16.1二次根式第一课时

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16.1二次根式(1) (3)

x 2
2
数.
1、当 x 1 y 3 0时，
-1 ）， x （ y （ 3 ）
2、已知x 5 6 3 y z 2 0
2
求xyz的值。
(-5)×2×(-2)=20
3.要使下列式子有意义，x需要满足什么条件？
学习目标：
• （1）二次根式的概念 • （2）根号内字母的取值范围
一、回顾与思考
0 2 ；0的平方根是______. 1．4的平方根是_____ 5 2．5的平方根是_______ 5 ；5的算术平方根是____. 3. 什么叫平方根？什么叫算术平方根？
复习
⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根。
复习 1、如果 x 4，那么 x ±2 ；
2
2、如果 x 3，那么 x 3 ；
2
3、如果 x a ( a 0) ，
2
那么 x a 。
思考
用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：
（1）面积为3的正方形的边长为（形的边长为（）
），面积为S的正方
（2）一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130平方米，则它的宽为（）米。
(1) 3 x
1 (3) 2x 5
( 2) x 3 8 x ( 4) x 2 2 x
( 5) x 2 2 x 1
1 1、已知有意义,那A(a, a
a )在二象限.
∵由题意知a＜0 ∴点A(－,＋)
2 3 2、2+ 3 - x的最小值为＿＿，此时 x的值为＿＿。
a的平方根是 a

人教版数学八年级下册16.1第1课时《二次根式的概念》教学设计

人教版数学八年级下册16.1第1课时《二次根式的概念》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级下册16.1第1课时《二次根式的概念》是初中数学的重要内容，主要让学生了解二次根式的概念，理解二次根式与有理数、实数之间的关系，为后续学习二次根式的运算和应用打下基础。

本节课的内容包括二次根式的定义、性质和运算方法，通过学习，让学生能够熟练掌握二次根式的相关知识，提高他们的数学素养。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了实数、有理数等相关知识，具备一定的逻辑思维能力和运算能力。

但二次根式作为新的数学概念，对于部分学生来说可能较为抽象，难以理解。

因此，在教学过程中，要注重引导学生从实际问题中抽象出二次根式的概念，帮助他们建立直观的认识，从而更好地理解和掌握二次根式的相关知识。

三. 教学目标1.让学生了解二次根式的定义、性质和运算方法。

2.培养学生从实际问题中抽象出二次根式的能力。

3.提高学生的数学素养，培养他们的逻辑思维能力和运算能力。

四. 教学重难点1.二次根式的定义和性质。

2.二次根式的运算方法。

3.引导学生从实际问题中抽象出二次根式。

五. 教学方法1.情境教学法：通过创设实际问题情境，引导学生从实际问题中抽象出二次根式。

2.讲授法：讲解二次根式的定义、性质和运算方法。

3.实践操作法：让学生通过实际操作，掌握二次根式的运算方法。

4.小组讨论法：分组讨论，共同解决问题，提高学生的合作能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作精美的课件，辅助讲解和展示二次根式的相关知识。

2.实际问题：准备一些与生活实际相关的问题，用于引导学生从实际问题中抽象出二次根式。

3.练习题：准备一些练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实际问题情境，引导学生从实际问题中抽象出二次根式。

例如，讲解一个物体从地面上升到最高点再下降到地面的过程，上升和下降的距离分别是3米和4米，求物体的最大高度。

2.呈现（10分钟）讲解二次根式的定义、性质和运算方法。

16.1《二次根式》(第1-3课时)教案新人教版

16.1 二次根式教案第一课时二次根式的概念教学目标知识与技能 1 理解二次根式的概念2a≥0）的意义求被开方数中字母的取值范围．过程与方法从具体实例中建立二次根式模型，探索二次根式被开方数中字母的取植范围情感态度与价值观经历观察比较总结和应用等数学活动，体验发现的快乐教学重难点关键1a≥0）的式子叫做二次根式的概念；2．a≥0）的意义求被开方数中字母的取值范围教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：问题1：已知反比例函数y=3x，那么它的图象在第一象限横、•纵坐标相等的点的坐标是___________．问题2：在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________．问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S2，那么S=_________．老师点评：问题1：横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3．因为点在第一象限，所以，．问题2：由勾股定理得问题3：由方差的概念得.二、探索新知，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平a≥0）•的式子叫做二次根式，”称为二次根号．（学生活动）议一议：1．-1有算术平方根吗？2．0的算术平方根是多少？3．当a<0老师点评:有意义的条件例1．下列式子，哪些是二次根式，、1xx>0）、、、1x y+x≥0，y•≥0）．分析”；第二，被开方数是正数或0．x>0）、x≥0，y≥0）；不是二、1x、1x y+．例2．当x是多少时，2-x在实数范围内有意义？分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以x-2≥0，2-x•才能有意义．解：由x-2≥0，得：x≥2当x≥2时，2-x在实数范围内有意义．三、巩固练习教材练习1、2、3．四、应用拓展例3．当x11x+在实数范围内有意义？分析11x+在实数范围内有意义，必须同时满足0和11x+中的x+1≠0．解：依题意，得23010xx+≥⎧⎨+≠⎩由①得：x≥-3 2由②得：x≠-1当x≥-32且x≠-111x+在实数范围内有意义．例4(1)已知，求xy的值．(答案:2)(2)+=0，求a2004+b2004的值．(答案:25)五、归纳小结（学生活动，老师点评）1a≥0）的式子叫做二次根式，2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．七板书设计一、选择题1．下列式子中，是二次根式的是（）A． B C．x 2．下列式子中，不是二次根式的是（）A B．1 x3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（） A．5 B C．15D．以上皆不对二、填空题1．形如________的式子叫做二次根式．2．面积为a的正方形的边长为________．3．负数________平方根．三、综合提高题1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？2．当x+x2在实数范围内有意义？3．4.x有（）个．A．0 B．1 C．2 D．无数5.已知a、b为实数，且=b+4，求a、b的值．16..1 二次根式教案教学内容 1．a ≥0）是一个非负数；2．2=a （a ≥0）．教学目标知识与技能a ≥02=a （a ≥0），并利用它们进行计算和化简．过程与方法经历探索二次根式的性质的过程，培养学生从简单到复杂从一般到特殊的思维过程情感态度与价值观通过学生自主探索合作交流体会学习数学的乐趣教学重难点关键1a ≥0）是一个非负数；2=a （a ≥0）及其运用．2a ≥0）是一个非负数；•用探究的方2=a （a ≥0）．教学过程一、复习引入（学生活动）口答 1．什么叫二次根式？2．当a ≥0a<0老师点评（略）．二、探究新知议一议：（学生分组讨论，提问解答）a ≥0）是一个什么数呢？老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出做一做：根据算术平方根的意义填空：）2=_______；2=_______；2=______；2=_______；）2=______；）2=_______；）2=_______．是4的算术平方根，是一个平方等于4）2=4．同理可得：）2=2，2=9，）2=3，）2=13，）2=72，）2=0，所以例1计算1．（5.1）2 2．（2 3．24．（2）2分析：我们可以直接利用（2=a （a ≥0）的结论解题．解：（5.1）2 =1.5，（2 =22·2=22×5=20，2=56，（2）2=22724=．三、巩固练习计算下列各式的值：2）2 （4）2）2（）2 22-四、应用拓展例2 计算1．2（x ≥0） 2．2 3．24． 2 分析：（1）因为x ≥0，所以x+1>0；（2）a 2≥0；（3）a 2+2a+1=（a+1）≥0；（4）4x 2-12x+9=（2x ）2-2·2x ·3+32=（2x-3）2≥0．所以上面的4题都可以2=a（a≥0）的重要结论解题．解：（1）因为x≥0，所以x+1>02=x+1（2）∵a2≥02=a2（3）∵a2+2a+1=（a+1）2又∵（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥02+2a+1（4）∵4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2 又∵（2x-3）2≥0∴4x2-12x+9≥02=4x2-12x+9例3在实数范围内分解下列因式:（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3 五、归纳小结本节课应掌握：1a≥0）是一个非负数；2．2=a（a≥0）;反之:a=2（a≥0）．六、布置作业1．教材P8复习巩固2．（1）、（2） P97．七板书设计第二课时作业设计一、选择题1个数是（）．A．4 B．3 C．2 D．12．数a没有算术平方根，则a的取值范围是（）． A．a>0 B．a≥0 C．a<0 D．a=0二、填空题1．（2=________．2_______数．三、综合提高题1．计算（1）2（2）-）2（3）（12）2（4）（）2(5)2．把下列非负数写成一个数的平方的形式:（1）5 （2）3.4 （3）16（4）x（x≥0）3=0，求x y的值．4．在实数范围内分解下列因式:（1）x2-2 （2）x4-9 3x2-516.1 二次根式教案第三课时教学内容a（a≥0）教学目标知识与技能（a≥0），（a≥0）并利用它进行计算和化简．过程与方法经历探索二次根式的性质的过程，培养学生分类的数学思想情感态度与价值观通过学生自主探索合作交流体会学习数学的乐趣及发散思维能力教学重难点关键1a（a≥0）．2．难点：探究结论．3．关键：讲清a≥0a才成立．教学过程一、复习引入老师口述并板收上两节课的重要内容；1a≥0）的式子叫做二次根式；2a≥0）是一个非负数；3．2＝a（a≥0）．那么，我们猜想当a≥0是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．二、探究新知（学生活动）填空：；=________=_______．（老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：110=23=37．例1化简（1（2（3（4分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，（4）（-3）2=32（a≥0）•去化简．解：（1（2（3（4三、巩固练习教材P7练习2．四、应用拓展例2 填空：当a≥0；当a<0，•并根据这一性质回答下列问题．（1，则a可以是什么数？（2，则a可以是什么数？（3，则a可以是什么数？（学生讨论）分析：（a≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（）2”中的数是正数，因为，当a≤0-a≥0．（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2│a│，而│a│要大于a，只有什么时候才能保证呢？a<0．解：（1，所以a≥0；（2，所以a≤0；（3）因为当a≥0时，，即使a>a所以a不存在；当a<0，，即使-a>a，a<0综上，a<0例3当x>2分析：(略) 五、归纳小结（a≥0）及其运用，同时理解当a<0a的应用拓展．六、布置作业板书设计第三课时作业设计一、选择题1的值是（）．A．0 B．23C．423D．以上都不对2．a≥0，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（）．AC．-二、填空题1．=________．2是一个正整数，则正整数m的最小值是________．三、综合提高题1．先化简再求值：当a=9时，求如下：甲的解答为：原式=a+（1-a）=1；乙的解答为：原式=a+（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．2．若│1995-a│，求a-19952的值．（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a•的值是正数还是负数，去掉绝对值）3. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│+。

16.1二次根式第一课时教案

∴当n=0时才是二次根式；
（4）当—2≥0时是二次
根式，当—2〈0时不是二次根式；即当≥2是二次根式，当〈0时不是二次根式;
（5)当x—y≥0时是二次根式，当x-y〈0时不是二次根式；即当x≥y是二次根式，当x〈y时不是二次根式。
个式子表示这些有共同特点的式子.
学生观察所得结果的特点
请同学们思考：为什么一定要加上 ≥0这一条件?引导学生说出只有正数和零才有平方根，负数没有平方根
练习:
1。一个矩形的面积是18cm2,它的边长之比为2:3，它的边长应为多少？
2。当是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1） (2)
3。已知y= - ,求x+y的值。
(1)（2）小题学生自己能够解决。
(3）小题注意符号问题；
(4）小题请学生思考后解答.
学生练习1、2两小题是基础题，学生自己能够完成。
2、下列式子中,不是二次根式的是( ）A．B． C．D．
3、已知一个正方形的面积是5,那么它的边长是（）A．5；B．;C．；D．以上皆不对；
4、形如________的式子叫做二次根式．5、面积为a的正方形的边长为________．
6、负数________平方根．7、面积为S的圆的半径为;
8、某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，底面应做成正方形，试问底面边长应是;
使学生回忆平方根和算术平方根的内容
的高度h（单位：m）满足关系h=5t2。如果用含有h的式子表示t，则;
在上面的问题中,结果分别是,，,它们都是表示一些正数的算数平方根。
2、思考下列问题①-1有算术平方根吗？②0的算术平方根是多少？③当a〈0，有意义吗?
3、二次根式是怎样定义的？

16.1 二次根式(第一课时)

3
(5) a
(3) m (m≥0)
2
+1
5
求下列二次根式中字母的取值范围：
1
a +1
2
1 2 1 2a
3 a 3
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数不小于零；
②分母中有字母时，要保证分母不为零。
2、x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x 1 x 1 (2) 3x
说对二次根式的认识！ a
?
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根
2.a可以是数,也可以是式,但是必须非负。
3.形式上含有二次根号
4.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
1.下列各式中，是二次根式的有几个?

(1)
32
(2)
(4) (6)
12 xy (x、y异号）
象限.
a
)在
5、当x分别取下列值时，求二次根式
4 2 x 的值：
(1) x=0 (2) x=1 (3) x=8
（1）二次根式的概念
（2）根号内字母的取值范围
（3）二次根式的值
0有一个平方根就是0；
负数没有平方根。
S
圆形的下球体在平面图上的面积.
如图所示的值表示正方形的面积，则正方形的周长是
b. 3
b-3
思考：以上几个式子有哪些共同特点？
s

b3
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式.
请你凭着自己已有的知识,说
人教版八年级上册
1.什么叫做一个数的平方根？如何表示？一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根。 a的平方根是 a(a≥0) 2.什么是一个数的算术平方根？如何表示？

16.1二次根式(第一课时)正式稿

问题3 什么数有算术平方根?
我们知道,负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0.
创设情境提出问题
问题：
（1）面积为3 的正方形的边长为____3___，面积
为S 的正方形的边长为____S___．
（1）中式子你是怎么得到？得到的两个式子有什么不同？
创设情境提出问题
a +b−c=5.
总结：二次根式的双重非负性 1. 二次根式的最小值为0；
a
a≥0 .
a≥0
2.常见的具有非负性的式子有：
a2≥0; a ≥0; a ≥0.
若 a b2 c 0 , 则a=b=c=0.
例3 二次根式双重非负性的应用
x 32
x3
解： ( x 3)2≥0, 解： x3≥0,
x为任意实数. x≤0.
例1 根据二次根式定义进行判断
(2)当x是怎样的实数时,下列各式在实数范围内有意义？
1 x x1
x 4 ( x 6)0
解：
1 x≥0
x
1≥0
,
解：
x 4≥0
x
6
0
,
x=1.
x≥4且x 6.
（A） x 2
（B） x
（C） x2 2
（D）3 x 1
例1 根据二次根式定义进行判断
(2)当x是怎样的实数时,下 2≥0, 解： 2 3x≥0,
x≥2.
x≤ 2 . 3
例1 根据二次根式定义进行判断
(2)当x是怎样的实数时,下列各式在实数范围内有意义？
合作探究形成知识
（3）根据你的理解，请写出二次根式的定义．
把形如 3，二S次，根65号， h 用来表示一个非负数的

人教版数学八年级下册二次根式 (第1课时)

16.1 二次根式（第 1 课时）【教学任务分析】
教学目标
知识技能 1.使学生理解并掌握二次根式的概念． 2．掌握二次根式中被开方数的取值范围.
2
重点难点环节情境引入
3. 使学生初步掌握利用（ a ） = a （ a ≥0）进行计算. 1. 经历观察、比较、总结二次根式的基本性质的过程,发展学生的归纳概括过程能力．方法 2. 通过对二次根式的概念和性质的探究 ,提高数学探究能力和归纳表达能力. 情感经历观察、比较、总结和应用等数学活动,感受数学活动中的探索性和创造态度性,体验发现的快乐,并提高应用的意识. 二次根式的概念和性质．二次根式的基本性质的灵活应用．
教师组织学生讨论,并引导学生发现解决问题的关键: 式子 a 中，a≥0 =_______．非常重要.
3．若 3 x + x 3 有意义，则 x
4．4－ 9 x2 的最大值是________． 5．计算（1）（ 9）（3）（
2
（2）
3
2
1 2
（ 6 ）2（4）
9 2 ） 4
自主探究
合作交流
( a ) 2 a （a≥0）
学生根据二次根式的性质独立完成例 2.
(1)( 1.5 ) 2
（2） (2 5 ) 2
解： (1)( 1.5 ) 2 =1.5 （2） (2 5 ) 2 =4×5=20 1.下列各式是否为二次根式? （1） 24 ; （2） 4 ; （3） a ;
1.说出下列各数的算术平方根：
81 1.21 ，16，36，0.25，，0.0001，361. 169
2.出示章前图，创设情境，引入新课. 【问题 1】题目见教材第 2 页“思考”栏目（1）所填的结果有什么特点? （2）平方根的性质是什么? （3）什么叫做二次根式? 在式子 a 中，为什么强调 a≥0？结论：一个正数有两个平方根 , 它们是互为相反数；0 的平方根是 0；负数没有平方根. 例1 X 为怎样的实数时， x 2 在实数范围内有意义？分析：二次根式有意义的条件就是被开方数是非负数.即：x-2≥0.x≥2. 思考：（教材第 3 页）【问题 2】教材第 3 页探究. 思考: (1) 这组题目有什么特点？ (2) 你能得到什么结论？ (3) 条件 a≥0 有什么作用？例 2 计算：

二次根式第一课时

根的长和宽之比为3：2，它的长、宽各应取多少？
式
答：
长应取 3 3 cm 宽应取 2 3 cm
新课讲解
二
次
知
根式
识有
点意
二义
的
条
件
例1 当 x是怎样的实数时， x - 2 在实
数范围内有意义？
解：由 x-2 ≥0，得:
x ≥___2___ 当 x≥__2____ x - 2 在实数范围内有意义练一练当 a 是怎样的实数时，下列的各
答：(1)当x≥0时， x 在实数范围内有意义. (2)当x为任意实数时， x2 在实数范围内有意
义. (3)当 x≥0时， x3 在实数范围内有意义.
3、学习反思：________________________ ______________________________________ _.
强化训练
式在实数范围内有意义？
（1） a -1
解：由 a-1 ≥0，得:
a ≥___1___ a 当 ≥___1___ a -1 在实数范围内有意义
二
次
知
根式
识有
点意
二义
的
条
件
（2） 2a 3
新课讲解 3
a≥ - 2
（3） - a
解：由 -a ≥0，得：
a ≤____0_____
a当 ≤ 0 ， - a 在实数范围内有意
1、判断下列各式是否是二次根式？
√ ① a ② 0.002
③ -5
2、下列式子中，是二次根式的是（A ）
x A . - 7 B. 3 7 C. x D.
3、下列式子中，不是二次根式的是（D ）
1

16.1二次根式第1课时爱的教育上课用

\
a - b + 6 = 0，a + b - 8 = 0
a－ b = － 6 a＋ b = 8 a ＋ b－ 8 = 0 a=1 b=7
∴ a － b＋ 6 = 0
在实数范围内分解因式:4 x - 3
解: ∴ ∵ 3
2
2
3
2
2
4 x 3 (2 x) 3

2
(2 x 3 )(2 x 3 )
\ a=
2 2
2，b = 2
\ a + b - 2b + 1 =
( 2) + 2 2
2
2? 2 1
= 2 + 4- 4 + 1 = 3
10. 已知 a - b + 6与 a + b - 8互为相反数，求 a、b的值。解:
a- b+ 6 0，a + b - 8
0
பைடு நூலகம்
而 a - b + 6+ a + b - 8 = 0

a
2
先平方,后开方
2.从取值范围来看 , 2 a≥0 a

a
2
a取任何实数
3.从运算结果来看:
a
a
2
2
2
=a
a (a≥ 0) -a (a＜0)
= ∣ a∣ =
m4 思考：若 ( m 4 ) 4 m , 则 m 的取值范围是 _________
3， x ＋ 1，
144,
7. 三角形三边长分别是a、b、c，且 a > c ，那么 c - a - (a + c - b)2等于（ D ）。

16,1 二次根式第一课时八年级数学下册课件(人教版)

例2 当x 是怎样的实数时， x 2 在实数范围内有意义？解：由x-2≥0，得x ≥2.
当x ≥2时， x 2 在实数范围内有意义.
1 当a 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1) a 1； (2) 2a 3；
(3) a；
(4) 5 a .
解：(1)由a－1≥0，得a≥1，所以当a≥1时， a 1 在实数范围内有意义．
当a＞0时，－5a＜0，则 -5a 不是二次根式．
∴ -5a 不一定是二次根式．
(4) a＋1(a≥0)只能称为含有二次根式的式子，不能称为二次根式．
1
1
(5)当x＝－3时，（x 3）2 无意义，∴ （x 3）2 也无意义；
1
1
当x≠－3时，（x 3）2 ＞0，∴ （x 3）2 是二次根式．
3 式子 a＋1 有意义，则实数a 的取值范围是( C )
a－2
A．a≥－1
B．a≠2
C．a≥－1且a≠2
D．a＞2
知识点 3 二次根式的“双重”非负性（a≥0， a≥0）
同时 a (a≥0)也是一个非负数，我们把这个性质叫做二次根
式的双重非负性.
例3 若 x y 1 （y 3）2 0，则x-y 的值为 ( C )
长的等腰三角形的周长是( B )
A．20或16
B．20
C．16
D．以上答案均不对
若式子
x1 ( x 3)2
有意义，则实数x 的取值范围是( B
)
A．x≥－1
B．x≥－1且x≠3
C．x >－1
D．x >－1且x≠3
本题易错在漏掉分母不为0这个条件，由题意
知x＋1≥0且(x－3)2≠0，解得x ≥－1且x≠3.

人教版八年级下册 16.1二次根式(第一课时)(共23张PPT)

Fra bibliotek探究新知
特点 1：根指数为 2 ; 特点 2：被开方数必须是非负数 .
探究新知
例题解析
例题解析
例题解析
变式训练
变式训练
变式训练
探究新知
总结归纳
例题解析
变式训练
拓展提高
小结：
当堂达标
复习回顾
一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根 .
表示非负数 a 的算术平方根 .
情境导入
探究： (1) 面积为 3 的正方形的边长为方形的边长为 .
; 面积为 S 的正
(2) 一个长方形的围栏，长是宽的 2 倍，面积为 130m2，则它的宽为 .
(3) 一个物体从高处自由下落，落到地面所用的时间 t ( 单位：s ) 与开始落下时离地面的高度 h ( 单位： m ) 满足关系h=5t2，如果用含有h 的式子表示 t，那么 t 为_________

16.1二次根式(第1课时)

1、什么叫做二次根式？形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式。 2、二次根式有哪两个形式上的特点？（1）根指数为 2；
课堂小结
（2）被开方数必须是非负数。
16.1
二次根式
1.二次根式的概念
知识回顾
1、16的平方根是什么?16的算术平方根是什么？
2、0的平方根是什么？0的算术平方根是什么？ 3、－7有没有平方根？有没有算术平方根？正数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根。
4、 7 表示什么？
表示7的算术平方根
试一试：说出下列各式的意义；
1 16, 81, 0 , , 0.04; 49
x-2 练习：要使有意义，字母 x 的取值必须 x-1 满足什么条件？
做一做: 要使下列各式有意义，字母的取值必须满足什么条件？ 1、 x+3 3、 1 x 2、 2-5x 4、 a2+1 x-1 6、 x-2
5、 x-3 + 4-x
想一想：已知：y= x-2 + 2-x +3，求 x 的值。
a a ,,
3
aa ,
2
2
,
8.
叫做二次根式.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱa (a 0)
其中a叫做被开方式。
不要忽略
二次根式
二次根式必须具备如下特点： 1、根指数为 2； 2、被开方数必须是非负数。
想一想： 10 、 -5 、 8
2
3
5 3 、 (-2)2
a (a＜0﹚、
a +0.1 、 -a (a＜0﹚是不是二次根式？
观察：上面几个式子中，被开方数被开方数是非负数,
的特点？且根指数为2
1.二次根式的概念

16.1 二次根式第1课时：二次根式的概念(含答案)

116.1二次根式第1课时二次根式的概念一、选择题1.下列各式中,一定是二次根式的是()A.-3 B.33 C. D.-32.要使二次根式 +1有意义,a 的值可以是()A.-1 B.-2 C.-3 D.-43.下列二次根式中,无论x 取何值,都有意义的是()A. B. 2-1 D. 2+14.已知二次根式 +3,当x=1时,此二次根式的值为()A.2B.±2C.4D.±45.若1-2 是二次根式,则x 的值不可能是()A.-2 B.-1 C.0 D.16.下列选项中,使根式有意义的a 的取值范围为a<1的是()A. -1 B.1- C.(1- )2二、填空题7.当x=54时,二次根式 +1的值为.1+ x 的取值范围是.9.若关于x 的式子4- +- +2有意义,且满足条件的所有整数x 的和为10,则a 的取值范围为.0有意义的条件是.三、解答题11.判断下列各式哪些是二次根式,哪些不是,为什么?3,-16,34,-5, 2+1.(1)求x 的取值范围;(2)求当x=-2x 的值.13.已知 -17+17- =b+8.(1)求a、b 的值;(2)求a 2-b 2的平方根和a+2b 的立方根.16.1二次根式第1课时：二次根式的概念一、选择题1.答案A A.-3符合二次根式的定义,故本选项符合题意;B.33是三次根式,故本选项不符合题意;C.当x<0时, 无意义,故本选项不符合题意;D.由于-3<0,所以-3无意义,故本选项不符合题意.故选A.2.答案A由题意得,a+1≥0,解得a≥-1,结合各选项知,只有-1符合题意,故选A.3.答案D A. ,当x≥0时,二次根式有意义,故此选项不符合题意;B. 2-1,当x2-1≥0,即x≥1或x≤-1时,二次根式有意义,故此选项不符合题意;2x≠0时,二次根式有意义,故此选项不符合题意;D. 2+1,无论x取何值,二次根式都有意义,故此选项符合题意.故选D.4.答案A当x=1时,原式=1+3=4=2,故选A.5.答案D∵1-2 是二次根式,∴1-2x≥0,解得x≤0.5,∴x的值不可能是1.故选D.6.答案D A项,当a≥1时,根式有意义;B项,当a≤1时,根式有意义;C项,无论a取何值,根式都有意义;D项,要使根式有意义,则11- ≥0且1-a≠0,解得a<1.故选D.二、填空题7.答案32解析当x=54时, +1==32.故答案为32.8.答案x>-1解析由题意得11+ ≥0且1+x≠0,∴1+x>0,解得x>-1,故答案为x>-1.9.答案1<a≤3解析∵关于x的式子4- + - +2有意义,∴4-x≥0,x-a+2≥0,解得a-2≤x≤4,∵满足条件的所有整数x的和为10,4+3+2+1=10,4+3+2+1+0=10,∴-1<a-2≤1,∴1<a≤3.10.答案x≥-2,x≠1且x≠-12解析由题意可得x+2≥0,x-1≠0且2x+1≠0,解得x≥-2,x≠1且x≠-12.2三、解答题11.解析3,-16,(a≥0), 2+1符合二次根式的定义,故是二次根式; 34是三次根式,故不是二次根式;-5中被开方数小于0,故不是二次根式.12.解析(1)根据题意,得3-12x≥0,解得x≤6.=3+1=2.(2)当x=-2∴3-12x=0,解得x=6.13.解析(1)由题意得a-17≥0,且17-a≥0,则a-17=0,解得a=17,把a=17代入 -17+17- =b+8,得b+8=0,解得b=-8.故a、b的值分别为17、-8.(2)由(1)得a=17,b=-8,∴± 2- 2=±172-(-8)2=±15,3 +2 =317+2×(-8)=31=1.故a2-b2的平方根为±15,a+2b的立方根为1.3。

16.1二次根式(第1课时 )

(2) (3)(5)(7)均不是二次根式.
新知应用
两个必备特征
思考：当x是怎样的实数时，二次根式 x 2在实数范围内
有意义？解：由x-2≥0，得 x≥2.
被开方数a ≥0
当x≥2时，二次根式 x 2在实数范围内有意义.
试一试说一说 x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x 1 x ≥1 (2) 3x x≤0
“ ”称为二次根号.
新知应用
形如 a (a 0) 的式子
例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
(1) 4
( 2 )✘6 ( 3 ) ✘1 2
( 4 ) - m (m≤0),
(6) a2 1
( 5 ) x✘y(x,y 异号)
( 7 )✘3 8
异号得负
解： (1)(4)(6)均是二次根①式外，貌特征：含有“ ” 两个必备特征 ②内在特征：被开方数a ≥0
（6） x 1 2x 3
a C D
2
2.式子 3x 6 有意义的条件是（ A ） A. x＞2 B.x≥2 C.x＜2 D.x≤2
3.当x=_-_1__时，二次根式 x 1 取最小值，其最小值为__0__．
0
课后作业
当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（5） x2 2x 1
我们知道,负数没有平方根. 因此,在实数范围
内
时，被开方数只能是正非数负或数0..
探究新知
思考用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？
（1）面积为3 的正方形的边长为____3___，面积为S 的正方形的
边长为____S___．边长边长 3
边长边长 S
（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130m2，则它的宽

人教版数学八年级下册16.1二次根式(第一课时) 教案

[二次根式]教案（第一课时）教学目的：1．使学生了解二次根式的概念2．使学生掌握二次根式的简单性质：a≥0)总是一个非负实数。

②2=a(a≥0)3．培养学生观察能力，抽象概括能力，渗透分类的思想方法。

教学重点：二次根式概念以及二次根式的性质：2=a(a≥0)教学难点：公式2=a(a≥0)教学用具：投影仪和投影胶片教学过程：一、复习提问：观察以下各式分别表示什么？他们在形式上有什么共同特征？在被开方数方面有什么共同特征？二、引入新课：①如果用字母a②引导学生讨论：a可以取哪些实数？③引入课题三、讲解新课1．二次根式概念：⑴板书二次根式定义。

⑵学生讨论：这里为什么规定a≥0？⑶强调二次根式的两个特征（其中a≥0用红粉笔强调）。

⑷结合复习题举例说明。

2．练习（投影出示）选择题（1x≤0)(x>2)中属于二次根式的是（）A.①②③B.①③④C.②③④D.①②④（2）当x=-2时，在实数范围内没有意义的式子是（）是二次根式的关键是a ≥03．例1：x（1）学生讨论解题思路；（2）师生共同完成解题过程并强调书写各式的规范。

4．巩固练习（投影出示）x 取什么实数时，下列各式在实数范围内有意义？ ⑴39x - ⑵43x - ⑶124x - 请三位学生上黑板板演，然后学生评讲刚才我们研究了二次根式的概念，下面我们来共同研究二次根式的性质5a ≥0)的非负性（1）判断题：1°当a >0>0（），2°当a =0=0（）3°对于任何实数a 0（）（2a ≥0)≥0（3）学生讨论：前面还学过那些具有非负性的数？6．公式：2a =(a ≥0) （1）实例：因为(±2)2=4，所以±2是4的平方根，其中2是4的算术平方根。

由此可知当2时4的算术平方根时，他们应该满足22=43的算术平方根，根据平方根意义可知，他们应满足的关系是( )2=5的算术平方根，同样有( )2=你能举出一个类似的例子吗？（2）学生观察归纳：2a =（3）提问：这个公式在什么条件下成立呢？为什么a ≥0？（4）公式2a =(a ≥0)7．例2，计算①2 ②2 ③2师生共同完成解题过程，并说明表示3135不同，遇到52的正确写法。

沪科版八年级数学下册第16章《二次根式第一课时》公开课课件

正数有算术平方根；负数没有算术平方根。
4、 7 表示什么？
表示7的算术平方根
平方根的性质：正数有两个平方根且互为相反数；
0有一个平方根就是它本身；负数没有平方根。
a 表示什么？a 需要满足什么条件？
代数式 a(a 0) 叫做二次根式，读作
“根号a”，其中a是被开方数。
下列哪些代数式是二次根式？
2, 2, a21, b24a(b c24a c0), 3
3, b(b0)
1(x2) x2
二次根式的被开方数为非负数二次根式被开方数可为整式或分式
当堂训练
设x是实数，当x满足什么条件时，下列各式有意义？
(1) 2x 1 2 2 x
(3) 1 x
(4) 1 x2
做一做: 要使下列各式有意义，字母的取值必
有意义，
字母 x的取值必须满足什么条件？
总结提升本节课学习了哪些内容？你有什么收获？
教学反思
同学们对二次根式被开方数中的等号容易忽视，教学中要反复强调。
布置作业
1、家庭作业：练习册第二页1—9题； 2、课堂作业：习题16.1第三题；第七题； 3、预学二次根式性质3。
• 12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 • 13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2022/5/52022/5/5May 5, 2022 • 14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 15、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。
2022/5/52022/5/5 • 16、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年5月2022/5/52022/5/52022/5/55/5/2022 17、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。

16.1 二次根式(第1课时)

• 当x为何值时,下列各式在实数范围内有意义?
• （1） x 3 （2）
2 4x 3
• （3）
5x
• （5） 1 x • （7） x
（4）
（6）（8）
1 2x
x 1
x2
x3
拓展思考
当x是怎样的实数时，x2在实数范围内有意义？x3 ?
x为任意实数 x为大于或等于零的实数
归纳总结
• 求二次根式中字母的取值范围的基本依据： • ①被开方数不小于0； • ②分母中有字母时，要保证分母不为0.
第16章二次根式
16.1 二次根式
第1课时
回顾与思考
1．4的平方根是_±__2__；0的平方根是___0___.
2．5的平方根是_____5__；5的算术平方根是__5__.
3. 什么叫平方根？什么叫算术平方根？
新知引入
用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：
（1）面积为3的正方形的边长为
注意事项
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1. a 表示 a 的算术平方根.
2. a 可以是数,也可以是式.
3. 形式上含有二次根号
.
4. a 0.
5. a 既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
例题讲解
例1 当x是怎样的实数时，义？
在实数范围内有意
解：由x 2 0，得 x2
当x 2时，x 2在实数范围内有意义 .
巩固练习
解：设其宽为2x，长为3x，则有
检测反馈
2. 如图，在平面直角坐标系中，A（2，3）、B（5， 3）、C（2，5）是三角形的三个顶点，求BC的长.
解：由图示知 AC=5-3=2 AB=5-2=3

人教版八年级下数学16.1二次根式优质课件

x
x≤0， 1≤0，
解得x≥1 或x≤0
即当x≥1 或x≤0时， x x 1有意义.
课堂检测
拓广探索题
体会解题思想后，试着解答：当x为何值时， x 2 有意义？
2x 1
解：由题意得
x 2 ≥0， 2x 1
则
2xx21≥＞00，，或
x 2≤0， 2x 1＜0，
解得x≥2或x＜
1 2
，
即当x≥2或x＜
为_____0_．
课堂检测
基础巩固题
4.(1)若式子
x 1 2
在实数范围内有意义，则x的取值
范围是__x_≥_1___;
(2)若式子
1 x2
x
在实数范围内有意义，则x的
取值范围是_x__≥_0_且__x_≠_2__.
课堂检测
基础巩固题
5.(1)若二次根式
m2 m2 m 2
有意义，求m的取值范围．
A．x＞3
B．x＜3
C．x≥3
D．x≠3
x 1 2.（2019•黄石）若式子 x 2 在实数范围内有意义，则x的取
值范围是（ A ）
A．x≥1且x≠2 B．x≤1
C．x＞1且x≠2 D．x＜1
巩固练习
连接中考
3.（2018•苏州）若 x 2 在实数范围内有意义，则x的取值
范围在数轴上表示正确的是（ D ）
A．
B．
C．
D．
课堂检测
基础巩固题
1.下面的式子是二次根式的是( A )
A. a2 1 B. 3 33 C.
D.-1 a
1 2
2.（2018•达州）二次根式 2x 4中的x的取值范围是（ D ）
A．x＜﹣2 B．x≤﹣2 C．x＞﹣2 D．x≥﹣2