2010-2011第二学期复变函数与积分变换试卷(B)
复变函数与积分变换试题和答案
复变函数与积分变换试题(一）一、填空(３分×10)１.得模ﻩﻩ、幅角ﻩ。
２.-8i得三个单根分别为：、、。
3.Lｎz在得区域内连续。
4．得解极域为:ﻩﻩﻩﻩﻩ。
５.得导数ﻩﻩﻩﻩﻩ。
6. ﻩﻩ。
７.指数函数得映照特点就是:ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ。
8．幂函数得映照特点就是: ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ。
9.若=F [f(t)]、则= F ﻩﻩﻩﻩ。
１０.若f(ｔ)满足拉氏积分存在条件、则L [f(ｔ)］= ﻩﻩﻩ。
二、(10分)已知、求函数使函数为解析函数、且f(0)＝0。
三、(10分)应用留数得相关定理计算四、计算积分(5分×2)1.2．C:绕点ｉ一周正向任意简单闭曲线。
五、(1０分)求函数在以下各圆环内得罗朗展式。
1.2.六、证明以下命题：（5分×2)(1)与构成一对傅氏变换对。
（2）七、(10分)应用拉氏变换求方程组满足x （0)＝y （０)=z (0)＝0得解y (t )。
八、(１0分)就书中内容、函数在某区域内解析得具体判别方法有哪几种。
复变函数与积分变换试题答案(一)一、1．ﻩﻩ、ﻩ ﻩ２、ﻩ-i ﻩﻩ2ｉﻩ-i ﻩ3、ﻩZ 不取原点与负实轴 ４、 空集５、ﻩ2z ﻩ6.０ 7、将常形域映为角形域ﻩ８、 角形域映为角形域 9、ﻩ ﻩ1０、 二、解:∵ﻩ ∴ ﻩ(5分)∵f (0）=0ﻩﻩﻩﻩc =0(３分)∴ﻩﻩ(2分)三、解：原式＝(2分)ﻩ（2分）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分）（=0∴原式=(2分) =四、1.解:原式ﻩ(３分) z 1=0 ﻩｚ2=１ﻩ=0ﻩﻩ(2分)2．解:原式=五、1.解:nn i i z i i z ii z ii z i i z i z z f ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛--⋅-=-+⋅⋅-=+-⋅-=0111111)(111)(11)(分）（分）（分）（ ﻩﻩ(2分) ﻩ２.解: （1分)ﻩ(2分）六、1.解:∵ﻩ(3分）ﻩ∴结论成立 （２)解:∵ﻩ(２分)ﻩ ∴与1构成傅氏对∴（2分)七、解:∵ﻩﻩ（3分)S (２)-（1):∴ （3分)∴八、解：①定义;②C-R 充要条件Th ; ③v 为u 得共扼函数ﻩ1０分复变函数与积分变换试题（二)一、填空(3分×10)1.函数f (z )在区域D 内可导就是ｆ(ｚ）在D 内解析得（ﻩ ﻩ）条件。
(完整版)《复变函数与积分变换》习题册(2)
第一章 复数与复变函数本章知识点和基本要求掌握复数的概念和它的各种表示方法及运算; 熟悉复平面、模与辐角的概念;熟练掌握乘积与商的模、隶莫弗公式、方根运算公式； 了解区域的概念;理解复变函数的概念; 理解复变函数的极限和连续的概念。
一、填空题1、若等式))(()75(i y i x i i -+=-成立，则=x ______, =y _______.2、设(12)(35)13i x i y i ++-=-,则x = ，y =3、若1231izi i，则z4、若(3)(25)2i i zi,则Re z5、若421iz i i+=-+，则z = 6、设(2)(2)z i i =+-+,则arg z =7复数1z i =-的三角表示式为 ，指数表示式为 .8、复数i z 212--=的三角表示式为 _________________，指数表示式为_________________. 9、设i z 21=，i z -=12，则)(21z z Arg = _ _____。
10、设4i e 2z π=，则Rez=____________. Im()z = 。
z11、。
方程0273=+z 的根为_________________________________。
12、一曲线的复数方程是2z i -=，则此曲线的直角坐标方程为 . 13、方程3)Im(=-z i 表示的曲线是__________________________.14、复变函数12+-=z z w 的实部=),(y x u _________，虚部=),(y x v _________。
15、不等式114z z -++<所表示的区域是曲线 的内部.16二、判断题（正确打√，错误打⨯）1、复数7613i i +>+. （ ）2、若z 为纯虚数，则z z ≠. （ ）3、若 a 为实常数，则a a = （ ）4、复数0的辐角为0.5、()f z u iv =+在000iy x z +=点连续的充分必要条件是(,),(,)u x y v x y 在00(,)x y 点连续。
复变函数与积分变换习题册(含答案)
第1章 复数与复变函数 (作业1)一、填空题 1、ieπ2的值为 。
2、k 为任意整数，则34+k 的值为 。
3、复数i i (1)-的指数形式为 。
4、设b a ,为实数，当=a , b= 时，).35)(1()3()1(i i b i a ++=-++ 二、判断题（正确的划√，错误的划 ） 1、2121z z z z +=+ （ ）2、()()())z Re(iz Im ;z Im iz Re =-= （ ）3、()()i i i 125432+=++ （ ） 三、选择题1．当ii z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-2．复数)(tan πθπθ<<-=2i z 的三角表示式是（ ）（A ）)]2sin()2[cos(secθπθπθ+++i （B ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(secθπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 3．使得22z z =成立的复数z 是（ ）（A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 4.若θi re i i=+--2)1(3，则（ ） （A ）πθ-==3arctan ,5r （B ）πθ-==3arctan ,210r （C ）3arctan ,210-==πθr （D ）3arctan ,5-==πθr 5. 设复数z 位于第二象限，则z arg 等于（ ）。
(A) x y arctan 2+π (B) x y arctan +π (C) x y arctan 2-π (D) xy arctan +-π 四、计算与证明题 1、设ii i i z -+-=11，求.),Im(),Re(z z z z2、当x y ,等于什么实数时，等式()i iy i x +=+-++13531成立？3、求复数ii-+23的辐角。
复变函数与积分变换模拟试题和答案
模拟试卷一一.填空题1. =⎪⎭⎫⎝⎛+-711i i . 2. I=()的正向为其中0,sin >=-⎰a z c dz z ez cz,则I= .3.z1tan 能否在R z <<0内展成Lraurent 级数？4．其中c 为2=z的正向：dz z z c1sin 2⎰=5. 已知()ωωωsin =F ，则()t f =二.选择题 1.()()z z z f Re =在何处解析(A) 0 (B)1 (C)2 (D)无2.沿正向圆周的积分.dz z zz ⎰=-221sin =(A)21sin i π. (B) 0. (C)1sin i π. (D)以上都不对.3．()∑+∞-∞=--n n nz 14的收敛域为(A) .4141<-<z . (B)e z <-<21 (C) 211<-<z . (D)无法确定 4. 设z =a 是()z f 的m 级极点,则()()z f z f '在点z =a 的留数是 .(A) m. (B) -2m. (C) -m. (D) 以上都不对. 三.计算题 1.()iv u z f +=为解析函数，322333y xy y x x v u --+=-，求u2．设函数()z f 与分别以z=a 为m 级与n 级极点，那么函数()()z g z f .在z=a 处极点如何？3．求下列函数在指定点z 0处的Taylor 级数及其收敛半径。
()1,102-==z zz f 4．求拉氏变换()t t f 6sin =（k 为实数）5. 求方程te y y y -=+'+''34满足条件()()100='=y y 的解.四.证明题1.利用e z的Taylor 展式，证明不等式zz ze z e e ≤-≤-112.若()=ϖF ℱ()[]t f (a 为非零常数) 证明：ℱ()[]⎪⎭⎫⎝⎛=a F a at f ϖ1 模拟试卷一答案一.填空题1. i2. 03.否 4．1/6- 5.()0.5,10,10.25,1t f t t t ⎧<⎪=>⎨⎪=⎩二.选择题1. (D)2. (A) 3．(A) 4. (C) 三.计算题1.233u x y y c =-+2．函数()()z g z f 在z=a 处极点为m+n 级3．()()121111n n f z n z R z ∞-===+=∑4．2636s +5.()3371442t t ty t e e te ---=-++.模拟试卷二一.填空题1. C 为1=z 正向，则⎰c dz z =2.()()2323lxy x i y nx my z f +++=为解析函数，则l, m, n 分别为 .3.2Re ,0shz s z ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦4. 级数()∑∞=-122n nnz .收敛半径为5. δ-函数的筛选性质是二.选择题 1．()()1-=-t u e t f t ，则ℒ()f t =⎡⎤⎣⎦(A) .()11---s e s (B)()11---s e s (C)2()11---s e s (D) 以上都不对2．ℱ()[]()ωF t f =，则ℱ()()[]=-t f t 2(A)()()ωϖF F 2-' . (B)()()ωϖF F 2-'-.(C)()()ωϖF F i 2-'. (D) 以上都不对3．C 为3=z 的正向，().2103⎰-c zz dz(A) .1 (B)2 (C)0 (D) 以上都不对4. 沿正向圆周的积分dzz zz ⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛-222sin π =(A).0. (B).2 (C).2+i. (D). 以上都不对.三.计算题1. 求sin(3+4i).2．计算()()⎰--cb z a z dz,其中a 、b 为不在简单闭曲线c 上的复常数，a ≠b.3．求函数()1,110=+-=z z z z f 在指定点z 0处的Taylor 级数及其收敛半径。
《复变函数与积分变换》期末考试试卷含答案
一．填空题（每小题3分，共计15分）1．231i -的幅角是（ 2,1,0,23±±=+-k k ππ）； 2.)1(i Ln +-的主值是（ i 432ln 21π+ ）； 3. 211)(z z f +=，=)0()5(f （ 0 ）， 4．0=z 是 4sin zzz -的（ 一级 ）极点； 5．zz f 1)(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）；二．选择题（每题4分，共24分） 1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（B ）； （A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(；（C ）y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(.2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ D ），则0d )(=⎰Cz z f ． （A ）23-z ； （B ）2)1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2)2(3-z .3．如果级数∑∞=1n n nz c 在2=z 点收敛，则级数在（C ）（A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛；（C ）i z +=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散．４．下列结论正确的是( B )（A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析；(B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则0)(=⎰Cdz z f（C ）如果0)(=⎰Cdz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；（D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v在该区域内均为调和函数．5．下列结论不正确的是（ D ）．的可去奇点；为、z A 1sin )(∞的本性奇点；为、z B sin )(∞.sin )(的孤立奇点为、z C 11∞的孤立奇点；为、z D sin )(1∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分） （1）．设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a解：因为)(z f 解析，由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂ xvy u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。
(整理)《复变函数与积分变换电信B》试卷答案.
中国计量学院201 1 ~ 201 2 学年第二学期《 复变函数与积分变换 》课程试卷（B ）参考答案及评分标准开课二级学院： 理学院_ ，学生专业： ，教师： 武丹一、 选择题1、D2、D3、D4、C5、C二、 填空题1、四级极点2、|z-4|<123、-14、-5025、4 三、判断题1、错2、错3、错4、错5、对四、计算题1、0，2、03、04、 2sin 2i π5、2cos2i π五、解答题1、解：6,u xy x∂=-∂ 2233u y x y ∂=-∂ ……………………………（1分） y v ∂∂=6,u xy x ∂=-∂，（1）-=∂∂x v 2233u y x y∂=-∂， （2）………………（2分） 将（1）式对y 积分得(,)6v x y xydy =-⎰=23()xy x ϕ-+，（3） …………………………………（4分）（3）对x 求导，带入（2），2()3x x ϕ'=，得 3()x x c ϕ=+ 于是，23(,)3v x y xy x c =-++，…………………………………………（8分） 由iv u z f +=)(，且(0)f i =，得 1=c因此所求的解析函数为：)(z f =32323(31)y x y i x xy -+-+………………（10分）2、z=3为奇点， …………………………………………（1分）2101(1)1(3)cos 0|z-3|3(2)!(3)n n n z z n z ∞-=--=⋅<<+∞--∑ （6分） 所以是函数的本性奇点。
………… （8分）《 复变函数与积分变换 》课程试卷B 参考答案及评分标准 第 1 页 共 3 页111Re (3)cos ;332s z C z -⎡⎤-==-⎢⎥-⎣⎦ ………… （10分） 六、 计算题1、解：当1||0<<z 时，由∑∞==-011n n z z 得 ……………（4分） 21(1)z +＝20(1)n n n z ∞=-∑， )1||0(<<z ………………（8分） 221(1)z z +＝2201(1)n n n z z ∞=⋅-∑＝220(1)n n n z ∞-=-∑， )1||0(<<z ………………（10分） 2、解： 21111()1211z z z =---+ ，。
复变函数与积分变换五套试题及答案
复变函数与积分变换五套试题及答案复变函数与积分变换试题（一）一、填空（3分×10）1．)31ln(i --的模，幅角。
2．-8i 的三个单根分别为：，，。
3．Ln z 在的区域内连续。
4．z z f =)(的解极域为：。
5．xyi y x z f 2)(22+-=的导数=')(z f。
6．=??0,sin Re 3z z s。
7．指数函数的映照特点是：。
8．幂函数的映照特点是：。
9．若)(ωF =F [f (t )]，则)(t f = F )][(1ω-f。
10．若f （t ）满足拉氏积分存在条件，则L [f (t )]=。
二、(10分)已知222121),(y x y x v +-=，求函数),(y x u 使函数),(),()(y x iv y x u z f +=为解析函数，且f (0)=0。
三、（10分）应用留数的相关定理计算=--2||6)3)(1(z z z z dz四、计算积分（5分×2） 1．?=-2||)1(z z z dz2．?-c i z z3)(cos C ：绕点i 一周正向任意简单闭曲线。
五、（10分）求函数)(1)(i z z z f -=在以下各圆环内的罗朗展式。
1．1||0<-六、证明以下命题：（5分×2）（1）)(0t t -δ与o iwt e -构成一对傅氏变换对。
（2）)(2ωπδ=?∞+∞-ω-dt e t i七、（10分）应用拉氏变换求方程组??='+=+'+='++'0401z y z y x z y x 满足x (0)=y (0)=z (0)=0的解y (t )。
八、（10分）就书中内容，函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。
复变函数与积分变换试题答案（一）一、1． 22942ln π+ ，ππk arctg 22ln 32+-2. 3-i 2i 3-i3. Z 不取原点和负实轴4. 空集5. 2z 6． 07.将常形域映为角形域8. 角形域映为角形域 9.∞+∞-ωωπωωd e F i )(2110. ?∞+-0)(dt e t f st二、解：∵yu x x v ??-=-=?? xuy y v ??==??∴c xy u +=（5分）c xy y x i z f ++??? ??+-=22212 1)(∵f (0)=0 c =0 （3分）∴222222)2(2)(2)(z ixyi y x i y x i xy z f -=+--=--= （2分）三、解：原式=（2分）??--∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2621π01=z 12=z（2分）??---=∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1 Re 2643π33=z ∞=4z2312(3,)3)(1(1Re 66?=??--分）z z z s--=∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 26 6z z z z s z z z s 分）（=0∴原式=（2分） 23126??i π=i 63π- 四、1．解：原式??-π=∑=k k z z z s i ,)1(1Re 221（3分） z 1=0 z 2=1]11[2+-=i π=0 （2分）2．解：原式iz z i=''=s co !22πi z z i =-π=）（cos i i cos π-==1ich π- 五、1．解：nn i i z i i z ii z ii z i i z i z z f ∑∞=--?-=-+-=+-?-=0111111)(111)(11)(分）（分）（分）（11)(--∞=-=∑n n n i z in nn i z i )(1-=∑∞-=（2分）2．解：??-+?-=-+?-=i z i i z i z i i z z f 11)(11)(1)(11)(2分）（分）（（1分）nn i z i i z ∑∞=??? ??---=2)(120)(11+∞=-=∑n n n i z i 2)(--∞=-=∑n n n i z i （2分）六、1．解：∵00)(0t i e t t ti t i e dt e t t ωωωδ-==--∞+∞-=-? （3分）∴结论成立（2）解：∵1)(2210==ωπδπ=ωω-ω-∞+∞-?ti t i e dw e（2分）∴)(2w πδ与1构成傅氏对∴)(2ωπδω=-∞+∞-?dt e t i（2分）七、解：∵=+=++=++)3(0)(4)()2(0)()()()1(1)()()(s sZ s Y s Z s sY s X S s sZ s Y s sX （3分）S （2）-（1）：∴??? ??-?-=s s s Y 111)(2??++--=--=1111211112s s s s s s （3分）∴cht e e t Y t t -=--=-121211)( 八、解：①定义；②C-R 充要条件Th ；③v 为u 的共扼函数 10分复变函数与积分变换试题（二）一、填空（3分×10）1．函数f (z )在区域D 内可导是f (z )在D 内解析的（）条件。
《复变函数与积分变换》试卷及答案
得分得分«复变函数与积分变换»期末试题（A ）题号 一 二 三 四 五 六 总分 得分一．填空题（每小题3分，共计15分）1．231i -的幅角是（ ）； 2.)1(i Ln +-的主值是（ ）；3.211)(z z f +=，=)0()5(f （ ）；4．0=z 是 4sin z zz -的（ ）极点；5． zz f 1)(=，=∞]),([Re z f s （ ）；二．选择题（每小题3分，共计15分）1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ ）；（A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(；（C ）y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(.2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ ），则0d )(=⎰Cz z f ．（A ）23-z ； （B ）2)1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2)2(3-z . 3．如果级数∑∞=1n nnz c 在2=z 点收敛，则级数在（A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛；（C ）i z+=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散．４．下列结论正确的是( )（A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析； (B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则0)(=⎰Cdz z f（C ）如果0)(=⎰Cdz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；（D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数．5．下列结论不正确的是（ ）．(A) 的可去奇点；为z1sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞(C) ;1sin 1的孤立奇点为z∞(D) .sin 1的孤立奇点为z ∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分）（1）设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a得分（2）．计算⎰-Czz z z e d )1(2其中C 是正向圆周：2=z ；（3）计算⎰=++3342215d )2()1(z z z z z（4）函数323 2)(sin)3 ()2)(1()(z zzzzzfπ-+-=在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级.四、（本题14分）将函数)1(1)(2-=z z z f 在以下区域内展开成罗朗级数； （1）110<-<z ，（2）10<<z ，（3）∞<<z 1得分五．（本题10分）用Laplace 变换求解常微分方程定解问题⎩⎨⎧='==+'-''-1)0()0()(4)(5)(y y e x y x y x y x六、（本题6分）求)()(0>=-ββtet f 的傅立叶变换，并由此证明：te d t ββπωωβω-+∞=+⎰2022cos得分得分«复变函数与积分变换»期末试题（A ）答案及评分标准一．填空题（每小题3分，共计15分）1．231i -的幅角是（ 2,1,0,23±±=+-k k ππ）；2.)1(i Ln +-的主值是（ i 432ln 21π+ ）； 3.211)(z z f +=，=)0()5(f （ 0 ），4．0=z 是 4sin z zz -的（ 一级 ）极点；5． zz f 1)(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）；二．选择题（每题4分，共24分）1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（B ）；（A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(；（C ）y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(.2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ D ），则0d )(=⎰Cz z f ．（A ）23-z ； （B ）2)1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2)2(3-z . 3．如果级数∑∞=1n nnz c 在2=z 点收敛，则级数在（C ）（A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛；（C ）i z+=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散．４．下列结论正确的是( B )（A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析；(B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则0)(=⎰Cdz z f（C ）如果0)(=⎰Cdz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；（D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数．5．下列结论不正确的是（ D ）．的可去奇点；为、zA 1sin )(∞的本性奇点；为、z B sin )(∞.sin )(的孤立奇点为、zC 11∞的孤立奇点；为、z D sin )(1∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分）（1）．设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a解：因为)(z f 解析，由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂ xv y u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。
复变函数与积分变换期末考试试卷及答案
一、单项选择题(本大题共15小题，每题2分，共30分) 1．以下复数中，位于第三象限的复数是〔 〕A. 12i +B. 12i --C. 12i -D. 12i -+ 2．以下等式中，不成立的等式是〔 〕4.34arctan3A i π-+-的主辐角为 .arg(3)arg()B i i -=-2.rg(34)2arg(34)C a i i -+=-+2.||D z z z ⋅=3．以下命题中，正确的选项是．．．．．．〔 〕 A. 1z >表示圆的内部B. Re()0z >表示上半平面C. 0arg 4z π<<表示角形区域D. Im()0z <表示上半平面4．关于0limz zz zω→=+以下命题正确的选项是〔 〕 A.0ω=B. ω不存在C.1ω=-D. 1ω=5．以下函数中，在整个复平面上解析的函数是〔 〕.z A z e +2sin .1z B z + .tan z C z e + .sin zD z e +6．在复平面上，以下命题中，正确的选项是．．．．．．〔 〕A. cos z 是有界函数B. 22Lnz Lnz =.cos sin iz C e z i z =+.||D z =7．在以下复数中，使得ze i =成立的是〔 〕.ln 223iA z i ππ=++.ln 423iB z i ππ=++.ln 226C z i ππ=++.ln 426D z i ππ=++8．已知31z i =+，则以下正确的选项是〔 〕12.iA z e π=34.i B z eπ=712.i C z eπ=3.iD z e π=9．积分||342z dz z =-⎰的值为〔 〕A. 8i πB.2C. 2i πD. 4i π10．设C 为正向圆周||4z =, 则10()zC e dz z i π-⎰等于〔 〕 A.110!B.210!iπ C.29!iπ D.29!iπ- 11．以下关于级数的命题不正确的选项是〔 〕A.级数0327nn i ∞=+⎛⎫⎪⎝⎭∑是绝对收敛的B.级数212(1)n n i n n ∞=⎛⎫+ ⎪-⎝⎭∑是收敛的 C. 在收敛圆内，幂级数绝对收敛D.在收敛圆周上，条件收敛12．0=z 是函数(1cos )ze z z -的〔 〕A. 可去奇点B.一级极点C.二级极点D. 三级极点13．1(2)z z -在点 z =∞ 处的留数为〔 〕A. 0.1B C.12D. 12-14．设C 为正向圆周1||=z , 则积分 sin z c e dzz⎰等于〔 〕A ．2πB ．2πiC ．0D ．－2π15．已知()[()]F f t ω=F ，则以下命题正确的选项是〔 〕 A. 2[(2)]()j f t e F ωω-=⋅F B. 21()[(2)]j e f t F ωω-⋅=+F C. [(2)]2(2)f t F ω=FD. 2[()](2)jt e f t F ω⋅=-F二、填空题〔本大题共5小题，每题2分，共10分〕 16. 设121,1z i z =-=，求12z z ⎛⎫=⎪⎝⎭____________. 17. 已知22()()()f z bx y x i axy y =++++在复平面上可导，则a b +=_________. 18. 设函数)(z f =cos zt tdt ⎰，则)(z f 等于____________.19. 幂极数n n2n 1(2)z n ∞=-∑的收敛半径为_______. 20. 设3z ω=，则映射在01z i =+处的旋转角为____________，伸缩率为____________. 20. 设函数2()sin f t t t =，则()f t 的拉氏变换等于____________.三、计算题〔本大题共4小题，每题7分，共28分〕 21．设C 为从原点到3－4i 的直线段，计算积分[()2]CI x y xyi dz =-+⎰22. 设2()cos ze f z z z i=+-. (1)求)(z f 的解析区域，〔2〕求).(z f '24．已知22(,)4u x y x y x =-+，求一解析函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+，并使(0)3f = 23. 将函数1()(1)(2)f z z z =--在点0=z 处展开为洛朗级数.25. 计算2||3(1)()(4)z dzz z i z =++-⎰.四、综合题〔共4小题，每题8分，共32分〕 25. 计算201.54cos d πθθ-⎰26. 求分式线性映射()f z ω=，使上半平面映射为单位圆内部并满足条件(2)0f i =，arg (0)1f =.27. 求函数2,10(),010,t f t t t --<≤⎧⎪=<≤⎨⎪⎩其它的傅氏变换。
复变函数与积分变换试题和答案
复变函数与积分变换试题(一)1．一、填空(3 分×10)1．ln(-1- 3 i ) 的模 .幅角 。
2．-8i 的三个单根分别为： . . 。
3．Ln z 在的区域内连续。
4． f ( z ) = z 的解极域为： 。
5． f (z ) = x 2 - y 2 + 2xyi 的导数 f (z ) =。
7．指数函数的映照特点是： 。
8．幂函数的映照特点是： 。
9．若F () =F [f (t )].则 f (t )= F -1 f [()] 。
10．若f (t )满足拉氏积分存在条件.则 L [f (t )]=二、(10 分)-1x 2+ 1 y 2.求函数u (x ,y )使函数f (z )=u (x ,y )+iv (x ,y )为解析函数.且 f (0)=0。
、(10 分)应用留数的相关定理计算dz|z |=2 z 6(z -1)(z -3)四、计算积分(5 分×2)dz |z |=2 z ( z - 1)6． Re ssin 3z ,0 z 3已知v (x , y ) =2．c(z co-s i z)3 C：绕点i一周正向任意简单闭曲线。
五、(10 分)求函数f ( z) =z(z1-i)在以下各圆环内的罗朗展式。
1．0 | z - i | 12．1 | z - i | +六、证明以下命题：(5 分×2)(1)(t - t )与e-iwt o构成一对傅氏变换对。
+(2)+e-i t dt=2()-x + y + z = 1七、(10分)应用拉氏变换求方程组x + y+z = 0满足x(0)=y(0)=z(0)=0的解y + 4z = 0y(t)。
八、(10 分)就书中内容.函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。
复变函数与积分变换试题答案（一）= 2i [-1+1] =02 分）一、1． 3. 8.二、解： 2 4 - ln 2 2 + 2. arctg 3 + 2k9 ln 2Z 不取原点和负实轴 角形域映为角形域 v u = - x = - x y 2. 2i 3 -i 、解： 四、 4. 空集 5. 2z 6． 1 +9. 1 +F ()e i d 2 -v =y =y f (z )=i - x + y +xy +c 7.将常形域映为角形域 10. 0+f (t )e -st dt ∵f (0)=0 c =0 ∴ f (z ) = xy - ( x - y ) = - ( x 2原式=(2 分) 2i Re s k =1 42 分)= -2i Re s k =3 Re sRe s,3z 6(z -1)(z -3),z 6(z -1)(z -3)u ∴ u = xy + c x 3 分） - y + 2xyi ) = z 6(z -1)(z -3) kz 6(z -1)(z -3) k(2分)3612= （2分）Re s 5 分） -2i z 2 2 分）z 3 z 1 = 0 z 2 =3 z 4 =1 = 1∴原式=(2分) 2i3 62=-36 i21．解：原式 = 2i Re s k =11 z (z -1),zk16(1-1)(1-3)z 2,0 z6 z z3 分) z 1=0z 2=1=0八、解：①定义； ②C-R 充要条件 Th ； ③v 为 u 的共扼函数 10 分1 +2)解：∵ 1+2()e -i t dw =e -i t2 -S （2）-（1）：∴Y (t )=1-12e t -12e -t =1-cht2．解： 原式 = cos z 2! z =i = i (- cos z ) = -i cos i = -ich 1 五、1．解：f ( z ) (1分)( z - i ) z - i + i 1分)(z 1-i ) 11 i 1+ z-iin =01分)z1- i1in - 1n = i (z -i )n -1 = i (z -i )n2 分）n =0 n =-12． 解： f (z )1分)=(z 1- i )i + ( z - i )1分）11+1 分）1 (z - i )2n =01 1=1n (z -1i )n +2n =0 i n -i n (z -i )n -2 (2 分) n =0六、1．+ +(t -t )e -i tdt = e--i t t =t =e -it3 分） ∴结论成立++e -i t dt = 2() -（2 分）sX (s )+Y (s )+sZ (s )= 1S (1)X (s )+sY (s )+Z (s ) = 0 （2） （3 分） Y (s )+4sZ (s ) = 0(3)∴ 2（ w ） 与 1 构成傅氏对七、解：∵∴Y (s )=s21-1s 2 -1= s - 2s -1+ s +13 分）=1=02 分）复变函数与积分变换试题(二)一、填空(3 分×10)7．若 z 0为 f (z )的 m 级极点.则Re s [ f (z ),z ]=( )。
复变函数与积分变换期末考试试卷及答案
复变函数与积分变换期末考试试卷及答案一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分)1．下列复数中，位于第三象限的复数是（ ） A.12i + B.12i -- C.12i- D. 12i-+2．下列等式中，不成立的等式是（ ）4.34arctan 3A i π-+-的主辐角为 .arg(3)arg()B i i -=- 2.rg(34)2arg(34)C a i i -+=-+2.||D z z z ⋅=3．下列命题中，正确．．的是（ ） A. 1z >表示圆的内部 B.Re()0z >表示上半平面C.0arg 4z π<<表示角形区域 D. Im()0z <表示上半平面4．关于0lim z z z zω→=+下列命题正确的是（ ） A.0ω= B. ω不存在 C.1ω=- D. 1ω=5．下列函数中，在整个复平面上解析的函数是（ ）.zA z e + 2sin .1z B z + .tan zC z e +.sin zD z e +6．在复平面上，下列命题中，正确．．的是（ ）A.cos z是有界函数 B.22Lnz Lnz=.cos sin izC e z i z =+ 2.||D z z =7．在下列复数中，使得3ze i =成立的是（ ）.ln 223i A z i ππ=++ .ln 423iB z i ππ=++ .ln 226C z i ππ=++.ln 426D z i ππ=++8．已知31zi=+，则下列正确的是（ ）312.2iA z e π=364.2iB z eπ=7312.2iC z eπ=63.2iD z e π=9．积分||342z dzz =-⎰Ñ的值为（ ）A. 8iπ B.2 C. 2iπ D.4iπ10．设C 为正向圆周||4z =, 则10()zC e dzz i π-⎰Ñ等于（ ）A. 110! B.210!i π C.29!i πD.29!iπ-11．以下关于级数的命题不正确的是（ ） A.级数0327nn i ∞=+⎛⎫ ⎪⎝⎭∑是绝对收敛的 B.级数212(1)n n i n n ∞=⎛⎫+ ⎪-⎝⎭∑是收敛的C. 在收敛圆内，幂级数绝对收敛D.在收敛圆周上，条件收敛 12．0=z 是函数(1cos )ze z z -的（ ）A. 可去奇点B.一级极点C.二级极点D. 三级极点13．1(2)z z -在点 z =∞处的留数为（ ）A. 0.1B C. 12D. 12-14．设C 为正向圆周1||=z , 则积分 sin z c e dzz⎰Ñ等于（ ）A ．2πB ．2πiC ．0D ．－2π15．已知()[()]F f t ω=F ，则下列命题正确的是（ ） A. 2[(2)]()j f t e F ωω-=⋅F B.21()[(2)]j e f t F ωω-⋅=+FC. [(2)]2(2)f t F ω=FD. 2[()](2)jtef t F ω⋅=-F二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 16. 设121,13z i z=-=，求12zz⎛⎫=⎪⎝⎭____________. 17. 已知22()()()f z bxy x i axy y =++++在复平面上可导，则a b +=_________.18. 设函数)(z f =0cos zt tdt⎰，则)(z f 等于____________. 19. 幂极数n n2n 1(2)z n ∞=-∑的收敛半径为_______.20. 设3z ω=，则映射在01z i=+处的旋转角为____________，伸缩率为____________.20. 设函数2()sin f t t t=，则()f t 的拉氏变换等于____________.三、计算题（本大题共4小题，每题7分，共28分）21．设C 为从原点到3－4i 的直线段，计算积分[()2]CI x y xyi dz =-+⎰22. 设2()cos ze f z zz i=+-. (1)求)(z f 的解析区域，（2）求).(z f ' 24．已知22(,)4u x y x y x=-+，求一解析函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+，并使(0)3f =23. 将函数1()(1)(2)f z z z =--在点0=z 处展开为洛朗级数. 25. 计算 2||3(1)()(4)z dzz z i z =++-⎰.四、综合题（共4小题，每题8分，共32分） 25. 计算 201.54cos d πθθ-⎰26. 求分式线性映射()f z ω=，使上半平面映射为单位圆内部并满足条件(2)0f i =，arg (0)1f =.27. 求函数2,10(),010,t f t t t --<≤⎧⎪=<≤⎨⎪⎩其它的傅氏变换。
复变函数与积分变换结课试卷B及答案
14．设C为正向圆周|z|=2，则 ____________.
15．设f(z)=zez,则 .
得分
三、计算题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）
16.设复数
（1）求z的实部和虚部；
（2）求z的模；
（3）指出z是第几象限的点.
17．设 .将方程 表示为关于x,y的二元方程，并说明它是何种曲线.
18.设 为解析函数，试确定a,b,c的值.
19．讨论函数w=xy-x+iy2的可导性，并在可导点处求其导数.
20.设C是正向圆周
座号
复变函数结课考试试卷
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
化简为：
它表示为一条抛物线。
18.
设
19．
20．
C.x2+y2+2xyD.x2+y2-2xy
3.设 ,则（ ）
A． B．
C． D．
4． （ ）
A． B．
C． D．
5．设D={z||z-i|<1}，则D为（）
A．有界多连通域B．无界单连通域
C．无界多连通域D．有界单连通域
6.设f (z)= u+iv，则使f(z)在区域D内解析的C.-R.条件是（ ）
期末试卷
2012~ 2013学年第一学期考试时间：100分钟
课程名称复变函数与积分变换B卷□
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
复变函数及积分变换试卷及答案
«复变函数与积分变换»期末试题〔A〕一．填空题〔每题3分，共计15分〕1．231i-的幅角是〔〕；2.)1(iLn+-的主值是〔〕；3.211)(zzf+=，=)0()5(f〔〕；4．0=z是4sinzzz-的〔〕极点；5．zzf1)(=，=∞]),([Re zf s〔〕；二．选择题〔每题3分，共计15分〕1．解析函数),(),()(yxivyxuzf+=的导函数为〔〕；〔A〕yxiuuzf+=')(；〔B〕yxiuuzf-=')(；〔C〕yxivuzf+=')(；〔D〕xyivuzf+=')(.2．C是正向圆周3=z，如果函数=)(zf〔〕，那么0d)(=⎰C zzf．〔A〕23-z；〔B〕2)1(3--zz；〔C〕2)2()1(3--zz；〔D〕2)2(3-z. 3．如果级数∑∞=1nnnzc在2=z点收敛，那么级数在〔A 〕2-=z 点条件收敛 ； 〔B 〕i z 2=点绝对收敛；〔C 〕i z+=1点绝对收敛； 〔D 〕i z 21+=点一定发散．４．以下结论正确的选项是( )〔A 〕如果函数)(z f 在0z 点可导，那么)(z f 在0z 点一定解析； (B)如果)(z f 在C 所围成的区域解析，那么0)(=⎰Cdz z f〔C 〕如果0)(=⎰Cdz z f ，那么函数)(z f 在C 所围成的区域一定解析；〔D 〕函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域均为调和函数．5．以下结论不正确的选项是〔 〕．(A) 的可去奇点；为z1sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞(C) ;1sin 1的孤立奇点为z∞(D) .sin 1的孤立奇点为z ∞三．按要求完成以下各题〔每题10分，共计40分〕〔1〕设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a〔2〕．计算⎰-Czz z z e d )1(2其中C 是正向圆周：2=z ；〔3〕计算⎰=++3342215d )2()1(z z z z z〔4〕函数3232)(sin )3()2)(1()(z z z z z z f π-+-=在扩大复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级.四、〔此题14分〕将函数)1(1)(2-=z z z f 在以下区域展开成罗朗级数； 〔1〕110<-<z ，〔2〕10<<z ，〔3〕∞<<z 1五．〔此题10分〕用Laplace 变换求解常微分方程定解问题⎩⎨⎧='==+'-''-1)0()0()(4)(5)(y y e x y x y x y x六、〔此题6分〕求)()(0>=-ββtet f 的傅立叶变换，并由此证明：te d t ββπωωβω-+∞=+⎰2022cos«复变函数与积分变换»期末试题〔A 〕答案及评分标准一．填空题〔每题3分，共计15分〕1．231i -的幅角是〔 2,1,0,23±±=+-k k ππ〕；2.)1(i Ln +-的主值是〔 i 432ln 21π+ 〕； 3.211)(z z f +=，=)0()5(f 〔 0 〕，4．0=z 是4sin z zz -的〔 一级 〕极点；5． zz f 1)(=，=∞]),([Re z f s 〔-1 〕； 二．选择题〔每题4分，共24分〕1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为〔B 〕；〔A 〕 y x iu u z f +=')(； 〔B 〕y x iu u z f -=')(；〔C 〕y x iv u z f +=')(； 〔D 〕x y iv u z f +=')(.2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f 〔 D 〕，那么0d )(=⎰Cz z f ．〔A 〕23-z ； 〔B 〕2)1(3--z z ； 〔C 〕2)2()1(3--z z ； 〔D 〕2)2(3-z . 3．如果级数∑∞=1n nnz c 在2=z 点收敛，那么级数在〔C 〕〔A 〕2-=z 点条件收敛 ； 〔B 〕i z 2=点绝对收敛；〔C 〕i z+=1点绝对收敛； 〔D 〕i z 21+=点一定发散．４．以下结论正确的选项是( B )〔A 〕如果函数)(z f 在0z 点可导，那么)(z f 在0z 点一定解析； (B)如果)(z f 在C 所围成的区域解析，那么0)(=⎰Cdz z f〔C 〕如果0)(=⎰Cdz z f ，那么函数)(z f 在C 所围成的区域一定解析；〔D 〕函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域均为调和函数．5．以下结论不正确的选项是〔 D 〕．的可去奇点；为、zA 1sin )(∞的本性奇点；为、z B sin )(∞.sin )(的孤立奇点为、zC 11∞的孤立奇点；为、z D sin )(1∞ 三．按要求完成以下各题〔每题10分，共40分〕〔1〕．设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a解：因为)(z f 解析，由C-R 条件y v x u ∂∂=∂∂xv y u ∂∂-=∂∂ y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。
复变函数与积分变换2011B答案
5)题目五： 是 的m阶极点的充分必要条件是： 是 的m阶零点。（T）
6)题目六：若函数在D内的朗洛展开式中有无穷多个 的负幂项，则 是 的可去奇点。（F）
7)题目七：积分 给出了函数 的傅立叶变换.( F )
四、计算题（每题5分五小题共25分）
1)题目一：设a、b是实数，函数 在复平面解析.求出a、b的值，并求
=
=
五、综合题（每题10分四小题共40分）
1)题目一：将函数 按照 的幂展开并求其收敛半径。
2)题目二：计算积分
解 在 内有有两个孤立奇点 ， ，其中 为f(z)的10阶极点， 为一阶极点。由留数定理
又因为
而
，z=0为其可去奇点，于是
，
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题目三：题目三：求余弦函数 的复频函数（其中k为任意复数）。
2)题目二：设 ,那么 （ ）
3)题目三：如果一个复函数在某点解析，那个它的各阶导数在该点也解析。
4)题目四：设C是一条简单反向闭曲线，f(z)在以C为边界的区域内解析，
则积分 。
5)题目五：级数 的收敛半径是。
6)题目六：函数 在 内解析，则 是 的可去奇点的充分必要条件是____ _。
7)题目七：函数 的傅立叶积分是____ _。
A 柯西积分 B 面积分 C 留数 D 泰勒级数
6)题目六：级数 ：（ A ）
A 绝对收敛 B 条件收敛 C 发散 D既不收敛又不发散
7) 题目七：在傅立叶积分 中， 是实或复函数， 是（D）。
A 复常数 B 实常数 C 复变数 D 实变数
二、填空题（每题2分五小题共14分）
1)题目一：表示复数z的平面称为复平面或z平面。
是复平面上的解析函数，则 在平面上满足C—R方程，即：
华工2010《复变函数》B参考答案
华南理工大学期末考试2010《复变函数-B 》参考答案1，填空题。
(每题5分，合计30分)（1）已知 1002(1)(2)z i i -=+++，则z 的虚部为411sin(2arctan )2552--或（2）设C 为正向圆周||3z =，则积分1sin C zdz z+=⎰2πi（3）函数 2(2)2w x y ixy =++在如下范围内可导：1=-y（4）在映射2w z =下，区域||10arg 2w w π<<<， 的原像为531rg (0)()rg (0)()4444z z z ππππππ<∈∈-， A ，，或a ，，-（5）计算积分1()izz i edz -+=⎰1111(2)(12)(2)(cos12sin1)(2cos1sin1)(2cos12sin1)(2cos1sin1)-----+-+=++++-=++++-i i e i e i e i e e i（6）函数231()cosf z z z=在:0||D z <<∞的洛郎展开式为 26620011(1)(1)(2)!(2)!∞∞-==-=-∑∑nnn n n n z n z n z2，计算题，(每题5分，合计30分)。
（1）计算 L n (43)i + 的值解：3Ln(43)ln(43)2ln 52arctan 4ππ+=++=++i i k i k i i2)2211[cos(ln2)sin(ln2)]22πππ-+-====+i k i k i ke e e e i（2）求解方程5sh4z i=25551sh 1(2)()04242212,2,ln2222z zz z z zze ez i i e ie e i e ie i i z Ln i z k i iππ--=⇔=⇔--=--=⇔=⇔==±++（3）分别用定义和柯西--黎曼条件判断函数()||f z z=是否可导，是否解析？解：=u∂=∂ux，∂=∂uy，并且在（0，0）处偏导数不存在。
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复变函数与积分变换（B ）
一、选择题（每小题3分，共15分）
1、2)3(-（ ）
A 、无定义；
B 、等于3ln 2e
； C 、是复数，其实部等于3ln 2e
； D 、是复数，其模等于3ln 2e 。
2、设i
i z +-=11，则31750z z z ++的值等于（ ） A 、1； B 、1-； C 、i ； D 、i -。
3、设C 是从0到i 21π+
的直线段，则⎰=c z dz ze （ ） A 、ei 21π
-； B 、ei 21π
+；
C 、ei 21π--；
D 、e 2
1π-。
4、设 ,)(22iy x z f +=则=+')1(i f （ ）
A 、2；
B 、i 2；
C 、i +1；
D 、i 22+。
5、幂级数∑∞=-0)12
(n n n z 的收敛半径为：
（ ） A 、2； B 、21； C 、2； D 、2
2； 二、填空题（每小题3分，共15分）
1、设i i z +-=
12，其三角形式为 ； 2、=-⎰=dz z e z z z )sin (1 ；
3、函数
)Im()Re()(z z z z f -=在 ___________ 处可导； 4、F =-]6sin )1([t t δ ；
5、已知)(cos )(t u t t f ⋅=，其中,0,00,1)(⎩
⎨⎧<>=t t t u 则L []=)(t f ； 三、已知调和函数)4)((),(22y xy x y x y x u ++-=，求解析函数iv u z f +=)(及)(z f '。
（10分）
四、求下列函数的积分（每小题7分，共28分）、
1、计算积分dz iy x i
⎰++302)(，积分路径自原点沿虚轴至i ，再从i 沿水平方向i +3。
2、⎰=-2||2
2)1(z z
dz z e 3、⎰-π
θθ20sin 41d
4、.)(2222
⎰∞
+∞-+dx a x x ).0(>a 五、将下列函数展开为级数（每小题8分，共16分）
1、 将函数1
1)(+-=z z z f 在10=z 处展开成幂级数，并指出其收敛区域。
2、 将函数)
1(1)(-=z z z f 展开成以1为中心的罗朗级数。
六、求微分方程0)0()0()0(,633=='=
''=+'+''+'''-y y y e y y y y t 的解。
（10分） 七、证明题：
设iy x z iv u z f +=+=为)(的解析函数，证明： 222222222)
)(1()(4))(1ln())(1ln(z f z f y z f x z f +'=∂+∂+∂+∂。
（6分）。