初二学生一元二次方程

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初二一元二次方程练习题

初二一元二次方程练习题一、选择题1. 下列哪个式子可以表示二次方程 x² + 4x + 3 = 0 的解？A) (x + 1)(x + 3) = 0B) (x + 2)(x + 5) = 0C) (x + 3)(x + 1) = 0D) (x + 4)(x + 2) = 02. 解一元二次方程 x² + 6x - 8 = 0，得到的解是：A) x = 4, x = 2B) x = -4, x = -2C) x = 2, x = -8D) x = -2, x = 83. 下列哪个方程不是一元二次方程？A) 2x² + 4x + 1 = 0B) 3x³ - 2x² + x + 1 = 0C) x - 1 = 0D) x² - 4 = 0二、填空题1. 解方程 x² + 8x + 15 = 0，得到的解是 ______ 和 ______。

2. 解方程 2x² - 7x + 3 = 0，得到的解是 ______ 和 ______。

三、解答题1. 解方程 3x² + 2x - 8 = 0，求出其解。

2. 解方程 x² + (a - 1)x + a = 0，其中 a 是常数。

如果此方程有两个相等的实数根，求 a 的值。

3. 解方程 4x² - 16x + 16 = 0，并说明此方程有什么特点。

解题方法参考答案：一、选择题1. A) (x + 1)(x + 3) = 02. B) x = -4, x = -23. B) 3x³ - 2x² + x + 1 = 0二、填空题1. 解：-3, -52. 解：1/2, 3三、解答题1. 解：首先，对方程进行因式分解：3x² + 2x - 8 = (3x - 2)(x + 4)因此，此方程的解为 x = 2/3 和 x = -4。

初二数学上册一元二次方程综合练习题

初二数学上册一元二次方程综合练习题随着我们在初二数学学习中的深入，我们逐渐接触到了一元二次方程这一重要的内容。

一元二次方程是一种形式为ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b和c都是已知的实数，而x则是未知数。

在这篇文章中，我将为大家提供一些一元二次方程的综合练习题，帮助大家熟练掌握这一概念。

练习题一：1. 解方程：x^2 + 5x + 6 = 02. 某企业出售一种产品，每件成本为100元，现有存货1000件。

已知按照市场需求，每降价10%就可以增加销售量20%。

如果降价后的销售量最高，求降价后的单位利润。

3. 解方程：3x^2 + 2x - 1 = 04. 若一个正方形的边长减去它的面积等于4，求这个正方形的边长。

练习题二：1. 解方程：2x^2 - 11x + 12 = 02. 解方程组：x + y = 7x^2 + y^2 = 373. 某商品在一次折扣活动中，原价为x元，根据购买数量的不同，享受不同的折扣：购买数量超过30件，可以打8折；购买数量超过50件，可以打7折；购买数量超过80件，可以打6折。

如果一次购买100件，求其总价格。

4. 解方程：4x^2 - 4a^2 + 2ax - 6a = 0 （a为已知实数）练习题三：1. 解方程组：2x^2 + y = 11x^2 + 3y = 192. 解方程：4x^2 - 12x + 9 = 03. 若一个人每天要步行去上班，一天来回共需2小时。

如果他增加步速，每分钟多行10米，则来回所需时间减少15分钟。

求原本的步行速度和单位时间距离。

4. 某超市以特价100元/台出售一批电视机，如果降价5%可以多售出6台。

求这批电视机原本的数量。

通过以上的练习题，相信大家对一元二次方程的解题方法有了一定的了解。

当然，要注意在解题时要注意运用一元二次方程的基本性质和常用的解法，如因式分解、求根公式等。

同时，也要灵活运用数学知识，将问题转化为方程，从而得出解的结果。

一元二次方程的解法大全-初二一元二次方程解法

一元二次方程的解法大全【直接开平方法解一元二次方程】把方程ax2+c＝0(a≠0)，这解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。

例：用直接开平方法解方程：1．9x2-25＝0；2．(3x+2)2-4＝0；4．(2x+3)2＝3(4x+3)．解：1．9x2-25＝09x2＝252．(3x+2)2-4＝0(3x+2)2＝43x+2＝±23x＝-2±2∴x1＝x2＝3．4．(2x+3)2＝3(4x+3)4x2+12x+9＝12x+94x2＝0∴x1＝x＝0．【配方法解一元二次方程】将一元二次方程化成一般形式，如ax2+bx+c＝0(a≠0)；把常数项移到方程的右边，如ax2+bx＝-c；方程的两边都除以二次项系数，使二次项系数为1，如x2+例：用配方法解下列方程：1．x2-4x-3＝0； 2．6x2+x＝35；3．4x2+4x+1＝7； 4．2x2-3x-3＝0．解：1．x2-4x-3＝0x2-4x＝3x2-4x+4＝3+4(x-2)2＝72．6x2+x＝353．4x2+4x+1＝7 4．2x2-3x-3＝0【公式法解一元二次方程】一元二次方程ax2+bx+c＝0(a广泛的代换意义，只要是有实数根的一元二次方程，均可将a，b，c的值代入两根公式中直接解出，所以把这种方法＝0(a≠0)的求根公式。

例：用公式法解一元二次方程：2．2x2+7x-4＝0；4．x2-a(3x-2a+b)-b2＝0(a-2b≥0，求x)．2．2x2+7x-4＝0∵a＝2，b＝7，c＝-4．b2-4ac＝72-4×2×(-4)＝49+32＝814．x2-a(3x-2a+b)-b2＝0(a-2b≥0) x2-3ax+2a2-ab-b2＝0∵a＝1，b＝-3a，c＝2a2-ab-b2b2-4ac＝(-3a)2-4×1×(2a2+ab-b2) ＝9a2-8a2-4ab+4b2＝a2-4ab+4b2＝(a-2b)2当(a-2b≥0)时，得【不完全的一元二次方程的解法】在不完全的一元二次方程中，一次项与常数至少缺一项。

初二数学一元二次方程试题答案及解析

初二数学一元二次方程试题答案及解析1.解一元二次方程：2x2+4x+1=0．【答案】【解析】找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．试题解析：这里a=2，b=4，c=1，∵△=16﹣8=8，∴．【考点】解一元二次方程-公式法．2.若一元二次方程x2+2x+m=0有实数解，则m的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵一元二次方程x2+2x+m=0有实数解，∴b2﹣4ac=22﹣4m≥0，解得：m≤1，则m的取值范围是m≤1．故选：C．【考点】根的判别式3.若x=2是关于x的方程x2﹣x﹣a2+5=0的一个根，则a的值为．【答案】±【解析】把x=2代入方程x2﹣x﹣a2+5=0得：4﹣2﹣a2+5=0，解得：a=±．【考点】一元二次方程的解4.解下列一元二次方程（1）（2）【答案】（1）x1=4，x2=0；（2）x1=2，x2=5．【解析】（1）利用分解因式法即可．（2）去括号、移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．试题解析：（1），x 1=4，x2=0；（2），，，x 1=2，x2=5．【考点】解一元二次方程．5.如图，两个边长均为2的正方形ABCD和正方形CDEF，点B、C、F在同一直线上，一直角三角板的直角顶点放置在D点处，DP交AB于点M，DQ交BF于点N．（1）求证：△DBM≌△DFN；（4分）（2）延长正方形的边CB和EF，分别与直角三角板的两边DP、DQ（或它们的延长线）交于点G和点H，试探究下列问题：①线段BG与FH相等吗？说明理由；（4分）②当线段FN的长是方程的一根时，试求出的值．（4分）【答案】（1）证明见解析；（2）①BG=FH．理由见解析；②．【解析】（1）如图1，根据正方形的性质就可得出BD=FD，∠ADB=∠CDF=∠ADB=∠CFD=45°，由直角三角形的性质就可以得出∠1=∠ADM，进而得出∠3=∠4，由ASA就可以得出结论；（2）①如图1，根据正方形的性质及直角三角形的性质就可以得出△GCD≌△HED就有CG=EH，由等式的性质就可以得出结论；②先解方程x2+2x﹣3=0就可以求出FN=1，得出CN=1，如图2，就可以得出△CND≌△FNH，得出CD=FH=2，就可以得出GB=2，GN=5，由勾股定理就可以求出NH的值，进而得出结论．试题解析：（1）如图1，∵四边形ABCD和四边形CDEF是正方形，∴BC=FC，BD=FD，∠ABD=∠ADB=∠CDF=∠ADB=∠CFD=45°，∠DCB=∠DEF=∠E=∠HFN=∠ADC=90°．∴∠ADM+∠CDM=90°，∵∠PDQ=90°，∴∠CDM+∠CDN=90°．∴∠ADM=∠CDN．∴∠ADB﹣∠ADM=∠CDF﹣∠CDN，∴∠MDB=∠NDF．在△DBM和△DFN中，，∴△DBM≌△DFN（ASA）；（2）①四边形ABCD和四边形CDEF是正方形，∴BC=FC=EF，BD=FD，∠ABD=∠ADB=∠CDF=∠ADB=∠CFD=45°，∠DCB=∠DEF=∠CDE=∠E=∠HFN=∠ADC=90°．∴∠EDH+∠1=90°，∵∠PDQ=90°，∴∠CDM+∠1=90°．∴∠CDM=∠EDH．在△CDG和△EDH中，，∴△CDG≌△EDH（ASA），∴CG=EH，∴CG﹣CB=EH﹣EF，∴BG=FH．②∵x2+2x﹣3=0，∴x1=1，x2=﹣3．∵FN的长是方程x2+2x﹣3=0的一根，∴FN=1．∴CN=1，∴CN=FN．如图2，在△CND和△FNH中，，∴△CND≌△FNH（ASA），∴CD=FH=2，∴GB=2，∴GN=5．在Rt△FNH中，由勾股定理，得NH=．∴．【考点】四边形综合题．6.商场在促销活动中，将标价为200元的商品，在打a折的基础上再打a折销售，现该商品的售价为128元，则a的值是（）A．0.64B．0.8C．8D．6.4【答案】C．【解析】根据已知中连续的打折问题，注意在打a折的基础上再打a折销售，可以得出等式方程，进而求出a的值．根据题意得：200××=128，即a 2=64，解得：a=8．故选C．【考点】一元二次方程的应用．7.如图，在一次函数的图象上取点P，作PA⊥轴于A，PB⊥轴于B，且长方形OAPB的面积为6，则这样的点P个数共有（）A．4B．3C．2D．1【答案】A.【解析】设点P的坐标为（x，y），由图象得|x||y|=6，再将y=-x+5代入，得x（-x+5）=±6，则x2-5x+6=0或x2-5x-6=0，∴每个方程有两个不相等的实数根故选A．【考点】一次函数综合题．8.用配方法解一元二次方程，则方程可变形为（）A．B．C．D．【答案】C．【解析】∵x2﹣6x﹣7=0，∴x2﹣6x=7，∴x2﹣6x+9=7+9，∴（x﹣3）2=16．故选C．【考点】解一元二次方程-配方法．9.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=Rt∠，AB=AD=10cm，BC=8cm．点P从点A出发，以每秒3cm的速度沿折线ABCD方向运动，点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动．已知动点P、Q同时发，当点Q运动到点C时，P、Q运动停止，设运动时间为t．（1）求CD的长；（2）当四边形PBQD为平行四边形时，求四边形PBQD的周长；（3）在点P、点Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得△BPQ的面积为20cm2？若存在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）16；（2）；（3）.【解析】（1）过点A作AM⊥CD于M，根据勾股定理，可以求出DM=6所以DC=16．（2）当四边形PBQD为平行四边形时，点P在AB上，点Q在DC上，如图示，由题可得：BP=10-3t，DQ=2t，所以可以列出方程10-3t=2t，解得t=2，此时，BP=DQ=4，CQ=12，在△CBQ中，根据勾股定理，求出BQ即可．（3）此题要分三种情况进行讨论：即①当点P在线段AB上，②当点P在线段BC上，③当点P 在线段CD上，根据三种情况点的位置，可以确定t的值．（1）如图，过点A作AM⊥CD于M，根据勾股定理，AD=10，AM=BC=8，∴．∴CD=16.（2）当四边形PBQD为平行四边形时，点P在AB上，点Q在DC上，如图，由题知：BP=10-3t，DQ=2t，∴10-3t=2t，解得t=2．此时，BP=DQ=4，CQ=12，∴.∴四边形PBQD的周长=2（BP+BQ）=.（3）①当点P在线段AB上时，即时，如图，，解得.②当点P在线段BC上时，即时，如图，BP=3t-10，CQ=16-2t，∴，化简得：3t2-34t+100=0，△=-44＜0，∴方程无实数解．③当点P在线段CD上时，若点P在Q的右侧，即，则有PQ=34-5t，，解得＜6，舍去.若点P在Q的左侧，即，则有PQ=5t-34，，解得.综上所述，满足条件的t存在，其值分别为.【考点】1.双动点问题；2.平行四边形的性质；3.一元二次方程的应用；4.直角梯形的性质；5.勾股定理；6.分类思想的应用．10.六一儿童节当天，某班同学每人向本班其他每个同学送一份小礼品，全班共互送1035份小礼品，如果全班有x名同学，根据题意列出方程为（）A．B．C．D．【答案】C．【解析】全班有x名同学，则每人送（x-1）份小礼品，共送x（x-1）份小礼品，进而可列出方程：.故选C．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．11.根据下面表格中的取值，方程有一个根的近似值（精确到0.1）是（）A.1.5B.1.2C.1.3D.1.4【答案】C【解析】由表格可得：当x的值是1.3时，的值与0最接近．因而方程的解是1.3．故选C．【考点】方程的近似解.12.已知b2-4ac是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个实数根，则ab的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C.【解析】一元二次方程ax2+bx+c=0的解是，所以或者.以为例，设=y,则，解得.则，从而求出.【考点】①一元二次方程的解；②根的判别式.13.解下列方程与不等式(1)3x(7-x)=18-x(3x-15)；（2） (x+3)(x-7)+8＞(x+5)(x-1).【答案】（1）x=3;（2）x＜－1.【解析】解方程与不等式的步骤是先化简方程,去括号,移项,合并同类项,系数化为1,值得注意的是不等式两边同时乘以或除以负数时,不等式方向要改变,（1）先去括号,21x-3x2=18-3x2+15x,移项, 21x-3x2+3x2-15x =18,合并同类项,6x="18," x=3;（2）先去括号,x2-7x+3x-21+8＞x2-x+5x-5,移项,x2-7x+3x -x2+x-5x＞-5+21-8,合并同类项,-8x＞8,系数化为1,注意要改变不等式的方向,x＜－1.试题解析：（1）先去括号,21x-3x2=18-3x2+15x,移项, 21x-3x2+3x2-15x =18,合并同类项,6x=18,x=3;（2）先去括号,x2-7x+3x-21+8＞x2-x+5x-5,移项,x2-7x+3x -x2+x-5x＞-5+21-8,合并同类项,-8x＞8,系数化为1,注意要改变不等式的方向,x＜－1.【考点】解方程与不等式.14.关于的一元二次方程有一个根为0，则．【答案】【解析】由题意把代入方程即可得到关于a的方程，再结合一元二次方程的二次项系数不为0求解即可.解：由题意得，，则．【考点】方程的根的定义点评：解题的关键是熟练掌握方程的根的定义：方程的根就是使方程左右两边相等的未知数的值．15.解下列一元二次方程：（1）；（2）【答案】（1），；（2），【解析】（1）先把方程移项整理为一般式，再根据公式法解一元二次方程即可；（2）先移项，再提取公因式即可根据因式分解法解一元二次方程.解：（1）△=∴∴，；（2）∴或∴，.【考点】解一元二次方程点评：解一元二次方程是中考必考题，一般难度不大，要特别慎重，尽量不在计算上失分.16.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利40元。

初中数学初二数学下册《一元二次方程根与系数的关系》教案、教学设计

-利用现有的教学资源，如课本、多媒体课件、网络资源等，丰富教学内容，拓展学生视野。
-与其他学科教师合作，开展跨学科的教学活动，增强学生的综合运用能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.首先，通过一个实际问题引入新课，如：“某工厂生产的产品，每件产品的成本为a元，每件产品的售价为b元，如果工厂希望每件产品的利润为c元，那么工厂至少需要生产多少件产品才能达到这个目标？这个问题可以转化为一元二次方程，让学生回顾一元二次方程的基本概念。”
2.新课导入：提出问题，引导学生思考一元二次方程的根与系数之间是否存在某种关系。
3.自主探究：让学生通过观察、猜想、验证等方法，发现一元二次方程根与系数的关系。
4.小组合作：将学生分成小组，讨论一元二次方程根与系数关系的应用，分享学习心得。
5.教师讲解：针对学生的疑问和难点，进行详细的讲解，巩固学生对一元二次方程根与系数关系的理解。
作业要求：
1.学生需认真完成作业，书写工整，保持卷面整洁。
2.对于思考题和小组讨论，鼓励学生发挥创新思维，提出独特见解。
3.作业完成后，学生应进行自我检查，确保解答正确，对疑问进行标注，以便课堂讨论时解决。
4.教师将根据作业完成情况进行评价，关注学生的进步和问题，给予针对性的指导和反馈。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.理解并掌握一元二次方程根与系数的关系，特别是判别式的概念及其应用。
2.能够运用公式法求解一元二次方程，并理解公式推导的过程。
3.将一元二次方程根与系数的关系应用于解决实际问题，建立数学模型。
（二）教学设想
1.对于教学重点的突破：
-通过直观的图形展示，如一元二次方程的图像，帮助学生形象地理解根与系数的关系。

初二数学一元二次方程试题答案及解析

初二数学一元二次方程试题答案及解析1.将方程x2+4x+2=0配方后，原方程变形为（）A．(x+4)2=2B．(x+2)2=2C．(x+4)2=－3D．(x+2)2=－5【答案】A【解析】∵x2+4x+2=0，∴x2+4x=﹣2，∴x2+4x+4=﹣2+4，∴（x+2）2=2．故选A．【考点】解一元二次方程2.解方程：【答案】∴x1=2+，x2=2﹣【解析】用配方法解这个方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．试题解析：∵2x2﹣8x+3=0∴2x2﹣8x=﹣3∴x2﹣4x+4=﹣+4∴（x﹣2）2=，∴x=2±，∴x1=2+，x2=2﹣【考点】解一元二次方程3.用指定的方法解下列方程：（1）x2+4x﹣1=0（用配方法）；（2）2x2﹣8x+3=0（用公式法）．【答案】（1）x1=﹣2+，x2=﹣2﹣；（2）x1=，x2=．【解析】（1）先把常数项移到方程左边，再两边加上4得到x2+4x+4=5，然后把方程左边写成完全平方式，再利用直接开平方法解方程；（2）利用一元二次方程的求根公式中求解．试题解析：（1）解：x2+4x=1，x2+4x+4=5（x+2）2=5，x+2=±，所以x1=﹣2+，x2=﹣2﹣；（2）解：∵a=2，b=﹣8，c=3，∴△=b2﹣4ac=（﹣8）2﹣4×2×3=40 ∴x==，∴x1=，x2=．【考点】1．解一元二次方程-配方法；2．解一元二次方程-公式法．4.解方程：(1) (2x－1)(x＋3)＝4 (2)【答案】（1）x1=1,x2=（2）x=【解析】（1）整理到一元二次方程的一般形式后再利用因式分解法进行解方程即可（2）先去分母变为整式方程后再进行求解，最后检验即可试题解析：（1）整理得：2x2+5x-7=0(x-1)(2x+7)=0∴x-1="0" 或2x+7=0∴x1=1,x2=两边同乘(2x-1)(x+2)得：x(x+2)+(2x-1)=(2x-1)(x+2)整理得：x2-x-1=0解得：x=经检验x=是原分式方程的根.【考点】1、解一元二次方程；2、可化为一元二次方程的分式方程5.己知一元二次方程x2﹣3x+m﹣1=0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程有两个相等的实数根，求此时方程的根．【解析】（1）由方程有两个不相等的实数根，可知△＞0，即可求得关于m的不等式，从而得m 的范围；（2）方程有两个相等的实数根，当△=0时，即可得到一个关于m的方程求得m的值试题解析：△=（﹣3）2﹣4（m﹣1），（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴△＞0，解得m＜．（2）∵方程有两个相等的实数根，∴△=0，即9﹣4（m﹣1）=0解得m=∴方程的根是：x1=x2=．【考点】根的判别式6.已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0的一个根，则m的值是（）A．1B．﹣1C．0D．无法确定【答案】B．【解析】根据题意得：（m-1）+1+1=0，解得：m=-1．故选B．【考点】一元二次方程的解；一元二次方程的定义．7.要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个各队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？若设应邀请x各队参赛，可列出的方程为_________．【答案】x（x-1）=28．【解析】关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数÷2=4×7，把相关数值代入即可．试题解析：每支球队都需要与其他球队赛（x-1）场，但2队之间只有1场比赛，所以可列方程为：x（x-1）=28．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．8.根据下列表格的对应值：判断方程一个解的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C．【解析】根据题意易知方程一个解的取值范围是0.61＜ｘ＜0.62.故选C.【考点】一元二次方程的解．9.用适当的方法解下列方程：（1）（2）【答案】(1) x1=3，x2="2;(2)" .【解析】（1）运用公式法求解即可；（2）移项，化成完全平方直接开平方即可求解. 试题解析：∵a=2，b=-5，c=3∴△=b2-4ac=(-5)2-4×2×3=1＞0∴x=即x1=3，x2=2;(2)移项得：∴即：解得：.【考点】1.解一元二次方程----公式法；2.解一元二次方程—直接开平方法.10.已知关于的方程（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．【答案】(1)证明见解析；（2）4+或4+．【解析】（1）根据关于x的方程x2-（m+2）x+（2m-1）=0的根的判别式的符号来证明结论；（2）根据一元二次方程的解的定义求得m值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根．分类讨论：①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为；再根据三角形的周长公式进行计算．试题解析：（1）证明：∵△=（m+2）2-4（2m-1）=（m-2）2+4，∴在实数范围内，m无论取何值，（m-2）2+4＞0，即△＞0，∴关于x的方程x2-（m+2）x+（2m-1）=0恒有两个不相等的实数根；（2）解：根据题意，得12-1×（m+2）+（2m-1）=0，解得，m=2，则方程的另一根为：m+2-1=2+1=3；①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为；该直角三角形的周长为1+3+=4+；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为；则该直角三角形的周长为1+3+=4+．【考点】1.根的判别式；2.一元二次方程的解；3.勾股定理．11.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P、Q为AB边及BC边上的两个动点。

初二数学二次函数与一元二次方程练习题及答案20题

初二数学二次函数与一元二次方程练习题及答案20题1. 解一元二次方程：2x^2 - 5x - 3 = 0解答：首先，我们可以使用求根公式来解一元二次方程。

假设方程为ax^2 + bx + c = 0，求根公式可以表示为： x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。

对于这个方程，系数为 a = 2, b = -5, c = -3。

代入求根公式，我们可以计算出两个解：x = (-(-5) ± √((-5)^2 - 4*2*(-3))) / (2*2)= (5 ± √(25 + 24)) / 4= (5 ± √49) / 4所以，方程的解为 x = (5 + 7) / 4 或 x = (5 - 7) / 4，即 x = 3 或 x = -1/2。

2. 求二次函数的顶点坐标和对称轴：y = 3x^2 + 6x + 2解答：二次函数的标准形式为 y = ax^2 + bx + c。

其中，顶点坐标可以使用公式 (-b/2a, c - b^2/4a) 求得。

对称轴为 x = -b/2a。

对于给定的函数 y = 3x^2 + 6x + 2，我们可以计算出顶点坐标和对称轴：顶点坐标：x = -6 / (2*3) = -1y = 3*(-1)^2 + 6*(-1) + 2 = -1所以，该二次函数的顶点坐标为 (-1, -1)。

对称轴：x = -6 / (2*3) = -1所以，该二次函数的对称轴为 x = -1。

3. 求二次函数的图像与 x 轴的交点：y = x^2 - 4x + 3解答：要求二次函数的图像与 x 轴的交点，我们需要解方程 y = 0。

对于给定的函数 y = x^2 - 4x + 3，我们有：x^2 - 4x + 3 = 0这里我们可以使用因式分解或求根公式来解方程。

通过因式分解，我们可以将方程化简为 (x - 3)(x - 1) = 0。

复习2：一元二次方程根的判别式

4、若关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0有两个不相等实数根，
则m的取值范围是
()
A.m＜1
B. m＜1且m≠0
C.m≤1
D. m≤1且m≠0
5、若关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-7/4=0有两个相等的实数根，则 k= .
6.关于x的一元二次方程mx2-(3m-1)x+2m-1=0, 其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的根。
则x1+x2=
；x1x2= ；
2、方程2x2-kx-6=0的一个根是2，则k=
；
另一个根为（）
3、以2，-3为根的一元二次方程是
；
4、已知a、b是方程x2+x-1=0的两实根，则
a2+2a+b=
拓展已知a、b满足6a=a2+4，6b=b2+4，
求 ab ba
思维训练. 1、在一元二次方程
ax2 bx c 0(a 0)中
3、一元二次方程的根与系数的关系：注意:此关系是在( )条件下存在的。若 ax2+bx+c=0 的两根为 X1、x2，则x1+x2= ；x1x2= ；
4、以x1、x2为根（二次项系数为1）的一元二次方程是——————
➢ 课时训练（一）
Hale Waihona Puke 1、下列一元一次方程中，有实数根的是（）
A
.x2-x+1=0
➢ 要点、考点聚焦
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况： (1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根； (2)当Δ=0时，方程有两个相等的实数根； (3)当Δ＜0时，方程无实数根.

初中数学初二数学下册《一元二次方程的解法》教案、教学设计

4.引导学生总结解题规律，培养学生归纳、概括的能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生勇于探索、善于思考的精神，增强学生克服困难的信心。
2.培养学生合作交流的意识，让学生在合作中学会倾听、表达和尊重他人。
3.培养学生严谨、认真的学习态度，提高学生的数学素养。
4.引导学生体会数学在生活中的应用，感受数学的价值，激发学生学习数学的兴趣。
初中数学初二数学下册《一元二次方程的解法》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解一元二次方程的标准形式，掌握其基本性质。
2.学会使用直接开平方法求解一元二次方程，并掌握其适用条件。
3.学会使用配方法求解一元二次方程，理解其原理和步骤。
4.学会使用公式法求解一元二次方程，并熟练运用公式。
5.能够根据问题情境选择合适的解法求解一元二次方程，提高解决问题的能力。
（2）开展数学实践活动，让学生在实际操作中体验数学的乐趣和价值。
（3）鼓励学生参加数学竞赛、讲座等活动，拓宽学生的知识视野。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学活动设计：
（1）通过一个实际问题引入一元二次方程，如：一块正方形菜地的边长比它的面积多1，求这块菜地的边长。让学生尝试用已学过的知识解决问题，引导学生发现一元一次方程无法解答该问题。
2.难点：
（1）理解并掌握配方法的原理和步骤，特别是如何通过添加和减去同一个数使方程变形。
（2）熟练运用求根公式求解一元二次方程，并理解公式中各个参数的含义。
（3）在实际问题中，能够根据方程的特点选择合适的解法。
（二）教学设想
1.对于重点内容的教授：
（1）通过实际例题引入，让学生感受一元二次方程解法的必要性，激发学生的学习兴趣。

一元二次方程的相关教案【优秀3篇】

一元二次方程的相关教案【优秀3篇】元二次方程篇一[教材分析]中学阶段我们研究的多项式函数中有二次函数，研究的几何图形中有二次曲线。

因此一元二次方程便成为了方程中研究的重要内容。

一元二次方程有根与系数关系，求根公式向我们揭示了两根与系数间的密切关系，而根与系数还有更进一步的发现，这一发现在数学学科中具有极强的实用价值，本节内容既是代数式、一元一次方程和一元二次方程求根公式等知识的进一步深化，又蕴含有丰富的数学思想方法，也为学生们将来的学习打下了必要的基础。

[学生分析]进入了初二下半学期，随着年龄的增长以及实验几何向论证几何的逐步推进，学生们的逻辑推理能力已有了较大提高。

因此在学过了一元二次方程的解法后，自主探究其根与系数的关系是完全可能的。

再加上我所执教的学生，他们有着较强的认知力与求知欲，基于以上思考，我在设计中扩大了学生的智力参与度，也相对放大了知识探索的空间。

[教学目标]在学生探求一元二次方程根与系数关系的活动中，经历观察、分析、概括的过程以及“实践——认识——再实践——再认识”的过程，得出一元二次方程根与系数的关系。

能利用一元二次方程根与系数的关系检验两数是否为原方程的根；已知一根求另一根及系数。

理解数学思想，体会代数论证的方法，感受辩证唯物主义认识论的基本观点。

[教学重难点]发现并掌握一元二次方程根与系数的关系，包括知识从特殊到一般的发生发展过程[教学过程](一)复习导入请学生求解表格内的方程，完成解法的交流以及求根公式的复习，求根公式向我们揭示了两根与系数间的关系，那么一元二次方程根与系数间是否还有更深一层的联系呢？由此疑问，导入新课。

(二)探求新知数学学科中由数到式的结构编排，让我们想到了从两根运算上的最简组合：和差积商展开进一步研究。

初探新知中，我将学生们分成两组，分别对二次项系数为1 的一元二次方程两根进行和差积商的运算，之后将结果汇总展示，共同观察与系数的联系。

我在这些方程中安排了两个无理根方程。

沪教版八年级数学-一元二次方程的复习-教师版

一元二次方程的复习知识精要1.一元二次方程的概念只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。

2. 一元二次方程的一般形式a x2+bx+c=0(a W0),其中a x2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

3.一元二次方程的解法解法1:直接开平方法解法2:因式分解法：一般步骤：(1)将方程右边化为0(2)将方程左边的二次三项式分解为两个一元一次方程(3)令每一个因式分别为0,得到两个一元一次方程(4)分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解解法3:配方法：一般步骤：(1)先把二次项系数化为1:方程两边同除以二次项的系数(2)移项：把常数项移到方程右边(3)配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为x m 2 n当的形式(4)当n>0时，用直接开平方法解变形后的方程。

解法4:公式法：一般步骤是：(1)把方程化为一般形式，进而确定a、b, c的值.(注意符号)(2)求出b2-4ac的值.(先判别方程是否有根)c b b24ac ,,(3)在b2-4ac>0的前提下，把a、b、c的直代入求根公式，求出x= ------------------ 的值，取后与出2a方程的根.4、一元二次方程ax2+bx+c=0 (aw0)的根的判别式△ =b2- 4ac.当△ >0时，？方程有两个不相等的实数*H X 1= b 也 4ac , X 2=b心 4ac；当△ =0时，方程有两个相等实数根X 1=X 2=—上；当2a2a2a△ <0时，方程没有实数根. 5、二次三项式的因式分解：(1)形如ax 2+bx+c (a, b,c 都不为0)的多项式称为二次三项式。

(2)当^ = b 2-4ac>0,先用公式法求出方程ax 2+bx+c=0 (aw0)的两个实数根 x i, X 2再写出分解式ax 2+bx+c=a (x —xi) (x —x2).当^ = b 2-4ac<0,方程ax 2+bx+c=0 (aw0)没有实数根，ax 2+bx+c 在实数范围内不能分解因式。

(完整版)一元二次方程的概念及解法(学生版)

一元二次方程的概念及解法知识图谱1、一元二次方程知识精讲一．一元二次方程的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式：ax 2c为常数项．bxc0(a0)，a为二次项系数，b为一次项系数，判断是一元二次方程的标准：①整式方程②一元方程③二次方程二．一元二次方程的解一元二次方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．三点剖析一．考点：一元二次方程的概念，一元二次方程的解．1二．重难点：一元二次方程的一般形式，一元二次方程的解．1.三．易错点：确定方程是否为一元二次方程只需要检验最高次项—--二次项的系数是否为零即可；2.注意对于关于x的方程ax 2，当a0时，方程是一元二次方程；当a0且b0 bxc0时，方程是一元一次方程；一元二次方程的系数一定要化为一般式之后再看．题模精讲题模一：概念例以下方程中是关于x的一元二次方程的是〔〕A．x210B．ax 2x2bxcC．3x22x53x2D．x1x21例方程(m2)x m3mx10是关于x的一元二次方程，那么m______例假设方程m1x2m x1是关于x的一元二次方程，那么m的取值范围是__________．例方程x422x13的二次项系数是______，一次项系数是_______，常数项是_______题模二：解例关于x的一元二次方程 a 1x2x a2 1 0的一个根是0，那么a的值为_________________．例x1是关于x的方程x2mx n 0的一个根，那么m22mn n2的值为_______．随堂练习2随练假设(m2)x m2x 3 0是关于x的一元二次方程，那么m的值为_________。

2随练关于x的方程(m1)x2 (m 1)x 3m 2 0，当m__________时是一元一次方程；当m__________时是一元二次方程随练假设一元二次方程(m2)x23(m215)xm240的常数项为零，那么m的值为_________随练假设关于x的一元二次方程〔a+1〕x2+x﹣a2+1=0有一个根为0，那么a的值等于〔〕A．﹣1B．0C．1D．1或者﹣1随练方程x2m2xn30的两根分别是2、3，那么mn__________随练假设x=1是关于x的一元二次方程x2+3mx+n=0的解，那么6m+2n=____．随练假设关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0〔a≠0〕的解是x=1，那么2021-a-b的值是〔〕A．2021B．2021C．2021D．20212、直接开平方法知识精讲一．直接开平方法假设x2aa0，那么x叫做a的平方根，表示为x a，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．二．直接开平方法的根本类型1．x2a(a0)解为：x a2．(x a)2b(b0)解为：x a b3．(ax2c(c0)解为：ax b c b)4．(ax b)2(cx d)2(ac)解为：ax b(cxd)三点剖析一．考点：直接开平方法．二．重难点：直接开平方法．三．易错点：直接开平方法解一元二次方程时注意一般都有两个解，不要漏解，如果是两个相等的解，也要写成x1x2a的形式．3题模精讲题模一：直接开平方法例求下面各式中x的值：〔1〕4x 2；9〔2〕x225．1例求x的值：1(5x1)2303随堂练习随练解以下方程：〔1〕2x280〔2〕2516x202〔3〕1x90随练解关于x的方程：x26x 9 (5 2x)22随练假设方程x 2 a 4有实数根，那么a的取值范围是________.随练解关于x的方程：2(3x1)2853、配方法知识精讲一．配方法4配方法：把方程化成左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，再利用直接开平方法求解的这样一种方法就叫做配方法．二．配方法的一般步骤：2 运用配方法解形如 ax bx c 0(a 0)的一元二次方程的一般步骤是：1．二次项系数化 1；2．常数项右移；3．配方〔两边同时加上一次项系数一半的平方〕；4．化成(x m) 2n的形式；5．假设n 0 ，选用直接开平方法得出方程的解．2 2b x)c0 b 2b2axbxc0(a0) a(x a a(x)a()c0b2b22a2ab2b24aca(x 2a ) 4a c (x 2a )4a 2 ．三点剖析一．考点：配方法．二．重难点：配方法解一元二次方程，配方法求解最值或取值范围．三．易错点：在化成直接开平方法求解的时候需要检验方程右边是否是非负的，如果是那么利用直接开平方法求解即可，如果不是，原方程就没有实数解．题模精讲题模一：配方法2例用配方法解方程： x 6x 4例用配方法解以下方程：〔1〕2x 21 0 8x 〔2〕x 24x2 0〔3〕x 21 x 1 034〕3y 2123y例用配方法解方程 x 22x10 时，配方后得到的方程为〔〕A ．〔x 22221)0 B ．〔x1)0 C ．〔x1)2 D ．〔x1)2例用配方法解关于 x 的方程x 2pxq0〔p ，q 为常数〕5例22，x、y为实数，求x y的值x y4x6y130题模二：最值问题2例试用配方法说明x2x 3的值恒大于0例x、y为实数，求代数式x2y22x 4y 7的最小值例a，b，c是整数，且 a 2b 4，ab c2 1 0，求a b c的值随堂练习随练用配方法解方程：2x23x 10随练假设把代数式x25x 7化为x m2k的形式，其中m、k为常数，那么k m．随练a，b，c均为实数，且ab4，2c2ab43c10，求ab的值．随练用配方法说明2的值恒小于0 10x7x4622随练x ，y为实数，求代数式5x4y8xy2x4的最小值．4、公式法知识精讲一．公式法2 公式法：一元二次方程 ax bx c 0(a 0)，用配方法将其变形为：根的判别式 b 2 4ac ，x 1,x 2是方程的两根，假设 b 2 4ac 0，那么x 1,2二．公式法解一元二次方程的一般步骤1．把方程化为一般形式；2．确定a 、b 、c 的值； 3．计算b 2 4ac 的值；4．假设b 2 4ac 0，那么代入公式求方程的根； 5．假设b 2 4ac 0，那么方程无解．三．判别式与根的关系1． 0 时，原方程有两个不相等的实数解； 2． 0 时，原方程有两个相等的实数解； 3． 0 时，原方程没有实数解．b2b 2 4ac(x 2a )4a 224ac ．bb2a三点剖析一．考点：公式法．二．重难点：利用公式法求解一元二次方程，利用判别式判断根的情况．三．易错点：在用公式法求解方程的解时，一定要判断“ 〞的取值范围，只有当0时，一元二次方程才有实数解．题模精讲7题模一：公式法例用公式法解关于x的一元二次方程m 1x22m 1x m 3 0．例解方程：x2+4x﹣1=0．例1解方程x(6x1)4x32(2x)2例用公式法解关于x的一元二次方程m1x22m1x m30．例解方程：xx 3x 20题模二：判别式与根的关系例以下一元二次方程中，有两个不相等实数根的方程是〔〕A．x2+1=0B．x2﹣3x+1=0C．x2﹣2x+1=0D．x2﹣x+1=0例关于x的一元二次方程mx22x10有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是〔〕A．m1B．m1C．m1且m0D．m1且m0例关于x的方程〔a-6〕x2-8x+6=0有实数根，那么整数a的最大值是〔〕8A．6B．7C．8D．9随堂练习2随练用公式法解一元二次方程2x3x 10．随练解方程(x5)(x 7)12随练解关于x的方程：xpxq0．随练解关于x的方程x2x10．随练以下一元二次方程中无实数解的方程是〔〕A．x2+2x+1=0B．x2+1=0C．2D．2x=2x-1x-4x-5=0随练假设关于x的一元二次方程kx22x10有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是〔〕A．k1B．k1C．k1且k1且k0k0D．随练关于x的一元二次方程〔m-1〕x2+x+1=0有实数根，那么m的取值范围是〔〕A．m≥-5且m≠1B．m≤5且m≠1 44C．m≥5D．m≤-5且m≠0 4495、因式分解法知识精讲一．因式分解法因式分解法：当一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用分解因式的方法求解，这种用分解因式解一元二次方程的方法叫做因式分解法．因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，即：假设ab0，那么a0或b0．三点剖析一．考点：因式分解法解一元二次方程．二．重难点：利用提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等方法解一元二次方程．三．易错点：没有化成ab0的形式，例如由2x121从而导致漏解或x1直接得到2x1者直接得到2x10从而导致错解．题模精讲题模一：因式分解法例用因式分解法解方程：2x34xx30例2用因式分解法解方程：3x4x40．22例用因式分解法解方程：9x216x10．10例用因式分解法解方程：x23mx 2m2mn n20，〔m、n为常数〕随堂练习2随练用因式分解法解方程：2x136x．随练用因式分解法解方程：5x210x 5 31 x22随练用因式分解法解方程：6x x 350．222随练x的一元二次方程m1x63m1x7201〕．用因式分解法解关于〔m6、根与系数的关系知识精讲一．韦达定理11如果ax2bx c0(a0)的两根是x1，x2，那么x x b，x1x2c．〔隐含的条件：12a a0〕特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设x1，x2是方程x2px q0的两个根，那么x1x2p12q．，xx二．韦达定理与根的符号关系在24ac0的条件下，假设x1，x2是ax2bx c0(a0)的两根〔其中x1x2〕我们有b如下结论：1．c0x1x20，假设b0，那么x1x2；假设b0，那么x1x2．a a a2．c0xx20．假设b0，那么x1x20；假设b0，那么x2x10．a1a a更一般的结论是：假设x1，x2是ax2bx c0(a0)的两根〔其中x1x2〕，且m为实数，当0时，一般地：〔1〕(x1m)(x2m)0x1m，x2m〔2〕(x1m)(x2m)0且(x1m)(x2m)0x1m，x2m〔3〕(x1m)(x2m)0且(x1m)(x2m)0x1m，x2m特殊地：当m0时，上述就转化为ax2bxc0(a0)有两异根、两正根、两负根的条件．三点剖析一．考点：韦达定理二．重难点：韦达定理的应用1．方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值；2．方程，求关于方程的两根的代数式的值；3．方程的两根，求作方程；4．结合根的判别式，讨论根的符号特征；．逆用构造一元二次方程辅助解题：当等式具有相同的结构时，就可以把某两个变元看作某个一元二次方程的两根，以便利用韦达定理．三．易错点：在使用韦达定理的时候没有提前检验0是否成立题模精讲题模一：韦达定理例假设方程x24x c 0的一个根为23，那么方程的另一个根为______，c______．12例设x1、x2是方程x22k1xk220的两个不同的实根，且x11x218，那么k的值是．例如果a，b都是质数，且a213am0，b213bm0，求b a的值．a b随堂练习随练m，n是有理数，并且方程x2mxn0有一个根是52，那么mn_______．随练关于22有两个实数根，并且这两个根的平方和比这x的方程x2(m2)xm50两个根的积大16，求m的值．随练关于x的方程x24x2m80的一个根大于1，另一个根小于1，求m的取值范围．随练如果实数a,b分别满足a22a2，b22b2，求11的值a b13作业1假设|b1|a20，那么以下方程一定是一元二次方程的是〔〕A．ax25xb0B．b21x2a3x50C．a1x2b1x70D．b1x2ax10作业2关于x的方程(xa)2(ax2)2是一元二次方程，求a的取值范围．作业3a b2a、b的值？方程2x xx40是关于x的一元二次方程，求作业4假设n〔n≠0〕是关于x方程x2+mx+2n=0的根，那么 n+m+4的值为〔〕A．1B．2C．-1D．-2作业5关于x的一元二次方程m 2x2x m2 4 0有一根为0，那么m的值为_______.作业62解方程：31x6作业7解关于x的方程：3(x 1)22714作业8 用直接开平方法解以下一元二次方程〔1〕9x 216〔2〕x 2 16 05 〔3〕x23x 251〔4〕42x52293x1作业9解方程：2x 28x 3 0．作业10将方程x 2 4x10化为xm2n 的形式，其中m ，n 是常数，那么mn_____________作业 11 方程 2 6xq0可以配方成xp226xq2可以配成以下x 7的形式，那么 x 的〔〕A ．x 2B ．29p5xp29D ．xp22C ．xp2 5m 2n 21 1作业12mnmn10，那么m n 的值为__________．作业13ab23，bc 23，那么a 2 b 2 c 2 ab bc ac 的值为__________．15作业14实数a ，b ，c 满足a 26b17，b 28c23，c 22a14，那么abc 的值为__________．y 1 z 2作业15 x12322 2设，求代数式xyz的最小值．作业16解方程3x 2 52x 1作业17用公式法解方程：ax 2 bx c0〔a 、b 、c 为常数且a0〕．作业18设方程x 2 2x1 4 0．求满足该方程的所有根之和作业19 一元二次方程 x 2+2x+1=0的根的情况〔〕A ．有一个实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．没有实数根作业20关于x 的一元二次方程 2 2m 的取值范mx+〔2m-1〕x+1=0有两个不相等的实数根，那么围是〔〕A ．k ＞-1B ．m ＞1且m ≠144 C ．m ＜1且m ≠0 D ．m ≥-1且m ≠04416作业21假设关于x 的方程kx 22k1xk10有实数根，求k 的取值范围．作业222xx35x3 的解是〔〕x5B ．x32A ．x 1522，x23D ．xC ．5作业23 用因式分解法解方程x 26x 94x 28x 4．作业24解关于x 的方程x 2p 2 q 2x pqpqpq．作业 25方程2x 2mx 2m 4 0的一个解为1，那么另一个解为__________，__________．作业26方程2x 2 mx 30的两根的平方和为 5，那么m=__________．作业27 实数k 为何值时，关于 x 的一元二次方程 x 2(2k 3)x (2k 4)0．1〕有两个正根？2〕两根异号，且正根的绝对值较大？3〕一根大于3，一根小于3？17作业28阅读材料：设一元二次方程ax2bx c0(a 0)的两根是x1、x2，那么根与系数关系为：x1x2b c pq1x1x22p10，1q20，且pq1，求q的值．a，a．pq作业29方程2〔m+1〕x2+4mx+3m=2，根据以下条件之一求m的值．1〕方程有两个相等的实数根；2〕方程有两个相反的实数根；3〕方程的一个根为0．作业30阅读下面的例题，解方程x2﹣|x|﹣2=0解：原方程化为 |x|2﹣|x|﹣2=0．令y=|x|，原方程化成y2﹣y﹣2=0解得：y1=2，y2=﹣1当|x|=2，x=±2；当|x|=﹣1时〔不合题意，舍去〕∴原方程的解是x1=2x2=﹣2请模仿上面的方法解方程：〔x﹣1〕2﹣5|x﹣1|﹣6=0．作业31x2y22x4y0解方程组：y4．2x0作业32观察下表，答复以下问题，第____个图形中“△〞的个数是“○〞的个数的5倍．18作33 察以下方程及其解的特征：1〕x+1=2的解x 1=x 2=1；x 2〕x+1=5的解x 1=2，x 2=1；x 2 2 （ 3〕x+1=10的解x 1=3，x 2=1；x 3 3⋯解答以下：x1〕猜想：方程x+1=26的解____；5（ 2〕猜想：关于x 的方程x+1=____的解x 1=a ，x 2=1〔a ≠0〕；x a〔3〕下面以解方程x+1=26例，〔1〕中猜想的正确性．x52解：原方程可化 5x-26x=-5．〔下面大家用配方法写出解此方程的程〕作34三个关于 x 2 2 cxa0，cx2的一元二次方程axbxc 0，bx axb0恰有一个公共数根，a 2b 2c 2的__________bc ca ab19。

初中数学一元二次方程知识点总结（含方法技巧归纳，易错辨析）

初中数学⼀元⼆次⽅程知识点总结（含⽅法技巧归纳，易错辨析）
考情分析⾼频考点考查频率所占分值
1.元⼆次⽅程的概念★7～12分
2.⼀元⼆次⽅程的解法★★★
3.⼀元⼆次⽅程根的判别式★★
4.⼀元⼆次⽅程根与系数的关系★
5.利⽤⼀元⼆次⽅程解决实际问题★★★
1⼀元⼆次⽅程的定义及⼀般形式
定义：等号两边都是整式，只含有⼀个未知数(⼀元)，并且未知数的最⾼次数是2(⼆次)的⽅程，
叫作⼀元⼆次⽅程.
点拨
对定义的理解抓住三个条件：“⼀元”“⼆次”“整式⽅程”,缺⼀不可，同时强调⼆次项的系数不为0.
⽤公式法解⼀元⼆次⽅程的记忆⼝诀
要⽤公式解⽅程，⾸先化成⼀般式.
调整系数随其后，使其成为最简⽐.
确定参数
，计算⽅程判别式.
判别式值与零⽐，有⽆实根便得知.
若有实根套公式，若⽆实根要告之.
3因式分解法
通过因式分解，使⼀元⼆次⽅程化为两个⼀次式的乘积等于0的形式，再使这两个⼀次式分别等
于0,从⽽实现降次，这种解⼀元⼆次⽅程的⽅法叫作因式分懈法.
因式分解法体现了将⼀元⼆次⽅程“降次”转化为⼀元⼀次⽅程来解的思想，运⽤这种⽅法的步
骤：
（1）将所有项移到⽅程的左边，将⽅程的右边化为0；
（2）将⽅程左边分解为两个⼀次因式的乘积；
（3）令每个因式分别等于零，得到两个⼀元⼀次⽅程；
（4）解这两个⼀元⼀次⽅程，他们的解就是原⽅程的解.。

一元二次方程的解法

一元二次方程的解法一元二次方程是初中数学中的重要内容，它在数学中有着广泛的应用。

掌握一元二次方程的解法对于学生来说是十分重要的，因为它不仅能够帮助学生解决实际问题，还能够培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。

本文将介绍一元二次方程的解法，并通过实例进行说明。

一、解法一：因式分解法对于形如ax^2 + bx + c = 0的一元二次方程，我们可以尝试使用因式分解法来解决。

例如，对于方程x^2 + 5x + 6 = 0，我们可以将其因式分解为(x + 2)(x + 3) = 0。

根据乘法逆元的性质，我们知道只有当(x + 2) = 0或者(x + 3) = 0时，方程才能成立。

因此，方程的解为x = -2或者x = -3。

二、解法二：配方法如果一元二次方程无法通过因式分解法解决，我们可以尝试使用配方法。

例如，对于方程x^2 + 6x + 8 = 0，我们可以通过配方法将其转化为(x + 2)(x + 4) = 0。

然后，我们可以得到(x + 2) = 0或者(x + 4) = 0，进而求得方程的解为x = -2或者x = -4。

三、解法三：求根公式如果一元二次方程无法通过因式分解法或者配方法解决，我们可以尝试使用求根公式。

一元二次方程的求根公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。

其中，a、b、c分别为方程ax^2 + bx + c = 0中的系数。

例如，对于方程2x^2 + 5x + 3 = 0，我们可以通过求根公式得到x = (-5 ± √(5^2 - 4*2*3)) / (2*2)。

进一步计算可得x = -1或者x = -1.5。

因此，方程的解为x = -1或者x = -1.5。

四、解法四：图像法除了上述的解法，我们还可以通过绘制一元二次方程的图像来求解方程。

例如，对于方程x^2 - 4x + 3 = 0，我们可以绘制出它的图像。

通过观察图像，我们可以发现方程的解为x = 1或者x = 3。

初中数学一元二次方程教案(5篇)

初中数学一元二次方程教案（5篇）初中数学一元二次方程教案（精选5篇）作为一名优秀的教育工作者，时常会需要准备好教案，编写教案助于积累教学经验，不断提高教学质量。

下面是小编为大家整理的初中数学一元二次方程教案，如果大家喜欢可以分享给身边的朋友。

初中数学一元二次方程教案篇1学习目标：1、使学生会用列一元二次方程的方法解决有关增长率的应用题;2、进一步培养学生分析问题、解决问题的能力。

学习重点：会列一元二次方程解关于增长率问题的应用题。

学习难点：如何分析题意，找出等量关系，列方程。

学习过程：一、复习提问：列一元二次方程解应用题的一般步骤是什么二、探索新知1.情境导入问题：“坡耕地退耕还林还草”是国家为了解决西部地区水土流失生态问题、帮助广大农民脱贫致富的一项战略措施，某村村长为带领全村群众自觉投入“坡耕地退耕还林还草”行动，率先示范.2023年将自家的坡耕地全部退耕，并于当年承包了30亩耕地的还林还草及管理任务，而实际完成的亩数比承包数增加的百分率为x，并保持这一增长率不变，2023年村长完成了36.3•亩坡耕地还林还草任务，求①增长率x是多少②该村有50户人家，每户均地村长2023•年完成的亩数为准，国家按每亩耕地500斤粮食给予补助，•则国家将对该村投入补助粮食多少万斤2.合作探究、师生互动教师引导学生分析关于环保的情境导入问题，•这是一个平均增长率问题，它的基数是30亩，平均增长的百分率为x，那么第一次增长后，•即2023年实际完成的亩数是30(1+x)，第二次增长后，即2023年实际完成的亩数是30(1+x)2，而这一年村长完成的亩数正好是36.3亩.教师引导学生运用方程解决问题：①30(1+x)2=36.3;(1+x)2=1.21;1+x=±1.1;x1=0.1=10%，x2=-2.1(舍去)，所以增长的百分率为10%.②全村坡耕地还林还草为50×36.3=1 815(亩)，•国家将补助粮食1815 ×500=907 500(斤)=90.75(万斤).三、例题学习说明：题目中求平均每月增长的百分率，直接设增长的百分率为x，好处在于计算简便且直接得出所求。

初二数学一元二次方程解法步骤

初二数学一元二次方程解法步骤一元二次方程是初中数学中的重要概念，解一元二次方程是数学学习的基本技能之一。

在解一元二次方程时，可以根据系数的不同情况，选择不同的解法步骤。

本文将介绍解一元二次方程的常见步骤。

1. 标准形式的一元二次方程一元二次方程的标准形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是已知实数，a ≠ 0，x 是未知数。

解一元二次方程的步骤如下：(1) 将方程化为标准形式，确保a ≠ 0。

(2) 判断方程的解的情况：- 若 b^2 - 4ac > 0，则方程有两个不相等的实数解。

- 若 b^2 - 4ac = 0，则方程有两个相等的实数解。

- 若 b^2 - 4ac < 0，则方程无实数解。

(3) 根据情况，使用以下方法求解方程：- 若 b^2 - 4ac > 0，可以使用求根公式 x = [-b ± √(b^2 - 4ac)] / (2a) 求得实数解。

- 若 b^2 - 4ac = 0，可以使用求根公式 x = -b / (2a) 求得相等的实数解。

- 若 b^2 - 4ac < 0，此时方程无实数解。

2. 数字实例解法示范以方程 2x^2 + 5x - 3 = 0 为例，演示解一元二次方程的步骤：(1) 确保方程已化为标准形式，即a ≠ 0。

方程已满足标准形式的要求。

(2) 计算 b^2 - 4ac 的值：5^2 - 4 * 2 * (-3) = 49 > 0，表示方程有两个不相等的实数解。

(3) 使用求根公式计算方程的解：x = [-5 ± √(5^2 - 4 * 2 * (-3))] / (2 * 2)= [-5 ± √(49)] / 4= [-5 ± 7] / 4因此，方程 2x^2 + 5x - 3 = 0 的解为 x = (-5 + 7) / 4 和 x = (-5 - 7) / 4，化简可得 x = 1/2 和 x = -3。

初二数学一元二次方程计算题

初二数学一元二次方程计算题一、直接开平方法1. 解方程：(x - 3)^2=16- 解析：- 对于方程(x - 3)^2 = 16，根据直接开平方法，可得x - 3=±4。

- 当x - 3 = 4时，解得x=4 + 3=7。

- 当x - 3=-4时，解得x=-4+3=-1。

- 所以方程的解为x_1 = 7，x_2=-1。

2. 解方程：4(x + 1)^2-9 = 0- 解析：- 首先将方程变形为(x + 1)^2=(9)/(4)。

- 然后根据直接开平方法，得到x + 1=±(3)/(2)。

- 当x+1=(3)/(2)时，x=(3)/(2)-1=(1)/(2)。

- 当x + 1=-(3)/(2)时，x=-(3)/(2)-1=-(5)/(2)。

- 所以方程的解为x_1=(1)/(2)，x_2 =-(5)/(2)。

二、配方法- 解析：- 首先在方程两边加上一次项系数一半的平方，即x^2+6x+9 - 9 - 7 = 0。

- 变形为(x + 3)^2-16 = 0，即(x + 3)^2=16。

- 然后根据直接开平方法，x+3=±4。

- 当x + 3 = 4时，x = 1；当x+3=-4时，x=-7。

- 所以方程的解为x_1 = 1，x_2=-7。

4. 解方程：2x^2 - 5x+2 = 0- 解析：- 方程两边同时除以2得x^2-(5)/(2)x + 1 = 0。

- 配方：x^2-(5)/(2)x+(25)/(16)-(25)/(16)+1 = 0。

- 变形为(x-(5)/(4))^2=(9)/(16)。

- 根据直接开平方法，x-(5)/(4)=±(3)/(4)。

- 当x-(5)/(4)=(3)/(4)时，x = 2；当x-(5)/(4)=-(3)/(4)时，x=(1)/(2)。

- 所以方程的解为x_1 = 2，x_2=(1)/(2)。

三、公式法- 解析：- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0（这里a = 1，b=-3，c=-1）。

一元二次方程在初中数学中的地位

一元二次方程在初中数学中的地位一元二次方程是初中数学中的重要内容之一，它在数学学科中具有重要地位。

一元二次方程的学习不仅仅是为了解决实际问题，更是培养学生的逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力的重要途径之一。

一元二次方程的学习可以帮助学生培养逻辑思维能力。

在学习一元二次方程的过程中，学生需要通过观察问题，分析问题，提出方程，解方程等一系列步骤，这些过程需要学生进行逻辑推理和思维操作。

通过这样的学习，可以培养学生的逻辑思维和推理能力，让他们学会用数学的方法思考和解决问题。

一元二次方程的学习可以提高学生的问题分析和解决问题的能力。

一元二次方程的应用非常广泛，可以用来解决各种实际问题，比如物体自由落体运动问题、平抛运动问题等。

学生在学习一元二次方程的过程中，需要将实际问题转化为数学问题，通过建立方程、解方程等步骤解决问题。

这样的学习过程可以让学生培养问题分析和解决问题的能力，提高他们的实际应用能力。

一元二次方程的学习可以帮助学生理解数学的抽象性和普遍性。

一元二次方程是数学中的一种抽象概念，它不仅仅是解决具体问题的方法，更是一种数学思想和方法的体现。

学生在学习一元二次方程的过程中，需要理解方程的含义和解方程的方法，通过这样的学习可以让学生逐渐理解数学的抽象性和普遍性，提高他们对数学的认识和理解。

一元二次方程的学习对于学生的数学学科素养的提高具有重要意义。

一元二次方程是数学学科中的一种基本概念和方法，它是学生后续学习高中数学和大学数学的基础。

学生通过学习一元二次方程，可以掌握数学的基本思想和方法，为后续学习打下坚实的基础。

同时，一元二次方程的学习也可以培养学生的数学兴趣和学习兴趣，提高他们对数学学科的喜爱程度。

一元二次方程在初中数学中具有重要地位。

它不仅仅是为了解决实际问题，更是培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力的重要途径。

通过学习一元二次方程，学生可以培养逻辑思维能力，提高问题分析和解决问题的能力，理解数学的抽象性和普遍性，提高数学学科素养。

初二数学一元二次方程应用题

初二数学一元二次方程应用题在初二的数学课堂上，一元二次方程总是让人又爱又恨。

你有没有觉得，这玩意儿就像一颗榴莲，外表坚硬，里面却有一股奇妙的香气？哈哈，今天咱们就来聊聊这个看似复杂但其实挺有趣的东西！想象一下，某天你和小伙伴一起去游乐园，买了两种票。

第一种票，一百块钱，可以玩所有的过山车；第二种票，五十块钱，只能玩一次摩天轮。

现在问题来了，如果你们俩想花同样的钱，玩过山车和摩天轮的次数该怎么算呢？设过山车的次数为x，摩天轮的次数为y。

咱们可以写出个方程来描述这个情况，哎呀，真是太好玩了。

总花费要相等，一百块乘以x加上五十块乘以y，这个钱数得让人心服口服。

于是咱们得到的就是一个方程，听起来是不是有点深奥？其实不然，这就是生活中的数学，挺实用的嘛。

我们要考虑一下，还要加个条件，咱们不想玩得太疯，每人玩过山车不能超过五次，摩天轮也不能玩超过三次。

这样一来，咱们得把这些条件放进去，嘿，数学就变得好玩了！想象一下，在游乐园里，大家一边吃着棉花糖，一边思考这些方程，绝对是一幅美好的画面。

然后，咱们再来看看，怎么解这个方程呢？哎，首先要把方程整理一下，真是好像在打理家务，理顺了就能看到整个屋子都变得干净利索！我们可以把所有的x和y分开，逐步破解这个数学谜团。

就像是揭开包裹，里面可能藏着惊喜。

经过一番运算，咱们最终会发现x和y的值，嘿，这可是我们玩的秘籍哦！然后，咱们再来看一个现实生活中的例子。

比如说，有个小伙伴计划开一家面馆，他希望每碗面的成本是20块，售价是40块。

他想知道，要卖出多少碗才能回本呢？这时候，一元二次方程就再次闪亮登场！咱们可以设卖出的碗数为n，利润就等于售价减去成本，再乘以n。

听起来是不是有点复杂？但别担心，咱们可以一步步推理，最后找到答案，真是像探险一样刺激。

大家可能会觉得，数学就像那种难缠的老鼠，时不时就来捣乱。

不过，想想看，如果没有这些方程，我们的生活该多无趣呀！它们不仅帮助我们解决问题，还是我们了解世界的一把钥匙。