高中数学必修4112弧度制和弧度制与角度制的换算
弧度与角度的转换公式是怎样的
弧度与角度的转换公式是怎样的弧度与角度的转换公式是怎样的呢?有同学了解过吗?没有的话，快到小编这里来瞧瞧。
下面是由小编为大家整理的“弧度与角度的转换公式是怎样的”，仅供参考，欢迎大家阅读。
弧度与角度的转换公式是怎样的弧度和角度的换算公式为：1弧度=(180/π)°，根据定义，一周的弧度数为2πr/r=2π，360°角=2π弧度，1弧度约为57.3°。
弧度是角的度量单位，1周角为2π弧度，1平角为π弧度，1直角为π/2弧度。
拓展阅读：扇形的周长公式是什么扇形的周长：C=2R+2πR×n/360°，(n为圆心角，R为半径)，扇形的周长由两部分构成，第一部分是圆的半径的两倍，即2R。
还有一部分是弧长，即2πR×n/360°，(n为圆心角)。
一条圆弧和经过这条圆弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形(半圆与直径的组合也是扇形)。
显然，它是由圆周的一部分与它所对应的圆心角围成。
《几何原本》中这样定义扇形：由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形。
扇形的周长和面积公式是什么扇形周长公式为：扇形周长=扇形半径×2+弧长，即C=2r+ (n÷360) πd=2r+(n÷180)πr。
扇形面积公式是S=(lR)/2 或S=(1/2)θR²，R是底圆的半径，l为扇形弧长，θ为圆心角。
一条圆弧和经过这条圆弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形(半圆与直径的组合也是扇形)。
扇形周长公式是：扇形周长=扇形半径×2+弧长，即C=2r+ (n÷360) πd=2r+(n÷180)πr。
扇形面积公式描述了扇形面积和圆心角(顶角)、半径、所对弧长的关系。
数学公式表示为：S扇=(lR)/2 (l为扇形弧长) =(1/2)θR²(θ为以弧度表示的圆心角)。
扇形(符号:⌔)，是圆的一部分，由两个半径和和一段弧围成，在较小的区域被称为小扇形，较大的区域被称为大扇形。
弧度与角度的相互关系
弧度与角度的相互关系1、弧度的定义:圆心角的弧度等于该角所对的弧长与半径之比。
2、一个弧度的定义:通常把弧长等于半径R的圆弧所对的圆心角称为一个弧度。
由定义知:360°π*Dρ° D/2一个弧度ρ°=(360°*D/2)/πD=180°/π=57. 2958°即1弧度ρ°等于57. 295 8°（角度）（用度分秒形式表达就是：57° 17 ′44.88″） 1弧度（ρ°）=180°/π×60=3438′（分）1弧度（ρ°）=180°/π×60×60=206265″（秒）3、角度与弧度的换算关系：（1）Θ0（度）＝1800/π·Θ=ρ0·ω=ρ′·ω（弧度）=ρ″″·ω其中ρ″=206 265″（2）弧度转换为角度有两种：(a)弧度*180/PI（）；(b)利用函数命令“=degrees（）”。
4、角度误差与边长的横向影响：ω=Θ″/ρ″=L/R例如：某角度测量的误差为±10″,估计它对边长2km的点位有多大的影响？ω=Θ″/ρ″=L/R=10″/206 265″=L/2000 ,故 L=0.1m5、在弧度和角度转换中用到一个参数命令“PI（）”，换句话说PI（）就是圆周率π的别名。
1）正算三角函数（即角度已知）是“函数命令（）×PI（）/180”（或写成“函数命令（）×π/180）。
（例题参见“坐标正算表”）2）在反算三角函数中，单位是弧度，转换成角度时是“函数命令（）×180/PI（）”（或写成“函数命令（）×180/π”）。
（例题参见“由两组坐标值解算平距和方位角的计算表”）6、在小数形式的角度中用“度分秒”来表示时,有两种形式:第一种:六十制法：分三步走:(1)“度”是小数形式的整数部分;(2) “分”是(1)中小数点后数值（包括小数点）×60后得的整数部分. (3)“秒”是在(2)步骤中的小数部分（包括小数点）×60后得的数值。
弧度制及弧度制和角度制的换算
弧度制的概念和换算总结要点1. 角度制与弧度制:这是两种不同的度量角的制度.角度制是以“度”为单位;弧度制是以“弧度”为单位.2. 度与弧度的相互换算:10≈0.01745弧度, 1弧度≈57018/.3. 在同一个式子中,两种制度不能混用.如:与600终边相同的角的集合不能表示为{x|x=2k π+600,k ∈Z},正确的表示方法是x|x=2k π+3π,k ∈Z }或{ x|x=k ·3600 +600,k ∈Z } 同步练习1. 若α=－3.2,则角α的终边在 ( ) (A)第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限2.①4π, ② －45π,③419π,④－43π,其中终边相同的角是 ( )(A) ①和② (B) ②和③ (C) ③和④ (D) ①和④ 3. 若4π<α<6π,且与－32π角的终边相同,则α=_________. 4.正三角形,正四边形,正五边形, 正六边形, 正八边形, 正十边形, 正n 边形的一个内角的大小分别_____,____ ,_____,_____,_____,_____, ______.(用弧度表示) 5.把下列各角用另一种度量制表示. ⑴1350⑵ －67030/⑶2 ⑷－67π1. 将下列各数按从小到大的顺序排列.Sin40, sin21, sin300, sin12. 把下列各角化成2k π+α（0≤α＜2π,）的形式, 并求出在(－2π,4π)内和它终边相同的角.(1)－316π; (2)－6750.3. 若角θ的终边与1680角的终边相同,求在[0,2π]内终边与3θ角的终边相同的角.练习四 弧度制(二)要点1. 弧长公式和扇形面积公式:弧长公式 L=|α|r 扇形面积公式 S=21Lr=21|α|r 2 其中α是圆心角的弧度数,L 为圆心角α所对的弧长,r 为圆半径.2. 无论是角度制还是用弧度制,都能在角的集合与实数集之间建立起一一对应的关系,但用弧度制表示角时,容易找出与角对应的实数. 同步练习1.半径为5 cm 的圆中,弧长为415cm 的圆弧所对的圆心角等于 ( ) (A)145(B) 1350(C)π135 (D)π1452.将分针拨快10分钟,则分针转过的弧度数是 ( ) (A)3π (B)－3π (C) 6π (D)－6π 3. 半径为 4 的扇形,基它的周长等于弧所在的半圆周的长,则这个扇形的面积是_________.4. 已知一弧所对的圆周角为600,圆的半径为10cm,则此弧所在的弓形的面积等于___________.5. 已知扇形的周长为6cm,面积为2cm 2,求扇形圆心角的弧度数.6. 2弧度的圆心角所对的弦长为2,求这个圆心角所夹扇形的面积.7. 一条弦的长度等于其所在圆的半径r.(1) 求这条弦所在的劣弧长;(2) 求这条弦和劣弧所组成的弓形的面积.【数学2】二、弧度制第一课时教学要求：1．理解弧度制的意义，熟练掌握弧度制与角度制的互换． 教学过程：1．为什么要引入新的角的单位弧度制.（1）为了计算的方便，角度制单位、度、分、秒是60进制，计算不方便； （2）为了让角的度量结果与实数一一对应. 2．弧度制的定义先复习角度制，即1度的角的大小是怎样定义的. 1弧度角的规定.把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 弧度的单位符号是rad ，读作弧度.如上图，AB 的长等于半径r ，∠AOB 的大小就是1弧度的角.弧AC 的长度等于2r,则∠AOC=2rad.问半圆所对的圆心角是多少弧度，圆周所对的圆心角是多少弧度？答：半圆弧长是∴=,,πππrrr 半圆所对的圆心角是π弧度.同样道理，圆周所对的圆心角（称谓周角）的大小是2π弧度.角的概念推广后，弧的概念也随之推广.所以任意一正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是零.3．弧度制与角度制的互化因为周角的弧度数是2π，角度是360°，所以有 radrad radrad 01745.018011802360≈===ππποοοοο1803602==rad rad ππ815730.57)180(1'=≈=οοοrad rad π例1：把.0367化成弧度'ο解：.835.671805.670367rad rad ππ=⨯=='οο例2：把rad 53π化成角度. οο1081805353=⨯=rad π 今后用弧度制表示角时，把“弧度”二字或“rad ”通常省略不写，比如66ππ就表示 rad ，角.2,2rad 等于就是角αα= rad 33sinππ表示角的正弦.οο360~0之间的一些特殊角的度数与弧度数的互化必需熟练掌握.例3：用弧度制表示 （1）与π32终边相同的角； （2）第四象限的角的集合. 解：（1）与.,32232Z k k ∈+πππ终边也相同的角是 （2）第四象限的角的集合是},22223|{Z k k k ∈+<<+ππαππα 也可能写成},222|{Z k k k ∈<<-παππα注意两种角度制不准混合用，如写成.,2120是不对的Z k k ∈+=παο布置作业，课本P 12，1~5题.第二课时教学要求：1．熟练弧度制与角度制的互化，理解角的集合与实数集R 的一一对应. 2．会用弧长公式，扇形面积公式，解决一些实际问题. 教学过程：复习角的弧度制与角度制的转化公式.017453.01801,81.573.573.57)180(1rad rad rad ≈='==≈=πποοοο1．学生先练习，老师再总结.（1）10 rad 角是第几象限的角？ （2）求sin1.5的值.解：（1）有两种方法. 第一种方法οοο21336057310+==rad ，是第三象限的角第二种方法πππππ23210),210(210<-<-+=而 ∴10 rad 的角是第三象限的角. （2）9975.07585sin 5.1sin 75855.1='=∴'=οο也可以直接在计算器上求得，先把角的单位转至RAD ，再求sin1.5即可得. 2．总结角的集合与实数集R 之间的一一对应关系. 正角的弧度数是一个正数，负的弧度数是一个负数， 零角的弧度是零.反过来，每个实数都对应唯一的角（角 的弧度数等于这个实数）这样就在角的集合（元素是角）与实数集R （元素是数） 之间建立了一一对应的关系.3．弧长公式，扇形面积公式的应用由弧度制的定义||αr l rld ==得弧长 例1：利用弧度制证明扇形面积公式l lR S 其中,21=是扇形弧长，R 是圆的半径. 证明：因为圆心角为1 rad 的扇形的面积是ππ22R ，而弧长为l 的扇形的圆心角为rad Rl，所以它的面积 lR R R l S 2122=⋅=ππ.若已知扇形的半径和圆心角，则它的面积又可以写成||21||21212ααR R R lR S =⋅==例2：半径R 的扇形的周长是4R ，求面积和圆心角. 解：扇形弧长为4R-2R=2R ，圆心角)(22rad RR==α 面积2221R R S ==θ. 例3：在扇形AOB 中，∠AOB=90°，弧长为l ， 求它的内切圆的面积. 解：先求得扇形的半径ππllr 22==设圆的半径为x ，圆心为C ，x OC 2||=由πlx x 22=+解得ππll x )12(2)12(2-=+=lS ⊙C ππ22)223(4l x -==4．学生课堂阅读课本P 10~11 例5、例6 并作P 11练习7、8两题.布置作业，课本P 12—13，习题4.2 6、8、9、10、11§4.2弧度制[教学目标]（1）通过本小节的学习，要使学生理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数；（2）了解角的集合与实数集R 之间可以建立起一一对应的关系；（3）掌握弧度制下的弧长公式，会利用弧度解决某些简单的实际问题。
课件6：1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
跟踪训练 2.用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界) 的角θ的集合.
解：因为 30°＝π6 rad，210°＝76π rad，
这两个角的终边所在的直线相同，因为终边在直线 AB 上
的角为 α＝kπ＋π6，k∈Z，而终边在 y 轴上的角为 β＝kπ＋π2，
k∈Z，从而终边落在阴影部分内的角的集合为
②以“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多 少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数. ③度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度.
跟踪训练
1.把 56°15′化为弧度是( )
5π
5π
A. 8
B. 4
5π
5π
C. 6
D.16
【解析】 56°15′＝56.25°＝2425×1π80＝51π6. 【答案】 D
(2)35π rad＝35×180°＝108°.
【答案】
3 (1)8π
(2)108°
教材整理3 扇形的弧长与面积公式 设扇形的半径为r，弧长为l，α为其圆心角，则
α 为度数
α 为弧度数
扇形的弧长 l＝ απr l＝ αr
180°
扇形的面积
S＝ απr2 S＝ 360°
12lr＝
12αr2
预习自测
5.一个扇形的面积为1，周长为4，求该扇形圆心角的 弧度数.
解：设扇形的半径为 R，弧长为 l，圆心角为 α， 则 2R＋l＝4.① 由扇形的面积公式 S＝12 lR，得12lR＝1.② 由①②得 R＝1，l＝2，∴α＝Rl ＝2 rad. ∴扇形的圆心角为 2 rad.
【解析】 根据弧度制的定义知(4)正确. 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√
高中数学人教B版必修4教案：1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算 Word版含答案
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算一、教学目标1．知识目标：①了解弧度制，能进行弧度与角度的换算.②认识弧长公式，能进行简单应用. 对弧长公式只要求了解，会进行简单应用，不必在应用方面加深.2. 能力目标：①了解弧度制引入的必要性及弧度制与角度制的区别与联系.②了解角的集合与实数集建立了一一对应关系，培养学生学会用函数的观点分析、解决问题.③通过角度制与弧度制的换算，对学生进行算法训练，提高学生的计算能力.3．情感目标：使学生认识到角度制、弧度制都是角的度量制度，二者虽单位不同，但是二者相互联系、辩证统一. 进一步加强学生对辩证统一思想的理解.二、教学重点、难点重点：了解弧度制，并能进行弧度与角度的换算.难点：弧度的概念及其与角度的关系.三、教学方法自学—讨论—讲授—练习先由学生自学，而后教师设置一些问题供学生思考，在此基础上，可以通过讲授再现概念，通过练习理解概念，完成教学.其中l是扇形弧长，R是圆的半径5．角度制与弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系5．角度制、弧度制是度量角的两种不同的方法，虽然单位、进制不同，但反映了事物的本质属性不变，改变的是不同的观察、处理方法，因此结果就有所不同教学环节教学内容师生互动设计意图应用举例例1：（1）把'3067 化成弧度（精确到0.001）（2）把'3067 化成弧度（用π表示）解：（1）n＝'3067 ，π＝3.1416；（2）n＝603067＝67.5；（3）a＝180π≈0.0175；（4）α＝na＝1.18125∴α≈1.18125 rad例2：把radπ53化成度解：1081805353=⨯=radπ例3：填写下表：角度0°30°45°60°90°120°弧度1．例1的第（1）问由老师板书，并归纳出算法步骤。
把角度值n换算为弧度制的算法步骤如下：①给变量n和圆周率π的近似值赋值；②如果角度值n是以“度、分、秒”形式给出的，先把n化为以“度”为单位的10进制表示；③计算180π（把1°换算为弧度值），得出的结果赋给变量a；④计算na，赋值给变量α.α就是这个角的弧度值.2．例1的第（2）问由一个学生板书，教师及时指出解题过程中出现的问题.3．例2由学生回答，老师板书。
高中数学 112弧度制和弧度制与角度制的换算1教案 新人教A版必修4 教案
弧度制和弧度制与角度制的换算
一、教学目标：
1．知识目标：
（1）1弧度的角的定义；（2）弧度制的定义；（3）弧度与角度的换算；（4）角的集合与实数集R之间建立的一一对应关系；（5）弧度制下的弧长公式、扇形面积公式。
2．能力目标：
（1）理解弧度的意义，能正确地进行角度与弧度的换算，熟记特殊角的弧度数；（2）了解角的集合与实数集R之间可以建立起一一对应关系；（3）掌握弧度制下的弧长公式，扇形的面积公式；（4）会利用弧度解决某些实际问题。
3．情感目标：
（1）使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽然单位不同，但是互相联系的、辩证统一的，进一步加强对辩证统一思想的理解；（2）使学生通过总结引入弧度制的好处，学会归纳、整理并认识到任何新知识的学习都会为我们解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣。
二、教学重点、难点：
重点：弧度的意义，弧度与角度的换算方法；
难点：理解弧度制与角度制的区别。
三、教学方法：
通过几何画板多媒体课件的演示，给学生以直观的形象，使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性和可行性。
从特殊到一般，是人类认识事物的一般规律，让学生从某一个简单的、特殊的情况开始着手，更利于教学的开展和学生思维的拓展，共同找出弧度与角度换算的方法。
通过设置问题启发引导学生观察、分析、归纳，使学生在独立思考的基础上更好地进行合作交流。
四、教学过程：
=定
定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1
角，又是角，同一个非零角
= rad 180π
换算公式：
180α
⎛
60，半径AB的长
附录（表格和图）：
B
B
l
O。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修4 1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算》
弧度制和弧度制与角度制的换算一、目标分析充分的小组探究、合作、展示以及对角度制、弧度制各有优点的诠释，培养学生直观想象、数学运算、数据分析的学科核心素养以及理性思维、批判质疑、勇于探究的文化基础的学生发展核心素养。
1、知识与技能（1）理解1弧度的角及弧度的定义。
（2）掌握角度与弧度的换算公式。
（3）理解角的集合与实数集R之间的一一对应关系。
（4）理解并掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，并能灵活运用这两个公式解题。
2、过程与方法通过不同圆中相等圆心角对应的弧长与半径的比值的关系引入弧度的概念；比较两种度量角的制度探究角度制与弧度制之间的互化；小组内充分的开放式问题的讨论使学生掌握扇形的面积公式；通过自主学习和合作学习，树立学生正确的学习态度。
3、情感态度与价值观通过弧度制的学习，使学生认识到角度制与弧度制都是度量角制度，二者虽单位不同，但却是相互联系、辩证统一的；在弧度制下，角的加、减运算可以像十进制一样进行，而不需要进行角度制与十进制之间的互化，化简了六十进制给角的加、减运算带来的诸多不便，体现了弧度制的简捷美；通过弧度制与角度制的比较，使学生认识到引入弧度制的优越性，激发学生的学习兴趣和求知欲望，养成良好的学习品质。
二、教材及内容分析本节课是普通高中课程标准实验教科书人教B版必修4第一章第一单元第二节内容。
学生在初中已经学过角的度量单位“度”，且在上节课学习了任意角的概念，已掌握了一些基本单位转换方法，并能体会不同的单位制能给解决不同的问题带来方便；该课的知识还为之后学习任意角的三角函数等知识埋下了铺垫，因此本节课起着承上启下的作用。
通过本节课的学习，我们很容易找出与角对应的实数，且在弧度制下的弧长公式与扇形面积公式有了更为简单形式。
同时，通过本节课的学习，学生可以认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但是是互相联系的、辩证统一的，从而进一步加强学生对辩证统一思想的理解。
三、重难点分析根据新课程标准及对教材的分析，确定本节课重难点如下：重点：1、理解并掌握弧度制的定义。
弧度与角度的转换公式是怎样的
弧度与角度的转换公式是怎样的弧度与角度的转换公式是怎样的呢?有同学了解过吗?没有的话，快到小编这里来瞧瞧。
下面是由小编为大家整理的“弧度与角度的转换公式是怎样的”，仅供参考，欢迎大家阅读。
弧度与角度的转换公式是怎样的弧度和角度的换算公式为：1弧度=(180/π)°，根据定义，一周的弧度数为2πr/r=2π，360°角=2π弧度，1弧度约为57.3°。
弧度是角的度量单位，1周角为2π弧度，1平角为π弧度，1直角为π/2弧度。
拓展阅读：扇形的周长公式是什么扇形的周长：C=2R+2πR×n/360°，(n为圆心角，R为半径)，扇形的周长由两部分构成，第一部分是圆的半径的两倍，即2R。
还有一部分是弧长，即2πR×n/360°，(n为圆心角)。
一条圆弧和经过这条圆弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形(半圆与直径的组合也是扇形)。
显然，它是由圆周的一部分与它所对应的圆心角围成。
《几何原本》中这样定义扇形：由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形。
扇形的周长和面积公式是什么扇形周长公式为：扇形周长=扇形半径×2+弧长，即C=2r+ (n÷360) πd=2r+(n÷180)πr。
扇形面积公式是S=(lR)/2 或S=(1/2)θR²，R是底圆的半径，l为扇形弧长，θ为圆心角。
一条圆弧和经过这条圆弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形(半圆与直径的组合也是扇形)。
扇形周长公式是：扇形周长=扇形半径×2+弧长，即C=2r+ (n÷360) πd=2r+(n÷180)πr。
扇形面积公式描述了扇形面积和圆心角(顶角)、半径、所对弧长的关系。
数学公式表示为：S扇=(lR)/2 (l为扇形弧长) =(1/2)θR²(θ为以弧度表示的圆心角)。
扇形(符号:⌔)，是圆的一部分，由两个半径和和一段弧围成，在较小的区域被称为小扇形，较大的区域被称为大扇形。
弧度制及弧度制与角度制的换算
例2. 把
8 5Leabharlann 化成度。解：1rad=
(
1
8
0
)
8 8 (180) 5 5
288
弧度制及弧度制与角度制的换算
例3. 填写下表：
角度 0° 30° 45° 60° 90° 120°
弧度 0
6
2
4
3
2
3
角度 135° 150° 180° 210° 225° 240°
弧度制及弧度制与角度制的换算
例5. 在半径为R的圆中，240º的中心角所对的
弧长为
，面积为2R2的扇形的
中心角等于
弧度。
解：（1）240º= 4 ，根据l=αR，得 3
l 4R
3
（2）根据S=
1 2
lR=
1 2
αR2，且S=2R2.
所以 α=4. 弧度制及弧度制与角度制的换算
例6.与角－1825º的终边相同，且绝对值最小 的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。
弧度制及弧度制与角度制的换算
3. 弧度制与角度制相比：
(1) 弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单 位制，角度制是以“度”为单位来度量角的 单位制；1弧度≠1º；
（2）1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆 心角的大小，而1度是圆周 1 的所对的圆心
360 角的大小；
弧度制及弧度制与角度制的换算
（3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实 数表示，而角度制是六十进制； （4）以弧度和度为单位的角，都是一个与 半径无关的定值。
解：－1825º=－5×360º－25º，
所以与角－1825º的终边相同，且绝对值
最小的角是－25º.
高中数学1章基本初等函数Ⅱ1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算
1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算(1)角度制：用度作单位来度量角的制度叫做角度制．角度制规定60分等于1度，60秒等于1分．(2)弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad.以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制．2．角的弧度数的计算在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对圆心角为α rad，则α＝lr.3．角度与弧度的互化4．一些特殊角与弧度数的对应关系{α|α＝2kπ＋30°，k∈Z}，这种表示正确吗？为什么？[提示] 这种表示不正确，同一个式子中，角度、弧度不能混用，否则产生混乱，正确的表示方法应为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝2k π＋π6，k ∈Z或{α|α＝k ·360°＋30°，k ∈Z }． 5．扇形的弧长与面积公式设扇形的半径为r ，弧长为l ，α为其圆心角，则思考2：在弧度制下的扇形面积公式S ＝2lr 可类比哪种图形的面积公式加以记忆？[提示] 此公式可类比三角形的面积公式来记忆． 1．1 080°等于( ) A ．1 080 B ．π10C ．3π10D ．6πD [1 080°＝180°×6，所以1 080°化为弧度是6π.] 2．与角23π终边相同的角是( )A ．113πB ．2k π－23π(k ∈Z )C ．2k π－103π(k ∈Z )D ．(2k ＋1)π＋23π(k ∈Z )C [选项A 中11π3＝2π＋53π，与角53π终边相同，故A 项错；2k π－23π，k ∈Z ，当k ＝1时，得[0,2π)之间的角为43π，故与43π有相同的终边，B 项错；2k π－103π，k ∈Z ，当k ＝2时，得[0,2π)之间的角为23π，与23π有相同的终边，故C 项对；(2k ＋1)π＋23π，k ∈Z ，当k ＝0时，得[0,2π)之间的角为53π，故D 项错．]3．圆心角为π3弧度，半径为6的扇形的面积为________．6π [扇形的面积为12×62×π3＝6π.]弧度制的概念A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12πC ．1 rad 的角比1°的角要大D ．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关[思路探究] 由题目可获取以下主要信息：各选项中均涉及到角度与弧度，解答本题可从角度和弧度的定义着手．D [根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关，所以D 项是假命题，A 、B 、C 项均为真命题．]弧度制与角度制的区别与联系区别①单位不同，弧度制以“弧度”为度量单位，角度制以“度”为度量单位；②定义不同联系不管以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径大小无关的定值1．下列各说法中，错误的说法是( ) A ．半圆所对的圆心角是π rad B ．周角的大小等于2πC ．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D ．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 [答案] D角度制与弧度制的转换【例2】 设角α1＝－570°，α2＝750°，β1＝5π，β2＝－73π. (1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限；(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们终边相同的所有角．[思路探究] 由题目可获取以下主要信息：(1)用角度制给出的两个角－570°，750°，用弧度制给出的两个角35π，－73π；(2)终边相同的角的表示．解答本题(1)可先将－570°，750°化为弧度角再将其写成2k π＋α(k ∈Z,0≤α<2π)的形式，解答(2)可先将β1、β2用角度制表示，再将其写成β＋k ·360°(k ∈Z )的形式．[解] (1)要确定角α所在的象限，只要把α表示为α＝2k π＋α0(k ∈Z,0≤α0<2π)的形式，由α0所在象限即可判定出α所在的象限．α1＝－570°＝－196π＝－4π＋56π，α2＝750°＝256π＝4π＋π6.∴α1在第二象限，α2在第一象限．(2)β1＝3π5＝108°，设θ＝β1＋k ·360°(k ∈Z )，由－720°≤θ<0°，得－720°≤108°＋k ·360°<0°， ∴k ＝－2或k ＝－1，∴在－720°～0°间与β1有相同终边的角是－612°和－252°.同理β2＝－420°且在－720°～0°间与β2有相同终边的角是－60°.角度制与弧度制的转换中的注意点 1在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键.由它可以得：度数×π180＝弧度数，弧度数×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝度数.2特殊角的弧度数与度数对应值今后常用，应该熟记. 3在同一个式子中，角度与弧度不能混合用，必须保持单位统一，如α＝2k π＋30°，k ∈Z 是不正确的写法.4判断角α终边所在的象限时，若α[－2π，2π]，应首先把α表示成α＝2k π＋β，β∈[－2π，2π]的形式，然后利用角β终边所在的象限来确定角α终边所在的象限.2．用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合．[解] 因为30°＝π6 rad,210°＝7π6rad ，这两个角的终边所在的直线相同，因为终边在直线AB 上的角为α＝k π＋π6，k ∈Z ，而终边在y 轴上的角为β＝k π＋π2，k ∈Z ，从而终边落在阴影部分内的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪k π＋π6<θ<k π＋π2，k ∈Z.弧长公式与扇形面积公式的应用[探究问题]1.用公式|α|＝lr求圆心角时，应注意什么问题？[提示] 应注意结果是圆心角的绝对值，具体应用时既要注意其大小，又要注意其正负．2．在使用弧度制下的弧长公式及面积公式时，若已知的角是以“度”为单位，需注意什么问题？[提示] 若已知的角是以“度”为单位，则必须先把它化成弧度后再计算，否则结果出错．【例3】 (1)设扇形的周长为8 cm ，面积为4 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( )A ．1 radB ．2 radC ．3 radD ．4 rad(2)已知扇形的周长为20 cm ，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？[思路探究] (1)可由扇形周长和面积建立方程组，通过解方程组求得；(2)可通过建立扇形面积的目标函数来求解．(1)B [设扇形半径为r ，弧长为l ，由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12l ·r ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝4，r ＝2，则圆心角α＝lr＝2 rad.](2)解：设扇形的半径为r ，弧长为l ，面积为S .则l ＝20－2r ，∴S ＝12lr ＝12(20－2r )·r ＝－r 2＋10r ＝－(r－5)2＋25(0＜r ＜10)．∴当半径r ＝5 cm 时，扇形的面积最大，为25 cm 2.此时α＝l r ＝20－2×55＝2 rad.∴当它的半径为5 cm ，圆心角为2 rad 时，扇形面积最大，最大值为25 cm 2.(变条件)用30 cm 长的铁丝围成一个扇形，应怎样设计才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？[解] 设扇形的圆心角为α，半径为r ，面积为S ，弧长为l ，则有l ＋2r ＝30，∴l ＝30－2r ，从而S ＝12·l ·r ＝12(30－2r )·r ＝－r 2＋15r＝－⎝⎛⎭⎪⎫r －1522＋2254.∴当半径r ＝152 cm 时，l ＝30－2×152＝15 cm ，扇形面积的最大值是2254 cm 2，这时α＝lr＝2 rad.∴当扇形的圆心角为2 rad ，半径为152 cm 时，面积最大，为2254cm 2.弧度制下解决扇形相关问题的步骤： 1明确弧长公式和扇形的面积公式：l ＝|α|r ，S ＝12αr 2和S ＝12lr ；这里α必须是弧度制下的角2分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式；3根据条件列方程(组)或建立目标函数求解.(教师用书独具)1．释疑弧长公式及扇形的面积公式(1)公式中共四个量分别为α，l ，r ，S ，由其中的两个量可以求出另外的两个量，即知二求二．(2)运用弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式明显比角度制下的公式简单得多，但要注意它的前提是α为弧度制．(3)在运用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形运用：①l ＝α·r ，α＝l r ，r ＝l α；②S ＝12αr 2，α＝2Sr2.2．角度制与弧度制的比较角度制用度作为单位来度量角的单位制角的大小与半径无关单位“°”不能省略 角的正负与方向有关六十进制弧 度 制用弧度作为单位来度量角的单位制角的大小与半径无关单位“rad”可以省略 角的正负与方向有关＋进制A.5π8 B.5π4C.5π6D.5π16D [56°15′＝56.25°＝2254×π180＝5π16.]2．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( )A.403π B.203πC.2003π D.4003πA [240°＝240×π180 rad ＝43π rad，∴弧长l ＝α·r ＝43π×10＝403π，选A.]3．将－1 485°化成2k π＋α(0≤α<2π，k ∈Z )的形式为________．－10π＋74π [由－1 485°＝－5×360°＋315°，所以－1 485°可以表示为－10π＋74π.]4．一个扇形的面积为1，周长为4，求该扇形圆心角的弧度数． [解] 设扇形的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α， 则2r ＋l ＝4.① 由扇形的面积公式S ＝12 lr ，得12lr ＝1.②由①②得r ＝1，l ＝2，∴α＝lr＝2 rad.∴扇形的圆心角为2 rad.。
弧度制和角度制的换算方法
弧度制和角度制的换算方法在数学中，角度的表示方法有两种，分别是弧度制和角度制。
弧度制是一种用弧长比来表示角的大小的方法，而角度制则是将一个圆分为360个等份，以度来表示角的大小。
本文将介绍弧度制和角度制之间的换算方法。
一、弧度制与角度制的基本概念在介绍具体的换算方法之前，我们先来了解一下弧度制和角度制的基本概念。
1. 弧度制（Radian）弧度制是一种用弧长比来表示角的大小的方法。
它是以单位圆的半径为1的圆周上所对应的弧长与半径的比值定义的。
一个完整的圆周对应的弧长是2π，所以一个圆周的角度大小用2π弧度表示。
一个直角所对应的角度是π/2弧度。
2. 角度制（Degree）角度制是将一个圆分为360个等份，用度来表示角的大小。
一个完整的圆周对应360度，一个直角所对应的角度是90度。
二、弧度制和角度制的换算方法下面是弧度制和角度制之间的换算方法。
1. 弧度制转角度制弧度制转角度制的换算方法是将弧度值乘以180再除以π。
用公式表示为：角度制 = 弧度制× 180 / π2. 角度制转弧度制角度制转弧度制的换算方法是将角度值乘以π再除以180。
用公式表示为：弧度制 = 角度制× π / 180三、实例演算为了更好地理解弧度制和角度制之间的换算方法，下面通过几个实例来进行演算。
例1：将2π弧度转换为角度制。
根据弧度制转角度制的换算公式，可得：角度制= 2π × 180 / π = 360度所以，2π弧度等于360度。
例2：将180度转换为弧度制。
根据角度制转弧度制的换算公式，可得：弧度制= 180 × π / 180 = π弧度所以，180度等于π弧度。
例3：将30度转换为弧度制。
根据角度制转弧度制的换算公式，可得：弧度制= 30 × π / 180 = π/6弧度所以，30度等于π/6弧度。
通过以上实例演算，我们可以清楚地看到弧度制和角度制之间的转换关系。
弧度制与角度制的转换方法
弧度制与角度制的转换方法弧度制和角度制是数学中常见的两种角度单位制。
在数学、物理等领域中，经常需要进行弧度制和角度制之间的转换。
本文将详细介绍弧度制和角度制的定义及其互相转换的方法。
一、弧度制的定义弧度制是一种角度单位，用弧长与半径之比定义。
当一个弧长等于半径的弧所对的角度为1弧度（1 rad）。
弧度制的符号为"rad"。
二、角度制的定义角度制是一种角度单位，将圆分为360等份，每一份称为一度（1°）。
而每一度又分为60等份，每一份称为一分（1'）。
每一分再分为60等份，每一份称为一秒（1"）。
三、弧度制到角度制的转换方法1. 弧度转角度：θ(°) = θ(rad) * (180/π)弧度制到角度制的转换公式为将弧度乘以180再除以π即可得到对应的角度值。
2. 角度转弧度：θ(rad) = θ(°) * (π/180)角度制到弧度制的转换公式为将角度乘以π再除以180即可得到对应的弧度值。
四、角度制到弧度制的转换方法1. 角度转弧度：θ(rad) = θ(°) * (π/180)角度制到弧度制的转换公式为将角度乘以π再除以180即可得到对应的弧度值。
2. 弧度转角度：θ(°) = θ(rad) * (180/π)弧度制到角度制的转换公式为将弧度乘以180再除以π即可得到对应的角度值。
这两种转换方法是互逆的，即通过其中一种方法转换得到的结果再通过另一种方法转换，应该能够得到原始的角度或弧度值。
五、举例说明1. 将30°转换为弧度制：θ(rad) = 30° * (π/180) = 0.523 rad (取三位小数)2. 将2π/3 rad转换为角度制：θ(°) = (2π/3) * (180/π) = 120°六、应用场景弧度制和角度制在不同的数学和物理问题中有不同的应用。
弧度与角度的换算公式
弧度与角度的换算公式在数学中，角度是衡量角的大小的单位，而弧度是另一种衡量角的大小的单位。
弧度和角度常常被用于描述圆周运动以及三角函数等数学问题。
弧度和角度之间可以进行相互转换，而这种转换需要使用特定的换算公式。
弧度是圆的弧长与半径的比值。
有一个重要的规定：一个完整的圆周等于360度或2π弧度。
换句话说，在一个圆周上围绕圆心转过的度数等于2π弧度或360度。
根据这个规定，我们可以得到以下的换算公式。
1. 弧度到角度的换算公式：我们假设一个圆周上的弧长是L，这个弧所对应的圆心角为θ（弧度）。
圆的半径为r。
根据弧度的定义，弧度θ = L / r。
要把弧度换算成角度，我们可以使用以下公式：角度（度） = 弧度（弧）× 180 / π这个公式中的π是一个常数，代表圆周率，其值约为3.14159。
所以，角度等于弧度乘以180再除以π。
通过这个公式，我们可以轻松地将给定的弧度转换为角度。
2. 角度到弧度的换算公式：同样地，我们可以使用以下公式将角度转换为弧度：弧度（弧） = 角度（度）× π / 180这个公式中的π代表圆周率，180是一个常数。
通过这个公式，我们可以将给定的角度转换为相应的弧度。
弧度和角度的换算在解决各种数学问题中都非常重要。
在三角函数的运算中，角度和弧度的转换经常需要用到。
例如，在计算三角函数的值时，有些函数要求输入角度，而有些函数则要求输入弧度。
在这种情况下，我们需要根据问题的要求进行适当的转换。
此外，弧度也常用于描述圆周运动。
当物体围绕圆心旋转时，我们可以通过测量相对于起始位置转过的弧长来描述物体的位置。
这个弧长与角度之间的换算可以帮助我们准确地描述物体的位置变化。
需要注意的是，换算公式中使用的π是一个无理数，它的值无法精确表示，但常用近似值是3.14159。
因此，在计算中我们常常使用这个近似值进行计算，以得到符合精度要求的结果。
总结一下，弧度和角度是描述角度大小的单位。
人教版高中数学必修四弧度制和弧度制与角度制的换算公开课教学课件共18张PPT
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2、
-144o
3、－25º 4、 所求扇形的中心角的弧度数为
小结
圆周角度360
换
算 等价
六十进制 区别
十进制
圆周弧度2
角度制
弧度制
角的度量
三角函数
温故而知新
1、角度制：初中时我们用角度制度量角，1度的角 等于周角的1/360。
周角的 1/360
1°
n° l R
1弧度的概念
如图，把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1弧度的角，记作1rad，读作1弧度.
探究1：深化弧度的概念
思考1：1弧度圆心角的大小与所在圆的半径的大小 是否有关？为什么？
B’ B l=R
1弧度
1弧度l=r O r R A A’
思考2：如果将半径为r圆的一条半径OA，绕圆心旋转 到OB，若弧AB长为2r，那么∠AOB的大小为多少弧度？
2rad
2r
B
r
A O
思考3：如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l， 那么，角α的弧度数的绝对值如何计算？
探究2：角度与弧度的换算
解的？
正角
正实数
零角
零
十进制
负角
负实数
探究3：与扇形有关的公式
思考1：角度制下，扇形的圆心角是n°,则扇形的面积是？
思考2：类比思考1，在弧度制下，若扇形的圆心角是 弧 度，则扇形的面积是？还有其它的表示方法么？
A
r
OS l B
例题讲解
例1 把
解：∵ ∴
化成弧度。
例2 把 化成度。
解：∵ 1rad=
人教版高中数学必修四 弧度制和弧度制与角度 制的换算公开课教学课
弧度制与角度制的换算公式
弧度制与角度制的换算公式弧度制和角度制是两种不同的测量角度大小的方式。
弧度制是以弧长的长度来表示角度大小，而角度制是以度数来表示角度大小。
两者之间可以用一定的换算公式进行转换。
首先来看弧度制与角度制之间的换算公式。
1.弧度制到角度制的转换公式：角度=弧度×(180/π)例如，将一个角度为π/2弧度的角转换为角度制，可以使用公式：角度=π/2×(180/π)≈90°2.角度制到弧度制的转换公式：弧度=角度×(π/180)例如，将一个角度为45°的角转换为弧度制，可以使用公式：弧度=45×(π/180)≈π/4弧度以上就是弧度制到角度制和角度制到弧度制的转换公式。
接下来，我将陈述一些关于弧度制和角度制的基本知识，以及它们之间的转换公式所涉及的一些常见应用。
弧度制是一种用来度量角度大小的单位，其定义是以半径等于1的圆上弧长所占的长度为1弧度。
一个完整的圆的周长等于2π弧度。
弧度制的优点是在进行三角函数运算时计算比较方便。
角度制是大部分人常用的一种度量角度大小的方式。
一个完整的圆被定义为360度。
角度制的优点是更加直观，更符合我们平时的感知。
弧度制和角度制在数学、物理、工程等领域经常用到，特别是在三角函数的计算中。
弧度制和角度制的转换公式能够帮助我们在不同的场景下进行角度单位的转换。
例如，在解决三角函数的计算问题时，我们常常使用弧度制进行计算。
而在物理问题中，例如描述物体在圆周运动时，我们常常使用角度制。
总结来说，弧度制与角度制的换算公式为：角度=弧度×(180/π)弧度=角度×(π/180)这些转换公式能够帮助我们在弧度制和角度制之间进行换算，使我们能够根据不同的需求灵活地选择使用不同的角度单位进行计算和描述。
课件1：1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算
是多少？
答案
半径R=10㎝时，扇形的面积最大，最大值为
100㎝²。此时圆心角为2rad
题型三
自行车大链轮有48个齿，小链轮有20个齿，彼此
由链条连接，当大链轮转过一周时，小链轮转过
的角是多少度？多少弧度？（三维）
题型三
解：由于大链轮与小链轮在相同时间内转过的
式可得解。
解析(1)因为α=120°=2/3πrad, R=6
所以，AB的弧长为 l=2/3π×6=4π
(2)因为S扇形OAB=1/2lr=1/2×4π×6=12π
S
=1/2R²×sin2/3π=1/2×6²×√3/2=9√3
三角形ABO
S弓形OAB=S扇形OAB－S三角形OAB=12π－9√3
已知一扇形的周长为 ，当它的半径和圆心角
式中。
考点分析：
1、弧度制与实数的集合之间建立一种一一对
应的关系。
2、一些特殊角的度数与弧度数的对应值应
该记住。但值得注意的是，用“度”为单位度
量时，“度”不能省略。
3、今后在具体运算时，“弧度”二字和单位
符号“rad”可以省略 如：3表示3rad 。sinπ表
示πrad角的正弦。
总结提炼
（1）
式有诸多优越性，但是如果已知的角是以“度”
为单位，则必须先把它化成弧度后再计算，这
样可避免计算过程或结果出错。
要点阐释
3.与 终边相同的角的一般形式为
+ ∗ º, ∈
注意以下四点：
① k∈Z；②是任意角；
③ k·360º与之间是“+”号，如k·360º－30º,应看成
k·360º+(－30º)；
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人大附中分校高一数学导学学案
一．学生自学课本第7、8页.通过自学回答老师提出的以下问题：
① 角的弧度制是如何引入的？
② 为什么要引入弧度制？好处是什么？ ③ 1弧度是如何定义的？
④ 角度制与弧度制的区别与联系。
1．弧度角的定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角，它的单位是rad 读作弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．
2．平角、周角的弧度数：平角= rad 、周角=2 rad
3．正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0. 4．角的弧度数的绝对值 r
l
=α（l 为弧长，r 为半径） 二．角度制与弧度制的换算： 1．∵ 360
=2
rad ∴180= rad ； ∴ 1=
rad rad 01745.0180
≈π
'185730.571801
=≈⎪⎭
⎫ ⎝⎛=πrad
2．用弧度制表示弧长及扇形面积，公式： ① 弧长公式：α⋅=r l ，由公式：⇒=
r l α α⋅=r l 比公式180
r n l π=简单 弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积。
②扇形面积公式 lR S 2
1
=，其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径。
o R S
l
1.1.2 弧度制与角度值的换算参考答案
例题
例1：（1）把11230'化成弧度（精确到0.001）；（2）把11230'化成弧度（用π表示） 解：（1）α=1.969 rad （2）58
π； 例2： 把3 rad 5
π化成度 解：33
rad 18010855
π=
⨯=
例4：直径为20cm 的圆中，求下列各圆心所对的弧长 ⑴3
⑵
165 解： cm r 10= ⑴ )(3
401034cm r l ππα=⨯=⋅=; ⑵ rad rad 12
11)(165180
165π
π
=
⨯=
例5： 已知扇形周长为10cm ，面积为6cm 2
，求扇形中心角的弧度数．
解：设扇形中心角的弧度数为α(0<α<2π)，弧长为l ，半径为r ，
由题意：⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+62
1102r l r l ⇒0652
=+-r r ∴
⎩⎨⎧==62l r 或⎩⎨
⎧==4
3l r ∴ r l =α=3 或34
随堂练习
1．下列命题中，真命题是( )
A ．1弧度是一度的圆心角所对的弧
B ．1弧度是长度为半径的弧
C ．1弧度是一度的弧与一度的角之和
D ．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小 解析：选D.根据1弧度的定义，对照各选项，可知D 为真命题． 2．把－8π
3
化成角度是( )
A ．－960°
B ．－480°
C ．－120°
D ．－60°
解析：选B.－8π3＝－8
3
×180°＝－480°.
3．把－300°化为弧度是( )
A ．－4π3
B ．－5π3
C ．－7π4
D ．－7π6
解析：选B.－300°＝－300×π180＝－5
3π.
4．圆的半径是6 cm ，则圆心角为π
12
的扇形面积是________ cm 2.
解析：S ＝12|α|r 2＝12×π12×62＝32π. 答案：3
2π。