高考理科数学通用版练酷专题二轮复习课时跟踪检测：(十一) 直线与圆 Word版含解析

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2018学高考理科数学通用版练酷专题二轮复习课时跟踪检测：(十一)直线与圆有解析

课时跟踪检测（十一）直线与圆1．已知直线l 1：x ＋2ay －1＝0，l 2：(a ＋1)x －ay ＝0，若l 1∥l 2，则实数a 的值为( ) A ．－32B ．0C ．－32或0D ．2解析：选C 若a ≠0，则由l 1∥l 2，得a ＋11＝－a 2a ，所以2a ＋2＝－1，即a ＝－32；若a ＝0，则l 1∥l 2.所以a 的值为－32或0.2．在平面直角坐标系xOy 中，若圆x 2＋(y －1)2＝4上存在A ，B 两点关于点P (1,2)成中心对称，则直线AB 的方程为( )A ．x －y －3＝0B ．x ＋y －3＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x －y ＋1＝0 解析：选B 由题意得圆心(0,1)与点P (1,2)的连线垂直于直线AB ，所以k AB ·2－11－0＝－1，解得k AB ＝－1.而直线AB 过点P ，所以直线AB 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.3．(2017·沈阳一模)已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则直线l 的方程为( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．x －y ＋2＝0 C ．x ＋y －3＝0D ．x －y ＋3＝0解析：选D 圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心为(0,3)，又直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则其斜率为1，故直线l 的方程为x －y ＋3＝0.4．(2017·菏泽一模)已知圆(x －1)2＋y 2＝1被直线x －3y ＝0分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为( )A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．1∶5解析：选A 圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为(1,0)，半径为1.圆心到直线的距离d ＝112＋(－3)2＝12，所以较短弧所对的圆心角为2π3，较长弧所对的圆心角为4π3，故两弧长之比为1∶2.5．(2017·惠州三调)已知圆O ：x 2＋y 2＝4上到直线l ：x ＋y ＝a 的距离等于1的点至少有2个，则a 的取值范围为( )A ．(－32，32)B ．(－∞，－32)∪(32，＋∞)C ．(－22，22)D ．(－∞，－22)∪(22，＋∞)解析：选A 由圆的方程可知圆心为(0,0)，半径为2.因为圆上到直线l ：x ＋y ＝a 的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l 的距离d ＜r ＋1＝3，即d ＝|－a |2＜3，解得－32＜a ＜3 2. 6．(2018届高三·湖北八校联考)已知直线ax ＋by －6＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为25，则ab 的最大值为( )A.52 B ．4 C.92D ．9解析：选C 圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0化成标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，因为直线ax ＋by －6＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为25，故直线ax ＋by －6＝0(a ＞0，b ＞0)经过圆心(1,2)，即a ＋2b ＝6.又6＝a ＋2b ≥22ab ，即ab ≤92，当且仅当a ＝2b ＝3时取等号，故ab 的最大值为92.7．(2017·西安模拟)圆：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2距离的最大值是( ) A ．1＋ 2 B ．2 C ．1＋22D ．2＋2 2解析：选A 将圆的方程化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，即圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x －y ＝2的距离d ＝|1－1－2|2＝2，故圆上的点到直线x －y ＝2距离的最大值为d ＋1＝2＋1.8．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (－1,0)，B (0,1)，则满足|PA |2－|PB |2＝4且在圆x 2＋y 2＝4上的点P 的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 设P (x ，y )，则由|PA |2－|PB |2＝4，得(x ＋1)2＋y 2－x 2－(y －1)2＝4，所以x ＋y －2＝0.求满足条件的点P 的个数即为求直线与圆的交点个数，圆心到直线的距离d ＝|0＋0－2|2＝2＜2＝r ，所以直线与圆相交，交点个数为2.故满足条件的点P 有2个．9．(2016·河南焦作一模)著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：(x －a )2＋(y －b )2可以转化为平面上点M (x ，y )与点N (a ，b )的距离．结合上述观点，可得f (x )＝x 2＋4x ＋20＋x 2＋2x ＋10的最小值为( )A ．2 5B ．5 2C ．4D ．8解析：选B ∵f (x )＝x 2＋4x ＋20＋x 2＋2x ＋10＝(x ＋2)2＋(0－4)2＋(x ＋1)2＋(0－3)2，∴f (x )的几何意义为点M (x,0)到两定点A (－2,4)与B (－1,3)的距离之和，设点A (－2,4)关于x 轴的对称点为A ′，则A ′为(－2，－4)．要求f (x )的最小值，可转化为|MA |＋|MB |的最小值，利用对称思想可知|MA |＋|MB |≥|A ′B |＝(－1＋2)2＋(3＋4)2＝52，即f (x )＝x 2＋4x ＋20＋x 2＋2x ＋10的最小值为5 2.10．在平面直角坐标系xOy 中，设直线y ＝－x ＋2与圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若圆上一点C 满足OC ―→＝54OA ―→＋34OB ―→，则r ＝( )A ．210 B.10 C ．2 5D.5解析：选B 已知OC ―→＝54OA ―→＋34OB ―→，两边平方化简得OA ―→·OB ―→＝－35r 2，所以cos ∠AOB ＝－35，所以cos ∠AOB 2＝55，又圆心O (0,0)到直线的距离为|2|2＝2，所以2r ＝55，解得r ＝10. 11．已知圆O ：x 2＋y 2＝4，若不过原点O 的直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，且满足直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，则直线l 的斜率为( )A ．－1或1B ．0或－43C ．1D ．－1解析：选A 设直线l ：y ＝kx ＋b (b ≠0)，代入圆的方程，化简得(1＋k 2)x 2＋2kbx ＋b 2－4＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2kb1＋k 2，x 1x 2＝b 2－41＋k 2，k OP ·k OQ ＝y 1x 1·y 2x 2＝⎝⎛⎭⎫k ＋b x 1⎝⎛⎭⎫k ＋b x 2 ＝k 2＋kb ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2x 1x 2＋b 2x 1x 2＝k 2＋kb⎝⎛⎭⎫－2kb b 2－4＋b 2(1＋k 2)b 2－4＝b 2－4k 2b 2－4，由k OP ·k OQ ＝k 2，得b 2－4k 2b 2－4＝k 2，解得k ＝±1.12．已知AC ，BD 为圆O ：x 2＋y 2＝4的两条互相垂直的弦，且垂足为M (1，2)，则四边形ABCD 面积的最大值为( )A ．5B ．10C ．15D ．20解析：选A 如图，作OP ⊥AC 于P ，OQ ⊥BD 于Q ，则|OP |2＋|OQ |2＝|OM |2＝3，∴|AC |2＋|BD |2＝4(4－|OP |2)＋4(4－|OQ |2)＝20.又|AC |2＋|BD |2≥2|AC |·|BD |，则|AC |·|BD |≤10， ∴S 四边形ABCD ＝12|AC |·|BD |≤12×10＝5，当且仅当|AC |＝|BD |＝10时等号成立， ∴四边形ABCD 面积的最大值为5.故选A.13．已知点A (4，－3)与B (2，－1)关于直线l 对称，在l 上有一点P ，使点P 到直线4x ＋3y －2＝0的距离等于2，则点P 的坐标是________．解析：由题意知线段AB 的中点C (3，－2)，k AB ＝－1，故直线l 的方程为y ＋2＝x －3，即x －y －5＝0. 设P (x ，x －5)，则2＝|4x ＋3x －17|42＋32，解得x ＝1或x ＝277.即点P 的坐标是(1，－4)或⎝⎛⎭⎫277，－87. 答案：(1，－4)或⎝⎛⎭⎫277，－87 14．(2017·南京学情调研)在平面直角坐标系xOy 中，若直线ax ＋y －2＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －a )2＝16相交于A ，B 两点，且△ABC 为直角三角形，则实数a 的值是________．解析：由题意得圆的半径为4，因为△ABC 是直角三角形，所以圆心C 到直线AB 的距离为22，即|a ＋a －2|a 2＋1＝22，解得a ＝－1.答案：－115．在平面直角坐标系xOy 中，已知过原点O 的动直线l 与圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B ，若点A 恰为线段OB 的中点，则圆心C 到直线l 的距离为________．解析：圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，圆心C (3,0)，半径r ＝2，设过原点O 的动直线l 的方程为y ＝kx ，由题意，设A (a ，ka )，B (2a ，2ka )，将A 点坐标代入圆C 的方程得(1＋k 2)a 2－6a ＋5＝0. ①记AB 中点为D ，则D ⎝⎛⎭⎫32a ，32ka ，所以CD ⊥AB ，所以32ka 32a －3＝－1k . ②联立①②，解得⎩⎨⎧a ＝54，k ＝±155，可得点D 坐标为⎝⎛⎭⎫158，±3158，所以圆心C 到直线l 的距离为|CD |＝ ⎝⎛⎭⎫158－32＋⎝⎛⎭⎫31582＝364. 答案：36416．(2017·云南模拟)已知动圆C 过A (4,0)，B (0，－2)两点，圆心C 关于直线x ＋y ＝0的对称点为M ，过点M 的直线交圆C 于E ，F 两点，当圆C 的面积最小时，|EF |的最小值为________．解析：依题意知，动圆C 的半径不小于12|AB |＝5，即当圆C 的面积最小时，AB 是圆C 的一条直径，此时点C 是线段AB 的中点，即点C (2，－1)，点M 的坐标为(1，－2)，且|CM |＝(2－1)2＋(－1＋2)2＝2＜5，所以点M 位于圆C 内，当点M 为线段EF 的中点(过定圆内一定点作圆的弦，以该定点为中点的弦最短)时，|EF |最小，其最小值等于2(5)2－(2)2＝2 3.答案：23。

高中数学理二轮课时跟踪检测直线与圆配套精选

课时跟踪检测十六直线与圆一、选择题1．直线1：－2＋1＝0与直线2：＋－3＝0平行，那么实数的值为A．－2 B．2C．－错误!D．错误!解析：选A∵直线1：－2＋1＝0与直线2：＋－3＝0平行，∴错误!＝错误!≠错误!，解得＝－．2．点＝0，假设该直线与圆－12＋2＝4相切，那么有错误!＝2，解得m＝6或－14，即要求直线的方程为4－3＝－6或4－3＝14，应选B．6．2021·袁州模拟点A0，错误!，B3,2错误!，假设圆C：－12＋2＝r2r>0上恰有两点M，N，使得△MAB和△NAB的面积均为错误!，那么r的取值范围是A．1,3 B．1,2C．0,3 D．0,2解析：选A根据题意，A0，错误!，B3,2错误!，那么|AB|＝错误!＝2错误!，假设△MAB和△NAB的面积均为错误!，那么M，N到直线AB的距离相等，设M，N到直线AB的距离均为d，那么有错误!×2错误!×d＝错误!，那么d＝1，又由A0，错误!，B3,2错误!，那么直线AB的方程为－错误!＋3＝0，假设圆C上有两点M，N，使得△MAB和△NAB的面积均为错误!，那么直线MN与AB平行，且圆心C到直线AB的距离d′＝错误!＝2，分析可得：1<r<3，即r的取值范围为1,3．应选A．二、填空题7．2021·凉山州模拟直线1：a＋＋2＝0，直线2：＋＝0，假设1⊥2，那么a ＝________解析：直线1：a＋＋2＝0，直线2：＋＝0，假设1⊥2，那么1·a＋1×1＝0，解得a＝－1答案：－18．2021·常熟市校级月考直线过两直线＋2＋4＝0和2＋3－8＝0的交点，且过点0,1，那么直线的方程为______________．解析：直线过两直线＋2＋4＝0和2＋3－8＝0的交点，且过点0,1，联立错误!得＝28，＝－16，∴直线过点28，－16，0,1，∴直线的方程为错误!＝错误!，即17＋28－28＝0答案：17＋28－28＝09．2021·呼和浩特一模直线＝－错误!－3与，轴分别交于A，B两点，动点错误! ,0，由AN＋BN＝0⇒错误!＋错误!＝0⇒12－m＋21－m＝0⇒1t2＋1－m＋2t1＋1－m＝0，即2t12＋1－m1＋2＝0，故2t·错误!＋1－m错误!＝0对任意t∈R恒成立，即8－2mt＝0恒成立，故m＝4即N4,0．所以存在定点N，使得轴平分∠点坐标为4,0．12．2021·南平模拟圆M满足：①被轴分成两段圆弧，弧长的比为3∶1；②截轴所得的弦长为21求圆心M的轨迹方程；2求圆心M到直线：2－＝0的距离最小的圆的方程．解：1设圆心M，，半径为r，∵圆M被轴分成两段圆弧的弧长比为3∶1，∴圆心M到轴的距离||＝错误!①∵圆M截轴所得的弦长为2，∴圆心M到轴的距离||＝错误!，②由①②消去r得22－2＝1，即错误!－2＝1∴圆心M的轨迹方程为错误!－2＝12设直线2－＋c＝0与双曲线错误!－2＝1相切．联立方程组错误!消得22＋4c＋c2＋1＝0，令Δ＝16c2－8c2－8＝0，得c＝±1∴当c＝1时，方程组错误!的解为错误!即切点坐标为－1，－1，此时M－1，－1，r＝错误!，故圆M的方程为＋12＋＋12＝2当c＝－1时，方程组错误!的解为错误!即切点坐标为1,1，此时M1,1，r＝错误!故圆M的方程为－12＋－12＝2∴圆心M到直线：2－＝0的距离最小的圆的方程为＋12＋＋12＝2或－12＋－12＝2。

统考版2023高考数学二轮专题复习课时作业15直线与圆理

课时作业15 直线与圆A基础达标1．[2022·门头沟模拟]若点M(1，1)为圆C：x2＋y2－4x＝0的弦AB的中点，则直线AB 的方程是( )A．x－y－2＝0 B．x＋y－2＝0C．x－y＝0 D．x＋y＝02．[2022·辽宁鞍山一中模拟]设m∈R，直线l1：(m＋2)x＋6y－2m－8＝0，l2：x＋2my ＋m＋1＝0，则“m＝1”是“l1∥l2”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．[2022·山西吕梁一模]已知圆C：x2＋y2－4x＝0，过点M(1，1)的直线被圆截得的弦长的最小值为( )A．2B．2 2C．1 D．24．[2022·安徽淮南一模]数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(2，0)，B(0，4)，AC＝BC，则△ABC的欧拉线方程为( )A.2x＋y－3＝0B．2x－y＋3＝0C．x－2y－3＝0D．x－2y＋3＝05．[2022·黑龙江哈尔滨市一模]直线l：x＋y＋m＝0与圆C：(x＋1)2＋(y－1)2＝4交AB＝2，则m的值为( )于A，B两点，若||A．± 2 B．±2C．± 6 D．±2 26．[2022·山东菏泽一模]已知两条直线l1：2x－3y＋2＝0，l2：3x－2y＋3＝0，有一动圆(圆心和半径都在变动)与l 1，l 2都相交，并且l 1，l 2被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24，则动圆圆心的轨迹方程为( )A ．(y －1)2－x 2＝65 B ．x 2－(y －1)2＝65 C ．y 2－(x ＋1)2＝65 D ．(x ＋1)2－y 2＝657．[2022·广东江门]已知M 是圆C ：x 2＋y 2＝1上一个动点，且直线l 1：mx －ny －3m ＋n ＝0与直线l 2：nx ＋my －3m －n ＝0(m ，n ∈R ，m 2＋n 2≠0)相交于点P ，则||PM 的取值范围是( )A.[3－1，23＋1] B ．[2－1，32＋1] C ．[2－1，22＋1] D ．[2－1，33＋1]8．[2021·上海市奉贤中学二模]点(0，－1)到直线y ＝k (x ＋1)距离的最大值为________．9．[2022·湘潭质检]设点P (x ，y )是圆x 2＋(y －3)2＝1上的动点，定点A (2，0)，B (－2，0).则PA →·PB →的最大值为________．10．[2022·山西晋中一模]已知圆E 的圆心为(a ，2)，直线l 1：x －y ＋1＝0，l 2：x －y －1＝0，与圆E 分别交于点A ，B 与C ，D ，若四边形ABCD 是正方形，则圆E 的标准方程为________.11．已知直线l ：mx －y ＝1，若直线l 与直线x －my －1＝0平行，则实数m 的值为________，动直线l 被圆C ：x 2＋y 2＋2x －24＝0截得弦长的最小值为________．12．[2022·天津五十七中模拟]已知圆C 过点P (0，1)、Q (2，1)两点，且圆心C 在x 轴上，经过点M (－1，0)且倾斜角为钝角的直线l 交圆C 于A ，B 两点，若CA →·CB →＝0(C 为圆心)，则该直线l 的斜率为________．B 素养提升13.[2022·甘肃二模]阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点P 到两个定点的距离之比为常数λ(λ>0，且λ≠1)，那么点P 的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆．若点C 到A (－1，0)，B (1，0)的距离之比为3，则点C 到直线x －2y ＋8＝0的距离的最小值为( )A ．25－ 3B ．5－ 3C ．2 5D ． 314．设A (－2，0)，B (2，0)，O 为坐标原点，点P 满足||PA |2＋PB |2≤16，若直线kx－y ＋6＝0上存在点Q 使得∠PQO ＝π6，则实数k 的取值范围为( )A ．[－42，42]B ．(－∞，－42]∪[42，＋∞)C ．(－∞，－52]∪[52，＋∞) D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，52课时作业15 直线与圆1．解析：圆C 的标准方程为（x －2）2＋y 2＝4， ∵（1－2）2＋12<4，即点M 在圆C 内，圆心C （2，0），k MC ＝1－01－2 ＝－1，由垂径定理可知MC⊥AB，则k AB ＝1，故直线AB 的方程为y －1＝x －1，即x －y ＝0. 答案：C2．解析：若l 1∥l 2，则⎩⎪⎨⎪⎧2m （m ＋2）＝6（m ＋1）（m ＋2）≠－（2m ＋8），解得m ＝1或－3，因此，“m＝1”是“l 1∥l 2”的充分不必要条件．故选A . 答案：A3．解析：若过点M （1，1）的直线被圆截得的弦的长度最小，则点M （1，1）为该弦的中点，由x 2＋y 2－4x ＝0，得（x －2）2＋y 2＝4，所以若要弦长最小，只要圆心到直线的距离即为圆心到定点M （1，1）的距离，由|CM|＝ 2 ，所以弦长＝24－2 ＝2 2 ，故选B . 答案：B4．解析：线段AB 的中点为M （1，2），k AB ＝－2，∴线段AB 的垂直平分线为y －2＝12 （x－1），即x －2y ＋3＝0.∵AC＝BC ，∴△ABC 的外心、重心、垂心都位于线段AB 的垂直平分线上，因此△ABC 的欧拉线的方程为x －2y ＋3＝0.故选D .答案：D5．解析：由题知：圆C 的圆心为C （－1，1），半径为r ＝2，因为直线l 与圆C 相交形成的弦长为||AB ＝2，所以圆心C 到直线l 的距离为d ＝ r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB|22 ＝4－1 ＝ 3 ，所以d ＝||m 2＝3 ，解得m ＝± 6 .故选C . 答案：C6．解析：设动圆圆心P （x ，y ），半径为r ，则P 到l 1的距离d 1＝||2x －3y ＋213，P 到l 2的距离d 2＝||3x －2y ＋313，因为l 1，l 2被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24，∴2r 2－d 21 ＝26，2r 2－d 22 ＝24，化简后得r 2－d 21 ＝169，r 2－d 22 ＝144，相减得d 22－d 21＝25，将d 1＝||2x －3y ＋213，d 2＝||3x －2y ＋313代入后化简可得（x ＋1）2－y 2＝65.故选D .答案：D7．解析：依题意，直线l 1：m （x －3）－n （y －1）＝0恒过定点A （3，1），直线l 2：n （x －1）＋m （y －3）＝0恒过定点B （1，3），显然直线l 1⊥l 2，因此，直线l 1与l 2的交点P 的轨迹是以线段AB 为直径的圆，其方程为（x －2）2＋（y －2）2＝2，圆心N （2，2），半径r 2＝ 2 ，而圆C 的圆心C （0，0），半径r 1＝1，如图：|NC|＝2 2 >r 1＋r 2，两圆外离，由圆的几何性质得：|PM|min ＝|NC|－r 1－r 2＝ 2 －1，|PM|max ＝|NC|＋r 1＋r 2＝3 2 ＋1，所以||PM 的取值范围是[ 2 －1，3 2 ＋1].故选B . 答案：B8．解析：直线y ＝k （x ＋1）恒过点A （－1，0），则点（0，－1）到直线y ＝k （x ＋1）的距离的最大值为点（－1，0）到点A 的距离， ∴点（0，－1）到直线y ＝k （x ＋1）距离的最大值为 d ＝（0＋1）2＋（－1－0）2＝ 2 . 答案： 29．解析：由题意，得PA →＝（2－x ，－y ）， PB →＝（－2－x ，－y ），所以PA → ·PB → ＝x 2＋y 2－4，由于点P （x ，y ）是圆上的点，故其坐标满足方程x 2＋（y －3）2＝1，故x 2＝－（y －3）2＋1，所以PA → ·PB → ＝－（y －3）2＋1＋y 2－4＝6y －12.易知2≤y≤4，所以当y ＝4时，PA → ·PB →的值最大，最大值为6×4－12＝12. 答案：1210．解析：设半径为r ，这时圆E 的标准方程为（x －a ）2＋（y －2）2＝r 2. 由题意知，圆心E 在直线x －y ＝0上，所以a ＝2.又l 1，l 2两直线间的距离d ＝||1－（－1）12＋（－1）2＝ 2 ，且四边形ABCD 是正方形，所以2r ＝ 2 d ＝ 2 × 2 ＝2，解得r ＝1，所以圆E 的标准方程为（x －2）2＋（y －2）2＝1.答案：（x －2）2＋（y －2）2＝111．解析：由题意得m×（－m ）－（－1）×1＝0，所以m ＝±1. 当m ＝1时，两直线重合，舍去，故m ＝－1.因为圆C 的方程x 2＋y 2＋2x －24＝0可化为（x ＋1）2＋y 2＝25，即圆心为C （－1，0），半径为5.由于直线l ：mx －y －1＝0过定点P （0，－1），所以过点P 且与PC 垂直的弦的弦长最短，且最短弦长为2×52－（2）2＝223 . 答案：－1 22312．解析：由题可知，PQ 为圆C 的弦，则圆心C 在PQ 中垂线x ＝1上，又∵圆心在x 轴上，故圆心坐标为C （1，0），故圆的半径r ＝||PC ＝ 2 ，∵过点M （－1，0）的直线l 交圆C 于A ，B 两点，若CA → ·CB →＝0（C 为圆心），故△CAB 为等腰直角三角形，||CA ＝||CB ＝r ＝ 2 ，则圆心C 到AB 即直线l 的距离d ＝1，设l 为y ＝k （x ＋1），即kx －y ＋k ＝0，则d ＝||2k k 2＋1 ＝1⇒k ＝±33 ，∵k<0，∴k＝－33 . 答案：－3313．解析：设C （x ，y ），则|CA||CB| ＝ 3 ，即（x ＋1）2＋y2（x －1）2＋y2＝ 3 ，化简得（x －2）2＋y 2＝3，所以点C 的轨迹为以D （2，0）为圆心，r ＝ 3 的圆，则圆心D 到直线x －2y ＋8＝0的距离d ＝||2－2×0＋812＋（－2）2＝2 5 ，所以点C 到直线x －2y ＋8＝0的距离的最小值为2 5 －3 .故选A . 答案：A14．解析：设P （x ，y ），∵|PA|2＋|PB|2≤16，∴（x ＋2）2＋y 2＋（x －2）2＋y 2≤16，即x 2＋y 2≤4.∴点P 的轨迹为以原点为圆心，2为半径的圆面．若直线kx －y ＋6＝0上存在点Q 使得∠PQO＝π6 ，则PQ 为圆x 2＋y 2＝4的切线时∠PQO 最大，∴sin∠PQO＝|| OP|OQ| ＝||2|OQ|≥12，即||OQ≤4.∴圆心到直线kx－y＋6＝0的距离d＝61＋k2≤4，∴k≤－52或k≥52.答案：C。

2020版新高考数学二轮复习-练习-直线与圆 Word版含解析

第1讲直线与圆[做真题]题型一圆的方程1．(2016·高考全国卷Ⅱ)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( )A ．－43B ．－34C ． 3D ．2解析：选A.由题可知，圆心为(1，4)，结合题意得|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43.2．(2015·高考全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．解析：由题意知a ＝4，b ＝2，上、下顶点的坐标分别为(0，2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4，0)．由圆心在x 轴的正半轴上知圆过点(0，2)，(0，－2)，(4，0)三点．设圆的标准方程为(x －m )2＋y 2＝r 2(0＜m ＜4，r ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋4＝r 2，（4－m ）2＝r 2，解得⎩⎨⎧m ＝32，r 2＝254.所以圆的标准方程为(x－32)2＋y 2＝254. 答案：(x －32)2＋y 2＝2543．(2018·高考全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．解：(1)由题意得F (1，0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k ＞0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.Δ＝16k 2＋16＞0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k2.由题设知4k 2＋4k2＝8，解得k ＝－1(舍去)，k ＝1.因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3，2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧y 0＝－x 0＋5，（x 0＋1）2＝（y 0－x 0＋1）22＋16，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144. 题型二直线与圆、圆与圆的位置关系1．(2018·高考全国卷Ⅲ)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( )A ．[2，6]B ．[4，8]C ．[2，32]D ．[22，32]解析：选A.圆心(2，0)到直线的距离d ＝|2＋0＋2|2＝22，所以点P 到直线的距离d 1∈[2，32]．根据直线的方程可知A ，B 两点的坐标分别为A (－2，0)，B (0，－2)，所以|AB |＝22，所以△ABP 的面积S ＝12|AB |d 1＝2d 1.因为d 1∈[2，32]，所以S ∈[2，6]，即△ABP 面积的取值范围是[2，6]．2．(2015·高考全国卷Ⅱ)过三点A (1，3)，B (4，2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( )A ．2 6B ．8C ．4 6D ．10解析：选C.设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝4，F ＝－20. 所以圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0. 令x ＝0，得y ＝－2＋26或y ＝－2－26，所以M (0，－2＋26)，N (0，－2－26)或M (0，－2－26)，N (0，－2＋26)，所以|MN |＝46，故选C.3．(2016·高考全国卷Ⅲ)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．若|AB |＝23，则|CD |＝________．解析：设圆心到直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0的距离为d ，则弦长|AB |＝212－d 2＝23，得d ＝3，即||3m －3m 2＋1＝3，解得m ＝－33，则直线l ：x －3y ＋6＝0，数形结合可得|CD |＝|AB |cos 30°＝4.答案：4[学习指导意见]1．直线与方程(1)理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式．能根据斜率判定两条直线平行或垂直．(2)根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)．体会斜截式与一次函数的关系．(3)探索并掌握两点间的距离公式．点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离，会求两直线的交点坐标．2．圆与方程(1)由圆的几何要素，探索并掌握圆的标准方程与一般方程． (2)能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系． (3)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题． 3．空间直角坐标系了解空间直角坐标系，明确感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置，会用空间两点间的距离公式．直线的方程 [考法全练]1．若平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，则a ＝( ) A ．1±2或0 B ．2－52或0C ．2±52D ．2＋52或0解析：选A.因为平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，所以k AB ＝k AC ，即a 2＋a 2－1＝a 3＋a 3－1，即a (a 2－2a －1)＝0，解得a ＝0或a ＝1±2.故选A. 2．若直线mx ＋2y ＋m ＝0与直线3mx ＋(m －1)y ＋7＝0平行，则m 的值为( ) A ．7 B ．0或7 C ．0D ．4解析：选B.因为直线mx ＋2y ＋m ＝0与直线3mx ＋(m －1)y ＋7＝0平行，所以m (m －1)＝3m ×2，所以m ＝0或7，经检验，都符合题意．故选B.3．已知点A (1，2)，B (2，11)，若直线y ＝⎝⎛⎭⎫m －6m x ＋1(m ≠0)与线段AB 相交，则实数m 的取值范围是( )A ．[－2，0)∪[3，＋∞)B ．(－∞，－1]∪(0，6]C ．[－2，－1]∪[3，6]D ．[－2，0)∪(0，6]解析：选C.由题意得，两点A (1，2)，B (2，11)分布在直线y ＝⎝⎛⎭⎫m －6m x ＋1(m ≠0)的两侧(或其中一点在直线上)，所以⎝⎛⎭⎫m －6m －2＋1⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫m －6m －11＋1≤0，解得－2≤m ≤－1或3≤m ≤6，故选C.4．已知直线l 过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且点P (0，4)到直线l 的距离为2，则直线l 的方程为__________________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以直线l 1与l 2的交点为(1，2)．显然直线x ＝1不符合，即所求直线的斜率存在，设所求直线的方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0，因为P (0，4)到直线l 的距离为2，所以|－4＋2－k |1＋k 2＝2，所以k ＝0或k ＝43.所以直线l 的方程为y＝2或4x －3y ＋2＝0.答案：y ＝2或4x －3y ＋2＝05．(一题多解)已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －y －2＝0.若直线l 2与l 1关于直线l 对称，则直线l 2的方程是________．若直线l 3与l 关于点(1，1)对称，则直线l 3的直线方程是________．解析：法一：l 1与l 2关于l 对称，则l 1上任意一点关于l 的对称点都在l 2上，故l 与l 1的交点(1，0)在l 2上．又易知(0，－2)为l 1上的一点，设其关于l 的对称点为(x ，y )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y －22－1＝0，y ＋2x ×1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.即(1，0)，(－1，－1)为l 2上两点，故可得l 2的方程为x －2y －1＝0. 因为l 3∥l ，可设l 3的方程为x －y ＋c ＝0，则 |1－1－1|2＝|1－1＋c |2. 所以c ＝±1，所以l 3的方程为x －y ＋1＝0.法二：设l 2上任一点为(x ，y )，其关于l 的对称点为(x 1，y 1)，则由对称性可知⎩⎨⎧x ＋x 12－y ＋y 12－1＝0，y －y 1x －x 1×1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝y ＋1，y 1＝x －1.因为(x 1，y 1)在l 1上，所以2(y ＋1)－(x －1)－2＝0，即l 2的方程为x －2y －1＝0. 因为l 3∥l ，可设l 3的方程为x －y ＋c ＝0，则 |1－1－1|2＝|1－1＋c |2.所以c ＝±1，所以l 3的方程为x －y ＋1＝0. 答案：x －2y －1＝0 x －y ＋1＝0(1)两直线的位置关系问题的解题策略求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即斜率相等且纵截距不相等或斜率互为负倒数．若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究或直接用直线的一般式方程判断．(2)轴对称问题的两种类型及求解方法圆的方程 [典型例题]在平面直角坐标系xOy 中，曲线Γ：y ＝x 2－mx ＋2m (m ∈R )与x 轴交于不同的两点A ，B ，曲线Γ与y 轴交于点C .(1)是否存在以AB 为直径的圆过点C ？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由． (2)求证：过A ，B ，C 三点的圆过定点．【解】由曲线Γ：y ＝x 2－mx ＋2m (m ∈R )，令y ＝0，得x 2－mx ＋2m ＝0. 设A (x 1，0)，B (x 2，0)，则可得Δ＝m 2－8m >0，x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝2m . 令x ＝0，得y ＝2m ，即C (0，2m )．(1)若存在以AB 为直径的圆过点C ，则AC →·BC →＝0，得x 1x 2＋4m 2＝0，即2m ＋4m 2＝0，所以m ＝0或m ＝－12.由Δ>0得m <0或m >8，所以m ＝－12，此时C (0，－1)，AB 的中点M ⎝⎛⎭⎫－14，0即圆心，半径r ＝|CM |＝174，故所求圆的方程为⎝⎛⎭⎫x ＋142＋y 2＝1716. (2)证明：设过A ，B 两点的圆的方程为x 2＋y 2－mx ＋Ey ＋2m ＝0，将点C (0，2m )代入可得E ＝－1－2m ，所以过A ，B ，C 三点的圆的方程为x 2＋y 2－mx －(1＋2m )y ＋2m ＝0，整理得x 2＋y 2－y －m (x ＋2y －2)＝0. 令⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－y ＝0，x ＋2y －2＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1或⎩⎨⎧x ＝25，y ＝45，故过A ，B ，C 三点的圆过定点(0，1)和⎝⎛⎭⎫25，45.求圆的方程的2种方法[对点训练]1．若方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2) B ．⎝⎛⎭⎫－23，0 C ．(－2，0)D ．⎝⎛⎭⎫－2，23 解析：选D.若方程表示圆，则a 2＋(2a )2－4(2a 2＋a －1)>0，化简得3a 2＋4a －4<0，解得－2<a <23.2．经过原点且与直线x ＋y －2＝0相切于点(2，0)的圆的标准方程是( ) A ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2B ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2C ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝4D ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝4解析：选A.设圆心的坐标为(a ，b )，则a 2＋b 2＝r 2①，(a －2)2＋b 2＝r 2②，ba －2＝1③，联立①②③解得a ＝1，b ＝－1，r 2＝2.故所求圆的标准方程是(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.故选A.3．(2019·山东青岛模拟)已知圆M ：x 2＋y 2－2x ＋a ＝0，若AB 为圆M 的任意一条直径，且OA →·OB →＝－6(其中O 为坐标原点)，则圆M 的半径为( )A ． 5B ． 6C ．7D ．2 2解析：选C.圆M 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1－a (a <1)，圆心M (1，0)，则|OM |＝1，因为AB 为圆M 的任意一条直径，所以MA →＝－MB →，且|MA →|＝|MB →|＝r ，则OA →·OB →＝(OM →＋MA →)·(OM →＋MB →)＝(OM →－MB →)·(OM →＋MB →)＝OM →2－MB →2＝1－r 2＝－6，所以r 2＝7，得r ＝7，所以圆的半径为7，故选C.直线与圆、圆与圆的综合问题[典型例题]命题角度一切线问题已知圆O ：x 2＋y 2＝1，点P 为直线x 4＋y2＝1上一动点，过点P 向圆O 引两条切线P A ，PB ，A ，B 为切点，则直线AB 经过定点( )A ．⎝⎛⎭⎫12，14B ．⎝⎛⎭⎫14，12C ．⎝⎛⎭⎫34，0D ．⎝⎛⎭⎫0，34 【解析】因为点P 是直线x 4＋y2＝1上的一动点，所以设P (4－2m ，m )．因为P A ，PB 是圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，所以OA ⊥P A ，OB ⊥PB ，所以点A ，B 在以OP 为直径的圆C 上，即弦AB 是圆O 和圆C 的公共弦．所以圆心C 的坐标是⎝⎛⎭⎫2－m ，m2，且半径的平方r 2＝（4－2m ）2＋m24，所以圆C 的方程为(x －2＋m )2＋⎝⎛⎭⎫y －m22＝（4－2m ）2＋m 24，① 又x 2＋y 2＝1，②所以②－①得，(2m －4)x －my ＋1＝0，即公共弦AB 所在的直线方程为(2x －y )m ＋(－4x ＋1)＝0，所以由⎩⎪⎨⎪⎧－4x ＋1＝0，2x －y ＝0得⎩⎨⎧x ＝14，y ＝12，所以直线AB 过定点⎝⎛⎭⎫14，12.故选B. 【答案】 B过一点求圆的切线方程的方法(1)过圆上一点(x 0，y 0)的圆的切线的方程的求法若切线斜率存在，则先求切点与圆心连线所在直线的斜率k (k ≠0)，由垂直关系知切线斜率为－1k，由点斜式方程可求切线方程．若切线斜率不存在，则可由图形写出切线方程x ＝x 0.(2)过圆外一点(x 0，y 0)的圆的切线的方程的求法当切线斜率存在时，设切线斜率为k ，切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，即kx －y ＋y 0－kx 0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程．当切线斜率不存在时要加以验证．命题角度二弦长问题已知圆C 经过点A (－2，0)，B (0，2)，且圆心C 在直线y ＝x 上，又直线l ：y ＝kx＋1与圆C 相交于P ，Q 两点．(1)求圆C 的方程；(2)过点(0，1)作直线l 1与l 垂直，且直线l 1与圆C 交于M ，N 两点，求四边形PMQN 面积的最大值．【解】 (1)设圆心C (a ，a )，半径为r ，因为圆C 经过点A (－2，0)，B (0，2)，所以|AC |＝|BC |＝r ，即（a ＋2）2＋（a －0）2＝（a －0）2＋（a －2）2＝r ，解得a ＝0，r ＝2，故所求圆C的方程为x 2＋y 2＝4.(2)设圆心C 到直线l ，l 1的距离分别为d ，d 1，四边形PMQN 的面积为S .因为直线l ，l 1都经过点(0，1)，且l 1⊥l ，根据勾股定理，有d 21＋d 2＝1.又|PQ |＝2×4－d 2，|MN |＝2×4－d 21，所以S ＝12|PQ |·|MN |＝12×2×4－d 2×2×4－d 21＝216－4（d 21＋d 2）＋d 21d 2＝212＋d 21d 2≤212＋⎝ ⎛⎭⎪⎫d 21＋d 222＝212＋14＝7，当且仅当d 1＝d 时，等号成立，所以四边形PMQN 面积的最大值为7.求解圆的弦长的3种方法命题角度三直线与圆的综合问题已知圆C 经过点A (0，2)，B (2，0)，圆C 的圆心在圆x 2＋y 2＝2的内部，且直线3x＋4y ＋5＝0被圆C 所截得的弦长为2 3.点P 为圆C 上异于A ，B 的任意一点，直线P A 与x 轴交于点M ，直线PB 与y 轴交于点N .(1)求圆C 的方程；(2)若直线y ＝x ＋1与圆C 交于A 1，A 2两点，求BA 1→·BA 2→；(3)求证：|AN |·|BM |为定值．【解】 (1)易知圆心C 在线段AB 的中垂线y ＝x 上，故可设C (a ，a )，圆C 的半径为r .因为直线3x ＋4y ＋5＝0被圆C 所截得的弦长为23，且r ＝a 2＋（a －2）2，所以C (a ，a )到直线3x ＋4y ＋5＝0的距离d ＝|7a ＋5|5＝r 2－3＝2a 2－4a ＋1，所以a ＝0或a ＝170.又圆C 的圆心在圆x 2＋y 2＝2的内部，所以a ＝0，此时r ＝2，所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4. (2)将y ＝x ＋1代入x 2＋y 2＝4得2x 2＋2x －3＝0. 设A 1(x 1，y 1)，A 2(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－1，x 1x 2＝－32.所以BA 1→·BA 2→＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＋(x 1＋1)(x 2＋1)＝2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋5＝－3＋1＋5＝3.(3)证明：当直线P A 的斜率不存在时，|AN |·|BM |＝8. 当直线P A 与直线PB 的斜率都存在时，设P (x 0，y 0)，直线P A 的方程为y ＝y 0－2x 0x ＋2，令y ＝0得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 02－y 0，0. 直线PB 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)，令x ＝0得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2y 02－x 0.所以|AN |·|BM |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2y 02－x 0⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2x 02－y 0＝4＋4⎣⎢⎡⎦⎥⎤y 0x 0－2＋x 0y 0－2＋x 0y 0（x 0－2）（y 0－2）＝4＋4×y 20－2y 0＋x 20－2x 0＋x 0y 0（x 0－2）（y 0－2）＝4＋4×4－2y 0－2x 0＋x 0y 0（x 0－2）（y 0－2）＝4＋4×4－2y 0－2x 0＋x 0y 04－2y 0－2x 0＋x 0y 0＝8，综上，|AN |·|BM |为定值8.讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．[对点训练]1．自圆C ：(x －3)2＋(y ＋4)2＝4外一点P (x ，y )引该圆的一条切线，切点为Q ，PQ 的长度等于点P 到原点O 的距离，则点P 的轨迹方程为( )A ．8x －6y －21＝0B ．8x ＋6y －21＝0C ．6x ＋8y －21＝0D ．6x －8y －21＝0解析：选D.由题意得，圆心C 的坐标为(3，－4)，半径r ＝2，如图．因为|PQ |＝|PO |，且PQ ⊥CQ ，所以|PO |2＋r 2＝|PC |2，所以x 2＋y 2＋4＝(x －3)2＋(y ＋4)2，即6x －8y －21＝0，所以点P 的轨迹方程为6x －8y －21＝0，故选D.2．(2019·江苏南师大附中期中改编)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 过点A (0，－8)，且与圆x 2＋y 2－6x －6y ＝0相切于原点，则圆C 的方程为________________，圆C 被x 轴截得的弦长为________________．解析：将已知圆化为标准式得(x －3)2＋(y －3)2＝18，圆心为(3，3)，半径为3 2.由于两个圆相切于原点，圆心连线过切点，故圆C 的圆心在直线y ＝x 上．由于圆C 过点(0，0)，(0，－8)，所以圆心又在直线y ＝－4上．联立y ＝x 和y ＝－4，得圆心C 的坐标(－4，－4)．又因为点(－4，－4)到原点的距离为42，所以圆C 的方程为(x ＋4)2＋(y ＋4)2＝32，即x 2＋y 2＋8x ＋8y ＝0.圆心C 到x 轴距离为4，则圆C 被x 轴截得的弦长为2×（42）2－42＝8.答案：x 2＋y 2＋8x ＋8y ＝0 83．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 与y 轴相切，且过点M (1，3)，N (1，－3)． (1)求圆C 的方程；(2)已知直线l 与圆C 交于A ，B 两点，且直线OA 与直线OB 的斜率之积为－2.求证：直线l 恒过定点，并求出定点的坐标．解：(1)因为圆C 过点M (1，3)，N (1，－3)，所以圆心C 在线段MN 的垂直平分线上，即在x 轴上，故设圆心为C (a ，0)，易知a >0，又圆C 与y 轴相切，所以圆C 的半径r ＝a ，所以圆C 的方程为(x －a )2＋y 2＝a 2. 因为点M (1，3)在圆C 上，所以(1－a )2＋(3)2＝a 2，解得a ＝2. 所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4. (2)记直线OA 的斜率为k (k ≠0)，则其方程为y ＝kx .联立⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）2＋y 2＝4，y ＝kx ，消去y ，得(k 2＋1)x 2－4x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝4k 2＋1.所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋1，4k k 2＋1.由k ·k OB ＝－2，得k OB ＝－2k ，直线OB 的方程为y ＝－2kx ，在点A 的坐标中用－2k代替k ，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2k 2＋4，－8k k 2＋4.当直线l 的斜率不存在时，4k 2＋1＝4k 2k 2＋4，得k 2＝2，此时直线l 的方程为x ＝43.当直线l 的斜率存在时，4k 2＋1≠4k 2k 2＋4，即k 2≠2.则直线l 的斜率为4kk 2＋1－－8k k 2＋44k 2＋1－4k 2k 2＋4＝4k （k 2＋4）＋8k （k 2＋1）4（k 2＋4）－4k 2（k 2＋1）＝3k （k 2＋2）4－k 4＝3k2－k 2.故直线l 的方程为y －4kk 2＋1＝3k 2－k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4k 2＋1.即y ＝3k 2－k 2⎝⎛⎭⎫x －43，所以直线l 过定点⎝⎛⎭⎫43，0. 综上，直线l 恒过定点，定点坐标为⎝⎛⎭⎫43，0.一、选择题1．已知直线l 1过点(－2，0)且倾斜角为30°，直线l 2过点(2，0)且与直线l 1垂直，则直线l 1与直线l 2的交点坐标为( )A ．(3，3)B ．(2，3)C ．(1，3)D ．⎝⎛⎭⎫1，32 解析：选C.直线l 1的斜率k 1＝tan 30°＝33，因为直线l 2与直线l 1垂直，所以直线l 2的斜率k 2＝－1k 1＝－3，所以直线l 1的方程为y ＝33(x ＋2)，直线l 2的方程为y ＝－3(x －2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33（x ＋2），y ＝－3（x －2），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，即直线l 1与直线l 2的交点坐标为(1，3)．2．圆C 与x 轴相切于T (1，0)，与y 轴正半轴交于A 、B 两点，且|AB |＝2，则圆C 的标准方程为( )A ．(x －1)2＋(y －2)2＝2B ．(x －1)2＋(y －2)2＝2C ．(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝4D ．(x －1)2＋(y －2)2＝4解析：选A.由题意得，圆C 的半径为1＋1＝2，圆心坐标为(1，2)，所以圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2，故选A.3．已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离解析：选B.圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)可化为x 2＋(y －a )2＝a 2，由题意，M (0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a 2，所以a 2＝a 22＋2，解得a ＝2.所以圆M ：x 2＋(y －2)2＝4，所以两圆的圆心距为2，半径和为3，半径差为1，故两圆相交．4．(多选)直线x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －1＝0有两个不同的交点的一个充分不必要条件是( )A ．0<m <1B ．m <1C ．－2<m <1D ．－3<m <1解析：选AC.圆x 2＋y 2－2x －1＝0的圆心为(1，0)，半径为 2.因为直线x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －1＝0有两个不同的交点，所以直线与圆相交，因此圆心到直线的距离d ＝|1＋m |1＋1<2，所以|1＋m |<2，解得－3<m <1，求其充分不必要条件，即求其真子集，故由选项易得AC 符合，故选AC.5．在平面直角坐标系内，过定点P 的直线l ：ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线m ：x －ay ＋3＝0相交于点M ，则|MP |2＋|MQ |2＝( )A ．102B ．10C ．5D ．10解析：选D.由题意知P (0，1)，Q (－3，0)，因为过定点P 的直线ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线x －ay ＋3＝0垂直，所以MP ⊥MQ ，所以|MP |2＋|MQ |2＝|PQ |2＝9＋1＝10，故选D.6．(一题多解)(2019·潍坊模拟)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线x －ky ＋1＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，OM →＝OA →＋OB →，若点M 在圆C 上，则实数k 的值为( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1解析：选C.法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －ky ＋1＝0，x 2＋y 2＝4得(k 2＋1)y 2－2ky －3＝0，则Δ＝4k 2＋12(k 2＋1)>0，y 1＋y 2＝2k k 2＋1，x 1＋x 2＝k (y 1＋y 2)－2＝－2k 2＋1，因为OM →＝OA →＋OB →，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 2＋1，2k k 2＋1，又点M 在圆C 上，故4（k 2＋1）2＋4k 2（k 2＋1）2＝4，解得k ＝0. 法二：由直线与圆相交于A ，B 两点，OM →＝OA →＋OB →，且点M 在圆C 上，得圆心C (0，0)到直线x －ky ＋1＝0的距离为半径的一半，为1，即d ＝11＋k2＝1，解得k ＝0.二、填空题7．过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于________．解析：令P (2，0)，如图，易知|OA |＝|OB |＝1，所以S △AOB ＝12|OA |·|OB |·sin ∠AOB＝12sin ∠AOB ≤12，当∠AOB ＝90°时，△AOB 的面积取得最大值，此时过点O 作OH ⊥AB 于点H ，则|OH |＝22，于是sin ∠OPH ＝|OH ||OP |＝222＝12，易知∠OPH 为锐角，所以∠OPH ＝30°，则直线AB 的倾斜角为150°，故直线AB 的斜率为tan 150°＝－33. 答案：－338．已知圆O ：x 2＋y 2＝4到直线l ：x ＋y ＝a 的距离等于1的点至少有2个，则实数a 的取值范围为________．解析：由圆的方程可知圆心为(0，0)，半径为2.因为圆O 到直线l 的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l 的距离d <r ＋1＝2＋1，即d ＝|－a |12＋12＝|a |2<3，解得a ∈(－32，32)．答案：(－32，32)9．(2019·高考浙江卷)已知圆C 的圆心坐标是(0，m )，半径长是r .若直线2x －y ＋3＝0与圆C 相切于点A (－2，－1)，则m ＝________，r ＝________．解析：法一：设过点A (－2，－1)且与直线2x －y ＋3＝0垂直的直线方程为l ：x ＋2y ＋t ＝0，所以－2－2＋t ＝0，所以t ＝4，所以l ：x ＋2y ＋4＝0.令x ＝0，得m ＝－2，则r ＝（－2－0）2＋（－1＋2）2＝ 5.法二：因为直线2x －y ＋3＝0与以点(0，m )为圆心的圆相切，且切点为A (－2，－1)，所以m ＋10－（－2）×2＝－1，所以m ＝－2，r ＝（－2－0）2＋（－1＋2）2＝ 5.答案：－2 5三、解答题10．已知点M (－1，0)，N (1，0)，曲线E 上任意一点到点M 的距离均是到点N 的距离的3倍．(1)求曲线E 的方程；(2)已知m ≠0，设直线l 1：x －my －1＝0交曲线E 于A ，C 两点，直线l 2：mx ＋y －m ＝0交曲线E 于B ，D 两点．当CD 的斜率为－1时，求直线CD 的方程．解：(1)设曲线E 上任意一点的坐标为(x ，y )，由题意得（x ＋1）2＋y 2＝3·（x －1）2＋y 2，整理得x 2＋y 2－4x ＋1＝0，即(x －2)2＋y 2＝3为所求．(2)由题意知l 1⊥l 2，且两条直线均恒过点N (1，0)．设曲线E 的圆心为E ，则E (2，0)，设线段CD 的中点为P ，连接EP ，ED ，NP ，则直线EP ：y ＝x －2.设直线CD ：y ＝－x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，y ＝－x ＋t ，解得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋22，t －22，由圆的几何性质，知|NP |＝12|CD |＝|ED |2－|EP |2，而|NP |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋22－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t －222，|ED |2＝3， |EP |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|2－t |22，所以⎝⎛⎭⎫t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t －222＝3－（t －2）22，整理得t 2－3t ＝0，解得t ＝0或t ＝3，所以直线CD 的方程为y ＝－x 或y ＝－x ＋3.11．在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0，1)，当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．解：(1)不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下：设A (x 1，0)，B (x 2，0)，则x 1，x 2满足x 2＋mx －2＝0，所以x 1x 2＝－2.又C 的坐标为(0，1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC 的情况．(2)证明：BC 的中点坐标为(x 22，12)，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2(x －x 22)．由(1)可得x 1＋x 2＝－m ，所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2.联立⎩⎨⎧x ＝－m2，y －12＝x 2（x －x22），又x 22＋mx 2－2＝0，可得⎩⎨⎧x ＝－m2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为(－m 2，－12)，半径r ＝m 2＋92. 故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－（m2）2＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．12．在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在直线l 上．(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．解：(1)因为圆心在直线l ：y ＝2x －4上，也在直线y ＝x －1上，所以解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －4，y ＝x －1，得圆心C (3，2)，又因为圆C 的半径为1，所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝1，又因为点A (0，3)，显然过点A ，圆C 的切线的斜率存在，设所求的切线方程为y ＝kx ＋3，即kx －y ＋3＝0，所以|3k －2＋3|k 2＋12＝1，解得k ＝0或k ＝－34，所以所求切线方程为y ＝3或y ＝－34x ＋3，即y －3＝0或3x ＋4y －12＝0.(2)因为圆C 的圆心在直线l ：y ＝2x －4上，所以设圆心C 为(a ，2a －4)，又因为圆C 的半径为1，则圆C 的方程为(x －a )2＋(y －2a ＋4)2＝1. 设M (x ，y )，又因为|MA |＝2|MO |，则有 x 2＋（y －3）2＝2x 2＋y 2，整理得x 2＋(y ＋1)2＝4，其表示圆心为(0，－1)，半径为2的圆，设为圆D ，所以点M 既在圆C 上，又在圆D 上，即圆C 与圆D 有交点，所以2－1≤a 2＋（2a －4＋1）2≤2＋1，解得0≤a ≤125，所以圆心C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，125.。

2020高考数学(理科)二轮总复习课时跟踪检测(十六)直线与圆Word版含解析

第一部分高考层级专题打破层级二7 个能力专题师生共研专题六分析几何第一讲直线与圆课时追踪检测 (十六 )直线与圆一、选择题1．已知直线 l 1： x － 2y ＋1＝0 与直线 l 2：x ＋ky －3＝ 0 平行，则实数 k 的值为 ()A ．－2B ． 211C ．－2D ． 2分析：选A∵直线 l 1：－＋＝与直线l2：＋－＝平行，x 2y 1 0x ky 3 01k－3 ∴1＝ ≠ 1，－ 2解得 k ＝－ 2.应选 A ．2．已知点 P 与点 Q(1，－2)对于直线 x ＋y － 1＝ 0 对称，则点 P 的坐标为 ( )A ．(3,0)B ． (－3,2)C ．(－3,0)D ． (－1,2)分析：选A设 P 的坐标为 (a ，b)，则 PQ 的中点坐标为a ＋1 b －2，2 ， 2若点 P 与 Q(1，－ 2)对于 x ＋y －1＝0 对称，b ＋2＝1， a －1 则a ＋1b －22 ＋ 2 －1＝0，解得 a ＝3， b ＝ 0，则点 P 的坐标为 (3,0)，应选 A ．3．(2019 成·都模拟 )已知 a ∈R 且为常数，圆 C ： x 2＋2x ＋ y 2－2ay ＝0，过圆C 内一点 (1,2)的直线 l 与圆 C 订交于 A ，B 两点，当弦 AB 最短时，直线 l 的方程为 2x －y ＝0，则 a 的值为 ()A ．2B ． 3C ．4D ． 5分析：选 B化圆 C ：x 2＋2x ＋ y 2－2ay ＝0 为(x ＋ 1)2＋ (y －a)2＝ a 2＋1，圆心坐标为 C(－1，a)，半径为a 2＋1.a －2 如图，由题意可得，过圆心与点 (1,2)的直线与直线 2x －y ＝ 0 垂直，则－1－11＝－ 2，即 a ＝3.应选 B ．4．(2019 ·宜宾模拟 )已知直线 l ：3x ＋ y － 6＝ 0 与圆心为 M(0,1)，半径为 5的1圆订交于 A ，B 两点，另向来线 l 2：＋－－＝与圆 M 交于 C ， D 两点，2kx 2y 3k 3 0 则四边形 ACBD 面积的最大值为 ()A ．5 2B ． 10 2C ．5 2＋ 5D ． 5 2－5分析：选 A 以 M(0,1)为圆心，半径为5的圆的方程为 x 2 ＋－1) 2＝，(y 53x ＋ y － 6＝ 0，联立解得 A(2,0)，B(1,3)，22x ＋ y －1 ＝ 5，3 3∴AB 的中点为 2，2 .3 3而直线 l 2：2kx ＋2y －3k － 3＝0 恒过定点 2，2 ，∴ |AB|＝ 2－1 2＋ 0－ 3 2＝ 10.要使四边形的面积最大，只要 l 2 过圆心即可，即 CD 为直径，此时 CD ⊥AB ，∴四边形 ACBD 的面积最大值为 S ＝ 1× 10×2 5＝ 5 2.应选 A ．2． ·兴庆区校级一模 ) 与 3x ＋4y ＝ 0 垂直，且与圆 (x － 1) 2＋y 2＝ 4 相切的5 (2019一条直线是 ()A ．4x － 3y ＝6B ． 4x －3y ＝－ 6C ．4x ＋ 3y ＝6D ． 4x ＋3y ＝－ 6分析：选 B 依据题意，要求直线与 3x ＋4y ＝ 0 垂直，设其方程为 4x －3y＋ m ＝0，|4＋ m|＝2，若该直线与圆 (x －1)2＋y 2 ＝4 相切，则有32＋42解得 m ＝6 或－ 14，即要求直线的方程为 4x － 3y ＝－ 6 或 4x － 3y ＝14，应选 B ．6．(2019 ·袁州模拟 )已知点 A(0， 3)，B(3,23)，若圆 C ：(x － 1)2＋ y 2 ＝r 2(r>0)上恰有两点 M ，N ，使得△ MAB 和△ NAB 的面积均为 3，则 r 的取值范围是 ()A ．(1,3)B ． (1,2)C ．(0,3)D ． (0,2)分析：选A依据题意， A(0， 3)，B(3,2 3)，则 |AB|＝ 9＋3＝2 3，若△ MAB 和△NAB 的面积均为3，则 M ，N 到直线 AB 的距离相等，1设 M ，N 到直线 AB 的距离均为 d ，则有 2× 2 3×d ＝3，则 d ＝ 1，又由 A(0， 3)，B(3,2 3)，则直线 AB 的方程为 x － 3y ＋3＝0，若圆 C 上有两点 M ，N ，使得 △MAB 和 △NAB 的面积均为3，则直线 MN与 AB 平行，且圆心 C 到直线 AB 的距离 d′＝|1＋ 3|＝2，1＋3剖析可得： 1<r<3，即 r 的取值范围为 (1,3)．应选 A ．二、填空题7．(2019 ·山州模拟凉)已知直线 l 1：ax＋y＋2＝0，直线 l2：x＋y＝0，若 l1 ⊥ l2，则 a＝________.分析：直线 l1：ax＋y＋2＝0，直线 l 2：x＋y＝0，若 l1⊥ l2，则 1·a＋ 1×1＝0，解得 a＝－ 1.答案：－18．(2019 ·常熟市校级月考 )已知直线 l 过两直线 x＋2y＋4＝0 和 2x＋ 3y－ 8＝0 的交点，且过点 (0,1)，则直线 l 的方程为 ______________．分析：直线 l 过两直线 x＋2y＋4＝0 和 2x＋ 3y－8＝0 的交点，且过点 (0,1)，x＋2y＋ 4＝ 0，联立得 x＝28， y＝－ 16，2x＋ 3y－8＝0，∴直线 l 过点 (28，－ 16)，(0,1)，y－1－16－1∴直线 l 的方程为x＝28－0，即17x＋28y－28＝0.答案： 17x＋28y－28＝ 039．(2019 ·呼和浩特一模 )已知直线 y＝－4x－ 3 与 x，y 轴分别交于 A，B 两点，动点 P 在圆 x2＋ y2－2x－ 2y＋1＝0 上，则△ ABP 面积的最大值为 ________．3分析：依据题意，直线 y＝－4x－3 与 x， y 轴分别交于 A， B 两点，则 A(－4,0)，B(0，－ 3)，且 |AB|＝5，动点 P 在圆 x2＋ y2－2x－ 2y＋1＝0 上，当△ABP 的面积最大时， P 到直线AB 的距离最大，圆 x2＋y2－2x－ 2y＋1＝0，即 (x－1)2＋ (y－1)2＝1，其圆心为 (1,1)，半径 r＝1；3直线 y ＝－4x － 3 即 3x ＋ 4y ＋12＝0，|3＋4＋12|24则 P 到直线 AB 的距离最大值为 d ＋r ＝ 5＋1＝ 5，则△ ABP 面积的最大值为 1×|AB|×24＝12.25答案： 12三、解答题10． (2019 ·州模拟泸 )已知圆 C 的圆心在直线 x －2y ＝0 上，且经过点 M(0，－ 1)，N(1,6)．(1)求圆 C 的方程；(2)已知点 A(1,1)，B(7,4)，若 P 为圆 C 上的一动点，求 |PA|2＋ |PB|2的取值范围．解： (1)设圆心 C(a ， b)，则 a － 2b ＝0，即 a ＝ 2b ，由|MC|＝|NC|得 2b － 0 2＋ b ＋1 2＝2b －1 2＋ b －6 2，解得 b ＝ 2，a ＝4，∴圆的半径 r ＝ 5，∴圆 C 的方程为 (x － 4)2＋ (y － 2)2＝ 25.(2)设 P(x ，y)，则 (x －4)2＋(y －2)2＝25，即 x 2＋y 2＝5＋8x ＋ 4y ，则|PA|2＋ |PB|2＝(x －1)2 ＋(y － 1)2＋ (x －7)2＋ (y －4)2＝ 2x 2＋ 2y 2 －16x －10y ＋67＝10＋ 16x ＋ 8y －16x － 10y ＋ 67＝77－2y ，∵－ 3≤ y ≤7，∴63≤77－ 2y ≤83，故|PA|2＋|PB|2 的取值范围是 [63,83]．11．(2019 ·荆门模拟 )已知直线 l ：x ＋ 3y ＋4＝0，半径为 2 的圆 C 与 l 相切，圆心在 x 轴上且在直线 l 的右上方．(1)求圆 C 的方程；(2)过点 M(1,0)的直线与圆 C 交于 A ，B 两点 (A 在 x 轴上方 )，问在 x 轴上是否存在定点 N ，使得 x 轴均分∠ ANB ？若存在，恳求出点 N 的坐标；若不存在，请说明原因．解： (1)设圆 C 的方程为 (x － a)2＋ y 2＝4，由 |a ＋ 4| ＝2 得 a ＝ 0 或 a ＝－8，1＋3 又圆心在直线 l 的右上方，故 a ＝0.故所求圆 C 的方程为 x 2＋ y 2＝4.x ＝ty ＋ 1，(2)设过点 M(1,0)的直线方程为 x ＝ty ＋ 1，由 x 2＋y 2＝4 ? (t 2＋1)y 2＋ 2ty －3＝0，－ 2t －3故 y 1＋y 2＝t 2＋1，y 1y 2＝ t 2＋ 1，设 A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，N(m,0)，由 k AN ＋ BN ＝0? 1 y 1 ＋y 2＝ 0? y 1 2 － m) ＋ 2 1－ m) ＝ 1 2＋－k2(x y (x 0? y (ty 1 m)x －m x －m＋ y 2 (ty 1＋ 1－ m)＝0，即 2ty 1y 2＋(1－m)(y 1＋y 2)＝0，－ 3＋(1－m)－2t故 2t ·＝0 对随意 t ∈R 恒建立，t 2＋1 t 2＋1即(8－ 2m)t ＝0 恒建立，故 m ＝4 即 N(4,0)．因此存在定点 N ，使得 x 轴均分∠ ANB.N 点坐标为 (4,0)．12．(2019 ·南平模拟 )已知圆 M 知足：①被 y 轴分红两段圆弧，弧长的比为 3∶1；②截 x 轴所得的弦长为 2.(1)求圆心 M 的轨迹方程；(2)求圆心 M 到直线 l ：2x － y ＝0 的距离最小的圆的方程．解： (1)设圆心 M(x ， y)，半径为 r ，∵圆 M 被 y 轴分红两段圆弧的弧长比为 3∶1，2r∴圆心 M 到 y 轴的距离 |x|＝ 2 .①∵圆 M 截 x 轴所得的弦长为 2，∴圆心 M 到 x 轴的距离 |y|＝ r 2－1，②2x由①②消去 r 得 2x 2－y 2＝ 1，即 1 －y 2＝ 1.2∴圆心 M 的轨迹方程为 x1 －y2 ＝1.22(2)设直线 2x －y ＋c ＝0 与双曲线 x1 － y 2＝1 相切．2y ＝2x ＋ c ，联立方程组消 y 得 2x 2＋ 4cx ＋ c 2＋1＝0，2x 2－y 2＝1，令＝ 16c 2－8c 2－8＝0，得 c ＝ ±1.∴当 c ＝ 1 时，方程组y ＝ 2x ＋c ，的解为x ＝－ 1，2－y 2＝1＝－，2xy1即切点坐标为 (－ 1，－ 1)，此时 M(－ 1，－ 1)，r ＝ 2，故圆 M 的方程为 (x ＋1)2＋ (y ＋1)2 ＝2.当 c ＝－ 1 时，方程组y ＝ 2x ＋c ，的解为 x ＝ 1，2－y 2＝1＝，2xy 1即切点坐标为 (1,1)，此时 M(1,1)， r ＝ 2.故圆 M 的方程为 (x －1)2＋ (y －1)2 ＝2.∴圆心 M 到直线 l ： 2x －y ＝0 的距离最小的圆的方程为(x ＋1)2＋ (y ＋1)2＝2或 (x －1)2＋ (y －1)2＝2.。

2018学高考理科数学通用版练酷专题二轮复习课时跟踪检测(十一) 直线与圆

课时跟踪检测（十一）直线与圆1．已知直线l 1：x ＋2ay －1＝0，l 2：(a ＋1)x －ay ＝0，若l 1∥l 2，则实数a 的值为( )A ．－32B ．0C ．－32或0D ．2解析：选C 若a ≠0，则由l 1∥l 2，得a ＋11＝－a 2a ，所以2a ＋2＝－1，即a ＝－32；若a ＝0，则l 1∥l 2.所以a 的值为－32或0. 2．在平面直角坐标系xOy 中，若圆x 2＋(y －1)2＝4上存在A ，B 两点关于点P (1,2)成中心对称，则直线AB 的方程为( )A ．x －y －3＝0B ．x ＋y －3＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x －y ＋1＝0解析：选B 由题意得圆心(0,1)与点P (1,2)的连线垂直于直线AB ，所以k AB ·2－11－0＝－1，解得k AB ＝－1.而直线AB 过点P ，所以直线AB 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.3．(2017·沈阳一模)已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则直线l 的方程为( )A ．x ＋y －2＝0B ．x －y ＋2＝0C ．x ＋y －3＝0D ．x －y ＋3＝0解析：选D 圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心为(0,3)，又直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则其斜率为1，故直线l 的方程为x －y ＋3＝0.4．(2017·菏泽一模)已知圆(x －1)2＋y 2＝1被直线x －3y ＝0分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为( )A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．1∶5解析：选A 圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为(1,0)，半径为 1.圆心到直线的距离d ＝112＋(－3)2＝12，所以较短弧所对的圆心角为2π3，较长弧所对的圆心角为4π3，故两弧长之比为1∶2.5．(2017·惠州三调)已知圆O ：x 2＋y 2＝4上到直线l ：x ＋y ＝a 的距离等于1的点至少有2个，则a 的取值范围为( ) A ．(－32，32) B ．(－∞，－32)∪(32，＋∞) C ．(－22，22) D ．(－∞，－22)∪(22，＋∞)解析：选A 由圆的方程可知圆心为(0,0)，半径为2.因为圆上到直线l ：x ＋y ＝a 的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l 的距离d ＜r ＋1＝3，即d ＝|－a |2＜3，解得－32＜a ＜3 2.6．(2018届高三·湖北八校联考)已知直线ax ＋by －6＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为25，则ab 的最大值为( )A.52B ．4 C.92 D ．9解析：选C 圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0化成标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，因为直线ax ＋by －6＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为25，故直线ax ＋by －6＝0(a＞0，b ＞0)经过圆心(1,2)，即a ＋2b ＝6.又6＝a ＋2b ≥22ab ，即ab ≤92，当且仅当a ＝2b ＝3时取等号，故ab 的最大值为92. 7．(2017·西安模拟)圆：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2距离的最大值是( )A ．1＋ 2B ．2C ．1＋22D ．2＋2 2解析：选A 将圆的方程化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，即圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x －y ＝2的距离d ＝|1－1－2|2＝2，故圆上的点到直线x －y ＝2距离的最大值为d ＋1＝2＋1.8．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (－1,0)，B (0,1)，则满足|PA |2－|PB |2＝4且在圆x 2＋y 2＝4上的点P 的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 解析：选C 设P (x ，y )，则由|PA |2－|PB |2＝4，得(x ＋1)2＋y 2－x 2－(y －1)2＝4，所以x ＋y －2＝0.求满足条件的点P 的个数即为求直线与圆的交点个数，圆心到直线的距离d ＝|0＋0－2|2＝2＜2＝r ，所以直线与圆相交，交点个数为2.故满足条件的点P 有2个． 9．(2016·河南焦作一模)著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：(x －a )2＋(y －b )2可以转化为平面上点M (x ，y )与点N (a ，b )的距离．结合上述观点，可得f (x )＝x 2＋4x ＋20＋x 2＋2x ＋10的最小值为( )A ．2 5B ．5 2C ．4D ．8 解析：选B ∵f (x )＝x 2＋4x ＋20＋x 2＋2x ＋10＝(x ＋2)2＋(0－4)2＋(x ＋1)2＋(0－3)2，∴f (x )的几何意义为点M (x,0)到两定点A (－2,4)与B (－1,3)的距离之和，设点A (－2,4)关于x 轴的对称点为A ′，则A ′为(－2，－4)．要求f (x )的最小值，可转化为|MA |＋|MB |的最小值，利用对称思想可知|MA |＋|MB |≥|A ′B |＝(－1＋2)2＋(3＋4)2＝52，即f (x )＝x 2＋4x ＋20＋x 2＋2x ＋10的最小值为5 2. 10．在平面直角坐标系xOy 中，设直线y ＝－x ＋2与圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若圆上一点C 满足OC ―→＝54OA ―→＋34OB ―→，则r ＝( ) A ．210B.10 C ．2 5D.5 解析：选B 已知OC ―→＝54OA ―→＋34OB ―→，两边平方化简得OA ―→·OB ―→＝－35r 2，所以cos ∠AOB ＝－35，所以cos ∠AOB 2＝55，又圆心O (0,0)到直线的距离为|2|2＝2，所以2r ＝55，解得r ＝10. 11．已知圆O ：x 2＋y 2＝4，若不过原点O 的直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，且满足直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，则直线l 的斜率为( )A ．－1或1B ．0或－43C ．1D ．－1解析：选A 设直线l ：y ＝kx ＋b (b ≠0)，代入圆的方程，化简得(1＋k 2)x 2＋2kbx ＋b 2－4＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2kb1＋k 2，x 1x 2＝b 2－41＋k 2， k OP ·k OQ ＝y 1x 1·y 2x 2＝⎝⎛⎭⎫k ＋b x 1⎝⎛⎭⎫k ＋b x 2 ＝k 2＋kb ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2x 1x 2＋b 2x 1x 2 ＝k 2＋kb ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2kb b 2－4＋b 2(1＋k 2)b 2－4 ＝b 2－4k 2b 2－4，由k OP ·k OQ ＝k 2，得b 2－4k 2b 2－4＝k 2，解得k ＝±1.12．已知AC ，BD 为圆O ：x 2＋y 2＝4的两条互相垂直的弦，且垂足为M (1，2)，则四边形ABCD 面积的最大值为( )A ．5B ．10C ．15D ．20解析：选A 如图，作OP ⊥AC 于P ，OQ ⊥BD 于Q ，则|OP |2＋|OQ |2＝|OM |2＝3，∴|AC |2＋|BD |2＝4(4－|OP |2)＋4(4－|OQ |2)＝20.又|AC |2＋|BD |2≥2|AC |·|BD |，则|AC |·|BD |≤10，∴S 四边形ABCD ＝12|AC |·|BD |≤12×10＝5，当且仅当|AC |＝|BD |＝10时等号成立，∴四边形ABCD 面积的最大值为5.故选A.13．已知点A (4，－3)与B (2，－1)关于直线l 对称，在l 上有一点P ，使点P 到直线4x ＋3y －2＝0的距离等于2，则点P 的坐标是________．解析：由题意知线段AB 的中点C (3，－2)，k AB ＝－1，故直线l 的方程为y ＋2＝x －3，即x －y －5＝0.设P (x ，x －5)，则2＝|4x ＋3x －17|42＋32，解得x ＝1或x ＝277. 即点P 的坐标是(1，－4)或⎝⎛⎭⎫277，－87. 答案：(1，－4)或⎝⎛⎭⎫277，－87 14．(2017·南京学情调研)在平面直角坐标系xOy 中，若直线ax ＋y －2＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －a )2＝16相交于A ，B 两点，且△ABC 为直角三角形，则实数a 的值是________．解析：由题意得圆的半径为4，因为△ABC 是直角三角形，所以圆心C 到直线AB 的距离为22，即|a ＋a －2|a 2＋1＝22，解得a ＝－1. 答案：－115．在平面直角坐标系xOy 中，已知过原点O 的动直线l 与圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B ，若点A 恰为线段OB 的中点，则圆心C 到直线l 的距离为________．解析：圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，圆心C (3,0)，半径r ＝2，设过原点O 的动直线l 的方程为y ＝kx ，由题意，设A (a ，ka )，B (2a ，2ka )，将A 点坐标代入圆C 的方程得(1＋k 2)a 2－6a ＋5＝0. ①记AB 中点为D ，则D ⎝⎛⎭⎫32a ，32ka ，所以CD ⊥AB ，所以32ka 32a －3＝－1k . ② 联立①②，解得⎩⎨⎧ a ＝54，k ＝±155，可得点D 坐标为⎝⎛⎭⎫158，±3158，所以圆心C 到直线l 的距离为|CD |＝ ⎝⎛⎭⎫158－32＋⎝⎛⎭⎫31582＝364. 答案：36416．(2017·云南模拟)已知动圆C 过A (4,0)，B (0，－2)两点，圆心C 关于直线x ＋y ＝0的对称点为M ，过点M 的直线交圆C 于E ，F 两点，当圆C 的面积最小时，|EF |的最小值为________．解析：依题意知，动圆C 的半径不小于12|AB |＝5，即当圆C 的面积最小时，AB 是圆C 的一条直径，此时点C 是线段AB 的中点，即点C (2，－1)，点M 的坐标为(1，－2)，且|CM |＝(2－1)2＋(－1＋2)2＝2＜5，所以点M 位于圆C 内，当点M 为线段EF 的中点(过定圆内一定点作圆的弦，以该定点为中点的弦最短)时，|EF |最小，其最小值等于2(5)2－(2)2＝2 3.答案：23。

高中数学北师大必修2课时跟踪检测(二十三) 直线与圆的位置关系 Word版含解析

课时跟踪检测（二十三）直线与圆的位置关系层级一学业水平达标．直线＋－＝与圆＋＝的位置关系是( )．相离．相切．相交．相切或相离解析：选圆心到直线的距离＝＝＜＝，∴直线与圆相交．．直线＝被圆＋＝截得的弦长等于( )．．．解析：选直线＝过圆心，被圆＋＝所截得的弦长恰为圆的直径，故选.．若直线＋＝与圆＋＝(＞)相切，则实数的值等于( )．．解析：选由＝，得＝，∴＝.．圆心为()且与直线＋＝相切的圆的方程为( )．(－)＋＝．(－)＋＝．(－)＋＝．(－)＋＝解析：选由题意知所求圆的半径＝＝，故所求圆的方程为(－)＋＝，故选.．若直线－＋＝与圆(－)＋＝有公共点，则实数的取值范围是( )．[－，－]．[－]．[－]．(－∞，－]∪[，＋∞)解析：选圆的圆心为()，半径为，所以≤，即＋≤，∴－≤＋≤，∴－≤≤.．直线－－＝被圆(－)＋＝所截得的弦长为．解析：圆心为()，半径为，圆心到直线的距离＝＝，弦长＝＝＝.答案：．在平面直角坐标系中，已知圆＋＝上有且仅有四个点到直线－＋＝的距离为，则实数的取值范围是．解析：由题意知，圆心()到直线－＋＝的距离＜，∴＜，∴－＜＜.答案：(－)．直线＋＋＝(＞)与圆＋＝交于，两点，且△＝，则＝.解析：∵圆心到直线＋＋＝的距离＝，＝×，∴△＝×××＝，解得＝或＝.又＞，∴＝或.答案：或．求实数，使直线－＋＝和圆＋－＋＝.()相交；()相切；()相离．解：圆的方程为(－)＋＝，圆心为()，半径为＝，圆心到直线的距离＝.()若直线与圆相交，则＜，即＜，解得＜－或＞.()若直线与圆相切，则＝，即＝，解得＝－或.()若直线与圆相离，则＞，即＞，解得－＜＜.．已知圆满足以下条件：①圆上一点关于直线＋＝的对称点仍在圆上，②圆心在直线－－＝上，③与直线－＋＝相交截得的弦长为，求圆的方程．解：设圆的方程为(－)＋(－)＝(＞)，∵圆上的点关于直线＋＝的对称点仍在圆上，∴圆心在＋＝上，∴＋＝.又∵－－＝，∴＝，＝－.∵圆被直线－＋＝截得的弦长为，∴＋()＝，∴＝，∴圆的方程为(－)＋(＋)＝.层级二应试能力达标．若直线：＋＝与圆：＋＝相交，则点(，)与圆的位置关系是( )．点在圆内．点在圆外．点在圆上．不确定解析：选圆心到直线的距离＝＜，即＋＞.故点在圆外．．(安徽高考)直线＋＝与圆＋－－＋＝相切，则的值是( )．－或．或－．－或－．或解析：选法一：由＋＝得＝－＋，代入＋－－＋＝，并化简得－(＋)＋－＋＝，Δ＝(＋)－×(－＋)＝，解得＝或＝.。

高考总复习优化设计二轮用书数学考点突破练11 直线与圆

C.若反射光线与圆C相切于点A,与x轴相交于点B,则|PB|+|BA|=2
1
D.若反射光线与圆C交于M,N两点,则△CNM面积的最大值为 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
解析对于A,由圆C方程可得x2+(y-2)2=1,故圆心C(0,2),半径r=1,
|1+1|
= 2=r ,
又因为圆心(1,1)到直线x+y=0的距离 d=
所以(x-1)2+(y-1)2=2符合题意.
12 +12
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
10.(2023江苏南京师大附中一模)过点P(3,-2)且与圆C:x2+y2-2x-4y+1=0相
|2-1-|
令圆心(2,1)到直线 l:kx-y-k=0 的距离
1+2
=2,整理得 3k2+2k+3=0,由
Δ=4-36=-32<0 可得,方程无解,故不存在实数 k,使得直线 l 与圆 M 相切,故 C
错误;
若 k=1,则直线 l 的方程为 x-y-1=0,圆心(2,1)在直线 l:x-y-1=0 上,故直线 l 被
所以圆心到直线 2x-y+1=0 的距离 d<
3
7
即|2a-2|<5,得- <a< .
2
2
|2-2|
5,所以
5
< 5,
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
12.(2023四川德阳模拟)唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句是“白日

高三数学(理)一轮总复习(人教通用)课时跟踪检测(五十三) 直线与圆、圆与圆的位置关系 Word版含解析

课时跟踪检测(五十三) 直线与圆、圆与圆的位置关系一抓基础，多练小题做到眼疾手快．圆(＋)＋＝与圆(－)＋(－)＝的位置关系为( )．内切．相交．相离．外切解析：选由两圆心距离＝＝，又＋＝＋＝，∴＜＋，∴两圆相交．．若＋＝(≠)，则直线＋＋＝被圆＋＝所截得的弦长为( )．．．．解析：选因为圆心()到直线＋＋＝的距离＝＝＝，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于＝，所以弦长为.．直线与圆＋＋－＋＝(＜)相交于，两点，若弦的中点为(－)，则直线的方程为( )．＋－＝．＋－＝．－－＝．－＋＝解析：选设直线的斜率为，又弦的中点为(－)，所以直线的方程为－＋＋＝，由＋＋－＋＝得圆的圆心坐标为(－)，所以圆心到直线的距离为，所以＝，解得＝，所以直线的方程为－＋＝.．若圆＋＋－＝与直线＝－相切，其圆心在轴的左侧，则＝.解析：圆的标准方程为＋＝，圆心到直线＝－的距离＝－(－)，解得＝±，因为圆心在轴的左侧，所以＝.答案：．已知点是圆：＋＋－－＝上的一点，直线：－－＝.若点到直线的距离为，则符合题意的点有个．解析：由题意知圆的标准方程为(＋)＋(－)＝，∴圆心到直线的距离＝＝＞，故直线与圆相离，则满足题意的点有个．答案：二保高考，全练题型做到高考达标．(·温州十校联考)对任意的实数，直线＝－与圆：＋－－＝的位置关系是( )．相离．相切．以上三个选项均有可能．相交解析：选直线＝－恒经过点(，－)，圆＋－－＝的圆心为()，半径为，而＝＜，故直线＝－与圆＋－－＝相交．．(·大连期末)圆＋＋－＝被直线＋－＝分成两段圆弧，且较短弧长与较长弧长之比为∶，则＝( )．或－．－或－－．或－．解析：选由题意知，圆的标准方程为＋(＋)＝.较短弧所对圆周角是°，所以圆心(，－)到直线＋－＝的距离为＝.即＝，解得＝或－.．(·沈阳一模)直线＝＋与圆(－)＋(－)＝相切，则的值为( )．．．－或．或－解析：选法一：联立(\\(＝＋，,(－(＋(－(＝，))消去可得，－(－)＋－＝，则由题意可得Δ＝[－(－)]－××(－)＝，整理可得＋－＝，解得＝或－.法二：因为(－)＋(－)＝的圆心为()，半径为，所以由直线＝＋与圆(－)＋(－)＝相切，知圆心到直线的距离等于半径，所以＝，即＋＝，解得＝或－.．(·乌鲁木齐三诊)在圆＋＋－＝内，过点()的最短弦所在直线的倾斜角是( )．．．．解析：选由题意知，圆心为(－)，过点()的最长弦(直径)斜率为－，且最长弦与最短弦垂直，∴过点()的最短弦所在直线的斜率为，即倾斜角是.．(·重庆高考)已知直线：＋－＝(∈)是圆：＋－－＋＝的对称轴．过点(－，)作圆的一条切线，切点为，则＝( )．．．．解析：选由于直线＋－＝是圆：＋－－＋＝的对称轴，∴圆心()在直线＋－＝上，∴＋－＝，∴＝－，∴(－，－)．∴＝＋＝.又＝，∴＝－＝.∴＝.．直线＝＋被圆＋－－＝所截得的弦长等于．解析：圆的方程可化为(－)＋(－)＝，故圆心为()，半径＝.又直线方程为－＋＝，所以圆心到直线的距离为＝＝，所以弦长为＝×＝＝.答案：．(·沈阳质监)过点()的直线与圆：(－)＋(－)＝交于，两点，为圆心，当∠最小时，直线的方程是．解析：依题意得知，当∠最小时，圆心到直线的距离达到最大，此时直线与直线垂直，。

(浙江专用)高考数学二轮复习课时跟踪检测(十三)小题考法——直线与圆-人教版高三全册数学试题

课时跟踪检测（十三）小题考法——直线与圆A 组——10＋7提速练一、选择题1．已知直线l ：y ＝k (x ＋3)和圆C ：x 2＋(y －1)2＝1，若直线l 与圆C 相切，则k ＝( ) A ．0 B. 3 C.33或0 D.3或0解析：选D 因为直线l 与圆C 相切，所以圆心C (0,1)到直线l 的距离d ＝|－1＋3k |k 2＋－12＝1，解得k ＝0或k ＝3，故选D.2．(2018·某某十校高三5月适应性考试)已知直线l 过圆(x －1)2＋(y －2)2＝1的圆心，当原点到直线l 距离最大时，直线l 的方程为( )A ．y ＝2B ．x －2y －5＝0C ．x －2y ＋3＝0D ．x ＋2y －5＝0解析：选D 设圆心为M ，则M (1,2)．当l 与OM 垂直时，原点到l 的距离最大．作出示意图如图， ∵k OM ＝2，∴l 的斜率为－12.∴直线l 的方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.3．直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“|AB |＝2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 依题意，注意到|AB |＝2＝|OA |2＋|OB |2等价于圆心O 到直线l 的距离等于22，即有1k 2＋－12＝22，k ＝±1.因此，“k ＝1”是“|AB |＝2”的充分不必要条件．4．若三条直线l 1：4x ＋y ＝3，l 2：mx ＋y ＝0，l 3：x －my ＝2不能围成三角形，则实数m 的取值最多有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．6个解析：选C 三条直线不能围成三角形，则至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点．若l 1∥l 2，则m ＝4；若l 1∥l 3，则m ＝－14；若l 2∥l 3，则m 的值不存在；若三条直线相交于同一点，则m ＝1或－53.故实数m 的取值最多有4个，故选C.5．(2018·某某模拟)在直角坐标系xOy 中，已知点A (0，－1)，B (2,0)，过A 的直线交x 轴于点C (a,0)，若直线AC 的倾斜角是直线AB 倾斜角的2倍，则a ＝( )A.14B.34C ．1D.43解析：选B 设直线AC 的倾斜角为β，直线AB 的倾斜角为α，即有tan β＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 又tan β＝1a ，tan α＝12，所以1a ＝2×121－14，解得a ＝34.6．与直线x ＋y －2＝0和曲线x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝2 B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝2 C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝2 D ．(x －2)2＋(y －2)2＝2解析：选D 由题意知，曲线方程为(x －6)2＋(y －6)2＝(32)2，过圆心(6,6)作直线x ＋y －2＝0的垂线，垂线方程为y ＝x ，则所求的最小圆的圆心必在直线y ＝x 上，又圆心(6,6)到直线x ＋y －2＝0的距离d ＝|6＋6－2|2＝52，故最小圆的半径为52－322＝2，圆心坐标为(2,2)，所以所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2.7．(2018·某某模拟)若直线(2λ－1)x ＋(λ＋2)y ＋λ＋2＝0(λ∈R)被圆C ：(x －1)2＋y 2＝4所截得的弦为MN ，则|MN |的最小值是( )A. 2 B ．2 C ．2 2D ．4解析：选C 直线方程(2λ－1)x ＋(λ＋2)y ＋λ＋2＝0(λ∈R)可化为λ(2x ＋y ＋1)＋(－x ＋2y ＋2)＝0(λ∈R)，若⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋1＝0，－x ＋2y ＋2＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1，所以直线恒过圆C ：(x－1)2＋y 2＝4内的定点P (0，－1)，当直线(2λ－1)x ＋(λ＋2)y ＋λ＋2＝0(λ∈R)与直线CP 垂直时，|MN |最小，此时|MN |＝2r 2－|CP |2＝24－22＝2 2.故选C.8．(2018·某某质检)设圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的圆心为C ，直线l 过(0,3)且与圆C 交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则直线l 的方程为( )A ．3x ＋4y －12＝0或4x －3y ＋9＝0B ．3x ＋4y －12＝0或x ＝0C ．4x －3y ＋9＝0或x ＝0D ．3x －4y ＋12＝0或4x ＋3y ＋9＝0解析：选B 由题可知，圆心C (1,1)，半径r ＝2.当直线l 的斜率不存在时，直线方程为x ＝0，计算出弦长为23，符合题意；当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y ＝kx ＋3，由弦长为23可知，圆心到该直线的距离为1，从而有|k ＋2|k 2＋1＝1，解得k ＝－34，所以直线l 的方程为y ＝－34x ＋3，即3x ＋4y －12＝0.综上，直线l 的方程为x ＝0或3x ＋4y －12＝0，故选B.9．两个圆C 1：x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0(a ∈R)与C 2：x 2＋y 2－2by －1＋b 2＝0(b ∈R)恰有三条公切线，则a ＋b 的最小值为( )A ．3 2B ．－3 2C ．6D ．－6解析：选B 两个圆恰有三条公切线，则两圆外切，两圆的标准方程为圆C 1：(x ＋a )2＋y 2＝4，圆C 2：x 2＋(y －b )2＝1，所以C 1(－a,0)，C 2(0，b )，||C 1C 2＝a 2＋b 2＝2＋1＝3，即a 2＋b 2＝9.由⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，得(a ＋b )2≤18，所以－32≤a ＋b ≤32，当且仅当“a ＝b ”时等号成立．所以a ＋b 的最小值为－3 2.10．若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则半径r 的取值X 围是( )A ．(4,6)B ．[4,6]C ．(4,5)D ．(4,5]解析：选A 设直线4x －3y ＋m ＝0与直线4x －3y －2＝0之间的距离为1，则有|m ＋2|5＝1，m ＝3或m ＝－7.圆心(3，－5)到直线4x －3y ＋3＝0的距离等于6，圆心(3，－5)到直线4x －3y －7＝0的距离等于4，因此所求圆半径的取值X 围是(4,6)，故选A.二、填空题11．直线l ：x ＋λy ＋2－3λ＝0(λ∈R)恒过定点________，P (1，1)到直线l 的距离的最大值为________．解析：直线l ：x ＋λy ＋2－3λ＝0(λ∈R)，即λ(y －3)＋x ＋2＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧y －3＝0，x ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3，∴直线l 恒过定点(－2,3)．不妨记Q(－2,3)，则P (1,1)到直线l 的距离的最大值为|P Q|＝－32＋22＝13.答案：(－2,3)1312．若直线l 1：y ＝x ＋a 和直线l 2：y ＝x ＋b 将圆(x －1)2＋(y －2)2＝8分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝________.解析：由题意得直线l 1和l 2截圆所得弦所对的圆心角相等，均为90°，因此圆心到两直线的距离均为22r ＝2，即|1－2＋a |2＝|1－2＋b |2＝2，得a 2＋b 2＝(22＋1)2＋(1－22)2＝18.答案：1813．已知点M (2,1)及圆x 2＋y 2＝4，则过M 点的圆的切线方程为________，若直线ax －y ＋4＝0与该圆相交于A ，B 两点，且|AB |＝23，则a ＝________.解析：若过点M 的圆的切线斜率不存在，则切线方程为x ＝2，经验证满足条件．若切线斜率存在，可设切线方程为y ＝k (x －2)＋1，由圆心到直线的距离等于半径得|－2k ＋1|k 2＋1＝2，解得k ＝－34，故切线方程为y ＝－34(x －2)＋1，即3x ＋4y －10＝0.综上，过M 点的圆的切线方程为x ＝2或3x ＋4y －10＝0.由4a 2＋1＝4－3，得a ＝±15.答案：x ＝2或3x ＋4y －10＝0 ±1514．已知⊙C 的方程为x 2－2x ＋y 2＝0，直线l ：kx －y ＋x －2k ＝0与⊙C 交于A ，B 两点，当|AB |取最大值时，k ＝________；当△ABC 的面积最大时，k ＝________.解析：圆的方程可化为(x －1)2＋y 2＝1，圆心C (1,0)，半径为1，当直线过圆心时，弦AB 为直径，|AB |最大，此时k ＝1.设∠ACB ＝θ，则S △ABC ＝12×1×1×sin θ＝12sin θ，当θ＝90°时，△ABC 的面积最大，此时圆心到直线的距离为22，由d ＝|1－k |k ＋12＋1＝22，解得k ＝0或k ＝6.答案：1 0或615．已知圆O ：x 2＋y 2＝r 2与圆C ：(x －2)2＋y 2＝r 2(r >0)在第一象限的一个公共点为P ，过点P 作与x 轴平行的直线分别交两圆于不同两点A ，B (异于P 点)，且OA ⊥OB ，则直线OP 的斜率是________，r ＝________.解析：两圆的方程相减得，4x －4＝0，则点P 的横坐标x ＝1.易知P 为AB 的中点，因为OA ⊥OB ，所以|OP |＝|AP |＝|PB |，所以△OAP 为等边三角形，所以∠APO ＝60°，因为AB ∥x 轴，所以∠POC ＝60°，所以直线OP 的斜率为 3.设P (1，y 1)，则y 1＝3，所以P (1，3)，代入圆O ，解得r ＝2.答案： 3 216．(2018·浦江模拟)设A 是直线y ＝x －4上一点，P ，Q 是圆C ：x 2＋(y －2)2＝17上不同的两点，若圆心C 是△AP Q 的重心．则△AP Q 面积的最大值为________．解析：如图，∵圆心C 是△AP Q 的重心，∴AC ⊥P Q ，设C 到P Q 的距离为x ，则P Q ＝217－x 2，则A 到P Q 的距离为3x ， ∴S △PA Q ＝12×217－x 2×3x＝317－x 2·x ≤3·17－x 2＋x 22＝512.当且仅当17－x 2＝x ，即x ＝342时等号成立． ∴△AP Q 面积的最大值为512.答案：51217．定义：若平面点集A 中的任一个点(x 0，y 0)，总存在正实数r ，使得集合{(x ，y )|x －x 02＋y －y 02<r }⊆A ，则称A 为一个开集，给出下列集合：①{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}；②{(x ，y )|x ＋y ＋2>0}； ③{(x ，y )||x ＋y |≤6}；④{(x ，y )|0<x 2＋(y －2)2<1}．其中是开集的是________．(请写出所有符合条件的序号)解析：集合{(x ，y )|x －x 02＋y －y 02<r }表示以(x 0，y 0)为圆心，以r 为半径的圆面(不包括圆周)，由开集的定义知，集合A 应该无边界，故由①②③④表示的图形知，只有②④符合题意．答案：②④B 组——能力小题保分练1．若a ，b 是正数，直线2ax ＋by －2＝0被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为23，则t ＝a 1＋2b 2取得最大值时a 的值为( )A.12B.32C.34D.34解析：选D 因为圆心到直线的距离d ＝24a 2＋b2，则直线被圆截得的弦长L ＝2r 2－d2＝24－44a 2＋b 2＝23，所以4a 2＋b 2＝4.则t ＝a 1＋2b 2＝122·(22a )·1＋2b 2≤122×12×[]22a 2＋1＋2b22＝142·[8a 2＋1＋2(4－4a 2)]＝942，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧8a 2＝1＋2b 2，4a 2＋b 2＝4时等号成立，此时a ＝34，故选D.2．已知直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，且有|OA ―→＋OB ―→|≥33|AB ―→|，那么k 的取值X 围是( )A ．(3，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．[2，22)D ．[3，22)解析：选C 当|OA ―→＋OB ―→|＝33|AB ―→|时，O ，A ，B 三点为等腰三角形AOB 的三个顶点，其中OA ＝OB ＝2，∠AOB ＝120°，从而圆心O 到直线x ＋y －k ＝0(k >0)的距离为1，即|k |2＝1，解得k ＝2；当k >2时，|OA ―→＋OB ―→|>33|AB ―→|，又直线与圆x 2＋y 2＝4有两个不同的交点，故|k |2<2，即k <2 2.综上，k 的取值X 围为[2，22)．3．已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r >0)．设条件p ：0<r <3，条件q ：圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选 C 圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2的圆心(1,0)到直线x －3y ＋3＝0的距离d ＝|1－3×0＋3|12＋－32＝2.当2－r >1，即0<r <1时，直线在圆外，圆上没有点到直线的距离为1；当2－r ＝1，即r ＝1时，直线在圆外，圆上只有1个点到直线的距离为1；当0<2－r <1，即1<r <2时，直线在圆外，此时圆上有2个点到直线的距离为1；当2－r ＝0，即r ＝2时，直线与圆相切，此时圆上有2个点到直线的距离为1；当0<r －2<1，即2<r <3时，直线与圆相交，此时圆上有2个点到直线的距离为1；当r －2＝1，即r ＝3时，直线与圆相交，此时圆上有3个点到直线的距离为1；当r －2>1，即r >3时，直线与圆相交，此时圆上有4个点到直线的距离为1. 综上，当0<r <3时，圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1；由圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1可得0<r <3.故p 是q 的充要条件，故选C.4．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的圆心在直线ax －by ＋1＝0上，则ab 的取值X 围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14 B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，18C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18 解析：选B 把圆的方程化为标准方程得，(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，∴圆心坐标为(－1,2)，根据题意可知，圆心在直线ax －by ＋1＝0上，把圆心坐标代入直线方程得，－a －2b ＋1＝0，即a ＝1－2b ，则ab ＝(1－2b )b ＝－2b 2＋b ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫b －142＋18≤18，当b ＝14时，ab 有最大值18，故ab 的取值X 围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，18.5．已知点A (3,0)，若圆C ：(x －t )2＋(y －2t ＋4)2＝1上存在点P ，使|PA |＝2|PO |，其中O 为坐标原点，则圆心C 的横坐标t 的取值X 围为________．解析：设点P (x ，y )，因为|PA |＝2|PO |，所以x －32＋y 2＝2x 2＋y 2，化简得(x＋1)2＋y 2＝4，所以点P 在以M (－1,0)为圆心，2为半径的圆上．由题意知，点P (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆M 有公共点，则1≤|CM |≤3，即1≤t ＋12＋2t －42≤3，开方得1≤5t 2－14t ＋17≤9.不等式5t 2－14t ＋16≥0的解集为R ；由5t 2－14t ＋8≤0，得45≤t ≤2.所以圆心C 的横坐标t 的取值X 围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，2.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，26．设点M (x 0,1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值X围是________．解析：由题意可知M在直线y＝1上运动，设直线y＝1与圆x2＋y2＝1相切于点P(0,1)．当x0＝0即点M与点P重合时，显然圆上存在点N(±1，0)符合要求；当x0≠0时，过M作圆的切线，切点之一为点P，此时对于圆上任意一点N，都有∠OMN≤∠OMP，故要存在∠OMN＝45°，只需∠OMP≥45°.特别地，当∠OMP＝45°时，有x0＝±1.结合图形可知，符合条件的x0的取值X围为[－1,1]．答案：[－1,1]。

2020届高考数学(理科)总复习课时跟踪练(五十五)直线与圆、圆与圆的位置关系含解析

课时跟踪练(五十五)A组基础巩固1．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是()A．相切B．相交C．相离D．不确定解析：由题意知点M在圆外，则a2＋b2>1，圆心到直线的距离d＝1a2＋b2<1，故直线与圆相交．答案：B2．已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是()A．－2 B．－4 C．－6 D．－8解析：由x2＋y2＋2x－2y＋a＝0，得(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，所以圆心坐标为(－1，1)，半径r＝2－a，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离为|－1＋1＋2|2＝2，所以22＋(2)2＝2－a，解得a＝－4.答案：B3．(2019·深圳调研)在平面直角坐标系中，直线y＝2x与圆O：x2＋y2＝1交于A，B两点，α，β的始边是x轴的非负半轴，终边分别在射线OA和OB上，则tan(α＋β)的值为()A．－2 2 B．－ 2 C．0 D．2 2解析：由题可知tan α＝tan β＝2，那么tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－22，故选A.答案：A4．(2019·湖北四地七校联考)若圆O 1：x 2＋y 2＝5与圆O 2：(x ＋m )2＋y 2＝20相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是( )A ．3B ．4C ．2 3D ．8解析：连接O 1A ，O 2A ，由于⊙O 1与⊙O 2在点A 处的切线互相垂直，因此O 1A ⊥O 2A ，所以|O 1O 2|2＝|O 1A |2＋|O 2A |2，即m 2＝5＋20＝25，设AB 交x 轴于点C .在Rt △O 1AO 2中，sin ∠AO 2O 1＝55，所以在Rt △ACO 2中， AC ＝AO 2·sin ∠AO 2O 1＝25×55＝2，所以AB ＝2AC ＝4.故选B. 答案：B5．(2018·全国卷Ⅲ)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( )A ．[2，6]B ．[4，8]C ．[2，32]D ．[22，32]解析：设圆(x －2)2＋y 2＝2的圆心为C ，半径为r ，点P 到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ，则圆心C (2，0)，r ＝2，所以圆心C 到直线x ＋y ＋2＝0的距离为22，可得d max ＝22＋r ＝32，d min ＝22－r ＝ 2.由已知条件可得AB ＝22，所以△ABP 面积的最大值为12AB ·d max ＝6，△ABP 面积的最小值为12AB ·d min ＝2.综上，△ABP 面积的取值范围是[2，6]．故选A. 答案：A6．已知圆C 1：x 2＋y 2－6x －7＝0与圆C 2：x 2＋y 2－6y －27＝0相交于A ，B 两点，则线段AB 的中垂线方程为________________________________．解析：因为圆C 1的圆心C 1(3，0)，圆C 2的圆心C 2(0，3)，所以直线C 1C 2的方程为x ＋y －3＝0，AB 的中垂线即直线C 1C 2，故其方程为x ＋y －3＝0. 答案：x ＋y －3＝07．从圆x 2－2x ＋y 2－2y ＋1＝0外一点P (3，2)向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为________．解析：由x 2－2x ＋y 2－2y ＋1＝0，得(x －1)2＋(y －1)2＝1，则圆心为C (1，1)，|PC |＝（3－1）2＋（2－1）2＝ 5.设两切点分别为B ，D ，则|CD |＝1，所以sin ∠CPD ＝55，则cos ∠DPB ＝1－2 sin 2∠CPD ＝1－25＝35，即两条切线夹角的余弦值为35.答案：358．[一题多解](2016·全国卷Ⅲ)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．则|CD |＝________．解析：法一由圆x 2＋y 2＝12知圆心O (0，0)，半径r ＝2 3.所以圆心(0，0)到直线x －3y ＋6＝0的距离d ＝61＋3＝3，|AB |＝2 12－32＝2 3.过C 作CE ⊥BD 于E .如图所示，则|CE |＝|AB |＝2 3. 因为直线l 的方程为x －3y ＋6＝0，所以k AB ＝33，则∠BPD ＝30°，从而∠BDP ＝60°.所以|CD |＝|CE |sin 60°＝|AB |sin 60°＝2332＝4.法二设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12，得y 2－33y ＋6＝0，解得y 1＝3，y 2＝23，所以A (－3，3)，B (0，23)．过A ，B 作l 的垂线方程分别为 y －3＝－3(x ＋3)，y －23＝－3x ，令y ＝0，得x C ＝－2，x D ＝2，所以|CD |＝2－(－2)＝4. 答案：49．已知两圆C 1：x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和C 2：x 2＋y 2－10x －12y ＋45＝0. (1)求证：圆C 1和圆C 2相交；(2)求圆C 1和圆C 2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．(1)证明：圆C 1的圆心为C 1(1，3)，半径r 1＝11，圆C 2的圆心为C 2(5，6)，半径r 2＝4，两圆圆心距d ＝|C 1C 2|＝5，r 1＋r 2＝11＋4，|r 1－r 2|＝4－11，所以|r 1－r 2|＜d ＜r 1＋r 2，所以圆C 1和圆C 2相交．(2)解：圆C 1和圆C 2的方程左、右两边分别相减，得4x ＋3y －23＝0，所以两圆的公共弦所在直线的方程为4x ＋3y －23＝0.圆心C 2(5，6)到直线4x ＋3y －23＝0的距离为|20＋18－23|16＋9＝3，故公共弦长为216－9＝27.10．已知点P (2＋1，2－2)，M (3，1)，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4. (1)求过点P 的圆C 的切线方程；(2)求过点M 的圆C 的切线方程，并求出切线长．解：由题意得圆心为C (1，2)，半径r ＝2.(1)因为(2＋1－1)2＋(2－2－2)2＝4，所以点P在圆C上．又k PC＝2－2－22＋1－1＝－1，所以切线的斜率k＝－1k PC＝1.所以过点P的圆C的切线方程是y－(2－2)＝x－(2＋1)，即x－y＋1－22＝0.(2)因为(3－1)2＋(1－2)2＝5＞4，所以点M在圆C外部．当过点M的直线的斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0.又点C(1，2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，所以直线x－3＝0是圆的切线．当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，则圆心C到切线的距离d＝|k－2＋1－3k|k2＋1＝r＝2，解得k＝3 4.所以切线方程为y－1＝34(x－3)，即3x－4y－5＝0.综上可得，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0.因为|MC|＝（3－1）2＋（1－2）2＝5，所以过点M的圆C的切线长为|MC|2－r2＝5－4＝1.B组素养提升11．(2019·广州综合测试〈二〉)已知k∈R，点P(a，b)是直线x＋y＝2k与圆x2＋y 2＝k 2－2k ＋3的公共点，则ab 的最大值为( )A ．15B ．9C ．1D ．－53解析：由题意得⎩⎨⎧|2k |2≤k 2－2k ＋3，k 2－2k ＋3＞0，解得－3≤k ≤1.因为点P 是直线与圆的公共点，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2k ，a 2＋b 2＝k 2－2k ＋3，即ab ＝32k 2＋k －32＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋132－53，所以当k ＝－3时，ab 取得最大值9，故选B. 答案：B12．(2019·茂名模拟)若圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上至少有三个不同点到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为22，则直线l 的斜率的取值范围是( )A ．[2－3，1]B ．[2－3，2＋3] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，3 D ．[0，＋∞)解析：圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0可化为 (x －2)2＋(y －2)2＝18，则圆心坐标为(2，2)，半径为3 2.由圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上至少有三个不同点的直线l ：ax ＋by ＝0的距离为22可得，圆心到直线l ：ax ＋by ＝0的距离d ≤32－22＝2，即|2a ＋2b |a 2＋b 2≤2，则a 2＋b 2＋4ab ≤0.①若a ＝0，则b ＝0，不符合题意，故a ≠0且b ≠0，则①可化为1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＋4ba ≤0，由于直线l 的斜率k ＝－ab，所以1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＋4b a ≤0可化为1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2－4k ≤0，解得k ∈[2－3，2＋3]，故选B. 答案：B13．[一题多解](2018·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B (5，0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB →·CD →＝0，则点A 的横坐标为________．解析：法一设A (a ，2a )，a >0，则C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋52，a ，所以圆C 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a ＋522＋(y －a )2＝（a －5）24＋a 2，由⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a ＋522＋（y －a ）2＝（a －5）24＋a 2，y ＝2x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x D ＝1，y D ＝2，所以AB →·CD →＝(5－a ，－2a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －32，2－a ＝a 2－2a －152＋2a 2－4a ＝0，所以a ＝3或a ＝－1，又a >0，所以a ＝3，所以点A 的横坐标为3. 法二由题意易得∠BAD ＝45°. 设直线DB 的倾斜角为θ，则tan θ＝－12，所以tan ∠ABO ＝－tan(θ－45°)＝3，所以k AB ＝tan ∠ABO ＝－3. 所以AB 的方程为y ＝－3(x －5)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－（3－5），y ＝2x ，得x A ＝3. 答案：314．已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方．(1)求圆C 的方程；(2)过点M (1，0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆心C (a ，0)⎝ ⎛⎭⎪⎫a >－52，则|4a ＋10|5＝2，解得a ＝0或a ＝－5(舍)．所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t ，0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k （x －1），消去y 得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1.若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN ，即y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝0，则k（x1－1）x1－t＋k（x2－1）x2－t＝0，即2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0，即2（k2－4）k2＋1－2k2（t＋1）k2＋1＋2t＝0，解得t＝4，所以当点N坐标为(4，0)时，能使得x轴平分∠ANB.。

高考数学复习课时跟踪检测-直线与方程含解析

课时跟踪检测（四十五）直线与方程[A 级基础题——基稳才能楼高]1．(合肥模拟)直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( ) A 。

33B 。

3C ．－ 3D ．－33解析：选A 设直线l 的斜率为k ,则k ＝－sin 30°cos 150°＝33。

2．(永州模拟)已知直线l 1：x ＋y ＋1＝0,l 2：x ＋y －1＝0,则直线l 1与直线l 2之间的距离为( ) A ．1 B 。

2 C 。

3D ．2解析：选B 由平行线间的距离公式可知,直线l 1与直线l 2之间的距离为|1＋1|2＝2。

3．(成都月考)当点P (3,2)到直线mx －y ＋1－2m ＝0的距离最大时,m 的值为( ) A 。

2 B ．0 C ．－1D ．1解析：选C 直线mx －y ＋1－2m ＝0过定点Q(2,1),所以点P (3,2)到直线mx －y ＋1－2m ＝0的距离最大时,P Q 垂直直线,即m ·2－13－2＝－1,∴m ＝－1,故选C 。

4．(济宁模拟)过点(－10,10)且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的4倍的直线的方程为( ) A ．x －y ＝0 B ．x ＋4y －30＝0C ．x ＋y ＝0或x ＋4y －30＝0D ．x ＋y ＝0或x －4y －30＝0解析：选C 当直线经过原点时,此时直线的方程为x ＋y ＝0,满足题意．当直线不经过原点时,设直线方程为x 4a ＋y a ＝1,把点(－10,10)代入可得a ＝152,故直线方程为x 30＋2y15＝1,即x ＋4y －30＝0。

综上所述,可知选C 。

5．(深圳月考)若两直线kx －y ＋1＝0和x －ky ＝0相交且交点在第二象限,则k 的取值范围是( ) A ．(－1,0) B ．(0,1] C ．(0,1)D ．(1,＋∞)解析：选A 由题意知k ≠±1。

高考数学课标通用(理科)一轮复习课时跟踪检测：72Word版含解析

课时追踪检测 (七十二 )[高考基础题型得分练 ]1．用数学概括法证明“ 2n ＞2n ＋1 关于 n ≥n 0 的正整数 n 都成立”时，第一步证明中的开端值n 0 应取 ()A ．2B ．3C ．5D ．6答案： B分析： ∵当n ＝1 时， 21＝2,2×1＋1＝3,2n＞2n ＋1 不建立；当 n ＝2 时， 22＝4,2×2＋1＝5,2n＞2n ＋1 不建立；当 n ＝3 时， 23＝8,2×3＋1＝7,2n＞2n ＋1 建立，∴n 的第一个取值 n 0＝3.111 12．已知 f(n)＝n ＋n ＋1＋n ＋2＋＋ n 2，则 ()1 1A ．f(n)中共有 n 项，当 n ＝2 时， f(2)＝2＋31 1 1B ．f(n)中共有 n ＋1 项，当 n ＝2 时， f(2)＝2＋3＋41 ＋ 1 C ．f(n)中共有 n 2－n 项，当 n ＝2 时， f(2)＝3 2D ．f(n)中共有 n 2－n ＋1 项，当 n ＝2 时， f(2)＝12＋13＋14答案： D分析：由 f(n)可知，共有 n2－n ＋1 项，且 n ＝2 时，f(2)＝12＋13＋1 4.3．某个命题与正整数相关，假如当n＝k(k∈N* )时该命题建立，那么能够推出 n＝k＋1 时该命题也建立．现已知 n＝5 时该命题建立，那么()A ．n＝4 时该命题建立B．n＝4 时该命题不建立C．n≥5，n∈N*时该命题都建立D．可能 n 取某个大于 5 的整数时该命题不建立答案： C分析：明显 A，B 错误，由数学概括法原理知 C 正确．1111274．用数学概括法证明不等式1＋2＋4＋＋2n－ 1＞64 (n∈N* )成立，其初始值起码应取 ()A ．7B．8C．9D．10答案： B1分析：左侧＝ 1＋1＋1＋＋ 1 ＝1－n 1 ，代入考证可2＝－2 42n－1122n－11－2知 n 的最小值是 8.5．用数学概括法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋ 2)3(n∈N* )能被 9 整除”，利用概括假定证明n＝k＋1 时，只要睁开 ()A ．(k＋3)3B．(k＋2)3C．(k＋1)3D．(k＋1)3＋(k＋2)3答案： A分析：假定 n ＝k 时，原式 k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3 能被 9 整除，当n ＝k ＋1 时， (k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3 为了能用上边的概括假定，只需将 (k ＋3)3 睁开，让其出现 k 3.6．关于不等式 n 2＋n<n ＋1(n ∈ N * )，某同学用数学概括法证明的过程以下：(1) 当 n ＝1 时，12＋1<1＋1，不等式建立． (2) 假定当 n ＝ ∈ * 时，不等式 2＋k<k ＋1 建立，当 n ＝k ＋1 k(k N ) k时， k ＋1 2＋k ＋1＝ k 2＋3k ＋2<k 2＋3k ＋2 ＋ k ＋2 ＝ k ＋22＝ (k ＋1)＋1.∴当 n ＝k ＋1 时，不等式建立，则上述证法 ()A ．过程所有正确B ．n ＝1 考证不正确C ．概括假定不正确D ．从 n ＝k 到 n ＝k ＋1 的推理不正确答案： D分析：在 n ＝k ＋1 时，没有应用 n ＝k 时的假定，不是数学概括法．7．在数列 { a n } 中，a 1＝1，且 S n ＝n(2n －1)a n ，经过求 a 2，a 3，a 4，3猜想 a n 的表达式为 ()11A.n －1 n ＋1B.2n 2n ＋11 D. 2n ＋11C.2n －1 2n ＋12n ＋2答案： C分析：当 n＝2 时，1＋a2＝(2×3)a2，∴＝1；3a23×5111当 n＝3 时，3＋15＋a3＝(3×5)a3，∴a3＝5×7；故猜想 a n＝1. 2n－12n＋18 ．利用数学归纳法证明“(n ＋ 1)(n ＋ 2) (n ＋ n) ＝2n×1×3× × (2n－1)，n∈N*”时，从“ n＝k”变到“ n＝k＋1”时，左侧应增乘的因式是 ()A ．2k＋1B．2(2k＋1)2k＋12k＋3C.k＋1D.k＋1答案： B分析：当 n＝k(k∈N*)时，左式为 (k＋1)(k＋2) · ·(k＋k)；当 n＝k＋1 时，左式为 (k＋1＋1) ·(k＋1＋2) · ·(k＋1＋k－1) ·(k＋1＋k) ·(k＋1＋k＋1)，则左侧应增乘的式子是2k＋1 2k＋2＝2(2k＋1)．k＋11119．用数学概括法证明1＋2＋3＋＋2n－1＜n(n∈N，且n＞1)，第一步要证的不等式是________．1 1答案： 1＋2＋3＜2分析： ∵n ＞1 且 n ∈N ，1 1∴当n ＝2 时， 1＋2＋3＜2.10．[2017 ·江苏无锡调研 ]利用数学概括法证明不等式1 1n ＋1＋ n ＋2 1 1＋＋ n ＋n ＞ 2(n ＞1，n ∈ N *)的过程中，用 n ＝k ＋1 时左侧的代数式减去 n ＝k 时左侧的代数式的结果为 ________．1 1答案： 2k ＋1－2k ＋21 ＋ 11，①分析：当 n ＝k 时，左侧＝＋＋k ＋1 k ＋2 k ＋k当 n ＝k ＋1 时，左侧＝1 ＋1＋＋1＋ 1 ＋ 1 ，k ＋2 k ＋3k ＋k 2k ＋1 2k ＋2②1＋ 1 － 1 ＝ 11②－①，得－. 2k ＋1 2k ＋2 k ＋1 2k ＋1 2k ＋2．用数学概括法证明＋＋＋＋4 21 n 2＝n ＋n，则当 n ＝k ＋1112 3 2时左端应在 n ＝ k的基础上加上的项为．答案： (k 2＋1)＋(k 2＋2)＋＋ (k ＋1)2分析：当 n ＝k 时，左端为 1＋2＋3＋＋k ＋(k ＋1)＋(k ＋2)＋＋ k 2，则当 n ＝k ＋1 时，左端为 1＋2＋3＋＋k 2＋(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋＋ (k ＋1)2，故增添的项为 (k 2＋1)＋(k 2＋2)＋＋(k ＋1)2.[ 冲刺名校能力提高练 ]n ＋22n ＋ 11－a1．用数学概括法证明：“ 1＋ a ＋a ＋ a＝(a ≠1，n∈N *)”，在考证 n ＝1 时，等式左侧是 ()A ．1B ．1＋aC ．＋＋ 2D ．＋＋ 2＋a 3 1 a a 1 a a 答案： C分析：由题意，依据数学概括法的步骤可知，当n ＝1 时，等式的左侧应为 1＋a ＋a 2，应选 C.2．[2017 ·天津模拟 ]设 f(x)是定义在正整数集上的函数，且 f(x)满足：“当 f(k)≥k 2 建即刻，总可推出 f(k ＋1)≥(k ＋1)2 建立”．那么，以下命题总建立的是 ()A ．若 f(1)<1 建立，则 f(10)<100 建立B ．若 f(2)<4 建立，则 f(1)≥1 建立C ．若 f(3)≥9 建立，则当 k ≥1 时，均有 f(k)≥k 2 建立D ．若 f(4)≥16 建立，则当 k ≥4 时，均有 f(k)≥k 2 建立答案： D分析：选项 A ，B 的答案与题设中不等号方向不一样，故 A ，B 错；选项 C 中，应当是 k ≥3 时，均有 f(k)≥k 2 建立；关于选项 D ，知足题设原理，该命题建立．1 11133．用数学概括法证明不等式n ＋1＋ n ＋2＋＋ n ＋n >24的过程中，由 n ＝ k 推导 n ＝ k ＋ 1 时，不等式的左侧增添的式子是____________．1答案：2k ＋1 2k ＋2分析：不等式的左侧增添的式子是1 ＋ 1－ 1＝2k ＋1 2k ＋2k ＋111.，故填2k ＋1 2k ＋2 2k ＋1 2k ＋24.设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，且方程 x 2－a n x －a n ＝0 有一根为S n －1(n ∈N *)．(1)求 a 1，a 2；(2)猜想数列 { S n } 的通项公式，并给出证明．解：(1)当 n ＝1 时，方程 x 2－a 1x －a 1＝0 有一根为 S 1－1＝a 1－1，∴ (a 1－1)2－a 1(a 1－1)－a 1＝0，解得 a 1＝12.当 n ＝2 时，方程 x 2－a 2x －a 2＝0 有一根为 S 2－1＝a 1＋a 2－1＝a 21－2，∴ a 2－12 2－a 2 a 2－12 －a 2＝0，解得 a 2＝16. (2)由题意知 (S n －1)2－a n (S n －1)－a n＝0，当 n ≥2 时， a n ＝S n －S n －1，代入上式整理得1S n S n－1－2S n＋1＝0，解得 S n＝2－S n－1.由 (1)得S1＝a1＝1，S2＝a1＋a2＝1＋1＝2，2263猜想 S n＝n(n∈N*)．n＋1下边用数学概括法证明这个结论：①当 n＝1 时，结论建立．②假定 n＝k(k∈N*，k≥1)时结论建立，即S k＝k，k＋1当 n＝k＋1 时，S ＋＝ 1 ＝1＝k＋ 1＝k＋1，即当 nk 12－S k k k＋ 2k＋1 ＋12－k＋1＝k＋1 时结论建立．n由①②知 S n＝对随意的正整数n 都建立．11113－1*.33332 5．已知 f(n)＝1＋2＋3＋4＋＋n，g(n)＝22n，n∈N (1)当 n＝1,2,3 时，试比较 f(n)与 g(n)的大小；(2)猜想 f(n)与 g(n)的大小关系，并给出证明．解： (1)当 n＝1 时，f(1)＝1，g(1)＝1，因此 f(1)＝g(1)；911当 n＝2 时， f(2)＝8，g(2)＝8 ，因此 f(2)<g(2)；251312当 n＝3 时， f(3)＝216，g(3)＝216，因此 f(3)<g(3)．(2)由(1)猜想 f(n)≤g(n)，下边用数学概括法给出证明．①当 n＝1,2,3 时，不等式明显建立，②假定当 n＝k(k≥3，k∈N* )时不等式建立，即1 1 1 1 3 11＋23＋33＋43＋＋k3<2－2k2.13 1 1 那么，当 n ＝k ＋1 时， f(k ＋1)＝f(k)＋ k ＋1 3<2－2k 2＋ k ＋13. 1 1 1 由于 2 k ＋1 2－ 2k 2－ k ＋1 3 k ＋3 1 －3k －1 ＝2 k ＋1 3－2k 2＝2 k ＋1 3k 2<0，3 1 因此 f(k ＋1)<2－2 k ＋12＝g(k ＋1)．由①②可知，对全部 n ∈N *，都有 f(n)≤g(n)建立．。

高考数学二轮复习课时跟踪检测(十六)直线与圆(小题练)理

课时跟踪检测（十六）直线与圆（小题练）A 级——12＋4提速练一、选择题1．已知直线l 1：x ＋2ay －1＝0，l 2：(a ＋1)x －ay ＝0，若l 1∥l 2，则实数a 的值为( ) A ．－32B ．0C ．－32或0D ．2解析：选C 由l 1∥l 2得1×(－a )＝2a (a ＋1)，即2a 2＋3a ＝0，解得a ＝0或a ＝－32.经检验，当a ＝0或a ＝－32时均有l 1∥l 2，故选C.2．(2018·贵阳模拟)经过三点A (－1,0)，B (3,0)，C (1,2)的圆的面积S ＝( ) A ．π B ．2π C ．3πD ．4π解析：选D 法一：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，将A (－1,0)，B (3,0)，C (1,2)的坐标代入圆的方程可得⎩⎪⎨⎪⎧1－D ＋F ＝0，9＋3D ＋F ＝0，1＋4＋D ＋2E ＋F ＝0，解得D ＝－2，E ＝0，F ＝－3，所以圆的方程为x 2＋y 2－2x －3＝0，即(x －1)2＋y 2＝4，所以圆的半径r ＝2，所以S ＝4π.故选D.法二：根据A ，B 两点的坐标特征可知圆心在直线x ＝1上，设圆心坐标为(1，a )，则r ＝4＋a 2＝|a －2|，所以a ＝0，r ＝2，所以S ＝4π，故选D.3．已知圆(x －1)2＋y 2＝1被直线x －3y ＝0分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为( )A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．1∶5解析：选A (x －1)2＋y 2＝1的圆心为(1,0)，半径为1.圆心到直线的距离d ＝11＋3＝12，所以较短弧所对的圆心角为2π3，较长弧所对的圆心角为4π3，故两弧长之比为1∶2，故选A.4．(2018·山东临沂模拟)已知直线3x ＋ay ＝0(a >0)被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则a 的值为( )A. 2B. 3C ．2 2D ．2 3解析：选B 由已知条件可知，圆的半径为2，又直线被圆所截得的弦长为2，故圆心到直线的距离为3，即69＋a2＝3，得a ＝ 3.5．(2018·郑州模拟)已知圆(x －a )2＋y 2＝1与直线y ＝x 相切于第三象限，则a 的值是( )A. 2 B ．－ 2 C ．± 2D ．－2解析：选B 依题意得，圆心(a,0)到直线x －y ＝0的距离等于半径，即有|a |2＝1，|a |＝ 2.又切点位于第三象限，结合图形(图略)可知，a ＝－2，故选B.6．(2018·山东济宁模拟)已知圆C 过点A (2,4)，B (4,2)，且圆心C 在直线x ＋y ＝4上，若直线x ＋2y －t ＝0与圆C 相切，则t 的值为( )A ．－6±2 5B ．6±2 5C ．25±6D ．6±4 5解析：选B 因为圆C 过点A (2,4)，B (4,2)，所以圆心C 在线段AB 的垂直平分线y ＝x 上，又圆心C在直线x ＋y ＝4上，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＋y ＝4，解得x ＝y ＝2，即圆心C (2,2)，圆C的半径r ＝2－22＋2－42＝2.又直线x ＋2y －t ＝0与圆C 相切，所以|2＋4－t |5＝2，解得t ＝6±2 5.7．若过点A (1,0)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2－6x －8y ＋21＝0相交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点为M ，l 与直线x ＋2y ＋2＝0的交点为N ，则|AM |·|AN |的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选B 圆C 的方程化成标准方程可得(x －3)2＋(y －4)2＝4，故圆心C (3,4)，半径为2，则可设直线l的方程为kx －y －k ＝0(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋2＝0，kx －y －k ＝0，得N ⎝⎛⎭⎪⎫2k －22k ＋1，－3k 2k ＋1，又直线CM 与l 垂直，得直线CM 的方程为y －4＝－1k (x －3)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －4＝－1k x －3，kx －y －k ＝0，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋4k ＋3k 2＋1，4k 2＋2k k 2＋1，则|AM |·|AN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋4k ＋3k 2＋1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋2k k 2＋12·⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －22k ＋1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k 2k ＋12＝2|2k ＋1|1＋k 2×1＋k 2×31＋k 2|2k ＋1|＝6.故选B. 8．(2019届高三·湘东五校联考)圆(x －3)2＋(y －3)2＝9上到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于2的点有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选B 圆(x －3)2＋(y －3)2＝9的圆心为(3,3)，半径为3，圆心到直线3x ＋4y －11＝0的距离d ＝|3×3＋4×3－11|32＋42＝2，∴圆上到直线3x ＋4y －11＝0的距离为2的点有2个．故选B.9．圆x 2＋y 2＝1上的点到直线3x ＋4y －25＝0的距离的最小值为( ) A ．4 B ．3 C ．5D ．6解析：选A 易知圆x 2＋y 2＝1的圆心坐标为(0,0)，半径为1，圆心到直线3x ＋4y －25＝0的距离d ＝|－25|5＝5，所以圆x 2＋y 2＝1上的点到直线3x ＋4y －25＝0的距离的最小值为5－1＝4.10．(2019届高三·西安八校联考)若过点A (3,0)的直线l 与曲线(x －1)2＋y 2＝1有公共点，则直线l 斜率的取值范围为( )A ．(－3，3)B ．[－3， 3 ] C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 解析：选D 数形结合可知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －3)，则圆心(1,0)到直线y ＝k (x －3)的距离应小于等于半径1，即|2k |1＋k2≤1，解得－33≤k ≤33，故选D.11．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (－1,0)，B (0,1)，则满足|PA |2－|PB |2＝4且在圆x 2＋y 2＝4上的点P 的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 设P (x ，y )，则由|PA |2－|PB |2＝4，得(x ＋1)2＋y 2－x 2－(y －1)2＝4，所以x ＋y －2＝0.求满足条件的点P 的个数即为求直线与圆的交点个数，圆心到直线的距离d ＝|0＋0－2|2＝2＜2＝r ，所以直线与圆相交，交点个数为2.故满足条件的点P 有2个．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，－2)，点B (1，－1)，P 为圆x 2＋y 2＝2上一动点，则|PB ||PA |的最大值是( )A ．1B ．3C ．2D. 2解析：选C 设动点P (x ，y )，令|PB ||PA |＝t (t >0)，则1－x2＋－1－y 2－x 2＋－2－y2＝t 2，整理得，(1－t 2)x 2＋(1－t 2)y 2－2x ＋(2－4t 2)y ＋2－4t 2＝0，(*)易知当1－t 2≠0时，(*)式表示一个圆，且动点P 在该圆上，又点P 在圆x 2＋y 2＝2上，所以点P 为两圆的公共点，两圆方程相减得两圆公共弦所在直线l 的方程为x －(1－2t 2)y －2＋3t 2＝0，所以圆心(0,0)到直线l 的距离d ＝|－2＋3t 2|1＋1－2t22≤2，解得0<t ≤2，所以|PB ||PA |的最大值为2.二、填空题13．(2018·全国卷Ⅰ)直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＋2y －3＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝________.解析：由x 2＋y 2＋2y －3＝0，得x 2＋(y ＋1)2＝4.∴圆心C (0，－1)，半径r ＝2.圆心C (0，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|1＋1|2＝2，∴|AB |＝2r 2－d 2＝24－2＝2 2. 答案：2 214．如果直线ax ＋2y ＋3a ＝0与直线3x ＋(a －1)y ＝a －7平行，则a ＝________. 解析：由直线ax ＋2y ＋3a ＝0与直线3x ＋(a －1)y ＋7－a ＝0平行，可得⎩⎪⎨⎪⎧a a －1－2×3＝0，a 7－a －3×3a ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3或a ＝－2，a ≠0且a ≠－2，故a ＝3.答案：315．过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB最小时，直线l 的方程为____________________．解析：易知当CM ⊥AB 时，∠ACB 最小，直线CM 的斜率为k CM ＝1－012－1＝－2，从而直线l的斜率为k l ＝－1k CM ＝12，其方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即2x －4y ＋3＝0. 答案：2x －4y ＋3＝016．(2018·南宁、柳州模拟)过点(2，0)作直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于________．解析：令P (2，0)，如图，易知|OA |＝|OB |＝1，所以S △AOB ＝12|OA |·|OB |·sin∠AOB ＝12sin ∠AOB ≤12，当∠AOB ＝90°时，△AOB 的面积取得最大值，此时过点O 作OH ⊥AB 于点H ，则|OH |＝22，于是 sin ∠OPH ＝|OH ||OP |＝222＝12，易知∠OPH 为锐角，所以∠OPH ＝30°，则直线AB 的倾斜角为150°，故直线AB 的斜率为tan 150°＝－33. 答案：－33B 级——难度小题强化练1．(2018·重庆模拟)已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝2，直线l ：y ＝kx ，其中k 为[－3，3]上的任意一个数，则事件“直线l 与圆C 相离”发生的概率为( )A.33B.34C.14D.3－33解析：选D 当直线l 与圆C 相离时，圆心C 到直线l 的距离d ＝|2k |k 2＋1>2，解得k >1或k <－1，又k ∈[－3，3]，所以－3≤k <－1或1<k ≤3，故事件“直线l 与圆C 相离”发生的概率P ＝3－1＋－1＋323＝3－33，故选D.2．(2018·合肥质检)设圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的圆心为C ，直线l 过(0,3)与圆C 交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则直线l 的方程为( )A ．3x ＋4y －12＝0或4x －3y ＋9＝0B ．3x ＋4y －12＝0或x ＝0C ．4x －3y ＋9＝0或x ＝0D ．3x －4y ＋12＝0或4x ＋3y ＋9＝0解析：选B 圆的方程化为标准形式为(x －1)2＋(y －1)2＝4，圆心C (1,1)，半径r ＝2，当直线l 的斜率不存在时，方程为x ＝0，计算出弦长为23，符合题意；当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y ＝kx ＋3，由弦长为23可知，圆心到该直线的距离为1，从而有|k ＋2|k 2＋1＝1，解得k ＝－34，此时方程为y ＝－34x ＋3，即3x ＋4y－12＝0.综上，直线l 的方程为x ＝0或3x ＋4y －12＝0，故选B.3．(2018·安徽黄山二模)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，点P 为直线x 4＋y2＝1上一动点，过点P向圆O 引两条切线PA ，PB ，A ，B 为切点，则直线AB 经过定点( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 C.⎝⎛⎭⎪⎫34，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34 解析：选B 因为点P 是直线x 4＋y2＝1上的一动点，所以设P (4－2m ，m )．因为PA ，PB 是圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，所以OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，所以点A ，B 在以OP 为直径的圆C 上，即弦AB 是圆O 和圆C 的公共弦．因为圆心C 的坐标是⎝⎛⎭⎪⎫2－m ，m 2，且半径的平方r 2＝4－2m 2＋m24，所以圆C 的方程为(x －2＋m )2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －m 22＝4－2m 2＋m24，①又x 2＋y 2＝1，②所以②－①得，(2m －4)x －my ＋1＝0，即公共弦AB 所在的直线方程为(2x －y )m ＋(－4x＋1)＝0，所以由⎩⎪⎨⎪⎧－4x ＋1＝0，2x －y ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝12，所以直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12.故选B.4.(2018·南昌第一次模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝2x ＋1与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则cos ∠AOB ＝( )A.510 B ．－510C.910D ．－910解析：选D 法一：因为圆x 2＋y 2＝4的圆心为O (0,0)，半径为2，所以圆心O 到直线y＝2x ＋1的距离d ＝|2×0－0＋1|22＋－12＝15，所以弦长|AB |＝222－⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝2195.在△AOB 中，由余弦定理得cos ∠AOB ＝|OA |2＋|OB |2－|AB |22|OA |·|OB |＝4＋4－4×1952×2×2＝－910.法二：取AB 的中点D ，连接OD (图略)，则OD ⊥AB ，且∠AOB ＝2∠AOD ，又圆心到直线的距离d ＝|2×0－0＋1|22＋－12＝15，即|OD |＝15，所以cos ∠AOD ＝|OD ||OA |＝125，故cos ∠AOB＝2cos 2∠AOD －1＝2×⎝⎛⎭⎪⎫1252－1＝－910. 5．已知圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0上存在两点关于直线l ：x ＋my ＋1＝0对称，经过点M (m ，m )作圆C 的切线，切点为P ，则|MP |＝________.解析：圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0的圆心坐标为C (1,2)，半径r ＝2，因为圆上存在两点关于直线l 对称，所以直线l ：x ＋my ＋1＝0过点(1,2)，所以1＋2m ＋1＝0，得m ＝－1，所以M (－1，－1)，|MC |2＝(1＋1)2＋(2＋1)2＝13，r 2＝4，所以|MP |＝13－4＝3.答案：36．(2019届高三·湘中名校联考)已知m >0，n >0，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是____________．解析：因为m >0，n >0，直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，所以圆心C (1,1)到直线的距离d ＝|m ＋1＋n ＋1－2|m ＋12＋n ＋12＝1，即|m ＋n |＝m ＋12＋n ＋12，两边平方并整理得m ＋n ＋1＝mn ≤⎝⎛⎭⎪⎫m ＋n 22，即(m ＋n )2－4(m ＋n )－4≥0，解得m ＋n ≥2＋22，所以m ＋n 的取值范围为[2＋22，＋∞)．答案：[2＋22，＋∞)=。

2022高考数学(理)二轮复习高效演练 2.6.1直线与圆 Word版含答案

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高效演练1.(考向一)光线从点A(-3，4)发出，经过x 轴反射，再经过y 轴反射，最终光线经过点B(-2，6)，则经y 轴反射的光线的方程为( ) A.2x+y-2=0 B.2x-y+2=0 C.2x+y+2=0 D.2x-y-2=0【解析】选A.由题意可知，点A 关于x 轴的对称点为A ′(-3，-4)，点A ′(-3，-4)关于y 轴的对称点A ′′(3，-4)，在经过y 轴反射的反射光线上，易求得直线A ′′B 的方程为2x+y-2=0.2.(考向二)(2021·淄博一模)若圆C 的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x 轴都相切,则该圆的标准方程是________.【解析】由于圆C 的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x 轴都相切,所以圆心的纵坐标是1,设圆心坐标为(a,1),则1=|4a−3|5,又a>0,所以a=2,所以该圆的标准方程是(x-2)2+(y-1)2=1. 答案:(x-2)2+(y-1)2=13.(考向三)已知直线x+y+m=0与圆x 2+y 2=2交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，|OA →+OB →|≥|AB →|，那么实数m 的取值范围是 . 【解析】由于|OA →+OB →|≥|AB →|，所以|OA →+OB →|≥|OA →-OB →|. 所以|OA →+OB →|2≥|OA →-OB →|2，化简得OA →·OB →≥0，所以OA →，OB →夹角θ∈(0,π2]，所以圆心到直线的距离d=|m|√2∈[1， √2)(其中θ=π2时d=1)，解得m ∈(-2，-√2]∪[√2，2). 答案：(-2，-√2]∪[√2，2)4.(考向三)(2021·湖北高考)如图，已知圆C 与x 轴相切于点T(1，0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B(B 在A 的上方)，且|AB|=2. (1)圆C 的标准方程为 .(2)圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为 .【解析】(1)设点C 的坐标为(x 0，y 0)，则由圆C 与x 轴相切于点T(1，0)知，点C的横坐标为1，即x 0=1，半径r=y 0.又由于|AB|=2，所以12+12=y 02，即y 0=√2=r ，所以圆C 的标准方程为(x-1)2+(y-√2)2=2.(2)令x=0得：B(0，√2+1).设圆C 在点B 处的切线方程为y-(√2+1)=kx ，则圆心C 到其距离为：d=√2+√2+1|√2=√2，解之得k=1.即圆C 在点B 处的切线方程为y=x+(√2+1)，于是令y=0可得x=-√2-1，即圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为-1-√2.答案：(1)(x-1)2+(y-√2)2=2 (2)-1-√2关闭Word文档返回原板块。