【名师A计划】2017高考数学一轮复习第七章立体几何第五节直线、平面垂直的判定及其性质习题理

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非常考案通用版2017版高考数学一轮复习第七章立体几何第5节直线平面垂直的判定及其性质课件

备高考
启智慧
理教材
第五节直线、平面垂直的判定及其性质
分层限时跟踪练
研考点
备高考| 3 个任务 1．学会运用线面垂直的判定与性质定理解决线面垂直问题． 2．学会运用面面垂直的判定与性质定理解决面面垂直问题． 3．知道线面角、二面角的概念、会求简单的线面角与二面角．
理教材| 回扣自测要点梳理一、直线与平面垂直 1．定义直线 l 与平面 α 内的任意一条直线都垂直，就说直线 l 与平面 α 互相垂直．
【解析】异面直线所成角 θ 的范围是 0° ＜θ≤90° ；直线和平面所成角 θ 范围是 0° ≤θ≤90° ；二面角的平面角 θ 的范围是 0° ～180° .故可能为钝角的只有二面角的平面角．
【答案】 B
3．如图 751，已知 ABCD 是矩形，且 PA⊥平面 ABCD，则下列结论中不正确的是( )
(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．
基础自测 1．判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)直线 l 与平面 α 内两条直线都垂直，则 l⊥α.( (2)直线 a⊥平面 α，直线 b⊥平面 α，则 a∥b.( ) ) ) )
三、线面角与二面角 1．直线和平面所成的角 (1) 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角． (2)当直线与平面垂直或平行(或直线在平面内)时，规定直线和平面所成的角分别为90°或0°. 2．二面角的有关概念
两个半平面所组成的图形叫做二面角． (1)二面角：从一条直线出发的
2．判定定理与性质定理文字语言判定定理一条直线与一个平面内

【名师A计划】2017高考数学一轮复习第七章立体几何第四节直线、平面平行的判定及其性质课件理

【参考答案】由正方形的性质可知A1B1∥AB∥DC,且A1B1=AB=DC, 所以四边形A1B1CD为平行四边形, 从而B1C∥A1D, 又A1D⊂平面A1DE,B1C⊄平面A1DE, 于是B1C∥平面A1DE.
又B1C⊂平面B1CD1,平面A1DE∩平面B1CD1=EF,
所以EF∥B1C.
线面平行的性质定理与判定定理的关系直线与平面平行的判定定理和性质定理经常交替使用,要弄清定理的条件和结论,防止错用,它们有如下关系:利用判定定理实施线线平行向线面平行的转化,利用性质定理实施线面平行向线线平行的转化.
3.已知m,n为异面直线,m∥平面α,n∥平面β,α∩β=l,则l ( A.与m,n都相交
)
B.与m,n中至少一条相交
C.与m,n都不相交 D.与m,n中一条相交 3.C 【解析】∵m∥平面α,n∥平面β,∴m与平面α没有公共点,n与平面β没有公共点,又∵α∩β=l,∴l⊂α,l⊂β, ∴l与m,n都不相交. 4.若M,N分别是△ABC边AB,AC的中点,MN与过直线BC的平面β的位置关系是 4.MN∥β或MN⊂β .
【变式训练】
已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形.点M,N,Q分别在PA,BD,PD上,且 PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD.求证:平面MNQ∥平面PBC. 【解析】∵PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD, ∴MQ∥AD,NQ∥BP,而BP⊂平面PBC,NQ⊄平面PBC,∴NQ∥平面PBC. 又∵ABCD为平行四边形,BC∥AD, ∴MQ∥BC,而BC⊂平面PBC,MQ⊄平面PBC, ∴平面MNQ∥平面PBC.
面面平行的判定定理的应用平面与平面平行的判定定理是证明面面平行的重要工具,由判定定理可知,要证明平面与平面平行,只要证明一个平面上有两条相交直线都平行于另一个平面.由比例线段得到线线平行,依据线面平行的判定定理得到线面平行,证得两条相交直线平行于一个平面后,转化为面面平行.一般证“面面平面”问题最终转化为证线与线的平行.

2025年高考数学一轮复习(新高考版)第7章 §7.5 空间直线、平面的垂直

的两条直线平行
_a_⊥__α_ _b_⊥__α_ ⇒a∥b
知识梳理
2.直线和平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的__射__影__所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是 __9_0_°_；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是__0_° _. (2)范围：__0_，__π2_ .
知识梳理
4.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是_直__二__面__角__，就说这两个平面互相垂直.
知识梳理
(2)判定定理与性质定理文字语言
如果一个平面过另一个平面判定
的_垂__线___，那么这两个平面定理
垂直
图形表示
符号表示
_a_⊂__α_ _a_⊥__β_ ⇒α⊥β
知识梳理
两个平面垂直，如果一个平性质面内有一直线垂直于这两个定理平面的_交__线___，那么这条直
线与另一个平面垂直
_α_⊥__β_
_α_∩__β_＝__a_

_l_⊥__a_
⇒l⊥α
_l_⊂_β__
常用结论
1.三垂线定理平面内的一条直线如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直. 2.三垂线定理的逆定理平面内的一条直线如果和穿过该平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直. 3.两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若直线l与平面α内的两条直线都垂直，则l⊥α.( × ) (2)若直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.( √ )

高三一轮总复习文科数学课件：-直线、平面垂直的判定及性质 ppt8

答案：A
缘分让我们相遇，缘分让我们在一起
28
4.如图所示，在斜三棱柱 ABC－A1B1C1 中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则 C1 在底面 ABC 上的射影 H 必在( )
A．直线 AB 上
B．直线 AC 上
C．直线 AC 上
D．△ABC 内部
解析：因为 CA⊥AB 且 CA⊥BC1，所以 CA⊥平面 BAC1，所以平面 ABC⊥平面
缘分让我们相遇，缘分让我们在一起
24
解析：对于 A 选项，设 α∩β＝a，若 l∥a，且 l⊄α，l⊄β，则 l∥α，l∥β，此时 α ∥β 相交，故 A 选项错误；对于 B 选项，l∥α，l⊥β，则存在直线 a⊂α，使得 l∥a，此时 a⊥β，由平面与平面垂直的判定定理得 α⊥β，故 B 选项正确；对于 C 选项，若 α⊥β，l⊥α，则 l∥β 或 l⊂β，故 C 选项错误；对于 D 选项，若 α⊥β，l∥α，则 l 与 β 的位置关系不确定，故 D 选项错误．
30
直线与平面垂直的判定和性质
[考向锁定] 直线与平面垂直的判定与性质是每年高考的必考内容，题型多为解答题，难度适中，属中档题．常见的命题角度有 (1)证明直线与平面垂直； (2)利用线面垂直的性质证明线线垂直．
缘分让我们相遇，缘分让我们在一起
31
[多维视角] 角度一利用线线垂直证明线面垂直
在 Rt△ABC 中，AD＝BD，
又 SA＝SB，SD＝SD，
所以△ADS≌△BDS，所以 SD⊥BD.
又 AC⊂平面 ABC，BD⊂平面 ABC，AC∩BD＝D，所以 SD⊥平面 ABC.
(2)因为 AB＝BC，D 为 AC 的中点，所以 BD⊥AC.
由(1)知 SD⊥BD，又 SD⊂平面 SAC，AC⊂平面 SAC，SD∩AC＝D，

高三数学,一轮复习人教A版 , 第七章第5讲, 直线、平面垂直,的判定与性质, 课件

2．已知 m 和 n 是两条不同的直线，α 和 β 是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出 m⊥β 的是( C ) A．α⊥β 且 m⊥α C．m∥n 且 n⊥β B．α⊥β 且 m∥α D．m⊥n 且 n∥β
[解析] 依题意，对于 A，注意到直线 m 可能位于平面 β 内，因此选项 A 不正确；对于 B，注意到直线 m 可能位于平面 β 内且与它们的交线平行，因此选项 B 不正确；对于 C，由定理 “若两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”得知，C 正确；对于 D，注意到直线 m 可能位于平面 β 内，因此选项 D 不正确．综上所述，选 C.
第七章
立体几何初步
第5讲
直线、平面垂直的判定与性质
1．直线与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言判定定理一条直线与一个平面两条相交直线内的 ______________ 都垂直，则该直线与此平面垂直图形语言符号语言 a， b⊂ α a∩b＝O ⇒ l ⊥ α l⊥ a l⊥ b a⊥ α ⇒a∥b b⊥ α
4．设平面 α 与平面 β 相交于直线 m，直线 a 在平面 α 内，直线 b “a⊥b” 的充分不必要条件． ( 填“充分不必要”或“必要不充分”或 ___________ “充要”或“既不充分也不必要”)
[解析] 若 α⊥β，因为 α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，所以根据两个平面垂直的性质定理可得 b⊥α，又 a⊂α，所以 a⊥b；反过来，当 a∥m 时，因为 b⊥m，且 a，m 共面，一定有 b⊥a，但不能保证 b⊥α，所以不能推出 α⊥β.
性质垂直于同一个平面的平行定两条直线______ 理

(全国版)高考数学一轮复习第7章立体几何第5讲直线、平面垂直的判定及性质课件

解 (1)证明：由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，得 AB⊥AP，CD⊥PD. 由于 AB∥CD，故 AB⊥PD，从而 AB⊥平面 PAD. 又 AB⊂平面 PAB，所以平面 PAB⊥平面 PAD.
(2)如图，在平面 PAD 内作 PE⊥AD，垂足为 E. 由(1)知，AB⊥平面 PAD，故 AB⊥PE，AB⊥AD，可得 PE⊥平面 ABCD.
∵CG⊥平面 ABC，∴VG－ABC＝13S△ABC×CG＝43. 由(1)知 AB⊥BG，CG＝2＝BC， BG＝ BC2＋CG2＝ 22＋22＝2 2， ∴S△ABG＝12AB×BG＝2 2. 设点 C 到平面 ABG 的距离为 h，则 ∴VC－ABG＝13S△ABG·h＝23 2h＝VG－ABC＝34， ∴h＝ 2. 即点 C 到平面 ABG 的距离为 2.
2．[2018·浙江模拟]设 m，n 是两条不同的直线，α，β 是两个不同的平面，下列命题正确的是( )
A．若 m⊥n，n∥α，则 m⊥α B．若 m∥β，β⊥α，则 m⊥α C．若 m⊥β，n⊥β，n⊥α，则 m⊥α D．若 m⊥n，n⊥β，β⊥α，则 m⊥α
解析对于选项 A，B，D，均能举出 m⊥α 的反例；对于选项 C，若 m⊥β，n⊥β，则 m∥n，又 n⊥α，∴m⊥α. 故选 C.
所以 F 为 A1B 的中点，所以 EF∥BC1. 因为 BC1⊂平面 BB1C1C，EF⊄平面 BB1C1C，所以 EF∥平面 BB1C1C.
(2)在矩形 BCC1B1，BC＝ 2BB1，所以 tan∠CBC1＝ 22，tan∠B1MB＝ 2. 所以 tan∠CBC1·tan∠B1MB＝1. 所以∠CBC1＋∠B1MB＝π2.所以 BC1⊥B1M. 因为 EF∥BC1，所以 EF⊥B1M. 在正三棱柱 ABC－A1B1C1 中，底面 ABC⊥平面 BB1C1C. 因为 M 为 BC 的中点，AB＝AC，所以 AM⊥BC. 因为平面 ABC∩平面 BB1C1C＝BC，

优化探究高考数学一轮复习第七章第五节直线、平面

【优化探究】2017届高考数学一轮复习第七章第五节直线、平面垂直的判定及性质课时作业理新人教A版A组考点能力演练1．已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则m ⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α⊥β；④若m∥l，则α⊥β，其中正确的命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4解析：①中，α∥β，且m⊥α，则m⊥β，因为l⊂β，所以m⊥l，所以①正确；②中，α⊥β，且m⊥α，则m∥β或m⊂β，又l⊂β，则m与l可能平行，可能异面，可能相交，所以②不正确；③中，m⊥l，且m⊥α，l⊂β，则α与β可能平行，可能相交，所以③不正确；④中，m∥l，且m⊥α，则l⊥α，因为l⊂β，所以α⊥β，所以④正确，故选B.答案：B2．设α，β，γ为不同的平面，m、n、l为不同的直线，则m⊥β的一个充分条件为( ) A．α⊥β，α∩β＝l，m⊥lB．α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γC．α⊥γ，β⊥γ，m⊥αD．n⊥α，n⊥β，m⊥α解析：对于A，α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，根据面面垂直的性质定理可知，缺少条件m ⊂α，故不正确；对于B，α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γ，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；对于C，α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；对于D，n⊥α，n⊥β，则α∥β，又m⊥α，则m⊥β，故正确，故选D.答案：D3.如图，在三棱锥DABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是( )A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BCDC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE解析：因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理，DE⊥AC，由于DE∩BE＝E，于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故选C.答案：C4.如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为H，则以下命题中，错误的是( )A．点H是△A1BD的垂心B．AH垂直于平面CB1D1C．AH的延长线经过点C1D．直线AH和BB1所成角为45°解析：A中，△A1BD为等边三角形，∴其四心合一，∵AB＝AA1＝AD，∴H到△A1BD各顶点的距离相等，∴A正确；∵CD1∥BA1，CB1∥DA1，CD1∩CB1＝C，BA1∩DA1＝A1，∴平面CB1D1∥平面A1BD，∴AH⊥平面CB1D1，∴B正确；连接AC1，则AC1⊥B1D1，∵B1D1∥BD，∴AC1⊥BD，同理，AC1⊥BA1，∴AC1⊥平面A1BD，∴A、H、C1三点共线，∴C正确，故选D.答案：D5.如图所示，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在( )A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析：∵∠BAC＝90°，∴AB⊥AC，又AC⊥BC1，BC1∩AB＝B，∴AC⊥平面ABC1，又AC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ABC1.∵平面ABC1∩平面ABC＝AB，∴点C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上，故选A.答案：A6．四棱锥PABCD的顶点P在底面ABCD上的投影恰好是A，其三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是腰长为a的等腰三角形，则在四棱锥PABCD的任意两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线共有________对．解析：由题意可得PA ⊥BC ，PA ⊥CD ，AB ⊥PD ，BD ⊥PA ，BD ⊥PC ，AD ⊥PB ，即互相垂直的异面直线共有6对．答案：67．如图所示，在四棱锥P ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD .(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：连接AC ，BD ，则AC ⊥BD ，∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥BD . 又PA ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面PAC ， ∴BD ⊥PC .∴当DM ⊥PC (或BM ⊥PC )时，即有PC ⊥平面MBD . 而PC ⊂平面PCD ， ∴平面MBD ⊥平面PCD . 答案：DM ⊥PC (或BM ⊥PC 等)8．已知△ABC 的三边长分别为AB ＝5，BC ＝4，AC ＝3，M 是AB 边上的点，P 是平面ABC 外一点．给出下列四个命题：①若PA ⊥平面ABC ，则三棱锥P ABC 的四个面都是直角三角形； ②若PM ⊥平面ABC ，且M 是AB 边的中点，则有PA ＝PB ＝PC ； ③若PC ＝5，PC ⊥平面ABC ，则△PCM 面积的最小值为152； ④若PC ＝5，P 在平面ABC 上的射影是△ABC 内切圆的圆心，则点P 到平面ABC 的距离为23. 其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上)解：由题意知AC ⊥BC ，对于①，若PA ⊥平面ABC ，则PA ⊥BC ，又PA ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面PAC ，∴BC ⊥PC ，因此该三棱锥P ABC 的四个面均为直角三角形，①正确；对于②，由已知得M 为△ABC 的外心，所以MA ＝MB ＝MC .∵PM ⊥平面ABC ，则PM ⊥MA ，PM ⊥MB ，PM ⊥MC ，由三角形全等可知PA ＝PB ＝PC ，故②正确；对于③，要使△PCM 的面积最小，只需CM 最短，在Rt △ABC 中，(CM )min ＝125，∴(S △PCM )min ＝12×125×5＝6，故③错误；对于④，设P 点在平面ABC 内的射影为O ，且O 为△ABC 的内心，由平面几何知识得△ABC 的内切圆半径r ＝1，且OC ＝2，在Rt △POC 中，PO ＝PC 2－OC 2＝23，∴点P 到平面ABC 的距离为23，故④正确．答案：①②④9．(2016·扬州中学模拟)如图1，在边长为4的菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，点E ，F 分别是边CD ，CB 的中点，AC ∩EF ＝O .沿EF 将△CEF 翻折到△PEF ，连接PA ，PB ，PD ，得到如图2的五棱锥P ABFED ，且PB ＝10.(1)求证：BD ⊥平面POA ； (2)求四棱锥P BFED 的体积．解：(1)证明：∵点E ，F 分别是边CD ，CB 的中点， ∴BD ∥EF .∵ABCD 是菱形，∴BD ⊥AC ， ∴EF ⊥AC ，∴翻折后EF ⊥AO ，EF ⊥PO ，∵AO ⊂平面POA ，PO ⊂平面POA ，AO ∩PO ＝O ， ∴EF ⊥平面POA ， ∴BD ⊥平面POA .(2)设AO ∩BD ＝H ，连接BO ，∵ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ，∵∠DAB ＝60°， ∴△ABD 为等边三角形，∴BD ＝4，BH ＝2，HA ＝23，HO ＝PO ＝3，在Rt △BHO 中，BO ＝BH 2＋HO 2＝7，在△PBO 中，BO 2＋PO 2＝10＝PB 2， ∴PO ⊥BO ，∵PO ⊥EF ，EF ∩BO ＝O ，EF ⊂平面BFED ，BO ⊂平面BFED ， ∴PO ⊥平面BFED ，又梯形BFED 的面积为S ＝12(EF ＋BD )·HO ＝33，∴四棱锥P BFED 的体积V ＝13S ·PO ＝13×33×3＝3.10.如图，已知四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，∠ABC ＝45°，DC ＝1，AB ＝2，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝1.(1)求证：AB ∥平面PCD ； (2)求证：BC ⊥平面PAC ；(3)若M 是PC 的中点，求三棱锥M ACD 的体积．解：(1)证明：∵AB ∥CD ，CD ⊂平面PDC ，AB ⊄平面PDC ， ∴AB ∥平面PDC .(2)证明：在直角梯形ABCD 中，过点C 作CE ⊥AB 于点E ，则四边形ADCE 为矩形，∴AE ＝DC ＝1，又AB ＝2，∴BE ＝1，在Rt △BEC 中，∠EBC ＝45°，∴CE ＝BE ＝1，CB ＝2，在Rt △ACE 中，AC ＝AE 2＋CE 2＝2， ∴AC 2＋BC 2＝AB 2，∴BC ⊥AC .又PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥PA ，而PA ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面PAC . (3)∵M 是PC 的中点，∴M 到平面ADC 的距离是P 到平面ADC 的距离的一半． ∴V M ACD ＝13S △ACD ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12PA ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×1×12＝112.B 组高考题型专练1．(2015·高考安徽卷)已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( )A ．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B ．若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行C ．若α，β不平行．．．，则在α内不存在．．．与β平行的直线D ．若m ，n 不平行．．．，则m 与n 不可能．．．垂直于同一个平面解析：A 中，垂直于同一个平面的两个平面可能相交也可能平行，故A 错误；B 中，平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，故B 错误；C 中，若两个平面相交，则一个平面内与交线平行的直线一定和另一个平面平行，故C 错误；D 中，若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，所以若两条直线不平行，则它们不可能垂直于同一个平面，故D正确．答案：D2．(2014·高考广东卷)如图(1)，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝PC ＝2.按图(2)折叠：折痕EF∥DC，其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF.(1)证明：CF⊥平面MDF；(2)求三棱锥MCDE的体积．解：(1)证明：PD⊥平面ABCD，PD⊂平面PCD，∴平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，MD⊂平面ABCD，MD⊥CD，∴MD⊥平面PCD，CF⊂平面PCD，∴CF⊥MD，又CF⊥MF，MD，MF⊂平面MDF，MD∩MF＝M，∴CF⊥平面MDF.(2)∵CF⊥平面MDF，∴CF⊥DF，又易知∠PCD＝60°，∴∠CDF＝30°，从而CF＝12CD＝12，∵EF∥DC，∴DEDP＝CFCP，即DE3＝122，∴DE＝34，∴PE＝334，S△CDE＝12CD·DE＝38，MD＝ME2－DE2＝PE2－DE2＝⎝⎛⎭⎪⎫3342－⎝⎛⎭⎪⎫342＝62，∴V MCDE＝13S△CDE·MD＝13·38·62＝216.3．(2015·高考陕西卷)如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝π2，AB＝BC＝12AD ＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到图2中△A1BE的位置，得到四棱锥A1BCDE.(1)证明：CD⊥平面A1OC；(2)当平面A 1BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥A 1BCDE 的体积为362，求a 的值．解：(1)证明：在图1中，因为AB ＝BC ＝12AD ＝a ，E 是AD 的中点，∠BAD ＝π2，所以BE ⊥AC .即在图2中，BE ⊥A 1O ，BE ⊥OC ，从而BE ⊥平面A 1OC ，又CD ∥BE ，所以CD ⊥平面A 1OC . (2)由已知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ，且平面A 1BE ∩平面BCDE ＝BE ，又由(1)可得A 1O ⊥BE ，所以A 1O ⊥平面BCDE ，即A 1O 是四棱锥A 1BCDE 的高．由图1知，A 1O ＝22AB ＝22a ，平行四边形BCDE 的面积S ＝BC ·AB ＝a 2. 从而四棱锥A 1BCDE 的体积为V ＝13×S ×A 1O ＝13×a 2×22a ＝26a 3，由26a 3＝362，得a＝6.4.(2015·高考广东卷)如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，PD ＝PC ＝4，AB ＝6，BC ＝3.(1)证明：BC ∥平面PDA ； (2)证明：BC ⊥PD ；(3)求点C 到平面PDA 的距离．解：(1)证明：∵长方形ABCD 中，BC ∥AD ，又BC ⊄平面PDA ，AD ⊂平面PDA ， ∴BC ∥平面PDA .(2)证明：取CD 的中点H ，连接PH ， ∵PD ＝PC ，∴PH ⊥CD .又∵平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC ∩平面ABCD ＝CD ，∴PH ⊥平面ABCD . 又∵BC ⊂平面ABCD ，∴PH ⊥BC . 又∵长方形ABCD 中，BC ⊥CD ，PH ∩CD ＝H ，∴BC ⊥平面PDC .又∵PD ⊂平面PDC ，∴BC ⊥PD . (3)连接AC .由(2)知PH 为三棱锥P ADC 的高． ∵PH ＝PD 2－⎝⎛⎭⎪⎫12CD 2＝42－32＝7，S △ADC ＝12·AD ·CD ＝12×3×6＝9，∴V P ADC ＝13·S △ADC ·PH ＝13×9×7＝37.由(2)知BC ⊥PD ，又∵AD ∥BC ， ∴AD ⊥PD ，∴S △PDA ＝12·PD ·AD ＝12×4×3＝6.设点C 到平面PDA 的距离为h . ∵V C PDA ＝V P ADC ， ∴13·S △PDA ·h ＝37， ∴h ＝3713·S △PDA ＝3713×6＝372.。

2017版高考数学一轮总复习第七章立体几何第五节直线

第五节直线、平面垂直的判断及其性质【最新考纲】 1. 以立体几何的定义、公义和定理为出发点，认识和理解空间中线、面垂直的相关性质与判断定理 .2. 能运用公义、定理和已获取的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．1．直线与平面垂直(1) 定义：假如直线l 与平面α内的随意一条直线都垂直，则直线 l 与平面α垂直．(2) 判断定理：假如一条直线与一个平面内的两条订交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．(3)推论：假如在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．(4)直线和平面垂直的性质：①垂直于同一个平面的两条直线平行．②直线垂直于平面，则垂直于这个平面内的随意直线．③垂直于同一条直线的两平面平行．2．直线和平面所成的角(1) 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角．(2)当直线与平面垂直和平行 ( 或直线在平面内 ) 时，规定直线和平面所成的角分别为90°和 0°．3．二面角的相关观点(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所构成的图形叫做二面角．(2) 二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．4．平面与平面垂直(1)定义：假如两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面相互垂直．(2)平面与平面垂直的判断定理与性质定理：1． ( 怀疑夯基 ) 判断以下结论的正误．( 正确的打“√”，错误的打“×”)(1) 直线 l 与平面α内的无数条直线都垂直，则l ⊥ α .( )(2) 垂直于同一个平面的两平面平行．()(3) 若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行．( )(4) 若平面α 内的一条直线垂直于平面β 内的无数条直线，则α⊥ β .( ) 答案： (1) × (2) × (3) ×(4) ×2．以下命题中不正确的选项是( )A．假如平面α⊥平面β，且直线 l ∥平面α，则直线 l ⊥平面βB．假如平面α⊥平面β，那么平面α内必定存在直线平行于平面βC．假如平面α不垂直于平面β ，那么平面α 内必定不存在直线垂直于平面βD．假如平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α ∩ β＝ l ，那么 l ⊥ γ .分析：依据面面垂直的性质定理， A 项中 l ? β， l ∥ β或 l ⊥ β .3．(2015 ·浙江卷 ) 设α，β是两个不一样的平面，l ，m是两条不一样的直线，且l ? α，m? β .()A．若 l ⊥ β，则α ⊥ βB．若α⊥ β，则 l ⊥mC．若 l ∥ β，则α ∥ βD．若α ∥ β，则l∥m分析：∵l ⊥ β， l ? α，∴α ⊥ β ( 面面垂直的判断定理) ，故 A 正确．答案： A4．如图，已知PA⊥平面 ABC， BC⊥ AC，则图中直角三角形的个数为________．分析：∵PA⊥平面 ABC∴ PA⊥AB， PA⊥AC， PA⊥BC则△ PAB，△ PAC为 Rt △由 BC⊥AC，且 AC∩PA＝ A∴ BC⊥平面 PAC，进而 BC⊥PC所以△ ABC，△ PBC也是 Rt△ .答案： 45．假如正四棱锥的底面边长为2，侧面积为 4 2，则它的侧面与底面所成的(锐)二面角的大小为 ________．分析：如图， O为底面正方形的中心，据题意易得，该正四棱锥的一个侧面三角形PBC的高 PE的长为 2，所以正四棱锥的高2 2 PO＝ PE－ OE＝ 1.角的大小为45° .答案： 45°一种关系垂直问题的转变关系．三类证法1．证明线线垂直的方法．(1) 定义：两条直线所成的角为90°；(2)平面几何中证明线线垂直的方法；(3)线面垂直的性质： a⊥α， b? α? a⊥ b；(4)线面垂直的性质： a⊥ α， b∥ α? a⊥b.2．证明线面垂直的方法．(1)线面垂直的定义： a 与α内任何直线都垂直 ? a⊥α；m、 n? α，m∩ n＝ A(2) 判断定理1：? l ⊥ α；l ⊥m， l ⊥ n(3) 判断定理2：a∥b， a⊥ α ? b⊥α；(4) 面面平行的性质：α∥ β ，a⊥α ? a⊥β ；(5) 面面垂直的性质：α⊥ β ，α∩ β ＝l，a?α ，a⊥ l ? a⊥ β .3．证明面面垂直的方法．(1)利用定义：两个平面订交，所成的二面角是直二面角；(2)判断定理： a? α， a⊥ β ? α⊥ β .A 级基础稳固一、选择题1．(2016 ·佛山一中期中) 设α、β、γ为不一样的平面， m、n、l 为不一样的直线，则 m⊥ β的一个充分条件为 ()A．α⊥β，α∩ β＝ l ，m⊥ l B．α ∩ γ＝ m，α ⊥ γ，β ⊥ γC．α⊥ γ，β⊥ γ， m⊥αD．n⊥α ，n⊥ β，m⊥ α分析： A 中，缺乏条件m? α，不知足面面垂直的性质定理，不正确．在选项B，C 中，平面α与β可能平行或订交，推不出 m⊥β . 在 D 中，n⊥α，n⊥ β，则α ∥β，依据 m⊥ α，得 m⊥ β，D 正确．答案： D2．( 经典再现 ) 已知 m，n 为异面直线， m⊥平面α， n⊥平面β . 直线 l 知足 l ⊥m， l ⊥n， l ?α， l ?β，则 ()A．α∥ β且 l ∥ αB．α⊥ β且 l ⊥ βC．α与β订交，且交线垂直于lD．α与β订交，且交线平行于l分析：依据所给的已知条件作图，如下图．由图可知α与β订交，且交线平行于 l ，所以选项 D正确．答案： D3．如图，在正四周体P ABC中， D，E， F 分别是 AB，BC，CA的中点，下边四个结论不建立的是()．．．A． BC∥平面 PDFB． DF⊥平面 PAEC．平面 PDF⊥平面 PAED．平面 PDE⊥平面 ABC分析：因为 BC∥DF， DF? 平面 PDF， BC?平面 PDF，所以 BC∥平面 PDF，应选项 A 正确．在正四周体中，AE⊥ BC，PE⊥ BC，DF∥ BC，∴BC⊥平面 PAE，则 DF⊥平面 PAE，进而平面 PDF⊥平面 PAE.所以选项 B、 C 均正确．答案： D4．(2014 ·浙江卷 ) 设 m，n 是两条不一样的直线，α ，β 是两个不一样的平面．() A．若 m⊥n， n∥ α，则 m⊥αB．若 m∥ β，β⊥ α，则 m⊥ αC．若 m⊥ β， n⊥ β， n⊥α，则 m⊥ αD．若 m⊥n， n⊥ β，β⊥ α，则 m⊥ α分析： A 中，由 m⊥n，n∥ α可得 m∥ α或 m与α订交或 m? α，错误；B 中，由 m∥ β，β ⊥ α可得 m∥ α或 m与α订交或 m? α，错误；C中，由 m⊥ β， n⊥ β可得 m∥n，又 n⊥ α，所以 m⊥ α，正确；D中，由 m⊥n， n⊥ β，β⊥ α可得 m∥ α或 m与α订交或 m? α，错误．答案： C5．如下图， AB是⊙O 的直径， VA垂直于⊙ O所在的平面，点 C 是圆周上不一样于A，B 的随意一点， M， N分别为 VA， VC的中点，则以下结论正确的选项是()A． MN∥ ABB． MN与 BC所成的角为45°C． OC⊥平面 VACD．平面 VAC⊥平面 VBC分析：由圆的性质，BC⊥AC.又 VA⊥平面 ABC，则 VA⊥BC.进而 BC⊥平面 VAC，平面 VAC⊥平面VBC.所以 C不正确， D正确．因为 MN∥AC， BC⊥ AC，所以 A， B不正确．答案： D二、填空题6．如下图，在四棱锥P ABCD中， PA⊥底面 ABCD，且底面各边都相等， M是 PC上的一动点，当点M知足 ________时，平面 MBD⊥平面 PCD.(只需填写一个你以为是正确的条件即可 )分析：由定理可知，BD⊥PC.∴当 DM⊥PC(或 BM⊥PC)时，有PC⊥平面 MBD.又 PC? 平面 PCD，∴平面 MBD⊥平面 PCD.答案： DM⊥PC(或 BM⊥PC 等 )7．(2016 ·石家庄调研) 如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，各棱长都相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面 BB1C1C的中心，则AD与平面 BB1C1C 所成角的大小是________．分析：取 BC的中点 E，连结 AE，DE，则 AE⊥平面 BB1C1C.所以∠ ADE为直线 AD与平面 BB1C1C 所成的角．设三棱柱的全部棱长为a，在 Rt△ AED中，3 aAE＝2 a， DE＝2.AE 所以 tan ∠ ADE＝＝DEπ3，则∠ ADE＝3 .故 AD与平面 BB1C1C所成的角为π . 3答案：π38．如下图，在三棱锥 D ABC中，若 AB＝ CB，AD＝CD，E 是 AC的中点，则以下命题中正确的选项是 ________( 填序号 ) ．①平面 ABC⊥平面 ABD；②平面 ABC⊥平面BCD；③平面 ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面 BDE；④平面 ABC⊥平面ACD，且平面 ACD⊥平面 BDE.分析：由 AB＝ CB， AD＝ CD， E 为 AC中点，则 AC⊥DE， AC⊥ BE，又 DE∩BE＝ E，进而 AC⊥平面 BDE.所以平面 ABC⊥平面BDE，平面 ACD⊥平面 BDE，③正确．答案：③三、解答题9．(2016 ·西安质检) 如下图，在三棱锥P ABC中， D， E， F 分别为棱PC，AC， AB 的中点．已知PA⊥AC， PA＝ 6， BC＝ 8，DF＝ 5.求证： (1) 直线 PA∥平面 DEF；(2) 平面 BDE⊥平面 ABC.证明： (1) 因为 D， E 分别为棱PC， AC的中点，所以DE∥PA. 又因为 PA?平面 DEF， DE? 平面 DEF，所以直线 PA∥平面 DEF.(2)因为 D， E， F 分别为棱 PC， AC， AB的中点， PA＝6， BC＝8，所以 DE∥PA， DE＝1PA 21＝3， EF＝2BC＝ 4.又因为 DF＝ 5，故 DF2＝ DE2＋EF2，所以∠ DEF＝ 90°，即 DE⊥EF.又 PA⊥AC， DE∥PA，所以 DE⊥AC.因为 AC∩EF＝ E， AC? 平面 ABC， EF? 平面 ABC，所以 DE⊥平面 ABC.又 DE? 平面 BDE，所以平面BDE⊥平面 ABC.10．(2014 ·湖南卷 ) 如下图，已知二面角αMNβ 的大小为60°，菱形 ABCD在面β内， A， B 两点在棱MN上，∠ BAD＝ 60°， E 是 AB 的中点， DO⊥面α ，垂足为O.(1)证明： AB⊥平面 ODE；(2)求异面直线 BC与 OD所成角的余弦值．(1)证明：如图，因为 DO⊥ α， AB? α，所以 DO⊥AB.连结 BD，由题设知，△ ABD是正三角形．又 E 是 AB的中点，所以 DE⊥AB.而 DO∩DE＝ D，故 AB⊥平面 ODE.(2)解：因为 BC∥AD，所以 BC 与 OD所成的角等于 AD 与 OD所成的角，即∠ ADO是 BC与 OD所成的角 ( 或其补角 ) ．由 (1) 知， AB⊥平面 ODE，所以 AB⊥OE.又 DE⊥AB，于是∠ DEO 是二面角αMNβ 的平面角，进而∠ DEO＝60°.不如设 AB＝ 2，则 AD＝ 2，易知 DE＝ 3.3在 Rt△ DOE中， DO＝DE· sin 60°＝2.3连结 AO，在 Rt△ AOD中， cos ∠ ADO ＝DO 2 3 ＝＝ . AD 2 43故异面直线BC与 OD所成角的余弦值为.4B 级能力提高1．如图，在正四棱锥S ABCD中， E， M， N分别是 BC， CD， SC的中点，动点P 在线段 MN上运动时，以下四个结论：① EP⊥AC；② EP∥BD；③ EP∥面SBD；④ EP⊥面 SAC中恒建立的为 ()A．①③B．③④C．①②D．②③④分析：∵E， M，N是 BC，CD， SC的中点，∴EN∥SB， EM∥BD，进而可得 EN∥平面 SBD，EM∥平面 SBD.又 EN与 EM是平面 EMN内的两条订交直线，∴平面 EMN∥平面 SBD，故 EP∥平面 SBD，所以③正确，当点 P 与 M不重合时，②不正确．在正四棱锥S ABCD中， AC⊥平面 SBD.进而 AC⊥平面 EMN，由 EP? 平面 EMN，得 AC⊥EP，①正确．又易知 EM⊥平面 SAC，所以④不恒建立．答案： A2．如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面 ABC，底面是以∠ ABC 为直角的等腰直角三角形，AC＝2a， BB1＝ 3a， D 是 A1C1的中点，点F 在线段AA1上，当AF＝ ________ 时， CF⊥平面 B1DF.分析：∵B1D⊥平面A1ACC1，∴ CF⊥ B1D.为了使 CF⊥平面 B1DF，只需使CF⊥DF(或 CF⊥B1F) ．22 2设 AF＝ x，则 CD＝DF ＋ FC，∴x2－ 3ax＋ 2a2＝ 0，∴ x＝ a 或 x＝ 2a.答案： a 或 2a3．(2015 ·天津卷 ) 如图，已知AA1⊥平面 ABC， BB1∥ AA1， AB＝ AC＝ 3， BC＝ 2 5， AA1 ＝7， BB1＝2 7，点 E 和 F 分别为 BC和 A1C 的中点．(1) 求证： EF∥平面A1B1BA；(2)求证：平面 AEA1⊥平面 BCB1；(3)求直线 A1B1与平面 BCB1所成角的大小．(1)证明：如图，连结 A1B. 在△A1BC中，因为 E 和 F 分别是 BC和 A1C的中点，所以 EF∥BA1.又因为 EF?平面 A1B1BA，所以 EF∥平面 A1B1 BA.(2)证明：因为 AB＝ AC，E 为 BC的中点，所以 AE⊥BC.因为 AA1⊥平面 ABC， BB1∥ AA1，所以 BB1⊥平面 ABC，进而 BB1⊥ AE.又因 BC∩BB1＝ B，所以 AE⊥平面 BCB1.因为 AE? 平面 AEA1，所以平面 AEA1⊥平面 BCB1.(3)解：取 BB1的中点 M和 B1C 的中点 N，连结 A1M， A1N， NE.因为 N和 E 分别为 B1C 和 BC的中点，1所以 NE∥B1B， NE＝2B1B，故 NE∥A1A 且 NE＝ A1A，所以 A1N∥ AE，且 A1N＝ AE.又因为 AE⊥平面 BCB1，所以 A1N⊥平面 BCB1，进而∠A1B1N为直线A1B1与平面 BCB1所成的角．在△ ABC中，可得AE＝ 2，所以 A1N＝AE＝ 2.因为 BM∥AA1， BM＝AA1，所以 A1M∥ AB， A1M＝ AB.又由 AB⊥BB1，有 A1M⊥ BB1.在 Rt△ A1MB1中，可得 A1B1＝ B1M2＋ A1M2＝ 4.A1N 1在 Rt△ A1NB1中， sin ∠ A1B1N＝A1B1＝2，所以∠A1B1N＝30°.所以，直线A1B1与平面 BCB1所成的角为30° .。

高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案：7.5 直线、平面垂直的判定及性质 Word版含答案

第五节直线、平面垂直的判定及性质垂直的判定与性质(1)掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定理．(2)掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理．知识点一直线与平面垂直1．直线与平面垂直的判定定理(1)自然语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．(2)图形语言：如图1所示．(3)符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α.2．直线与平面垂直的性质定理自然语言：垂直于同一个平面的两条直线平行．图形语言：如图2所示．符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.易误提醒斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线，而不是线段．必记结论(1)直线与平面垂直的定义常常逆用，即a⊥α，b⊂α⇒a⊥b.(2)若平行直线中一条垂直于平面，则另一条也垂直于该平面．(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直．(5)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．[自测练习]1．设a，b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，则“l⊥a，且l⊥b”是“l⊥α”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：由线面垂直的判定定理知，充分性不成立，由线面垂直的性质定理知，必要性成立，故选C.答案：C2．已知直线a，b和平面α，且a⊥b，a⊥α，则b与α的位置关系为()A．b⊂αB．b∥αC．b⊂α或b∥αD．b与α相交解析：由a⊥b，a⊥α知b⊂α或b∥α，但直线b不与α相交．答案：C知识点二平面与平面垂直1．平面与平面垂直的判定(1)两个平面垂直的定义如果两个相交平面所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直．平面α与β垂直，记作α⊥β.(2)两个平面垂直的判定定理自然语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．图形语言：如图1所示．符号语言：AB⊥β，AB⊂α⇒α⊥β.图12．平面与平面垂直的性质自然语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．图形语言：如图2所示．图2符号语言：α⊥β，α∩β＝CD，AB⊂α，AB⊥CD⇒AB⊥β.易误提醒平面和平面垂直的判定定理的两个条件：l⊂α，l⊥β，缺一不可．必记结论(1)两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情况，正方体中任意相邻的两个面都是互相垂直的；(2)由定理可知，要证明平面与平面垂线，可转化为从现有直线中寻找平面的垂线，即证明线面垂直；(3)面面垂直的判定定理提供了找出垂直于一个平面的另一个平面的依据．[自测练习]3．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是() A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥βC．若m⊥β，m∥α，则α⊥βD．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ解析：利用相关定理逐个判断．A中m与α的位置关系不确定，故错误；B中α，β可能平行或相交，故错误；由面面垂直的判定定理可知C正确；D中β，γ平行或相交，故错误，选C.答案：C4．四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥底面ABCD，则这个四棱锥的五个面中两两垂直的共有________对．解析：因为AD⊥AB，AD⊥P A且P A∩AB＝A，可得AD⊥平面P AB.同理可得BC⊥平面P AB、AB⊥平面P AD、CD⊥平面P AD，由面面垂直的判定定理可得，平面P AD⊥平面P AB，平面PBC⊥平面P AB，平面PCD⊥平面P AD，平面P AB⊥平面ABCD，平面P AD⊥平面ABCD，共有5对．答案：5考点一直线与平面垂直的判定与性质|1．在空间中，l，m，n，a，b表示直线，α表示平面，则下列命题正确的是()A．若l∥α，m⊥l，则m⊥αB．若l⊥m，m⊥n，则m∥nC．若a⊥α，a⊥b，则b∥αD．若l⊥α，l∥a，则a⊥α解析：易知选项A不正确；选项B，从m⊥n就可以看出结论是错误的；选项C中，若b⊂α，则C不正确；选项D是正确的．答案：D2．(2016·丽水一模)在四面体ABCD中，下列条件不能得出AB⊥CD的是()A．AB⊥BC且AB⊥BDB．AD⊥BC且AC⊥BDC．AC＝AD且BC＝BDD．AC⊥BC且AD⊥BD解析：A.∵AB ⊥BD ，AB ⊥BC ，BD ∩BC ＝B ，∴AB ⊥平面BCD ，∵CD ⊂平面BCD ，∴AB ⊥CD .B.设A 在平面BCD 内的射影为O ，则AO ⊥平面BCD ，∵AD ⊥BC ，AC ⊥BD ，∴O 为△BCD 的垂心，连接BO ，则BO ⊥CD ，又AO ⊥CD ，AO ∩BO ＝O ，∴CD ⊥平面ABO ，∵AB ⊂平面ABO ，∴AB ⊥CD .C.取CD 中点G ，连接BG ，AG .∵AC ＝AD 且BC ＝BD ，∴CD ⊥BG ，CD ⊥AG ， ∵BG ∩AG ＝G ，∴CD ⊥平面ABG ，∵AB ⊂平面ABG ，∴AB ⊥CD ，故选D. 答案：D3．(2015·高考重庆卷)如图，三棱锥P -ABC 中，平面P AC ⊥平面ABC ，∠ABC ＝π2，点D ，E 在线段AC 上，且AD ＝DE ＝EC ＝2，PD ＝PC ＝4，点F 在线段AB 上，且EF ∥BC .(1)证明：AB ⊥平面PFE ；(2)若四棱锥P -DFBC 的体积为7，求线段BC 的长．解：(1)证明：由DE ＝EC ，PD ＝PC 知，E 为等腰△PDC 中DC 边的中点，故PE ⊥AC . 又平面P AC ⊥平面ABC ，平面P AC ∩平面ABC ＝AC ，PE ⊂平面P AC ，所以PE ⊥平面ABC ，从而PE ⊥AB .因∠ABC ＝π2，EF ∥BC ，故AB ⊥EF .从而AB 与平面PFE 内两条相交直线PE ，EF 都垂直，所以AB ⊥平面PFE . (2)设BC ＝x ，则在Rt △ABC 中， AB ＝AC 2－BC 2＝36－x 2，从而S △ABC ＝12AB ·BC ＝12x 36－x 2.由EF ∥BC 知，AF AB ＝AE AC ＝23，得△AFE ∽△ABC ，故S △AFE S △ABC＝⎝⎛⎭⎫232＝49，即S △AFE ＝49S △ABC .由AD ＝12AE ，得S △AFD ＝12S △AFE ＝12·49S △ABC ＝29S △ABC ＝19x 36－x 2，从而四边形DFBC 的面积为S DFBC ＝S △ABC －S △AFD ＝12x 36－x 2－19x 36－x 2＝718x36－x2.由(1)知，PE⊥平面ABC，所以PE为四棱锥P-DFBC的高．在Rt△PEC中，PE＝PC2－EC2＝42－22＝2 3.V P-DFBC＝13·S DFBC·PE＝13·718x36－x2·23＝7，故得x4－36x2＋243＝0，解得x2＝9或x2＝27，由于x>0，可得x＝3或x＝3 3.所以，BC＝3或BC＝3 3.证明直线和平面垂直的常用方法(1)利用判定定理．(2)利用平行线垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)．(3)利用面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)．(4)利用面面垂直的性质．考点二平面与平面垂直的判定与性质|(2015·高考全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.(1)证明：平面AEC⊥平面BED；(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥E-ACD的体积为63，求该三棱锥的侧面积．[解](1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD. 因为BE⊥平面ABCD，所以AC⊥BE.故AC⊥平面BED. 又AC⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED.(2)设AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝32x，GB＝GD＝x2.因为AE⊥EC，所以在Rt△AEC中，可得EG＝3 2x.由BE⊥平面ABCD，知△EBG为直角三角形，可得BE＝2 2x.由已知得，三棱锥E-ACD的体积V E-ACD＝13×12AC×GD×BE＝624x3＝63.故x＝2.从而可得AE＝EC＝ED＝ 6.所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与△ECD的面积均为 5.故三棱锥E-ACD的侧面积为3＋2 5.证明面面垂直的主要方法①利用判定定理．在审题时要注意直观判断哪条直线可能是垂线，充分利用等腰三角形底边上的中线垂直于底边，勾股定理的逆定理等．②用定义证明．只需判定两平面所成二面角为直二面角．③客观题中，也可应用：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面．(2015·佛山一中期中考试)如图，在三棱锥P-ABC中，P A⊥底面ABC，∠BCA＝90°，AP ＝AC，点D，E分别在棱PB，PC上，且BC∥平面ADE.(1)求证：DE⊥平面P AC；(2)当二面角A-DE-P为直二面角时，求A-BCED与P-AED的体积比．解：(1)证明：∵BC∥平面ADE，BC⊂平面PBC，平面PBC∩平面ADE＝DE，∴BC ∥ED，∵P A⊥底面ABC，BC⊂底面ABC，∴P A⊥BC，又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC，∵P A与AC是平面P AC内的两条相交直线，∴BC⊥平面P AC，又BC∥ED，∴DE⊥平面P AC.(2)由(1)知，DE⊥平面P AC，∵AE⊂平面P AC，PE⊂平面P AC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，∴∠AEP为二面角A-DE-P的平面角，∴∠AEP＝90°，即AE⊥PC，∵AP＝AC，∴E是PC的中点，∴ED 是△PBC的中位线，DE⊥AC，又PC∩DE＝E，∴AE⊥平面PCD，∴V A-BCEDV A-PDE＝13S四边形BCED·AE13S△PED·AE＝S四边形BCEDS△PED＝3.考点三平行与垂直的综合问题|空间线、面的平行与垂直的综合考查一直是高考必考热点，归纳起来常见的命题探究角度有：1．以多面体为载体考查平行与垂直的证明．2．探索性问题中的平行与垂直问题．3．折叠问题中的平行垂直问题．探究一平行与垂直关系的证明1．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，P，Q，M，N分别是棱AB，AD，DD1，BB1，A1B1，A1D1的中点．求证：(1)直线BC1∥平面EFPQ；(2)直线AC1⊥平面PQMN.证明：(1)连接AD1，由ABCD-A1B1C1D1是正方体，知AD1∥BC1，因为F，P分别是AD，DD1的中点，所以FP∥AD1.从而BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ，且BC1⊄平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ.(2)连接AC，BD，则AC⊥BD.由CC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，可得CC1⊥BD.又AC ∩CC 1＝C ，所以BD ⊥平面ACC 1. 而AC 1⊂平面ACC 1，所以BD ⊥AC 1. 因为M ，N 分别是A 1B 1，A 1D 1的中点，则易知MN ∥BD ，从而MN ⊥AC 1. 同理可证PN ⊥AC 1.又PN ∩MN ＝N ，所以直线AC 1⊥平面PQMN .探究二探索性问题中的平行与垂直问题2.如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝CC 1＝2，M ，N 分别为AC ，B 1C 1的中点．(1)求线段MN 的长； (2)求证：MN ∥平面ABB 1A 1；(3)线段CC 1上是否存在点Q ，使A 1B ⊥平面MNQ ？说明理由．解：(1)连接CN .因为ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CC 1⊥平面ABC ，所以AC ⊥CC 1. 因为AC ⊥BC ，所以AC ⊥平面BCC 1B 1.因为MC ＝1，CN ＝CC 21＋C 1N 2＝5，所以MN ＝ 6.(2)证明：取AB 中点D ，连接DM ，DB 1.在△ABC 中，因为M 为AC 中点，所以DM ∥BC ，DM ＝12BC .在矩形B 1BCC 1中，因为N 为B 1C 1中点，所以B 1N ∥BC ，B 1N ＝12BC .所以DM ∥B 1N ，DM ＝B 1N .所以四边形MDB 1N 为平行四边形，所以MN ∥DB 1. 因为MN ⊄平面ABB 1A 1，DB 1⊂平面ABB 1A 1，所以MN ∥平面ABB 1A 1.(3)线段CC 1上存在点Q ，且Q 为CC 1中点时，有A 1B ⊥平面MNQ . 证明如下：连接BC 1.在正方形BB 1C 1C 中易证QN ⊥BC 1.又A 1C 1⊥平面BB 1C 1C ，所以A 1C 1⊥QN ，从而NQ ⊥平面A 1BC 1. 所以A 1B ⊥QN .同理可得A 1B ⊥MQ ，所以A 1B ⊥平面MNQ .故线段CC1上存在点Q，使得A1B⊥平面MNQ.探究三折叠问题中的平行与垂直关系3．(2015·高考四川卷)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论；(3)证明：直线DF⊥平面BEG.解：(1)点F，G，H的位置如图所示．(2)平面BEG∥平面ACH，证明如下：因为ABCD-EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG，又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，于是四边形BCHE为平行四边形，所以BE∥CH.又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，所以BE∥平面ACH.同理BG∥平面ACH.又BE∩BG＝B，所以平面BEG∥平面ACH.(3)证明：连接FH.因为ABCD-EFGH为正方体，所以DH⊥平面EFGH.因为EG⊂平面EFGH，所以DH⊥EG.又EG⊥FH，DH∩FH＝H，所以EG⊥平面BFHD.又DF⊂平面BFHD，所以DF⊥EG.同理DF⊥BG.又EG∩BG＝G，所以DF⊥平面BEG.平行与垂直的综合应用问题的处理策略(1)探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点．(2)折叠问题中的平行与垂直关系的处理关键是结合图形弄清折叠前后变与不变的数量关系，尤其是隐含量的垂直关系．7.平行与垂直综合问题的答题模板【典例】(12分)(2015·高考山东卷)如图，三棱台DEF-ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．(1)求证：BD∥平面FGH；(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.[思维点拨](1)法一：证明四边形DFCG为平行四边形，结合H为BC的中点可得HM ∥BD，进而得BD∥平面FGH；法二：利用四边形HBEF为平行四边形，证明平面ABED ∥平面FGH，进而得BD∥平面FGH.(2)先证明CB⊥平面ECH，进而得平面BCD⊥平面EGH.[规范解答](1)证明：法一：连接DG，CD，设CD∩GF＝M，连接MH.在三棱台DEF-ABC 中，AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC，DF＝GC，所以四边形DFCG为平行四边形，(3分)则M为CD的中点，又H为BC的中点，所以HM∥BD.又HM⊂平面FGH，BD⊄平面FGH，(4分)所以BD∥平面FGH.(5分)法二：在三棱台DEF-ABC中，由BC＝2EF，H为BC的中点，可得BH∥EF，BH＝EF，所以四边形HBEF为平行四边形，可得BE∥HF.(2分)在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点．所以GH∥AB.(3分)又GH∩HF＝H，所以平面FGH∥平面ABED.(4分)淘宝店铺：漫兮教育因为BD⊂平面ABED，所以BD∥平面FGH.(5分)(2)连接HE，GE.因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GH∥AB，由AB⊥BC，得GH⊥BC.(7分)又H为BC的中点，所以EF∥HC，EF＝HC，因此四边形EFCH是平行四边形(9分)所以CF∥HE.又CF⊥BC，所以HE⊥BC.又HE，GH⊂平面EGH，HE∩GH＝H，所以BC⊥平面EGH.(11分)又BC⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面EGH.(12分)[模板形成]由图形特征分析平行条件↓创设线面平行的条件↓利用判定定理或面面平行证明线面平行↓分析条件中平行与垂直的关系↓选定并证明线面垂直↓利用面面垂直的判定证明面面垂直A组考点能力演练1．已知直线m，l，平面α，β，且m⊥α，l⊂β，给出下列命题：①若α∥β，则m⊥l；②若α⊥β，则m∥l；③若m⊥l，则α⊥β；④若m∥l，则α⊥β，其中正确的命题的个数是()A．1B．2C．3 D．4解析：①中，α∥β，且m⊥α，则m⊥β，因为l⊂β，所以m⊥l，所以①正确；②中，α⊥β，且m⊥α，则m∥β或m⊂β，又l⊂β，则m与l可能平行，可能异面，可能相交，所以②不正确；③中，m⊥l，且m⊥α，l⊂β，则α与β可能平行，可能相交，所以③不正确；④中，m∥l，且m⊥α，则l⊥α，因为l⊂β，所以α⊥β，所以④正确，故选B.答案：B2．设α，β，γ为不同的平面，m、n、l为不同的直线，则m⊥β的一个充分条件为() A．α⊥β，α∩β＝l，m⊥lB．α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γC．α⊥γ，β⊥γ，m⊥αD．n⊥α，n⊥β，m⊥α解析：对于A，α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，根据面面垂直的性质定理可知，缺少条件m⊂α，故不正确；对于B，α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γ，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；对于C，α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，而α与β可能平行，也可能相交，则m 与β不一定垂直，故不正确；对于D，n⊥α，n⊥β，则α∥β，又m⊥α，则m⊥β，故正确，故选D.答案：D3.如图，在三棱锥D-ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BCDC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE解析：因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理，DE⊥AC，由于DE∩BE ＝E，于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故选C.答案：C4.如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为H，则以下命题中，错误的是()A．点H是△A1BD的垂心B．AH垂直于平面CB1D1C．AH的延长线经过点C1D．直线AH和BB1所成角为45°解析：A中，△A1BD为等边三角形，∴其四心合一，∵AB＝AA1＝AD，∴H到△A1BD各顶点的距离相等，∴A正确；∵CD1∥BA1，CB1∥DA1，CD1∩CB1＝C，BA1∩DA1＝A1，∴平面CB1D1∥平面A1BD，∴AH⊥平面CB1D1，∴B正确；连接AC1，则AC1⊥B1D1，∵B1D1∥BD，∴AC1⊥BD，同理，AC1⊥BA1，∴AC1⊥平面A1BD，∴A、H、C1三点共线，∴C正确，故选D.答案：D5.如图所示，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC 上的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析：∵∠BAC＝90°，∴AB⊥AC，又AC⊥BC1，BC1∩AB＝B，∴AC⊥平面ABC1，又AC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ABC1.∵平面ABC1∩平面ABC＝AB，∴点C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上，故选A.答案：A6．四棱锥P-ABCD的顶点P在底面ABCD上的投影恰好是A，其三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是腰长为a的等腰三角形，则在四棱锥P-ABCD的任意两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线共有________对．解析：由题意可得P A ⊥BC ，P A ⊥CD ，AB ⊥PD ，BD ⊥P A ，BD ⊥PC ，AD ⊥PB ，即互相垂直的异面直线共有6对．答案：67．如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点，当点M 满足________时，平面MBD ⊥平面PCD .(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：连接AC ，BD ，则AC ⊥BD ，∵P A ⊥底面ABCD ，∴P A ⊥BD . 又P A ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面P AC ， ∴BD ⊥PC .∴当DM ⊥PC (或BM ⊥PC )时，即有PC ⊥平面MBD . 而PC ⊂平面PCD ， ∴平面MBD ⊥平面PCD . 答案：DM ⊥PC (或BM ⊥PC 等)8．已知△ABC 的三边长分别为AB ＝5，BC ＝4，AC ＝3，M 是AB 边上的点，P 是平面ABC 外一点．给出下列四个命题：①若P A ⊥平面ABC ，则三棱锥P -ABC 的四个面都是直角三角形； ②若PM ⊥平面ABC ，且M 是AB 边的中点，则有P A ＝PB ＝PC ； ③若PC ＝5，PC ⊥平面ABC ，则△PCM 面积的最小值为152；④若PC ＝5，P 在平面ABC 上的射影是△ABC 内切圆的圆心，则点P 到平面ABC 的距离为23.其中正确命题的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上)解：由题意知AC ⊥BC ，对于①，若P A ⊥平面ABC ，则P A ⊥BC ，又P A ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面P AC ，∴BC ⊥PC ，因此该三棱锥P -ABC 的四个面均为直角三角形，①正确；对于②，由已知得M 为△ABC 的外心，所以MA ＝MB ＝MC .∵PM ⊥平面ABC ，则PM ⊥MA ，PM ⊥MB ，PM ⊥MC ，由三角形全等可知P A ＝PB ＝PC ，故②正确；对于③，要使△PCM 的面积最小，只需CM 最短，在Rt △ABC 中，(CM )min ＝125，∴(S △PCM )min ＝12×125×5＝6，故③错误；对于④，设P 点在平面ABC 内的射影为O ，且O 为△ABC 的内心，由平面几何知识得△ABC 的内切圆半径r ＝1，且OC ＝2，在Rt △POC 中，PO ＝PC 2－OC 2＝23，∴点P 到平面ABC 的距离为23，故④正确．答案：①②④9．(2016·扬州中学模拟)如图1，在边长为4的菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，点E ，F 分别是边CD ，CB 的中点，AC ∩EF ＝O .沿EF 将△CEF 翻折到△PEF ，连接P A ，PB ，PD ，得到如图2的五棱锥P -ABFED ，且PB ＝10.(1)求证：BD ⊥平面POA ； (2)求四棱锥P -BFED 的体积．解：(1)证明：∵点E ，F 分别是边CD ，CB 的中点， ∴BD ∥EF .∵ABCD 是菱形，∴BD ⊥AC ， ∴EF ⊥AC ，∴翻折后EF ⊥AO ，EF ⊥PO ，∵AO ⊂平面POA ，PO ⊂平面POA ，AO ∩PO ＝O ， ∴EF ⊥平面POA ， ∴BD ⊥平面POA .(2)设AO ∩BD ＝H ，连接BO ，∵ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ，∵∠DAB ＝60°， ∴△ABD 为等边三角形，∴BD ＝4，BH ＝2，HA ＝23，HO ＝PO ＝3，在Rt △BHO 中，BO ＝BH 2＋HO 2＝7，在△PBO 中，BO 2＋PO 2＝10＝PB 2， ∴PO ⊥BO ，∵PO ⊥EF ，EF ∩BO ＝O ，EF ⊂平面BFED ，BO ⊂平面BFED ， ∴PO ⊥平面BFED ，又梯形BFED 的面积为S ＝12(EF ＋BD )·HO ＝33，∴四棱锥P -BFED 的体积V ＝13S ·PO ＝13×33×3＝3.10.如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC＝45°，DC＝1，AB＝2，P A⊥平面ABCD，P A＝1.(1)求证：AB∥平面PCD；(2)求证：BC⊥平面P AC；(3)若M是PC的中点，求三棱锥M-ACD的体积．解：(1)证明：∵AB∥CD，CD⊂平面PDC，AB⊄平面PDC，∴AB∥平面PDC.(2)证明：在直角梯形ABCD中，过点C作CE⊥AB于点E，则四边形ADCE为矩形，∴AE＝DC＝1，又AB＝2，∴BE＝1，在Rt△BEC中，∠EBC＝45°，∴CE＝BE＝1，CB＝2，在Rt△ACE中，AC＝AE2＋CE2＝2，∴AC2＋BC2＝AB2，∴BC⊥AC.又P A⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥P A，而P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC.(3)∵M是PC的中点，∴M到平面ADC的距离是P到平面ADC的距离的一半．∴V M-ACD＝13S△ACD×⎝⎛⎭⎫12P A＝13×⎝⎛⎭⎫12×1×1×12＝112.B组高考题型专练1．(2015·高考安徽卷)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是()A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行．．．，则在α内不存在．．．与β平行的直线D．若m，n不平行．．．，则m与n不可能．．．垂直于同一个平面解析：A中，垂直于同一个平面的两个平面可能相交也可能平行，故A错误；B中，平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，故B错误；C中，若两个平面相交，则一个平面内与交线平行的直线一定和另一个平面平行，故C错误；D中，若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，所以若两条直线不平行，则它们不可能垂直于同一个平面，故D正确．答案：D2．(2014·高考广东卷)如图(1)，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC ＝PC＝2.按图(2)折叠：折痕EF∥DC，其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF.(1)证明：CF⊥平面MDF；(2)求三棱锥M -CDE的体积．解：(1)证明：PD⊥平面ABCD，PD⊂平面PCD，∴平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，MD⊂平面ABCD，MD⊥CD，∴MD⊥平面PCD，CF⊂平面PCD，∴CF⊥MD，又CF⊥MF，MD，MF⊂平面MDF，MD∩MF＝M，∴CF⊥平面MDF.(2)∵CF⊥平面MDF，∴CF⊥DF，又易知∠PCD＝60°，∴∠CDF＝30°，从而CF＝12CD ＝12，∵EF∥DC，∴DEDP＝CFCP，即DE3＝122，∴DE＝3，∴PE＝33，S CDE＝1CD·DE＝3，MD＝ME2－DE2＝PE2－DE2＝⎝⎛⎭⎫3342－⎝⎛⎭⎫342＝62，∴V M -CDE＝13S△CDE·MD＝13·38·62＝216.3．(2015·高考陕西卷)如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝π2，AB＝BC ＝12AD＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到图2中△A1BE 的位置，得到四棱锥A1-BCDE.(1)证明：CD ⊥平面A 1OC ；(2)当平面A 1BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥A 1-BCDE 的体积为362，求a 的值．解：(1)证明：在图1中，因为AB ＝BC ＝12AD ＝a ，E 是AD 的中点，∠BAD ＝π2，所以BE ⊥AC .即在图2中，BE⊥A 1O ，BE ⊥OC ，从而BE ⊥平面A 1OC ，又CD ∥BE ，所以CD ⊥平面A 1OC . (2)由已知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ，且平面A 1BE ∩平面BCDE ＝BE ，又由(1)可得A 1O ⊥BE ，所以A 1O ⊥平面BCDE ，即A 1O 是四棱锥A 1-BCDE 的高．由图1知，A 1O ＝22AB ＝22a ，平行四边形BCDE 的面积S ＝BC ·AB ＝a 2. 从而四棱锥A 1-BCDE 的体积为V ＝13×S ×A 1O ＝13×a 2×22a ＝26a 3，由26a 3＝362，得a ＝6.4.(2015·高考广东卷)如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，PD ＝PC ＝4，AB ＝6，BC ＝3.(1)证明：BC ∥平面PDA ； (2)证明：BC ⊥PD ；(3)求点C 到平面PDA 的距离．解：(1)证明：∵长方形ABCD 中，BC ∥AD ，又BC ⊄平面PDA ，AD ⊂平面PDA ， ∴BC ∥平面PDA .(2)证明：取CD 的中点H ，连接PH ， ∵PD ＝PC ，∴PH ⊥CD .又∵平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC ∩平面ABCD ＝CD ，∴PH ⊥平面ABCD . 又∵BC ⊂平面ABCD ，∴PH ⊥BC . 又∵长方形ABCD 中，BC ⊥CD ， PH ∩CD ＝H ，∴BC ⊥平面PDC . 又∵PD ⊂平面PDC ，∴BC ⊥PD . (3)连接AC .由(2)知PH 为三棱锥P -ADC 的高．淘宝店铺：漫兮教育∵PH ＝PD 2－⎝⎛⎭⎫12CD 2＝42－32＝7， S △ADC ＝12·AD ·CD ＝12×3×6＝9，∴V P -ADC ＝13·S △ADC ·PH ＝13×9×7＝37. 由(2)知BC ⊥PD ，又∵AD ∥BC ， ∴AD ⊥PD ，∴S △PDA ＝12·PD ·AD ＝12×4×3＝6.设点C 到平面PDA 的距离为h . ∵V C -PDA ＝V P -ADC ， ∴13·S △PDA ·h ＝37， ∴h ＝37＝37×6＝372.。

2017年高考数学人教版理科一轮复习课件：第7章立体几何 4 直线、平面平行的判定和性质

第一页，编辑于星期六：二点四十七分。
考纲要求 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理。 2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题。
第二页，编辑于星期六：二点四十七分。
考情分析 1.直线、平面平行的判定及其性质是高考中的重点考查内容，涉及线线平行、线面平行、面面平行的判定及其应用等内容。 2．题型主要以解答题的形式出现，解题要求有较强的推理论证能力，广泛应用转化与化归的思想。
所以 l∥b
第十页，编辑于星期六：二点四十七分。
2.平面与平面平行的判定定理和性质定理
判定定理
文字语言
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平
行⇒面面平行”)
图形语言
符号语言
因为③__a∥ __β__， ___b_∥__β__， _a_∩__b_＝__P_， __a_⊂__α___， __b_⊂__α___，所以 α∥β
第十九页，编辑于星期六：二点四十七分。
解析：∵AB∥平面 EFGH，平面 EFGH 与平面 ABC 和平面 ABD 分别交于 FG、FH，
∴AB∥FG，AB∥EH。∴FG∥EH。同理可证 EF∥GH。 ∴截面 EFGH 是平行四边形。又 EF⊥FG，∴▱EFGH 为矩形。设 AB＝a，CD＝b，又设 FG＝x，GH＝y，则由平面几何知识可得xa＝CBGC，yb＝BBGC。
第十一页，编辑于星期六：二点四十七分。
α∥β α∩γ＝a β∩γ＝b
第十二页，编辑于星期六：二点四十七分。
3.平行关系中的两个重要结论 (1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若 a⊥α，a⊥β，则 α∥β。 (2)平行于同一平面的两个平面平行，即若 α∥β，β∥γ，则 α∥γ。

2017届高考数学一轮总复习课件：第七章立体几何 7.5

l⊥γ.
第十五页，编辑于星期六：一点二十三分。
【解析】选A.根据面面垂直的性质,知A不正确,直线l可能平行平面β,也可能在平面β内.
第十六页，编辑于星期六：一点二十三分。
2.(必修2P73习题A组T3改编)如图,
在三棱锥V-ABC中,∠VAB=∠VAC=
∠ABC=90°,则构成三棱锥的四个
第四十四页，编辑于星期六：一点二十三分。
【证明】在△PBD中,PB=PD,O为BD的中点, 所以PO⊥BD, 在△PAC中,PA=PC,O为AC的中点, 所以PO⊥AC, 又因为AC∩BD=O,所以PO⊥平面ABCD.
第四十五页，编辑于星期六：一点二十三分。
命题方向2:利用线面垂直的性质证明线线垂直
P-ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面
ABCDEF.则下列结论不正确的是( )
A.CD∥平面PAF B.DF⊥平面PAF
C.CF∥平面PAB D.CF⊥平面PAD
第二十四页，编辑于星期六：一点二十三分。
【解析】选D.A中,因为CD∥AF,AF⊂平面PAF,CD⊄平面
PAF,所以CD∥平面PAF成立; B中,因为ABCDEF为正六边形,所以DF⊥AF. 又因为PA⊥平面ABCDEF,所以PA⊥DF,又因为 PA∩AF=A,所以DF⊥平面PAF成立;
内的任一条直线,可见选项B正确;
第二十二页，编辑于星期六：一点二十三分。
直线AA1⊥平面ABCD,AA1⊥BC,但直线BC⊂平面ABCD,
故选项C错误;直线AA1∥平面CC1D1D,AA1⊥CD,但直线
CD⊂平面CC1D1D,故选项D错误.
第二十三页，编辑于星期六：一点二十三分。
5.(2016·聊城模拟)已知如图,六棱锥

近年届高考数学一轮复习第七篇立体几何与空间向量第5节直线、平面垂直的判定与性质训练理新人教版(20

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第5节直线、平面垂直的判定与性质【选题明细表】知识点、方法题号垂直关系的基本问题1，6,11直线与平面垂直的判定与性质2,8,9，12平面与平面垂直的判定与性质3,4,7线面角与二面角5,10，13，14基础巩固（时间：30分钟）1.(2017·南阳、信阳等六市一模）设直线m，n是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，下列事件中是必然事件的是（ D )（A)若m∥α,n∥β,m⊥n，则α⊥β（B）若m∥α，n⊥β,m∥n，则α∥β（C）若m⊥α,n∥β,m⊥n，则α∥β（D）若m⊥α，n⊥β，m∥n,则α∥β解析：若m∥α,n∥β,m⊥n，则α、β位置关系不确定,选项A不正确;若m ∥α，则α中存在直线c与m平行,m∥n，n⊥β，则c⊥β，又因为c⊂α,所以α⊥β，选项B不正确；若m⊥α,n∥β，m⊥n，则α,β可以相交，选项C不正确；若m⊥α,m∥n，则n⊥α,又n⊥β，所以α∥β，选项D正确.故选D。

2。

已知平面α与平面β相交,直线m⊥α，则( C ）（A)β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直(B)β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直（C)β内不一定存在直线与m平行,但必存在直线与m垂直(D）β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直解析：如图,在平面β内的直线若与α，β的交线a平行，则有m与之垂直.但却不一定在β内有与m平行的直线，只有当α⊥β时才存在.故选C。

2017届高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案：7.4 直线、平面平行的判定及其性质 Word版含答案

第四节直线、平面平行的判定及其性质平行的判定与性质(1)理解空间直线和平面位置关系的定义．(2)了解直线和平面的位置关系．(3)掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，两个平面平行的判定定理和性质定理．知识点一直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件与平面无公共点a⊂α_，b⊄α_，a∥ba∥αa∥α，a⊂β，_α∩β＝b结论,a∥αb∥αa∩α＝∅a∥b 易误提醒(1)在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则会出现错误．(2)一条直线平行于一个平面，它可以与平面内的无数条直线平行，但这条直线与平面内的任意一条直线可能平行，也可能异面．[自测练习]1．若直线a不平行于平面α，则下列结论正确的是()A．α内的所有直线都与直线a异面B．α内可能存在与a平行的直线C．α内的直线都与a相交D．直线a与平面α没有公共点解析：直线a与α不平行，则直线a在α内或与α相交，当直线a在平面α内时，在α内存在与a平行的直线，B正确．答案：B2．对于直线m ，n 和平面α，若n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当m ∥n 时，m ⊂α或m ∥α，当m ∥α时，m 与n 可能平行也可能为异面直线．答案：D知识点二平面与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件,α∩β＝∅⎩⎪⎨⎪⎧ a ⊂β，b ⊂βa ∩b ＝P a ∥α，b ∥α⎩⎪⎨⎪⎧α∥βα∩γ＝a β∩γ＝b⎩⎪⎨⎪⎧α∥βa ⊂β 结论 α∥β ,α∥βa ∥ba ∥α易误提醒 (1)如果一个平面内的两条平行直线与另一个平面平行，则这两个平面相交或平行．(2)要证面面平行需证线面平行，要证线面平行需证线线平行，因此“面面平行”问题最终可转化为“线线平行”问题．必记结论平面与平面平行的几个有用性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面． (2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等． (3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． (5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．(6)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行．[自测练习]3．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列命题正确的是( )A．若m∥n，m⊂α，则n∥αB．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥βC．若α⊥γ，α⊥β，则β∥γD．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β解析：直线n可能在平面α内，A错误；两平面可相交，此时直线m，n均与交线平行即可，B错误；两平面可相交，C错误；因为m∥n，m⊥α，所以n⊥α，又n⊥β，所以α∥β，D正确．故选D.答案：D4．如图，L，M，N分别为正方体对应棱的中点，则平面LMN与平面PQR的位置关系是()A．垂直B．相交不垂直C．平行D．重合解析：如图，分别取另三条棱的中点A，B，C将平面LMN延展为平面正六边形AMBNCL，因为PQ∥AL，PR∥AM，且PQ与PR相交，AL与AM相交，所以平面PQR∥平面AMBNCL，即平面LMN∥平面PQR.答案：C考点一直线与平面平行的判定与性质|1．(2016·阜阳一中模拟)过平行六面体ABCD-A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有()A．4条B．6条C．8条D．12条解析：如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N，P，Q分别为相应棱的中点，容易证明平面EFGH，平面MNPQ均与平面BDD1B1平行．平面EFGH和平面MNPQ中分别有6条直线(相应四边形的四条边和两条对角线)满足要求，故共有12条直线符合要求．答案：D2.如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱C1C，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1(填上正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)．解析：当点M在线段FH上时，MN∥平面B1BDD1.答案：点M与点H重合(或点M在线段FH上)3.(2015·高考北京卷)如图，在三棱锥V-ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝2，O，M分别为AB，VA的中点．(1)求证：VB∥平面MOC；(2)求证：平面MOC⊥平面VAB；(3)求三棱锥V-ABC的体积．解：(1)证明：因为O，M分别为AB，VA的中点，所以OM∥VB.又因为VB⊄平面MOC，所以VB∥平面MOC.(2)证明：因为AC＝BC，O为AB的中点，所以OC⊥AB.又因为平面VAB⊥平面ABC，且OC⊂平面ABC，所以OC⊥平面VAB.所以平面MOC⊥平面VAB.(3)在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝2，所以AB＝2，OC＝1，所以S△VAB＝3，又因为OC⊥平面VAB，所以V C -VAB ＝13OC ·S △VAB ＝33. 又因为三棱锥V -ABC 的体积与三棱锥C -VAB 的体积相等，所以三棱锥V -ABC 的体积为33.判断或证明线面平行的常用三种方法(1)利用线面平行的定义(常用反证法)．(2)利用线面平行的判定定理：关键是找平面内与已知直线平行的直线．可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面与已知平面相交找它们的交线．(3)利用面面平行的性质定理：当两平面平行时，其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面．考点二面面平行的判定与性质|如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，BF ＝3，G 和H 分别是CE 和CF 的中点．(1)求证：平面BDGH ∥平面AEF ； (2)求多面体ABCDEF 的体积．[解] (1)证明：在△CEF 中，因为G ，H 分别是CE ，CF 的中点，所以GH ∥EF ，又因为GH ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以GH ∥平面AEF .设AC 与BD 的交点为O ，连接OH ，如图，在△ACF 中，因为O ，H 分别是AC ，CF 的中点，所以OH ∥AF ，又因为OH ⊄平面AEF ，AF ⊂平面AEF ，所以OH∥平面AEF.又因为OH∩GH＝H，OH，GH⊂平面BDGH，所以平面BDGH∥平面AEF.(2)因为AC⊥平面BDEF，又易知AO＝2，S矩形BDEF＝3×22＝62，＝4.所以四棱锥A-BDEF的体积V1＝13·AO·S矩形BDEF同理可得四棱锥C-BDEF的体积V2＝4.所以多面体ABCDEF的体积V＝V1＋V2＝8.证明面面平行的五种常用方法(1)利用面面平行的定义．(2)利用面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．1．如图，在三棱锥S-ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：(1)平面EFG∥平面ABC；(2)BC⊥SA.证明：(1)因为AS＝AB，AF⊥SB，垂足为F，所以F是SB的中点．又因为E是SA的中点，所以EF∥AB.因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.同理EG∥平面ABC.又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面ABC.(2)因为平面SAB⊥平面SBC，且交线为SB，又AF⊂平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC，因为BC⊂平面SBC，所以AF⊥BC.又因为AB⊥BC，AF∩AB＝A，AF，AB⊂平面SAB，所以BC⊥平面SAB.因为SA⊂平面SAB，所以BC⊥SA.考点三线面平行中的探索性问题|(2015·枣庄模拟)如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．[解]法一：存在点E，且E为AB的中点时，DE∥平面AB1C1，下面给出证明：如图，取BB1的中点F，连接DF，则DF∥B1C1，∵AB的中点为E，连接EF，则EF∥AB1，B1C1∩AB1＝B1，∴平面DEF∥平面AB1C1.而DE⊂平面DEF，∴DE∥平面AB1C1.法二：假设在棱AB上存在点E，使得DE∥平面AB1C1如图，取BB1的中点F，连接DF、EF，则DF∥B1C1，又DF⊄平面AB1C1，∴DF∥平面AB1C1，又DE∥平面AB1C1，DE∩DF＝D，∴平面DEF∥平面AB1C1，∵EF⊂平面DEF，∴EF∥平面AB1C1，又∵EF⊂平面ABB1，平面ABB1∩平面AB1C1＝AB1，∴EF∥AB1，∵点F是BB1的中点，∴点E是AB的中点．即当点E是AB的中点时，DE∥平面AB1C1.线面平行的探索性问题(1)对命题条件的探索常采用以下三种方法：①先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明其充分性；③把几何问题转化为代数问题，探索命题成立的条件．(2)对命题结论的探索常采用以下方法：首先假设结论存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论，就肯定假设，如果得到了矛盾的结论，就否定假设．2．四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱P A⊥底面ABCD，在侧面PBC内，有BE⊥PC于E，且BE＝63a，试在AB上找一点F，使EF∥平面P AD.解：在平面PCD内，过E作EG∥CD交PD于G，连接AG，在AB上取点F，使AF ＝EG，∵EG∥CD∥AF，EG＝AF，∴四边形FEGA为平行四边形，∴FE∥AG.又AG⊂平面P AD，FE⊄平面P AD，∴EF∥平面P AD.∴F即为所求的点．又P A⊥面ABCD，∴P A⊥BC，又BC⊥AB，∴BC⊥面P AB.∴PB⊥BC.∴PC 2＝BC 2＋PB 2＝BC 2＋AB 2＋P A 2. 设P A ＝x 则PC ＝2a 2＋x 2，由PB ·BC ＝BE ·PC 得：a 2＋x 2·a ＝2a 2＋x 2·63a ，∴x ＝a ，即P A ＝a ，∴PC ＝3a ，PB ＝2a . ∴PE 2＝PB 2－BE 2＝2a 2－23a 2∴PE ＝233a ，∴PE PC ＝233a 3a ＝23，即EG ＝23a ，∴AF ＝23a ，故在AB 上取AF ＝23AB ，连接EF 即可使EF ∥平面P AD .23.转化思想在平行关系判断与证明中的应用【典例】如图，ABCD 与ADEF 均为平行四边形，M ，N ，G 分别是AB ，AD ，EF 的中点．(1)求证：BE ∥平面DMF ； (2)求证：平面BDE ∥平面MNG .[思维点拨] (1)利用判定定理及中位线性质证明．(2)抓住线线、线面、面面平行的转化关系证明．[证明] (1)连接AE ，则AE 必过DF 与GN 的交点O ，连接MO ，则MO 为△ABE 的中位线，所以BE ∥MO ，又BE ⊄平面DMF ，MO ⊂平面DMF ，所以BE ∥平面DMF .(2)因为N ，G 分别为平行四边形ADEF 的边AD ，EF 的中点，所以DE ∥GN ，又DE ⊄平面MNG ，GN ⊂平面MNG ，所以DE ∥平面MNG . 又M 为AB 的中点，所以MN 为△ABD 的中位线，所以BD ∥MN ，又MN ⊂平面MNG ，BD ⊄平面MNG ，所以BD ∥平面MNG ，又DE ，BD ⊂平面BDE ，DE ∩BD ＝D ，所以平面BDE ∥平面MNG .[方法点评] (1)三种平行间的转化关系(2)对较复杂的综合问题往往需要反复运用线面平行的判定定理和性质定理来进行证明，有如下方法：线线平行→找过直线的平面→线面平行→找出或作出经过直线且与平面相交的平面，从而找出交线→线线平行[跟踪练习] (2016·咸阳模拟)如图所示，在四棱锥O -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，∠ABC ＝π4，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点．(1)求四棱锥O -ABCD 的体积； (2)证明：直线MN ∥平面OCD .解：(1)∵OA ⊥底面ABCD ，∴OA 是四棱锥O -ABCD 的高．∵四棱锥O -ABCD 的底面是边长为1的菱形，∠ABC ＝π4，∴底面面积S 菱形ABCD ＝22. ∵OA ＝2，∴体积V O -ABCD ＝23. (2)证明：取OB 的中点E ，连接ME ，NE .∵ME ∥AB ，AB ∥CD ，∴ME ∥CD .又∵NE ∥OC ，∵ME ∩EN ＝E ，CD ∩OC ＝C ，∴平面MNE ∥平面OCD .∵MN ⊂平面MNE ，∴MN ∥平面OCD .A 组考点能力演练1．(2016·台州模拟)设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A ．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βB ．若m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，则α∥βC ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥βD ．若m ∥n ，m ∥α，n ∥β，则α∥β解析：垂直于同一直线的两平面平行，故选C.答案：C2．若a ，b ，c 为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列命题正确的为( )A ．若a ∥α，b ∥α，则a ∥bB ．若α∥a ，β∥a ，则α∥βC ．若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥bD ．若α⊥β，α⊥γ，则β∥γ解析：对于A ，空间中平行于同一个平面的两直线可能异面、相交或平行，故A 错误；对于B ，空间中平行于同一条直线的两平面平行或相交，故B 错误；对于C ，空间中垂直于同一个平面的两条直线平行，故C 正确；对于D ，空间中垂直于同一个平面的两平面相交或平行，故D 错误．答案：C3．已知l ，m ，n 是三条不重合的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，给出下列四个命题：①若m∥n，n⊂α，则m∥α；②若直线m，n与平面α所成的角相等，则m∥n；③存在异面直线m，n，使得m∥α，m∥β，n∥α，则α∥β；④若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.其中真命题的个数为()A．1B．2C．3 D．4解析：对于①，m也可能在α内，①错误；对于②，直线m，n也可能相交或异面，②错误；对于③，命题成立；对于④，∵l∥γ，l⊂α，α∩γ＝n，∴l∥n，同理l∥m，∴m∥n，④正确．综上可知③④正确，故选B.答案：B4．设a，b是两条直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是() A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a、b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a、b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α解析：对于A，两个平面还可以相交，若α∥β，则存在一条直线a，a∥α，a∥β，所以A 是α∥β的一个必要条件；同理，B也是α∥β的一个必要条件；易知C是一个必要条件；对于D，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以D 是α∥β的一个充分条件．答案：D5.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D 1EF平行的直线()A．不存在B．有1条C．有2条D．有无数条解析：由题设知平面ADD1A1与平面D1EF有公共点D1，由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共直线l，在平面ADD1A1内与l平行的线有无数条，且它们都不在平面D1EF 内，由线面平行的判定定理知它们都与平面D1EF平行．答案：D6．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，下列结论中正确的是________(只填序号)．①AD 1∥BC 1；②平面AB 1D 1∥平面BDC 1；③AD 1∥DC 1；④AD 1∥平面BDC 1.解析：由四边形ABC 1D 1是平行四边形可知AD 1∥BC 1，故①正确；根据线面平行与面面平行的判定定理可知，②④正确；AD 1与DC 1是异面直线，故③错．答案：①②④7．在三棱锥S -ABC 中，△ABC 是边长为6的正三角形，SA ＝SB ＝SC ＝15，平面DEFH 分别与AB ，BC ，SC ，SA 交于D ，E ，F ，H .D ，E 分别是AB ，BC 的中点，如果直线SB ∥平面DEFH ，那么四边形DEFH 的面积为________．解析：取AC 的中点G ，连接SG ，BG .易知SG ⊥AC ，BG ⊥AC ，故AC ⊥平面SGB ，所以AC ⊥SB .因为SB ∥平面DEFH ，SB ⊂平面SAB ，平面SAB ∩平面DEFH ＝HD ，则SB ∥HD .同理SB ∥FE .又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，则H ，F 也为AS ，SC 的中点，从而得HF 綊12AC 綊DE ，所以四边形DEFH 为平行四边形．又AC ⊥SB ，SB ∥HD ，DE ∥AC ，所以DE ⊥HD ，所以四边形DEFH 为矩形，其面积S ＝HF ·HD ＝⎝⎛⎭⎫12AC ·⎝⎛⎭⎫12SB ＝452.答案：4528.如图，在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱BC ，CC 1的中点，P 是侧面BCC 1B 1内一点，若A 1P ∥平面AEF ，则线段A 1P 长度的取值范围是________．解析：取B 1C 1中点M ，则A 1M ∥AE ；取BB 1中点N ，则MN ∥EF ，∴平面A 1MN ∥平面AEF .若A 1P ∥平面AEF ，只需P ∈MN ，则P 位于MN 中点时，A 1P 最短；当P 位于M 或N 时，A 1P 最长．不难求得A 1P 的取值范围为⎣⎡⎦⎤324，52. 答案：⎣⎡⎦⎤324，52 9.在如图所示的多面体中，四边形ABB 1A 1和ACC 1A 1都为矩形．设D ，E 分别是线段BC ，CC 1的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使直线DE ∥平面A 1MC ？请证明你的结论．解：取线段AB 的中点M ，连接A 1M ，MC ，A 1C ，AC 1，设O 为A 1C ，AC 1的交点．由已知可知O 为AC 1的中点．连接MD ，OE ，则MD ，OE 分别为△ABC ，△ACC 1的中位线，所以MD 綊12AC ，OE 綊12AC ，因此MD 綊OE .连接OM ，从而四边形MDEO 为平行四边形，则DE ∥MO .因为直线DE ⊄平面A 1MC ，MO ⊂平面A 1MC .所以直线DE ∥平面A 1MC ，即线段AB 上存在一点M (线段AB 的中点)，使直线DE ∥平面A 1MC .10.(2016·成都模拟)如图所示，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，D 为AC 的中点，AA 1＝AB ＝2.(1)求证：AB 1∥平面BC 1D ；(2)设BC ＝3，求四棱锥B -DAA 1C 1的体积．解：(1)证明：连接B 1C ，设B 1C 与BC 1相交于点O ，连接OD ，如图所示．∵四边形BCC 1B 1是平行四边形，∴点O 为B 1C 的中点．∵D 为AC 的中点，∴OD 为△AB 1C 的中位线，∴OD ∥AB 1.∵OD ⊂平面BC 1D ，AB 1⊄平面BC 1D ，∴AB 1∥平面BC 1D .(2)∵AA 1⊥平面ABC ，AA 1⊂平面AA 1C 1C ，∴平面ABC ⊥平面AA 1C 1C .∵平面ABC ∩平面AA 1C 1C ＝AC ，作BE ⊥AC ，垂足为E ，则BE ⊥平面AA 1C 1C .∵AB ＝AA 1＝2，BC ＝3，AB ⊥BC ，∴在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝4＋9＝13，∴BE ＝AB ·BC AC ＝613， ∴四棱锥B -AA 1C 1D 的体积V ＝13×12(A 1C 1＋AD )·AA 1·BE ＝16×3213×2×613＝3. B 组高考题型专练1．(2014·高考安徽卷)如图，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G ，E ，F ，H 分别是棱PB ，AB ，CD ，PC 上共面的四点，平面GEFH ⊥平面ABCD ，BC ∥平面GEFH .(1)证明：GH ∥EF ；(2)若EB ＝2，求四边形GEFH 的面积．解：(1)证明：因为BC ∥平面GEFH ，BC ⊂平面PBC ，且平面PBC ∩平面GEFH ＝GH ，所以GH ∥BC .同理可证EF ∥BC ，因此GH ∥EF .(2)如图，连接AC ，BD 交于点O ，BD 交EF 于点K ，连接OP ，GK .因为P A ＝PC ，O 是AC 的中点，所以PO ⊥AC ，同理可得PO ⊥BD .又BD ∩AC ＝O ，且AC ，BD 都在底面ABCD 内，所以PO ⊥底面ABCD .又因为平面GEFH ⊥平面ABCD ，且PO ⊄平面GEFH ，所以PO ∥平面GEFH .因为平面PBD ∩平面GEFH ＝GK ，所以PO ∥GK ，且GK ⊥底面ABCD ，从而GK ⊥EF .所以GK 是梯形GEFH 的高．由AB ＝8，EB ＝2得EB ∶AB ＝KB ∶DB ＝1∶4，从而KB ＝14DB ＝12OB ，即K 为OB 的中点．再由PO ∥GK 得GK ＝12PO ，即G 是PB 的中点，且GH ＝12BC ＝4. 由已知可得OB ＝42，PO ＝PB 2－OB 2＝68－32＝6，所以GK ＝3.故四边形GEFH 的面积S ＝GH ＋EF 2·GK ＝4＋82×3＝18. 2．(2015·高考江苏卷)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，已知AC ⊥BC ，BC ＝CC 1.设AB 1的中点为D ，B 1C ∩BC 1＝E .求证：(1)DE ∥平面AA 1C 1C ；(2)BC 1⊥AB 1.证明：(1)由题意知，E 为B 1C 的中点，又D 为AB 1的中点，因此DE ∥AC .又因为DE ⊄平面AA 1C 1C ，AC ⊂平面AA 1C 1C ，所以DE∥平面AA1C1C.(2)因为棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1.又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1.又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C. 因为AC，B1C⊂平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC.又因为AB1⊂平面B1AC，所以BC1⊥AB1.。