第五章(第6,7,8节)多自由度系统的振动

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多自由度系统振动

= ……
φn(i )
(i ) xn
第 i 阶特征向量φ(i ) 中的一列元素，就是系统做第 i 阶主振动时各个坐标上位移（或振幅）的相对比值
φ(i ) 描述了系统做第 i 阶主振动时具有的振动形态，称为第 i 阶
主振型，或第 i 阶模态虽然各坐标上振幅的精确值并没有确定，但是所表现的系统振动形态已确定主振动仅取决于系统的 M 阵，K 阵等物理参数。
2 φ=0 或直接用 ( K − ω M )
令主振动：
⎡ x1 ⎤ ⎡φ1 ⎤ ⎢ x ⎥ = ⎢φ ⎥ sin(ωt + ϕ ) ⎢ 2⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ ⎣ x3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣φ3 ⎥ ⎦
得：
2006年5月4日《振动力学》
⎡3k − mω 2 ⎢ ⎢ −k ⎢ 0 ⎣
−k 2 k − mω 2 −1
⎤ ⎡φ1 ⎤ ⎡0⎤ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢φ2 ⎥ = ⎢0⎥ 3k − mω 2 ⎥ ⎣φ3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣0 ⎥ ⎦ ⎦⎢ 0 −k
24
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
⎡3k − mω 2 ⎢ ⎢ −k ⎢ 0 ⎣ −k 2k − mω 2 −1 ⎤ ⎡φ1 ⎤ ⎡0⎤ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ − k ⎥⎢ ⎢φ2 ⎥ = ⎢0⎥ 3k − mω 2 ⎥ ⎣φ3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣0 ⎥ ⎦ ⎦⎢ 0
m 令α = ω2 k
⎡3 − α ⎢ −1 ⎢ ⎢ ⎣ 0
− 2 −α −1
0 ⎤ ⎡φ1 ⎤ ⎡0⎤ ⎢φ ⎥ = ⎢0⎥ −1 ⎥ ⎥⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥ 3 −α ⎥ ⎦⎢ ⎣φ3 ⎥ ⎦ ⎢ ⎣0 ⎥ ⎦
令特征矩阵的行列式＝0
2 ( 3 − α )( α − 5α + 4) = 0 特征方程：

第五章(第6,7,8节)多自由度系统的振动

将上式代入(5.6-14)，得
sin t m 0.325057
0
F0 1 t 1 t 0.627963 sin sin 1 t d m 1 0
F0 1 0.627963 2 sin t sin 1t 2 2 ω1 m 1 1 1
F q2 t 0 m 2 1 2 1 0.627963 2 1 cos1t 0.325057 2 1 cos 2 t 1 2
F0 k k 1 cos0.796226 t 0.044658 1 cos1.538188 t 0.621945 k m m
r t
1
t
(r 1,2,, n) (5.6-12)
任意激励Nr(t)的特解可以由卷积积分给出，即

r
N r sin r t d 0 (r 1,2,, n)
(5.6-13)
自由振动初始条件的响应多自由度无阻尼系统对任意激振的响应求解推导 ——振型分析
也可以在坐标变换式(5.6-4)两边同时左乘uTM，得 T T 0 (5.6-11) 0 u Mq0 , η0 u Mq 由初始条件引起方程(5.6-8)的齐次解为
式中 r 0和 r阶模态在正则坐标中的初始条件。 r为第 0
r 0 r t r 0 cos r t sin r t r
T T
(5.6-5) (5.6-6)
方程(5.6-5)左乘以uT，有
T
t u Kuη t u F t u Muη
t ω η t N t η
(5.6-7) 式中N(t)=uTF(t)是与广义坐标向量(t)相应的n维广义力向量，即正则激励。

多自由度体系自由振动

KN

振动方程
y2 (t )
y1 (t )
质点在任何时刻要受力平衡
竖向
1 (t ) m y
FEK1
水平方向：
2 (t ) FEK 2 m y
问题转化为求质点在任意时刻 t 在2 个方向上受到的恢复力

恢复力的求法
B
D
y2 (t )
y1 (t )
竖向
VDB
FEK1
A
C
弹簧反力
y1 (t )
1 (t )11 m2 212 y1 (t ) m1 y y
1 (t ) 21 m2 2 22 y2 (t ) m1 y y
y2 (t )

方程中各个系数意义如下：
P=1 L/4 L L/4 L/2 L/2 L/4
P=1
L/4
M1
L/4
A1 A11
与A1的比值，记为
A21
T
同理，把λ=λ2 代入振型方程中的任意一个方程，得到A2
A22 2 m1 11 A12 m2 12
y1(t)= A12sin（ω2t + φ） y2(t)= A22sin（ω2t + φ）同样，称 A2 A 12
A22 为第二振型
-----频率方程
3. 柔度矩阵与刚度矩阵的关系
K 1

[计算举例]
，杆长都是L，列振动方程
m EI EI EI1=∞
13 EI 图示结构弹簧的刚度 KN= 3 2L
解：1）2个动力自由度，质点的水平位移和竖向位移，如图
并求振动频率和振型，作出振型图
y 2 (t )
y1 (t )

《多自由度系统振动》课件

多自由度系统振动涉及到多个自由度的运动，其动力学行为比单自由度系统更为复杂。掌握多自由度系统振动的基本原理和方法，对于解决实际工程问题、提高设备性能和安全性具有重要意义。
课程目的
理解多自由度系统振动的特性，包括固有频率、模态振型等。
掌握多自由度系统振动的基本原理和数学模型。
学习多自由度系统振动的分析方法，包括直接法、模态法和传递矩阵法等。
控制算法则是实现控制策略的具体计算方法。常见的控制算法包括PID控制、状态反馈控制、最优反馈控制等。这些算法可以根据系统的特性和要求进行选择和优化。
05
多自由度系统振动应用
机械系统振动控制
机械系统中的多自由度振动问题广泛存在，如旋转机械、往复机械和柔性机械等。控制这些振动可以提高机械系统的稳定性和可靠性，减少磨损和疲劳，延长使用寿命。
多自由度系统振动
CONTENTS
• 引言 • 多自由度系统振动基础 • 多自由度系统振动特性 • 多自由度系统振动控制 • 多自由度系统振动应用 • 课程总结与展望
01
引言
课程背景
机械系统振动是工程领域中常见的问题，多自由度系统振动更是其中的重要分支。随着科技的发展，多自由度系统在许多领域如航空航天、交通运输、能源等都得到了广泛应用，因此对多自由度系统振动的研究具有重要意义。
多自由度系统振动与多个学科领域密切相关，如结构力学、流体力学和声学等，需要加强这些交叉学科领域的应用研究。
多自由度系统振动实验平台的搭建与验证
为了验证多自由度系统振动理论和方法的有效性，需要搭建更加先进的实验平台，并开展更加系统的实验研究。
谢谢您的聆听
THANKS
被动控制技术
被动控制技术是通过改变系统的刚度、阻尼和/或质量分布来减小系统的振动。被动控制技术不需要外部能源，而是利用自然现象或物理效应来减小系统的振动。

多自由度系统振动

系统在各个坐标上都是按相同频率及初相位作简谐振动。
（2）半正定系统
可能出现形如的同步运动。
也可能出现形如的同步运动
主振动
首先讨论正定系统的主振动：
M 正定，K 正定
主振动：
正定系统：
或
当不是重特征根时，可以通过 B 的伴随矩阵求得相应的主振型。
根据逆矩阵定义：
两边左乘：
当时：
或
的任一非零列都是第 i 阶主振动
主振动的伴随矩阵求法：
伴随矩阵：矩阵A中的元素都用它们在行列式A中的代数余子式替换后得到的矩阵再转置，这个矩阵叫A的伴随矩阵。 A与A的伴随矩阵左乘、右乘结果都是主对角线上的元素全为A的行列式的对角阵。
画图：横坐标表示静平衡位置，纵坐标表示主振型中各元素的值。
第一阶主振动:
m
2m
两个质量以w1为振动频率，同时经过各自的平衡位置，方向相同，而且每一时刻的位移量都相同。
同向运动
画图：横坐标表示静平衡位置，纵坐标表示主振型中各元素的值
m
2m
第二阶主振动:
两个质量以w2为振动频率，同时经过各自的平衡位置，方向相反，每一时刻第一个质量的位移都第二个质量的位移的两倍。
设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有的某个元素（例如）的项全部移到等号右端.
当不是特征多项式的重根时，上式 n 个方程中有且只有一个是不独立的。设最后一个方程不独立，把它划去，并且把含有的某个元素（例如）的项全部移到等号右端。若这个方程组左端的系数行列式不为零，则可解出用表示的否则应把含的另一个元素的项移到等号右端，再解方程组。多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动/模态 n -1个方程非奇次方程组

多自由度系统的振动模态分析

多自由度系统的振动模态分析振动是物体在受到外界作用力或受到初始扰动后产生的周期性运动。

在工程领域中，多自由度系统的振动模态分析是一项重要的研究内容。

本文将介绍多自由度系统的振动模态分析的基本原理和方法。

一、多自由度系统的定义多自由度系统是指由多个相互连接的质点组成的系统。

每个质点都可以在三个坐标方向上自由运动，因此系统的自由度就是质点的个数乘以每个质点的自由度。

多自由度系统的振动模态分析可以帮助我们了解系统的固有振动特性，为工程设计和结构优化提供依据。

二、振动模态的概念振动模态是指多自由度系统在固有频率下的振动形态。

每个固有频率对应一个振动模态，振动模态的数量等于系统的自由度。

振动模态分析可以帮助我们确定系统在不同频率下的振动特性，从而预测系统的响应和寻找可能的共振点。

三、振动模态分析的方法1. 模态分析方法模态分析是一种通过数学方法求解系统的固有频率和振动模态的方法。

常用的模态分析方法包括有限元法、模态超级位置法等。

有限元法是一种基于离散化的方法，将系统分割成有限个小单元，通过求解每个单元的振动特性，最终得到整个系统的振动模态。

模态超级位置法是一种基于物理原理的方法，通过测量系统在不同频率下的振动响应，推导出系统的振动模态。

2. 模态参数的计算模态参数是指描述振动模态特性的参数，包括固有频率、振型、振幅等。

模态参数的计算可以通过实验测量和数值模拟两种方法。

实验测量是通过激励系统，测量系统在不同频率下的振动响应，并通过信号处理和频谱分析等方法计算出模态参数。

数值模拟是通过建立系统的数学模型，利用计算机仿真软件求解系统的振动模态。

四、振动模态分析的应用振动模态分析在工程领域有广泛的应用。

首先，振动模态分析可以帮助工程师了解系统的固有振动特性，从而优化设计和改善结构。

其次，振动模态分析可以用于故障诊断和预测，通过对系统的振动模态进行监测和分析，可以判断系统是否存在异常或潜在故障。

此外，振动模态分析还可以应用于声学工程、航天工程、汽车工程等领域。

多自由度系统振动的研究

多自由度系统振动的研究1.建立系统的数学模型：多自由度系统的数学模型通常可以通过运动微分方程来描述，这些微分方程可以由拉格朗日方程或哈密顿方程获得。

建立系统的数学模型是研究多自由度系统的第一步，它能够定量描述系统的振动特性。

2.振动模态分析：振动模态是指各种独立振动模式对应的特征值及特征向量。

在多自由度系统中，有多个振动模态，每个振动模态都有对应的特征值和特征向量，它们描述了系统在不同振动模态下的振动特性。

振动模态分析可以帮助我们理解系统的振动特性、模式和共振现象，并为系统的设计和优化提供依据。

3.模态叠加方法：模态叠加方法是一种常用的分析多自由度系统振动响应的方法。

该方法将系统的初始条件和外力激励在模态基下展开，通过将各模态响应相加，得到系统的总体振动响应。

模态叠加方法可以简化计算，使得问题的求解更加方便，应用广泛。

4.模态分析与结构动力学：多自由度系统的模态分析与结构动力学密切相关。

结构动力学是研究结构体受外力激励下的振动响应的学科，它通常涉及到多自由度系统的模态分析、频率响应和时域分析等。

模态分析为结构动力学提供了基础，通过分析结构的振动模态，可以预测结构在不同激励下的振动响应。

5.数值模拟与实验验证：在研究多自由度系统的振动过程中，可以借助于数值模拟和实验验证相结合的方法。

数值模拟可以通过有限元、边界元或半经验法等方法，对系统的振动响应进行计算和预测。

实验验证可以通过振动台试验或实验模态分析等方式，对系统的振动特性进行实测，从而验证数值模拟的准确性。

总之，研究多自由度系统振动是一个复杂而又重要的课题。

通过建立数学模型、进行振动模态分析、应用模态叠加方法以及进行数值模拟和实验验证等手段，可以更深入地了解多自由度系统的振动特性，为实际工程问题的求解和优化提供科学依据。

05-第五章-多自由度系统振动的近似解法

1
X r1 l X r l
l 1,2,, n 向量中的任一元素
每次迭代后，将迭代向量归一化。即向量的最后一个元素为 1 。
迭代步骤：求一阶固有频率和一阶主振型
1、选取初始迭代向量{X}1，使其最后一个元素为 1 。
2、对{X}1作矩阵迭代， Y 1 AX 1 归一化：X 2
Y 1 Y 1 n
3、重复步骤2、，直到第 r 次迭代：Y r AX r 4、若收敛精度允许：X r1 X r
§5.4 矩阵迭代法（利用位移方程求解）
1、第一阶固有频率和主振型
A A F M K1M Ai ii
设：X 1 为初始迭代向量（各阶主振型的线性组合）
X 1 a11 a22 ann 第一次迭代：X 2 AX 1 即： X 2 AX 1 a111 a222 annn
1T M X 1 M p1 a1
a1
1 M p1
T 1
M
X
1
一次迭代后：取：X 2 AX 1 a111
A
1
M p1
1
T 1
M
X
1
X 2 b111 b222 bnnn 有误差，仍含有 1
同样由正交性得到：b1
1 M p1
T 1
迭代后取： X 3 AX 2 b111
M
X 2
EJ ml 3
邓克莱解精确解误差为 2.6%
第五章多自由度系统振动的近似解法
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§5.2 瑞利法（能量法）
设：主振动 x X sinnt 系统的动能：T 1 xT M x
2
Tm a x
1 2
n2X T
M
X
系统的势能：U 1 xT Kx

机械振动学第五章_两自由度系统振动(讲)

第五章两自由度系统振动§5-1 概述单自由度系统的振动理论是振动理论的基础。

在实际工程问题中，还经常会遇到一些不能简化为单自由度系统的振动问题，因此有必要进一步研究多自由度系统的振动理论。

两自由度系统是最简单的多自由度系统。

从单自由度系统到两自由度系统，振动的性质和研究的方法有质的不同。

研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。

所谓两自由度系统是指要用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置的振动系统。

很多生产实际中的问题都可以简化为两自由度的振动系统。

①汽车动力学模型：图3.1两自由度汽车动力学模型§5-2 两自由度系统的自由振动一、系统的运动微分方程②以图3.2的双弹簧质量系统为例。

设弹簧的刚度分别为k 1和k 2，质量为m 1、m 2。

质量的位移分别用x 1和x 2来表示，并以静平衡位置为坐标原点，以向下为正方向。

(分析)在振动过程中的任一瞬间t ，m 1和m 2的位移分别为x 1及x 2。

此时，在质量m 1上作用有弹性恢复力()12211x x k x k -及，在质量m 2上作用有弹性恢复力()122x x k -。

这些力的作用方向如图所示。

应用牛顿运动定律，可建立该系统的振动微分方程式：()()⎭⎬⎫=-+=--+00122221221111x x k x m x x k x k xm （3.1）令2212121,,m k c m k b m k k a ==+=则（3.1）式可改写成如下形式：()()⎭⎬⎫=-+=--+00122221221111x x k x m x x k x k xm⎭⎬⎫=+-=-+00212211cx cx xbx ax x（3.2）这是一个二阶常系数线性齐次联立微分方程组。

(分析)在第一个方程中包含2bx -项，第二个方程中则包含1cx -项，称为“耦合项”（coupling term ）。

这表明，质量m 1除受到弹簧k 1的恢复力的作用外，还受到弹簧 k 2的恢复力的作用。

高等结构动力学多自由度系统的振动

(i n
)
]T
An
[] [{}(1) {}(2)
{}(n1) ]——模态矩阵
系统按第i阶固有频率所作的振动称作系统的第 i 阶主振动.
{x}(i) i{}(i) sin(it i )
其中 i 为i 任意常数，取决于初始运动条件。
例
K
x1
K
x2 K
x3
m
m
m
m
0
0 m
0 0
2.当 0 时
X1 1P X 2 2P
m121X1 (m222 1/ 2 ) X 2 2P / 2
解方程,得
X1
1
X2
2
其中
(m1112 1) X1 m212 X 22 1P
2m121X1 (2m222 1) X 2 2P
3.当时 X1 0 X 2 0
§3.4简谐荷载作用下无阻尼系统的受迫振动分析
1
1
m2
k2
和弹簧为辅助系统，称
m2
x2
k2
m1
x1
F sint
k1
m1
0
0 m2
x1 x2
k1 k2
k2
k2 k2
x1 x2
F
0
sin
t
设其稳态响应为
x1 x2
X1 X2
sin
t
(k1 k2 2m1)(k2 2m2 ) k22
X 2 21(P I1) 22I2
X1 I1 / m1 2 X 2 I2 / m22
P sin t
m1
m2
l / 3 x1 lE/I3x2 l / 3
P
X1 I1
X2 I2

多自由度系统振动理论及应用

多自由度系统的作用力方程
对一些较简单的问题,用牛顿定律来建立振动微分方程是简便的.
图４-１所示为无阻尼三自由度弹簧质量系统,可参照二自由度系统的方
法,写出其微分方程:

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４.１
多自由度系统的振动微分方程

或更一般地写成

该式可简单地写成

式(４-２)称为用矩阵符号表示的作用力方程,它可以代表许多种运动方程
种心灵的孤独。
2. 与个别人难以相处
一些学生能够与多数人保持良好的关系,但与个别人交往
不良。因此 ,常会影响情绪 ,如鲠在喉。
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任务一了解自己与人交往的现状

3. 与他人交往平淡

一些学生虽然能与他人交往,但多属点头之交,没有关系
人际关系新起点
1
任务一了解自己与人交往的现状
2
任务二调整不良交际心态
任务一了解自己与人交往的现状

任务提出 :了解自己与人交往的现状。
任务目标 :了解自己与人交往的现状 ,激发学习热情 ,明确努
力方向。
喜欢独来独往。

(3) 嫉妒心理。部分大学生不能正确对待别人的长处和优
点,看到别人冒尖心里嫉妒,对比自己水平高的同学采取
讽刺、挖苦、打击、嘲笑等不当方式 ,给别人造成伤害 ,严
重影响了同学之间的沟通。
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5多自由度系统振动解析

X FP (t ) 位移方程： FMX
主振动： X φsin( t ) 代入，得： (FM I ) φ 0 特征方程：
X R
n
F K 1 柔度矩阵
X 0 自由振动的位移方程： FMX
φ [1 2 n ]T
特征值
1/ 2
φT Mφ f(t ) φT Kφf (t ) 0
f(t ) φT Kφ T 2 f (t ) φ Mφ
：常数
M 正定，K 正定或半正定对于非零列向量 φ ：令：
φ Mφ 0
T
φT Kφ 0
2
0
对于正定系统必有 0
对于半正定系统，有 0
（不生弹性变形）
X φf (t ) 正定系统 0 半正定系统 0
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
首先讨论正定系统的主振动
KX 0 正定系统： MX
主振动： X φa sin( t ) 将常数a并入 φ 中
X R
0
n
M 正定，K 正定
FM I 0
特征根按降序排列： 1 2 n 0
i 1/ i2
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
例：三自由度系统
m 0 0 M 0 m 0 0 0 m
x1 2k
m
x2 k
m
x3
m 2k
k
3k K k 0
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
f(t ) φT Kφ T 2 f (t ) φ Mφ
为常数 a、b、
（1）正定系统

机械振动-第五章多自由度系统的振动

x1 A1(1) sin p1t 1
(1) x2 A2 sin p1t 1 (1) xn An sin p1t 1
每个坐标均以同一圆频率p1及同一相位角 1作简谐振动，称为系统第一阶主振动。
1 类似的，当系统在某些特殊的初始条件下，还可以产生系统的第二阶、第三阶、…一直到第n阶主振动，具有与第一阶主振动完全类似的性质。

2 2 2 m p A k m p A k m p 21 21 j 1 22 22 j 2 2 n 1 2 n 1 j An 1

k1n m1n p 2 j An k 2 n m2 n p 2 j An

y1 11 P 1 m1 y1 12 P 2 m2 y 2 1n P n mn y n y2 21 P 1 m1 y1 22 P 2 m2 y 2 2 n P n mn yn yn n1 P 1 m1 y1 n 2 P 2 m2 y2 nn P n mn y n
化简后得
1 K1 K 2 x1 K 2 x2 P m1 x 1 2 K 2 x1 K 2 K 3 x2 K 3 x3 P2 m2 x 3 K 3 x2 K 3 x3 P3 m3 x
此式可用矩阵形式表达式
K x P M x
11 12 1n 2n 21 22 , n1 n 2 nn
m1 0 0 m 2 M 0 0
0 0 mn

多自由度系统的受迫振动

则由 ( 2 ) 0
动力吸振器
动力吸振器
动力吸振器
1 c c x 1 k1 k2 x m1 0 0 m 2 k 2 c c x 2 x2 k2 x1 F0 sin t k2 x2 0
主系统振幅并不为零但是和无阻尼系统的两个共振振幅相比共振振幅明显下降3216模态叠加法17模态叠加法18模态叠加法19模态叠加法20多自由度系统的受迫振动21多自由度系统的受迫振动22多自由度系统的受迫振动23多自由度系统的受迫振动24多自由度系统的受迫振动25多自由度系统的受迫振动26多自由度系统的受迫振动27多自由度系统的受迫振动28多自由度系统的受迫振动29有阻尼的多自由度系统振动30有阻尼的多自由度系统振动31有阻尼的多自由度系统振动32有阻尼的多自由度系统振动33有阻尼的多自由度系统振动34有阻尼的多自由度系统振动35有阻尼的多自由度系统振动36有阻尼的多自由度系统振动37有阻尼的多自由度系统振动38有阻尼的多自由度系统振动39有阻尼的多自由度系统振动40有阻尼的多自由度系统振动41有阻尼的多自由度系统振动42有阻尼的多自由度系统振动43有阻尼的多自由度系统振动44有阻尼的多自由度系统振动45有阻尼的多自由度系统振动461
多自由度系统的受迫振动
•系统对简谐力激励的响应 •动力吸振器 •模态叠加法
•系统对任意激励力的响应
系统对简谐力激励的响应
回顾：
cx kx F0eit x 单自由度系统的受迫振动 m x 为复数变量，分别与F0 cost和 F0 sin t 相对应
x H () F0 H ( ) 复频响应函数引入： s c 2 1 1 s 2si 0 2 km H ( ) [ ] 2 2 2 k (1 s ) (2s) 1 ( s) 1 (1 s 2 ) 2 (2s) 2 e i k 2s ( s ) arctan 1 s2

第五章-多自由度系统的振动

代入上式，代入上式，有：
0 M P1 ( t ) k 11 ... k 1 j ... k 1 n k 1 j P ( t ) k ... k ... k 0 k 2j 2n 2j 2 = 21 P (t ) = 1 = M .......... .......... . M 0 Pn ( t ) k n 1 ... k nj ... k nn M k nj 0
k11 = k1 + k 2
k12 = −k 2
k13 = 0
k 21 = − k 2
k 31 = 0
k 22 = k 2 + k 3 + k 5 + k 6
k 32 = −k 3
k 23 = −k 3
k 33 = k 3 + k 4
− k3 k3 &刚度矩阵：
&& MX + KX = P (t )
X ∈ Rn
确定后，系统动力方程即可完全确定。当 M、K 确定后，系统动力方程即可完全确定。那么M、K 该如何确定？讨论刚度阵K 加速度为零。 && 假设外力是以准静态方式施加于系统，加速度为零。X 假设外力是以准静态方式施加于系统， KX = P (t ) 则：
振动理论与声学原理
——刚度矩阵和质量矩阵一、多自由度系统的动力学方程——刚度矩阵和质量矩阵
0 M P (t) k11...k1 j ...k1n k1 j 1 P (t) k ...k ...k 0 k 2 = 21 2 j 2n 1 = 2 j P(t) = M ..................... M 0 n P (t) kn1...knj ...knn M knj 0

多自由度系统振动

有限元方法需要建立系统的离散化模型，并选择合适的单元类型和边界条件，计算精度和计算效率取决于离散化的的传递矩阵来描述系统动态特性
的方法。
传递矩阵法适用于线性时不变系统，能够处理多自由度系统的振
动问题，计算效率较高。
传递矩阵法的精度取决于系统参数和边界条件的准确性，对于复杂系统和非线性问题，需要采用
其他方法进行求解。
模态叠加法
模态叠加法是一种基于模态展开的数值计算方法，通过将系统的振动表示为一系列模态的线性组合，求解每个模态的
振动方程，得到系统的动态特性。
模态叠加法适用于线性时不变系统，能够处理多自由度系统的振动问题，计算
精度较高。
模态叠加法需要选择合适的模态数目和模态提取方法，对于大规模系统和复杂
未来研究方向
深入研究多自由度系统振动的非线性特性，探索更精确的数
学模型和数值模拟方法。
针对复杂多自由度系统，研究多因素耦合振动和多场耦合振
动的理论和方法。
发展多自由度系统振动主动控制和智能控制技术，提高系统振动控制精度和响应速度。
将多自由度系统振动理论应用于实际工程领域，解决重大装备和结构的振动问题，提高其稳定性和安全性。
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02
它涉及到多个振动子之间的相互作用和耦合，其动力学行为比单自由度系统更为复杂。
研究背景和意义
随着科技的发展，多自由度系统在许多领域中得到了广泛应用，如大型机械装备、精密仪器、高层建筑等。
由于多自由度系统在受到外部激励或内部参数变化时，会产生复杂的振动行为，这不仅会影响系统的性能和稳定性，还可能引发安全问题。
航天器振动控制
总结词

结构动力学之多自由度体系的振动问题ppt课件

1 536EI
448 (1 536)2
m1m2l 6 (EI )2
0
解得
21
23l3 (m1 m2 2 1 536EI
)
529(m1 m2 )2l6 41 5362 (EI )2
448m1m2l 6 1 5362 (EI )2
从而得第一和第二阶自振频率
1
1
1
2
1
2
为了确定第一阶振型，可将1代入平衡方程。
其展开式是关于λ的n次代数方程,先求出λi再求出频率ωi
柔度法
(11m1 )
12m2
...
21m1 ( 22m2 ) ...
...
...
...
1n mn 2nmn 0
...
n1m1
n2m2 ... ( nnmn )
将λi代入 ( [δ] [M] － λi [I ] ){Y(i)}={0} 可求出n个主振型。
多个自由度体系的自由振动
结构在受迫振动时的动力响应与结构的动力特性密切相关；另外，当用振型叠加法计算任意干扰力作用下结构的动力响应时，往往要用到自由振动的频率(frequency)和振型(mode)。
为此，要需要首先分析自由振动。
自振频率和振型的计算
m1
m2
mi
mn
y1(t) y2(t)
yi(t)
刚度法
其中最小的频率1 称为最低自振频率，或称
基本频率。通常将上述每一个频率所对应的振动都称为
主振动，对应于每一个主振动的形状称为主振型。
1）如果各质体的初速度为零，而初位移和某一振型成比例，然后任其自然，则系统就按这个振型作简谐自由振动，此解答就相应于该振动的一组特解；

多自由度体系的振动

振动的基本概念
振动定义
振动是指物体在平衡位置附近进行的往复运动。在多自由度体系中，各质点间的振动相互作用和能量传递使得整个体系呈现出复杂的振动行为。
振动分类
根据振动频率的不同，可以分为低频振动和高频振动；根据振动原因的不同，可以分为自然振动和受迫振动。
振动分析方法
对多自由度体系的振动进行分析时，可以采用模态分析法、直接积分法、传递矩阵法等多种方法。模态分析法是一种常用的简化分析方法，通过求解体系的特征值和特征向量来确定体系的模态参数，进而分析其振动特性。
振动控制的方法
01
02
03
主动控制
通过向系统输入能量或信号，主动改变系统的振动状态，以达到减振的目的。
被动控制
通过吸收、隔离或阻尼系统振动能量，被动地抑制系统振动。
混合控制
结合主动和被动控制方法的优点，以提高减振效果。
主动控制
主动控制利用外部能源向系统提供控制力，通过实时监测和反馈系统振动状态，主动调整控制力的大小和方向，以达到减振的目的。
将结构划分为有限个单元，通过建立单元间的传递矩阵来描述振动能量的传递和散射。
模态分析
模态振型
描述结构在不同频率下的振动形态。
模态频率
结构的固有频率，对应于特定的模态振型。
模态刚度和模态阻尼
描述模态的力学特性和能量耗散特性。
模态分析的应用
用于结构的动力学特性分析、振动控制和优化设计等。
响应分析
数据采集系统
将振动传感器采集到的信号进行放大、滤波和模数转换，以便进行后续处理和分析。
振动隔离技术
主动控制技术
通过传感器检测多自由度体系的振动，并使用主动控制算法产生

第五章(第6,7,8节)多自由度系统的振动

多自由度系统振动

第五章(第6,7,8节)多自由度系统的振动

多自由度体系自由振动

《多自由度系统振动》课件

多自由度系统振动

多自由度系统的振动模态分析

多自由度系统振动的研究

05-第五章-多自由度系统振动的近似解法

机械振动学 第五章_两自由度系统振动(讲)

高等结构动力学 多自由度系统的振动

多自由度系统振动理论及应用

5多自由度系统振动解析

机械振动-第五章多自由度系统的振动

多自由度系统的受迫振动

第五章-多自由度系统的振动

多自由度系统振动

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