总量高于2017年我国原油进口总量D ．2018年1月—5月各月与2017年同期相比较，我国原油进口量有增有减【答案】D【解析】结合统计图表，对答案选项逐一判断即可.由图易知A ，B 正确；由数量同比折线图可知，除6月及10月同比减少外，其他月份同比都递增，且1月，4月，11月，12月同比增长较多，故2018年我国原油进口总量高于2017年我国原油进口总量，C 正确；2018年1月至5月的同比数据均为正数，故2018年1月—5月各月与2017年同期相比较，我国原油进口量只增不减，D 错误. 故选：D 【点睛】本题主要考查统计图表的识别和判断，考查学生抽象概括能力和推理论证能力，属于基础题.5．已知()1,2A ，()2,3B ，()1,C m -，若BA BC BA BC +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，则2AC =u u u r ( )A ．6B ．C ．16D ．20【答案】D【解析】代入坐标可求出(4,4),(2,2)BA BC m BA BC m +=---=-u u u r u u u r u u u r u u u r，利用模的坐标运算列方程可得6m =，进而可求出AC u u u r 的坐标，则2AC u u u r 可求.【详解】解：(1,1),(3,3)BA BC m =--=--u u u r u u u r ，(2,2)CA m =-u u u r， (4,4),(2,2)BA BC m BA BC CA m ∴+=---==-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，又BA BC BA BC +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ， 2216(4)4(2)m m ∴+-=+-，解得6m =，(2,4)AC ∴=-u u u r，241620AC ∴=+=u u u r .故选：D. 【点睛】考查根据点的坐标求向量的坐标的方法，向量坐标的加法运算，向量减法的几何意义，以及根据向量坐标求向量长度的方法，是基础题.6．已知函数()()3212x x a f x f '=-+-，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()(),a f a 处的切线方程为（）A ．20x y -=B ．0y =C ．10160x y --=D ．20x y -+=【答案】C【解析】先求出()f x '，代入1x =算出()1f '，再由奇函数的性质得出()00f =，从而求得a 的值；然后利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而写出切线的方程. 【详解】()()2321f x x f ''=-，()()1321f f ''∴=-，即()11f '=，即()322x x a f x =-+-.又()f x 为奇函数，2a ∴=.()32x x f x =∴-，()232f x x '=-.(2)4f ∴=，(2)10f '=.由点斜式得曲线()y f x =在点(2,4)处的切线方程为10160x y --=. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，导数的计算，函数的奇偶性，属于中档题. 曲线()y f x =在点()()00x f x ，处的切线方程的方法：（1）求出()0f x '，则切线的斜率()0k f x '=；（2）直线的点斜式写出切线方程为：()()()000y f x f x x x '-=⋅-. 7．函数()f x 的图象可看作是将函数2cos y x =的图象向右平移6π个单位长度后，再把图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）而得到的，则函数()f x 的解析式为（） A ．()2cos 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()2cos 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()12cos 26x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】D【解析】由三角函数的图象变换规律得()2cos 26x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再由诱导公式得()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.【详解】将函数2cos y x =的图象向右平移6π个单位长度后，得到函数2cos 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）得到函数()2cos 26x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，而2cos 22sin 22sin 26623x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故选：D. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，诱导公式，属于基础题.由函数sin y x =的图象通过变换得到()sin y A ωx φ=+的图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.8．设函数()tan 2x f x =，若()3log 2a f =，()5log 2b f =，()0.22c f =，则（）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．b a c <<【答案】D【解析】由()tan2xf x =得出()f x 在(),ππ-上单调递增，再由换底公式与对数函数，指数函数的单调性判断出0.2530log 2log 22π<<<<，从而得出b a c <<.【详解】()tan 2x f x =的最小正周期212T ππ==，与正切函数tan y x =类比可知，()f x 在(),ππ-上单调递增，321log 21log 3=<，521log 21log 5=<，由221log 3log 5<<，得351log 2log 20>>>，而0.20221>=，且0.2122π<<，于是得0.2530log 2log 22<<<，所以()()()0.253log 2log 22f f f <<，即b a c <<.故选：D. 【点睛】本题主要考查了正切函数，指数函数，对数函数的单调性以及换底公式，考查了学生推理能力与计算能力，属于中档题.9．十三届全国人大二次会议于2019年3月5日至15日在北京召开，会议期间工作人员将其中的5个代表团人员（含A 、B 两市代表团）安排至a ，b ，c 三家宾馆入住，规定同一个代表团人员住同一家宾馆，且每家宾馆至少有一个代表团入住，若A 、B 两市代表团必须安排在a 宾馆入住，则不同的安排种数为（） A ．6 B ．12C ．16D ．18【答案】B【解析】按入住a 宾馆的代表团的个数分类讨论. 【详解】如果仅有A 、B 入住a 宾馆，则余下三个代表团必有2个入住同一个宾馆，此时共有22326C A =安排种数，如果有A 、B 及其余一个代表团入住a 宾馆，则余下两个代表团分别入住,b c ，此时共有12326C A =安排种数，综上，共有不同的安排种数为12，故选B. 【点睛】本题考查排列、组合计数，注意要先分组再分配，否则容易出现重复计数的错误. 10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A ．3πB 3πC ．6πD ．12π【答案】A【解析】由三视图知，该几何体是一个正方体截去一角所得的几何体（如图），再由正方体的性质，计算出它的外接球的表面积. 【详解】由三视图可知，该几何体是一棱长为1的正方体截去一角所得的几何体1111ABD A B C D -（如图所示），故其外接球即为该正方体的外接球，球的一条直径为13BD =，所以所求外接球的表面积2343S ππ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：A.【点睛】本题主要考查几何体的三视图与球的表面积计算，属于基础题.11．已知坐标平面xOy 中，点1F ，2F 分别为双曲线222:1xC y a-=（0a >）的左、右焦点，点M 在双曲线C 的左支上，2MF 与双曲线C 的一条渐近线交于点D ，且D 为2MF 的中点，点I 为2OMF △的外心，若O 、I 、D 三点共线，则双曲线C 的离心率为（） A ．2 B ．3C 5D ．5【答案】C【解析】由题意得：直线OD 垂直平分2MF ，设点(),M m n ，()2,0F c ，则,22m c n D +⎛⎫⎪⎝⎭，可得方程组：122na m c n m c a ⎧=-⎪⎪-⎨+⎪=⋅⎪⎩，求得212,a a M c c ⎛⎫-⎪⎝⎭，将2222,a c a M c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入双曲线方程得()2222222241a c a a c c --=，化简可得：5e =【详解】不妨设点M 在第二象限，设(,)M m n ，2(,0)F c ，由D 为2MF 的中点，O 、I 、D 三点共线知直线OD 垂直平分2MF ，则:1OD y x a=，故有n a m c =--，且1122m c n a +⋅=⋅，解得21a m c-=，2n a c =，将212,a a M c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即2222,a c a c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入双曲线的方程可得()2222222241a c a a c c--=，化简可得225c a =，即e =M 在第三象限时，同理可得e =故选：C. 【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程，双曲线的简单性质的应用，运用平面几何的知识分析出直线OD 垂直平分2MF ，并用a c ，表示出点M 的坐标是解决此题的难点，属于中档题. 12．当x 为实数时，trunc()x 表示不超过x 的最大整数，如trunc(3.1)3=.已知函数()trunc()f x x =（其中x ∈R ），函数()g x 满足()()6g x g x =-，()()11g x g x +=-，且[0,3]x ∈时()22g x x x =-，则方程()()f x g x =的实根的个数为（） A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】C【解析】由题意分析得到：()g x 的图象关于直线1x =及直线3x =对称，且()g x 是周期为4的周期函数，正确作出()()f x g x ，的图象，将方程()()f x g x =的实根的个数问题转化为函数()()f x g x ，的图象交点个数问题，观察图象即得结果. 【详解】由()(6)g x g x =-，(1)(1)g x g x +=-，得函数()g x 的图象关于直线1x =及直线3x =对称，且()(6)(2)g x g x g x =-=-，令2t x =-，则()(4)g t g t =+，即()g x 为周期函数，且最小正周期为4.对于()f x ，当[0,1)x ∈时，()0f x =；当[1,2)x ∈时，()1f x =；当[2,3)x ∈时，()2f x =；当[3,4)x ∈时，()3f x =；当[4,5)x ∈时，()4f x =；…；当[1,0)x ∈-时，()1f x =；当[2,1)x ∈--时，()2f x =；当[3,2)x ∈--时，()3f x =；当[4,3)x ∈--时，()4f x =；当[5,4)x ∈--时，()5f x =；….结合已知条件可在同一直角坐标系内画出函数()f x 及()g x 的图象，由图可知，函数()f x 与函数()g x 共有6个交点，即方程()()g x f x =的根的个数为6. 故选：C.【点睛】本题主要考查了函数的图象应用，函数的性质，属于中档题.方程的根的个数问题转化为两个函数的图象交点个数问题，利用数形结合求解是常用方法.二、填空题13．若212nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第1r +项为常数项，则r n =______. 【答案】23【解析】由题意利用二项展开式的通项公式，求得320r n -=，从而得到rn的值. 【详解】解：212nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第1r +项为 .321(1)2n r r r r n nC x ⋅--⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭，再根据它为常数项，可得320r n -=，求得23r n=，故答案为：23. 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题.14．已知实数,x y 满足4041010x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪-≥⎩，则11y z x +=+的最大值是________.【答案】2【解析】首先作出可行域，11y z x +=+表示可行域内的点(,)M x y 与定点(1,1)--P 连线斜率k 的值，故结合图形可求出结果. 【详解】作出可行域，如图所示：11y z x +=+表示可行域内的点(,)M x y 与定点(1,1)--P 连线斜率k 的值，由图可知k 均为正数，故要求z 的最大值，只需求k 的最大值，显然当直线PM 过点()1,3A 时，k 最大，且max 31211k +==+，所以z 的最大值为2. 故答案为：2.【点睛】本题主要考查线性规划的应用，考查的是非线性目标函数的最值的求解.解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，确定目标函数的几何意义. 常见的三类目标函数：（1）截距型：形如z ax by =+；（2）距离型：形如()()22z x a y b =-+-；（3）斜率型：形如y bz x a-=-. 15．我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异”.其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高.原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等.如图(1)，函数()[)()(]2sin ,2,0211,0,2xx f x x x π⎧∈-⎪=⎨⎪--∈⎩的图象与x 轴围成一个封闭区域A （阴影部分），将区域A （阴影部分）沿z 轴的正方向上移6个单位，得到一几何体.现有一个与之等高的底面为椭圆的柱体如图(2)所示，其底面积与区域A （阴影部分）的面积相等，则此柱体的体积为______.【答案】243ππ+【解析】阴影区域在(0,2]上为半个圆，所以柱体的底面积为半圆的面积减去函数()f x 在[2,0)-上的积分，有了底面积，又知道高为6，即可得到柱体的体积. 【详解】解：由题意得，阴影区域在(0,2]上为半个圆，底面积12S S =圆0022124sin cos |2222x x dx ππππππ---=+=+⎰，所以该柱体的体积为424632ππππ⎛⎫+⨯=+⎪⎝⎭.故答案为：243ππ+.【点睛】本题考查定积分在求曲边梯形面积上的应用，考查计算能力.16．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，sin sin sin sin b C a A b B c C +=+，24c b +=，点D 在线段BC 上，且2BD DC =，则AD 的最小值为________.【答案】23【解析】由正弦定理化边得：222bc a b c +=+，再由余弦定理求出角A ,由条件2BD DC =得：1233AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，两边平方得到222144cos 999AD c b bc A =++u u u r ，结合条件24c b +=，利用基本不等式求解即可.【详解】由正弦定理得222bc a b c +=+，2221cos 22b c a A bc +-∴==.又(0,)A π∈，3A π∴=，由2BD DC =，得2BD DC =u u u ru u u r，1233AD AB AC ∴=+u u u r u u u r u u u r，两边平方得222144cos 999AD c b bc A =++u u u r 22142999c b bc =++212(2)99c b bc=+-()22112429923b c c b +⎛⎫≥+-= ⎪⎝⎭，当且仅当22c b ==时取等号.即min 23AD =. 故答案为：233【点睛】本题主要考查了正余弦定理的应用，基本不等式求解最值，属于中档题.将2BD DC =转化为1233AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r是解决此题的一个关键技巧.三、解答题 17．已知数列中，，且.（1）判断数列是否为等比数列，并说明理由；（2）当时，求数列的前2020项和.【答案】（1）①时，不是等比数列；②时，是等比数列；（2）. 【解析】（1）将递推公式变形为，则当时，首项为零，不是等比数列；当时，数列是等比数列.（2）先求出的通项，然后利用分组求和法、并项求和法以及公式法即可求出. 【详解】（1），，∴①当时，，故数列不是等比数列；②当时，数列是等比数列，其首项为，公比为3.（2）由(1)且当时有：，即，，.【点睛】本题主要考查了等比数列证明、数列前项和的求解，属于中档题. 对于等比数列的证明主要有两种方法：（1）定义法，证得即可，其中为常数；（2）等比中项法：证得即可.18．如图，多面体11ABC DB C -是正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）111ABC A B C -沿平面11DB C 切除一部分所得，其中平面ABC 为原正三棱柱的底面，12BC CC ==，点D 为1AA 的中点.(1)求证：1BC ⊥平面1B CD ；(2)求二面角1C BD C --的平面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2)64【解析】（1）设1BC 与1B C 交于点E ，连接DC 、DE ，由题意可得四边形11BB C C 是正方形，且AC AD ⊥，再由点D 为1AA 的中点，1AA 平行且等于1CC ，求得CD ，同理求得1DB ，得1DB CD =，可得1B C DE ⊥，由线面垂直的判定可得；（2）取BC 的中点O ，连接AO ，可得AO ⊥BC ，由正棱柱的性质可得AO ⊥平面11BCC B ，以O 为坐标原点，向量OB uuu r 、OE uuu r 、OA u u u r分别为x 、y ，z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面CBD 与平面1BC D 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角1C BD C --的平面角的余弦值.【详解】(1)设1BC 与1B C 交于点E ，连接DC 、DE .∵多面体11ABC DB C -是正三棱柱沿平面11DB C 切除部分所得，12BC CC ==， ∴四边形11BB C C 是正方形，且AC AD ⊥. ∵点D 为1AA 的中点，1AA 平行且等于1CC ， ∴225CD CA AD +=同理()22115DB BB AD AB =-+=∴1DB CD =. ∵E 为1B C 的中点， ∴1B C DE ⊥.又∵11B C BC ⊥，1BC DE E =I ，∴1B C ⊥平面1BC D ；(2)取BC 的中点O ，连接AO . ∵ABC V 为正三角形，AO BC ∴⊥.由正棱柱的性质可得，平面ABC ⊥平面11BCC B ，且平面ABC I 平面11BCC B BC =， ∴AO ⊥平面11BCC B .以点O 为原点，向量OB uuu r 、OE uuu r 、OA u u u r分别为x 、y ，z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系Oxyz .则()1,0,0B ，()11,2,0B ，()1,0,0C -，(3D ，(3CD ∴=u u u r ，(3BD =-u u u r ，()12,2,0B C =--u u u r.设平面CBD 的一个法向量为(),,n x y z =r，则3030n BD x y z n CD x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩u u u v v u u u v v ，令1z =，得0x =，3y =()0,3,1n =-r.由（1）可知，平面1BC D 的一个法向量为()12,2,0B C =--u u u r.()()10232106cos ,1344n B C ⨯-+⨯-+⨯∴==+⨯+r u u u r ，又∵二面角1C BD C --的平面角为锐角， ∴二面角1C BD C --6【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的大小，是中档题.19．某大型超市抽查了100天该超市的日纯利润数据，并将日纯利润数据分成以下几组（单位：万元）：[4,5)，[5,6)，[6,7)，[7,8)，[8,9)，[9,10]，统计结果如下表所示：以上述样本分布的频率估计总体分布的概率，解决下列问题：（1）从该大型超市近几年的销售记录中抽出5天，求其中日纯利润在区间[5,7)内的天数不少于2的概率；（2）该超市经理由频数分布表可以认为，该大型超市每天的纯利润Z 服从正态分布()2,1.44N μ，其中，μ近似为样本平均数x （每组数据取区间的中点值）.①试利用该正态分布，估计该大型超市1000天内日纯利润在区间(3.97,8.29)内的天数（精确到个位）；②该大型超市负责人根据每日的纯利润给超市员工制定了两种不同的奖励方案：方案一：直接发放奖金，日纯利润低于μ时每名员工发放奖金70元，日纯利润不低于μ时每名员工发放奖金90元；方案二：利用抽奖的方式获得奖金，其中日纯利润不低于μ时每位员工均有两次抽奖机会，日纯利润低于μ时每位员工只有一次抽奖机会；每次抽奖的奖金及对应的概率分别为小张恰好为该大型超市的一名员工，则从数学期望的角度看，小张选择哪种奖励方案更有利？参考数据：若()2~,Z Nμσ，则()0.6827P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9545P Z μσμσ-<<+=.【答案】（1）1316；（2）①819；②奖励方案二. 【解析】（1）由频数分布表可知，日纯利润在区间[)5,7内的频率为12，基于“用样本频率估计总体分布的概率”的思想，可知日纯利润在区间[)5,7内的频率为12，记其中日纯利润不低于5万元且低于7万元的天数为X ，则1~5,2X B ⎛⎫⎪⎝⎭，基于二项分布的性质即可求解；（2）①基于正态分布的3σ原则及其性质即可求解；②首先计算方案一的数学期望，其次针对方案二，列出随机变量Q 的分布列，计算出方案二的数学期望，比较两方案的结果，判断出选择方案二更有利. 【详解】（1）由频数分布表可知，日纯利润在区间[)5,7内的频率为203011002+=，记其中日纯利润不低于5万元且低于7万元的天数为X ，则1~5,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭. ∴所求的概率(2)1(0)(1)P X P X P X ≥=-=-=01555511131C C 2216=--=. （2）①1(4.55 5.520 6.5307.5100x =⨯+⨯+⨯+⨯308.5109.55) 6.85+⨯+⨯=，6.85μ∴=.又 1.44σ=，(3.978.29)(6.85 2.88 6.85 1. 44)P Z P Z ∴<<=-<<+(2)P Z μσμσ=-<<+1()[(22)2P Z P Z μσμσμσμσ=-<<++-<<+()]P Z μσμσ--<<+0.8186=.故该大型超市1000天内日纯利润在区间(3.97,8.29)的天数为10000.8186819⨯≈. ②易知1()()2P Z P Z μμ<=≥=. 对于奖励方案一：设小张每日奖金金额为Y ，则Y 的可能取值为70，90，其对应的概率均为12，故1()(7090)802E Y =⨯+=. 对于奖励方案二：设小张每日奖金金额为Q ，则Q 的所有可能取值为50，100，150，200.121(50)233P Q ==⨯=； 111227(100)2323318P Q ==⨯+⨯⨯=；121122(150)C 2339P Q ==⨯⨯⨯=； 1111(200)23318P Q ==⨯⨯=.Q ∴的分布列为17()50100318E Q ∴=⨯+⨯21150200100918+⨯+⨯=.()()E Q E Y >Q ，∴从数学期望的角度看，小张选择奖励方案二更有利.【点睛】本题主要考查了事件的概率，正态分布以及分布列计算的相关相识，考查了学生的数据分析能力和应用数学解决实际问题的能力，属于中档题.20．已知椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>C 的左焦点和上顶点的直线与圆223:4O x y +=相切. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点(0,2)P -的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，点O '与原点O 关于直线l 对称，试求四边形OAO B '的面积的最大值.【答案】（1）2214x y +=；（2）2 【解析】（1）由题得：过椭圆C 的左焦点和上顶点的直线方程为1x yc b+=-，又由该=c a = （2）由题得直线l 的斜率k 一定存在，可设直线:2l y kx =-，代入椭圆方程，消元化简得：()221416120k x kx +-+=，由弦长公式求得||AB =，再求出点O到直线AB 的距离d =2||14OAO BS d AB k'=⋅=+四边形，最后求出四边形OAO B '的面积的最大值. 【详解】（1）过椭圆C 的左焦点和上顶点的直线方程为1x yc b+=-，即0bx cy bc -+=，又该直线与圆O 相切，bc a ==，又离心率c e a ==1b ∴=， 222213114b e a a ∴=-=-=，24a ∴=，∴椭圆C 的方程为2214x y +=. （2）由点O '与原点O 关于直线l 对称，得2OAB OAO B S S '=△四边形. 当直线l 的斜率不存在时，l x ⊥轴，四边形OAO B '不存在，不合题意.当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，则直线:2l y kx =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，将2y kx =-代入2214x y +=，得()221416120k x kx +-+=，当()216430k ∆=->，即234k >时，1221614k x x k +=+，1221214x x k =+，从而12AB x =-==，又点O 到直线AB 的距离d =，2OABOAO B S S '∴==△四边形2||14d AB k⋅=+，t =，则0t >，288244OAO B t S t t t'==≤++四边形，当且仅当2t =，即k =>0∆， ∴四边形OAO B '的面积的最大值为2.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程的求解，求椭圆的面积的最值等问题，运用了弦长公式，点到直线的距离公式，属于难题；同时考查了学生的逻辑推理和运算求解能力.21．已知函数f(x)＝mx-lnx-1（m为常数）．（1）若函数f(x)恰有1个零点，求实数m的取值范围；（2）若不等式mx-e x≤f(x)+a对正数x恒成立，求实数a的最小整数值．【答案】（1）{m|m≤0或m=1}（2）实数a的最小整数值为-1【解析】（1）首先写出f（x）的定义域，函数f（x）恰有1个零点⇔方程f（x）=0仅有一个正实数解，由f（x）=0，得1lnxmx+=，设g（x）1lnxx+，然后求导，找出g（x）的最值，结合图象求出m的范围；（2）mx-e x≤f（x）+a⇔lnx-e x≤a-1．设h（x）=lnx-e x，求导判断h（x）的单调区间，利用单调性求出a的最值即可．【详解】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），函数f（x）恰有1个零点⇔方程f（x）=0仅有一个正实数解，由f（x）=0，得1lnxmx+ =，设g（x）1lnxx+=，则()2lnxg xx-='，令g′（x）＞0．得0＜x＜1，令g′（x）＜0，得x＞1，∴g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴g（x）在x=1处取得唯一的极大值，即为最大值，故g（x）的最大值为g（1）=1．当x趋近于0时，lnx+1趋近于-∞，所以g（x）为负数，当x趋近于+∞时，x的增长速度大于lnx+1的增长速度，且当x＞1时10 lnxx+＞，故g（x）趋近于0，由图可知，当m≤0或者m=1时，方程m=g（x）仅有一个实数解，∴m的取值范围为{m|m≤0或m=1}；（2）∵mx-e x≤f（x）+a，∴lnx -e x ≤a -1，设h （x ）=lnx -e x ，∴()1x h x e x ='- 又∵()1x h x e x ='-在（0，+∞）上为减函数，h ′（1）=1-e ＜0，1202h e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭'＞， ∴()1x h x e x ='-存在唯一的零点0112x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，此时h （x ）在（0，x 0）上单调递增，在（x 0，+∞）上单调递减，且()0001x h x e x -'==0， ∴001x e x =，x 0=-lnx 0，由单调性知()000()x max h x h x lnx e ==-=-（x 0+01x ），又0112x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，故005122x x ⎛⎫--+- ⎪⎝⎭＜＜， ∴mx -e x ≤f （x ）+a 对任意正数x 恒成立时，a -1≥-2，∴a ≥-1，∴实数a 的最小整数值为-1．【点睛】本题考查了函数的求导，利用导数求单调区间，求最值，还涉及到函数的零点等知识，内容丰富，综合性强，较难解决．22．在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，0)απ≤<），以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=.（1）若0α=，求直线l 被圆C 所截得的弦长；（2）设(1,0)P ，且直线l 与圆C 交于,A B 两点，若1PA PB -=，求角α的大小.【答案】（1）4；（2）3πα=或23π 【解析】（1）将圆的极坐标方程，直线的参数方程都化为直角坐标方程，即可求得结果；（2）直线的参数方程代入到圆的直角坐标方程中，利用直线参数方程中t 的几何意义进行求解.【详解】（1）由4cos ρθ=得24cos ρρθ=，所以2240x y x +-=，所以圆C 的直角坐标方程为22(2)4x y -+=.当0α=时，直线l 的方程为0y =，恰好经过圆C 的圆心，故直线l 被圆C 所截得的弦为圆C 的直径，其长为4.（2）将1cos ,sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入2240x y x +-=，得22cos 30t t α--=，24cos 120α∆=+>，设,A B 对应的参数分别为12,t t ，则122cos t t α+=，123t t ⋅=-，12,t t 异号， 12PA PB t t ∴-=-122cos 1t t α=+==，所以1cos 2α=±，又0απ≤<，所以3πα=或23π. 【点睛】本题主要考查了参数方程，极坐标方程与直角坐标方程的相互转化，体现了转化与化归的数学思想，同时考查了直线参数方程中参数的几何意义，体现了参数方程解题的优势. 23．已知函数()211f x x x =--+．（1）解不等式()4f x ≤；（2）记函数()31y f x x =++的最小值m ，正实数a ，b 满足3m a b +=，求证：341log 2a b ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭．【答案】（1）[]2,6-；（2）证明见解析.【解析】（1）利用零点分段讨论方法可解不等式()4f x ≤.（2）利用绝对值不等式可求m ，再利用基本不等式求出41a b+的最小值后可证341log 2a b ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭. 【详解】（1）()4f x ≤等价于12114x x x ≤-⎧⎨-+++≤⎩ 或1122114x x x ⎧-<<⎪⎨⎪-+--≤⎩或122114x x x ⎧≥⎪⎨⎪---≤⎩，故21x -≤≤-或112x -<<或162x ≤≤，综上()4f x ≤解集为[]2,6-.（2）()()31212221223f x x x x x x ++=-++≥--+=当且仅当()()21220x x -+≤取等号，∴3m =，1a b +=， ∴()41414559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当21,33a b ==时等号成立， ∴3341log log 92a b ⎛⎫+≥= ⎪⎝⎭．【点睛】（1）绝对值不等式指：a b a b a b -≤+≤+及a b a b a b -≤-≤+，我们常利用它们求含绝对值符号的函数的最值.（2）解绝对值不等式的基本方法有公式法、零点分段讨论法、图像法、平方法等，利用公式法时注意不等号的方向，利用零点分段讨论法时注意分类点的合理选择，利用平方去掉绝对值符号时注意代数式的正负，而利用图像法求解时注意图像的正确刻画．。

2018-2019学年度衡水中学高三第五次诊断考试数学(理)试题含答案

2018-2019学年度衡水中学高三第五次诊断考试数学（理科）试卷全卷满分150分，考试时间120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题作答用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试卷和草稿纸上无效。

3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试卷和草稿纸上无效。

考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，只需上交答题卡。

一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案）在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，选出正确的选项并将该选项在答题卡上涂黑。

1复数，则（）A ．Z 的虚部为-1B ． Z 的实部为1C ． Z =2D ． Z 的共轭复数为1+i2．已知集合{}3A x x =≤，集合{()}B lg ,x y a x x N ==-∈且，若集合}{A B 0,1,2⋂=,则实数a 的取值范围是A ． []2,4B ．[)2,4C ．(]2,3D ．[]2,3（） 3．“4m =”是“直线()+3430m x m y -+=与直线230x m y++=平行”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数1()()2g x f x =的定义域为（）A ． []0,3B ． []0,2C ． []1,2D ． []1,35．执行如下所示的程序框图，如果输入[]1,2t ∈-，则输出的属于（）第5题图第6题图第9题图 A ． []1,4 B ． 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ． 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ． 1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PA AB =，该四棱锥被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（） A ．12 B ． 13 C ． 14 D ．157．若点(),2x kx -满足不等式组104x x y x y ≥-⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，则k 的取值范围为（）A ．(][),12,-∞-⋃+∞B ． []1,2-C ． (][),72,-∞-⋃+∞D ． []7,2- 8．将函数2()2cos 16g x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象，向右平移4π个单位长度，再把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数()f x ，则下列说法正确的是（）A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 在区间75,124ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．函数()f x 在区间25,34ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为D ．3x π=是函数()f x 的一条对称轴9．如图，在棱长为1的正方体中1111ABCD A B C D -，点P 在线段1AD 上运动，则下列命题错误的是（）A ．异面直线1C P 和1CB 所成的角为定值 B ．直线CD 和平面1BPC 平行 C ．三棱锥1D BPC -的体积为定值 D ．直线CP 和平面11ABC D 所成的角为定值10．已知正数数列{}n a 是公比不等于1的等比数列，且20191lg lg0a a+=，22()1f x x=+，则122019()()+()f a f a f a +=（）A ． 2018B ． 4036C ．2019D ．403811．ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足4a =，sin cos a B A =，则ABC∆面积的最大值是（）A ．B ．C ．D ．412．已知{}()0M f αα==，{}()0N g ββ==，若存在M α∈，N β∈，使得-n αβ<，则称函数()f x 与()g x 互为“n 度零点函数” ，若2()31x f x -=-与2()x g x x ae =-互为“1度零点函数”，则实数a的取值范围为（） A ．214,e e ⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．214,e e ⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．242,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．3242,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题（每小题5分，共20分）13．在直角梯形ABCD 中，AD BC ，090ABC ∠=，4AB BC ==，2AD =，则向量BD 在向量AC 上的投影为_______.14．已知向量a 与b 的夹角是3π，且1,2a b ==，若)b a λ+⊥，则实数λ=__________．15．甲、乙、丙三人玩摸卡片游戏，现有标号为1到12的卡片共12张，每人摸4张。

2019届河北省衡水中学高三第三次质检数学(理)试题(含答案解析)

2019届河北省衡水中学高三第三次质检数学（理）试题一、单选题1．已知集合{|1}A x x =<，{|1x B x e =< }，则（） A ．{|1}A B x x ⋂=< B ．()R A C B R ⋃=C ．{|}A B x x e ⋃=<D ．(){|01}R C A B x x ⋂=<< 【答案】B【解析】求出集合A={x|x ＜1}，B={x|e x ＜1}={x|x ＜0}，从而R C B ={x|x≥0}，R C A ={x|x≥1}，由此能求出结果．【详解】∵集合A={x|x ＜1}，B={x|e x ＜1}={x|x ＜0}，R C B ={x|x≥0}，R C A ={x|x≥1}，∴A∩B={x|x ＜0}，故A 错误； A ∪B={x|x ＜1}，故C 错误；()R A C B R ⋃=，故B =正确；()R C A B ∅⋂=，故D 错误．故选B ．【点睛】本题考查集合与集合的关系的判断，考查补集、交集、并集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题． 2．已知i 为虚数单位，若1i(,)1ia b a b =+∈-R ，则b a =（）A ．1 BC ．2D ．2【答案】C【解析】根据复数的除法运算得到1112i a bi i +==+-，再由复数相等的概念得到参数值，进而得到结果. 【详解】i 为虚数单位，若1(,)1a bi a b R i =+∈-，1112ia bi i +==+-根据复数相等得到1 2 1 2ab⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.1212().2ba==故答案为C.【点睛】这个题目考查了复数除法运算，以及复数相等的概念，复数a bi+与ic d+相等的充要条件是a c=且b d=．复数相等的充要条件是化复为实的主要依据，多用来求解参数的值或取值范围．步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程（组）求解．3．向量,,a b cr r r在正方形网格中的位置如图所示.若向量a bλ+r r与cr共线,则实数λ=（）A．2-B．1-C．1D．2【答案】D【解析】由图像，根据向量的线性运算法则，可直接用,a brr表示出cr，进而可得出λ. 【详解】由题中所给图像可得：2a b c+=rr r，又cr=a brrλ+，所以2λ=.故选D【点睛】本题主要考查向量的线性运算，熟记向量的线性运算法则，即可得出结果，属于基础题型.4．函数f(x)=15sin(x+3π)+cos(x−6π)的最大值为A．65B．1 C．35D．15【答案】A【解析】由诱导公式可得ππππcos cos sin6233x x x⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，则()1ππ6πsin sin sin53353f x x x x⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,函数()f x的最大值为65. 所以选A.【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为sin()y A x B ωϕ=++的形式，再借助三角函数的图像研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．5．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（）A ．932B ．516C ．38D ．716【答案】C【解析】分析：由七巧板的构造，设小正方形的边长为1，计算出黑色平行四边形和黑色等腰直角三角形的面积之和．详解：设小正方形的边长为12，2；黑色等腰直角三角形的直角边为2，斜边为2，大正方形的边长为2，所以21222322P 82222⨯⨯==⨯，故选C ．点睛：本题主要考查几何概型，由七巧板的构造，设小正方形的边长为1，通过分析观察，求得黑色平行四边形的底和高，以及求出黑色等腰直角三角形直角边和斜边长，进而计算出黑色平行四边形和黑色等腰直角三角形的面积之和，再将黑色部分面积除以大正方形面积可得概率，属于较易题型．6．已知0a >，且，函数()()log 6a f x ax =-，则“13a <<”“是()f x 在()1,2上单调递减”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】先将函数()()log 6a f x ax =-转化为y ＝log a t ，t ＝6ax -，两个基本函数，再利用复合函数求解．【详解】0a Q >,且1a ≠，6t ax ∴=-为减函数.若()f x 在()1,2上单调递减，则1a >.且620a -⨯≥，则13a <≤.13a <<是13a <≤的充分不必要条件.故选A . 【点睛】本题主要考查复合函数，关键是分解为两个基本函数，利用同增异减的结论研究其单调性，再求参数的范围,属于基础题．7．一给定函数()y f x =的图象在下列四个选项中，并且对任意1(0,1)a ∈，由关系式1()n n a f a +=得到的数列{}n a 满足1n n a a +<.则该函数的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】利用已知条件推出n n f a a （）＜，判断函数的图象，推出选项即可．【详解】由题对于给定函数()y f x =的图象在下列四个选项中，并且对任意()10,1a ∈，由关系式()1n n a f a +=得到的数列{}n a 满足1n n a a +<．则可得到n n f a a （）＜，所以11f a a （）＜在101a ∀∈（，）上都成立，即01x f x x ∀∈（，），（）＜，所以函数图象都在y x =的下方．故选A ．【点睛】本题考查函数图象的判断，数列与函数的关系，属基础题．8．某几何体的三视图如图所示，其中主视图，左视图均是由高为2三角形构成，俯视图由半径为3的圆与其内接正三角形构成，则该几何体的体积为( )A ．936π+B ．9318π+C ．336π D ．3318π 【答案】A【解析】由三视图知该几何体由底面边长是33高为2的正三棱锥和底面半径是3高为2的圆锥组合而成，利用锥体的体积公式可得结果. 【详解】由三视图知该几何体由底面边长是33高为2的正三棱锥和底面半径是3，高为2的圆锥组合而成，正三棱锥的体积是(21393332342⨯⨯=，圆锥的体积是213263ππ⨯⨯⨯=，所以组合体的体积936π+，故选A. 【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.9．设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ， 122F F c =，过2F 作x 轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A ，已知3,2a Q c ⎛⎫⎪⎝⎭， 22F Q F A >，点P 是双曲线C 右支上的动点，且11232PF PQ F F +>恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是( )A ．71,6⎛⎫ ⎪⎝⎭B．,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭C．76⎛ ⎝⎭D．1,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】令x =c代入双曲线的方程可得2by a==±，由22F Q F A >,可得232a b a>，即为3a 2>2b 2=2(c 2−a 2)，即有2c e a =<① 又11232PF PQ F F +>恒成立，由双曲线的定义,可得2a +|PF 2|+|PQ |>3c 恒成立，由F 2,P ,Q 共线时,|PF 2|+|PQ |取得最小值|F 2Q |=32a ，可得3c <2a +32a ，即有c e a =<76②由e >1，结合①②可得， e 的范围是(1,7 6). 故选：A.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.10．已知实数x y ，满足124242,240,330,x y x y x y x y --⎧+≥+⎪-+≥⎨⎪--≤⎩若(1)1y k x ≥+-恒成立，那么k 的取值范围是( ) A ．1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．4,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．[)3,+∞ D ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】由题意，作出不等式组对应的可行域，根据()11y k x =+-的图象是过点()1,1--，斜率为k 的直线，结合图象，即可求解.【详解】由题意,实数,x y 满足124242240330x y x y x y x y --⎧+≥+⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，即220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，又因为函数()11y k x =+-的图象是过点()1,1--，斜率为k 的直线，要使得不等式()11y k x ≥+-恒成立，即11y k x +≤+恒成立，结合图象可知，当直线过点()1,0B 时，斜率取得最小值12，所以实数k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，故选D.【点睛】本题主要考查了简单线性规划的应用，其中解答中正确求解约束条件所对应的不等式组，作出约束条件所表示的平面区域，再根据斜率公式求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，推理与计算能力.11．已知三棱锥A BCD -中，2AB AC BD CD ====，2BC AD =，直线AD 与底面BCD 所成角为3π，则此时三棱锥外接球的表面积为（） A ．8π B ．6πC ．9πD ．5π【答案】A【解析】取BC 的中点O ，判断O 为三棱锥外接球的球心，即可求出结果. 【详解】取BC 中点O ，则AO BC ⊥，DO BC ⊥，AO DO =，因为直线AD 与底面BCD 所成角为3π，所以AO DO AD ==，因为2BC AD =，所以AO DO BO CO ===，即O 为三棱锥外接球的球心，因为2AB AC BD CD ====，所以122AO BC == 所以三棱锥外接球的表面积为4π28π⨯=. 故选A 【点睛】本题主要考查几何体外接球的相关计算，熟记球的表面积公式即可，属于常考题型.12．己知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()112,0212,22x x f x f x x --⎧<≤⎪=⎨->⎪⎩，则函数()()1g x xf x =-在[)6-+∞,上的所有零点之和为（） A ．7 B ．8C ．9D ．10【答案】B【解析】由已知可分析出函数()g x 是偶函数，则其零点必然关于原点对称，故()g x 在[]6,6-上所有的零点的和为0，则函数()g x 在[)6-+∞,上所有的零点的和，即函数()g x 在(6,)+∞上所有的零点之和，求出(6,)+∞上所有零点，可得答案．【详解】解：Q 函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()()f x f x ∴-=-．又Q 函数()()1g x xf x =-，()()()1()[()]1()1()g x x f x x f x xf x g x ∴-=---=---=-=，∴函数()g x 是偶函数，∴函数()g x 的零点都是以相反数的形式成对出现的．∴函数()g x 在[]6,6-上所有的零点的和为0，∴函数()g x 在[)6-+∞,上所有的零点的和，即函数()g x 在(6,)+∞上所有的零点之和．由02x <…时，|1|1()2x f x --=，即22,01()2,12x x x f x x --⎧<=⎨<⎩…… ∴函数()f x 在(]0,2上的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当且仅当2x =时，()1f x =又Q 当2x >时，1()(2)2f x f x =- ∴函数()f x 在(]2,4上的值域为11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在(]4,6上的值域为11,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在(]6,8上的值域为11,168⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当且仅当8x =时，1()8f x =，函数()f x 在(]8,10上的值域为611,213⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当且仅当10x =时，1()16f x =，故1()f x x<在(]8,10上恒成立，()()1g x xf x =-在(]8,10上无零点，同理()()1g x xf x =-在(]10,12上无零点，依此类推，函数()g x 在(8,)+∞无零点，综上函数()()1g x xf x =-在[)6-+∞,上的所有零点之和为8 故选：B ．【点睛】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的零点，函数的图象和性质，其中在寻找(6,)+∞上零点个数时，难度较大，故可以用归纳猜想的方法进行处理．二、填空题 13．曲线y =y x =所围成的封闭图形的面积为__________．【答案】16【解析】由定积分的几何意义可得：封闭图形的面积()132120211|326S x x dx x x ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰. 14．()5221111x x x ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为________. 【答案】15【解析】写出()521x +展开式的通项，求出含2x 及4x 的项，则答案可求．【详解】解：25252525221111(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x+++=+++++Q 且25(1)x +展开式的通项为215r r r T C x +=．由22r =，得1r =；由23r =，得32r =（舍)；由24r =，得2r =． ()5221111x x x ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭∴展开式中2x 的系数为125515C C +=．故答案为：15．【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用问题，解题时应灵活应用二项展开式的通项公式，属于基础题． 15．过抛物线的焦点的直线交于两点，在点处的切线与轴分别交于点，若的面积为，则_________________。

河北省衡水中学2019届高三下学期大联考(理数)

河北省衡水中学2019届高三下学期大联考数学（理科）本试卷共4页，23题(含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，甩2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸莉答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合}1|{≥=x x M ，})2(|{212x x y x N -==，则集合=N M I A ．φB ．),2(+∞C ．),2[+∞D ．]2,1[2．已知i 为虚数单位，且复数z 满足：i 32)i 1(-=-z ，则z 的虚部为A ．21-B ．2i -C ．21D ．253．已知抛物线)0(22>=p py x C ：的焦点F 在直线4=+y x l ：上，则点F 到C 的准线的距离为A ．2B ．4C ．8D ．164．下图是我国2018年1月至12月石油进口量统计图（其中同比是今年第n 个月与去年第n 个月之比），则下列说法错误的是A ．2018年下半年我国原油进口总量高于2018年上半年B ．2018年12个月中我国原油月最高进口量比月最低进口量高 1152万吨C ．2018年我国原油进口总量高于2017年我国原油进口总量D ．2018年1月－5月各月与2017年同期相比较，我国原油进口量有增有减5．已知)2,1(A ，)3,2(B ，),1(m C -，若||||BC BA BC BA -=+，则=ACA ．6B ．52C ．16D ．206．已知函数2)1(2)(3-+'-=a f x x x f ，若)(x f 为奇函数，则曲线)(x f y =在点))(,(a f a 处的切线方程为 A ．02=-y x B ．0=y C ．01610=--y x D ．02=+-y x 7．函数)(x f 的图象可看作是将函数x y cos 2=的图象向右平移6π个单位长度后，荐把图象上所有点的横坐标变为原来的21倍（纵坐标不变）而得到的，则函数)(x f 的解析式为 A ．)62cos(2)(π+=x x fB ．)32cos(2)(π+=x x fC ．)621cos(2)(π-=x x fD ．)32sin(2)(π+=x x f 8．设函数2tan )(x x f =，若)2o 1(3g f a =，)2lo (5g f b =，)2(2.0f c =，则A ．c b a <<B ．a c b <<C ．b c <<αD ．c a b <<9．十三届全国人大二次会议于2019年3月5日至15日在北京召开．会议期间，工作人员将其中的5个代表团人员（含A 、B 两市代表团）安排至a ，b ，c 三家宾馆住宿，规定同一个代表团的人员住同一家宾馆，且每家宾馆至少有一个代表团入住，若A 、B 两市代表团必须安排在a 宾馆入住，则不同的安排方法种数为 A ．6 B ．12 C ．16 D ．18 10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为A ．π3B ．23πC ．π6D ．π1211．已知坐标平面xOy 中，点F 1，F 2分别为双曲线)0(1222>=-a y ax C ：的左、右焦点，点M 在双曲线C 的左支上，MF 2与双曲线C 的一条渐近线交于点D ，且D 为MF 2的中点，点I 为△OMF 2的外心，若O 、I 、D 三点共线，则双曲线C 的离心率为 A ．2B ．3C ．5D ．512．当x 为实数时，trunc(x )表示不超过x 的最大整数，如trunc(3，1)=3．已知函数)(trunc )(x x f = （其中R x ∈），函数)(x g 满足)6()(x g x g -=，)1()1(x g x g -=+，且]3,0[∈x 时|2|)(2x x x g -=，则方程)()(x g x f =的实根的个数为A ．4B ．5C ．6D ．7第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

河北省衡水市2019届高三五月大联考理数试卷(5页)

河北省衡水市2019届高三五月大联考理数试卷理科数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|1M x x =≥，()122|2N x y x x ⎧⎫==-⎨⎬⎩⎭，则集合M N =I （） A. φ B. (2,)+∞ C. [2,)+∞ D. [1,2]2.已知i 为虚数单位，且复数z 满足：(1)23i z i -=-，则z 的虚部为（） A. 12-B. 2i -C.12D.523.已知抛物线2:2C x py =（0p >）的焦点F 在直线:4l x y +=上，则点F 到C 的准线的距离为（）A. 2B. 4C. 8D. 164.如图是我国2018年1月至12月石油进口量统计图（其中同比是今年第n 个月与去年第n 个月之比），则下列说法错误的是（）A. 2018年下半年我国原油进口总量高于2018年上半年B. 2018年12个月中我国原油月最高进口量比月最低进口量高1152万吨C. 2018年我国原油进口总量高于2017年我国原油进口总量D. 2018年1月—5月各月与2017年同期相比较，我国原油进口量有增有减5.已知()1,2A ，()2,3B ，()1,C m -，若BA BC BA BC +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，则2AC =u u u r ( )A. 6B. C. 16D. 206.已知函数()()3212x x a f x f '=-+-，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()(),a f a 处的切线方程为（） A. 20x y -=B. 0y =C. 10160x y --=D. 20x y -+=7.函数()f x 的图象可看作是将函数2cos y x =的图象向右平移6π个单位长度后，再把图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）而得到的，则函数()f x 的解析式为（） A. ()2cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B. ()2cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C. ()12cos 26x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D. ()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭8.设函数()tan 2x f x =，若()3log 2a f =，()5log 2b f =，()0.22c f =，则（） A. a b c <<B. b c a <<C. c a b <<D. b a c <<9.十三届全国人大二次会议于2019年3月5日至15日在北京召开，会议期间工作人员将其中的5个代表团人员（含A 、B 两市代表团）安排至a ，b ，c 三家宾馆入住，规定同一个代表团人员住同一家宾馆，且每家宾馆至少有一个代表团入住，若A 、B 两市代表团必须安排在a 宾馆入住，则不同的安排种数为（） A. 6B. 12C. 16D. 1810.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A. 3πB.C. 6πD. 12π11.已知坐标平面xOy 中，点1F ，2F 分别为双曲线222:1xC y a-=（0a >）的左、右焦点，点M 在双曲线C 的左支上，2MF 与双曲线C 的一条渐近线交于点D ，且D 为2MF 的中点，点I 为2OMF △的外心，若O 、I 、D 三点共线，则双曲线C 的离心率为（）A.B. 3C.D. 512.当x 为实数时，trunc()x 表示不超过x 的最大整数，如trunc(3.1)3=.已知函数()trunc()f x x =（其中x ∈R ），函数()g x 满足()()6g x g x =-，()()11g x g x +=-，且[0,3]x ∈时()22g x x x =-，则方程()()f x g x =的实根的个数为（） A. 4B. 5C. 6D. 7二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.若212nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第1r +项为常数项，则r n =______.14.已知实数,x y 满足4041010x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪-≥⎩，则11y z x +=+的最大值是________. 15.我国古代数学家祖暅提出原理：“幂势既同，则积不容异”.其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高.原理的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被任一平行于这两个平行平面的平面所截，若所截的两个截面的面积恒相等，则这两个几何体的体积相等.如图(1)，函数()[)(]sin ,2,020,2xx f x x π⎧∈-⎪=∈的图象与x 轴围成一个封闭区域A （阴影部分），将区域A （阴影部分）沿z 轴的正方向上移6个单位，得到一几何体.现有一个与之等高的底面为椭圆的柱体如图(2)所示，其底面积与区域A （阴影部分）的面积相等，则此柱体的体积为______.16.在ABC V 中，角,,A B C 对边分别是,,a b c ，sin sin sin sin b C a A b B c C +=+，24c b +=，点D在线段BC 上，且2BD DC =，则AD 的最小值为________.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 中，1a m =，且()*1321,n n n n a a n b a n n N +=+-=+∈.（1）判断数列{}n b 否为等比数列，并说明理由；（2）当2m =时，求数列{}(1)nn a -的前2020项和2020S .18.如图，多面体11ABC DB C -是正三棱柱（底面是正三角形直棱柱）111ABC A B C -沿平面11DB C 切除一部分所得，其中平面ABC 为原正三棱柱的底面，12BC CC ==，点D 为1AA 的中点.(1)求证：1BC ⊥平面1B CD ；(2)求二面角1C BD C --的平面角的余弦值.19.某大型超市抽查了100天该超市日纯利润数据，并将日纯利润数据分成以下几组（单位：万元）：[4,5)，[5,6)，[6,7)，[7,8)，[8,9)，[9,10]，统计结果如下表所示：以上述样本分布的频率估计总体分布的概率，解决下列问题：（1）从该大型超市近几年的销售记录中抽出5天，求其中日纯利润在区间[5,7)内的天数不少于2的概率；（2）该超市经理由频数分布表可以认为，该大型超市每天的纯利润Z 服从正态分布()2,1.44N μ，其中，μ近似为样本平均数x （每组数据取区间的中点值）.①试利用该正态分布，估计该大型超市1000天内日纯利润在区间(3.97,8.29)内的天数（精确到个位）； ②该大型超市负责人根据每日纯利润给超市员工制定了两种不同的奖励方案：方案一：直接发放奖金，日纯利润低于μ时每名员工发放奖金70元，日纯利润不低于μ时每名员工发放奖金90元；方案二：利用抽奖的方式获得奖金，其中日纯利润不低于μ时每位员工均有两次抽奖机会，日纯利润低于μ时每位员工只有一次抽奖机会；每次抽奖的奖金及对应的概率分别为小张恰好为该大型超市的一名员工，则从数学期望的角度看，小张选择哪种奖励方案更有利？参考数据：若()2~,Z Nμσ，则()0.6827P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9545P Z μσμσ-<<+=.20.已知椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>C 的左焦点和上顶点的直线与圆223:4O x y +=相切. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点(0,2)P -的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，点O '与原点O 关于直线l 对称，试求四边形OAO B '的面积的最大值.21.已知函数f (x )＝mx -lnx -1（m 为常数）．（1）若函数f (x )恰有1个零点，求实数m 的取值范围；（2）若不等式mx -e x ≤f (x )+a 对正数x 恒成立，求实数a 的最小整数值．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，0)απ≤<），以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=. （1）若0α=，求直线l 被圆C 所截得的弦长；（2）设(1,0)P ，且直线l 与圆C 交于,A B 两点，若1PA PB -=，求角α的大小. 23.已知函数()211f x x x =--+．（1）解不等式()4f x ≤；（2）记函数()31y f x x =++的最小值m ，正实数a ，b 满足3m a b +=，求证：341log 2a b ⎛⎫+≥⎪⎝⎭．。

河北省衡水中学2019届高三下学期一调考试理科数学试卷附答案解析

而−1 + 2−3 + 4−5 + 6−⋯−2017 + 2018 = (2−1) + (4−3) + ⋯ + (2018−2017) = 1009，
故选 C.
【点睛】该题主要考查程序框图，用结合律进行求和，属于简单题目.
7.已知某几何体的三视图如图所示，图中小方格的边长为 1，则该几何体的表面积为（）
��1−��2 = 2�� = ( 3−1)��⇒��3 = 3 + 1；
图
②中，��1 =
120��,��2
=
22��,��1−��2
=
2��
4
它是由直三棱柱��−��截去三棱锥��−��所剩的几何体，其中�� ⊥ ��，
所以其表面积为
�� = 1 × 3 × 4 + 3 × 5 + 1 × (5 + 2) × 4 + 1 × (5 + 2) × 5 + 1 × 3 ×
故正确命题的个数为 2，
故选 B.
【点睛】该题考查的是有关判断正确命题的个数的问题，涉及到的知识点有命题的否定，否命题，复合命题
真值表，属于简单题目. 4.函数��(��) = ��(��2 + 2)−��−1的图像大致是（）

河北省衡水中学2019年全国高三统一联合考试(理科)数学试题及答案

2019年全国高三统一联合考试理科数学一、选择题1．若集合A ＝{x|x ＜3}，{}2B =，则A∩B ＝A ．{x|x ＜3}B ．{x|0≤x ＜3}C ．{x|0＜x ＜3}D ．{x|x≤4} 2．已知i 为虚数单位，若a 为实数，且a ≠0, 则1i ia a -=+A ．a ＋iB ．a －iC ．iD ．－i3．如图，网格纸上每个小正方形的边长为10cm ，粗实线画出的是某蛋糕店制作的一款生日蛋糕的三视图，则该蛋糕的体积为A ．3π×103cm 3B ．7π×103cm 3C ．9π×103cm 3D ．10π×103cm 3 4．已知ππ()22α∈-，，且cos2α＝2sin2α－1，则tanα＝A ．12- B ．12C ．－2D ．25．在25()y x x-的展开式中，xy 3的系数为 A ．20 B ．10 C ．－10 D ．－20 6．函数21()x xe f x xe +=的图象大致为A ．B ．C ．D ．7．摆线最早出现于公元1501年出版的C·包威尔的一本书中，摆线是这样定义的：一个圆沿一条直线缓慢地滚动，则圆上一固定点所经过的轨迹称为摆线．圆滚动一周，动圆上定点描画出摆线的第一拱；再向前滚动一周，动圆上定点描画出第二拱；继续滚动，可得第三拱、第四拱、……设圆的半径为r ，圆滚动的圈数为c ，摆线的长度为l ，执行如图所示程序框图，若输入的r ＝2，c ＝2，则输出摆线的长度为A ．12πB ．16πC ．32D ．968．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，b ＝2，c C ＝60°，则sinA 的值为A B ．7C D ．149．某车站在某一时刻有9位旅客出站，假设每位旅客选择共享单车继续出行的概率都为12，且各位旅客之间互不影响．设在这一时刻9位旅客中恰好有k人骑行共享单车的概率为P（X－k），则A．P（X＝4）＝P（X＝5）B．P（X＝4）＞P（X＝5）C．P（X＝5）＜P（X＝6）D．P（X＝5）＝P（X＝6）10．在边长为8的等边△ABC中，D，E分别为AC，AB的中点．现将△ADE 沿DE折起到△A′DE的位置，使得A B'=A′B与底面BCDE所成的正弦值为ABCD．11．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，A为抛物线C上异于顶点O的一点，点B的坐标为（a，b）（其中a，b满足b2－4a＜0）．当|AB|＋|AF|最小时，△ABF恰好正三角形，则a＝A．1 B．43C．53D．212．已知函数ln(2)2()02ln(2)2x xf x xx x->⎧⎪==⎨⎪-<⎩，，，若f（x）≤|x－a|对任意的x∈R恒成立，则实数a的取值范围是A．[1，3] B．[2，4] C．[1，2] D．[－1，1]二、填空题13．已知向量(21)a =-，，()32b =，，若()a b a λ+⊥，则实数λ＝_________． 14．函数f （x ）＝x 2－ln|x|的图象在点（－1，f （－1））处的切线方程为__________．15．将函数2π()2cos π13f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得函数的图象向右平移1个单位长度，最后得到的图象对应的函数设为g （x ），则g （x ）在区间[－1，1]上的所有零点的和为_______________． 16．已知双曲线C ：22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线l 与C 交于A ，B （其中点A 在x 轴上方）两点，且满足22AF F B λ=．若C 的离心率为32，直线l 的倾斜角为120°，则实数λ的值是____________．三、解答题（一）必考题17．已知等比数列{a n }是递减数列，a 1a 4＝3，a 2＋a 3＝4．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n ＝2n －2a n ＋1＋n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．18．如图，在多面体ABCDFE中，四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，四边形ABEF是直角＝梯形，∠FAB＝90°，AF∥BE，AF＝AB＝2BE＝2．（1）证明：CE∥平面ADF．（2）若平面ABCD⊥平面ABEF，H为DF的中点，求平面ACH与平面ABEF所成锐二面角的余弦值．19．为了解高三学生的“理科综合”成绩是否与性别有关，某校课外学习兴趣小组在本地区高三年级理科班中随机抽取男、女学生各100名，然后对200名学生在一次联合模拟考试中的“理科综合”成绩进行统计．规定：分数不小于240分为“优秀”，小于240分为“非优秀”．（1）根据题意，填写下面的2×2列联表，并根据；列联表判断是否有90％以上的把握认为“理科综合”成绩是否优秀与性别有关．（2）用分层抽样的方法从成绩优秀的学生中随机抽取12名学生，然后再从这12名学生中抽取3名参加某高校举办的自主招生考生，设抽到的3名学生中女生的人数为X ，求X 的分布列及数学期望．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d ．20．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：22221x ya b+=（a＞b＞0）的离心率为3，直线l和椭圆C交于A，B两点，当直线l过椭圆C的焦点，且与x轴垂直时，23AB=．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l过点（1，0）且倾斜角为钝角，P为弦AB的中点，当∠OPB 最大时，求直线l的方程．21．已知函数f（x）＝x2e ax－1．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当1e3a>时，求证：f（x）＞lnx．22．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，已知倾斜角为α的直线l 的参数方程为2cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数），曲线C 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），点P的坐标为（－2，0）．（1）当12cos 13α=时，设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|PA|·|PB|的值；（2）若点Q 在曲线C 上运动，点M 在线段PQ 上运动，且2PM MQ =，求动点M 的轨迹方程．23．[选修4－5：不等式选讲] 已知函数f （x ）＝|x －1|＋|2x|．（1）在给出的平面直角坐标系中作出函数f （x ）的图象，并解不等式f （x ）≥2；（2）若不等式f （x ）＋|x －1|≥5－k 对任意的x ∈R 恒成立，求证：65k k+≥．2019年全国高三统一联合考试·理科数学一、选择题1．B 2．D 3．C 4．B 5．C 6．A 7．C 8．D 9．A 10．B 11．C 12．A 二、填空题13．5414．x ＋y ＝0 15．2316．17三、解答题17．解：（1）设等比数列{a n }的公比为q ，则2312113,4,a q a q a q ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 解得11,33a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩或19,1.3a q =⎧⎪⎨=⎪⎩又因为数列{a n }是递减数列，所以11,33a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩不合题意，故19,1.3a q =⎧⎪⎨=⎪⎩故数列{a n }的通项公式为a n ＝33－n ．（2）由（1）得222223()3n n n n b n n ---=⨯+=+，故232[1()](1)99223()22223213n n n n n n n T -++=+=-⨯+-．18．（1）证明：（方法一）因为四边形ABCD 是菱形，所以AD ∥BC ．又因为AF ∥BE ，AF∩AD ＝A ，BC∩BE ＝B ，所以平面ADF ∥平面BCE ．因为CE ⊂平面BCE ，所以CE ∥平面ADF ．（方法二）取AF 的中点M ，连接DM ，EM ，如图．由题意知AM ＝BE 且AM ∥BE ，所以四边形ABEM 为平行四边形，即ME ＝AB 且ME ∥AB ．又因为四边形ABCD 是菱形，所以四边形DCEM 为平行四边形，即有DM ∥CE ．又DM ⊂平面ADF ，CE ⊄平面ADF ，所以CE ∥平面ADF ．（2）解：取CD 的中点N ，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，可得AN ⊥CD ．因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD∩平面ABEF ＝AB ，AF ⊂平面ABEF ，AF ⊥AB ，所以AF ⊥平面ABCD ．以A为坐标原点，以AN uuu r ，AB uu ur ，AF uu u r 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系A —xyz 如图所示．故A（0，0，0），C1，0），D－1，0），F（0，0，2），1,1)2H-，1,1)2AH=-uuu r，,0)AC=u u u r．设平面ACH的一个法向量为(,,)n x y z=r，则有0,0,n AHn AC⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uuu rr uuu r即10,220.x y zy-+=⎪⎨+=令x＝1可得(1,n=r．易知平面ABEF的一个法向量为(1,0,0)m=u r．设平面ACH与平面ABEF所成的锐二面角为θ，则||cos||||m nm nθ⋅==u r ru r r，．19．解：（1）填写列联表如下：因为22200(35756525) 2.381 2.70610010060140K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有90％以上的把握认为“理科综合”成绩是否优秀与性别有关．（2）利用分层抽样的方法，抽到男生的人数为1235760⨯=，抽到女生的人数为1225560⨯= 若从12人中任意抽取3人，则女生被抽到的人数X ＝0，1，2，3，3075312C C 7(0)C 44P X ===，2175312C C 21(1)C 44P X ===，1275312C C 7(2)C 22P X ===，0375312C C 1(3)C 22P X ===．故抽到女生的人数X 的分布列为()0123444422224E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 20．解：（1）由题意知c a =，2221(1)9c b a -=，又a 2＝b 2＋c 2，解得b 2＝1，a 2＝9，故椭圆C 的方程为2219x y +=．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线l ：y ＝k （x －1）（k ＜0）．联立方程221,9(1),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得（9k 2＋1）x 2－18k 2x ＋9k 2－9＝0，故21221891k x x k +=+．设P （x 0，y 0），则212029291x x k x k +==+，200229(1)(1)9191k k y k x k k k =-=-=-++，所以直线OP 的斜率0019OP y k x k==-．设直线l ，OP 的倾斜角分别为α，β，则∠OPB ＝α－β，tan tan 91tan tan()()1tan tan 89OPB k kαβαβαβ-∠=-==++．因为k ＜0，所以112()()993k k k k -+=-+=-≥，即1293k k +-≤，所以3t an 4O P B ∠-≤．当且仅当13k =-时，等号成立．所以当∠OPB 最大时，直线l 的斜率13k =-，此时直线l 的方程为x ＋3y －1＝0．21．（1）解：函数f （x ）的定义域为R ，f′（x ）＝2xe ax ＋x 2·ae ax ＝x （ax ＋2）e ax ．当a ＝0时，f （x ）＝x 2－1，则f （x ）在区间（0，＋∞）内为增函数，在区间（－∞，0）内为减函数；当a ＞0时，2()()e ax f x ax x a '=+，令f′（x ）＞0得2x a <-或x ＞0，令f′（x ）＜0得20x a -<<，所以f （x ）在区间（－∞，2a -）内为增函数，在区间（2a -，0）内为减函数，在区间（0，＋∞）内为增函数；当a ＜0时，2()()e ax f x a x x a '=+，令f′（x ）＞0得20x a <<-，令f′（x ）＜0得2x a >-或x ＜0，所以f （x ）在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，2a -）内为增函数，在区间（2a -，＋∞）内为减函数．（2）证明：由f （x ）＞lnx ，得x 2e ax ＞lnx ＋1，即3e ln 1ax x x x+>．设3ln 1()x g x x +=则3261(ln 1)3()x x x x g x x⋅-+⋅'=23443ln 23(ln ln e )x x x x -+-=-=-当230e x -<<时，g′（x ）＞0；当23e x ->时，g′（x ）＜0．所以g （x ）在区间（0，23e -）内是增函数，在区间（23e -，＋∞）内是减函数，所以23e x -=是g （x ）的极大值点，也是g （x ）的最大值点，即22323max 233ln e 11()(e )e 3(e )g x g ---+===．设e ()(0)ax h x x x =>，则21()e ()ax a x a h x x -'=．当10x a <<时，h′（x ）＜0；当1x a>时，h′（x ）＞0．所以h （x ）在区间（0，1a ）内是减函数，在区间（1a，＋∞）内是增函数，所以1x a=是h （x ）的极小值点，也是h （x ）的最小值点，即min 1()()e h x h a a== 综上，21()e e ()3g x a h x <≤≤，故f （x ）＞lnx 成立． 22．解：（1）曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝1．当12cos 13α=时，直线l 的参数方程为122,13513x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入曲线C 的普通方程，得2483013t t -+=．由于248276()12013169∆=--=>，故可设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1·t 2＝3，所以|PA|·|PB|＝3．（2）设Q （cosθ，sinθ），M （x ，y ），则由2PM MQ =uuu r uuu r ，得（x ＋2，y ）＝2（cosθ－x ，sinθ－y ），即322cos ,32sin .x y θθ+=⎧⎨=⎩消去θ，得2224()39x y ++=，此即为点M 的轨迹方程．23．（1）解：13,0,()|1||2|1,01,31,1,x x f x x x x x x x -<⎧⎪=-+=+⎨⎪->⎩≤≤其图像如下图所示．令f （x ）＝2，得13x =-或x ＝1，由f （x ）的图像可知，不等式f （x ）≥2的解集为{x|13x -≤，或x≥1}．（2）证明：因为f （x ）＋|x －1|＝|2x －2|＋|2x|≥|2x －2－2x|＝2．所以k≥3．因为2656(2)(3)5k k k k k k k k-+--+-==，又由k≥3，得k －2＞0，k －3≥0，所以(2)(3)0k k k--≥，即65k k +≥．。

2019年河北省衡水重点中学高三第五次调研考试数学(理)试题及答案

高考数学精品复习资料2019.5河北省衡水重点中学第五次调研考试数学试题（理科）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、设集合{|12,}A x x x N =-<≤∈，集合{2,3}B =，则A B 等于（）A ．{}2B ．{}1,2,3C ．{}1,0,1,2,3-D ．{}0,1,2,32、已知复数241(i i i z+-=为虚数单位），则z 等于（） A ．13i -+ B ．12i -+ C ．13i - D ．12i -3、公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数，且41016a a =，则6a 等于（）A ．1B ．2C ．4D ．84、某商场在今年端午节的促销活动中，对6月2日时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为3万元，则11时至12月的销售额为（）A ．8万元B ．10万元C ．12万元D ．15万元5、甲：函数()f x 是R 上的单调递增函数；乙：1212,()()x x f x f x ∃<<，则甲是乙的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6、运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则t 的取值范围为（）A ．14t ≥B ．18t ≥C ．14t ≤D ．18t ≤7、为得到函数sin()3y x π=+的图象，可将函数sin y x =的图象向左平移m 个单位长度，或向右平移n 个单位长度(,m n 均为正数），则m n -的最小值是（）A ．3π B ．23π C ．43π D ．53π 8、已知非零向量,OA a OB b ==，且,BC OA C ⊥为垂足，若(0)OC a λλ=≠，则λ等于（）A ．a ba b ⋅⋅ B ．2a b a ⋅ C ．2a bb ⋅ D ．a b a b ⋅⋅9、已知(,)P x y 为区域2200y x x a⎧-≤⎨≤≤⎩内的任意一点，当该区域的面积为4时，2z x y =-的最大值是（）A ．6 B．0 C ．2 D ．10、将一张边长为6cm 的纸片按如图1所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形，将剩余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心）模型，如图2放置，若正四棱锥的正视图是正三角形（如图3），则正四棱锥的体积是（）A 3B 3C 3D 3 11、已知O 为原点，双曲线2221(0)x y a a-=>上有一点P ，过P 作两条渐近线的平行线，且与两渐近线的交点分别为,A B ，平行四边形OBPA 的面积为1，则双曲线的离心率为（）ABC12、已知函数()21020x e x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩，若关于x 的方程()f x x a =-有三个不同的实根，则实数a 的取值范围是（）A ．9(,0)4-B ．1(0,)4C ．91(,)44-D ．9(,0)4-或1(0,)4第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。