振动理论09(1)-多自由度系统
第三章(多自由度系统的振动)
x
x1 1
节点
x3 1
3 2
k m
x2 1
理解固有振型
理解固有振型
理解固有振型
返回
固有振型的正交性
1.固有振型的归一化
2 r 1 3 2 r 1 3
都是固有振型向量 ① 按某一自由度的幅值归一化
( K 2 M ) 0
1 1 1 2 1 1
有非零
det( K 2 M ) 0
1
k (1 2 )k , 2 m m
多自由度系统的固有振动
u1 k1 m1 k2 m2 u2 k3
固有振动：
k (1 2 ) k 1 1 u1 (t ) sin t 2 m t 1 , u2 (t ) 1 sin m 1
固有振型的正交性
加权正交性的简洁表示
T r M s 0, r s
M s M r , r s
T r
rT M s M r rs
rs
def
1, r s 0, r s
rT K s 0, r s
rT K s K r , r s
【问题】在已知固有频率求固有振型时,所得到的N个线性方程中有几个是独
立的?
( K r2 M ) r 0
结论: 当 r 不是特征方程的重根时,上述方程只有N-1个方程是独立的(见 <<振动力学>>刘延柱第74页).
多自由度系统的固有振动
【例】设图中二自由度系统的物理参为 m1 m2 m, k 1 k 3 k , k 2 k , 0 1 ,确定系统的固有振动.
多自由度系统振动(a)
振动对系统的影响
振动可能导致系统性能下降，如机械 零件磨损、设备失效等。
振动可能引发安全问题，如桥梁垮塌 、建筑物倒塌等。
多自由度系统振动的研究意义
多自由度系统振动是研究复杂振动现象的重要手段，有助于 深入了解振动本质。
研究多自由度系统振动有助于解决实际工程中的振动问题， 提高系统稳定性和可靠性。
传递矩阵法
总结词
传递矩阵法是一种通过建立系统的传递矩阵来描述系统的动态特性的方法。
详细描述
传递矩阵法的基本思想是通过建立系统的传递矩阵来描述系统的动态特性，其 中传递矩阵包含了系统各元素之间的相互作用关系。这种方法适用于线性时不 变系统，能够方便地处理多自由度系统的振动问题。
模态叠加法
总结词
模态叠加法是一种通过将系统的振动表示为若干个模态的线性组合，然后对每个 模态分别进行分析的方法。
多自由度系统振动(a)
• 引言 • 多自由度系统振动的基本理论 • 多自由度系统振动的分析方法 • 多自由度系统振动的控制策略 • 多自由度系统振动的应用实例 • 结论与展望
01
引言
振动现象的普遍性
01
振动是自然界和工程领域中普遍 存在的现象，如机械运转、地震 、建筑结构等。
02
振动可以由多种因素引起，如外 部激励、内部干扰等。
03
多自由度系统振动的分析方法
有限元法
总结词
有限元法是一种将连续的弹性体离散为有限个小的单元体的组合，通过求解每个单元的力学特性，进而得到整个 弹性体的振动特性的方法。
详细描述
有限元法的基本思想是将复杂的振动问题分解为若干个简单的子问题，通过求解这些子问题，再将这些解组合起 来得到原问题的解。这种方法能够处理复杂的边界条件和材料属性，适用于各种形状和大小的物体，具有很高的 灵活性和通用性。
《振动理论》课件
振动控制通过控制振动源和结构减少振动对系统的影响其他应用领域
振动理论在航空航天、车辆工程和建筑工程等领域 中有广泛应用
总结
• 振动理论在工程领域中具有重要的应用价值 • 随着科学技术的发展，振动理论仍在不断完善和优化 • 未来的发展趋势包括更精确的模拟和更高效的数值计算方法
2 混沌和奇异吸引子
非线性系统的振动可能表现出混沌和奇异吸 引子行为
3 周期倍增
周期倍增是非线性振动出现周期性振幅倍增 现象
4 分岔与现象分析
分岔是非线性系统参数变化时振动解的结构 突变现象
应用实例
振动传感器
用于测量和监测机械设备振动状态的传感器
振动测量及分析
通过振动测量和分析了解设备运行状态和故障诊断
《振动理论》PPT课件
振动理论是研究物体在特定条件下的振动现象及其应用的学科。本课件将介 绍振动理论的基本概念、解析解和数值解法，以及其在实际应用中的重要性。
概述
• 振动理论是研究物体在特定条件下的振动现象及其应用 • 常见的振动现象包括机械振动、声学振动和电子振动等 • 振动理论的应用广泛，涵盖领域包括建筑工程、机械制造和航天航空等
单自由度振动
定义及简介
单自由度振动是指系统中只有一个自由度参与振 动的情况
阻尼、弹性及质量对运动的影响
阻尼、弹性系数和质量是影响振动运动特性的重 要参数
系统模型及运动方程
用微分方程描述单自由度振动系统的运动
解析解及其特点
解析解提供了一种可精确计算振动响应的方法
多自由度振动
1
定义及简介
多自由度振动研究系统中具有多个自由
系统模型及运动方程
2
度参与振动的情况
用一组微分方程描述多自由度振动系统
第三章-多自由度系统振动6.19
第三章 多自由度系统振动多自由度系统和单自由度系统的振动特性是有区别的。
单自由度系统受初始扰动后，按系统的固有频率作简谐振动。
多自由度系统有多个固有频率，当系统按某一个固有频率作自由振动时，各独立坐标在振动过程中相互关系是固定的，这个关系叫振幅比，也叫作主振型或模态。
主振型是多自由度系统以及弹性体振动的重要特征。
多自由度系统的振动方程是多个二阶微分方程组，这些方程一般是耦合的。
多自由度振动的求解有两种方法：直接积分法和振型叠加法。
直接积分法可直接根据微分方程求出响应，涉及的概念不多且有应用软件，本章不做介绍。
振形叠加法要先求出系统的固有频率和振型，在此基础用叠加法求响应，物理概念清楚、并且是模态分析与参数识别的理论基础。
因此本章将先用较多的篇幅介绍多自由度系统的固有振动特性、振型叠加法和传递函数。
3.1 振动微分方程虽然一些多自由度系统数目较多，有些相当复杂，但建立多自由度系统振动微分方程并没有新理论和方法，都是动力学基本理论和方法，本节只通过例题介绍多自由度系统振动微分方程基本形式。
[例一] 试建立图3-1所示3自由度系统的运动微分方程。
三个质量只作水平方向的运动，并分别受到激振力()t P 1，()t P 2和()t P 3的作用，质量块的质量分别为1m ，2m 和3m ，弹簧刚度分别为1k ，2k 3k 和4k ，阻尼分别为1c ，2c 3c 和4c 。
图3-1 3自由度系统解：分别用三个独立坐标1x ，2x 和3x 描述三个质量块的运动，坐标原点分别取在1m ，2m 和3m 的静平衡位置。
质量块的速度分别为1x，2x 和3x ，加速度分别为1x，2x 和3x 。
每个质量块的受力图如3-2（a 、b 、c ）所示，则由受力图根据牛顿第二定律，得系统的运动方程为：图3-2 (a) 图3-2(b)图3-2(c))()()(1212112121111t P x x c x c x x k x k xm +------= )()()()()(232321232321222t P x x c x x c x x k x x k x m +---+---= )()()(3343233432333t P x c x x c x k x x k xm +--+--= 或)()()(1221212212111t P x k x k k x c x c c xm =-++-++ )()()(23323212332321222t P x k x k k x k x c x c c x c x m =-++--++- )()()(3343233432333t P x k k x k x c c x c xm =++-++- 上述方程组可以用矩阵表示为：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+--++⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+--++⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡)()()(000032132143333222213214333322221321321t P t P t P x x x k k k k k k k k k k x x x c c c c c c c c c c x x x m m m三个二阶微分方程是耦合的，这是因为矩阵中有非零的非对角元素。
第六讲 多自由度振动系统-拉格朗日与影响系数法
只考虑静态：
k11 k1 k2 , k21 k2 , k31 0
只考虑动态 ：
1 1 x
m21
m31
由受力分析得知，为维持这种状态 ，在各个坐标上施加 的力应是：
m11 1,
m21 0
m31 0
[0 1 0] x m12 0,
Qi i 1,2,3,, n L T U
拉格朗日函数
系统非有势力的广义力
系统势能
系统动能
1 1 2 2 T m1 x1 m2 x2 2 2
1 2 1 1 2 2 U k1 x1 k2 ( x1 x2 ) k3 x3 2 2 2
L T U
L L k1 x1 k2 ( x1 x2 ) k2 ( x2 x1 ) k3 x3 x1 x2 L L m11 x m2 2 x x1 x2
L L m11 k1 x1 k2 ( x1 x2 ) 0 x x1 x1 L L m2 2 k2 ( x2 x1 ) k3 x3 0 x x2 x2
L L m11 k1 x1 k2 ( x1 x2 ) 0 x x1 x1 L L m2 2 k2 ( x2 x1 ) k3 x3 0 x x2 x2
x [ x1 x j 1
xj
x j 1 xn ]T
T
0 0 1 0 0
Kx P , x 0 0 1 0 0
T
k11 k 21 P kn1
k1 j k2 j knj
0 k1n k1 j 0 k k2 n 2 j 1 0 knn knj 0
频率分裂原理相关书籍
关于频率分裂原理的研究，通常涉及到物理学中的振动理论、波动理论以及相关的数学方法。
这个概念在机械工程、物理学和电子工程等领域中都有应用。
以下是一些可能会涉及到频率分裂原理或相关内容的书籍：1. 《振动理论》（Mechanical Vibrations）- S. Rao这本书详细介绍了振动理论的基础知识，包括单自由度系统、多自由度系统、连续系统的振动分析等内容，可能会涉及到频率分裂的概念。
2. 《波动物理》（The Physics of Waves）- Howard Georgi波动物理是频率分裂现象的理论基础，本书将帮助你理解波动的基本概念，以及频率如何在不同的物理环境中发生变化。
3. 《应用谐振理论》（Applied Resonance Theory）- 不同作者这类书籍通常会讨论共振现象，其中可能包含频率分裂原理的内容，尤其是在探讨系统的自然频率和受迫频率时。
4. 《固体物理学》（Solid State Physics）- Ashcroft & Mermin对于材料科学和凝聚态物理感兴趣的读者，这本经典教材提供了晶体结构、电子性质、晶格振动等方面的深入讨论，其中晶格振动部分可能会讨论到频率分裂现象。
5. 《非线性振动》（Nonlinear Vibrations）- 不同作者当系统的振动行为偏离线性时，可能会出现复杂的频率分裂现象，这类书籍将讨论非线性系统的动力学行为。
6. 《电磁波理论与应用》（Electromagnetic Waves & Applications）- 不同作者在电磁学领域，频率分裂可能与波导、腔体和天线的设计相关，这类书籍可能会涉及到相关的理论和应用。
7. 《量子力学》（Quantum Mechanics）- 不同作者在量子力学中，能级分裂是一个重要概念，它与频率分裂有着密切联系。
这类书籍会讨论量子系统的性质和测量结果，其中可能包括频率分裂的量子版本。
请注意，以上推荐的书籍可能需要一定的物理学和数学背景才能充分理解。
振动 冲击及噪声测试技术09-模态分析PPT
八 、模态分析系统
► 反映了模态参数k、m、g、φ、 ω与H (ω)之间的关
系 ，是参数识别的基本公式
►如果H (ω)的值足够多 ，便可以求得系统的各个模
态参数
七 、模态参数识别
是一种系统识别技术
识别步骤：
（ 1）模态试验，测量导纳 Hlp (ω)
（2）根据实测导纳值求出结构的模态参数
ωi 、mi 、ki 、ci 、φli 、 （3） 由模态参数φ求pi 出相应的物理模型参数
第九讲 、模态分析基本原理
将复杂的多自由度系统模态分解为若干 个单自度系统模态来分析 ，是一种重要 的分析方法
一 、理论基础
► 物理模型： 又称空间模型 ，用质量 、刚度和阻尼特性描述结构 的物理特性
► 模态模型： 即振动模态（振型） ，一组固有频率以及对应的振 型和模态阻尼因子
► 响应模态： 即响应特性 ，结构在标准激励下的响应 ，一般是指 一组频率响应函数
F (f2) 2阶主模态
3 、模态质量矩阵
共振时的运动方程 其中［M］称为模态质量矩阵 ，q称为模态坐标 广义坐标系与模态坐标间的关系为
可见模态质量与结构质量是不一样的
3 、模态刚度与各阶共振频率
模态刚度矩阵
系统特征值(共振频率) 系统坐标系的变换不会改变系统的特征值
四 、粘性阻尼系统的模态
阻尼振动系统是强迫振动系统 对于粘性阻尼系统 ，其运动方程为
1 、物理模型和模态模型
物理模型mk1Fra bibliotek模态模型 2
模态模型 1
模态模型 3
2、单自度系统的响应模型 Ⅰ
位移导纳
2 、单自度系统的响应模型Ⅱ
奈奎斯特图
位移图
速度图
机械振动基础--第四章--多自由度系统PPT课件
.
5
例 4.1 求图示的简化的汽车4自由度模型的刚度矩阵。
解：取yA,yB,y1,y2为描述系统运动的广义坐标，即 {x}={yA,yB,y1,y2}T
各个自由度原点均取静平衡位置，向上为正。
.
6
(1) 求[K]的第一列：设yA沿坐标正方向有一个单位位 移，其余广义坐标位移为零，则只有k2被伸长，此时： 外力{f}=???
x2 ) c3 x2
[M ]{x} [C]{x} [K]{x} {F(t)}
.
1
本章内容：
1) 多自由度系统振动的基本理论，多自由度系统的固有 频率和振型的理论；
2) 分析多自由度系统动力响应常用的振型迭加方法； 3) 用变换方法求多自由度系统动力（态）响应的问题。
.
2
§4.1 运动微分方程
kij
2U xix j
2U x jxi
k ji
质量矩阵、阻尼矩阵和刚度. 矩阵均是对称矩阵。 9
针对本例：系统的动能为杆的平动 动能和转动动能与两个质量的动能 之和，设杆的质心在杆的中点，质 量为M。系统的动能为：
ET
M 2
y A
2
yB
2
I 2
yB
L
y A
2
1 2
m1 y12
1 2
在静力学中，各自由度的位移{x}、系统的刚度矩阵[K]、 各自由度上所受到的外力关系为：
{ f } [K]{x}
——如系统第j个自由度沿其坐标正方向有一个单位位移， 其余各个自由度的位移保持为零，为保持系统这种变形状 态需要在各个自由度施加外力，其中在第i个自由度上施 加的外力就是kij。
.
4
系统第j个自由度有一个正向单位位移，其余自由度位移 为零这种变形状态可以由向量{x}＝{ej}描述。
多自由度振动系统的数值方法
一、杆的纵向振动
x
dx
杆单位体积质量为 ，杆长为l ,截面积为A， 应变
( x) ，纵向张力为 P ( x)
ε ( x) u
P( x) AEε AE u x x
，则
在 x dx 截面处张力为
2 P u P dx EA( u dx) 2 x x x
Y '' (l ) 0
C3 C1
C4 C2
(chl cos l )C1 (shl sin l )C2 0
(shl sin l )C1 (chl cos l )C2 0
精品课件！
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特征方程
cos l chl 1
2 2u 2 u VP 2 2 t z
(1)
u u(C1cosωn t C2 sinωn t)
VP－桩身材料的[纵波]波速(m/s) C1、C2由桩顶桩端的边界条件（见下）确定： 摩擦桩：
u | z 0 0, u | z l 0 z
端承桩：
u u | z 0 0, | z l 0 z z
• 试验设备
手锤、黄油 传感器、导线 基桩低应变分析仪、显示器
试验方法
黄油、传感器、手锤、获得波形（时域）曲线。
资料整理
直接由显示器得波形（时域）曲线（或其积分－ 频 域曲线），只要分析该曲线即可，无需进一步整理。
二. 弦振动
若横波在张紧的弦线上沿 x轴正方向传播， 我们取 AB ds 的微分段加以讨论（见图）。 设弦线的线密度（即单位长质量）为 ，则 此微分段弦线的质量为 ds 。在A、B处受到 T2 ，其方向为沿 左右邻段的张力分别为 T1 、 2 角。 弦线的切线方向与x轴交成 1 、
第三章 多自由度系统振动
U = U ( q1 , q2 ,..., qn )
通常将静平衡位置作为势能零点， 并且以静平衡 通常将静平衡位置作为势能零点， 位置为坐标原点。 位置为坐标原点。 我们研究的是在静平衡位置附 近的微振动， 近的微振动，则将 U 在静平衡位置作泰勒展开有
∂U U = U0 + ∑ i =1 ∂qi
0
q
对应的广义力，阻尼力，耗散力。 对应的广义力，阻尼力，耗散力。系统的第 k 个 质点受到的阻尼力
& Rk = − β k ⋅ rk
与势能形式上对应存在一个耗散函数
m n 1 ∂rk dqi n ∂rk dq j 1 & & Φ = ∑ β k ⋅ rk ⋅ rk = ∑ β k ⋅ ∑ ⋅ ⋅∑ ⋅ dt j =1 ∂q j dt k =1 2 k =1 2 i =1 ∂qi
kn 2 − mn 2ωi2 ) ⋅ ϕ 2i + ... + ( knn − mnnωi2 ) ⋅ ϕ ni = ( mn1ωi2 − kn1 ) ϕ1i (
n − 1 个方程，n − 1 未知数， 个方程， 未知数， 最终可求出 ϕ2i ,..., ϕni 用 ϕ1i
表示，其余都与其成一定比例。 表示，其余都与其成一定比例。 与其成一定比例
系统的能量等于各阶主振动的能量之和不同阶之间能量不发生变换每一阶主振动的动能和势能在内部交换总和保持常数34多自由度系统的受迫振动mxcxkx1特征值分析求出无阻尼的各阶固有频率和各阶主振型2模态叠加方法分解解耦期望阻尼阵也和mk一样具有正交性即如果这样就可以使用模态叠加法进行解耦分析求解
结 构 动 力 学
1 n n ∂ 2U U = ∑∑ 0 qi q j 2 i =1 j =1 ∂qi ∂q j ， 令
多自由度系统振动
的方法。
传递矩阵法适用于线性时不变系 统，能够处理多自由度系统的振
动问题，计算效率较高。
传递矩阵法的精度取决于系统参 数和边界条件的准确性，对于复 杂系统和非线性问题，需要采用
其他方法进行求解。
模态叠加法
模态叠加法是一种基于模态展开的数值 计算方法，通过将系统的振动表示为一 系列模态的线性组合，求解每个模态的
振动方程，得到系统的动态特性。
模态叠加法适用于线性时不变系统，能 够处理多自由度系统的振动问题，计算
精度较高。
模态叠加法需要选择合适的模态数目和 模态提取方法，对于大规模系统和复杂
未来研究方向
深入研究多自由度系统振动的 非线性特性，探索更精确的数
学模型和数值模拟方法。
针对复杂多自由度系统，研究 多因素耦合振动和多场耦合振
动的理论和方法。
发展多自由度系统振动主动控 制和智能控制技术，提高系统 振动控制精度和响应速度。
将多自由度系统振动理论应用 于实际工程领域，解决重大装 备和结构的振动问题，提高其 稳定性和安全性。
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02
它涉及到多个振动子之间的相互 作用和耦合，其动力学行为比单 自由度系统更为复杂。
研究背景和意义
随着科技的发展，多自由度系统在许多领域中得到了广泛应用，如大型机械装备、 精密仪器、高层建筑等。
由于多自由度系统在受到外部激励或内部参数变化时，会产生复杂的振动行为，这 不仅会影响系统的性能和稳定性，还可能引发安全问题。
航天器振动控制
总结词
多自由度线性微幅振动系统简正坐标的一般求法
图 1 三质点振动系统
此力学系统的动能为
其中
T
=
m 2
q21 + q22 + q23
qi = x i - x i0 ( i = 1 ,2 ,3)
势能为
V
=
k 2
q2 -
q1
2
+
k 2
q3 - q2 2
方法一 :用 2. 1 中的方法一 ,有
k -k 0
B = - k 2k - k
0 -k k 由
类似 2. 1 节中的方法二 ,由 det H = 0 求得特征频率
的平方
λ i
,写出频率特征矩阵的伴随矩阵
Ha 的任
一列
,将各
λ i
代入该列中
,运用归一化条件式
(
11
)
和式 aααqα =εα ,可直接写出简正坐标 xα与 qα 的关
系 (具体算法见算例) .
3 算例
例 1 如图 1 所示 ,三质点用两根相同的轻弹 簧相连 ,在水平直线上作微振动 ,且 m 1 = m 2 = m 3 = m ,求其简正坐标.
s
6 T =
1 2
εα2
α= 1
2
T
表示
s
维εi 坐标下的球
,
各
ε i
轴
为
动
能
球
的
主
轴. 在此坐标系下 ,势能可表示成
其中 :
V
=
1 2
εB′ε
ε= ε1 ε2
…
ε s
b11Πa b12Πa … b1sΠa
B′=
b21Πa ⁝
b22Πa ⁝
… b2sΠa ⁝
振动理论
P k1 j 1 P2 k 2 j ⋮ = ⋮ P= P k n nj 可知：刚度矩阵 K中的元素 kij 是系统仅在第 j个 坐标上产生单位位移时 ，在第 i个坐标上所需 施加的力。
第四章 多自由度系统的振动
n自由度系统有n个固有频率 主振动：系统按任意一个固有频率作自由振动时， 主振动 系统的同步运动。 主振型： 主振型：系统作主振动时所具有的振动形态。 模态 主坐标： 主坐标：在初始干扰下，系统的自由振动是n个主 振动的叠加，对于特殊选取的n个广义坐 标，系统运动微分方程坐标之间的耦合。 振型叠加法： 振型叠加法：
由几何关系知： xD = xC − eθ C θ D = θC 矩阵形式： x = Dy P 与P的关系： M C = −ePD + M D T T −1 矩阵形式： P = D P ⇒ P = ( D ) P PC = PD 1 − e 其中：D = 0 1
me ɺɺD k1 + k 2 x m ɺ me I + me 2 θɺ + k a − k a C D 2 2 1 1
k 2 a2 − k1a1 xD 2 2 k1a1 + k 2 a2 θ D
Μ ɺɺ + Κ x = Ρ ( t ) x
Μ − 质量矩阵, Κ − 刚度矩阵 n自由度系统： m11 m21 ⋮ m n1 m12 ⋯ m1n ɺɺ1 k11 x m22 ⋯ m2 n ɺɺ2 k 21 x ⋮ + ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ mn1 ⋯ mnn ɺɺn k n1 x ɺ k12 ⋯ k1n x1 P 1 ɺ k 22 ⋯ k 2 n x2 P2 ⋮ = ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ k n1 ⋯ k nn xn Pn ɺ
单自由度及多自由度系统模态分析
R
H I ( )
1 2 k (1 2 )2 4 2 2
• 对于任一，根据上式可计算得到对应的一对HR()、 HI()值，从而得到复平面上的一条矢量。 从0变到∞， 矢端将画出变化过程的轨迹，该轨迹近似为一个圆。（ Nyquist图）
ms qs cs qs ks qs { s }T { f (t )}
• • • • • ms——第s阶模态质量 ks——第s阶模态刚度 cs——第s阶模态阻尼系数 cs ms ks qs——第s阶模态坐标 jt 令 { f (t )} {F }e jt ，则 qs Qs e
• 令 r
r
{X }
r 1
n
kr 1 2 j 2 r
{ r }{ r }T {F }
• 令 Yr
1 kr 1 2 j 2 r
• 频响函数
{X } n [H ] Yr {r }{r }T {F } r 1
N N
线性系统的输入与输出关系
• 根据傅里叶变换时域卷积性质，在时域的卷积在频域应为乘积
x(t ) h(t ) * f (t )
单位力作用下 的系统时域与 频域的响应
X () H () F ()
不同激励下频响函数表达式
• 简谐激励下，频响函数定义为系统的稳态响应幅值与激励的幅值 之比
X H( )F
• 周期激励f(t)（周期为T）作用下，稳态位移响应为周期T的函数 x(t)，都可写为傅里叶级数的形式
f (t ) F (k )e jk0t k 1 T jk0 t F ( ) 2 dt T f (t )e k 2 T
多自由度振动体系的刚度矩阵和柔度矩阵的关系 -回复
多自由度振动体系的刚度矩阵和柔度矩阵的关系-回复多自由度振动体系的刚度矩阵和柔度矩阵是描述振动体系力学特性的重要参数。
它们之间存在着紧密的关系，其互为逆矩阵。
本文将从多自由度振动体系的概念入手，介绍刚度矩阵和柔度矩阵的定义与性质，然后详细阐述它们之间的关系，并给出相关数学推导。
一、多自由度振动体系的概念多自由度振动体系是指具有多个可以相互独立振动的自由度的振动系统。
它可以用于描述如建筑物、桥梁、机械系统等复杂结构的振动问题。
二、刚度矩阵的定义与性质刚度矩阵描述了振动体系中力与位移之间的关系。
设振动体系有n个自由度，其刚度矩阵为K，其元素表示为第i个自由度与第j个自由度之间的刚度系数ki,j。
刚度矩阵是一个n×n的方阵。
刚度矩阵的性质如下：1. 对称性：即ki,j = kj,i。
这是因为刚度系数符合力的平行四边形法则，按照这个法则可以证明刚度矩阵是对称矩阵。
2. 非负定性：刚度矩阵的特征值大于等于0。
三、柔度矩阵的定义与性质柔度矩阵描述了振动体系中位移与力之间的关系。
与刚度矩阵类似，设振动体系有n个自由度，其柔度矩阵为C，其元素表示为第i个自由度与第j个自由度之间的柔度系数ci,j。
柔度矩阵也是一个n×n的方阵。
柔度矩阵的性质如下：1. 对称性：即ci,j = cj,i。
这是因为柔度系数符合位移的平行四边形法则，按照这个法则可以证明柔度矩阵是对称矩阵。
2. 非负定性：柔度矩阵的特征值大于等于0。
四、刚度矩阵和柔度矩阵的关系刚度矩阵和柔度矩阵是互为逆矩阵的关系。
具体而言，如果K为一个振动体系的刚度矩阵，C为其柔度矩阵，那么有以下关系：K⋅C = C⋅K = I其中，I为n阶单位矩阵。
这个关系可以用数学方法进行证明。
5. 数学推导假设存在一个振动体系的柔度矩阵C和刚度矩阵K，满足K⋅C = C⋅K = I。
我们可以通过以下推导得到这个关系：设A = K⋅C，B = C⋅K。
对于矩阵A，其第i行第j列的元素可以表示为：A[i][j] = ∑(K[i][k]⋅C[k][j])，其中k为1到n的取值范围。
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体运动形式：即系统没有弹性变形、离开中性平衡位 置的整体的刚体转动或平动
例：三圆盘转动惯量均为I，中间两段轴的扭转刚度均 为 ，求系统的固有频率及主振型
解：系统的动能为和势能分别为Leabharlann 代入拉格朗日方程，得到振动方程
下式中的 是一个对角矩阵，称为主刚度矩阵
正则振型
主振型列阵表示系统作主振动时各坐标间的幅值的相 对大小
由这样的主振型列阵构成振型矩阵，然后求得主质量 矩阵，其对角元素 各不相等
为方便起见，将各主振型正则化：对于每一阶主振动 ，定义一组特定的主振型－正则振型(Orthonormal mode)，满足
k21 m21 2
k22 m22 2
k2n2 m2n2 2
k2n1 m2n1 2
k2n m2n 2
kn21 m n21 2 kn22 m n22 2
k
n11
m
n11
2
kn12 m n12 2
k n 2 n 2 mn2n2 2 kn1n2 mn1n2 2
1
1
2
2
代入拉格朗日方程
外力虚功之和
P1 x1 m1
P2
P3
x2
x3
m2
m3
集中质量梁振动方程－柔度影响系数法
利用 ’
原理，把惯性力和外力共同作用在质量
上，由柔度影响系数求得变形，从而建立振动微分方程
P1
P2
P3
x1
x2
x3
m1
m2
m3
刚性支座上的无重量杆，杆上三个质量 1、 2、 上的位移分别为 1、 2、 3. 是柔度影响系数
只需要规定其中任何一个坐标的幅值，就可以一般性 地描述主振型的形式
主振动各坐标的幅值组成列阵，称为主振型列阵
振动微分方程和广义坐标
如果选取相同的广义坐标，不同的方法得到的振动微 分方程相同
如果选取不同的广义坐标，不同的方法得到的振动微 分方程的形式可能不同
质量矩阵、刚度矩阵不同 展开成代数方程组是相同的 求解得到的固有频率也是相同的 对应的主振型大小可能不同，但幅值比值相同，因此描绘
0
K
k2
k2 k3
k3
x x1 x2 x3 T x x1 x2 x3 T
0 0 m3 0
k3
k3
P P1 P2 P3 T
振动微分方程的建立－拉格朗日方程
系统的动能 1
2 系统的势能
1
2
当系统具有虚位移d 1, d 2, d 3时，外力虚功之和
⇒
,
,
将上述动能、势能和广义力代入拉格朗日方程
主质量和主刚度
考虑下面的主振型 两边同时左乘行阵 定义
分别称为第j阶主刚度和第j阶主质量，并有
主振型正交性的物理意义
从系统能量的角度考虑
1
1
,
2
2
假如系统同时存在两种主振动
sin
sin
cos
cos
容易证明，考虑主振动的正交性后有(交叉项为零)
,
1
1
,
2
2
系统的动、势能等于各主振动动势能之和
3，向
, ⇒
(同动力学 方法的结果)
固有频率
无阻尼振动的 自由度自由振动微分方程
设解具有下列形式
sin 各质点以相同的频率和相位同步简谐振动
代入微分方程，可得
具有非零解的条件是其系数行列式
特征方程式
考虑在平衡位置附近微小振动的正定系统，上式可 以得到 个大于零的正实根
正则振型
正则振型可以用同阶主振动的任意主振型求出，它们相差 一个常数 1
代入上式有 1 1
所以
正则振型为
1
1
正则振型矩阵
所有 个正则振型 则振型矩阵
列阵依序排在一起构成 的正
正则振型同样满足正交性关系
正则质量矩阵
使用正则矩阵得到的正则质量矩阵是单位矩阵
正则刚度矩阵
用正则振型定义如下正则刚度矩阵 由于
其展开形式为
⋯
⋮
⋮
⋮
⋯
⋮
⋮
⋮
新的主坐标可以看成关于各阶振动形态的广义坐标 原坐标的任意一组位移，都可以看成 组主振型按一定的比例组合而成
，这 个比例因子称为主坐标 主坐标的值反映了各阶主振型分量在原坐标值中的占有成分大小
主坐标
代入上面运动方程,将系统原有坐标变换成新坐标
方程两边再左乘
每阶固有频率都对应一组主振动和主振型
第一阶固有频率对应的主振动称为第一阶主振动， 相应的振型称为第一阶主振型
按固有频率的次序，对应的主振动依次称为第二 阶、第三阶、直到第 阶主振动
主振型列阵
系统作某阶主振动时，各坐标的绝对大小取决于系统 的初始条件
各坐标间的振幅的相对比值只取决于系统的物理性质： 质量矩阵和刚度矩阵
令
，代入振动方程
由特征方程式可得
可以求出三个特征值
把
代入正则坐标的动力学方程
可得
, 是一个可以无限远离平衡位置的
解, 而不是在平衡位置附近作微小振动
把三个特征值代入特征方程，取 为
求得三个振型
，
，
三个特征值依然具有对质量矩阵和刚度矩阵的正交性 ，由
可得
式子两边分别乘以sin
, 3 继续求相应振型，与未缩减坐标时结果相同 半正定系统的每一个零固有频率总对应着系统的一种刚体运动
形式。如果求出不止一个零值的固有频率，说明系统具有不止 一个独立的刚体运动形式。 对于这种具有几个零值的固有频率的情况，仍可以采用前面类 似几个非零值的相等的固有频率的处理方法，求出对应的几个 既独立又正交的主振型。
多自由度体系
自由度数目增大，需要有效的处理方法
与二自由度没有本质的区别 小振幅情况下，方程为耦合的常微分方程组 通常可以用数值方法直接求解 振型叠加法：解耦，低阶振动特性
常用的近似法
瑞利法，里兹法，邓克利法
振动微分方程建立-动力学方法
动力学方法
x1 P1
运用牛顿运动定律，直接
对系统中的质点或物体建 立各自的方程
固有频率相等的情况
当特征方程出现重根的情况时，即系统会有两个或几 个相等的固有频率
求重根频率(假定有两个重根)对应的主振型时，取前
个独立式子，并把它们的最后两项移到等式右端，
对1
求解。
k11 m11 2
k12 m12 2
k1n2 m1n2 2
k1n1 m1n1 2
k1n m1n 2
刚度矩阵对角元素是各阶固有频率的平方值
主坐标
利用振型矩阵把系统质量矩阵和刚度矩阵转变成对角 的主质量矩阵和主刚度矩阵
利用正则振型矩阵把系统质量矩阵和刚度矩阵转变成 主质量矩阵（单位矩阵）和主刚度矩阵（以固有频率 平方为对角元素的对角矩阵）
下面尝试利用正则振型矩阵，简化运动方程
首先定义应用振型矩阵定义一个坐标变换
2的 个根称为特征值， 为多自由度系统的固有频 率
特征矢量
求得各阶固有频率后，继续可以求得对应于各个特征值(各 阶固有频率)对应的特征矢量
⋯
⋮
⋯
⋮
0
⋯
划去某一项，得到其余 1个独立项
把某一 项（如 ）移到方程右边，把某一个 代入，求
解出
1,2, ⋯ , 1 (实际上是与 的比例关系)
该比例关系构成特征向量，即对应于固有频率 的振幅比
和sin 0
，有
0 如果系统的自由振动不包含刚体运动，即一般解中不含有
固有频率为零的第一阶振型
sin
sin
sin
sin
sin
sin
将上面三个方程相加并求导
0
0 表明，总动量守恒，且为零
如果只想研究系统不包含刚体运动成分的自由振动的解，可以
利用
0，得
消去坐标 。代入势能和动能的表达式，根据拉格朗日方程， 可建立缩减坐标之后的自由振动微分方程，求得两个固有频率 平方值为
An1 k1n m1n12
An
k2n1
m 2
2n1 1
An1
k2n
m2
2
n1
An
kn2n1 mn2n1
2 1
An1
kn2n
mn
2
2n 1
An
kn1n1 mn1n1
2 1
An1
kn1n
m 2
n1n 1
An
knn1
m 2
nn1 1
k1
k2
x2 P2
k3
x3 P3
m1x1 Pk11kk12x1 x1k2 k 2xx22x1P1
m2x2 kP2 x1 k2kx22kx31 x2k3 kx33x3x2P2
Mx Kx P
m3x33 kP3x2 k3 k 3xx3 3x2P3 质量矩阵 刚度矩阵
m1 0
M
0
m2
0
k1 k2 k2 0
k11 m1112
k21 m2112
k
n21
m
2
n21 1
k12 m1212 k22 m2212
kn22
m 2
n22 1
k1 n 2
m 2
1n2 1
k2n2
m 2
2n2 1
A1
A2
kn2n2
m 2
n2n2 1
An2
k1 n 1
m 2
1n1 1
The End
41
了相同的运动状态 固有频率和主振型完全取决于系统的物理性质
主振型的正交性