第7章 第40讲-立体几何

课时达标第40讲-立体几何

一、选择题

1．若α，β表示两个不同的平面，直线m⊂α，则“α⊥β”是“m⊥β”的()

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

B解析由面面垂直判定定理得m⊥β，m⊂α⇒α⊥β，而α⊥β时，α内任意直线不可能都垂直于β，因此“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件．故选B.

2．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是()

A．AB∥m B．AC⊥m

C．AB∥βD．AC⊥β

D解析如图所示，AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；AB∥l⇒AB∥β，只有D项不一定成立．故选D.

3．(2019·忻州二中月考)设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面．下列命题中正确的有()

①若m⊂β，α⊥β，则m⊥α；②若α∥β，m⊂α，则m∥β；

③若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β；④若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β.

A．①③B．①②

C．③④D．②③

D解析由面面垂直的性质定理知若m⊂β，α⊥β，且m垂直于α，β的交线时，m⊥α，故①错误；若α∥β，则α，β无交点，又m⊂α，所以m∥β，故②正确；若n⊥α，n⊥β，则α∥β，又m⊥α，所以m⊥β，故③正确；若α⊥γ，β⊥γ，不能得出α⊥β，故④错误．4．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()

A．直线AB上

B．直线BC上

C．直线AC上

D．△ABC内部

A解析因为AC⊥AB，AC⊥BC1，所以AC⊥平面ABC1.又因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC1⊥平面ABC，所以C1在底面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上．5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是()

A．平面ABD⊥平面ABC

B．平面ADC⊥平面BDC

C．平面ABC⊥平面BDC

D．平面ADC⊥平面ABC

D解析在平面图形中CD⊥BD，折起后仍有CD⊥BD，由于平面ABD⊥平面BCD，故CD⊥平面ABD，CD⊥AB，又AB⊥AD，故AB⊥平面ADC，所以平面ABC⊥平面ADC.

6．(2019·宝鸡质检)对于四面体ABCD，给出下列四个命题：

①若AB＝AC，BD＝CD，则BC⊥AD；②若AB＝CD，AC＝BD，则BC⊥AD；③若AB ⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；④若AB⊥CD，AC⊥BD，则BC⊥AD.

其中为真命题的是()

A．①②B．②③

C．②④D．①④

D解析①如图，取BC的中点M，连接AM，DM.由AB＝AC⇒AM⊥BC，同理，DM ⊥BC⇒BC⊥平面AMD，而AD⊂平面AMD，故BC⊥AD；④设A在平面BCD内的射影为O，连接BO，CO，DO，由AB⊥CD⇒BO⊥CD，由AC⊥BD⇒CO⊥BD⇒O为△BCD的垂心⇒DO⊥BC⇒AD⊥BC.

二、填空题

7．如图，已知P A⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．

解析因为P A⊥平面ABC，所以P A⊥BC，又AC⊥BC，所以BC⊥平面P AC，所以几何体中的直角三角形有△P AB，△P AC，△ABC和△PBC，共4个．

答案 4

8．(2019·合肥三中月考)已知a，b表示两条不同的直线，α，β，γ表示三个不同的平面，给出下列命题：

①若α∩β＝a，b⊂α，a⊥b，则α⊥β；

②若a⊂α，a垂直于β内的任意一条直线，则α⊥β；

③若α⊥β，α∩β＝a，α∩γ＝b，则a⊥b；

④若a不垂直于平面α，则a不可能垂直于平面α内的无数条直线；

⑤若a⊥α，a⊥β，则α∥β.

其中正确命题的序号是________．

解析①一个平面内的一条直线与另一个平面内的一条直线垂直，这两个平面不一定垂直，故①错误；②满足两个平面垂直的定义，故②正确；③若α⊥β，α∩β＝a，α∩γ＝b，则a与b平行或相交(相交时可能垂直)，故③错误；④若a不垂直于平面α，但a可能垂直于平面α内的无数条直线，故④错误；⑤垂直于同一条直线的两个平面互相平行，故⑤正确．答案②⑤

9．如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，∠ADC＝90°，且AA1＝AD＝DC＝2，M∈平面ABCD，当D1M⊥平面A1C1D时，DM＝________.

解析因为DA＝DC＝AA1＝DD1，且DA，DC，DD1两两垂直，故当点M使四边形ADCM 为正方形时，D1M⊥平面A1C1D，所以DM＝2 2.

答案2 2

三、解答题

10．如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧面ADD1A1和侧面CDD1C1都是矩形，BC ∥AD，△ABD是边长为2的正三角形，E，F分别为AD，A1D1的中点．

(1)求证：DD1⊥平面ABCD；

(2)求证：平面A1BE⊥平面ADD1A1.

证明(1)因为侧面ADD1A1和侧面CDD1C1都是矩形，所以DD1⊥AD，且DD1⊥CD.因为AD∩CD＝D，所以DD1⊥平面ABCD.

(2)因为△ABD是正三角形，且E为AD中点，所以BE⊥AD，因为DD1⊥平面ABCD，而BE⊂平面ABCD，所以BE⊥DD1.因为AD∩DD1＝D，所以BE⊥平面ADD1A1，又因为BE⊂平面A1BE，所以平面A1BE⊥平面ADD1A1.

11．(2019·渭南检测)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB ＝1，P A⊥平面ABCD，E，F分别是线段AB，BC的中点．

(1)证明：PF⊥FD；

(2)若P A＝1，求点E到平面PFD的距离．

解析(1)证明：连接AF，则AF＝2，又DF＝2，AD＝2，所以DF2＋AF2＝AD2，所以DF⊥AF.因为P A⊥平面ABCD，所以DF⊥P A，又P A∩AF＝A，所以DF⊥平面P AF，又