《高等数学教学课件》6.1 3

直线x a 、x b 及x 轴所围成的曲边梯形绕
x 轴旋转一周而成的立体，体积为多少？
取积分变量为x ，
y
y f (x)
x [a,b]
在[a,b]上任取小区 o
x x dx
x
间[ x, x dx]，
取以dx 为底的窄边梯形绕x 轴旋转而成的薄
片的体积为体积元素， dV [ f ( x)]2 dx
x
截面面积 A( x) 1 (R2 x2 )tan ,
2
立体体积 V 1 R (R2 x2 )tandx 2 R3 tan .
2 R
3
例 6 求以半径为R 的圆为底、平行且等于底圆
直径的线段为顶、高为h 的正劈锥体的体积.
解 取坐标系如图
y
底圆方程为
x2 y2 R2,
o x Rx
垂直于x 轴的截面为等腰三角形
x x dx b
x
的截面面积， A( x)为x 的已知连续函数
dV A( x)dx,
立体体积 V
b
A( x)dx.
a
例 5 一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，
并与底面交成角 ，计算这平面截圆柱体所得立体
的体积.
解 取坐标系如图
R
底圆方程为
o
y
x2 y2 R2
x
R
垂直于x 轴的截面为直角三角形
截面面积 A( x) h y h R2 x2
立体体积
V
h R R
R2 x2dx 1 R2h. 2
第六章 单元自测题（定积分应用）
一、计算下列平面图形 的面积
1.求由曲线y x2与y 1 及直线x 2所围成平面图形的面积 。 x
解：
y
1 x
交点为( 1,1 )
y x2
A
d
2
8
2
2
1
cos 2
2
d
二、计算下列立体的体积
1． 求由正弦曲线y sinx在[ 0, ]上与 x 轴所围成的平面图形
绕 x 轴旋转一周所得旋转体 的体积。
解：V
[sin x ] 2 dx
1 cos 2x dx
0
0
2
1
dx cos 2xd 2x
20
22 0
sin 2x
2
4ab 2 sin2 tdt 0
ab.
2、极坐标系情形
设由曲线r ( )及射线 、 围成一曲边扇 形，求其面积．这里， ( ) 在[ , ]上连续，且 ( ) 0 ．
d
r ( )
d
面积元素 dA 1[ ( )]2 d
2
o
x
曲边扇形的面积 A 1[ ( )]2 d . 2
（1）把区间[a, b]分成n个长度为xi的小区间，相
应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形，第i 个
n
小窄曲边梯形的面积为Ai ，则 A Ai .
i 1
（2）计算Ai 的近似值
Ai f (i )xi i xi
n
（3） 求和,得A的近似值 A f (i )xi . i 1
（4） 求极限，得A的精确值
这个方法通常叫做元素法．
§6.2 定积分在几何上的应用
一、平面图形的面积
1.直角坐标情形
y y f (x)
y
y f2(x)
y f1( x)
o a x x xb x
o a xx b x
dA f ( x)x f ( x)dx dA [ f2( x) f1( x)]dx
曲边梯形的面积
b
2 a2 (1 cos t)2 a(1 cos t)dt 0
a3 2 (1 3cos t 3cos2 t cos3 t)dt 0
52a3.
绕 y 轴旋转而成的体积为
y 2a
x x2 ( y)
O
πa 2πa x
x x1( y)
π π a2( t sin t )2 a sin t d t
y
V d [ ( y)]2 dy c
d
x ( y)
c
o
x
例 3 求摆线 x a(t sin t ) ， y a(1 cos t )
的一拱与 y 0 所围成的图形分别绕x 轴、y 轴
旋转构成旋转体的体积.
y( x)
解 绕x 轴旋转的旋转体体积
Vx
2a y2 ( x)dx
0
a
2a
b
b a2 ( 1
b
y2 b2
)dy
a2 (
y
y3 3b2
b
)
b
4 a2b.
3
n
A
lim
0
i 1
f
(i )xi
b f ( x)dx
a
面 积 元
提示 若用A 表示任一小区间 [ x, x x]上的窄曲边梯形的面积，y
素
dA
y f (x)
则 A A，并取A f ( x)dx，
于是 A f ( x)dx
b
o a x x dxb x
A lim f ( x)dx a f ( x)dx.
难题征解:
1.极限
lim
n
1 nx
1 n x d x 0
24
________.
2.设f(x)函数
满足
0 [f
(x )
f
(x )]sinx
dx
8, f
(0)
3,
则 f ( ) ________。
第六章 定积分的应用
§6.1 定积分的元素法
一、问题的提出
回顾 曲边梯形求面积的问题
曲边梯形由连续曲线 y
24
0
2
. 2
2.求由曲线y x2与直线y x所围成平面图形绕x轴旋转一周 所得旋转体的体积 .
解：由 y x2 交点( 0,0 ),( 1,1 ) y x
V
1
[
x
]
2
dx
1
[
x2
]
2 dx.
0
0
1
1 x3 1 x5 2 .
3
5 0 15
3.求由曲线y ln x与直线x e , y 0所围成平面图形绕x轴 旋转一周所得旋转体的 体积.
例5. 计算阿基米德螺线
到 2 所围图形面积 .
解: A
2π
dA
2π1 ( a )2 d
0
02
a2 2
1 3
3
2π 0
4 π3 a2 3
对应 从 0 变
2πa
x
d
例 6 求心形线r a(1 cos )所围平面图形的
面积(a 0).
解 dA 1 a2(1 cos )2 d
A a f ( x)dx
曲边梯形的面积
A
b
a[
f2(x)
f1( x)]dx
例 1 计算由两条抛物线y2 x 和y x2 所围成的
图形的面积.
解 两曲线的交点 (0,0) (1,1)
选 x为积分变量 x [0,1]
1
A 0 (
x x2 )dx
2 3 x3 1 3 x 2 3 0
1. 3
2
1
( 1 x2 )dx 4
1
(
1
x2
)dx
1
0
4[
x
1 3
x3
]01
8 3
例 3 计算由曲线 y2 2x和直线 y x 4所围
成的图形的面积.
dA [( y 4 ) y2 ]dx 2
解 两曲线的交点
M(8,4
y.
y x4
) y x 4 N(2,-y22 )2x
旋转体的体积为 V b [ f ( x)]2 dx a
例 1 连接坐标原点O 及点P(h, r)的直线、直线
x h及x 轴围成一个直角三角形．将它绕x 轴旋
转构成一个底半径为r 、高为h 的圆锥体，计算
圆锥体的体积．
y
P
解 直线 OP方程为
r
o
y x
h
r
h
x
取积分变量为x ， x [0, h]
选 y 为积分变量 y [2, 4]
A
4
dAdy
2
4 2
y4
y2 2
dy
18
例4
求椭圆 x2 a2
y2 b2
1的面积.
解
椭圆的参数方程
x y
a b
cos t sin t
dA ydx
由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．
A
4
a 0
ydx
0
4 b sin td(a cos t)
y f ( x)( f ( x) 0) 、
y f (x)
x 轴与两条直线x a 、
x b所围成。
oa
bx
b
A a f ( x)dx
计算曲边梯形面积方法:
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
y
oa
b xo a
bx
（四个小矩形）
（九个小矩形）
显然，小矩形越多，矩形总面积越 接近曲边梯形面积．
面积表示为定积分的步骤如下
2π
π
π a2( t sint )2 a sin t d t
0
π a3
2π
(t
sin t
)2
sin t
d
t
0
注
2.平行截面面积为已知的立体的体积
如果一个立体不是旋转体，但却知道该立
体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这 个立体的体积也可用定积分来计算.