FE-Ch06.1-6线性代数方程组解

K
( n −1)
~ ij
S
=K
P ~ ij , ~ i
( i −1)
( n −1)
=P
( i −1)
~i
若利用 ~ 和 ~ 则：
K
( n −1) ij
V 表示 K ~
( i −1) ij
( n −1)
和P
~
( n −1)
( n −1)
，
= Vi
=K
= S ij ,
~i
P
=P
( i −1)
~i
P 3. 载荷向量 ~ 消元时所用到的元素都是系数 P 矩阵 K 消元最后的结果，因此 ~ 的消元可 消元最后的结果， ~
有限元的求解效率及计算结果的精度， 有限元的求解效率及计算结果的精度，很大程 度上起决于线性方程组的解法。 度上起决于线性方程组的解法。 特别是随着研究对象越来越复杂， 特别是随着研究对象越来越复杂，有限元分析 需要采用越来越多的单元离散模型来近似实际 结构或力学问题的几何构形， 结构或力学问题的几何构形， 线性方程组的阶数越来越高。 线性方程组的阶数越来越高。 有效的求解方法可以保证求解精度。 有效的求解方法可以保证求解精度。
b 11 0 M M 0
b ... ... bnx1 P(n) 12 1 1 x (n) b22 ... ... b2n 2 P 2 M O M M = M M O M M M xn P(n) 0 ... ... bnn n
Ka=P
~~ ~
K 不随 a 的变化而变化。 的变化而变化。
~
~
K a = P 是一组线性代数方程组。 ~ ~ ~ 是一组线性代数方程组。
Ka=P
~~ ~
结点位移为基本未知量的系统结点平衡方程 例如稳态温度场中，结点场变量为温度， 例如稳态温度场中，结点场变量为温度， 线性代数方程组表示系统结点场变量 的平衡方程。 的平衡方程。
,
L n ~ = L 1 L 2 ... L m ... L~− 1 ~ ~ ~
~
~ ( n −1 ) = DK
~~
, D 为对角阵
~
( d ii = K iin−1)
i = 1,2,..., n
~ ( n−1) ( ( K ij = K ijn−1) / K iin−1) , 单位上三角阵
i = 1,2,...,n
(m −1) im (m −1) mm (m −1) im (m −1) mm
K
(m −1) mj
= K
(m −1) ij
− lm
+ l ,m
K
(m −1) mj
P m( m
−1)
= P i( m
−1)
− lm
+ l ,m
P m( m
−1)
m = 1, 2,......n i, j = m + 1, m + 2,......n
以和 K 同时进行，也可以在 K 消元完成后 ~ ~ 同时进行， 再进行。这对用有限元求解同一结构承受 再进行。 多组载荷时很有意义
由上述分析： 由上述分析： Gauss消去法的一般规律 消去法的一般规律： Gauss消去法的一般规律： 每次消元可看作一次初等变换 1) 原系数矩阵对称，则每次消元后得到的待消 原系数矩阵对称， 矩阵亦对称， 参见消元公式)所以可存储一半。 矩阵亦对称，(参见消元公式)所以可存储一半。 2) 消元结果中 ~ 次消元的结 K 次消元的结果
( ( K ijn − 1 ) = K iji − 1 ) ,
第 i 行元素就是（i-1） 行元素就是（
,
( n −1 )
~
P
( n −1 )
Pi ( n − 1 ) = Pi ( i − 1 )
i = 1, 2,..., n
j = i , i + 1,..., n
3) ~
K
( n −1)
保留了各次消元的Gauss消元因子。 保留了各次消元的Gauss消元因子。 Gauss消元因子
r > i 时, r = i 时, r < i 时,
T l ri = 0
T
l =1
T ri T ri
l 有值
1 r
消元过程可写为： 消元过程可写为：
1 l 21 L = l 31 ~ M l n1
取： K
( n −1 )
K
(0)
~ ~
= LK
( n−1)
~~
, P
(0)
~
= LP
( n −1 )
~~
K
( n −1 )
为上三角阵
1 l 32 M ln2 ... 1 O ...
1
Chap. 6 线性代数方程组的解法 本章重点和应掌握的内容: 本章重点和应掌握的内容: •高斯消去法和三角分解法的原理和算法步骤. 高斯消去法和三角分解法的原理和算法步骤. 高斯消去法和三角分解法的原理和算法步骤 •二维等带宽存储和一维变带宽存储的各自特点 二维等带宽存储和一维变带宽存储的各自特点 和各自适合的系数矩阵特点及直接解法. 和各自适合的系数矩阵特点及直接解法.
i = n − 1, n − 2,...,2,1
回代工作 为n2量级
§6.3 三角分解法
1. 三角分解法的实质 三角分解法的实质是Gauss 三角分解法的实质是Gauss消去法的一种 Gauss消去法的一种 变化形态，其特点： 变化形态，其特点：一种区别于循环消去 S 法的方法， 法的方法，最后得到一个上三角矩阵 ~
令
i = m + l,
l = 1, 2,......n − m
K K
(m −1) im (m −1) mm
=
K K
(m −1) m + l ,m (m −1) mm
= l m + l ,m
称为 Gauss
消去因子
2.消元后得到的 K ( n −1) 和 ~ ( n −1) 中的第i行元素 2.消元后得到的 ~ 中的第i P 就是第i 次消元后的结果， 就是第i-1次消元后的结果，即
~
P =V
~
~
V 表示 P 的消元结果。 的消元结果。 ~
~
L 如果能找到 ~ , D ~
则方程求解可以分为： 则方程求解可以分为：
P 进行消元， 1) 对 ~ 进行消元， 即
~ 2) D − 1 V = V = L T a
~
L
−1
~
P =V = D L
T
~
~ ~ ~
1 / d ii
a
~
~
~
~ ~
注：常用的是直接解法，随着计算机的大型化， 常用的是直接解法，随着计算机的大型化， 高速度，软件系统的发展，允许求解阶数也 高速度，软件系统的发展， 大大的提高。 大大的提高。
Gauss消去法及其变化形式 §6.2 Gauss消去法及其变化形式 一. Gauss循序消去法___直接解法的基础 Gauss循序消去法___直接解法的基础 循序消去法 对于n阶线性代数方程组的求解： 对于n阶线性代数方程组的求解： 第一步: 第一步:消元
P 即， K 和 ~ 可以分别消元 ~
P (先消 K ，后消 ~ ，特别是对多组载荷的情况) 特别是对多组载荷的情况) ~
4)消元工作为 量级。 4)消元工作为 n 3 量级。
第二步. 回代——求解 第二步. 回代——求解
Pn( n−1) 回代公式： 回代公式：an = (n−1) Knn n ( ( ai = ( Pi( n−1) − ∑ Kijn−1)a j ) / Kiin−1) j =i +1
T
~
~~~
设：
DL = S
T
~~
~
三角阵
单位下三角阵
对角阵
分析： 分析：Q
K a=P
~ ~
~
其中： K = L S 其中：
~
~~
上三角阵
∴
~~ ~
LS a = P
~
单位下三角阵
−1
Gauss消去相当于 Gauss消去相当于 ：
~ ~~ ~
~
P
L
LS a = L
−1
~ ~
V
P
若令： ~ 若令： L
−1
其中 D
−1
~
的元素为
~ 3) ( L − 1 ) T V = a
~
~
~
即，方程得到求解
DL = S
T
L 问题： 问题：如何找到 ~ , D ~
~~
~
三角阵
L L 2 . 三角分解递推公式： Q K = ~ D ~ 三角分解递推公式： ~ ~
n
T
所以 K 任一的元素： ~ 任一的元素：
T T T K ij = ∑ l ir d rr l rj = ∑ l ri d rr l rj r =1 r =1
2. 迭代解法：对于给定的线性方程组，首先假设一个 迭代解法：对于给定的线性方程组，
初始解，然后按一定的算法公式进行迭代。 初始解，然后按一定的算法公式进行迭代。在 每次迭代过程中对解的误差进行检查， 每次迭代过程中对解的误差进行检查，并通过 迭代次数不断降低解的误差，直至满足解的精 迭代次数不断降低解的误差， 度要求，输出最后结果。 度要求，输出最后结果。 当方程组阶数过高时，由于计算机有效位数的限制， 方程组阶数过高时 由于计算机有效位数的限制， 直接解法中舍入误差的积累影响精度， 直接解法中舍入误差的积累影响精度，可采用迭代 解法。 解法。
•分块解法的原理和实施方案. 分块解法的原理和实施方案. 分块解法的原理和实施方案 •几种常见迭代解法的原理和计算步骤,以及 几种常见迭代解法的原理和计算步骤, 几种常见迭代解法的原理和计算步骤 它们的各自特点. 它们的各自特点.