人教高中数学选修2-3 第一章1.3.2杨辉三角教学设计

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人教版高中数学选修2-3教案：1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质

§1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质【教学目标】1. 使学生建立“杨辉三角”与二项式系数之间的直觉，并探索其中的规律；2．能运用函数观点分析处理二项式系数的性质；3. 理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用。

【教学重难点】教学重点：二项式系数的性质及其应用；教学难点：杨辉三角的基本性质的探索和发现。

【教学过程】一、复习引入1、二项式定理：________________________________________________；二项式系数：______________________________________________；2、( 1+x) n =________________________________________________；二、杨辉三角的来历及规律练一练：把( a+b) n （n=1，2，3，4，5，6）展开式的二项式系数填入课本P 37的表格，为了方便，可将上表改写成如下形式：(a+b)1 …………………………………………………1 1(a+b)2…………………………………………………1 2 1(a+b)3………………………………………………1 3 3 1(a+b)4……………………………………………1 4 6 4 1(a+b)5…………………………………………1 5 10 10 5 1 (a+b)6………………………………………1 6 15 20 15 6 1…………………………… 爱国教育，杨辉三角因上图形如三角形，南宋的杨辉对其有过深入研究，所以我们称它为杨辉三角。

杨辉，我国南宋末年数学家，数学教育家．著作甚多。

“杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》一书中，此书还说明表内除“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和。

杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪。

高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-3 1.3.2 杨辉三角》9

杨辉三角教案凌源中学---于海涛一、教学目标：1、知识目标：掌握杨辉三角形中蕴含的二项式系数基本性质；2、过程与方法：通过探求杨辉三角形的数字规律，培养学生由特殊到一般的归纳猜想能力，让学生在探索过程体验数学发现成功的喜悦3、情感态度与价值观：了解有关杨辉三角形的简史，掌握杨辉三角形中蕴含的规律，体会我国古代数学成就，提高民族自豪感。

二、教学重点：从杨辉三角形中发现总结二项式系数基本性质；三、教学难点：二项式系数基本性质的应用。

四、教学过程：一）复习回顾：1、二项式定理的内容：1）项数：2）二项式系数3）指数规律：4通项公式：2、预习题：计算（学生通过提前预习，感知二项式系数排布规律为本节课打好基础。

）（ab0=（ab1=（ab2=（ab 3=（ab 4=（ab 5=（ab 6=二、探索新知1、二项式系数的性质：（学生互相讨论，采用观察、归纳、猜想的方法，从横看、斜看两个角度探究杨辉三角形中蕴含的二项式系数的性质。

）2对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．即c c m n m n 1-=(3) 增减性与最大值当n 为偶数时，中间一项T n 12+ 的二项式系数最大。

当n 为奇数时，中间两项 T T n n 12121+++和项的二项式系数最大。

（4）各二项式系数的和n n n n n n 2C C C C 210=++++奇数项二项式系数和=偶数项二项式系数和=12-n 三）课堂实练：1递推性:两端都是1，即10==c c nn n 除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和即c c c m n m n m n 11+-=+（通过练习使学生应用二项式系数的性质解题，巩固所学。

）1、在(2+x)n(n∈N)的二项展开式中,+若第7、8项二项式系数最大，则n等于()若只有x5的二项式系数最大,则n等于()(A)8.(B)9.(C)10.(D)13.2、已知(3x+x2)2n的二项式系数和为64，求(2x-1)2n展x开式中（1）二项式系数最大是第几项？（2）求常数项。

高中数学第一章计数原理 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质教学设计新人教A版选修2-3-

二项式系数的性质一、教学内容解析1．《二项式系数的性质》是以二项式定理为基础，通过观察和归纳二项式系数的性质，培养学生的“符号意识〞和抽象概括能力；通过二项式系数组成的数列是一个离散函数，引导学生从函数的角度分析与论证二项式系数的性质，培养学生利用“几何直观、数形结合、特殊到一般〞的数学思想方法解决问题的能力。

这一过程不仅有利于有利于培养和提高学生的数学素养，培养提高学生的思维能力、实践能力、探究精神、理性精神等，也有利于学生理解本节课的核心数学知识，发展其数学应用意识、创新精神。

2．本节课的教学内容属于事实性知识，其特点是易懂却难于上升到理性的解释。

3．本节课是在学生学习了两个计数原理、组合及组合数的性质的基础上，又具体学习了二项式定理、二项式系数等概念的基础上进行的。

对进一步认识组合数的性质、组合数的计算和变形，巩固二项式定理，巩固旧知拓展新知，建立知识的前后联系有重要的作用。

4．从知识发生发展过程的角度上看，学生自主的观察发现二项式系数表中蕴含的数字规律，能很自然地联系到上位知识，即组合数的性质与二项式系数的联系，但对于高二的学生，其思维不能仅满足于“知其然〞，他们更应渴望的是“知其所以然〞。

故在老师适当的点拨下，学生通过师生合作完成知识发展过程，这符合学生的认知规律，也表达了互助学习的价值观教育。

另“杨辉三角〞是我国古代数学的重要成就之一，彰显了我国古代人民的卓越智慧和才能，抓住这一题材可以对学生进行爱国主义教育，激励学生的名族自豪感，了解数学文化的发展与价值。

二、教学目标设置教学目标：1．掌握二项式系数的基本性质及证明方法；2．通过“观察、归纳、论证〞二项式系数的性质这一过程，提高学生的数学素养，体会从函数角度研究问题的过程，体会应用数形结合、特殊到一般、赋值法等重要数学思想方法解决问题的“再创造〞过程.3．通过学生课前自主探究、课上合作探究、课下延伸探究的学习方式，培养学生问题意识，培养学生团结协作的精神，提高学生思维能力，孕育学生创新精神，激发学生探索热情.同时，通过了解我国古代数学的伟大成就，培养学生的爱国情感，增强民族自豪感。

高中数学人教A版选修2-3教学案1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质 Word版含解析

．．“杨辉三角”与二项式系数的性质预习课本～，思考并完成以下问题．杨辉三角具有哪些特点？．二项式系数的性质有哪些？．杨辉三角的特点()在同一行中，每行两端都是，与这两个等距离的项的系数相等．”肩上两个数的“()在相邻的两行中，除以外的每一个数都等于它＝和＋．，即．二项式系数的性质等距离()对称性：与首末两端“”的两个二项式系数相等(即)．＝()增减性与最大值：当<时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项，相等，同时取得最大值．()各二项式系数的和：①＋＋＋…＋＝，②＋＋＋…＝＋＋＋…＝－．．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)()杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列．( )()二项式展开式的二项式系数和为＋＋…＋．( )()二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同．( )答案：()√()×()×．已知(＋)的展开式中，二项式系数和为，则等于( )．．．．答案：．(＋)(∈*)的展开式中，系数最大的项是( )．第＋项．第项．第项与第＋项．第＋项答案：．在(＋)的展开式中，第项与第项的二项式系数相等，则＝( )．．．．答案：[典例] ()杨辉三角如图所示，杨辉三角中的第行除去两端数字以外，均能被整除，则具有类似性质的行是( )．第行．第行．第行．第行()如图，在杨辉三角中，斜线上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：，…，记这个数列的前项和为()，则()等于( )．．．．[解析]()由题意，第行为，第行为，故第行除去两端数字以外，均能被整除．()由题干图知，数列中的首项是，第项是，第项是，第项是，…，第项是，第项是．所以()＝＋＋＋＋…＋＋＝(＋＋…＋)＋(＋＋…＋)。

高中数学选修2-3精品教案3：1.3.2 杨辉三角与二项式系数的性质教学设计

1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质教学目标：1、德育渗透：介绍杨辉三角，加强爱国主义教育.2、知识目标：掌握二项式系数的性质,进一步认识组合数、组合数的性质.会应用二项式系数的性质解决一些简单问题.运用函数观点分析处理二项式系数的性质.3、能力目标：通过对问题的尝试、探究加强对学生观察、归纳、发现能力的在培养.教学重点：二项式系数的性质教学难点：二项式系数的性质2教学过程：教师的教学及活动学生的思维与活动媒体应用一、设疑（提出问题）提问:请同学观察这个图表的结果，有哪些规律？1 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1……提问:为什么会有这些性质？介绍:这个图表我们把它叫做二项式系数表.在我国它又被叫做杨辉三角.这里还流传一个美丽动人的故事.在国外，这个表被称为帕斯卡三角.认为是法国数学家帕斯卡在17 世纪最早发现这一规律的.而在我国，早在13 世纪，杨辉在他的《详解九章算法》中就不仅有了这个的图表，还清楚地写着‘贾宪用此术’.贾宪是我国11 世学生思考后总结：（学生可以讨论、研究无须顺序总结）1）两边的数都是1.2）具有对称性.3）除1以外每个数都是肩上两个数的和.4）中间数最大.学生讨论后得出结论：这些数都是前面讲过的二项式系数.由学生翻阅材料介绍（通过古中国数学成就的介绍，加强对学生的爱国主义教育.）多媒体给出图表，显示学生的总结（可以设计跳转）纪的数学家，这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年，也说明了古代中华民族就在数学上有着辉煌的成就.但是，杨辉，贾宪的成就只有《详解九章算法》中有记载而此书早已失传，仅在《永乐大典》中抄录了部分内容，这是证明杨、贾两人成就的唯一证据.《永乐大典》是极其珍贵的国宝，然而1900 年，八年联军侵占北京，把翰林院中的《永乐大典》残本掠走，运往英国.后来，中国数学家李俨的外国朋友在英国见到《永乐大典》残本，拍下了记载‘杨辉三角’内容的文字，并把照片寄给李俨，这段历史才得以证实，我们今天的数学课本中也才能堂堂正正地写上‘杨辉三角’.但是可惜的是，《永乐大典》的残本至今未能回到祖国的怀抱.二、尝试：（提出问题尝试解决）杨辉三角既然是二项式系数表我们就可以用杨辉三角来研究二项式系数的性质.提问：还可以用什么方法研究它的性质.提问：如何来做图象.提问：观察图象有何性质？为什么会有这种性质. 学生预习得出：函数图象可以形象，直观反应性质，我们还可以用函数图象来研究二项式的系数.学生讨论后回答：C n r可以看成以r为自变量的函数f（r），其定义域是｛0,1,···,n｝.观察图表及图象得出：对称性.这是二项式系数的性质1.学生总结：生：在二项展开式中，与首末两端“等距”的两项的二项式系数相等.学生证明：有组合数性质C n r=C n n-r得到.回答：它的值先增后减.回答：有，中间位置可能最大学生活动：（这里让学生讨论研究，尝试证明.让学板演，可以多种方法证明，让学生充分体会成功的喜悦.教师还可以让学生对不完善多媒体给出有关介绍及图片多媒体给出图象提问：能否用语言总结一下？提问：能否证明？提问：下面我们继续观察图象，还可以发现哪些问题？提问：有最大值吗？提问：能再具体一些吗？是哪些项二项式系数最大提问：目前我们已经发现了二项式系数的两个性质，二项式系数还有没有其它规律呢？我们看杨辉三角：1 1 21 2 1 221 3 3 1 231 4 6 4 1 241 5 10 10 5 1 251 6 15 20 15 6 1 26 ……提问：可以发现什么规律呢？提问：如何来证明呢？定义：这种方法我们叫赋值法，是解决与二项展开系数有关问题的重要手段．提问：我们已经发现并证明了二项式系数的三个性质，可以发现什么规律呢的证明加以补充.）（学生未必一下能说清楚，尽量鼓励学生说，积极参与）n为偶数时，中间一项二项式系数最大，中间一项是第12n+项；n为奇数是，中间两项二项式系数最大，中间两项是第23n,21n++项.（学生语言未必简捷，只要正确就要鼓励他往下说，以免打消学生的积极性）思考得出：（计算每行和）二项式系数和为2n（学生讨论，尝试证明并板演）可以多种方法.如（1+x）n中令x=1，或（a+b）n中令a=1，b=1.思考得出：奇数项二项式系数和等于偶数给出学生的确定函数的过程.多媒体给出图表多媒体给出图象奇数项和为偶数项和为1 11 12 1 2 1 222 1 33 1 2223 14 64 1 2324 1 5 10 10 5 1 2425 1 6 15 20 15 6 1 25 ……提问：如何来证明呢？强调：我们得到了奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，但这并不意味着等号两边的个数相同．当n为偶数时，奇数项的二项式系数多一个；当n为奇数时，奇数项的二项式系数与偶数项的二项式系数个数才相同．提问：可有没有发现其他规律呢？1 7 21 35 21 7 11 8 28 56 56 28 8 1.......定义：这种方法我们叫递推法，我们可以无限得到下面的行的结果.三、归纳：时间关系，我们今天这堂课就研究到这里.本节课关键是利用杨辉三角形直观性发现并证明二项式系数的性质．教师归纳：我们可以把第一个性质简记为二项式系数对称规律，性质2简记为最大二项式系数规律，3、4两个性质所采取的方法——赋值法.性质5项二项式系数和为2n—1.既C n）+C n2+C n4+……=C n1+C n3+C n5……学生证明：（由于有例1的铺垫，学生很容易想到赋值法）（1+x）n中令x=-1，或（a+b）n中令a=1，b=-1.思考得出：由两边的数都是1.及除1以外每个数都是肩上两个数的和.可以向下接着写出下一行.1、7、21、35、21、7、1.学生总结：（由学生叙述这五个性质）多媒体给出图表，动画显示每行最大值多媒体闪烁指明最大值，并指出其项数.用了递推法.赋值法解决与二项展开系数有关问题的重要手段．递推法是我们数学归纳法的基本思想.四、反馈发现了这些性质对解题的帮助体现在哪儿呢？我们来看几组练习：（一）基础练习：1、（a+b）6展开式中的倒数第三项的二项式系数．2、若（a+b）n的展开式中，第三项的二项式系数与第五项的二项式系数相等，则n=？3、分别指出（a+b）20与（x+5y）15的展开式中哪些项的二项式系数最大，并分别求出其最大的二项式系数．（用组合数表示）4、已知（a+b）n的展开式中第十项和第十一项的二项式系数最大，求n的值．5．求（a+b）10的展开式中的各项的二项式系数和及奇数项的二项式系数和．（二）作业：P 111 4、8、五、板书设计：10.4 二项式定理（3）性质1 对称性性质2证明性质2 先增后减性质3证明性质3 二项式系数和2n性质4 奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和为2n—1.性质5 递推法学生练习：（可以请一些基础较差的学生回答，使他们也体会成功的喜悦，完成基本教学要求.也可以分组抢答，激发学生的学习兴趣）学生讨论研究练习：（这两道题难度较大，给基础较好的学生一个提高的机会，体现了分层教学的思想）多媒体给出图表在学生计算过程中有动画效果多媒体给出图表在学生计算过程中有动画效果多媒体给出图表，并补充下面行的内容。

人教高中数学选修2-3第一章132杨辉三角教学设计

1.3.2杨辉三角周兰英【教学目标】知识与技能：1、使学生了解杨辉及杨辉三角的有关历史，掌握杨辉三角的基本性质；2、探索杨辉三角中行、列数字的特点及其与组合数性质、二项展开式系数性质之间联系，并能归纳这些数字规律；3、会用数学归纳法及问题情景法证明发现的数字规律.方法与过程：1、培养学生独立思考与相互交流结合的意识，使学生基本掌握“观察——分析——猜想——证明”的科学研究方法；2、利用简短的视频放映，向同学们简要介绍杨辉三角历史，提高同学们学习数学的乐趣，增强民族自豪感;3、通过练习以及杨辉三角与纵横路线图，杨辉三角与弹子游戏，培养学生形成知识间相互联系的意识，并形成探究知识、建构知识的研究型学习习惯，为进一步学习作好准备.情感、态度与价值观：1、了解我国古代数学的伟大成就，培养学生的爱国主义精神．2、在知识的应用中，培养学生数学应用和科学研究的意识和能力，以及乐于探索、勇于创新的科学精神.【教学重点、难点】重点：杨辉三角的性质的发现难点：引导学生发现杨辉三角中的行、列的数字规律【教学方法与教学手段】引导探索——合作交流——发现计算机辅助教学【教学过程】复习回顾简要回顾二项式定理，通项以及二项式系数相关概念.一．本节知识点1.杨辉三角：(a+b)1 …………………………………………………1 1(a+b)2………………………………………………1 2 1(a+b)3……………………………………………1 3 3 1(a+b)4…………………………………………1 4 6 4 1(a+b)5………………………………………1 5 10 10 5 1(a+b)6………………………………………1 6 15 20 15 6 1第行 1 (1)第行1 (1)杨辉三角揭示了二项展开式的二项式系数的变化情况，那么杨辉三角有何特点？（至少两点）2.二项式系数的性质（用式子表示）（1）（对称性）（2）当为偶数时，最大；当为奇数时，最大（增减性与最大值）（3）（各二项式系数的和）二、简单介绍杨辉——古代数学家的杰出代表杨辉，杭州钱塘人. 中国南宋末年数学家，数学教育家．著作甚多. 其中《杨辉算法》，朝鲜、日本等国均有译本出版，流传世界.“杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》一书中，此书还说明表内除“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和．杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪．在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的（Blaise Pascal, 1623年~1662年）,他们把这个表叫做帕斯卡三角．这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．三．例题精选例1.证明：在展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.例2.已知.求变式：，则________________________.思路：赋值法四、介绍杨辉三角的一些数字规律1. 2.3. 4.五、杨辉三角与纵横路线图“纵横路线图”是数学中的一类有趣的问题：如图是某城市的部分街道图，纵横各有五条路，如果从A 处走到B处(只能由北到南，由西向东)，那么有多少种不同的走法？六、杨辉三角与弹子游戏如图的弹子游戏，小球(黑色) 向容器内跌落，碰到第一层阻挡物后等可能地向两侧跌落，碰到第二层阻挡物再等可能地向两侧第三层跌落，如是，一直下跌，最终小球落入底层，根据具体区域获得奖品。

【B版】人教课标版高中数学选修2-3《杨辉三角》教案1

1.3.2杨辉三角
教学目标：
1．掌握二项展开式中的二项式系数的基本性质及其推导方法。

2．通过对杨辉三角中蕴含的数字规律的初步探究，培养学生发现问题、提出问题、经过分析——猜想——证明以后解决问题的能力，激励学生自主创新。

通过从不同的角度观察杨辉三角，培养学生要从多角度看问题的意识，提高学生解决实际问题的能力。

3．鼓励学生在学习中学会交流、合作，培养学生团结协作的精神。

同时，通过了解我国古代数学的伟大成就，培养学生的爱国情感。

教学重、难点：
教学重点：掌握二项展开式中二项式系数性质，探讨“杨辉三角”中蕴含的数字规律，培养学生发现问题并运用所学的知识解决问题的能力。

教学难点：如何发现、证明规律。

通过本节课的学习，学生可以深刻地感知知识的形成过程，对于规律性的结论可以做出判断，并上升到理性的思考。

通过小组合作学习的方式，学生更加感受到在互助中学习，在竞争中学习的重要性，达到培养学生团结协作精神的目的。

教学过程
计算
展开式的二。

高中数学第一章计数原理 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质教案新人教A版选修2-3

1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质●三维目标1.知识与技能(1)能认识杨辉三角，并能利用它解决实际问题．(2)记住二项式系数的性质，并能解决相关问题．2．过程与方法通过观察、分析杨辉三角数表的特点，掌握二项式系数的性质．3．情感、态度与价值观通过“杨辉三角”的学习，了解中华民族的历史，增强爱国主义意识．●重点、难点重点：二项式系数的性质．难点：杨辉三角的结构．第一课时【问题导思】(1)观察“杨辉三角”发现规律①第一行中各数之和为多少？第二、三、四、五行呢？由此你能得出怎样的结论？②观察第3行中2与第2行各数之间什么关系？第4行中3与第2行各数之间什么关系？第5行中的4、6与第4行各数之间有什么关系？由此你能得出怎样的结论？【提示】(1)①20,21,22,23,24，第n行各数之和为2n－1.②2＝1＋1,3＝2＋1,4＝1＋3,6＝3＋3，相邻两行中，除1外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，设C r n＋1表示任一不为1的数，则它“肩上”两数分别为C r－1n ，C r n，所以C r n＋1＝C r－1n＋C r n.1．杨辉三角的特点(1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等．(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C rn ＋1＝C r －1n ＋C rn .2．二项式系数的性质(1)对称性：在(a ＋b )n 的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C 0n ＝C n n ，C 1n ＝C n －1n ，…，C r n ＝C n －rn . (2)增减性与最大值：当k ＜n ＋12时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值．当n 是偶数时，中间一项的二项式系数C n2n 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项的二项式系数C n －12n，C n ＋12n相等，且同时取得最大值．3．二项式系数的和(1)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n . (2)C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1.图1－3－1例1 如图1－3－1所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，记其前n 项和为S n ，求S 16的值．【思路探究】观察数列的特点、它在杨辉三角中的位置，或者联系二项式系数的性质，直接对数列求和即可．【自主解答】由题意及杨辉三角的特点可得：S 16＝(1＋2)＋(3＋3)＋(6＋4)＋(10＋5)＋…＋(36＋9)＝(C 22＋C 12)＋(C 23＋C 13)＋(C 24＋C 14)＋…＋(C 29＋C 19)＝(C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 29)＋(2＋3＋ (9)＝C 310＋＋2＝164.解决与杨辉三角有关的问题的一般思路：(1)观察：对题目进行多角度观察，找出每一行的数与数之间，行与行之间的数的规律． (2)表达：将发现的规律用数学式子表达． (3)结论：由数学表达式得出结论．本例条件不变，若改为求S 21，则结果如何？【解】 S 21＝(1＋2)＋(3＋3)＋(6＋4)＋…＋(55＋11)＋66 ＝(C 22＋C 12)＋(C 23＋C 13)＋(C 24＋C 14)＋…＋(C 211＋C 111)＋C 212＝(C 22＋C 23＋C 24＋……C 212)＋(2＋3＋ (11)＝C 313＋＋2＝286＋65 ＝351.第二课时例1：设(1－2x )2 012＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 012·x2 012(x ∈R )．(1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 012的值． (2)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 011的值． (3)求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 2 012|的值．【思路探究】先观察所要求的式子与展开式各项的特点，用赋值法求解．【自主解答】 (1)令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 012＝(－1)2 012＝1.①(2)令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…＋a 2 012＝32 012.② ①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 2 011)＝1－32 012，∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 011＝1－32 0122.(3)∵T r ＋1＝C r 2012(－2x )r ＝(－1)r ·C r 2 012·(2x )r， ∴a 2k －1＜0(k ∈N *)，a 2k ＞0(k ∈N )． ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 2 012| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2 012＝32 012.1．本题根据问题恒等式的特点采用“特殊值”法即“赋值法”，这是一种重要的方法，适用于恒等式．2．“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x ＝0可得常数项，令x ＝1可得所有项系数之和，令x ＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．例2：已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，求 (1)a 1＋a 2＋…＋a 7；(2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7，a 0＋a 2＋a 4＋a 6.【解】 (1)∵(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝－1，①令x ＝0，得a 0＝1， ∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝－2. (2)令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 6－a 7＝37＝2187，②由①、②得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1 094， a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝1 093.例3 已知f (x )＝(3x 2＋3x 2)n 展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．【思路探究】求二项式系数最大的项，利用性质知展开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将x ，y 的系数均考虑进去，包括“＋”、“－”号．【自主解答】令x ＝1，则二项式各项系数的和为f (1)＝(1＋3)n ＝4n ，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n－2n＝992.∴(2n )2－2n－992＝0， ∴(2n ＋31)(2n －32)＝0，∴2n ＝－31(舍去)，或2n ＝32，∴n ＝5.(1)由于n ＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是假设T r ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C r 53r≥C r －15·3r －1，C r 53r ≥C r ＋15·3r ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧5！－r ！r ！×3≥5！－r ！r －！，5！－r ！r ！≥5！－r ！r ＋！×3，∴⎩⎪⎨⎪⎧3r ≥16－r ，15－r ≥3r ＋1.∴72≤r ≤92，∵r ∈N ，∴r ＝4.小结：1．求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．2．求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得．练习：求(1＋2x )7的展开式中的二项式系数最大项与系数最大项．【解】在二项式系数C 07，C 17，C 27，…，C 77中，最大的是C 37与C 47，故二项式系数最大项是第4项与第5项，即T 4＝C 37(2x )3＝280x 3与T 5＝C 47(2x )4＝560x 4.设第r ＋1项的系数最大，则由⎩⎪⎨⎪⎧T r ＋1≥T r ，T r ＋1≥T r ＋2⇒⎩⎪⎨⎪⎧C r 72r≥C r －172r －1，C r 72r≥C r ＋172r ＋1⇒⎩⎪⎨⎪⎧3r ≤16，3r ≥13，由于r 是整数，故r ＝5，所以系数最大的是第6项，即T 6＝C 57(2x )5＝672x 5.第三课时例4 已知(2x －1)n 二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，则C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C nn 的值为( )A ．28B ．28－1C ．27D ．27－1 【错解】设(2x －1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，令A ＝a 1＋a 3＋a 5＋…，B ＝a 0＋a 2＋a 4＋…，由题意知B －A ＝38.令x ＝－1得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a n (－1)n ＝(－3)n， ∴(a 0＋a 2＋…)－(a 1＋a 3＋…)＝(－3)n∴B －A ＝(－3)n ＝38，∴n ＝8.由二项式系数性质可得，a 1n ＋a 2n ＋…＋C n n ＝2n ＝28【答案】 A【错因分析】误将C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n 看作是二项展开式各项二项式系数和，忽略了C 0n .【防范措施】 (1)解答本题应认真审题，搞清已知条件以及所要求的结论，避免失误． (2)解决此类问题时，要对二项式系数的性质熟练把握，尤其是赋值法，要根据题目的要求，灵活赋给字母所取的不同值．【正解】设(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n，且奇次项的系数和为A，偶次项的系数和为B.则A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋a6＋….由已知可知：B－A＝38.令x＝－1，得：a0－a1＋a2－a3＋…＋a n(－1)n＝(－3)n，即：(a0＋a2＋a4＋a6＋…)－ (a1＋a3＋a5＋a7＋…)＝(－3)n，即：B－A＝(－3)n.∴(－3)n＝38＝(－3)8，∴n＝8.由二项式系数性质可得：C1n＋C2n＋C3n＋…＋C n n＝2n－C0n＝28－1.【答案】 B二项式系数的有关性质的形成过程体现了观察——归纳——猜想——证明的数学方法，并且在归纳证明的过程中应用了函数、方程等数学思想，大致对应如下：对称性应用了组合数的性质增减性与最大值应用了组合数公式、分类讨论思想等系数和应用了赋值法、方程思想1．(a＋b)7的各二项式系数的最大值为( )A．21 B．35 C．34 D．70【答案】 B2．在(a－b)20的二项展开式中，二项式系数与第6项二项式系数相同的项是( ) A．第15项B．第16项C．第17项D．第18项【解析】由二项式系数的性质知与第6项系数相等的项应为倒数第6项，即第16项．【答案】 B3．(1＋2x)2n的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是第________项．【解析】(1＋2x)2n的展开式中共有2n＋1项，中间一项的系数最大，即第n＋1项．【答案】n＋14．已知(1－2x＋3x2)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a13x13＋a14x14，试求：(1)a0＋a1＋a2＋…＋a14；(2)a1＋a3＋a5＋…＋a13.【解】(1)在已知等式中令x＝1，则得：a0＋a1＋a2＋…＋a13＋a14＝27＝128.①(2)在已知等式中令x＝－1，则得：a0－a1＋a2－a3＋…－a13＋a14＝67.②①－②得：2(a1＋a3＋a5＋…＋a13)＝27－67＝－279 808. 因此，a1＋a3＋a5＋…＋a13＝－139 904.。

高中数学_1.3.2杨辉三角教学设计学情分析教材分析课后反思

《杨辉三角》教学设计1 教材分析《杨辉三角》是人教B版普通高中课程标准实验教科书数学选修2-3第一章1.3.2节的内容，是学生学习了二项式定理后进一步学习二项式系数性质的课例.杨辉三角的数字规律揭示了二项式系数的若干性质，蕴含着丰富的数学规律和重要的数学思想方法.是一个很好的探究学习的课例.“杨辉三角”是我国古代数学重要成就之一，除杨辉外，贾宪、朱世杰、华罗庚对杨辉三角都有深入的研究.应抓住这一题材，对学生进行爱国主义教育，激发学生的民族自豪感.本节内容以前面学习的二项式定理为基础，运用特殊到一般的数学思想方法进行思考，发现规律，形成证明思路. 这一过程不仅有利于培养学生的思维能力、理性精神和实践能力，也有利于学生理解本节课的核心数学知识，发展其数学应用意识.研究二项式系数这组特定的组合数的性质，对巩固二项式定理，建立相关知识之间的联系，进一步认识组合数、进行组合数的计算和变形都有重要的作用，对后续学习微分方程等也具有重要地位.2 学情分析【知识基础】在此之前，学生学习了计数原理、排列组合、二项式定理的有关知识.【能力基础】高二学生有能力进行教师引导下的小组合作探究学习.【方法基础】在此之前，学生已经学习了推理与证明，对于归纳、猜想、验证、证明的思想方法较为灵活的使用.【难点预测】二项式系数性质的发现以及将其公式化的过程.3 目标分析【知识与技能目标】了解杨辉三角的历史，掌握二项式系数的基本性质；【过程与方法目标】通过“自主发现性质、证明性质、运用性质”的学习过程，掌握二项式系数的一些性质，培养学生由特殊到一般的归纳猜想能力,体会归纳推理、赋值法等重要数学思想方法；【情感、态度与价值观目标】渗透爱国主义教育，培养学生独立思考、交流讨论、汇总见解的能力.激发学生的探究渴望.4 教学重难点【教学重点】二项式系数的性质及其应用.【教学难点】杨辉三角的基本性质的探索和发现.5 教法学法观察、探究、发现、合作交流.6 教学过程6.1 复习引入1、二项式定理：________________________________________________；通项：；二项式系数：______________________________________________；[来源:Zxxk.Cm]2、n )1(x +=________________________________________________；【师生活动】教师提问，学生齐答，师班互动.【设计意图】通过复习上节课所学，导入新课，为后面探究新知做好准备.6.2 品读历史1、列出n)(b a +的展开式中当n 取1,2,3,4，5,6......时的二项式系数表. 0)(b a + (1)1)(b a + …………………………………… 1 12)(b a + ………………………………… 1 2 13)(b a +……………………………………1 3 3 14)(b a +………………………………1 4 6 4 15)(b a +………………………… 1 5 10 10 5 16)(b a +………………………1 6 15 20 15 6 1 7)(b a +…………………1 7 21 35 35 21 7 1……………………………n b a )(+…………0n C 1n C2n C …………………………… n n C2、杨辉三角的历史杨辉，南宋数学家，于1261年著《详解九章算法》，在其中详细列出了这样一张图表，并且指出这个方法出于我国11世纪数学家贾宪的著作《黄帝九章算法细草》.在欧洲一般认为这是帕斯卡（Pascal ）于1654年发现的，称这个图形为“帕斯卡三角”.这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年，也说明了古代中华民族就在数学上有着辉煌的成就.【师生活动】师生共同列出n )(b a +展开式当n 取1,2,3,4，5,6……时的二项式系数表.【设计意图】动手列表，品读历史，培养学生的爱国情感，激发学生的探究热情.6.3 探究性质1、问题：观察杨辉三角你能发现哪些数量关系？由此得到二项式系数具有哪些性质？【师生活动】学生小组合作学习，教师适时点拨.【设计意图】通过对杨辉三角多角度的观察，引导发现其规律，培养学生的观察力，特殊到一般的归纳猜想能力.2、展示探究结果性质1 对称性性质2 递推性性质3 二项式系数和12 ………………………………………………… 1 122 …………………………………………………1 2 132 ………………………………………………1 3 3 142 ……………………………………………1 4 6 4 1 52 …………………………………………1 5 10 10 5 1 62 ………………………………………1 6 15 20 15 6 1性质4 二项式系数最大：通过比较r n C 与1-r n C 的大小得出.深入探究性质 ➢二项式系数横行排列所得数与11的方幂的关系111 ………………………………………………… 1 1211 …………………………………………………1 2 1311 ………………………………………………1 3 3 1411 ……………………………………………1 4 6 4 1 511 …………………………………………1 5 10 10 5 1 611 ………………………………………1 6 15 20 15 6 1教师升华 1 4 6 4 1× 1 1_____________________________1 4 6 4 11 4 6 4 1_____________________________1 5 10 10 5 1➢二项式系数与斐波那契数列的关系1 123 5 8 ……______________________________________1 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1斐波那契数列简介著名的兔子繁殖问题：如果有一对小兔，每一个月都生下一对小兔，而所生下的每一对小兔在出生后的第三个月也都生下一对小兔.那么，由一对兔子开始，满一年时一共可以繁殖成多少对兔子？兔子对数1,1,2,3,5,8,13,21,……组成的数列就是著名的斐波那契数列，此数列在自然界中的出现是如此地频繁，请同学们观察下列花瓣数目：学生会惊奇的发现确实组成斐波那契数列.➢杨辉三角中，任一列前n 个数之和规律是什么？证明你的结论？ 1 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1【师生活动】教师从其他观察角度引导学生发现.【设计意图】让学生深入体会杨辉三角的奥妙无穷，激发学生的学习热情.6.4 应用性质6.4.1 杨辉三角在数学中的应用例1 已知nx )1(2-展开式的各项二项式系数和等于512，求展开式中二项式系数最大的项.【师生活动】学生独立完成,选择一名同学投影展示问题解决过程.【设计意图】二项式系数性质及二项展开式通项公式的灵活应用.例2 填空：设0177888)13(a x a x a x a x ++++=- ，则（1）=+++178a a a ______________;（2）=+-+-+-+-012345678a a a a a a a a a ______________;（3）=++++02468a a a a a ______________.【师生活动】学生思考,回答.【设计意图】一方面注意区分二项式系数和以及各项系数和，另一方面会应用赋值法解决问题.6.4.1 杨辉三角在实际生活中的应用➢杨辉三角与高尔顿板在游艺场，可以看到如图的弹球游戏，小球(黑色) 向容器内跌落，碰到第一层阻挡物后等可能地向两侧跌落，碰到第二层阻挡物再等可能地向两侧第三层跌落，如是，一直下跌，最终小球落入底层，根据具体区域获得奖品。

高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-3 1.3.2 杨辉三角》31

杨辉三角教学设计数学组贾天雷一、教学目标知识与技能：掌握杨辉三角及二项式系数的性质，会利用二项式系数的性质及赋值法解决问题过程与方法：通过“观察、归纳、论证”二项式系数的性质这一过程，提高学生的数学素养，体会由特殊到一般、赋值法等重要数学思想方法解决问题的“再创造”过程情感、态度与价值观：通过学生课前自主探究、课上合作探究、课下延伸探究的学习方式，培养学生问题意识，培养学生团结协作的精神，提高和发展学生的运算能力、观察能力、归纳总结的能力，孕育学生创新精神，激发学生探索热情同时，通过了解我国古代数学的伟大成就，培养学生的爱国情感，增强民族自豪感．二、学情分析《杨辉三角》是选修2-3第1章第3节第2课时的内容。

知识上学生已经学习了两个计数原理、组合数的性质和二项式定理等，已经具备了对二项式部分性质的归纳和证明的能力。

同时对于高二的学生也已经基本接触了大部分高中数学思想方法，为突破本节课的难点奠定了基础学生在数学学科的学习特点存在较大的差异，而通过在教学中长期开展自主探究等学习性活动，学生间加强开展团结互助、合作交流等学习方式，学生能够克服学习差异性问题。

学生之间也已经具备了一定的解决问题的能力，课堂上学生在教师的适当指导下，能够完成本节课的难点，即：二项式系数性质的发现与证明三、重点难点重点：杨辉三角及二项式系数的性质，二项式系数性质的应用．难点：由杨辉三角发现二项式系数的性质以及性质的证明四、教学过程复习引入：由学生集体回忆前面学过的相关知识：（1）二项式定理；（2）二项展开式的通项公式；（3）二项式系数【设计意图】通过复习引入，调动学生已有的相关知识，对本节课的学习起到承上启下的作用。

探究一：计算ab n展开式的二项式系数并填入下表:回答：每一行的第一个数和最后一个均为1；每一行的数据都是对称的，即每一行与首末两端等距离的两项二项式系数相等教师引导学生将这些性质在组合数的体现上回答出来，即C n0=C n n=1；C n m=C n n−m这样的表格并不能很好的体现对称性，于是重新对称排列表格，引出“杨辉三角”【设计意图】学生通过填表的活动巩固二项式定理的知识和二项式系数的运算，并发现二项式系数具有的一些规律；同时让学生发现这样的表格不利观察二项式系数的更多规律，进而引发思考：如何排表更方便观察呢？借此自然的引出“杨辉三角”探究二：杨辉三角将表格中的系数变换一种形式得到杨辉三角ab1………………………………………………………1 1ab2…………………………………………………1 2 1ab3 ……………………………………………1 3 3 1ab4 ……………………………………1 4 6 4 1ab5……………………………… 1 5 10 10 5 1ab6 …………………… 1 6 15 202115 6 1这样的二项式系数表，早在我国南宋数学家杨辉1261 年所著的《详解九章算法》一书里就已经出现了，在这本书里，记载着类似的表。

高中数学选修2-3精品教案5：1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质教学设计

1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质知识目标:进一步探索杨辉三角的基本性质及二项式系数的性质，形成知识网络；能力目标:培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力，重点培养创新能力；情感目标：了解我国古今数学的伟大成就，增强爱国情感．教学重点：杨辉三角的基本性质及数字排列规律的探求.教学难点:杨辉三角的基本性质及数字排列规律的探求.教学方法:引导探究教学过程一、课题引入1．引言: 为什么要研究杨辉三角？▲教学意图研究杨辉三角的意义（1）在学习了排列组合概率和数学归纳法等知识后，继续研究杨辉三角的性质，进一步探索杨辉三角的基本性质及其中蕴含的数量关系，培养发现问题、分析问题、解决问题的能力．同时复习巩固所学知识，发现知识间的联系．（2）通过探究杨辉三角，不断培养创新能力．（创新是发展的不竭动力）（3）了解古今数学家的伟大成就，进行爱国主义教育；2．什么是杨辉三角？教学意图复习杨辉三角二项式（a+b）n展开式的二项式系数，当n依次取1，2，3．．．时，列出的一张表，叫做二项式系数表，因它形如三角形，南宋的杨辉对其有过深入研究，所以我们又称它为杨辉三角．（如图）3．介绍杨辉——古代数学家的杰出代表Array▲教学意图了解数学家杨辉及其成就, 增强民族自豪感杨辉，杭州钱塘人.中国南宋末年数学家，数学教育家．著作甚多，他编著的数学书共五种二十一卷，著有《详解九章算法》十二卷（1261年）、《日用算法》二卷、《乘除通变本末》三卷、《田亩比类乘除算法》二卷、《续古摘奇算法》二卷．其中后三种合称《杨辉算法》，朝鲜、日本等国均有译本出版，流传世界.“杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》一书中，此书还说明表内除“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和．杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪．在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的（Blaise Pascal, 1623年~1662年）,他们把这个表叫做帕斯卡三角．这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．二、问题研究观察杨辉三角所蕴含的数量关系11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 11 8 28 56 70 56 28 8 11 9 36 84 126 126 84 36 9 11 10 45 120 210 252 210 120 45 10 11 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 11 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 11 13 78 286 715 1284 1716 1716 1284 715 286 78 13 1三、讲解新课：1．二项式系数的性质：()n a b +展开式的二项式系数是0C n ，1C n ，2C n ，…，C n n ．C r n 可以看成以r 为自变量的函数()f r 定义域是{0,1,2,,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图）（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵C C m n mn n -=）．直线2nr =是图象的对称轴．（2）增减性与最大值．∵1(1)(2)(1)1C C !k k n n n n n n k n k k k----+-+==⋅， ∴C k n 相对于1C k n -的增减情况由1n k k -+决定，1112n k n k k -++>⇔<，当12n k +<时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；当n 是偶数时，中间一项2C nn 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12C n n -，12Cn n+取得最大值．（3）各二项式系数和： ∵1(1)1C C nr rn n n x x x x +=+++++，令1x =，则0122C C C C C nr nn n n n n =++++++四、讲解范例：问题导学一、与杨辉三角有关的问题活动与探究1如图所示，在杨辉三角中，斜线AB 上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的前n 项和为S (n )，则S (16)等于( )A ．144B ．146C ．164D ．461 迁移与应用下列是杨辉三角的一部分．(1)你能发现组成它的相邻两行数有什么关系吗？ (2)从图中的虚线上的数字你能发现什么规律？解决与杨辉三角有关的问题的一般思路是：通过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行间数据的相互联系．然后将数据间的这种联系用数学式子表达出来，使问题得解．注意观察方向：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察．二、二项式系数的性质活动与探究2(1＋2x )n 的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．迁移与应用1．⎝⎛⎭⎫x －1x 10的展开式中，系数最大的项为( ) A ．第六项 B ．第三项 C ．第三项和第六项 D ．第五项和第七项2．若⎝⎛⎭⎫x 3＋1x 2n (n ∈N *)的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项为( ) A ．462 B ．252 C ．210 D ．10(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组、解不等式的方法求得．三、二项式系数、展开式系数的求和活动与探究31．设1132(3)nx x +的二项展开式中各项系数之和为t ，二项式系数和为h ，若h ＋t ＝272，则二项展开式含x 2项的系数为__________．2．设函数f (x ，y )＝⎝⎛⎭⎫1＋m y x (m ＞0，y ＞0)．若f (4，y )＝a 0＋a 1y ＋a 2y 2＋a 3y 3＋a 4y 4，且a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝81，则a 0＋a 2＋a 4＝__________．迁移与应用1．若(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．22．已知(2x －1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n 展开式中偶数项的二项式系数和为32，若偶数次项的系数和为h ，奇数次项的系数和为t ，则h 2－t 2＝__________．赋值法是求二项展开式系数及有关问题的常用方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项．一般地，对于多项式f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，各项系数和为f (1)，奇次项系数和为12[f (1)－f (－1)]，偶次项系数和为12[f (1)＋f (－1)]，a 0＝f (0)．课前·预习导学活动与探究1 思路分析：该数列从第3项开始每隔一项等于前两项的和．解答本题可观察数列的各项在杨辉三角中的位置，把各项还原为各二项展开式的二项式系数，然后利用组合数的性质求和．【解析】由题图知，数列中的首项是C 22，第2项是C 12，第3项是C 23，第4项是C 13，…，第15项是C 29，第16项是C 19．∴S (16)＝C 12＋C 22＋C 13＋C 23＋…＋C 19＋C 29 ＝(C 12＋C 13＋…＋C 19)＋(C 22＋C 23＋…＋C 29) ＝(C 22＋C 12＋C 13＋…＋C 19－C 22)＋(C 33＋C 23＋…＋C 29) ＝C 210＋C 310－1＝164．【答案】C迁移与应用解：(1)杨辉三角的两条腰都是由数字1组成的，其余的数都等于它肩上的两个数之和．(2)设a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6，a 4＝10，…，若令b n ＝a n ＋1－a n ，则b 1＝2，b 2＝3，b 3＝4，所以可得{b n }是等差数列，从而得出其每一斜行数字的差组成一个等差数列．活动与探究2 思路分析：求(a ＋bx )n 的展开式中系数最大的项，通常用待定系数法，即先设展开式中的系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，再设第k ＋1项系数最大，则由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧A k ＋1≥A k ，A k ＋1≥A k ＋2确定k 的值．解：T 6＝C 5n (2x )5，T 7＝C 6n (2x )6，依题意有C 5n 25＝C 6n 26⇒n ＝8．∴(1＋2x )8的展开式中，二项式系数最大的项为 T 5＝C 48·(2x )4＝1 120x 4．设第k ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧ C k 8·2k ≥C k －18·2k －1C k 8·2k ≥C k ＋18·2k ＋1⇒5≤k ≤6．∴k ＝5或k ＝6(∵k ∈{0,1,2，…，8})． ∴系数最大的项为T 6＝1 792x 5，T 7＝1 792x 6．迁移与应用1．【解析】由二项式定理可知，展开式中，二项式系数与对应的项的系数的绝对值相等．由于二项式系数的最大项为T 6，且T 6＝C 510x 5·⎝⎛⎭⎫－1x 5＝－C 510中的二项式系数等于项的系数的相反数，此时T 6的系数最小．而T 5＝C 410·x 6·⎝⎛⎭⎫－1x 4＝C 410x 2，T 7＝C 610x 4·⎝⎛⎭⎫－1x 6＝C 610·x －2，且C 410＝C 610， ∴系数最大的项为第五项和第七项．【答案】D2．【解析】由于展开式中只有第6项的系数最大，且其系数等于其二项式系数，所以展开式项数为11，从而n ＝10，于是得其常数项为C 610＝210．【答案】C活动与探究3 思路分析：本题主要考查二项式系数与各项系数的区别，用赋值法求各项系数和，利用公式求二项式系数和．1.【解析】由已知令x ＝1，则展开式各项系数和t ＝(3＋1)n ＝4n ，二项式系数和h ＝C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n，∴h ＋t ＝4n ＋2n ＝272，解得n ＝4． ∴(3x 13＋x 12)n ＝(3 x 13＋x 12)4．则展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 4·(3x 13)4－r ·(x 12)r ＝34－r C r 4x 43＋r6，令43＋r6＝2，则r ＝4． ∴含x 2项的系数为1．【答案】12．思路分析：由a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝81表示的为各项系数和，可令y ＝1求得m 值．a 0＋a 2＋a 4为奇数项系数和，可令y ＝－1，结合已知求出．【解析】f (4，y )＝a 0＋a 1y ＋a 2y 2＋a 3y 3＋a 4y 4＝⎝⎛⎭⎫1＋m y 4，令y ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(1＋m )4＝81，又m ＞0，∴m ＝2．令y ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝(1－m )4＝1．两式相加得2(a 0＋a 2＋a 4)＝82， ∴a 0＋a 2＋a 4＝41．【答案】41迁移与应用 1．【解析】令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(2＋3)4，令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝(3－2)4．∴(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4)·(a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4) ＝(2＋3)4·(－2＋3)4＝[(3＋2)(3－2)]4＝1．【答案】12．【解析】由已知2n －1＝32，∴n ＝6．∴(2x －1)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6．令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6＝1，令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6＝(－3)6．而h ＝a 0＋a 2＋a 4＋a 6，t ＝a 1＋a 3＋a 5， ∴h 2－t 2＝(h ＋t )(h －t )＝36＝729．【答案】729当堂检测1．111x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数最大的项是( )A ．第6项B ．第8项C ．第5,6项D ．第6,7项【解析】由n ＝11为奇数，则展开式中第1112+项和第11112++项，即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大．【答案】D2．已知(a －x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，若a 2＝80，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝( )A ．32B ．1C ．－243D ．1或－243【解析】展开式的通项为T r ＋1＝(－1)r 5C r·a 5－r ·x r ，令r ＝2，则a 2＝(－1)225C ·a 3＝80，∴a ＝2．∴(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 5＝1．【答案】B3．设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ．若13a ＝7b ，则m ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】由题意可知，2C mm a =，21C mm b +=，又∵13a ＝7b ，∴(2)!(21)137!!!(1)!m m m m m m +⋅=⋅+，即132171m m +=+．解得m ＝6．【答案】B4．已知21nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中奇数项的二项式系数和为16，则二项展开式中x 的系数为__________．【解析】由已知2n －1＝16，n ＝5，∴521x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项为T r ＋1＝5C r ·(x 2)5－r ·1rx ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝5C r ·x 10－3r ，令10－3r ＝1，则r ＝3，∴含x 项的系数为35C 10=．【答案】105．在822x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，(1)系数的绝对值最大的项是第几项？解：T r ＋1＝8822C ()rr rx x -⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭＝(－1)r ·8C r ·2r ·542rx -． (1)设第r ＋1项系数的绝对值最大，则11881188C 2C 2C 2C 2.r r r r r r r r ++--⎧⋅≥⋅⎪⎨⋅≥⋅⎪⎩，∴12,8121.9r r r r⎧≥⎪⎪-+⎨⎪≥⎪-⎩故系数绝对值最大的项是第6项和第7项． (2)求二项式系数最大的项．解：二项式系数最大的项为中间项，即为第5项．∴T 5＝48C ·24·2042x -＝1 120x －6．(3)求系数最大的项．解：由(1)知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，而第6项的系数为负，第7项的系数为正．则系数最大的项为T 7＝68C ·26·x －11＝1 792x－11．(4)求系数最小的项．解：系数最小的项为T 6＝(－1)558C·25172x-＝－1 792172x-．提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．课堂练习1．()()4511x x +-展开式中4x 的系数为，各项系数之和为2．多项式12233()C (1)C (1)C (1)C (1)nn n n n n f x x x x x =-+-+-++-（6n >）的展开式中，6x 的系数为 3．若二项式231(3)2n x x-（N n *∈）的展开式中含有常数项，则n 的最小值为（） A.4 B.5 C.6 D.84．某企业欲实现在今后10年内年产值翻一番的目标，那么该企业年产值的年平均增长率最低应（）A.低于5％B.在5％～6％之间C.在6％～8％之间D.在8％以上5．在(1)n x +的展开式中，奇数项之和为p ，偶数项之和为q ，则2(1)nx -等于（）A.0B.pqC.22p q +D.22p q -6．求和：()2341012311111C C C C 1C 11111n nnn n n n n a a a a a a a a aa+------+-++------7．求()102x +的展开式中系数最大的项【答案】1. 45, 0 2. 0．提示：()()16nf x x n =->3. B4. C5.D6.()11n a a ---7.33115360T x +=小结:二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个节破，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用. 板书设计（略）教学反思：二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段.二项式定理概念的引入，我们已经学过(a +b )2=a 2+2ab +b 2，(a +b )3=a 3+3a 2b +3ab 2+b 3，那么对一般情况；(a +b )n 展开后应有什么规律，这里n ∈N ，这就是我们这节课“二项式定理”要研究的内容.选择实验归纳的研究方式，对(a +b )n 一般形式的研究与求数列{a n }的通项公式有些类似，大家想想，求a n 时我们用了什么方法，学生：先写出前n 项，再观察规律，猜测其表达式，最后用数学归纳法证明，老师：大家说得很正确，现在我们用同样的方式来研究(a +b )4的展人教版高中数学选修2-3教学设计11 开，因(a +b )4=(a +b )3(a +b )，我们可以用(a +b )3展开的结论计算(a +b )4(由学生板演完成，体会计算规律)然后老师把计算过程总结为如下形式：(a +b )4=(a +b )3(a +b )=(a 3+3a 2b +3ab 2+b 3)(a +b )=a 4+3a 3b 2+ab 3+3a 2b 2+3ab 3+b 4=a 4+4a 3b +6a 2b 2 +4ab 3+b 4.对计算的化算：对(a +b )n 展开式中的项，字母指数的变化规律是十分明显的，大家能说出它们的规律吗？学生：a 的指数从n 逐次降到0，b 的指数从0逐次升到n ，老师：大家说的很对，这样一来展开式的项数就是从0到n 的(n +1)项了，但唯独系数规律还是“犹抱琵琶半遮面”使我们难以发现，但我们仍可用nn n n a a a 10,来表示，它这样一来(a +b )n 的展开形式就可写成(a +b )n =n n n r r n r n n n n n b a b a a b a a a a +++-- 110现在的问题就是要找r n a 的表达形式,为此我们要采用抽象分析法来化简计算.。

教版高中数学人教A版选修2-3第一章-1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质教学课件 (共17张PPT)

“杨辉三角”与二项式系数的性质
湖南师大附中杨章远
1 复习引入
1、组合数的两个性质：
C n k C n n k,C n k C n k 1 C n k 1
2、二项式定理： (a + b)n = Cn0an + Cn1an-1b + L + Cnnbn
3、二项展开式的通项：
T k 1 C n k a n k b k(k 0 ,1 ,2 , ,n )
1 复习引入
4、二项展开式有哪些基本特征？
（1）共有 n 1 项（2）字母 a 的最高次数为 n ,且按降幂排列，
字母 b 的最高次数为 n ，且按升幂排列（3）各项中 a 与 b 的指数幂的和都是n
（4）各项的二项式系数依次为
Cnk(k0,1,2, n) ，且与a , b 无关
2 知识提炼
构成首项为11，公比为11的等比数列。
3 合作探究
探究2、如果把“杨辉三角”中第一斜
行的数看做一个数列 x n （从右上往左下
看），则其通项公式为 x n 1 ，照此规律
把“杨辉三角”中的第二斜行的数看做一
个数列 y n ，则其通项公式是什么？把
“杨辉三角”中的第三斜行的数看做一个
数列 z n ，则其通项公式是什么？
2 知识提炼 1、什么是“杨辉三角”？
（杨辉）
（杨辉三角）
2 知识提炼 2、在二项式系数C n 0,C n 1,C n 2, ,C n n1,C n 中，哪些二项式系数是相等的？
C n kC n n k(k0,1 ,2, n)
2 知识提炼
3、二项式系数的增减性如何？当n分别
为偶数与奇数时，第几项的二项式系数
yn nCn1

2020版高中数学第一章 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质学案新人教A版选修2-3

1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质学习目标 1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数.2.理解二项式系数的性质并灵活运用．知识点“杨辉三角”与二项式系数的性质(a＋b)n的展开式的二项式系数，当n取正整数时可以表示成如下形式：思考1 从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？答案在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和．思考2 计算每一行的系数和，你又能看出什么规律？答案2,4,8,16,32,64，…，其系数和为2n.思考3 二项式系数的最大值有何规律？答案当n＝2,4,6时，中间一项最大，当n＝3,5时中间两项最大．梳理(1)杨辉三角的特点①在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等．②在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C k n＋1＝C k－1n＋Ckn.(2)二项式系数的性质性质内容对称性C m n＝C n－mn，即二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等增减性与最大值如果二项式的幂指数n是偶数，那么展开式中间一项12nT+的二项式系数最大如果n为奇数，那么其展开式中间两项12nT+与112nT++的二项式系数相等且同时取得最大值各二项式系数的和二项展开式中各二项式系数的和等于2n，即C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，都等于2n－1，即C1n＋C3n＋C5n＋…＝C2n＋C4n＋C6n＋…＝2n－11．杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列．( ×)2．二项式展开式的二项式系数和为C1n＋C2n＋…＋C n n.( ×)3．二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同．( ×)类型一与杨辉三角有关的问题例1 (1)杨辉三角如图所示，杨辉三角中的第5行除去两端数字1以外，均能被5整除，则具有类似性质的行是( )A．第6行 B．第7行 C．第8行 D．第9行(2)如图，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的前n项和为S(n)，则S(16)等于( )A．144 B．146 C．164 D．461考点二项式系数的性质题点与杨辉三角有关的问题答案(1)B (2)C解析(1)由题意，第6行为1,6,15,20,15,6,1，第7行为1,7,21,35,35,21,7,1，故第7行除去两端数字1以外，均能被7整除．(2)由题干图知，数列中的首项是C22，第2项是C12，第3项是C23，第4项是C13，…，第15项是C29，第16项是C19，所以S(16)＝C12＋C22＋C13＋C23＋…＋C19＋C29＝(C12＋C13＋…＋C19)＋(C22＋C23＋…＋C29)＝(C22＋C12＋C13＋…＋C19－C22)＋(C33＋C23＋…＋C29)＝C210＋C310－1＝164.反思与感悟解决与杨辉三角有关的问题的一般思路跟踪训练1 如图所示，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左至右的第14个数与第15个数的比为2∶3.考点二项式系数的性质题点与杨辉三角有关的问题答案34解析由题意设第n行的第14个数与第15个数的比为2∶3，它等于二项展开式的第14项和第15项的二项式系数的比，所以C13n∶C14n＝2∶3，即14n－13＝23，解得n＝34，所以在第34行中，从左至右第14个数与第15个数的比是2∶3.类型二二项式系数和问题例2 已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.求下列各式的值：(1)a0＋a1＋a2＋…＋a5；(2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|；(3)a1＋a3＋a5.考点展开式中系数的和问题题点二项展开式中系数的和问题解(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.(2)令x＝－1，得－35＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5.由(2x－1)5的通项T k＋1＝C k5(－1)k·25－k·x5－k知a1，a3，a5为负值，所|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35＝243.(3)由a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，－a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35，得2(a1＋a3＋a5)＝1－35.所以a 1＋a 3＋a 5＝1－352＝－121.引申探究在本例条件下，求下列各式的值： (1)a 0＋a 2＋a 4； (2)a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5； (3)5a 0＋4a 1＋3a 2＋2a 3＋a 4.解 (1)因为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1，－a 0＋a 1－a 2＋…＋a 5＝－35. 所以a 0＋a 2＋a 4＝1＋352＝122.(2)因为a 0是(2x －1)5展开式中x 5的系数，所以a 0＝25＝32.又a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1，所以a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝－31.(3)因为(2x －1)5＝a 0x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5.所以两边求导数得10(2x －1)4＝5a 0x 4＋4a 1x 3＋3a 2x 2＋2a 3x ＋a 4. 令x ＝1得5a 0＋4a 1＋3a 2＋2a 3＋a 4＝10. 反思与感悟二项展开式中系数和的求法(1)对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R ，m ，n ∈N *)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对(ax ＋by )n (a ，b ∈R ，n ∈N *)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可． (2)一般地，若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.跟踪训练2 在二项式(2x －3y )9的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和．考点展开式中系数的和问题题点二项展开式中系数的和问题解设(2x －3y )9＝a 0x 9＋a 1x 8y ＋a 2x 7y 2＋…＋a 9y 9. (1)二项式系数之和为C 09＋C 19＋C 29＋…＋C 99＝29. (2)各项系数之和为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9，令x ＝1，y ＝1，所以a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2－3)9＝－1.(3)令x ＝1，y ＝－1，可得a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59，又a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝－1，将两式相加可得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝59－12，即所有奇数项系数之和为59－12.类型三二项式系数性质的应用例3 已知f (x )＝(3x 2＋3x 2)n 展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．考点展开式中系数最大(小)的项问题题点求展开式中系数最大(小)的项解令x ＝1，则二项式各项系数的和为f (1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n－2n＝992.∴(2n )2－2n－992＝0， ∴(2n＋31)(2n－32)＝0，∴2n＝－31(舍去)或2n＝32，∴n ＝5.(1)由于n ＝5为奇数，∴展开式中二项式系数最大的项为中间的两项，它们分别为T 3＝C 25323x ⎛⎫ ⎪⎝⎭·(3x 2)2＝90x 6，T 4＝C 35223x ⎛⎫ ⎪⎝⎭·(3x 2)3＝270223x .(2)展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 5·3k·2(52)3k x ＋，假设T k ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C k 53k≥C k －153k －1，C k 53k ≥C k ＋153k ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧5！(5－k )！k ！×3≥5！(6－k )！(k －1)！，5！(5－k )！k ！≥5！(4－k )！(k ＋1)！×3，即⎩⎪⎨⎪⎧3k ≥16－k ，15－k ≥3k ＋1，∴72≤k ≤92，∵k ∈N ，∴k ＝4， ∴展开式中系数最大的项为T 5＝C 4523x (3x 2)4＝405263x .反思与感悟 (1)二项式系数的最大项的求法求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a ＋b )n中的n 进行讨论． ①当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大． ②当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大． (2)展开式中系数的最大项的求法求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求(a ＋bx )n(a ，b ∈R )的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A 0，A 1，A 2，…，A n ，且第k ＋1项最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧A k ≥A k －1，A k ≥A k ＋1，解出k ，即得出系数的最大项．跟踪训练3 写出(x －y )11的展开式中： (1)二项式系数最大的项； (2)项的系数绝对值最大的项； (3)项的系数最大的项和系数最小的项； (4)二项式系数的和； (5)各项系数的和．考点展开式中系数的和问题题点二项展开式中系数的和问题解 (1)二项式系数最大的项为中间两项：T 6＝－C 511x 6y 5，T 7＝C 611x 5y 6.(2)(x －y )11展开式的通项为T k ＋1＝C k 11x11－k (－y )k ＝C k 11(－1)k x 11－k y k ， ∴项的系数的绝对值为|C k 11·(－1)k |＝C k11，∴项的系数的绝对值等于该项的二项式系数，其最大的项也是中间两项，T 6＝－C 511x 6y 5，T 7＝C 611x 5y 6. (3)由(2)知中间两项系数绝对值相等，又∵第6项系数为负，第7项系数为正，故项的系数最大的项为T 7＝C 611x 5y 6，项的系数最小的项为T 6＝－C 511x 6y 5. (4)展开式中，二项式系数的和为C 011＋C 111＋C 211＋…＋C 1111＝211.(5)令x ＝y ＝1，得展开式中各项的系数和为C 011－C 111＋C 211－…－C 1111＝(1－1)11＝0.1．观察图中的数所成的规律，则a 所表示的数是( )A ．8B ．6C ．4D ．2考点二项式系数的性质题点与杨辉三角有关的问题答案 B解析由题图知，下一行的数是其肩上两数的和，所以4＋a ＝10，得a ＝6. 2．(1＋x )2n ＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是( )A ．n ，n ＋1B ．n －1，nC ．n ＋1，n ＋2D ．n ＋2，n ＋3考点展开式中系数最大(小)的项问题题点求展开式中二项式系数最大(小)的项答案 C解析 2n ＋1为奇数，展开式中中间两项的二项式系数最大，分别为第⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋1－12＋1项，第⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋1＋12＋1项，即第n ＋1项与第n ＋2项，故选C.3．已知⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋33x n 展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7考点二项式系数的性质题点二项式系数与项的系数问题答案 C解析令x ＝1，各项系数和为4n，二项式系数和为2n，故有4n2n ＝64，所以n ＝6.4．设(－3＋2x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3的值为________．考点展开式中系数的和问题题点二项展开式中系数的和问题答案－15解析令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1.① 又T k ＋1＝C k4(－3)4－k(2x )k，∴当k ＝4时，x 4的系数a 4＝16.② 由①－②得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＝－15.5．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋2x n的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，则展开式中二项式系数最大的项的系数为________．考点展开式中系数的和问题题点多项展开式中系数的和问题答案358解析由C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝37，得1＋n ＋12n (n －1)＝37，解得n ＝8(负值舍去)，则第5项的二项式系数最大，T 5＝C 48×144×(2x )4＝358x 4，该项的系数为358.1．二项式系数的性质可从杨辉三角中直观地看出．2．求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定．一般地对字母赋的值为0,1或－1，但在解决具体问题时要灵活掌握． 3．注意以下两点：(1)区分开二项式系数与项的系数．(2)求解有关系数最大时的不等式组时，注意其中k ∈{0,1,2，…，n }．一、选择题1．如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a ，b 是某行的前两个数，当a ＝7时，b 等于( )A ．20B ．21C ．22D ．23 考点二项式系数的性质题点与杨辉三角有关的问题答案 C解析根据观察可知，每一行除开始和末尾的数外，中间的数分别是上一行相邻两个数的和，当a ＝7时，上面一行的第一个数为6，第二个数为16，所以b ＝6＋16＝22.2．若⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋1x 2n (n ∈N *)的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项为( )A ．210B ．252C ．462D ．10考点二项展开式中的特定项问题题点求二项展开式的特定项答案 A解析由于展开式中只有第6项的系数最大，且其系数等于其二项式系数，所以展开式项数为11，从而n ＝10，于是得其常数项为C 610＝210.3．已知关于x 的二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋a 3x n 展开式的二项系数之和为32，常数项为80，则a 的值为( ) A ．1 B ．±1 C．2 D ．±2考点展开式中系数的和问题题点二项展开式中系数的和问题答案 C解析由条件知2n ＝32，即n ＝5，在通项公式T k ＋1＝C k 5(x )5－k ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 3x k ＝C k 5a k 1556k x -中，令15－5k ＝0，得k ＝3.所以C 35a 3＝80，解得a ＝2.4．(x －1)11的展开式中，x 的奇次幂的系数之和是( ) A ．2 048 B ．－1 023 C ．－1 024 D ．1 024 考点展开式中系数的和问题题点二项展开式中系数的和问题答案 D解析 (x －1)11＝a 0x 11＋a 1x 10＋a 2x 9＋…＋a 11，令x ＝－1，则－a 0＋a 1－a 2＋…＋a 11＝－211，① 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝0，② ②－①2＝a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 10＝210＝1 024. 5．若x 10＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 10(x －1)10，则a 8的值为( ) A ．10 B ．45 C ．－9 D ．－45考点二项式定理题点逆用二项式定理求和、化简答案 B解析 x 10＝[1＋(x －1)]10＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 10(x －1)10，∴a 8＝C 810＝C 210＝45. 6．设⎝⎛⎭⎪⎫5x －1x n的展开式的各项系数和为M ，二项式系数和为N ，若M －N ＝240，则展开式中x 的系数为( )A ．－150B ．150C ．300D ．－300 考点二项展开式中的特定项问题题点求二项展开式特定项的系数答案 B解析由已知条件4n －2n＝240，解得n ＝4，T k ＋1＝C k4(5x )4－k·⎝⎛⎭⎪⎫－1x k ＝(－1)k 54－k C k4342k x -，令4－3k2＝1，得k ＝2，所以展开式中x 的系数为(－1)2×52C 24＝150.7．已知(2x －1)n 二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，则C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C nn 的值为( ) A ．28B ．28－1C ．27D ．27－1考点展开式中系数的和问题题点二项展开式中系数的和问题答案 B解析设(2x －1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，且奇次项的系数和为A ，偶次项的系数和为B . 则A ＝a 1＋a 3＋a 5＋…，B ＝a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋…. 由已知可知，B －A ＝38.令x ＝－1，得，a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a n (－1)n ＝(－3)n，即(a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋…)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋…)＝(－3)n，即B －A ＝(－3)n .∴(－3)n ＝38＝(－3)8，∴n ＝8. 由二项式系数性质可得，C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n ＝2n －C 0n ＝28－1.8．关于下列(a －b )10的说法，错误的是( ) A ．展开式中的二项式系数之和是1 024 B ．展开式的第6项的二项式系数最大 C ．展开式的第5项或第7项的二项式系数最大 D ．展开式中第6项的系数最小考点二项式系数的性质题点二项式系数与项的系数问题答案 C解析由二项式系数的性质知C 010＋C 110＋C 210＋…＋C 1010＝210＝1 024，故A 正确．二项式系数最大的项为C 510，是展开式的第6项，故B 正确．由展开式的通项为T k ＋1＝C k 10a 10－k(－b )k ＝(－1)k C k 10a10－k b k知，第6项的系数－C 510最小，故D 正确．二、填空题9．已知(1＋x )10＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a 11x 10，若数列a 1，a 2，a 3，…，a k (1≤k ≤11，k ∈Z )是一个单调递增数列，则k 的最大值是________．考点二项式系数的性质题点利用二项式系数的性质进行计算答案 6解析 (1＋x )n 展开式的各项系数为其二项式系数，当n ＝10时，展开式的中间项第六项的二项式系数最大，故k 的最大值为6.10．在⎝⎛⎭⎪⎫1x＋31x 3n 的展开式中，所有奇数项系数之和为1 024，则中间项系数是________．考点二项展开式中的特定项问题题点求二项展开式特定项的系数答案 462解析 ∵二项式的展开式中所有项的二项式系数和为2n ，而所有偶数项的二项式系数和与所有奇数项的二项式系数和相等，故由题意得2n －1＝1 024，∴n ＝11，∴展开式共12项，中间项为第六项、第七项，其系数为C 511＝C 611＝462.11．若x 4(x ＋3)8＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 12(x ＋2)12，则log 2(a 1＋a 3＋…＋a 11)＝_____.考点展开式中系数的和问题题点二项展开式中系数的和问题答案 7解析令x ＝－1，∴28＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＋a 12.令x ＝－3，∴0＝a 0－a 1＋a 2－…－a 11＋a 12，∴28＝2(a 1＋a 3＋…＋a 11)，∴a 1＋a 3＋…＋a 11＝27，∴log 2(a 1＋a 3＋…＋a 11)＝log 227＝7.三、解答题12．设(2－3x )100＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 100·x 100，求下列各式的值．(1)求a 0；(2)a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 100；(3)a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99；(4)(a 0＋a 2＋…＋a 100)2－(a 1＋a 3＋…＋a 99)2；(5)|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 100|.考点展开式中系数的和问题题点二项展开式中系数的和问题解 (1)令x ＝0，则展开式为a 0＝2100.(2)令x ＝1，可得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100，①所以a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100－2100.(3)令x ＝－1，可得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 100＝(2＋3)100.②与①式联立相减得a 1＋a 3＋…＋a 99＝(2－3)100－(2＋3)1002. (4)由①②可得，(a 0＋a 2＋…＋a 100)2－(a 1＋a 3＋…＋a 99)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100)(a 0－a 1＋a 2－…＋a 100)＝(2－3)100·(2＋3)100＝1.(5)|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 100|，即(2＋3x )100的展开式中各项系数的和，在(2＋3x )100的展开式中，令x ＝1，可得各项系数的和为(2＋3)100.13．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m x n展开式的二项式系数之和为256. (1)求n ；(2)若展开式中常数项为358，求m 的值； (3)若(x ＋m )n 展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m 的取值情况．考点二项展开式中的特定项问题题点由特定项或特定项的系数求参数解 (1)二项式系数之和为2n＝256，可得n ＝8.(2)设常数项为第k ＋1项，则T k ＋1＝C k 8x 8－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫m x k ＝C k8m k x 8－2k ，故8－2k ＝0，即k ＝4，则C 48m 4＝358，解得m ＝±12. (3)易知m >0，设第k ＋1项系数最大．则⎩⎪⎨⎪⎧ C k 8m k ≥C k －18m k －1，C k 8m k ≥C k ＋18m k ＋1，化简可得8m －1m ＋1≤k ≤9m m ＋1. 由于只有第6项和第7项系数最大，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 4<8m －1m ＋1≤5，6≤9m m ＋1<7，即⎩⎪⎨⎪⎧ 54<m ≤2，2≤m <72. 所以m 只能等于2.四、探究与拓展14．设(3x －2)6＝a 0＋a 1(2x －1)＋a 2(2x －1)2＋…＋a 6(2x －1)6，则a 1＋a 3＋a 5a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝________. 考点展开式中系数的和问题题点二项展开式中系数的和问题答案－6365解析令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 6＝1，令x ＝0，得a 0－a 1＋a 2－…＋a 6＝64，两式相减得2(a 1＋a 3＋a 5)＝－63，两式相加得2(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)＝65，故a 1＋a 3＋a 5a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－6365. 15．已知(3x ＋x 2)2n 的展开式的系数和比(3x －1)n 的展开式的系数和大992，求⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 2n 的展开式中： (1)二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项．考点展开式中系数最大(小)的项问题题点求展开式中系数最大(小)的项解由题意得22n －2n ＝992，解得n ＝5.(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 10的展开式中第6项的二项式系数最大，即T 6＝C 510·(2x )5·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 5＝－8 064. (2)设第k ＋1项的系数的绝对值最大，则T k ＋1＝C k 10·(2x )10－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x k ＝(－1)k ·C k 10·210－k ·x 10－2k . ∴⎩⎪⎨⎪⎧ C k 10·210－k ≥C k －110·210－k ＋1，C k 10·210－k ≥C k ＋110·210－k －1，得⎩⎪⎨⎪⎧ C k 10≥2C k －110，2C k 10≥C k ＋110，即⎩⎪⎨⎪⎧ 11－k ≥2k ，2(k ＋1)≥10－k .∴83≤k ≤113，k ∈N ，∴k ＝3，故系数的绝对值最大的是第4项T 4＝(－1)3C 310·27·x 4＝－15 360x 4.。

高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-3 1.3.2 杨辉三角》45

抚顺市学校：清原高中姓名：帅万平1.3.2杨辉三角一、教材分析1．“杨辉三角”的内涵实际上就是二项式系数的性质，其内容丰富，值得学生深入探讨。

对于杨辉三角所蕴含的规律，学生不难发现，而难点就在于如何把学生通过观察发现的规律进行归纳，进而推理论证，揭示其数学本质。

本节课利用了转化和化归的数学思想，把对观察得到的规律的证明化归为组合数性质的应用上。

2．本节课的教学内容属于事实性知识，其特点是易懂难记，难于上升到理性的解释。

3．本节课是在学生学习了两个计数原理、组合及组合数的性质的基础上，又具体学习了二项式定理、二项式系数等概念的基础上进行的。

4。

从知识发生发展过程的角度上看，学生可以从直观上很好地观察发现杨辉三角中蕴含的数字规律，在老师适当的点拨下，学生能很自然地联系到上位知识，即组合数的性质与二项式系数的联系，通过师生合作完成知识发展过程的探究，这符合学生的认知规律，也体现了互助学习的价值观教育。

二、学情分析1 知识方面学生已掌握了组合及组合数的性质，这是突破本节课难点的基础。

2 能力方面在初中甚至小学，学生都在不同程度上进行过数字规律探究方面的活动，到了高中阶段，学生已经具备了更为理性的思考，对发现的规律能够尝试证明。

对于高二的学生来说，基本接触了高中阶段常见的四种数学思想方法，即函数与方程，转化和化归，分类讨论以及数形结合的思想方法。

根据上述教材分析与学情分析，立足学生的认知水平，制定如下教学目标和重、难点三、教学目标1、知识与技能：掌握二项展开式中的二项式系数的基本性质及其推导方法。

2、过程与方法：通过对杨辉三角中蕴含的数字规律的初步探究，培养学生发现问题、提出问题、经过分析——猜想——证明以后解决问题的能力，激励学生自主创新。

通过从不同的角度观察杨辉三角，培养学生要从多角度看问题的意识，提高学生解决实际问题的能力。

3、情感、态度与价值观：鼓励学生在学习中学会交流、合作，培养学生团结协作的精神。

高中数学第一章计数原理 1.3.2 杨辉三角教案新人教B版选修2-3(2021年整理)

辽宁省本溪满族自治县高中数学第一章计数原理 1.3.2 杨辉三角教案新人教B 版选修2-3三角辽宁省本溪满族自治县高中数学第一章计数原理 1.3.2 杨辉三角教案新人教B 版选修2-3编辑整理：绩进步，以下为辽宁省本溪满族自治县高中数学第一章计数原理 1.3.2 杨辉三角教案新人教B 版选修2-3的全部内容。

重点难点重点：理解杨辉三角的意义，掌握二项式系数的性质并会应用。

难点：二项式系数性质的应用.教法尝试、变式、互动教具教学过程设计教学过程设计教材处理师生活动三、随堂练习1。

填空：设()887871031...x a x a x a x a -=++++则（1）871...a a a +++= ；（2）876543210a a a a a a a a a -+-+-+-+= ；（3）876543210a a a a a a a a a ++++++++= ；（4）86420a a a a a ++++= ; （5）7531a a a a +++= ; 2.求1351111111111...C C C C ++++3。

3512nx x --⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的所有奇数项的系数和等于1024，求展开式中二项式系数最大项。

4.求()()()23111a b c +++展开式的各项系数和。

8。

用二项式定(1）()11n n +- (2）10991-能附加.设(13x -01..a a a +++板书设计:教学过程设计教材处理师生活动5。

填空：（1）已知591515,,C a C b ==那么1016C = ; （2）当n 为偶数时，()n a b +展开式中，二项式系数最大项是第项；当n 为奇数时,()n a b +展开式中,二项式系数最大项是第项；（3)在()92x -的展开式中，二项式系数最大项为 .6．求 ()131x -的展开式中的含x 的奇次项系数的和. 7. 已知331n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，只有第6项的系数最大，求展开式中的常数项。