05年北大数学专业考研数分试题
2005年考研数学真题及答案解析
3 (x2 x) f (x)dx.
0
(18)(本题满分 12 分) 已 知函数 f (x) 在 [0,1] 上连续,在 (0,1) 内 可导,且 f (0) 0, f (1) 1 .
(C) a 0.3,b 0.2
(D) a 0.1,b 0.4
(14)设 X1, X 2 ,, X n (n 2) 为来自总体 N (0,1) 的简单随机样本, X 为 样本均值, S 2 为样本方差,则
(A) nX ~ N (0,1)
(B) nS 2 ~ 2 (n)
(C) (n 1) X ~ t(n 1)
S
(D) (n 1) X12 n
~
F (1, n 1)
X
2 i
i2
三 、解答题(本题共 9 小题,满分 94 分.解答应写出文字说明、证
明过程或演算步骤)
(15)(本题满分 11 分) 设 D {(x, y) x2 y 2 2, x 0, y 0} , [1 x2 y 2 ] 表 示 不 超 过
1 x2 y 2 的最大整数. 计算二重积分 xy[1 x2 y 2 ]dxdy.
D
(16)(本题满分 12 分)
求幂级数 (1)n1 (1
1
)x2n 的收敛区间与和函数 f (x) .
n 1
n(2n 1)
(17)(本题满分 11 分) 如图,曲线 C 的方程为 y f (x) ,点 (3, 2) 是它的一个拐
(A)处处可导
(B) 恰 有 一 个 不
2005年考研数学试题答案与解析(数学一)
2005年考研数学一真题解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）曲线的斜渐近线方程为【分析】本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.【详解】因为a=，，于是所求斜渐近线方程为（2）微分方程满足的解为.【分析】直接套用一阶线性微分方程的通解公式：，再由初始条件确定任意常数即可.【详解】原方程等价为，于是通解为=，由得C=0，故所求解为（3）设函数，单位向量，则=.【分析】函数u(x,y,z)沿单位向量}的方向导数为：因此，本题直接用上述公式即可.【详解】因为，，，于是所求方向导数为=（4）设是由锥面与半球面围成的空间区域，是的整个边界的外侧，则.【分析】本题是封闭曲面且取外侧，自然想到用高斯公式转化为三重积分，再用球面（或柱面）坐标进行计算即可.【详解】=（5）设均为3维列向量，记矩阵，，如果，那么2 .【分析】将B写成用A右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】由题设，有=，于是有（6）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从中任取一个数，记为Y, 则=.【分析】本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式, 且第一次试验的各种两两互不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分.【详解】=+++=二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）设函数，则f(x)在内(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ C ]【分析】先求出f(x)的表达式，再讨论其可导情形.【详解】当时，；当时，；当时，即可见f(x)仅在x=时不可导，故应选(C).（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，表示“M的充分必要条件是N”，则必有(A) F(x)是偶函数f(x)是奇函数.（B） F(x)是奇函数f(x)是偶函数.(C) F(x)是周期函数f(x)是周期函数.(D) F(x)是单调函数f(x)是单调函数. [ A ]【分析】本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.【详解】方法一：任一原函数可表示为，且当F(x)为偶函数时，有，于是，即，也即，可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，则为偶函数，从而为偶函数，可见(A)为正确选项.方法二：令f(x)=1, 则取F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令f(x)=x, 则取F(x)=, 排除(D); 故应选(A).（9）设函数, 其中函数具有二阶导数，具有一阶导数，则必有(A). （B）.(C). (D). [ B ] 【分析】先分别求出、、，再比较答案即可.【详解】因为，，于是，，，可见有，应选(B).（10）设有三元方程，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻域，在此邻域内该方程(A) 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x,y).(B) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和z=z(x,y).(C) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x,z)和z=z(x,y).(D) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z). [ D ]【分析】本题考查隐函数存在定理，只需令F(x,y,z)=, 分别求出三个偏导数，再考虑在点(0,1,1)处哪个偏导数不为0，则可确定相应的隐函数.【详解】令F(x,y,z)=, 则，，，且，，. 由此可确定相应的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z). 故应选(D).（11）设是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为，则，线性无关的充分必要条件是(A). (B). (C). (D). [ B ]【分析】讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可.【详解】方法一：令，则，.由于线性无关，于是有当时，显然有，此时，线性无关；反过来，若，线性无关，则必然有(,否则，与=线性相关)，故应选(B).方法二：由于，可见，线性无关的充要条件是故应选(B).（12）设A为n（）阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B, 分别为A,B的伴随矩阵，则(A) 交换的第1列与第2列得. (B) 交换的第1行与第2行得.(C) 交换的第1列与第2列得. (D) 交换的第1行与第2行得.[ C ]【分析】本题考查初等变换的概念与初等矩阵的性质，只需利用初等变换与初等矩阵的关系以及伴随矩阵的性质进行分析即可.【详解】由题设，存在初等矩阵（交换n阶单位矩阵的第1行与第2行所得），使得，于是，即,可见应选(C).（13）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为X Y 0 10 0.4 a1 b 0.1已知随机事件与相互独立，则(A) a=0.2, b=0.3 (B) a=0.4, b=0.1(C) a=0.3, b=0.2 (D) a=0.1,b=0.4 [ B ]【分析】首先所有概率求和为1，可得a+b=0.5, 其次，利用事件的独立性又可得一等式，由此可确定a,b的取值.【详解】由题设，知 a+b=0.5又事件与相互独立，于是有，即 a=, 由此可解得 a=0.4, b=0.1, 故应选(B).（14）设为来自总体N(0,1)的简单随机样本，为样本均值，为样本方差，则(A)(B)(C)(D)[ D ]【分析】利用正态总体抽样分布的性质和分布、t分布及F分布的定义进行讨论即可.【详解】由正态总体抽样分布的性质知，，可排除(A);又，可排除(C); 而，不能断定(B)是正确选项.因为，且相互独立，于是故应选(D).三、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分11分）设，表示不超过的最大整数. 计算二重积分【分析】首先应设法去掉取整函数符号，为此将积分区域分为两部分即可.【详解】令，.则==（16）（本题满分12分）求幂级数的收敛区间与和函数f(x).【分析】先求收敛半径，进而可确定收敛区间. 而和函数可利用逐项求导得到.【详解】因为，所以当时，原级数绝对收敛，当时，原级数发散，因此原级数的收敛半径为1，收敛区间为（－1,1）记则由于所以又从而（17）（本题满分11分）如图，曲线C的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线与分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分【分析】题设图形相当于已知f(x)在x=0的函数值与导数值，在x=3处的函数值及一阶、二阶导数值.【详解】由题设图形知，f(0)=0,; f(3)=2,由分部积分，知==（18）（本题满分12分）已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明：（）存在使得；（）存在两个不同的点，使得【分析】第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论.【详解】（）令，则F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=-1<0, F(1)=1>0,于是由介值定理知，存在使得，即.（）在和上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点，使得，于是（19）（本题满分12分）设函数具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分的值恒为同一常数.（）证明：对右半平面x>0内的任意分段光滑简单闭曲线C，有；（）求函数的表达式.【分析】证明（）的关键是如何将封闭曲线C与围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线相联系，这可利用曲线积分的可加性将C进行分解讨论；而（）中求的表达式，显然应用积分与路径无关即可.Y【详解】（）l2 Co X l3如图，将C分解为：，另作一条曲线围绕原点且与C相接，则.（）设，在单连通区域内具有一阶连续偏导数，由（Ⅰ）知，曲线积分在该区域内与路径无关，故当时，总有.①②比较①、②两式的右端，得④③由③得，将代入④得所以，从而（20）（本题满分9分）已知二次型的秩为2.（）求a的值；（）求正交变换，把化成标准形；（）求方程=0的解.【分析】（）根据二次型的秩为2，可知对应矩阵的行列式为0，从而可求a的值；（）是常规问题，先求出特征值、特征向量，再正交化、单位化即可找到所需正交变换；（）利用第二步的结果，通过标准形求解即可.【详解】（）二次型对应矩阵为，由二次型的秩为2，知，得a=0.（）这里，可求出其特征值为.解，得特征向量为：，解，得特征向量为：由于已经正交，直接将，单位化，得：令，即为所求的正交变换矩阵，由x=Qy，可化原二次型为标准形：=（）由=0，得（k为任意常数）.从而所求解为：x=Qy=，其中c为任意常数.（21）（本题满分9分）已知3阶矩阵A的第一行是不全为零，矩阵（k为常数），且AB=O, 求线性方程组Ax=0的通解.【分析】 AB=O, 相当于告之B的每一列均为Ax=0的解，关键问题是Ax=0的基础解系所含解向量的个数为多少，而这又转化为确定系数矩阵A的秩.【详解】由AB=O知，B的每一列均为Ax=0的解，且（1）若k, 则r(B)=2, 于是r(A), 显然r(A), 故r(A)=1. 可见此时Ax=0的基础解系所含解向量的个数为3-r(A)=2, 矩阵B的第一、第三列线性无关，可作为其基础解系，故Ax=0 的通解为：为任意常数.(2) 若k=9，则r(B)=1, 从而1）若r(A)=2, 则Ax=0的通解为：为任意常数.2）若r(A)=1,则Ax=0 的同解方程组为：,不妨设,则其通解为为任意常数.（22）（本题满分9分）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为求：（） (X,Y)的边缘概率密度；（）的概率密度【分析】求边缘概率密度直接用公式即可；而求二维随机变量函数的概率密度，一般用分布函数法，即先用定义求出分布函数，再求导得到相应的概率密度.【详解】（）关于X的边缘概率密度===关于Y的边缘概率密度===（）令，1）当时，；2）当时，=;3) 当时，即分布函数为：故所求的概率密度为：（23）（本题满分9分）设为来自总体N(0,1)的简单随机样本，为样本均值，记求：（）的方差；（）与的协方差【分析】先将表示为相互独立的随机变量求和，再用方差的性质进行计算即可；求与的协方差，本质上还是数学期望的计算，同样应注意利用数学期望的运算性质.【详解】由题设，知相互独立，且，（）==（）=====。
05考研数学真题答案详解
05考研数学真题答案详解
考研数学是考研难度较大的科目之一。
为了帮助考生更好地理解和
掌握数学知识，本文将详细解析05考研数学真题答案。
通过学习解析，考生可以更好地应对考试，提高数学成绩。
第一题
题目：
解析：
根据题目中给出的条件，我们可以得到的方程为：。
我们将这个方程化简为标准形式，得到：
由此可得，解为：
因此，答案为。
第二题
题目：
解析：
首先，我们可以将这道题进行分类讨论。
根据题目给出的条件，我
先考虑不同颜色的球分别抽到的情况。
a) 若抽出的球中只包含红色和蓝色球，在此情况下，根据概率论的
知识，我们可以得到红色球和蓝色球的比例为：。
因此，红蓝色球的比值为。
b) 若抽出的球中只包含黄色和绿色球，同样可以得出黄色球与绿色球的比值为：。
因此，黄绿色球的比值为。
c) 若抽出的球中既包含红色和蓝色球，也包含黄色和绿色球，此时我们将两个情况的比值相乘，即可得出整体的比值。
因此，红蓝黄绿色球的比值为。
综上所述，答案为。
第三题
题目：
解析：
根据条件，我们可以得到对应点的函数值和导数值。
首先，我们计算函数在点处的函数值，有：
其次，我们计算函数在点处的导数值，有：
因此，函数在点处的导数值为。
综上所述，答案为。
...
...
通过以上对05考研数学真题的详细解析，我们对考研数学的知识点有了更深入的理解。
希望考生们通过反复练习和解析，能够在考试中熟练运用数学知识，取得优异的成绩。
加油！。
2005年考研数学试题详解及评分参考
=
¶2u ¶x 2
.
【答】 应选 (B) .
【解】 因
¶u ¶x
=
j ¢( x
+
y)
+ j¢(x
-
y)
+y
(x
+
y)
-y
(x
-
y)
，且
¶u ¶y
=
j ¢( x
+
y)
- j ¢( x
-
y) +y
(x
+
y)
-y
(x
-
y)
，
故
¶2u ¶x2
=
j ¢¢( x
+
y)
- j ¢¢( x
-
y)
+y
¢( x
+
y)
-y
l1 l2
ù úû
，
所以 a 1
,
A(a1
+
a2
)
线性
1 无关的充要条件是 0
l1 l2
= l2
¹ 0.
故选 (B) .
【解法二】 由题意，知 Aa1 = l1a1, Aa2 = l2a2 . 设 k1a1 + k2 A(a1 + a 2 ) = 0 ，则有 k1a1 + k2l1a1 + k2l2a 2 = 0 ，即有 (k1 + k2l1 )a1 + k2l2a 2 = 0 . 因a1,a 2 是属于不同特征值的特征向量，故a1,a 2 线性无关，于是有 k1 + k2l1 = 0 ， k2l2 = 0 . 因此当 l2 ¹ 0 时，有 k1 = 0, k2 = 0 ，此时a1 , A(a1 + a 2 ) 线性无关； 反之，若a1, A(a1 + a2 ) 线性无关，则必然有 l2 ¹ 0 （否则，由 l2 = 0 ，可见 k2 可以不
2005考研数学一真题及答案解析
2005年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1)曲线122+=x x y 的斜渐近线方程为 _____________.(2)微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为____________.(3)设函数181261),,(222z y x z y x u +++=,单位向量}1,1,1{31=n ,则)3,2,1(nu∂∂=.________.(4)设Ω是由锥面22y x z +=与半球面222y x R z --=围成的空间区域,∑是Ω的整个边界的外侧,则⎰⎰∑=++zdxdy ydzdx xdydz ____________.(5)设123,,ααα均为3维列向量,记矩阵123(,,)=A ααα,123123123(,24,39)=++++++B ααααααααα,如果1=A ,那么=B .(6)从数1,2,3,4中任取一个数,记为X , 再从X ,,2,1 中任取一个数,记为Y , 则}2{=Y P =____________.二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)设函数n n n x x f 31lim )(+=∞→,则()f x 在),(+∞-∞内(A)处处可导 (B)恰有一个不可导点(C)恰有两个不可导点 (D)至少有三个不可导点(8)设()F x 是连续函数()f x 的一个原函数,""N M ⇔表示"M 的充分必要条件是",N 则必有(A)()F x 是偶函数()f x ⇔是奇函数 (B)()F x 是奇函数()f x ⇔是偶函数(C)()F x 是周期函数()f x ⇔是周期函数 (D)()F x 是单调函数()f x ⇔是单调函数(9)设函数⎰+-+-++=yx y x dt t y x y x y x u )()()(),(ψϕϕ, 其中函数ϕ具有二阶导数,ψ 具有一阶导数,则必有(A)2222y ux u ∂∂-=∂∂(B)2222yu x u ∂∂=∂∂(C)222yu y x u ∂∂=∂∂∂(D)222x uy x u ∂∂=∂∂∂ (10)设有三元方程ln e 1xz xy z y -+=,根据隐函数存在定理,存在点(0,1,1)的一个邻域,在此邻域内该方程(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数(,)z z x y = (B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)z z x y = (C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)y y x z =和(,)z z x y = (D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)y y x z =(11)设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为12,αα,则1α,12()+A αα线性无关的充分必要条件是(A)01≠λ (B)02≠λ (C)01=λ (D)02=λ(12)设A 为(2)n n ≥阶可逆矩阵,交换A 的第1行与第2行得矩阵**.,B A B 分别为,A B 的伴随矩阵,则(A)交换*A 的第1列与第2列得*B (B)交换*A 的第1行与第2行得*B(C)交换*A 的第1列与第2列得*-B (D)交换*A 的第1行与第2行得*-B(13)设二维随机变量(,)X Y 的概率分布为已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立,则(A)0.2,0.3a b == (B)0.4,0.1a b == (C)0.3,0.2a b == (D)0.1,0.4a b ==(14)设)2(,,,21≥n X X X n 为来自总体(0,1)N 的简单随机样本,X 为样本均值,2S 为样本方差,则(A))1,0(~N X n (B)22~()nS n χ(C))1(~)1(--n t SXn (D)2122(1)~(1,1)nii n X F n X=--∑三 、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分11分)设}0,0,2),{(22≥≥≤+=y x y x y x D ,]1[22y x ++表示不超过221y x ++的最大整数. 计算二重积分⎰⎰++Ddxdy y x xy .]1[22(16)(本题满分12分) 求幂级数∑∞=--+-121))12(11()1(n n n x n n 的收敛区间与和函数()f x .(17)(本题满分11分)如图,曲线C 的方程为()y f x =,点(3,2)是它的一个拐点,直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线,其交点为(2,4).设函数()f x 具有三阶连续导数,计算定积分⎰'''+32.)()(dx x f x x(18)(本题满分12分)已知函数()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且(0)0,(1)1f f ==. 证明:(1)存在),1,0(∈ξ 使得ξξ-=1)(f .(2)存在两个不同的点)1,0(,∈ζη,使得.1)()(=''ζηf f(19)(本题满分12分)设函数)(y ϕ具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上,曲线积分24()22Ly dx xydyx y φ++⎰的值恒为同一常数.(1)证明:对右半平面0x >内的任意分段光滑简单闭曲线,C 有24()202Cy dx xydyx yφ+=+⎰.(2)求函数)(y ϕ的表达式.(20)(本题满分9分)已知二次型21232221321)1(22)1()1(),,(x x a x x a x a x x x f +++-+-=的秩为2.(1)求a 的值；(2)求正交变换x y =Q ,把),,(321x x x f 化成标准形. (3)求方程),,(321x x x f =0的解.(21)(本题满分9分)已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零,矩阵12324636k ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B (k 为常数),且=AB O ,求线性方程组0x =A 的通解.(22)(本题满分9分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(,)f x y =1001,02x y x <<<<其它求:(1)(,)X Y 的边缘概率密度)(),(y f x f Y X . (2)Y X Z -=2的概率密度).(z f Z(23)(本题满分9分)设)2(,,,21>n X X X n 为来自总体(0,1)N 的简单随机样本,X 为样本均值,记.,,2,1,n i X X Y i i =-=求:(1)i Y 的方差n i DY i ,,2,1, =. (2)1Y 与n Y 的协方差1Cov(,).n Y Y2005年考研数学一真题解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）曲线122+=x x y 的斜渐近线方程为 .4121-=x y【分析】 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.【详解】 因为a=212lim )(lim22=+=∞→∞→x x x x x f x x ， []41)12(2lim)(lim -=+-=-=∞→∞→x x ax x f b x x ，于是所求斜渐近线方程为.4121-=x y （2）微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为.91ln 31x x x y -=. 【分析】直接套用一阶线性微分方程)()(x Q y x P y =+'的通解公式：⎰+⎰⎰=-])([)()(C dx e x Q e y dxx P dx x P ， 再由初始条件确定任意常数即可.【详解】 原方程等价为x y xy ln 2=+'， 于是通解为 ⎰⎰+⋅=+⎰⋅⎰=-]ln [1]ln [2222C xdx x xC dx ex ey dxx dxx =2191ln 31x C x x x +-， 由91)1(-=y 得C=0，故所求解为.91ln 31x x x y -=（3）设函数181261),,(222z y x z y x u +++=，单位向量}1,1,1{31=n ，则)3,2,1(nu∂∂=33. 【分析】 函数u(x,y,z)沿单位向量γβαcos ,cos ,{cos =n}的方向导数为：γβαcos cos cos zu y u x u n u ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ 因此，本题直接用上述公式即可.【详解】 因为3x x u =∂∂，6y y u =∂∂，9zz u =∂∂，于是所求方向导数为)3,2,1(nu ∂∂=.33313131313131=⋅+⋅+⋅ （4）设Ω是由锥面22y x z +=与半球面222y x R z --=围成的空间区域，∑是Ω的整个边界的外侧，则⎰⎰∑=++zdxdy ydzdx xdydz 3)221(2R -π. 【分析】本题∑是封闭曲面且取外侧，自然想到用高斯公式转化为三重积分，再用球面（或柱面）坐标进行计算即可.【详解】⎰⎰∑=++zdxdy ydzdx xdydz ⎰⎰⎰Ωdxdydz 3=.)221(2sin 3320402R d d d R⎰⎰⎰-=πππθϕϕρρ （5）设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵),,(321ααα=A ，)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ， 如果1=A ，那么=B 2 .【分析】 将B 写成用A 右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】 由题设，有)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡941321111),,(321ααα， 于是有 .221941321111=⨯=⋅=A B（6）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从X ,,2,1 中任取一个数，记为Y , 则}2{=Y P =4813. 【分析】 本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式, 且第一次试验的各种两两互不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分.【详解】 }2{=Y P =}12{}1{===X Y P X P +}22{}2{===X Y P X P +}32{}3{===X Y P X P +}42{}4{===X Y P X P =.4813)4131210(41=+++⨯ 二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）设函数n nn xx f 31lim )(+=∞→，则f(x)在),(+∞-∞内(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ C ] 【分析】 先求出f(x)的表达式，再讨论其可导情形. 【详解】 当1<x 时，11lim )(3=+=∞→n nn xx f ；当1=x 时，111lim )(=+=∞→n n x f ；当1>x 时，.)11(lim )(3133x xx x f nnn =+=∞→即.1,11,1,,1,)(33>≤≤--<⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x x x f 可见f(x)仅在x=1±时不可导，故应选(C).（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ⇔表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有(A) F(x)是偶函数⇔f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数⇔f(x)是偶函数.(C) F(x)是周期函数⇔f(x)是周期函数.(D) F(x)是单调函数⇔f(x)是单调函数. [ A ] 【分析】 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.【详解】 方法一：任一原函数可表示为⎰+=xC dt t f x F 0)()(，且).()(x f x F ='当F(x)为偶函数时，有)()(x F x F =-，于是)()1()(x F x F '=-⋅-'，即 )()(x f x f =--，也即)()(x f x f -=-，可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，则⎰xdt t f 0)(为偶函数，从而⎰+=xC dt t f x F 0)()(为偶函数，可见(A)为正确选项.方法二：令f(x)=1, 则取F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令f(x)=x, 则取F(x)=221x , 排除(D); 故应选(A).（9）设函数⎰+-+-++=yx yx dt t y x y x y x u )()()(),(ψϕϕ, 其中函数ϕ具有二阶导数，ψ 具有一阶导数，则必有(A) 2222y u x u ∂∂-=∂∂. （B ） 2222yu x u ∂∂=∂∂. (C) 222y uy x u ∂∂=∂∂∂. (D) 222x u y x u ∂∂=∂∂∂. [ B ] 【分析】 先分别求出22x u ∂∂、22yu∂∂、y x u ∂∂∂2，再比较答案即可.【详解】 因为)()()()(y x y x y x y x xu--++-'++'=∂∂ψψϕϕ，)()()()(y x y x y x y x yu-+++-'-+'=∂∂ψψϕϕ， 于是 )()()()(22y x y x y x y x x u-'-+'+-''++''=∂∂ψψϕϕ，)()()()(2y x y x y x y x yx u-'++'+-''-+''=∂∂∂ψψϕϕ， )()()()(22y x y x y x y x yu-'-+'+-''++''=∂∂ψψϕϕ， 可见有2222yu x u ∂∂=∂∂，应选(B). （10）设有三元方程1ln =+-xzey z xy ，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻域，在此邻域内该方程(A) 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x,y).(B) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和z=z(x,y). (C) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x,z)和z=z(x,y).(D) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z). [ D ]【分析】 本题考查隐函数存在定理，只需令F(x,y,z)=1ln -+-xzey z xy , 分别求出三个偏导数y x z F F F ,,，再考虑在点(0,1,1)处哪个偏导数不为0，则可确定相应的隐函数.【详解】 令F(x,y,z)=1ln -+-xzey z xy , 则z e y F xzx +='， yz x F y -='，x e y F xzz +-='ln ，且 2)1,1,0(='x F ，1)1,1,0(-='y F ，0)1,1,0(='z F . 由此可确定相应的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z). 故应选(D).（11）设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,αα，则1α，)(21αα+A 线性无关的充分必要条件是(A) 01≠λ. (B) 02≠λ. (C) 01=λ. (D) 02=λ. [ B ] 【分析】 讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可. 【详解】 方法一：令 0)(21211=++αααA k k ，则022211211=++αλαλαk k k ， 0)(2221121=++αλαλk k k . 由于21,αα线性无关，于是有 ⎩⎨⎧==+.0,022121λλk k k当02≠λ时，显然有0,021==k k ，此时1α，)(21αα+A 线性无关；反过来，若1α，)(21αα+A 线性无关，则必然有02≠λ(,否则，1α与)(21αα+A =11αλ线性相关)，故应选(B).方法二： 由于 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+=+21212211121101],[],[)](,[λλαααλαλααααA ，可见1α，)(21αα+A 线性无关的充要条件是.001221≠=λλλ故应选(B).（12）设A 为n （2≥n ）阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得矩阵B, **,B A 分别为A,B 的伴随矩阵，则(A) 交换*A 的第1列与第2列得*B . (B) 交换*A 的第1行与第2行得*B .(C) 交换*A 的第1列与第2列得*B -. (D) 交换*A 的第1行与第2行得*B -. [C ]【分析】 本题考查初等变换的概念与初等矩阵的性质，只需利用初等变换与初等矩阵的关系以及伴随矩阵的性质进行分析即可.【详解】 由题设，存在初等矩阵12E （交换n 阶单位矩阵的第1行与第2行所得），使得 B A E =12，于是 12*11212*12***12*)(E A E E A E A A E B -=⋅===-，即*12*B E A -=,可见应选(C).（13）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立，则(A) a=0.2, b=0.3 (B) a=0.4, b=0.1(C) a=0.3, b=0.2 (D) a=0.1, b=0.4 [ B ] 【分析】 首先所有概率求和为1，可得a+b=0.5, 其次，利用事件的独立性又可得一等式，由此可确定a,b 的取值.【详解】 由题设，知 a+b=0.5又事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立，于是有}1{}0{}1,0{=+===+=Y X P X P Y X X P ， 即 a=))(4.0(b a a ++, 由此可解得 a=0.4, b=0.1, 故应选(B).（14）设)2(,,,21≥n X X X n 为来自总体N(0,1)的简单随机样本，X 为样本均值，2S 为样本方差，则(A) )1,0(~N X n (B) ).(~22n nS χ(C) )1(~)1(--n t SXn (D) ).1,1(~)1(2221--∑=n F X X n n i i [ D ] 【分析】 利用正态总体抽样分布的性质和2χ分布、t 分布及F 分布的定义进行讨论即可.【详解】 由正态总体抽样分布的性质知，)1,0(~10N X n nX =-，可排除(A); 又)1(~0-=-n t SXn nS X ，可排除(C); 而)1(~)1(1)1(2222--=-n S n S n χ，不能断定(B)是正确选项.因为 ∑=-n i in X X222221)1(~),1(~χχ，且∑=-ni i n X X 222221)1(~)1(~χχ与相互独立，于是).1,1(~)1(1122212221--=-∑∑==n F XX n n XX ni ini i故应选(D).三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （15）（本题满分11分） 设}0,0,2),{(22≥≥≤+=y x y x y x D ，]1[22y x ++表示不超过221y x ++的最大整数. 计算二重积分⎰⎰++Ddxdy y x xy .]1[22 【分析】 首先应设法去掉取整函数符号，为此将积分区域分为两部分即可.【详解】 令 }0,0,10),{(221≥≥<+≤=y x y x y x D ， }0,0,21),{(222≥≥≤+≤=y x y x y x D .则⎰⎰++Ddxdy y x xy ]1[22=⎰⎰⎰⎰+122D D xydxdy xydxdy dr r d dr r d ⎰⎰⎰⎰+=20213132cos sin 2cos sin ππθθθθθθ=.834381=+ （16）（本题满分12分） 求幂级数∑∞=--+-121))12(11()1(n n n x n n 的收敛区间与和函数f(x).【分析】 先求收敛半径，进而可确定收敛区间. 而和函数可利用逐项求导得到.【详解】 因为11)12()12()12)(1(1)12)(1(lim=+--⨯+++++∞→n n n n n n n n n ，所以当21x <时，原级数绝对收敛，当21x >时，原级数发散，因此原级数的收敛半径为1，收敛区间为（－1,1）记 121(1)(),(1,1)2(21)n nn S x x x n n -∞=-=∈--∑，则 1211(1)(),(1,1)21n n n S x x x n -∞-=-'=∈--∑，122211()(1),(1,1)1n n n S x x x x ∞--=''=-=∈-+∑. 由于 (0)0,(0)0,S S '==所以 201()()arctan ,1xxS x S t dt dt x t '''===+⎰⎰2001()()arctan arctan ln(1).2x x S x S t dt tdt x x x '===-+⎰⎰又21221(1),(1,1),1n nn x xx x ∞-=-=∈-+∑ 从而 22()2()1x f x S x x =++2222arctan ln(1),(1,1).1x x x x x x=-++∈-+ （17）（本题满分11分）如图，曲线C 的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分⎰'''+32.)()(dx x f x x【分析】 题设图形相当于已知f(x)在x=0的函数值与导数值，在x=3处的函数值及一阶、二阶导数值.【详解】 由题设图形知，f(0)=0, 2)0(='f ; f(3)=2, .0)3(,2)3(=''-='f f 由分部积分，知⎰⎰⎰+''-''+=''+='''+330302232)12)(()()()()()()(dx x x f x f x x x f d x x dx x f x x=dx x f x f x x f d x ⎰⎰'+'+-='+-3330)(2)()12()()12(=.20)]0()3([216=-+f f（18）（本题满分12分）已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明： （I ）存在),1,0(∈ξ 使得ξξ-=1)(f ；（II ）存在两个不同的点)1,0(,∈ζη，使得.1)()(=''ζηf f【分析】 第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论.【详解】 （I ） 令x x f x F +-=1)()(，则F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=-1<0, F(1)=1>0,应用零点定理，存在),1,0(∈ξ 使得0)(=ξF ，即ξξ-=1)(f .（II ） 在],0[ξ和]1,[ξ上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点)1,(),,0(ξζξη∈∈，使得0)0()()(--='ξξηf f f ，ξξζ--='1)()1()(f f f于是 .1111)(1)()()(=-⋅-=--⋅=''ξξξξξξξξζηf f f f （19）（本题满分12分）设函数)(y ϕ具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上，曲线积分⎰++Ly x xydydx y 4222)(ϕ的值恒为同一常数.（I ）证明：对右半平面x>0内的任意分段光滑简单闭曲线C ，有022)(42=++⎰Cyx xydydx y ϕ；（II ）求函数)(y ϕ的表达式.【分析】 证明（I ）的关键是如何将封闭曲线C 与围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线相联系，这可利用曲线积分的可加性将C 进行分解讨论；而（II ）中求)(y ϕ的表达式，显然应用积分与路径无关即可.【详解】 （I ）如图，将C 分解为：21l l C +=，另作一条曲线3l=++⎰Cy x xydydx y 4222)(ϕ-++⎰+314222)(l l y x xydydx y ϕ022)(3242=++⎰+l l y x xydydx y ϕ.（II ） 设2424()2,22y xyP Q x yx yϕ==++，,P Q 在单连通区域0x >内具有一阶连续偏导数，由（Ⅰ）知，曲线积分24()22Ly dx xydyx y ϕ++⎰在该区域内与路径无关，故当0x >时，总有Q Px y∂∂=∂∂. 24252422422(2)4242,(2)(2)Q y x y x xy x y y x x y x y ∂+--+==∂++ ①243243242242()(2)4()2()()4().(2)(2)P y x y y y x y y y y y y x y x y ϕϕϕϕϕ'''∂+-+-==∂++ ② 比较①、②两式的右端，得435()2,()4()2.y y y y y y y ϕϕϕ'=-⎧⎨'-=⎩ 由③得2()y y c ϕ=-+，将()y ϕ代入④得 535242,y cy y -= 所以0c =，从而2().y y ϕ=-（20）（本题满分9分）已知二次型21232221321)1(22)1()1(),,(x x a x x a x a x x x f +++-+-=的秩为2.（I ） 求a 的值；（II ） 求正交变换Qy x =，把),,(321x x x f 化成标准形； （III ） 求方程),,(321x x x f =0的解.【分析】 （I ）根据二次型的秩为2，可知对应矩阵的行列式为0，从而可求a 的值；（II ）是常规问题，先求出特征值、特征向量，再正交化、单位化即可找到所需正交变换； （III ）利用第二步的结果，通过标准形求解即可.【详解】 （I ） 二次型对应矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++-=200011011a a a a A ， 由二次型的秩为2，知 020011011=-++-=aa a a A ，得a=0. （II ） 这里⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200011011A ， 可求出其特征值为0,2321===λλλ. 解 0)2(=-x A E ，得特征向量为：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100,01121αα，解 0)0(=-x A E ，得特征向量为：.0113⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=α由于21,αα已经正交，直接将21,αα，3α单位化，得：③ ④⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01121,100,01121321ηηη令[]321ααα=Q ，即为所求的正交变换矩阵，由x=Qy ，可化原二次型为标准形：),,(321x x x f =.222221y y + （III ） 由),,(321x x x f ==+222122y y 0，得k y y y ===321,0,0（k 为任意常数）.从而所求解为：x=Qy=[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0003321c c k k ηηηη，其中c 为任意常数. （21）（本题满分9分）已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零，矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k B 63642321（k 为常数），且AB=O, 求线性方程组Ax=0的通解.【分析】 AB=O, 相当于告之B 的每一列均为Ax=0的解，关键问题是Ax=0的基础解系所含解向量的个数为多少，而这又转化为确定系数矩阵A 的秩.【详解】 由AB=O 知，B 的每一列均为Ax=0的解，且.3)()(≤+B r A r（1）若k 9≠, 则r(B)=2, 于是r(A)1≤, 显然r(A)1≥, 故r(A)=1. 可见此时Ax=0的基础解系所含解向量的个数为3-r(A)=2, 矩阵B 的第一、第三列线性无关，可作为其基础解系，故Ax=0 的通解为：2121,,63321k k k k k x ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=为任意常数.(2) 若k=9，则r(B)=1, 从而.2)(1≤≤A r1） 若r(A)=2, 则Ax=0的通解为：11,321k k x ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=为任意常数.2） 若r(A)=1,则Ax=0 的同解方程组为：0321=++cx bx ax ,不妨设0≠a ,则其通解为2121,,1001k k a c k a b k x ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=为任意常数.（22）（本题满分9分）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 .,20,10,0,1),(其他x y x y x f <<<<⎩⎨⎧=求：（I ） (X,Y)的边缘概率密度)(),(y f x f Y X ； （II ）Y X Z -=2的概率密度).(z f Z【分析】 求边缘概率密度直接用公式即可；而求二维随机变量函数的概率密度，一般用分布函数法，即先用定义求出分布函数，再求导得到相应的概率密度.【详解】 （I ） 关于X 的边缘概率密度)(x f X =⎰+∞∞-dy y x f ),(=.,10,0,20其他<<⎪⎩⎪⎨⎧⎰x dy x=.,10,0,2其他<<⎩⎨⎧x x关于Y 的边缘概率密度)(y f Y =⎰+∞∞-dx y x f ),(=.,20,0,12其他<<⎪⎩⎪⎨⎧⎰y dx y=.,20,0,21其他<<⎪⎩⎪⎨⎧-y y （II ） 令}2{}{)(z Y X P z Z P z F Z ≤-=≤=， 1） 当0<z 时，0}2{)(=≤-=z Y X P z F Z ；2） 当20<≤z 时，}2{)(z Y X P z F Z ≤-= =241z z -; 3) 当2≥z 时，.1}2{)(=≤-=z Y X P z F Z即分布函数为： .2,20,0,1,41,0)(2≥<≤<⎪⎩⎪⎨⎧-=z z z z z z F Z故所求的概率密度为：.,20,0,211)(其他<<⎪⎩⎪⎨⎧-=z z z f Z （23）（本题满分9分）设)2(,,,21>n X X X n 为来自总体N(0,1)的简单随机样本，X 为样本均值，记.,,2,1,n i X X Y i i =-=求：（I ） i Y 的方差n i DY i ,,2,1, =； （II ）1Y 与n Y 的协方差).,(1n Y Y Cov【分析】 先将i Y 表示为相互独立的随机变量求和，再用方差的性质进行计算即可；求1Y 与n Y 的协方差),(1n Y Y Cov ，本质上还是数学期望的计算，同样应注意利用数学期望的运算性质.【详解】 由题设，知)2(,,,21>n X X X n 相互独立，且),,2,1(1,0n i DX EX i i ===，.0=X E（I ）∑≠--=-=ni j j i i i X n X n D X X D DY ]1)11[()(=∑≠+-nij ji DXnDX n 221)11(=.1)1(1)1(222n n n n n n -=-⋅+- （II ） )])([(),(111n n n EY Y EY Y E Y Y Cov --= =)])([()(11X X X X E Y Y E n n --==)(211X X X X X X X E n n +--=211)(2)(X E X X E X X E n +-=22121)(][20X E X D X X X E n nj j +++-∑==.112nn n -=+-。
北京大学2005年研究生入学考试——高等代数与解析几何_试题与答案2
北京大学 2005 数学专业研究生 高等代数与解析几何。
2x y z 0 1． 在直角坐标系中，求直线l :到平面: 3x By z 0 的正交投影轨迹的方程。
x y 2z1其中 B 是常数 解：可以验证点12 1 2 5,0,l , ,0,，从而 l555x 1 3k把 l 写成参数方程：y 2 5k ，任取其上一点 P : ( 1 3k,2 5k, k) ，设该点到上的投影为zk点 P ' : ( x, y, z)PP 'x 1 3k z kx 3z 1 03 1 P3x By z整理即知， l 到x 3z 1上的正交投影轨迹满足方程Byz 03x由于11 ，上述方程表示一条直线，而 2*3 B 1 0 和 3B 2 0 不同时成立，因此 l 到3 1上的正交投影轨迹是一条直线x 3z 1 0从而 l 到上的正交投影轨迹的方程就是3x By z 02． 在直角坐标系中对于参数 的不同取值，判断下面平面二次曲线的形状：x 2 y 2 2 xy0 .对于中心型曲线，写出对称中心的坐标； 对于线心型曲线，写出对称直线的方程。
解：1 , 1 x *x记 T2 2 ，容易验证 TT 'E ，因此直角坐标变换T 是一个正交变换1 , 1 y *y2 2在这个变换下，曲线方程变为 (1)x * 2(1 ) y * 21) 1 时， 1 0,1 0,0 ，曲线为双曲线，是中心型曲线，对称点为(0,0)2)1 时，曲线方程为y * 21 ，是一对平行直线，是线心型曲线，对称直线为 y *0 ，即yx 23) 1 0时， 10,1 0,0 ，曲线为椭圆，是中心型曲线，对称点为 (0,0)4) 0 时，曲线方程为x * 2y * 20 ，是一个点，是中心型曲线，对称点为(0,0)5) 01时， 1 0,1 0, 0 ，曲线为虚椭圆，是中心型曲线，对称点为(0,0) 6)1 时，曲线方程为 x * 21 ，是一对虚平行直线，是线心型曲线，对称直线为 x *0 ，即 y x27)1时， 1 0,1 0,0 ，曲线为双曲线，是中心型曲线，对称点为(0,0)3n级矩阵 A 的 (i , j )元为 a i b j．设数域 K 上的（ 1）.求 A ;(2). 当 n2 时， a 1 a 2 , b 1 b 2 .求齐次线性方程组 AX解：(1)若 n1， | A | a 1 b 1若 na 1b 1 a 1 b 2 (a 2 a 1 )(b 2 b 1 )2，|A|b 1 a 2 b 2a 2a 1b 1 a 1 b 2 a 1 b 3a 2b 1a 2b 2a 2b 3若 n2，|A|a n 1b 1 an 1b 2a nb 1a nb 2 a n b 3a 1b 1 a 1 b 2 a 1 b 3 R nRn 1 a 2 b 1a 2b 2a 2b 3R n 1Rn 20 的解空间的维数和一个基。
2005年全国考研数学一真题及解析
2005年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1)曲线x 2y的斜渐近线方程为_____________.2x1(2)微分方程xy 2y x ln x满足1y (1)的解为____________.9(3)设函数x 2y 2z 21u (,单位向量{1,1,1}x ,y ,z )1n612183,则u n=.________.(1,2,3)(4)设是由锥面zx 2y 2与半球面z R 2x 2y 2围成的空间区域,是的整个边界的外侧,则xdydzydzdxzdxdy____________.(5)设ααα均为3维列向量,记矩阵1,2,3A (α,α,α),123B (ααα,α2α4α,α3α9α),123123123如果A 1,那么B.(6)从数1,2,3,4中任取一个数,记为X ,再从1,2,,X 中任取一个数,记为Y ,则P {Y 2}=____________.二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)设函数f (xlim n1)nx3n,则f (x )在(,)内(A)处处可导(B)恰有一个不可导点(C)恰有两个不可导点(D)至少有三个不可导点(8)设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数,"M N"表示"M的充分必要条件是N",则必有(A)F(x)是偶函数f(x)是奇函数(B)F(x)是奇函数f(x)是偶函数(C)F(x)是周期函数f(x)是周期函数(D)F(x)是单调函数f(x)是单调函数x y(9)设函数u(x,y)(x y)(x y)(t)dt,其中函数具有二阶导数,x y具有一阶导数,则必有(A)u2x22uy2(B)2ux22uy2(C)u2xy 2uy2(D)2uxy2ux2(10)设有三元方程xy z ln y e xz1,根据隐函数存在定理,存在点(0,1,1)的一个邻域,在此邻域内该方程(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z z(x,y)(B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x x(y,z)和z z(x,y)(C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数y y(x,z)和z z(x,y)(D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x x(y,z)和y y(x,z)(11)设是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为1,2αα,则1,2α, 1A(αα)线性无关的充分必要条件是12(A)10(B)02(C)10(D)20(12)设A为n(n2)阶可逆矩阵,交换A的第1行与第2行得矩阵B.A*,B*分别为A,B的伴随矩阵,则(A)交换A*的第1列与第2列得B*(B)交换A*的第1行与第2行得B*(C)交换A*的第1列与第2列得B*(D)交换A*的第1行与第2行得B*(13)设二维随机变量(X,Y)的概率分布为X 01Y00.4a1b0.1已知随机事件{X 0}与{XY 1}相互独立,则(A)a 0.2,b 0.3(B)a0.4,b0.1(C)a0.3,b0.2(D)a0.1,b0.4(14)设X ,,,(2)为来自总体N (0,1)的简单随机样本,X 为样本均值,S 21XX n2n为样本方差,则(A)nX ~N (0,1)(B)nS 2~2(n )(n1)X t n (C)~(1)S(D)(n 1)X21~F (1,n 1)nX2ii 2三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(15)(本题满分11分)设D{(x ,y )x 2y 22,x 0,y 0},[1x 2y 2]表示不超过1x 2y 2的最大整数.计算二重积分xy [1x 2y 2]dxdy .D(16)(本题满分12分)1求幂级数(1)1(1)nx2nn (2n 1)n1的收敛区间与和函数f (x ).(17)(本题满分11分)如图,曲线C 的方程为yf (x ),点(3,2)是它的一个拐点,直线l与l分12别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线,其交点为(2,4).设函数f(x)具有三3阶连续导数,计算定积分(x2x)f(x)dx.0(18)(本题满分12分)已知函数f (x )在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f (0)0,f (1)1.证明:(1)存在(0,1),使得f ()1.(2)存在两个不同的点,(0,1),使得f ()f () 1.(19)(本题满分12分)设函数(y )具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上,曲线积分(y )dx 2xydy 2xy的值恒为同一常数.(1)证明:对右半平面x0内的任意分段光滑简单闭曲线C ,有(y )dx 2xydy 2x y.(2)求函数(y )的表达式.(20)(本题满分9分)已知二次型f (x x xa x a xx ax x 的秩2.1,,)(1)(1)22(1)2222312312(1)求a 的值；(2)求正交变换xQ y ,把f (1,x ,x )化成标准形.x23(3)求方程f (x 1,x ,x )=023(21)(本题满分9分)123已知3阶矩阵A 的第一行是(a ,b ,c ),a ,b ,c 不全为零,矩阵246B(k 为常数),36k且AB O,求线性方程组A x0的通解.(22)(本题满分9分)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)10x1,0y2x其它求:(1)(X,Y)的边缘概率密度f(x),f(y)X.Y(2)Z2X Y的概率密度f(z).Z(23)(本题满分9分)设1,X,,X(n2)X为来自总体N(0,1)的简单随机样本,X为样本均值,记2nY iX X,i1,2,,n.iY的方差DY i,i1,2,,n.(2)Y与Y的协方差Cov(Y,Y).求:(1)i1n1n2005年考研数学一真题解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）（1）曲线x121y的斜渐近线方程为yx.2x124【分析】本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.【详解】因为a=f(x)xlim lim22xxx2x x12，b xlim f(x)ax limx2x2(x1)14，11于是所求斜渐近线方程为yx.24（2）微分方程xy2y x lnx满足111y(1)的解为.y x ln xx.939【分析】直接套用一阶线性微分方程y P(x)y Q(x)的通解公式：yP)dx[()](x Q x e P(x)dx dx Ce，再由初始条件确定任意常数即可.【详解】原方程等价为2y ln，y xx221dx dx于是通解为y e[ln x e dx C][x2lnxdxx xx2C]111=ln x x Cx，39x2111由y(得C=0，故所求解为y ln x x.1)x939（3）设函数x2y z122u(x,y,z)1，单位向量n{1,1,1}612183，则un=(1,2,3)3 3.【分析】函数u(x,y,z)沿单位向量n{cos,cos,cos}的方向导数为：unu xu u cos coscos yz因此，本题直接用上述公式即可.【详解】因为u x x 3，u yy 6，u zz9，于是所求方向导数为u n1111113=.3333333(1,2,3)（4）设是由锥面z x 2y 2与半球面zR 2x 2y 2围成的空间区域，是的整个边界的外侧，则2xdydz ydzdx zdxdy2(1)R 3.2【分析】本题是封闭曲面且取外侧，自然想到用高斯公式转化为三重积分，再用球面（或柱面）坐标进行计算即可.【详解】xdydzydzdx zdxdy3dxdydz2R2=32dsindd )R 3.42(12（5）设1,2,3均为3维列向量，记矩阵A1，(,24,39)(,)B1，,2323123123如果A 1，那么B2.【分析】将B写成用A右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】由题设，有B(1,24, 3923123123 )111=3(1,,)12，23149111于是有B A12312 2.149（6）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X,再从1,2,,X中任取一个数，记为Y,则P{Y2}=1348.【分析】本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式,且第一次试验的各种两两互不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分.【详解】P{Y2}=P{X1}P{Y2X1}+P{X2}P{Y2X2} +P{X3}P{Y2X3}+P{X4}P{Y2X4}111311=(0).423448二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）设函数f(x)lim n 1n x3n，则f(x)在(,)内(A)处处可导.(B)恰有一个不可导点.(C)恰有两个不可导点.(D)至少有三个不可导点.[C]【分析】先求出f(x)的表达式，再讨论其可导情形.【详解】当x1时，()lim131f x x；n nn当x1时，()lim111f x n；n1当x1时，()lim(11).f x x3n x33nnx即x3,x1,x,x1,f(x)可见f(x)仅在x=1时不可导，故应选(C).1,1x1,x,x 1.3（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，"M N"表示“M的充分必要条件是N”，则必有(A)F(x)是偶函数f(x)是奇函数.（B）F(x)是奇函数f(x)是偶函数.(C)F(x)是周期函数f(x)是周期函数.(D)F(x)是单调函数f(x)是单调函数.[A]【分析】本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.【详解】方法一：任一原函数可表示为F x)f(t)dt C(，且F(x)f(x).x当F(x)为偶函数时，有F(x)F(x)，于是F(x)(1)F(x)，即f(x)f(x)，也即f(x)f(x)，可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，则x 0f(为偶函数，从而t)dt F(x)f(t)dt C为偶函数，可见(A)为正确选项.x方法二：令f(x)=1,则取F(x)=x+1,排除(B)、(C);令f(x)=x,则取F(x)=12x,排除(D);故2应选(A).x y（9）设函数u(x,y)(x y)(x y)(t)dt,其中函数具有二阶导数，x y具有一阶导数，则必有(A)u2x22uy2.（B）u2x2u2y2.(C)u2xy 2uy2.(D)2uxy2ux2.[B]【分析】先分别求出2ux2、u2y2、2uxy，再比较答案即可.u【详解】因为(x y)(x y)(x y)(x y)，xu(x y)(x y)(x y)(x y)，y2u于是(x y )(x y )(x y )(xy )x2，u2(x y )(xy )(x y )(xx y y )，2u (xy )(x y )(x y )(xy2y )，可见有2u x22u y2，应选(B).（10）设有三元方程xy z ln y e xz 1，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻域，在此邻域内该方程(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x,y).(B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和z=z(x,y).(C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x,z)和z=z(x,y).(D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z).[D]【分析】本题考查隐函数存在定理，只需令F(x,y,z)=xy z ln y e xz1,分别求出三个偏导数F z,F,F，再考虑在点(0,1,1)处哪个偏导数不为0，则可确定相应的隐函数.x y【详解】令F(x,y,z)=xy z ln y e xz1,则F x e xz z，yzy，F z ln ye x，xzF xy且F(0,1,1)2，F(0,1,1)1，(0,1,1)0F.由此可确定相应的隐函数x=x(y,z)x y z和y=y(x,z).故应选(D).（11）设1,是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为1,，则，221A(1线性无关的充分必要条件是)2(A)10.(B)20.(C)10.(D)20.[B]【分析】讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可.【详解】方法一：令1k A()0k，则1212k1k k0，(k1k)k0.1211222211222由于1,线性无关，于是有2k k121 k220. 0,当20时，显然有k10,k0，此时，A(1)线性无关；反过来，若，2121A(1)线性无关，则必然有02(,否则，与A(1)=2121线性相关)，故应1选(B).1[,A()][,][,]，1方法二：由于1012111221221可见故应选(B).，A(1)线性无关的充要条件是10.1222（12）设A为n（n2）阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B,A*,B*分别为A,B的伴随矩阵，则(A)交换A*的第1列与第2列得B*.(B)交换A*的第1行与第2行得B*.(C)交换A*的第1列与第2列得B*.(D)交换A*的第1行与第2行得B.*[C]【分析】本题考查初等变换的概念与初等矩阵的性质，只需利用初等变换与初等矩阵的关系以及伴随矩阵的性质进行分析即可.【详解】由题设，存在初等矩阵E（交换n阶单位矩阵的第1行与第2行所得），使12得E A B B*(E A)A E A E E A E，即1*****12，于是1212121212A*E B,可见应选(C).*12（13）设二维随机变量(X,Y)的概率分布为X Y0100.4a1b0.1已知随机事件{X0}与{X Y1}相互独立，则(A)a=0.2,b=0.3(B)a=0.4,b=0.1(C)a=0.3,b=0.2(D)a=0.1,b=0.4[B]【分析】首先所有概率求和为1，可得a+b=0.5,其次，利用事件的独立性又可得一等式，由此可确定a,b的取值.【详解】由题设，知a+b=0.5又事件{X0}与{X Y 1}相互独立，于是有P {X0,XY 1}P {X 0}P {XY 1}，即a=(0.4a )(ab ),由此可解得a=0.4,b=0.1,故应选(B).（14）设X 1,X ,,X (n2)为来自总体N(0,1)的简单随机样本，X 为样本均值，S 22n为样本方差，则(A)nX ~N (0,1)(B)nS 2~2(n ).(t n n 1)X (C)~(1)S(n1)X2(D)1~F (1,n1).nX2ii 2[D ]【分析】利用正态总体抽样分布的性质和2分布、t 分布及F 分布的定义进行讨论即可.X【详解】由正态总体抽样分布的性质知，nX ~N (0,1)1n，可排除(A);XnX又~t (n1)SSn(n 1)S22，不能2，可排除(C);而(1)~(1)nSn12断定(B)是正确选项.nn因为1~(1),~(1)，且XXin X1~(1)与~(1)相互独22222222i nX i2i2X故应选(D).212(n1)X11F n立，于是~(1,1).n nX X22i ii2i2n1三、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分11分）设D{(x,y)x2y22,x0,y0}，[1x2y2]表示不超过1x2y2的最大整数.计算二重积分xy[1x2y2]dxdy.D【分析】首先应设法去掉取整函数符号，为此将积分区域分为两部分即可.【详解】令D{(,)0221,0,0}，1x yx y x yD{(,)1222,0,0}.2x yx yxy则xy [122]=x y dxdyxydxdy 2xydxdyDDD12d12sinr dr22cos3r drsincos d321137=.848（16）（本题满分12分）1求幂级数(1)n 1(1)x2nn (2n 1)n 1的收敛区间与和函数f(x).【分析】先求收敛半径，进而可确定收敛区间.而和函数可利用逐项求导得到.(n 1)(2n 1)1n (2n 1)【详解】因为lim1，所以当x 21时，原级数绝n1)(2)n (2n1)1(nn 1对收敛，当x 21时，原级数发散，因此原级数的收敛半径为1，收敛区间为（－1,1）记n 1(1)，S (x )x ,x(1,1)2n2n (2n1)n1则n1(1)，2n1S(x)x,x(1,1)2n1n11.n12n2S(x)(1)x,x(1,1)1x2n1由于S(0)0,S(0)0,1x x所以S(x)S(t)dt dt arctan x,1t2001S x S t dt tdt x x x x x()()arctan arctan ln(1).2200又2x(1)x,x(1, 1),n12n1x2n1从而f(x)2S(x)x2 1x2x22x arctan x ln(1x),x(1,1).21x2（17）（本题满分11分）如图，曲线C的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线l与l分别是曲线C在点12(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4).设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分3(x2x)f(x)dx.0【分析】题设图形相当于已知f(x)在x=0的函数值与导数值，在x=3处的函数值及一阶、二阶导数值.【详解】由题设图形知，f(0)=0,f(0)2;f(3)=2,f(3)2,f(3)0.由分部积分，知3333(x2x)f(x)dx(x2x)df(x)(x2x)f(x)f(x)(2x1)dx0000=x df x x f x f x dx333(21)()(21)()2()000=162[f(3)f(0)]20.（18）（本题满分12分）已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1.证明：（I）存在(0,1),使得f()1；（II）存在两个不同的点,(0,1)，使得f()f() 1.【分析】第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论.【详解】（I）令F(x)f(x)1x，则F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=-1<0,F(1)=1>0,于是由介值定理知，存在(0,1),使得F()0，即f()1.（II）在[0,]和[,1]上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点(0,), (,1)，使得f f(()0)f()，f()f(1)f1()(()1(于是f)()1.f f)1f11（19）（本题满分12分）设函数(y)具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分(y)dx2xydy24L2x y的值恒为同一常数.(y)dx2xydy4（I）证明：对右半平面x>0内的任意分段光滑简单闭曲线C，有2 0C2x y；（II）求函数(y)的表达式.【分析】证明（I）的关键是如何将封闭曲线C与围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线相联系，这可利用曲线积分的可加性将C进行分解讨论；而（II）中求(y)的表达式，显然应用积分与路径无关即可.Y【详解】（I）l1l2Co Xl3如图，将C分解为：1lC l，另作一条曲线l围绕原点且与C相接，则23()2xydyy)dx2xydy(y dx424C2x y2l2x yl31(y)dx2xydy24l l2x y230.（II）设(y)2xyP,Q2x y2x y2424，P,Q在单连通区域x0内具有一阶连续偏导(y)dx2xydy数，由（Ⅰ）知，曲线积分2x y24L 在该区域内与路径无关，故当x0时，总有Q Pxy.2425Q2y(2x y)4x x y2y242242x(2x y)(2x y),①P(y)(2x y)4(y)y2x(y)(y)y4 (y)y243243y(2x y)(2x y)242242.②比较①、②两式的右端，得(y)2y,(y)y4(y)y2y.435③④由③得(y)y2c，将(y)代入④得2y54cy32y5,所以c0，从而(y)y2.（20）（本题满分9分）已知二次型f的秩为2.(x1,x,x)(1a)x(1a)x2x2(1a)x x2222312312（I）求a的值；（II）求正交变换x Qy，把(x1,x,x)f化成标准形；23（III）求方程f(1,x,x)=0的解.x23【分析】（I）根据二次型的秩为2，可知对应矩阵的行列式为0，从而可求a的值；（II）是常规问题，先求出特征值、特征向量，再正交化、单位化即可找到所需正交变换；（III）利用第二步的结果，通过标准形求解即可.【详解】（I）二次型对应矩阵为a a011A1a1a0，0021a1a0由二次型的秩为2，知1a a0A10，得a=0.002（II）这里110A110，可求出其特征值为2, 0.123 00210解(2E A)x0，得特征向量为：1，,012011解(0E A )x 0，得特征向量为：.130由于已经正交，直接将1,，1,单位化，得：22310111,0,232112110令Q 1，即为所求的正交变换矩阵，由x=Qy，可化原二次型为标准形：23f (1x x =222.x ,1y ,)y2232（III）由(x 1,x ,x )1210,0,（k 为任意常数）.f =2y 2y 20，得y y y k232230c 从而所求解为：x=Qy=，其中c 为任意常数.0k 1c233k0（21）（本题满分9分）已知3阶矩阵A的第一行是(a,b,c),a,b,c不全为零，矩阵B12324636（k为常数），k且AB=O,求线性方程组Ax=0的通解.【分析】AB=O,相当于告之B的每一列均为Ax=0的解，关键问题是Ax=0的基础解系所含解向量的个数为多少，而这又转化为确定系数矩阵A的秩.【详解】由AB=O知，B的每一列均为Ax=0的解，且r(A)r(B) 3.（1）若k9,则r(B)=2,于是r(A)1,显然r(A)1,故r(A)=1.可见此时Ax=0的基础解系所含解向量的个数为3-r(A)=2,矩阵B的第一、第三列线性无关，可作为其基础解系，13故Ax=0的通解为：126,1,2x kk为任意常数.k2k3k(2)若k=9，则r(B)=1,从而1r(A) 2.1）若r(A)=2,则Ax=0的通解为：x 1为任意常数.k 1,2k132）若r(A)=1,则Ax=0的同解方程组为：ax0,不妨设a 0,1bx cx23则其通解为x c b aa 1k k k 为任意常数.k 10,,21201（22）（本题满分9分）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f (x ,y )1,00,x 1,0y 其他.2x ,求：（I）(X,Y)的边缘概率密度f (x ),f (y )X ；Y（II）Z 2X Y 的概率密度f (z ).Z【分析】求边缘概率密度直接用公式即可；而求二维随机变量函数的概率密度，一般用分布函数法，即先用定义求出分布函数，再求导得到相应的概率密度.【详解】（I）关于X 的边缘概率密度X =dy x2x1,0f(x)1,,f(x,)=y dy其他.0,=2x,x 1, 0,其他.关于Y的边缘概率密度Y= f(y)f(x,y)dx=dx y1,02,y2其他.0,=y y2,1,2其他. 0,（II）令F Z(z)P{Z z}P{2X Y z}，1）当z0时，F(z)P{2X Y z}0Z；2）当0z 2时，F (z )P {2X Y z }Z 1=z z 2;43)当z 2时，F (z )P {2XY z } 1.Z 即分布函数为：F Z 0,1(z )z z 2,041,zz z0,2.2,故所求的概率密度为：f Z (z )1120,0z ,z 其他.2,（23）（本题满分9分）设1,X ,,X (n 2)X 为来自总体N(0,1)的简单随机样本，X 为样本均值，记2n Y i X X ,i 1,2,,n .i 求：（I）Y 的方差DY ini,1,2,,；i （II）Y 与Y 的协方差Cov (1,Y n ).Y 1n 【分析】先将Y 表示为相互独立的随机变量求和，再用方差的性质进行计算即可；求iY 与Y 的协方差(1,Y n )Cov Y ，本质上还是数学期望的计算，同样应注意利用数学期望的运1n算性质.【详解】由题设，知X 1,X ,,X (n 2)相互独立，且2nEX i，EX0.0,DX1(i1,2,,n)i11n（I）DY i D X X)X](D[(1)Xi i jn nj i121nj=(1)DX iDXn n2j i(n1)1n12=(n1).n n n22（II）(Y1,Y n)E[(Y EY)(Y n EY n)]Cov11=(1Y n)E[(X X)(X X)]E Y1n=(n2)E1X X X X X XX1n=n2E(X1X)2E(X X)EX12n=0E X1X X]DX(EX)2 [2j1nj2211=.n n n。
2005考研数学一真题及答案解析
2005年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1)曲线122+=x x y 的斜渐近线方程为 _____________.(2)微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为____________.(3)设函数181261),,(222z y x z y x u +++=,单位向量}1,1,1{31=n ρ,则)3,2,1(nu∂∂=.________.(4)设Ω是由锥面22y x z +=与半球面222y x R z --=围成的空间区域,∑是Ω的整个边界的外侧,则⎰⎰∑=++zdxdy ydzdx xdydz ____________.(5)设123,,ααα均为3维列向量,记矩阵123(,,)=A ααα,123123123(,24,39)=++++++B ααααααααα,如果1=A ,那么=B .(6)从数1,2,3,4中任取一个数,记为X , 再从X ,,2,1Λ中任取一个数,记为Y , 则}2{=Y P =____________.二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)设函数n n n x x f 31lim )(+=∞→,则()f x 在),(+∞-∞内(A)处处可导 (B)恰有一个不可导点(C)恰有两个不可导点 (D)至少有三个不可导点(8)设()F x 是连续函数()f x 的一个原函数,""N M ⇔表示"M 的充分必要条件是",N 则必有(A)()F x 是偶函数()f x ⇔是奇函数 (B)()F x 是奇函数()f x ⇔是偶函数(C)()F x 是周期函数()f x ⇔是周期函数 (D)()F x 是单调函数()f x ⇔是单调函数(9)设函数⎰+-+-++=yx y x dt t y x y x y x u )()()(),(ψϕϕ, 其中函数ϕ具有二阶导数,ψ 具有一阶导数,则必有(A)2222y ux u ∂∂-=∂∂(B)2222yu x u ∂∂=∂∂(C)222yu y x u ∂∂=∂∂∂(D)222x uy x u ∂∂=∂∂∂ (10)设有三元方程ln e 1xz xy z y -+=,根据隐函数存在定理,存在点(0,1,1)的一个邻域,在此邻域内该方程(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数(,)z z x y = (B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)z z x y = (C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)y y x z =和(,)z z x y = (D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)y y x z =(11)设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为12,αα,则1α,12()+A αα线性无关的充分必要条件是(A)01≠λ (B)02≠λ (C)01=λ (D)02=λ(12)设A 为(2)n n ≥阶可逆矩阵,交换A 的第1行与第2行得矩阵**.,B A B 分别为,A B 的伴随矩阵,则(A)交换*A 的第1列与第2列得*B (B)交换*A 的第1行与第2行得*B(C)交换*A 的第1列与第2列得*-B (D)交换*A 的第1行与第2行得*-B(13)设二维随机变量(,)X Y 的概率分布为已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立,则(A)0.2,0.3a b == (B)0.4,0.1a b == (C)0.3,0.2a b == (D)0.1,0.4a b ==(14)设)2(,,,21≥n X X X n Λ为来自总体(0,1)N 的简单随机样本,X 为样本均值,2S 为样本方差,则(A))1,0(~N X n (B)22~()nS n χ(C))1(~)1(--n t SXn (D)2122(1)~(1,1)nii n X F n X=--∑三 、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分11分)设}0,0,2),{(22≥≥≤+=y x y x y x D ,]1[22y x ++表示不超过221y x ++的最大整数. 计算二重积分⎰⎰++Ddxdy y x xy .]1[22(16)(本题满分12分) 求幂级数∑∞=--+-121))12(11()1(n n n x n n 的收敛区间与和函数()f x .(17)(本题满分11分)如图,曲线C 的方程为()y f x =,点(3,2)是它的一个拐点,直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线,其交点为(2,4).设函数()f x 具有三阶连续导数,计算定积分⎰'''+32.)()(dx x f x x(18)(本题满分12分)已知函数()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且(0)0,(1)1f f ==.证明:(1)存在),1,0(∈ξ 使得ξξ-=1)(f .(2)存在两个不同的点)1,0(,∈ζη,使得.1)()(=''ζηf f(19)(本题满分12分)设函数)(y ϕ具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上,曲线积分24()22Ly dx xydyx yφ++⎰Ñ的值恒为同一常数.(1)证明:对右半平面0x >内的任意分段光滑简单闭曲线,C 有24()202Cy dx xydyx y φ+=+⎰Ñ.(2)求函数)(y ϕ的表达式.(20)(本题满分9分)已知二次型21232221321)1(22)1()1(),,(x x a x x a x a x x x f +++-+-=的秩为2.(1)求a 的值；(2)求正交变换x y =Q ,把),,(321x x x f 化成标准形. (3)求方程),,(321x x x f =0的解.(21)(本题满分9分)已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零,矩阵12324636k ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B (k 为常数),且=AB O ,求线性方程组0x =A 的通解.(22)(本题满分9分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(,)f x y =101,02x y x <<<<其它求:(1)(,)X Y 的边缘概率密度)(),(y f x f Y X . (2)Y X Z -=2的概率密度).(z f Z(23)(本题满分9分)设)2(,,,21>n X X X n Λ为来自总体(0,1)N 的简单随机样本,X 为样本均值,记.,,2,1,n i X X Y i i Λ=-=求:(1)i Y 的方差n i DY i ,,2,1,Λ=. (2)1Y 与n Y 的协方差1Cov(,).n Y Y2005年考研数学一真题解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）曲线122+=x x y 的斜渐近线方程为 .4121-=x y【分析】 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.【详解】 因为a=212lim )(lim22=+=∞→∞→x x x x x f x x ， []41)12(2lim)(lim -=+-=-=∞→∞→x x ax x f b x x ，于是所求斜渐近线方程为.4121-=x y （2）微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为.91ln 31x x x y -=. 【分析】直接套用一阶线性微分方程)()(x Q y x P y =+'的通解公式：⎰+⎰⎰=-])([)()(C dx e x Q e y dxx P dx x P ， 再由初始条件确定任意常数即可.【详解】 原方程等价为x y xy ln 2=+'， 于是通解为 ⎰⎰+⋅=+⎰⋅⎰=-]ln [1]ln [2222C xdx x xC dx ex ey dxx dxx =2191ln 31x C x x x +-， 由91)1(-=y 得C=0，故所求解为.91ln 31x x x y -=（3）设函数181261),,(222z y x z y x u +++=，单位向量}1,1,1{31=n ρ，则)3,2,1(nu∂∂=33. 【分析】 函数u(x,y,z)沿单位向量γβαcos ,cos ,{cos =n ρ}的方向导数为：γβαcos cos cos zu y u x u n u ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂因此，本题直接用上述公式即可.【详解】 因为3x x u =∂∂，6y y u =∂∂，9zz u =∂∂，于是所求方向导数为)3,2,1(nu ∂∂=.33313131313131=⋅+⋅+⋅ （4）设Ω是由锥面22y x z +=与半球面222y x R z --=围成的空间区域，∑是Ω的整个边界的外侧，则⎰⎰∑=++zdxdy ydzdx xdydz 3)221(2R -π. 【分析】本题∑是封闭曲面且取外侧，自然想到用高斯公式转化为三重积分，再用球面（或柱面）坐标进行计算即可.【详解】⎰⎰∑=++zdxdy ydzdx xdydz ⎰⎰⎰Ωdxdydz 3=.)221(2sin 3320402R d d d R⎰⎰⎰-=πππθϕϕρρ （5）设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵),,(321ααα=A ，)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ， 如果1=A ，那么=B 2 .【分析】 将B 写成用A 右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】 由题设，有)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡941321111),,(321ααα， 于是有 .221941321111=⨯=⋅=A B（6）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从X ,,2,1Λ中任取一个数，记为Y , 则}2{=Y P =4813. 【分析】 本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式, 且第一次试验的各种两两互不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分.【详解】 }2{=Y P =}12{}1{===X Y P X P +}22{}2{===X Y P X P +}32{}3{===X Y P X P +}42{}4{===X Y P X P =.4813)4131210(41=+++⨯ 二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）设函数n nn xx f 31lim )(+=∞→，则f(x)在),(+∞-∞内(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ C ] 【分析】 先求出f(x)的表达式，再讨论其可导情形. 【详解】 当1<x 时，11lim )(3=+=∞→n nn xx f ；当1=x 时，111lim )(=+=∞→n n x f ；当1>x 时，.)11(lim )(3133x xx x f nnn =+=∞→即.1,11,1,,1,)(33>≤≤--<⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x x x f 可见f(x)仅在x=1±时不可导，故应选(C).（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ⇔表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有(A) F(x)是偶函数⇔f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数⇔f(x)是偶函数.(C) F(x)是周期函数⇔f(x)是周期函数.(D) F(x)是单调函数⇔f(x)是单调函数. [ A ] 【分析】 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.【详解】 方法一：任一原函数可表示为⎰+=xC dt t f x F 0)()(，且).()(x f x F ='当F(x)为偶函数时，有)()(x F x F =-，于是)()1()(x F x F '=-⋅-'，即 )()(x f x f =--，也即)()(x f x f -=-，可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，则⎰xdt t f 0)(为偶函数，从而⎰+=xC dt t f x F 0)()(为偶函数，可见(A)为正确选项.方法二：令f(x)=1, 则取F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令f(x)=x, 则取F(x)=221x , 排除(D); 故应选(A).（9）设函数⎰+-+-++=yx yx dt t y x y x y x u )()()(),(ψϕϕ, 其中函数ϕ具有二阶导数，ψ 具有一阶导数，则必有(A) 2222y u x u ∂∂-=∂∂. （B ） 2222yu x u ∂∂=∂∂. (C) 222yuy x u ∂∂=∂∂∂. (D)222x u y x u ∂∂=∂∂∂. [ B ] 【分析】 先分别求出22x u ∂∂、22yu∂∂、y x u ∂∂∂2，再比较答案即可.【详解】 因为)()()()(y x y x y x y x xu--++-'++'=∂∂ψψϕϕ，)()()()(y x y x y x y x yu-+++-'-+'=∂∂ψψϕϕ， 于是 )()()()(22y x y x y x y x x u-'-+'+-''++''=∂∂ψψϕϕ，)()()()(2y x y x y x y x yx u-'++'+-''-+''=∂∂∂ψψϕϕ， )()()()(22y x y x y x y x yu-'-+'+-''++''=∂∂ψψϕϕ， 可见有2222y u x u ∂∂=∂∂，应选(B).（10）设有三元方程1ln =+-xzey z xy ，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻域，在此邻域内该方程(A) 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x,y).(B) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和z=z(x,y). (C) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x,z)和z=z(x,y).(D) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z). [ D ]【分析】 本题考查隐函数存在定理，只需令F(x,y,z)=1ln -+-xzey z xy , 分别求出三个偏导数y x z F F F ,,，再考虑在点(0,1,1)处哪个偏导数不为0，则可确定相应的隐函数.【详解】 令F(x,y,z)=1ln -+-xzey z xy , 则z e y F xzx +='， yz x F y -='，x e y F xzz +-='ln ， 且 2)1,1,0(='x F ，1)1,1,0(-='y F ，0)1,1,0(='z F . 由此可确定相应的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z). 故应选(D).（11）设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,αα，则1α，)(21αα+A 线性无关的充分必要条件是(A) 01≠λ. (B) 02≠λ. (C) 01=λ. (D) 02=λ. [ B ] 【分析】 讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可. 【详解】 方法一：令 0)(21211=++αααA k k ，则022211211=++αλαλαk k k ， 0)(2221121=++αλαλk k k . 由于21,αα线性无关，于是有⎩⎨⎧==+.0,022121λλk k k当02≠λ时，显然有0,021==k k ，此时1α，)(21αα+A 线性无关；反过来，若1α，)(21αα+A 线性无关，则必然有02≠λ(,否则，1α与)(21αα+A =11αλ线性相关)，故应选(B).方法二： 由于 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+=+21212211121101],[],[)](,[λλαααλαλααααA ， 可见1α，)(21αα+A 线性无关的充要条件是.001221≠=λλλ故应选(B).（12）设A 为n （2≥n ）阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得矩阵B, **,B A 分别为A,B 的伴随矩阵，则(A) 交换*A 的第1列与第2列得*B . (B) 交换*A 的第1行与第2行得*B .(C) 交换*A 的第1列与第2列得*B -. (D) 交换*A 的第1行与第2行得*B -. [C ]【分析】 本题考查初等变换的概念与初等矩阵的性质，只需利用初等变换与初等矩阵的关系以及伴随矩阵的性质进行分析即可.【详解】 由题设，存在初等矩阵12E （交换n 阶单位矩阵的第1行与第2行所得），使得 B A E =12，于是 12*11212*12***12*)(E A E E A E A A E B -=⋅===-，即*12*B E A -=,可见应选(C).（13）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立，则(A) a=0.2, b=0.3 (B) a=0.4, b=0.1(C) a=0.3, b=0.2 (D) a=0.1, b=0.4 [ B ] 【分析】 首先所有概率求和为1，可得a+b=0.5, 其次，利用事件的独立性又可得一等式，由此可确定a,b 的取值.【详解】 由题设，知 a+b=0.5又事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立，于是有}1{}0{}1,0{=+===+=Y X P X P Y X X P ， 即 a=))(4.0(b a a ++, 由此可解得 a=0.4, b=0.1, 故应选(B).（14）设)2(,,,21≥n X X X n Λ为来自总体N(0,1)的简单随机样本，X 为样本均值，2S 为样本方差，则(A) )1,0(~N X n (B) ).(~22n nS χ(C) )1(~)1(--n t SXn (D) ).1,1(~)1(2221--∑=n F X X n n i i [ D ] 【分析】 利用正态总体抽样分布的性质和2χ分布、t 分布及F 分布的定义进行讨论即可.【详解】 由正态总体抽样分布的性质知，)1,0(~10N X n nX =-，可排除(A); 又)1(~0-=-n t SX n nS X ，可排除(C); 而)1(~)1(1)1(2222--=-n S n S n χ，不能断定(B)是正确选项.因为 ∑=-n i in X X222221)1(~),1(~χχ，且∑=-ni i n X X 222221)1(~)1(~χχ与相互独立，于是).1,1(~)1(1122212221--=-∑∑==n F XX n n XX ni ini i故应选(D).三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （15）（本题满分11分） 设}0,0,2),{(22≥≥≤+=y x y x y x D ，]1[22y x ++表示不超过221y x ++的最大整数. 计算二重积分⎰⎰++Ddxdy y x xy .]1[22 【分析】 首先应设法去掉取整函数符号，为此将积分区域分为两部分即可.【详解】 令 }0,0,10),{(221≥≥<+≤=y x y x y x D ， }0,0,21),{(222≥≥≤+≤=y x y x y x D .则⎰⎰++Ddxdy y x xy ]1[22=⎰⎰⎰⎰+122D D xydxdy xydxdy dr r d dr r d ⎰⎰⎰⎰+=20213132cos sin 2cos sin ππθθθθθθ=.834381=+ （16）（本题满分12分） 求幂级数∑∞=--+-121))12(11()1(n n n x n n 的收敛区间与和函数f(x).【分析】 先求收敛半径，进而可确定收敛区间. 而和函数可利用逐项求导得到.【详解】 因为11)12()12()12)(1(1)12)(1(lim=+--⨯+++++∞→n n n n n n n n n ，所以当21x <时，原级数绝对收敛，当21x >时，原级数发散，因此原级数的收敛半径为1，收敛区间为（－1,1）记 121(1)(),(1,1)2(21)n nn S x x x n n -∞=-=∈--∑，则 1211(1)(),(1,1)21n n n S x x x n -∞-=-'=∈--∑，122211()(1),(1,1)1n n n S x x x x ∞--=''=-=∈-+∑. 由于 (0)0,(0)0,S S '==所以 201()()arctan ,1xxS x S t dt dt x t '''===+⎰⎰2001()()arctan arctan ln(1).2x x S x S t dt tdt x x x '===-+⎰⎰又21221(1),(1,1),1n nn x xx x ∞-=-=∈-+∑ 从而 22()2()1x f x S x x =++2222arctan ln(1),(1,1).1x x x x x x=-++∈-+ （17）（本题满分11分）如图，曲线C 的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分⎰'''+32.)()(dx x f x x【分析】 题设图形相当于已知f(x)在x=0的函数值与导数值，在x=3处的函数值及一阶、二阶导数值.【详解】 由题设图形知，f(0)=0, 2)0(='f ; f(3)=2, .0)3(,2)3(=''-='f f 由分部积分，知⎰⎰⎰+''-''+=''+='''+330302232)12)(()()()()()()(dx x x f x f x x x f d x x dx x f x x=dx x f x f x x f d x ⎰⎰'+'+-='+-3330)(2)()12()()12(=.20)]0()3([216=-+f f（18）（本题满分12分）已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明： （I ）存在),1,0(∈ξ 使得ξξ-=1)(f ；（II ）存在两个不同的点)1,0(,∈ζη，使得.1)()(=''ζηf f【分析】 第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论.【详解】 （I ） 令x x f x F +-=1)()(，则F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=-1<0, F(1)=1>0,应用零点定理，存在),1,0(∈ξ 使得0)(=ξF ，即ξξ-=1)(f .（II ） 在],0[ξ和]1,[ξ上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点)1,(),,0(ξζξη∈∈，使得0)0()()(--='ξξηf f f ，ξξζ--='1)()1()(f f f于是 .1111)(1)()()(=-⋅-=--⋅=''ξξξξξξξξζηf f f f （19）（本题满分12分）设函数)(y ϕ具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上，曲线积分⎰++Ly x xydydx y 4222)(ϕ的值恒为同一常数.（I ）证明：对右半平面x>0内的任意分段光滑简单闭曲线C ，有022)(42=++⎰Cyx xydydx y ϕ；（II ）求函数)(y ϕ的表达式.【分析】 证明（I ）的关键是如何将封闭曲线C 与围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线相联系，这可利用曲线积分的可加性将C 进行分解讨论；而（II ）中求)(y ϕ的表达式，显然应用积分与路径无关即可.【详解】 （I ）如图，将C 分解为：21l l C +=，另作一条曲线3l=++⎰Cy x xydydx y 4222)(ϕ-++⎰+314222)(l l y x xydydx y ϕ022)(3242=++⎰+l l y x xydydx y ϕ.（II ） 设2424()2,22y xyP Q x yx yϕ==++，,P Q 在单连通区域0x >内具有一阶连续偏导数，由（Ⅰ）知，曲线积分24()22Ly dx xydyx y ϕ++⎰在该区域内与路径无关，故当0x >时，总有Q Px y∂∂=∂∂. 24252422422(2)4242,(2)(2)Q y x y x xy x y y x x y x y ∂+--+==∂++g ①243243242242()(2)4()2()()4().(2)(2)P y x y y y x y y y y y y x y x y ϕϕϕϕϕ'''∂+-+-==∂++ ② 比较①、②两式的右端，得435()2,()4()2.y y y y y y y ϕϕϕ'=-⎧⎨'-=⎩ 由③得2()y y c ϕ=-+，将()y ϕ代入④得 535242,y cy y -= 所以0c =，从而2().y y ϕ=-（20）（本题满分9分）已知二次型21232221321)1(22)1()1(),,(x x a x x a x a x x x f +++-+-=的秩为2.（I ） 求a 的值；（II ） 求正交变换Qy x =，把),,(321x x x f 化成标准形； （III ） 求方程),,(321x x x f =0的解.【分析】 （I ）根据二次型的秩为2，可知对应矩阵的行列式为0，从而可求a 的值；（II ）是常规问题，先求出特征值、特征向量，再正交化、单位化即可找到所需正交变换； （III ）利用第二步的结果，通过标准形求解即可.【详解】 （I ） 二次型对应矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++-=200011011a a a a A ， 由二次型的秩为2，知 020011011=-++-=aa a a A ，得a=0. （II ） 这里⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200011011A ， 可求出其特征值为0,2321===λλλ. 解 0)2(=-x A E ，得特征向量为：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100,01121αα，解 0)0(=-x A E ，得特征向量为：.0113⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=α由于21,αα已经正交，直接将21,αα，3α单位化，得：③ ④⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01121,100,01121321ηηη令[]321ααα=Q ，即为所求的正交变换矩阵，由x=Qy ，可化原二次型为标准形：),,(321x x x f =.222221y y + （III ） 由),,(321x x x f ==+222122y y 0，得k y y y ===321,0,0（k 为任意常数）.从而所求解为：x=Qy=[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0003321c c k k ηηηη，其中c 为任意常数. （21）（本题满分9分）已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零，矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k B 63642321（k 为常数），且AB=O, 求线性方程组Ax=0的通解.【分析】 AB=O, 相当于告之B 的每一列均为Ax=0的解，关键问题是Ax=0的基础解系所含解向量的个数为多少，而这又转化为确定系数矩阵A 的秩.【详解】 由AB=O 知，B 的每一列均为Ax=0的解，且.3)()(≤+B r A r（1）若k 9≠, 则r(B)=2, 于是r(A)1≤, 显然r(A)1≥, 故r(A)=1. 可见此时Ax=0的基础解系所含解向量的个数为3-r(A)=2, 矩阵B 的第一、第三列线性无关，可作为其基础解系，故Ax=0 的通解为：2121,,63321k k k k k x ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=为任意常数.(2) 若k=9，则r(B)=1, 从而.2)(1≤≤A r1） 若r(A)=2, 则Ax=0的通解为：11,321k k x ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=为任意常数.2） 若r(A)=1,则Ax=0 的同解方程组为：0321=++cx bx ax ,不妨设0≠a ,则其通解为2121,,1001k k a c k a b k x ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=为任意常数.（22）（本题满分9分）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 .,20,10,0,1),(其他x y x y x f <<<<⎩⎨⎧=求：（I ） (X,Y)的边缘概率密度)(),(y f x f Y X ； （II ）Y X Z -=2的概率密度).(z f Z【分析】 求边缘概率密度直接用公式即可；而求二维随机变量函数的概率密度，一般用分布函数法，即先用定义求出分布函数，再求导得到相应的概率密度.【详解】 （I ） 关于X 的边缘概率密度)(x f X =⎰+∞∞-dy y x f ),(=.,10,0,20其他<<⎪⎩⎪⎨⎧⎰x dy x=.,10,0,2其他<<⎩⎨⎧x x关于Y 的边缘概率密度)(y f Y =⎰+∞∞-dx y x f ),(=.,20,0,12其他<<⎪⎩⎪⎨⎧⎰y dx y=.,20,0,21其他<<⎪⎩⎪⎨⎧-y y （II ） 令}2{}{)(z Y X P z Z P z F Z ≤-=≤=， 1） 当0<z 时，0}2{)(=≤-=z Y X P z F Z ；2） 当20<≤z 时，}2{)(z Y X P z F Z ≤-= =241z z -; 3) 当2≥z 时，.1}2{)(=≤-=z Y X P z F Z即分布函数为： .2,20,0,1,41,0)(2≥<≤<⎪⎩⎪⎨⎧-=z z z z z z F Z故所求的概率密度为：.,20,0,211)(其他<<⎪⎩⎪⎨⎧-=z z z f Z （23）（本题满分9分）设)2(,,,21>n X X X n Λ为来自总体N(0,1)的简单随机样本，X 为样本均值，记.,,2,1,n i X X Y i i Λ=-=求：（I ） i Y 的方差n i DY i ,,2,1,Λ=； （II ）1Y 与n Y 的协方差).,(1n Y Y Cov【分析】 先将i Y 表示为相互独立的随机变量求和，再用方差的性质进行计算即可；求1Y 与n Y 的协方差),(1n Y Y Cov ，本质上还是数学期望的计算，同样应注意利用数学期望的运算性质.【详解】 由题设，知)2(,,,21>n X X X n Λ相互独立，且),,2,1(1,0n i DX EX i i Λ===，.0=X E（I ）∑≠--=-=ni j j i i i X n X n D X X D DY ]1)11[()(=∑≠+-nij ji DXnDX n 221)11(=.1)1(1)1(222n n n n n n -=-⋅+- （II ） )])([(),(111n n n EY Y EY Y E Y Y Cov --= =)])([()(11X X X X E Y Y E n n --==)(211X X X X X X X E n n +--=211)(2)(X E X X E X X E n +-=22121)(][20X E X D X X X E n nj j +++-∑==.112nn n -=+-。
2005年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学
2005年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理工农医类）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷1至2页，第II卷3至9页，共150分。
考试时间120分钟。
考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题共40分）注意事项：1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试卷上。
一、本大题共8小题．每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）设全集U=R，集合M={x| x>1，P={x| x2>1}，则下列关系中正确的是（A）M＝P（B）P M（C）M P（D）M P=∅1”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m－2)x+(m+2)y－3=0（2）“m=2相互垂直”的（A）充分必要条件（B）充分而不必要条件（C）必要而不充分条件（D）既不充分也不必要条件⊥，则向量a与b的夹角为（3）若||1,||2,===+，且c aa b c a b（A）30°（B）60°（C）120°（D）150°（4）从原点向圆x2＋y2－12y＋27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为（A）π（B）2π（C）4π（D）6π（5）对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是（A）sin(α+β)>sinα+sinβ（B）sin(α+β)>cosα+cosβ（C）cos(α+β)<sinα＋sinβ（D）cos(α+β)<cosα＋cosβ（6）在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四的是个结论中不成立．．．（A ）BC //平面PDF （B ）DF ⊥平面PA E（C ）平面PDF ⊥平面ABC （D ）平面PAE ⊥平面 ABC（7）北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为（A ）124414128C C C （B ）124414128C A A （C ）12441412833C C C A （D ）12443141283C C C A （8）函数f (x（A ）在[0,),(,]22πππ上递增，在33[,),(,2]22ππππ上递减 （B ）在3[0,),[,)22πππ上递增，在3(,],(,2]22ππππ上递减 （C ）在3(,],(,2]22ππππ上递增，在3[0,),[,)22πππ上递减 （D ）在33[,),(,2]22ππππ上递增，在[0,),(,]22πππ上递减二、填空题：本大题共6小题；每小题5分，共30分。
北京大学2005数学分析试题及解答
f (x)
=
sin2
x
−
sin x x2
1
−
sin x x2
,
lim sup f (x) = 1, lim inf f (x) = 0.
x→+∞
x→+∞
2. (1) 因为 f ′(x) 在 (a, b) 上有界, 可设 |f ′(x)| ⩽ L. ∀ x, y ∈ (a, b),
2
22
(2k)!
2
(2k + 1)!
k=0
k=0
= 1 − cos 2 ∑ ∞ (−1)k22k x4k + sin 2 ∑ ∞ (−1)k22k+1 x4k+2.
22
(2k)!
2
(2k + 1)!
k=0
k=0
(2)
0, cos 2 (−1)k22k
f
(n)(0)
=
− sin
(2) 设 f (x) 在开区间 (a, b) (−∞ < a < b < +∞) 上可微且一致连续, 试问 f ′(x) 在 (a, b) 上是否一定有 界. (若肯定回答, 请证明; 若否定回答, 举例说明)
3. 设 f (x) = sin2 (x2 + 1) ,
(1) 求 f (x) 的麦克劳林展开式. (2) 求 f (n)(0), n = 1, 2, 3, · · ·.
4. 试作出定义在 R2 中的一个函数 f (x, y), 使得它在原点处同时满足以下三个条件:
(1) f (x, y) 的两个偏导数都存在;
(2) 任何方向极限都存在;
(3) 在原点处不连续. ∫
2005考研数学一真题及答案解析
2005年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1)曲线122+=x x y 的斜渐近线方程为 _____________.(2)微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为____________.(3)设函数181261),,(222z y x z y x u +++=,单位向量}1,1,1{31=n ,则)3,2,1(nu∂∂=.________.(4)设Ω是由锥面22y x z +=与半球面222y x R z --=围成的空间区域,∑是Ω的整个边界的外侧,则⎰⎰∑=++zdxdy ydzdx xdydz ____________.(5)设123,,ααα均为3维列向量,记矩阵123(,,)=A ααα,123123123(,24,39)=++++++B ααααααααα,如果1=A ,那么=B .(6)从数1,2,3,4中任取一个数,记为X , 再从X ,,2,1 中任取一个数,记为Y , 则}2{=Y P =____________.二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)设函数n n n x x f 31lim )(+=∞→,则()f x 在),(+∞-∞内(A)处处可导 (B)恰有一个不可导点(C)恰有两个不可导点 (D)至少有三个不可导点(8)设()F x 是连续函数()f x 的一个原函数,""N M ⇔表示"M 的充分必要条件是",N 则必有(A)()F x 是偶函数()f x ⇔是奇函数 (B)()F x 是奇函数()f x ⇔是偶函数(C)()F x 是周期函数()f x ⇔是周期函数 (D)()F x 是单调函数()f x ⇔是单调函数(9)设函数⎰+-+-++=yx y x dt t y x y x y x u )()()(),(ψϕϕ, 其中函数ϕ具有二阶导数,ψ 具有一阶导数,则必有(A)2222y ux u ∂∂-=∂∂(B)2222yu x u ∂∂=∂∂(C)222yu y x u ∂∂=∂∂∂(D)222x uy x u ∂∂=∂∂∂ (10)设有三元方程ln e 1xz xy z y -+=,根据隐函数存在定理,存在点(0,1,1)的一个邻域,在此邻域内该方程(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数(,)z z x y = (B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)z z x y = (C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)y y x z =和(,)z z x y = (D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)y y x z =(11)设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为12,αα,则1α,12()+A αα线性无关的充分必要条件是(A)01≠λ (B)02≠λ (C)01=λ (D)02=λ(12)设A 为(2)n n ≥阶可逆矩阵,交换A 的第1行与第2行得矩阵**.,B A B 分别为,A B 的伴随矩阵,则(A)交换*A 的第1列与第2列得*B (B)交换*A 的第1行与第2行得*B(C)交换*A 的第1列与第2列得*-B (D)交换*A 的第1行与第2行得*-B(13)设二维随机变量(,)X Y 的概率分布为已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立,则(A)0.2,0.3a b == (B)0.4,0.1a b == (C)0.3,0.2a b == (D)0.1,0.4a b ==(14)设)2(,,,21≥n X X X n 为来自总体(0,1)N 的简单随机样本,X 为样本均值,2S 为样本方差,则(A))1,0(~N X n (B)22~()nS n χ(C))1(~)1(--n t SXn (D)2122(1)~(1,1)nii n X F n X=--∑三 、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分11分)设}0,0,2),{(22≥≥≤+=y x y x y x D ,]1[22y x ++表示不超过221y x ++的最大整数. 计算二重积分⎰⎰++Ddxdy y x xy .]1[22(16)(本题满分12分) 求幂级数∑∞=--+-121))12(11()1(n n n x n n 的收敛区间与和函数()f x .(17)(本题满分11分)如图,曲线C 的方程为()y f x =,点(3,2)是它的一个拐点,直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线,其交点为(2,4).设函数()f x 具有三阶连续导数,计算定积分⎰'''+32.)()(dx x f x x(18)(本题满分12分)已知函数()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且(0)0,(1)1f f ==. 证明:(1)存在),1,0(∈ξ 使得ξξ-=1)(f .(2)存在两个不同的点)1,0(,∈ζη,使得.1)()(=''ζηf f(19)(本题满分12分)设函数)(y ϕ具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上,曲线积分24()22Ly dx xydyx y φ++⎰的值恒为同一常数.(1)证明:对右半平面0x >内的任意分段光滑简单闭曲线,C 有24()202Cy dx xydyx yφ+=+⎰.(2)求函数)(y ϕ的表达式.(20)(本题满分9分)已知二次型21232221321)1(22)1()1(),,(x x a x x a x a x x x f +++-+-=的秩为2.(1)求a 的值；(2)求正交变换x y =Q ,把),,(321x x x f 化成标准形. (3)求方程),,(321x x x f =0的解.(21)(本题满分9分)已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零,矩阵12324636k ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B (k 为常数),且=AB O ,求线性方程组0x =A 的通解.(22)(本题满分9分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(,)f x y =1001,02x y x <<<<其它求:(1)(,)X Y 的边缘概率密度)(),(y f x f Y X . (2)Y X Z -=2的概率密度).(z f Z(23)(本题满分9分)设)2(,,,21>n X X X n 为来自总体(0,1)N 的简单随机样本,X 为样本均值,记.,,2,1,n i X X Y i i =-=求:(1)i Y 的方差n i DY i ,,2,1, =. (2)1Y 与n Y 的协方差1Cov(,).n Y Y2005年考研数学一真题解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）曲线122+=x x y 的斜渐近线方程为 .4121-=x y【分析】 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.【详解】 因为a=212lim )(lim22=+=∞→∞→x x x x x f x x ， []41)12(2lim)(lim -=+-=-=∞→∞→x x ax x f b x x ，于是所求斜渐近线方程为.4121-=x y （2）微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为.91ln 31x x x y -=. 【分析】直接套用一阶线性微分方程)()(x Q y x P y =+'的通解公式：⎰+⎰⎰=-])([)()(C dx e x Q e y dxx P dx x P ， 再由初始条件确定任意常数即可.【详解】 原方程等价为x y xy ln 2=+'， 于是通解为 ⎰⎰+⋅=+⎰⋅⎰=-]ln [1]ln [2222C xdx x xC dx ex ey dxx dxx =2191ln 31x C x x x +-， 由91)1(-=y 得C=0，故所求解为.91ln 31x x x y -=（3）设函数181261),,(222z y x z y x u +++=，单位向量}1,1,1{31=n ，则)3,2,1(nu∂∂=33. 【分析】 函数u(x,y,z)沿单位向量γβαcos ,cos ,{cos =n}的方向导数为：γβαcos cos cos zu y u x u n u ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ 因此，本题直接用上述公式即可.【详解】 因为3x x u =∂∂，6y y u =∂∂，9zz u =∂∂，于是所求方向导数为)3,2,1(nu ∂∂=.33313131313131=⋅+⋅+⋅ （4）设Ω是由锥面22y x z +=与半球面222y x R z --=围成的空间区域，∑是Ω的整个边界的外侧，则⎰⎰∑=++zdxdy ydzdx xdydz 3)221(2R -π. 【分析】本题∑是封闭曲面且取外侧，自然想到用高斯公式转化为三重积分，再用球面（或柱面）坐标进行计算即可.【详解】⎰⎰∑=++zdxdy ydzdx xdydz ⎰⎰⎰Ωdxdydz 3=.)221(2sin 3320402R d d d R⎰⎰⎰-=πππθϕϕρρ （5）设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵),,(321ααα=A ，)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ， 如果1=A ，那么=B 2 .【分析】 将B 写成用A 右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】 由题设，有)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡941321111),,(321ααα， 于是有 .221941321111=⨯=⋅=A B（6）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从X ,,2,1 中任取一个数，记为Y , 则}2{=Y P =4813. 【分析】 本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式, 且第一次试验的各种两两互不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分.【详解】 }2{=Y P =}12{}1{===X Y P X P +}22{}2{===X Y P X P +}32{}3{===X Y P X P +}42{}4{===X Y P X P =.4813)4131210(41=+++⨯ 二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）设函数n nn xx f 31lim )(+=∞→，则f(x)在),(+∞-∞内(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ C ] 【分析】 先求出f(x)的表达式，再讨论其可导情形. 【详解】 当1<x 时，11lim )(3=+=∞→n nn xx f ；当1=x 时，111lim )(=+=∞→n n x f ；当1>x 时，.)11(lim )(3133x xx x f nnn =+=∞→即.1,11,1,,1,)(33>≤≤--<⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x x x f 可见f(x)仅在x=1±时不可导，故应选(C).（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ⇔表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有(A) F(x)是偶函数⇔f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数⇔f(x)是偶函数.(C) F(x)是周期函数⇔f(x)是周期函数.(D) F(x)是单调函数⇔f(x)是单调函数. [ A ] 【分析】 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.【详解】 方法一：任一原函数可表示为⎰+=xC dt t f x F 0)()(，且).()(x f x F ='当F(x)为偶函数时，有)()(x F x F =-，于是)()1()(x F x F '=-⋅-'，即 )()(x f x f =--，也即)()(x f x f -=-，可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，则⎰xdt t f 0)(为偶函数，从而⎰+=xC dt t f x F 0)()(为偶函数，可见(A)为正确选项.方法二：令f(x)=1, 则取F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令f(x)=x, 则取F(x)=221x , 排除(D); 故应选(A).（9）设函数⎰+-+-++=yx yx dt t y x y x y x u )()()(),(ψϕϕ, 其中函数ϕ具有二阶导数，ψ 具有一阶导数，则必有(A) 2222y u x u ∂∂-=∂∂. （B ） 2222yu x u ∂∂=∂∂. (C) 222y uy x u ∂∂=∂∂∂. (D) 222x u y x u ∂∂=∂∂∂. [ B ] 【分析】 先分别求出22x u ∂∂、22yu∂∂、y x u ∂∂∂2，再比较答案即可.【详解】 因为)()()()(y x y x y x y x xu--++-'++'=∂∂ψψϕϕ，)()()()(y x y x y x y x yu-+++-'-+'=∂∂ψψϕϕ， 于是 )()()()(22y x y x y x y x x u-'-+'+-''++''=∂∂ψψϕϕ，)()()()(2y x y x y x y x yx u-'++'+-''-+''=∂∂∂ψψϕϕ， )()()()(22y x y x y x y x yu-'-+'+-''++''=∂∂ψψϕϕ， 可见有2222yu x u ∂∂=∂∂，应选(B). （10）设有三元方程1ln =+-xzey z xy ，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻域，在此邻域内该方程(A) 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x,y).(B) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和z=z(x,y). (C) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x,z)和z=z(x,y).(D) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z). [ D ]【分析】 本题考查隐函数存在定理，只需令F(x,y,z)=1ln -+-xzey z xy , 分别求出三个偏导数y x z F F F ,,，再考虑在点(0,1,1)处哪个偏导数不为0，则可确定相应的隐函数.【详解】 令F(x,y,z)=1ln -+-xzey z xy , 则z e y F xzx +='， yz x F y -='，x e y F xzz +-='ln ，且 2)1,1,0(='x F ，1)1,1,0(-='y F ，0)1,1,0(='z F . 由此可确定相应的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z). 故应选(D).（11）设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,αα，则1α，)(21αα+A 线性无关的充分必要条件是(A) 01≠λ. (B) 02≠λ. (C) 01=λ. (D) 02=λ. [ B ] 【分析】 讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可. 【详解】 方法一：令 0)(21211=++αααA k k ，则022211211=++αλαλαk k k ， 0)(2221121=++αλαλk k k . 由于21,αα线性无关，于是有 ⎩⎨⎧==+.0,022121λλk k k当02≠λ时，显然有0,021==k k ，此时1α，)(21αα+A 线性无关；反过来，若1α，)(21αα+A 线性无关，则必然有02≠λ(,否则，1α与)(21αα+A =11αλ线性相关)，故应选(B).方法二： 由于 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+=+21212211121101],[],[)](,[λλαααλαλααααA ，可见1α，)(21αα+A 线性无关的充要条件是.001221≠=λλλ故应选(B).（12）设A 为n （2≥n ）阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得矩阵B, **,B A 分别为A,B 的伴随矩阵，则(A) 交换*A 的第1列与第2列得*B . (B) 交换*A 的第1行与第2行得*B .(C) 交换*A 的第1列与第2列得*B -. (D) 交换*A 的第1行与第2行得*B -. [C ]【分析】 本题考查初等变换的概念与初等矩阵的性质，只需利用初等变换与初等矩阵的关系以及伴随矩阵的性质进行分析即可.【详解】 由题设，存在初等矩阵12E （交换n 阶单位矩阵的第1行与第2行所得），使得 B A E =12，于是 12*11212*12***12*)(E A E E A E A A E B -=⋅===-，即*12*B E A -=,可见应选(C).（13）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立，则(A) a=0.2, b=0.3 (B) a=0.4, b=0.1(C) a=0.3, b=0.2 (D) a=0.1, b=0.4 [ B ] 【分析】 首先所有概率求和为1，可得a+b=0.5, 其次，利用事件的独立性又可得一等式，由此可确定a,b 的取值.【详解】 由题设，知 a+b=0.5又事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立，于是有}1{}0{}1,0{=+===+=Y X P X P Y X X P ， 即 a=))(4.0(b a a ++, 由此可解得 a=0.4, b=0.1, 故应选(B).（14）设)2(,,,21≥n X X X n 为来自总体N(0,1)的简单随机样本，X 为样本均值，2S 为样本方差，则(A) )1,0(~N X n (B) ).(~22n nS χ(C) )1(~)1(--n t SXn (D) ).1,1(~)1(2221--∑=n F X X n n i i [ D ] 【分析】 利用正态总体抽样分布的性质和2χ分布、t 分布及F 分布的定义进行讨论即可.【详解】 由正态总体抽样分布的性质知，)1,0(~10N X n nX =-，可排除(A); 又)1(~0-=-n t SXn nS X ，可排除(C); 而)1(~)1(1)1(2222--=-n S n S n χ，不能断定(B)是正确选项.因为 ∑=-n i in X X222221)1(~),1(~χχ，且∑=-ni i n X X 222221)1(~)1(~χχ与相互独立，于是).1,1(~)1(1122212221--=-∑∑==n F XX n n XX ni ini i故应选(D).三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （15）（本题满分11分） 设}0,0,2),{(22≥≥≤+=y x y x y x D ，]1[22y x ++表示不超过221y x ++的最大整数. 计算二重积分⎰⎰++Ddxdy y xxy .]1[22【分析】 首先应设法去掉取整函数符号，为此将积分区域分为两部分即可.【详解】 令 }0,0,10),{(221≥≥<+≤=y x y x y x D ， }0,0,21),{(222≥≥≤+≤=y x y x y x D .则⎰⎰++Ddxdy y x xy ]1[22=⎰⎰⎰⎰+122D D xydxdy xydxdy dr r d dr r d ⎰⎰⎰⎰+=20213132cos sin 2cos sin ππθθθθθθ=.834381=+ （16）（本题满分12分） 求幂级数∑∞=--+-121))12(11()1(n n n x n n 的收敛区间与和函数f(x).【分析】 先求收敛半径，进而可确定收敛区间. 而和函数可利用逐项求导得到.【详解】 因为11)12()12()12)(1(1)12)(1(lim=+--⨯+++++∞→n n n n n n n n n ，所以当21x <时，原级数绝对收敛，当21x >时，原级数发散，因此原级数的收敛半径为1，收敛区间为（－1,1）记 121(1)(),(1,1)2(21)n nn S x x x n n-∞=-=∈--∑， 则 1211(1)(),(1,1)21n n n S x x x n -∞-=-'=∈--∑，122211()(1),(1,1)1n n n S x x x x ∞--=''=-=∈-+∑. 由于 (0)0,(0)S S '==所以 201()()arctan ,1xxS x S t dt dt x t '''===+⎰⎰2001()()arctan arctan ln(1).2x x S x S t dt tdt x x x '===-+⎰⎰又21221(1),(1,1),1n nn x xx x ∞-=-=∈-+∑ 从而 22()2()1x f x S x x=++2222arctan ln(1),(1,1).1x x x x x x=-++∈-+ （17）（本题满分11分）如图，曲线C 的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分⎰'''+32.)()(dx x f x x【分析】 题设图形相当于已知f(x)在x=0的函数值与导数值，在x=3处的函数值及一阶、二阶导数值.【详解】 由题设图形知，f(0)=0, 2)0(='f ; f(3)=2, .0)3(,2)3(=''-='f f 由分部积分，知⎰⎰⎰+''-''+=''+='''+330302232)12)(()()()()()()(dx x x f x f x x x f d x x dx x f x x=dx x f x f x x f d x ⎰⎰'+'+-='+-3330)(2)()12()()12(=.20)]0()3([216=-+f f（18）（本题满分12分）已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明： （I ）存在),1,0(∈ξ 使得ξξ-=1)(f ；（II ）存在两个不同的点)1,0(,∈ζη，使得.1)()(=''ζηf f【分析】 第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论.【详解】 （I ） 令x x f x F +-=1)()(，则F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=-1<0, F(1)=1>0,应用零点定理，存在),1,0(∈ξ 使得0)(=ξF ，即ξξ-=1)(f .（II ） 在],0[ξ和]1,[ξ上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点)1,(),,0(ξζξη∈∈，使得0)0()()(--='ξξηf f f ，ξξζ--='1)()1()(f f f于是 .1111)(1)()()(=-⋅-=--⋅=''ξξξξξξξξζηf f f f （19）（本题满分12分）设函数)(y ϕ具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上，曲线积分⎰++Ly x xydydx y 4222)(ϕ的值恒为同一常数.（I ）证明：对右半平面x>0内的任意分段光滑简单闭曲线C ，有022)(42=++⎰Cyx x y d ydx y ϕ；（II ）求函数)(y ϕ的表达式.【分析】 证明（I ）的关键是如何将封闭曲线C 与围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线相联系，这可利用曲线积分的可加性将C 进行分解讨论；而（II ）中求)(y ϕ的表达式，显然应用积分与路径无关即可.【详解】 （I ）如图，将C 分解为：21l l C +=，另作一条曲线l=++⎰Cy x x y d ydx y 4222)(ϕ-++⎰+314222)(l l y x x y d ydx y ϕ022)(3242=++⎰+l l y x x y d ydx y ϕ.（II ） 设2424()2,22y xyP Q x yx yϕ==++，,P Q 在单连通区域0x >内具有一阶连续偏导数，由（Ⅰ）知，曲线积分24()22Ly dx xydyx y ϕ++⎰在该区域内与路径无关，故当0x >时，总有Q Px y∂∂=∂∂. 24252422422(2)4242,(2)(2)Q y x y x xy x y y x x y x y ∂+--+==∂++ ①243243242242()(2)4()2()()4().(2)(2)P y x y y y x y y y y y y x y x y ϕϕϕϕϕ'''∂+-+-==∂++ ② 比较①、②两式的右端，得435()2,()4()2.y y y y y y y ϕϕϕ'=-⎧⎨'-=⎩ 由③得2()y y c ϕ=-+，将()y ϕ代入④得 535242,y cy y -= 所以0c =，从而2().y y ϕ=-（20）（本题满分9分）已知二次型21232221321)1(22)1()1(),,(x x a x x a x a x x x f +++-+-=的秩为2.（I ） 求a 的值；（II ） 求正交变换Qy x =，把),,(321x x x f 化成标准形； （III ） 求方程),,(321x x x f =0的解.【分析】 （I ）根据二次型的秩为2，可知对应矩阵的行列式为0，从而可求a 的值；（II ）是常规问题，先求出特征值、特征向量，再正交化、单位化即可找到所需正交变换； （III ）利用第二步的结果，通过标准形求解即可.【详解】 （I ） 二次型对应矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++-=200011011a a a a A ， 由二次型的秩为2，知 020011011=-++-=aa a a A ，得a=0. （II ） 这里⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200011011A ， 可求出其特征值为0,2321===λλλ. 解 0)2(=-x A E ，得特征向量为：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100,01121αα，解 0)0(=-x A E ，得特征向量为：.0113⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=α由于21,αα已经正交，直接将21,αα，3α单位化，得：③ ④⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01121,100,01121321ηηη令[]321ααα=Q ，即为所求的正交变换矩阵，由x=Qy ，可化原二次型为标准形：),,(321x x x f =.222221y y + （III ） 由),,(321x x x f ==+222122y y 0，得k y y y ===321,0,0（k 为任意常数）.从而所求解为：x=Qy=[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0003321c c k k ηηηη，其中c 为任意常数. （21）（本题满分9分）已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零，矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k B 63642321（k 为常数），且AB=O, 求线性方程组Ax=0的通解.【分析】 AB=O, 相当于告之B 的每一列均为Ax=0的解，关键问题是Ax=0的基础解系所含解向量的个数为多少，而这又转化为确定系数矩阵A 的秩.【详解】 由AB=O 知，B 的每一列均为Ax=0的解，且.3)()(≤+B r A r（1）若k 9≠, 则r(B)=2, 于是r(A)1≤, 显然r(A)1≥, 故r(A)=1. 可见此时Ax=0的基础解系所含解向量的个数为3-r(A)=2, 矩阵B 的第一、第三列线性无关，可作为其基础解系，故Ax=0 的通解为：2121,,63321k k k k k x ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=为任意常数.(2) 若k=9，则r(B)=1, 从而.2)(1≤≤A r1） 若r(A)=2, 则Ax=0的通解为：11,321k k x ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=为任意常数.2） 若r(A)=1,则Ax=0 的同解方程组为：0321=++cx bx ax ,不妨设0≠a ,则其通解为2121,,1001k k a c k a b k x ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=为任意常数.（22）（本题满分9分）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 .,20,10,0,1),(其他x y x y x f <<<<⎩⎨⎧=求：（I ） (X,Y)的边缘概率密度)(),(y f x f Y X ； （II ）Y X Z -=2的概率密度).(z f Z【分析】 求边缘概率密度直接用公式即可；而求二维随机变量函数的概率密度，一般用分布函数法，即先用定义求出分布函数，再求导得到相应的概率密度.【详解】 （I ） 关于X 的边缘概率密度)(x f X =⎰+∞∞-dy y x f ),(=.,10,0,20其他<<⎪⎩⎪⎨⎧⎰x dy x=.,10,0,2其他<<⎩⎨⎧x x关于Y 的边缘概率密度)(y f Y =⎰+∞∞-dx y x f ),(=.,20,0,12其他<<⎪⎩⎪⎨⎧⎰y dx y=.,20,0,21其他<<⎪⎩⎪⎨⎧-y y （II ） 令}2{}{)(z Y X P z Z P z F Z ≤-=≤=， 1） 当0<z 时，0}2{)(=≤-=z Y X P z F Z ；2） 当20<≤z 时，}2{)(z Y X P z F Z ≤-= =241z z -; 3) 当2≥z 时，.1}2{)(=≤-=z Y X P z F Z即分布函数为： .2,20,0,1,41,0)(2≥<≤<⎪⎩⎪⎨⎧-=z z z z z z F Z故所求的概率密度为：.,20,0,211)(其他<<⎪⎩⎪⎨⎧-=z z z f Z （23）（本题满分9分）设)2(,,,21>n X X X n 为来自总体N(0,1)的简单随机样本，X 为样本均值，记.,,2,1,n i X X Y i i =-=求：（I ） i Y 的方差n i DY i ,,2,1, =； （II ）1Y 与n Y 的协方差).,(1n Y Y Cov【分析】 先将i Y 表示为相互独立的随机变量求和，再用方差的性质进行计算即可；求1Y 与n Y 的协方差),(1n Y Y Cov ，本质上还是数学期望的计算，同样应注意利用数学期望的运算性质.【详解】 由题设，知)2(,,,21>n X X X n 相互独立，且),,2,1(1,0n i DX EX i i ===，.0=X E（I ）∑≠--=-=ni j j i i i X n X n D X X D DY ]1)11[()(=∑≠+-nij ji DXnDX n 221)11(=.1)1(1)1(222n n n n n n -=-⋅+- （II ） )])([(),(111n n n EY Y EY Y E Y Y Cov --= =)])([()(11X X X X E Y Y E n n --==)(211X X X X X X X E n n +--=211)(2)(X E X X E X X E n +-=22121)(][20X E X D X X X E n nj j +++-∑==.112nn n -=+-。
2005考研数学一试题及答案解析
2005考研数学⼀试题及答案解析2005年硕⼠研究⽣⼊学考试（数学⼀）试题及答案解析⼀、填空题（本题共6⼩题，每⼩题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）曲线122+=x x y 的斜渐近线⽅程为 .4121-=x y【分析】本题属基本题型，直接⽤斜渐近线⽅程公式进⾏计算即可.【详解】因为a=212lim )(lim22=+=∞→∞→x x x x x f x x ， []41)12(2lim)(lim -=+-=-=∞→∞→x x ax x f b x x ，于是所求斜渐近线⽅程为.4121-=x y （2）微分⽅程x x y y x ln 2=+'满⾜91)1(-=y 的解为.91ln 31x x x y -=. 【分析】直接套⽤⼀阶线性微分⽅程)()(x Q y x P y =+'的通解公式：+??=-])([)()(C dx e x Q e y dxx P dx x P ，再由初始条件确定任意常数即可. 【详解】原⽅程等价为x y xy ln 2=+'，于是通解为 ??+?=+=-]ln [1]ln [2222C xdx x xC dx ey dxx dxx =2191ln 31x C x x x +-，由91)1(-=y 得C=0，故所求解为.91ln 31x x x y -=（3）设函数181261),,(222z y x z y x u +++=，单位向量}1,1,1{31=n ，则)3,2,1(nu=33. 【分析】函数u(x,y,z)沿单位向量γβαcos ,cos ,{cos =n}的⽅向导数为：γβαc o s c o s c o s zu y u x u n u ??+??+??=??因此，本题直接⽤上述公式即可.【详解】因为3x x u =??，6y y u =??，9z z u =??，于是所求⽅向导数为)3,2,1(nu=.33313131313131=?+?+? （4）设Ω是由锥⾯22y x z +=与半球⾯222y x R z --=围成的空间区域，∑是Ω的整个边界的外侧，则??∑=++zdxdy ydzdx xdydz 3)221(2R -π. 【分析】本题∑是封闭曲⾯且取外侧，⾃然想到⽤⾼斯公式转化为三重积分，再⽤球⾯（或柱⾯）坐标进⾏计算即可.【详解】=++zdxdy ydzdx xdydz Ωdxdydz 3=.)221(2sin 3320402R d d d R-=πππθ??ρρ（5）设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵),,(321ααα=A ，)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ，如果1=A ，那么=B 2 .【分析】将B 写成⽤A 右乘另⼀矩阵的形式，再⽤⽅阵相乘的⾏列式性质进⾏计算即可.【详解】由题设，有)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B=941321111),,(321ααα，于是有 .221941321111=?=?=A B（6）从数1,2,3,4中任取⼀个数，记为X, 再从X ,,2,1 中任取⼀个数，记为Y , 则}2{=Y P =4813 . 【分析】本题涉及到两次随机试验，想到⽤全概率公式, 且第⼀次试验的各种两两互不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分.【详解】 }2{=Y P =}12{}1{===X Y P X P +}22{}2{===X Y P X P +}32{}3{===X Y P X P +}42{}4{===X Y P X P = .4813)4131210(41=+++? ⼆、选择题（本题共8⼩题，每⼩题4分，满分32分. 每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项符合题⽬要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）设函数n nx f 31lim )(+=∞→，则f(x)在),(+∞-∞内(A) 处处可导. (B) 恰有⼀个不可导点.(C) 恰有两个不可导点. (D) ⾄少有三个不可导点. [ C ] 【分析】先求出f(x)的表达式，再讨论其可导情形. 【详解】当1→n nn xx f ；当1=x 时，111lim )(=+=∞→n n x f ；当1>x 时，.)11(lim )(3133x xx x f nnn =+=∞→即.1,11,1,,1,)(33>≤≤---=x x x x x x f 可见f(x)仅在x=1±时不可导，故应选(C).（8）设F(x)是连续函数f(x)的⼀个原函数，""N M ?表⽰“M 的充分必要条件是N ”，则必有(A) F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数.(C) F(x)是周期函数?f(x)是周期函数.(D) F(x)是单调函数?f(x)是单调函数. [ A ] 【分析】本题可直接推证，但最简便的⽅法还是通过反例⽤排除法找到答案.【详解】⽅法⼀：任⼀原函数可表⽰为?+=xC dt t f x F 0)()(，且).()(x f x F ='当F(x)为偶函数时，有)()(x F x F =-，于是)()1()(x F x F '=-?-'，即 )()(x f x f =--，也即)()(x f x f -=-，可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，则?xdt t f 0)(为偶函数，+=xC dt t f x F 0)()(为偶函数，可见(A)为正确选项.⽅法⼆：令f(x)=1, 则取F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令f(x)=x, 则取F(x)=221x , 排除(D); 故应选(A).（9）设函数?+-+-++=yx yx dt t y x y x y x u )()()(),(ψ??, 其中函数?具有⼆阶导数，ψ具有⼀阶导数，则必有(A) 2222yux u ??-=??. （B ） 2222y u x u ??=??. (C) 222y uy x u ??=. (D) 222x u y x u ??=. [ B ] 【分析】先分别求出22x u ??、22y u ??、y x u2，再⽐较答案即可.【详解】因为)()()()(y x y x y x y x xu--++-'++'=??ψψ??，)()()()(y x y x y x y x yu-+++-'-+'=??ψψ??，于是 )()()()(22y x y x y x y x xu-'-+'+-''++''=??ψψ??， )()()()(2y x y x y x y x yx u-'++'+-''-+''=ψψ??，2y x y x y x y x y u-'-+'+-''++''=??ψψ??，可见有2222y u x u ??=??，应选(B).（10）设有三元⽅程1ln =+-xzey z xy ，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的⼀个邻域，在此邻域内该⽅程(A) 只能确定⼀个具有连续偏导数的隐函数z=z(x,y).(B) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和z=z(x,y). (C) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x,z)和z=z(x,y). (D) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z). [ D ]【分析】本题考查隐函数存在定理，只需令F(x,y,z)=1ln -+-xzey z xy , 分别求出三个偏导数y x z F F F ,,，再考虑在点(0,1,1)处哪个偏导数不为0，则可确定相应的隐函数.【详解】令F(x,y,z)=1ln -+-xzey z xy , 则z e y F xz x +='， yzx F y -='，x e y F xz z +-='ln ，且 2)1,1,0(='x F ，1)1,1,0(-='y F ，0)1,1,0(='z F . 由此可确定相应的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z). 故应选(D).（11）设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,αα，则1α，)(21αα+A 线性⽆关的充分必要条件是(A)01≠λ. (B) 02≠λ. (C) 01=λ. (D) 02=λ. [ B ]【分析】讨论⼀组抽象向量的线性⽆关性，可⽤定义或转化为求其秩即可. 【详解】⽅法⼀：令 0)(21211=++αααA k k ，则022211211=++αλαλαk k k ， 0)(2221121=++αλαλk k k . 由于21,αα线性⽆关，于是有==+.0,022121λλk k k当02≠λ时，显然有0,021==k k ，此时1α，)(21αα+A 线性⽆关；反过来，若1α，)(21αα+A 线性⽆关，则必然有02≠λ(,否则，1α与)(21αα+A =11αλ线性相关)，故应选(B).⽅法⼆：由于 ?=+=+21212211121101],[],[)](,[λλαααλαλααααA ，可见1α，)(21αα+A 线性⽆关的充要条件是.001221≠=λλλ故应选(B).（12）设A 为n （2≥n ）阶可逆矩阵，交换A 的第1⾏与第2⾏得矩阵B, **,B A 分别为A,B 的伴随矩阵，则(A) 交换*A 的第1列与第2列得*B . (B) 交换*A 的第1⾏与第2⾏得*B .(C) 交换*A 的第1列与第2列得*B -. (D) 交换*A 的第1⾏与第2⾏得*B -. [C ] 【分析】本题考查初等变换的概念与初等矩阵的性质，只需利⽤初等变换与初等矩阵的关系以及伴随矩阵的性质进⾏分析即可.【详解】由题设，存在初等矩阵12E （交换n 阶单位矩阵的第1⾏与第2⾏所得），使得 B A E =12，于是 12*11212*12***12*)(E A E E A E A A E B -=?===-，即*12*B E A -=,可见应选(C).（13）设⼆维随机变量(X,Y) 的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独⽴，则(A) a=0.2, b=0.3 (B) a=0.4, b=0.1(C) a=0.3, b=0.2 (D) a=0.1, b=0.4 [ B ] 【分析】⾸先所有概率求和为1，可得a+b=0.5, 其次，利⽤事件的独⽴性⼜可得⼀等式，由此可确定a,b 的取值.【详解】由题设，知 a+b=0.5⼜事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独⽴，于是有}1{}0{}1,0{=+===+=Y X P X P Y X X P ，即 a=))(4.0(b a a ++, 由此可解得 a=0.4, b=0.1, 故应选(B).（14）设)2(,,,21≥n X X X n 为来⾃总体N(0,1)的简单随机样本，为样本均值，2S 为样本⽅差，则(A) )1,0(~N X n (B) ).(~n nS χ(C) )1(~)1(--n t SXn (D) ).1,1(~)1(2221--∑=n F X X n n i i [ D ] 【分析】利⽤正态总体抽样分布的性质和2χ分布、t 分布及F 分布的定义进⾏讨论即可.【详解】由正态总体抽样分布的性质知，)1,0(~10N X n nX =-，可排除(A); ⼜)1(~0-=-n t S X n nS X ，可排除(C); ⽽)1(~)1(1)1(2222--=-n S n S n χ，不能断定(B)是正确选项.因为 ∑=-ni in X X222221)1(~),1(~χχ，且∑=-ni i n X X 222221)1(~)1(~χχ与相互独⽴，于是).1,1(~)1(1122212221--=-∑∑==n F X X n n X X ni i ni i 故应选(D).三、解答题（本题共9⼩题，满分94分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分11分）设}0,0,2),{(22≥≥≤+=y x y x y x D ，]1[22y x ++表⽰不超过221y x ++的最⼤整数. 计算⼆重积分++Ddxdy y x xy .]1[22 【分析】⾸先应设法去掉取整函数符号，为此将积分区域分为两部分即可.【详解】令 }0,0,10),{(221≥≥<+≤=y x y x y x D ， }0,0,21),{(222≥≥≤+≤=y x y x y x D .则++Ddxdy y x xy ]1[22=+122D D xydxdy xydxdy dr r d dr r d+=20213132cos sin 2cos sin ππθθθθθθ（16）（本题满分12分）求幂级数∑∞=--+-121))12(11()1(n n n x n n 的收敛区间与和函数f(x).【分析】先求收敛半径，进⽽可确定收敛区间. ⽽和函数可利⽤逐项求导得到.【详解】因为(1)(21)1(21)lim1(1)(21)(21)1n n n n n n n n n →∞+++-=++-+ ，所以当21x <时，原级数绝对收敛，当21x >时，原级数发散，因此原级数的收敛半径为1，收敛区间为（－1,1）记 121(1)(),(1,1)2(21)n nn S x x x n n-∞=-=∈--∑，则 1211(1)(),(1,1)21n n n S x x x n -∞-=-'=∈--∑，122211()(1),(1,1)1n n n S x x x x∞--=''=-=∈-+∑. 由于 (0)0,(0)S S '== 所以 201()()arctan ,1xxS x S t dt dt x t '''===+??2001()()arctan arctan ln(1).2xx S x S t dt tdt x x x '===-+?1221(1),(1,1),1n nn x x x x∞-=-=∈-+∑ 从⽽ 22()2()1x f x S x x=++2222arctan ln(1),(1,1).1x x x x x x =-++∈-+（17）（本题满分11分）如图，曲线C 的⽅程为y=f(x)，点(3,2)是它的⼀个拐点，直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4).设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分'''+32.)()(dx x f x x【分析】题设图形相当于已知f(x)在x=0的函数值与导数值，在x=3处的函数值及⼀阶、⼆阶导数值.【详解】由题设图形知，f(0)=0, 2)0(='f ; f(3)=2, .0)3(,2)3(=''-='f f 由分部积分，知+''-''+=''+='''+330302232)12)(()()()()()()(dx x x f x f x x x f d x x dx x f x x=dx x f x f x x f d x ??'+'+-='+-33()12()()12(=.20)]0()3([216=-+f f（18）（本题满分12分）已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明：（I ）存在),1,0(∈ξ使得ξξ-=1)(f ；（II ）存在两个不同的点)1,0(,∈ζη，使得.1)()(=''ζηf f【分析】第⼀部分显然⽤闭区间上连续函数的介值定理；第⼆部分为双介值问题，可考虑⽤拉格朗⽇中值定理，但应注意利⽤第⼀部分已得结论.【详解】（I ）令x x f x F +-=1)()(，则F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=-1<0, F(1)=1>0,于是由介值定理知，存在存在),1,0(∈ξ使得0)(=ξF ，即ξξ-=1)(f .（II ）在],0[ξ和]1,[ξ上对f(x)分别应⽤拉格朗⽇中值定理，知存在两个不同的点)1,(),,0(ξζξη∈∈，使得0)0()()(--='ξξηf f f ，ξξζ--='1)()1()(f f f于是 .1111)(1)()()(=-?-=--?=''ξξξξξξξξζηf f f f （19）（本题满分12分）设函数)(y ?具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上，曲线积分++Ly x xydydx y 4222)(?的值恒为同⼀常数.（I ）证明：对右半平⾯x>0内的任意分段光滑简单闭曲线C ，有022)(42=++?Cyx x y d ydx y ?；（II ）求函数)(y ?的表达式.【分析】证明（I ）的关键是如何将封闭曲线C 与围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线相联系，这可利⽤曲线积分的可加性将C 进⾏分解讨论；⽽（II ）中求)(y ?的表达式，显然应⽤积分与路径⽆关即可.【详解】（I ）如图，将C 分解为：21l l C +=，另作⼀条曲线3l 围绕原点且与C 相接，则=++?Cyx x y d ydx y 4222)(?-++?+314222)(l l yx x y d ydx y ?022)(3242=++?+l l yx x y d ydx y ?.（II ）设2424()2,22y xyP Q x yx y==++，,P Q 在单连通区域0x >内具有⼀阶连续偏导数，由（Ⅰ）知，曲线积分24()22Ly dx xydyx y ?++?在该区域内与路径⽆关，故当0x >时，总有Q Px y=.24252422422(2)4242,(2)(2)Q y x y x xy x y y x x y x y ?+--+==?++ ① 243243242242()(2)4()2()()4().(2)(2)P y x y y y x y y y y y y x y x y '''?+-+-==?++ ②⽐较①、②两式的右端，得435()2,()4()2.y y y y y y y '=-??'-=? 由③得2()y y c ?=-+，将()y ?代⼊④得 535242,y cy y -= 所以0c =，从⽽2().y y ?=-（20）（本题满分9分）已知⼆次型21232221321)1(22)1()1(),,(x x a x x a x a x x x f +++-+-=的秩为2.（I ）求a 的值；（II ）求正交变换Qy x =，把),,(321x x x f 化成标准形；（III ）求⽅程),,(321x x x f =0的解.【分析】（I ）根据⼆次型的秩为2，可知对应矩阵的⾏列式为0，从⽽可求a 的值；（II ）是常规问题，先求出特征值、特征向量，再正交化、单位化即可找到所需正交变换；（III ）利⽤第⼆步的结果，通过标准形求解即可.【详解】（I ）⼆次型对应矩阵为-++-=200011011a a a a A ，由⼆次型的秩为2，知 020011011=-++-=aa a a A ，得a=0.（II ）这⾥=200011011A ，可求出其特征值为0,2321===λλλ. 解 0)2(=-x A E ，得特征向量为：=? =100,01121αα，③④解 0)0(=-x A E ，得特征向量为：.0113-=α由于21,αα已经正交，直接将21,αα，3α单位化，得：-= = =01121,100,01121321ηηη令[]321ααα=Q ，即为所求的正交变换矩阵，由x=Qy ，可化原⼆次型为标准形：),,(321x x x f =.222221y y +（III ）由),,(321x x x f ==+222122y y 0，得k y y y ===321,0,0（k 为任意常数）.从⽽所求解为：x=Qy=[]-==0003321c c k k ηηηη，其中c 为任意常数. （21）（本题满分9分）已知3阶矩阵A 的第⼀⾏是c b a c b a ,,),,,(不全为零，矩阵=k B 63642321（k 为常数），且AB=O, 求线性⽅程组Ax=0的通解.【分析】 AB=O, 相当于告之B 的每⼀列均为Ax=0的解，关键问题是Ax=0的基础解系所含解向量的个数为多少，⽽这⼜转化为确定系数矩阵A 的秩.【详解】由AB=O 知，B 的每⼀列均为Ax=0的解，且.3)()(≤+B r A r（1）若k 9≠, 则r(B)=2, 于是r(A)1≤, 显然r(A)1≥, 故r(A)=1. 可见此时Ax=0的基础解系所含解向量的个数为3-r(A)=2, 矩阵B 的第⼀、第三列线性⽆关，可作为其基础解系，故Ax=0 的通解为：2121,,63321k k k k k x+ =为任意常数.(2) 若k=9，则r(B)=1, 从⽽.2)(1≤≤A r1）若r(A)=2, 则Ax=0的通解为：11,321k k x=为任意常数.2）若r(A)=1,则Ax=0 的同解⽅程组为：0321=++cx bx ax ,不妨设0≠a ,则其通解为2121,,1001k k a c k a b k x-+ -=为任意常数.（22）（本题满分9分）设⼆维随机变量(X,Y)的概率密度为.,20,10,0,1),(其他x y x y x f <<<=求：（I ） (X,Y)的边缘概率密度)(),(y f x f Y X ；（II ）Y X Z -=2的概率密度).(z f Z 【分析】求边缘概率密度直接⽤公式即可；⽽求⼆维随机变量函数的概率密度，⼀般⽤分布函数法，即先⽤定义求出分布函数，再求导得到相应的概率密度.【详解】（I ）关于X 的边缘概率密度)(x f X =?+∞∞-dy y x f ),(=.,10,0,20其他<,10,0,2其他<x x关于Y 的边缘概率密度)(y f Y =?+∞∞-dx y x f ),(=.,20,0,12其他<=.,20,0,21其他<2）当20<≤z 时，}2{)(z Y X P z F Z ≤-= =241z z -; 3) 当2≥z 时，.1}2{)(=≤-=z Y X P z F Z即分布函数为： .2,20,0,1,41,0)(2≥<≤故所求的概率密度为：.,20,0,211)(其他<设)2(,,,21>n X X X n 为来⾃总体N(0,1)的简单随机样本，X 为样本均值，记.,,2,1,n i X X Y i i =-=求：（I ） i Y 的⽅差n i DY i ,,2,1, =；（II ）1Y 与n Y 的协⽅差).,(1n Y Y Cov【分析】先将i Y 表⽰为相互独⽴的随机变量求和，再⽤⽅差的性质进⾏计算即可；求1Y 与n Y 的协⽅差),(1n Y Y Cov ，本质上还是数学期望的计算，同样应注意利⽤数学期望的运算性质.【详解】由题设，知)2(,,,21>n X X X n 相互独⽴，且),,2,1(1,0n i DX EX i i ===，.0=X E（I ）∑≠--=-=ni j j i i i X n X n D X X D DY ]1)11[()(=∑≠+-nij ji DXnDX n 221)11(=.1)1(1)1(222n n n nn n -=-?+- （II ） )])([(),(111n n n EY Y EY Y E Y Y Cov --= =)])([()(11X X X X E Y Y E n n --= =)(2 11X X X X X X X E n n +-- =211)(2)(X E X X E X X E n +-=22121)(][20X E X D X X X E n nj j +++-∑==.112n n n -=+-。
2005年考研数学一真题及解析
2005 年考研数学一真题解析
一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） （1）曲线 y =
x2 的斜渐近线方程为 2x +1
y=
1 1 x− . 2 4
【分析】 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可. 【详解】 因为 a= lim
x →∞
如果 A = 1 ,那么 B = .
(6) 从 数 1,2,3,4 中 任取 一个 数 , 记 为 X , 再 从 1,2, ⋯, X 中 任取 一个 数 , 记 为 Y , 则
P{Y = 2} =____________.
二、 选择题 (本题共 8 小题, 每小题 4 分, 满分 32 分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符 合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内 ) (7)设函数 f ( x ) = lim (A) 处处可导 (C)恰有两个不可导点
且 AB = O ,求线性方程组 Ax = 0 的通解. (22)(本题满分 9 分) 设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为
f (x , y ) =
1 0 < x < 1, 0 < y < 2 x 0 其它
求:( 1) ( X , Y ) 的边缘概率密度 f X ( x), f Y ( y) . (2) Z = 2 X − Y 的概率密度 f Z ( z ). (23)(本题满分 9 分) 设 X 1 , X 2 ,⋯, X n ( n > 2) 为 来 自 总 体 N (0,1) 的 简 单 随 机 样 本 , X 为 样 本 均 值 , 记
(C)
(D)
(10)设有三元方程 xy − z ln y + e xz = 1 , 根据隐函数存在定理, 存在点 (0,1,1) 的一个邻域, 在此邻域内该方程 (A) 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 z = z ( x, y) (B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x = x ( y , z ) 和 z = z ( x, y) (C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数 y = y ( x , z ) 和 z = z ( x, y) (D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数 x = x ( y , z ) 和 y = y ( x , z ) (11) 设 λ1 , λ2 是 矩 阵 A 的 两 个 不 同 的 特 征 值 , 对 应 的 特 征 向 量 分 别 为 α1 , α 2 , 则
2005考研数一真题及解析
2005年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1)曲线122+=x x y 的斜渐近线方程为 _____________.(2)微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为____________.(3)设函数181261),,(222z y x z y x u +++=,单位向量}1,1,1{31=n ,则)3,2,1(nu∂∂=.________.(4)设Ω是由锥面22y x z +=与半球面222y x R z --=围成的空间区域,∑是Ω的整个边界的外侧,则⎰⎰∑=++zdxdy ydzdx xdydz ____________.(5)设123,,ααα均为3维列向量,记矩阵123(,,)=A ααα,123123123(,24,39)=++++++B ααααααααα,如果1=A ,那么=B .(6)从数1,2,3,4中任取一个数,记为X , 再从X ,,2,1 中任取一个数,记为Y , 则}2{=Y P =____________.二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)设函数n n n x x f 31lim )(+=∞→,则()f x 在),(+∞-∞内(A)处处可导 (B)恰有一个不可导点(C)恰有两个不可导点 (D)至少有三个不可导点(8)设()F x 是连续函数()f x 的一个原函数,""N M ⇔表示"M 的充分必要条件是",N 则必有(A)()F x 是偶函数()f x ⇔是奇函数 (B)()F x 是奇函数()f x ⇔是偶函数(C)()F x 是周期函数()f x ⇔是周期函数 (D)()F x 是单调函数()f x ⇔是单调函数(9)设函数⎰+-+-++=yx y x dt t y x y x y x u )()()(),(ψϕϕ, 其中函数ϕ具有二阶导数,ψ 具有一阶导数,则必有(A)2222y ux u ∂∂-=∂∂(B)2222yu x u ∂∂=∂∂(C)222yu y x u ∂∂=∂∂∂(D)222x uy x u ∂∂=∂∂∂ (10)设有三元方程ln e 1xz xy z y -+=,根据隐函数存在定理,存在点(0,1,1)的一个邻域,在此邻域内该方程(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数(,)z z x y = (B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)z z x y = (C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)y y x z =和(,)z z x y = (D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)y y x z =(11)设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为12,αα,则1α,12()+A αα线性无关的充分必要条件是(A)01≠λ (B)02≠λ (C)01=λ (D)02=λ(12)设A 为(2)n n ≥阶可逆矩阵,交换A 的第1行与第2行得矩阵**.,B A B 分别为,A B 的伴随矩阵,则(A)交换*A 的第1列与第2列得*B (B)交换*A 的第1行与第2行得*B(C)交换*A 的第1列与第2列得*-B (D)交换*A 的第1行与第2行得*-B(13)设二维随机变量(,)X Y 的概率分布为已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立,则(A)0.2,0.3a b == (B)0.4,0.1a b == (C)0.3,0.2a b == (D)0.1,0.4a b ==(14)设)2(,,,21≥n X X X n 为来自总体(0,1)N 的简单随机样本,X 为样本均值,2S 为样本方差,则(A))1,0(~N X n (B)22~()nS n χ(C))1(~)1(--n t SXn (D)2122(1)~(1,1)nii n X F n X=--∑三 、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分11分)设}0,0,2),{(22≥≥≤+=y x y x y x D ,]1[22y x ++表示不超过221y x ++的最大整数. 计算二重积分⎰⎰++Ddxdy y x xy .]1[22(16)(本题满分12分) 求幂级数∑∞=--+-121))12(11()1(n n n x n n 的收敛区间与和函数()f x .(17)(本题满分11分)如图,曲线C 的方程为()y f x =,点(3,2)是它的一个拐点,直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线,其交点为(2,4).设函数()f x 具有三阶连续导数,计算定积分⎰'''+32.)()(dx x f x x(18)(本题满分12分)已知函数()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且(0)0,(1)1f f ==. 证明:(I)存在),1,0(∈ξ 使得ξξ-=1)(f .(2)存在两个不同的点)1,0(,∈ζη,使得.1)()(=''ζηf f(19)(本题满分12分)设函数)(y ϕ具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上,曲线积分24()22Ly dx xydyx y φ++⎰的值恒为同一常数.(I)证明:对右半平面0x >内的任意分段光滑简单闭曲线,C 有24()202Cy dx xydyx yφ+=+⎰.(2)求函数)(y ϕ的表达式.(20)(本题满分9分)已知二次型21232221321)1(22)1()1(),,(x x a x x a x a x x x f +++-+-=的秩为2.(I)求a 的值；(2)求正交变换x y =Q ,把),,(321x x x f 化成标准形. (3)求方程),,(321x x x f =0的解.(21)(本题满分9分)已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零,矩阵12324636k ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B (k 为常数),且=AB O ,求线性方程组0x =A 的通解.(22)(本题满分9分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(,)f x y =1001,02x y x <<<<其它求:(I)(,)X Y 的边缘概率密度)(),(y f x f Y X . (2)Y X Z -=2的概率密度).(z f Z(23)(本题满分9分)设)2(,,,21>n X X X n 为来自总体(0,1)N 的简单随机样本,X 为样本均值,记.,,2,1,n i X X Y i i =-=求:(I)i Y 的方差n i DY i ,,2,1, =. (2)1Y 与n Y 的协方差1Cov(,).n Y Y2005年考研数学一真题解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）曲线122+=x x y 的斜渐近线方程为 .4121-=x y【分析】 本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.【详解】 因为a=212lim )(lim22=+=∞→∞→x x x x x f x x ， []41)12(2lim)(lim -=+-=-=∞→∞→x x ax x f b x x ，于是所求斜渐近线方程为.4121-=x y （2）微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-=y 的解为.91ln 31x x x y -=. 【分析】直接套用一阶线性微分方程)()(x Q y x P y =+'的通解公式：⎰+⎰⎰=-])([)()(C dx e x Q e y dxx P dx x P ， 再由初始条件确定任意常数即可.【详解】 原方程等价为x y xy ln 2=+'， 于是通解为 ⎰⎰+⋅=+⎰⋅⎰=-]ln [1]ln [2222C xdx x xC dx ex ey dxx dxx =2191ln 31x C x x x +-， 由91)1(-=y 得C=0，故所求解为.91ln 31x x x y -=（3）设函数181261),,(222z y x z y x u +++=，单位向量}1,1,1{31=n ，则)3,2,1(nu∂∂=33. 【分析】 函数u(x,y,z)沿单位向量γβαcos ,cos ,{cos =n}的方向导数为：γβαcos cos cos zu y u x u n u ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ 因此，本题直接用上述公式即可.【详解】 因为3x x u =∂∂，6y y u =∂∂，9zz u =∂∂，于是所求方向导数为)3,2,1(nu ∂∂=.33313131313131=⋅+⋅+⋅ （4）设Ω是由锥面22y x z +=与半球面222y x R z --=围成的空间区域，∑是Ω的整个边界的外侧，则⎰⎰∑=++zdxdy ydzdx xdydz 3)221(2R -π. 【分析】本题∑是封闭曲面且取外侧，自然想到用高斯公式转化为三重积分，再用球面（或柱面）坐标进行计算即可.【详解】⎰⎰∑=++zdxdy ydzdx xdydz ⎰⎰⎰Ωdxdydz 3=.)221(2sin 3320402R d d d R⎰⎰⎰-=πππθϕϕρρ （5）设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵),,(321ααα=A ，)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ， 如果1=A ，那么=B 2 .【分析】 将B 写成用A 右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】 由题设，有)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡941321111),,(321ααα， 于是有 .221941321111=⨯=⋅=A B（6）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从X ,,2,1 中任取一个数，记为Y , 则}2{=Y P =4813. 【分析】 本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式, 且第一次试验的各种两两互不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分.【详解】 }2{=Y P =}12{}1{===X Y P X P +}22{}2{===X Y P X P +}32{}3{===X Y P X P +}42{}4{===X Y P X P =.4813)4131210(41=+++⨯ 二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）设函数n nn xx f 31lim )(+=∞→，则f(x)在),(+∞-∞内(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ C ] 【分析】 先求出f(x)的表达式，再讨论其可导情形. 【详解】 当1<x 时，11lim )(3=+=∞→n nn xx f ；当1=x 时，111lim )(=+=∞→n n x f ；当1>x 时，.)11(lim )(3133x xx x f nnn =+=∞→即.1,11,1,,1,)(33>≤≤--<⎪⎩⎪⎨⎧-=x x x x x x f 可见f(x)仅在x=1±时不可导，故应选(C).（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ⇔表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有(A) F(x)是偶函数⇔f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数⇔f(x)是偶函数.(C) F(x)是周期函数⇔f(x)是周期函数.(D) F(x)是单调函数⇔f(x)是单调函数. [ A ] 【分析】 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.【详解】 方法一：任一原函数可表示为⎰+=xC dt t f x F 0)()(，且).()(x f x F ='当F(x)为偶函数时，有)()(x F x F =-，于是)()1()(x F x F '=-⋅-'，即 )()(x f x f =--，也即)()(x f x f -=-，可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，则⎰xdt t f 0)(为偶函数，从而⎰+=xC dt t f x F 0)()(为偶函数，可见(A)为正确选项.方法二：令f(x)=1, 则取F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令f(x)=x, 则取F(x)=221x , 排除(D); 故应选(A).（9）设函数⎰+-+-++=yx yx dt t y x y x y x u )()()(),(ψϕϕ, 其中函数ϕ具有二阶导数，ψ 具有一阶导数，则必有(A) 2222y u x u ∂∂-=∂∂. （B ） 2222yu x u ∂∂=∂∂. (C) 222y uy x u ∂∂=∂∂∂. (D) 222x u y x u ∂∂=∂∂∂. [ B ] 【分析】 先分别求出22x u ∂∂、22yu∂∂、y x u ∂∂∂2，再比较答案即可.【详解】 因为)()()()(y x y x y x y x xu--++-'++'=∂∂ψψϕϕ，)()()()(y x y x y x y x yu-+++-'-+'=∂∂ψψϕϕ， 于是 )()()()(22y x y x y x y x x u-'-+'+-''++''=∂∂ψψϕϕ，)()()()(2y x y x y x y x yx u-'++'+-''-+''=∂∂∂ψψϕϕ， )()()()(22y x y x y x y x y u-'-+'+-''++''=∂∂ψψϕϕ， 可见有2222yu x u ∂∂=∂∂，应选(B). （10）设有三元方程1ln =+-xzey z xy ，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻域，在此邻域内该方程(A) 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x,y).(B) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和z=z(x,y). (C) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x,z)和z=z(x,y).(D) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z). [ D ]【分析】 本题考查隐函数存在定理，只需令F(x,y,z)=1ln -+-xzey z xy , 分别求出三个偏导数y x z F F F ,,，再考虑在点(0,1,1)处哪个偏导数不为0，则可确定相应的隐函数.【详解】 令F(x,y,z)=1ln -+-xzey z xy , 则z e y F xzx +='， yz x F y -='，x e y F xzz +-='ln ，且 2)1,1,0(='x F ，1)1,1,0(-='y F ，0)1,1,0(='z F . 由此可确定相应的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z). 故应选(D).（11）设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,αα，则1α，)(21αα+A 线性无关的充分必要条件是(A) 01≠λ. (B) 02≠λ. (C) 01=λ. (D) 02=λ. [ B ] 【分析】 讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可. 【详解】 方法一：令 0)(21211=++αααA k k ，则022211211=++αλαλαk k k ， 0)(2221121=++αλαλk k k . 由于21,αα线性无关，于是有 ⎩⎨⎧==+.0,022121λλk k k当02≠λ时，显然有0,021==k k ，此时1α，)(21αα+A 线性无关；反过来，若1α，)(21αα+A 线性无关，则必然有02≠λ(,否则，1α与)(21αα+A =11αλ线性相关)，故应选(B).方法二： 由于 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+=+21212211121101],[],[)](,[λλαααλαλααααA ，可见1α，)(21αα+A 线性无关的充要条件是.001221≠=λλλ故应选(B).（12）设A 为n （2≥n ）阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得矩阵B, **,B A 分别为A,B 的伴随矩阵，则(A) 交换*A 的第1列与第2列得*B . (B) 交换*A 的第1行与第2行得*B .(C) 交换*A 的第1列与第2列得*B -. (D) 交换*A 的第1行与第2行得*B -. [C ]【分析】 本题考查初等变换的概念与初等矩阵的性质，只需利用初等变换与初等矩阵的关系以及伴随矩阵的性质进行分析即可.【详解】 由题设，存在初等矩阵12E （交换n 阶单位矩阵的第1行与第2行所得），使得 B A E =12，于是 12*11212*12***12*)(E A E E A E A A E B -=⋅===-，即*12*B E A -=,可见应选(C).（13）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立，则(A) a=0.2, b=0.3 (B) a=0.4, b=0.1(C) a=0.3, b=0.2 (D) a=0.1, b=0.4 [ B ] 【分析】 首先所有概率求和为1，可得a+b=0.5, 其次，利用事件的独立性又可得一等式，由此可确定a,b 的取值.【详解】 由题设，知 a+b=0.5又事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立，于是有}1{}0{}1,0{=+===+=Y X P X P Y X X P ， 即 a=))(4.0(b a a ++, 由此可解得 a=0.4, b=0.1, 故应选(B).（14）设)2(,,,21≥n X X X n 为来自总体N(0,1)的简单随机样本，X 为样本均值，2S 为样本方差，则(A) )1,0(~N X n (B) ).(~22n nS χ(C) )1(~)1(--n t SXn (D) ).1,1(~)1(2221--∑=n F X X n n i i [ D ] 【分析】 利用正态总体抽样分布的性质和2χ分布、t 分布及F 分布的定义进行讨论即可.【详解】 由正态总体抽样分布的性质知，)1,0(~10N X n nX =-，可排除(A); 又)1(~0-=-n t SXn nS X ，可排除(C); 而)1(~)1(1)1(2222--=-n S n S n χ，不能断定(B)是正确选项.因为 ∑=-n i in X X222221)1(~),1(~χχ，且∑=-ni i n X X 222221)1(~)1(~χχ与相互独立，于是).1,1(~)1(1122212221--=-∑∑==n F XX n n XX ni ini i故应选(D).三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （15）（本题满分11分） 设}0,0,2),{(22≥≥≤+=y x y x y x D ，]1[22y x ++表示不超过221y x ++的最大整数. 计算二重积分⎰⎰++Ddxdy y x xy .]1[22 【分析】 首先应设法去掉取整函数符号，为此将积分区域分为两部分即可.【详解】 令 }0,0,10),{(221≥≥<+≤=y x y x y x D ， }0,0,21),{(222≥≥≤+≤=y x y x y x D .则⎰⎰++Ddxdy y x xy ]1[22=⎰⎰⎰⎰+122D D xydxdy xydxdy dr r d dr r d ⎰⎰⎰⎰+=20213132cos sin 2cos sin ππθθθθθθ=.874381=+ （16）（本题满分12分） 求幂级数∑∞=--+-121))12(11()1(n n n x n n 的收敛区间与和函数f(x).【分析】 先求收敛半径，进而可确定收敛区间. 而和函数可利用逐项求导得到.【详解】 因为11)12()12()12)(1(1)12)(1(lim=+--⨯+++++∞→n n n n n n n n n ，所以当21x <时，原级数绝对收敛，当21x >时，原级数发散，因此原级数的收敛半径为1，收敛区间为（－1,1）记 121(1)(),(1,1)2(21)n nn S x x x n n -∞=-=∈--∑，则 1211(1)(),(1,1)21n n n S x x x n -∞-=-'=∈--∑，122211()(1),(1,1)1n n n S x x x x ∞--=''=-=∈-+∑. 由于 (0)0,(0)0,S S '==所以 201()()arctan ,1xxS x S t dt dt x t '''===+⎰⎰2001()()arctan arctan ln(1).2x x S x S t dt tdt x x x '===-+⎰⎰又21221(1),(1,1),1n nn x xx x ∞-=-=∈-+∑ 从而 22()2()1x f x S x x =++2222arctan ln(1),(1,1).1x x x x x x=-++∈-+ （17）（本题满分11分）如图，曲线C 的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分⎰'''+32.)()(dx x f x x【分析】 题设图形相当于已知f(x)在x=0的函数值与导数值，在x=3处的函数值及一阶、二阶导数值.【详解】 由题设图形知，f(0)=0, 2)0(='f ; f(3)=2, .0)3(,2)3(=''-='f f 由分部积分，知⎰⎰⎰+''-''+=''+='''+330302232)12)(()()()()()()(dx x x f x f x x x f d x x dx x f x x=dx x f x f x x f d x ⎰⎰'+'+-='+-3330)(2)()12()()12(=.20)]0()3([216=-+f f（18）（本题满分12分）已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明： （I ）存在),1,0(∈ξ 使得ξξ-=1)(f ；（II ）存在两个不同的点)1,0(,∈ζη，使得.1)()(=''ζηf f【分析】 第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论.【详解】 （I ） 令x x f x F +-=1)()(，则F(x)在[0，1]上连续，且F(0)=-1<0, F(1)=1>0,于是由介值定理知，存在),1,0(∈ξ 使得0)(=ξF ，即ξξ-=1)(f .（II ） 在],0[ξ和]1,[ξ上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，知存在两个不同的点)1,(),,0(ξζξη∈∈，使得0)0()()(--='ξξηf f f ，ξξζ--='1)()1()(f f f于是 .1111)(1)()()(=-⋅-=--⋅=''ξξξξξξξξζηf f f f （19）（本题满分12分）设函数)(y ϕ具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上，曲线积分⎰++Ly x xydydx y 4222)(ϕ的值恒为同一常数.（I ）证明：对右半平面x>0内的任意分段光滑简单闭曲线C ，有022)(42=++⎰Cyx xydydx y ϕ；（II ）求函数)(y ϕ的表达式.【分析】 证明（I ）的关键是如何将封闭曲线C 与围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线相联系，这可利用曲线积分的可加性将C 进行分解讨论；而（II ）中求)(y ϕ的表达式，显然应用积分与路径无关即可.【详解】 （I ）如图，将C 分解为：21l l C +=，另作一条曲线3l=++⎰Cy x xydydx y 4222)(ϕ-++⎰+314222)(l l y x xydydx y ϕ022)(3242=++⎰+l l y x xydydx y ϕ.（II ） 设2424()2,22y xyP Q x yx yϕ==++，,P Q 在单连通区域0x >内具有一阶连续偏导数，由（Ⅰ）知，曲线积分24()22Ly dx xydyx y ϕ++⎰在该区域内与路径无关，故当0x >时，总有Q Px y∂∂=∂∂. 24252422422(2)4242,(2)(2)Q y x y x xy x y y x x y x y ∂+--+==∂++ ①243243242242()(2)4()2()()4().(2)(2)P y x y y y x y y y y y y x y x y ϕϕϕϕϕ'''∂+-+-==∂++ ② 比较①、②两式的右端，得435()2,()4()2.y y y y y y y ϕϕϕ'=-⎧⎨'-=⎩ 由③得2()y y c ϕ=-+，将()y ϕ代入④得 535242,y cy y -= 所以0c =，从而2().y y ϕ=-（20）（本题满分9分）已知二次型21232221321)1(22)1()1(),,(x x a x x a x a x x x f +++-+-=的秩为2.（I ） 求a 的值；（II ） 求正交变换Qy x =，把),,(321x x x f 化成标准形； （III ） 求方程),,(321x x x f =0的解.【分析】 （I ）根据二次型的秩为2，可知对应矩阵的行列式为0，从而可求a 的值；（II ）是常规问题，先求出特征值、特征向量，再正交化、单位化即可找到所需正交变换； （III ）利用第二步的结果，通过标准形求解即可.【详解】 （I ） 二次型对应矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++-=200011011a a a a A ， 由二次型的秩为2，知 020011011=-++-=aa a a A ，得a=0. （II ） 这里⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=200011011A ， 可求出其特征值为0,2321===λλλ. 解 0)2(=-x A E ，得特征向量为：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100,01121αα，解 0)0(=-x A E ，得特征向量为：.0113⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=α由于21,αα已经正交，直接将21,αα，3α单位化，得：③ ④⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01121,100,01121321ηηη令[]321ααα=Q ，即为所求的正交变换矩阵，由x=Qy ，可化原二次型为标准形：),,(321x x x f =.222221y y + （III ） 由),,(321x x x f ==+222122y y 0，得k y y y ===321,0,0（k 为任意常数）.从而所求解为：x=Qy=[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0003321c c k k ηηηη，其中c 为任意常数. （21）（本题满分9分）已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零，矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=k B 63642321（k 为常数），且AB=O, 求线性方程组Ax=0的通解.【分析】 AB=O, 相当于告之B 的每一列均为Ax=0的解，关键问题是Ax=0的基础解系所含解向量的个数为多少，而这又转化为确定系数矩阵A 的秩.【详解】 由AB=O 知，B 的每一列均为Ax=0的解，且.3)()(≤+B r A r（1）若k 9≠, 则r(B)=2, 于是r(A)1≤, 显然r(A)1≥, 故r(A)=1. 可见此时Ax=0的基础解系所含解向量的个数为3-r(A)=2, 矩阵B 的第一、第三列线性无关，可作为其基础解系，故Ax=0 的通解为：2121,,63321k k k k k x ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=为任意常数.(2) 若k=9，则r(B)=1, 从而.2)(1≤≤A r1） 若r(A)=2, 则Ax=0的通解为：11,321k k x ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=为任意常数.2） 若r(A)=1,则Ax=0 的同解方程组为：0321=++cx bx ax ,不妨设0≠a ,则其通解为2121,,1001k k a c k a b k x ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=为任意常数.（22）（本题满分9分）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 .,20,10,0,1),(其他x y x y x f <<<<⎩⎨⎧=求：（I ） (X,Y)的边缘概率密度)(),(y f x f Y X ； （II ）Y X Z -=2的概率密度).(z f Z【分析】 求边缘概率密度直接用公式即可；而求二维随机变量函数的概率密度，一般用分布函数法，即先用定义求出分布函数，再求导得到相应的概率密度.【详解】 （I ） 关于X 的边缘概率密度)(x f X =⎰+∞∞-dy y x f ),(=.,10,0,20其他<<⎪⎩⎪⎨⎧⎰x dy x=.,10,0,2其他<<⎩⎨⎧x x关于Y 的边缘概率密度)(y f Y =⎰+∞∞-dx y x f ),(=.,20,0,12其他<<⎪⎩⎪⎨⎧⎰y dx y=.,20,0,21其他<<⎪⎩⎪⎨⎧-y y （II ） 令}2{}{)(z Y X P z Z P z F Z ≤-=≤=， 1） 当0<z 时，0}2{)(=≤-=z Y X P z F Z ；2） 当20<≤z 时，}2{)(z Y X P z F Z ≤-= =241z z -; 3) 当2≥z 时，.1}2{)(=≤-=z Y X P z F Z即分布函数为： .2,20,0,1,41,0)(2≥<≤<⎪⎩⎪⎨⎧-=z z z z z z F Z故所求的概率密度为：.,20,0,211)(其他<<⎪⎩⎪⎨⎧-=z z z f Z （23）（本题满分9分）设)2(,,,21>n X X X n 为来自总体N(0,1)的简单随机样本，X 为样本均值，记.,,2,1,n i X X Y i i =-=求：（I ） i Y 的方差n i DY i ,,2,1, =； （II ）1Y 与n Y 的协方差).,(1n Y Y Cov【分析】 先将i Y 表示为相互独立的随机变量求和，再用方差的性质进行计算即可；求1Y 与n Y 的协方差),(1n Y Y Cov ，本质上还是数学期望的计算，同样应注意利用数学期望的运算性质.【详解】 由题设，知)2(,,,21>n X X X n 相互独立，且),,2,1(1,0n i DX EX i i ===，.0=X E（I ）∑≠--=-=ni j j i i i X n X n D X X D DY ]1)11[()(=∑≠+-nij ji DXnDX n 221)11(=.1)1(1)1(222n n n n n n -=-⋅+- （II ） )])([(),(111n n n EY Y EY Y E Y Y Cov --= =)])([()(11X X X X E Y Y E n n --==)(211X X X X X X X E n n +--=211)(2)(X E X X E X X E n +-=22121)(][20X E X D X X X E n nj j +++-∑==.112nn n -=+-。
考研数学一2005真题
考研数学一2005真题考研数学一是许多考生备战研究生入学考试的必考科目之一。
为了帮助考生更好地准备数学一科目，我们将介绍2005年的数学一真题，并提供详细解析。
本文分为四个部分，分别是选择题、填空题、计算题和证明题。
选择题（共10小题）1. (5分) 设函数 $f(x)$ ，且对任意实数 $x$ 满足 $f(2x)=2f(x)$ ，且$f'(0)=2$ ，则 $f(1)$ 的值为多少？解析：根据题干中的函数性质，我们可以得出 $f(4x)=4f(x)$ ，$f(8x)=8f(x)$ ，以此类推。
根据规律，我们可以得到$f(x)=f\left(\dfrac{x}{2^n}\right) \cdot 2^n$ ，其中 $n$ 为正整数。
因此，我们有 $f(1)=f\left(\dfrac{1}{2^n}\right) \cdot 2^n$，令 $n\to\infty$ ，即可得出 $f(1)=f(0) \cdot 2^n$。
又已知 $f'(0)=2$，代入上式可以解得$f(1)=2$。
2. (5分) 在 $\triangle ABC$ 中，$AD$ 是边 $BC$ 的中线，垂直平分线 $BE$ 交 $AD$ 于点 $E$，则 $\angle DAE$ 的度数为多少？解析：根据题目中给出的条件可以得知，点 $E$ 是 $\triangleABC$ 的垂心。
由垂心定理可知，$\angle DAE = 90^\circ - \angle AEB = 90^\circ - \angle ACB$。
因此，我们只需要计算出 $\angle ACB$ 的度数即可。
由于 $AD$ 是边 $BC$ 的中线，可以得知 $\angle CAD = \angle BAD$，进一步可得 $\angle CAD = \angle BAD = \angle ACB/2$。
又$\angle CAD + \angle ACD + \angle CDA = 180^\circ$，代入已知条件可得 $\angle ACB = 120^\circ$。
2005考研数学四试题及解析
2005年硕士研究生入学考试（数学四）试题及答案解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）极限12sinlim 2+∞→x xx x = 2 . 【分析】 本题属基本题型，直接用无穷小量的等价代换进行计算即可.【详解】 12s i n l i m2+∞→x x x x =.212lim 2=+∞→x xx x （2） 微分方程0=+'y y x 满足初始条件2)1(=y 的特解为 2=xy . 【分析】 直接积分即可.【详解】 原方程可化为 0)(='xy ，积分得 C xy =， 代入初始条件得C=2，故所求特解为 xy=2.（3）设二元函数)1ln()1(y x xe z y x +++=+，则=)0,1(dz dy e edx )2(2++ .【分析】 基本题型，直接套用相应的公式即可. 【详解】)1l n (y xe e xzy x y x +++=∂∂++,y x xe y z y x +++=∂∂+11, 于是 =)0,1(dzdy e edx )2(2++.（4）设行向量组)1,1,1,2(，),,1,2(a a ，),1,2,3(a ，)1,2,3,4(线性相关，且1≠a ，则a=21. 【分析】 四个4维向量线性相关，必有其对应行列式为零，由此即可确定a. 【详解】 由题设，有=1234123121112aa a 0)12)(1(=--a a , 得21,1==a a ，但题设1≠a ，故.21=a（5）设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵),,(321ααα=A ，)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ， 如果1=A ，那么=B 2 .【分析】 将B 写成用A 右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即【详解】 由题设，有)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡941321111),,(321ααα， 于是有 .221941321111=⨯=⋅=A B（6）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从X ,,2,1 中任取一个数，记为Y , 则}2{=Y P =4813 . 【分析】 本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式, 且第一次试验的各种两两互不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分.【详解】 }2{=Y P =}12{}1{===X Y P X P +}22{}2{===X Y P X P +}32{}3{===X Y P X P +}42{}4{===X Y P X P =.4813)4131210(41=+++⨯ 二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）当a 取下列哪个值时，函数a x x x x f -+-=1292)(23恰好有两个不同的零点. (A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. [ B ]【分析】 先求出可能极值点，再利用单调性与极值画出函数对应简单图形进行分析，当恰好有一个极值为零时，函数f(x)恰好有两个不同的零点.【详解】 12186)(2+-='x x x f =)2)(1(6--x x ，知可能极值点为x=1,x=2，且 a f a f -=-=4)2(,5)1(，可见当a=4时，函数f(x) 恰好有两个零点，故应选(B).（8）设σd y x I D⎰⎰+=221cos ,σd y x I D ⎰⎰+=)cos(222,σd y x I D⎰⎰+=2223)cos(,其中}1),{(22≤+=y x y x D ，则(A) 123I I I >>. （B ）321I I I >>.(C) 312I I I >>. (D) 213I I I >>. [ A ]【分析】 关键在于比较22y x +、22y x +与222)(y x +在区域}1),{(22≤+=y x y x D 上的大小.【详解】 在区域}1),{(22≤+=y x y x D 上，有1022≤+≤y x ，从而有2212y x +≥>π≥22y x +≥0)(222≥+y x由于cosx 在)2,0(π上为单调减函数，于是22c o s 0y x +≤)c o s (22y x +≤≤222)c o s (y x +因此<+⎰⎰σd y x D22cos<+⎰⎰σd y xD)cos(22σd y xD⎰⎰+222)cos(，故应选(A).（9）下列结论中正确的是 (A)⎰∞++1)1(x x dx 与⎰+10)1(x x dx 都收敛. （B ）⎰∞++1)1(x x dx 与⎰+10)1(x x dx都发散.(C)⎰∞++1)1(x x dx 发散，⎰+10)1(x x dx收敛. (D)⎰∞++1)1(x x dx 收敛，⎰+10)1(x x dx发散.[ D ]【分析】 直接计算相应积分，判定其敛散性即可. 【详解】⎰∞++1)1(x x dx =2ln 1ln1=+∞+x x ，积分收敛，⎰+1)1(x x dx =+∞=-∞-=+)(01ln10x x，积分发散.故应选(D).（10）设x x x x f cos sin )(+=,下列命题中正确的是(A) f(0)是极大值，)2(πf 是极小值. （B ） f(0)是极小值，)2(πf 是极大值.（C ） f(0)是极大值，)2(πf 也是极大值. (D) f(0)是极小值，)2(πf 也是极小值.[ B ]【分析】 先求出)(),(x f x f '''，再用取极值的充分条件判断即可.【详解】 x x x x x x x f cos sin cos sin )(=-+='，显然 0)2(,0)0(='='πf f ，又 x x xx f s i n c o s )(-=''，且02)2(,01)0(<-=''>=''ππf f ，故f(0)是极小值，)2(πf 是极大值，应选(B). （11）以下四个命题中，正确的是(A) 若)(x f '在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界. （B ）若)(x f 在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界. （C ）若)(x f '在（0，1）内有界，则f(x)在（0，1）内有界.(D) 若)(x f 在（0，1）内有界，则)(x f '在（0，1）内有界. [ C ] 【分析】 通过反例用排除法找到正确答案即可. 【详解】 设f(x)=x 1, 则f(x)及21)(xx f -='均在（0，1）内连续，但f(x)在（0，1）内无界，排除(A)、(B); 又x x f =)(在（0，1）内有界，但xx f 21)(='在（0，1）内无界，排除(D). 故应选(C).（12）设A,B,C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若B=E+AB,C=A+CA ，则B-C 为(A) E. （B ）-E. （C ）A. (D) -A [ A ] 【分析】 利用矩阵运算进行分析即可. 【详解】 由B=E+AB,C=A+CA ，知 (E-A)B=E, C(E-A)=A,可见，E-A 与B 互为逆矩阵，于是有 B(E-A)=E.从而有 (B-C)(E-A)=E-A, 而E-A 可逆，故 B-C=E. 应选(A).（13）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1 已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立，则(A) a=0.2, b=0.3 (B) a=0.4, b=0.1(C) a=0.3, b=0.2 (D) a=0.1, b=0.4 [ B ] 【分析】 首先所有概率求和为1，可得a+b=0.5, 其次，利用事件的独立性又可得一等式，由此可确定a,b 的取值.【详解】 由题设，知 a+b=0.5又事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立，于是有}1{}0{}1,0{=+===+=Y X P X P Y X X P ， 即 a=))(4.0(b a a ++, 由此可解得 a=0.4, b=0.1, 故应选(B).（14） 设 ,,,,21n X X X 为独立同分布的随机变量列，且均服从参数为)1(>λλ的指数分布，记)(x Φ为标准正态分布函数，则(A) )(}{lim 1x x nn XP ni in Φ=≤-∑=∞→λλ. (B) )(}{lim 1x x n n XP ni in Φ=≤-∑=∞→λλ.(C)).(}{lim 1x x nnX P ni i n Φ=≤-∑=∞→λ(D)).(}{lim 1x x n XP ni in Φ=≤-∑=∞→λλ[ C ]【分析】 只需求出∑=ni iX1的期望与方差，再根据中心极限定理将其标准化即可.【详解】 由题设，21,1λλ==i i DX EX ， ,,,2,1n i =，于是λnX Eni i =∑=1， 21λnX Dni i =∑=，根据中心极限定理，知nnX nnXni i ni i∑∑==-=-121λλλ其极限分布服从标准正态分布，故应选(C).三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （15）（本题满分8分）求).111(lim 0xe x x x --+-→【分析】 ""∞-∞型未定式，一般先通分，再用罗必塔法则.【详解】 )1(1lim )111(lim 200x xx x x e x e x x x e x --→-→-+-+=--+ =2201lim x e x x x x -→+-+ =x e x x x 221lim 0-→-+=.2322lim0=+-→x x e （16）（本题满分8分）设f(u)具有二阶连续导数，且)()(),(y x yf x y f y x g +=，求.222222yg y x g x ∂∂-∂∂ 【分析】 先求出二阶偏导数，再代入相应表达式即可.【详解】 由已知条件可得)()(2y x f x y f xy x g '+'-=∂∂， )(1)()(242322y xf y y x f xy x y f x y x g ''+''+'=∂∂，)()()(1yxf y x y x f x y f x yg '-+'=∂∂， )()()()(13222222y xf yx y x f y x y x f y x x y f x y g ''+'+'-''=∂∂， 所以 222222yg y x g x ∂∂-∂∂ =)()()(2222y x f y x y x f x y x y f x y ''+''+')()(222y x f y x x y f xy ''-''-=).(2xy f x y ' （17）（本题满分9分） 计算二重积分σd y x D⎰⎰-+122，其中}10,10),{(≤≤≤≤=y x y x D .【分析】 被积函数含有绝对值，应当作分区域函数看待，利用积分的可加性分区域积分即可.【详解】 记}),(,1),{(221D y x y x y x D ∈≤+=，}),(,1),{(222D y x y x y x D ∈>+=，于是σd y xD⎰⎰-+122=⎰⎰-+-1)1(22D dxdy y x ⎰⎰-++2)1(22D dxdy y x=⎰⎰--2021)1(πθrdr r d ⎰⎰-++Ddxdy y x )1(22⎰⎰-+-1)1(22D dxdy y x=8π+⎰⎰⎰⎰---+20102210210)1()1(πθrdr r d dy y x dx =.314-π（18）（本题满分9分）求f(x,y)=222+-y x 在椭圆域}14),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值. 【分析】 根据全微分和初始条件可先确定f(x,y)的表达式. 而f(x,y)在椭圆域上的最大值和最小值, 可能在区域的内部达到，也可能在区域的边界上达到，且在边界上的最值又转化为求条件极值..【详解】 令02,02=-=∂∂==∂∂y yf x x f 得可能极值点为x=0,y=0. 且 2)0,0(22=∂∂=x fA ，0)0,0(2=∂∂∂=y x fB ，2)0,0(22-=∂∂=yfC ，042>=-=∆AC B ，所以点(0,0) 不是极值点，从而也非最值点.再考虑其在边界曲线1422=+y x 上的情形：令拉格朗日函数为 )14(),(),,(22-++=y x y x f y x F λλ， 解 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+='=+-=+∂∂='=+=+∂∂=',014,02122,0)1(2222y x F y y y y f F x x x fF y x λλλλλ得可能极值点4,2,0===λy x ；4,2,0=-==λy x ；1,0,1-===λy x ；.1,0,1-==-=λy x 代入f(x,y)得,2)2,0(-=±f 3)0,1(=±f ，可见z=f(x,y)在区域}14),{(22≤+=y x y x D 内的最大值为3，最小值为-2.（19）（本题满分8分）设f(x),g(x)在[0，1]上的导数连续，且f(0)=0,0)(≥'x f ,0)(≥'x g .证明：对任何a ]1,0[∈,有⎰⎰≥'+'ag a f dx x g x f dx x f x g 01).1()()()()()(【分析】 可用参数变易法转化为函数不等式证明，或根据被积函数的形式，通过分部积分讨论.【详解】 方法一：设=)(x F ⎰⎰-'+'x g x f dt t g t f dt t f t g 01)1()()()()()(，则F(x)在[0，1]上的导数连续，并且=')(x F )]1()()[()1()()()(g x g x f g x f x f x g -'='-'，由于]1,0[∈x 时，0)(,0)(≥'≥'x g x f ，因此0)(≤'x F ，即F(x)在[0，1]上单调递减.注意到 =)1(F ⎰⎰-'+'11)1()1()()()()(g f dt t g t f dt t f t g ，而⎰⎰⎰'-=='11110)()()()()()()()(dt t g t f t f t g t df t g dt t f t g=⎰'-1)()()1()1(dt t g t f g f ，故F(1)=0.因此]1,0[∈x 时，0)(≥x F ，由此可得对任何]1,0[∈a ，有 ⎰⎰≥'+'ag a f dx x g x f dx x f x g 01).1()()()()()(方法二：⎰⎰'-='aaa dx x g x f x f x g dx x f x g 0)()()()()()(=⎰'-adx x g x f a g a f 0)()()()(，⎰⎰'+'adx x g x f dx x f x g 01)()()()(=⎰⎰'+'-1)()()()()()(dx x g x f dx x g x f a g a f a⎰'+1.)()()()(adx x g x f a g a f由于]1,0[∈x 时，0)(≥'x g ，因此)()()()(x g a f x g x f '≥'，]1,[a x ∈， ⎰⎰-='≥'101)]()1()[()()()()(a g g a f dx x g a f dx x g x f ，从而⎰⎰'+'adx x g x f dx x f x g 01)()()()().1()()]()1()[()()(g a f a g g a f a g a f =-+≥（20）（本题满分13分） 已知齐次线性方程组（i ） ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,0,0532,032321321321ax x x x x x x x x和（ii ） ⎩⎨⎧=+++=++,0)1(2,03221321x c x b x cx bx x 同解，求a,b, c 的值.【分析】 方程组（ii ）显然有无穷多解，于是方程组（i ）也有无穷多解，从而可确定a ，这样先求出（i ）的通解，再代入方程组（ii ）确定b,c 即可.【详解】 方程组（ii ）的未知量个数大于方程个数，故方程组方程组（ii ）有无穷多解.因为方程组（i ）与（ii ）同解，所以方程组（i ）的系数矩阵的秩小于3.对方程组（i ）的系数矩阵施以初等行变换⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡20011010111532321a a ，从而a=2. 此时，方程组（i ）的系数矩阵可化为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000110101211532321， 故T)1,1,1(--是方程组（i ）的一个基础解系.将1,1,1321=-=-=x x x 代入方程组（ii ）可得 2,1==c b 或.1,0==c b当2,1==c b 时，对方程组（ii ）的系数矩阵施以初等行变换，有⎥⎦⎤⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡110101312211，显然此时方程组（i ）与（ii ）同解.当1,0==c b 时，对方程组（ii ）的系数矩阵施以初等行变换，有⎥⎦⎤⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡000101202101，显然此时方程组（i ）与（ii ）的解不相同.综上所述，当a=2,b=1,c=2时，方程组（i ）与（ii ）同解. （21）（本题满分13分） 设A 为三阶矩阵，321,,ααα是线性无关的三维列向量，且满足3211αααα++=A ，3222ααα+=A ，32332ααα+=A .(I) 求矩阵B, 使得B A ),,(),,(321321αααααα=； （II ）求矩阵A 的特征值；（III ）求可逆矩阵P , 使得AP P 1-为对角矩阵.【分析】 利用(I)的结果相当于确定了A 的相似矩阵，求矩阵A 的特征值转化为求A 的相似矩阵的特征值.【详解】 (I) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=311221001),,(),,(321321ααααααA , 可知 .311221001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=B （II ）因为321,,ααα是线性无关的三维列向量，可知矩阵],,[321ααα=C 可逆，所以B AC C =-1，即矩阵A 与B 相似，由此可得矩阵A 与B 有相同的特征值.由0)4()1(311221012=--=-------=-λλλλλλB E ，得矩阵B 的特征值，也即矩阵A 的特征值.4,1321===λλλ（III ） 对应于121==λλ，解齐次线性方程组(E-B)X=0，得基础解系T )0,1,1(1-=ξ，T )1,0,2(2-=ξ；对应于43=λ，解齐次线性方程组(4E-B)X=0，得基础解系.)1,1,0(3T =ξ令矩阵 []⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==110101021321ξξξQ ，则 .4000100011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-BQ Q 因 )()(1111CQ A CQ ACQ C Q BQ Q ----==，记矩阵[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==110101021321αααCQ P =[]323121,2,αααααα++-+-，故P 即为所求的可逆矩阵.（22）（本题满分13分）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为.,20,10,0,1),(其他x y x y x f <<<<⎩⎨⎧= 求：（I ） (X,Y)的边缘概率密度)(),(y f x f Y X ；（II ） Y X Z -=2的概率密度).(z f Z( III ) }.2121{≤≤X Y P 【分析】 求边缘概率密度直接用公式即可；而求二维随机变量函数的概率密度，一般用分布函数法，即先用定义求出分布函数，再求导得到相应的概率密度; 直接用条件概率公式计算即可.【详解】 （I ） 关于X 的边缘概率密度)(x f X =⎰+∞∞-dy y x f ),(=.,10,0,20其他<<⎪⎩⎪⎨⎧⎰x dy x =.,10,0,2其他<<⎩⎨⎧x x 关于Y 的边缘概率密度)(y f Y =⎰+∞∞-dx y x f ),(=.,20,0,12其他<<⎪⎩⎪⎨⎧⎰y dx y =.,20,0,21其他<<⎪⎩⎪⎨⎧-y y （II ） 令}2{}{)(z Y X P z Z P z F Z ≤-=≤=，1） 当0<z 时，0}2{)(=≤-=z Y X P z F Z ；2） 当20<≤z 时，}2{)(z Y X P z F Z ≤-= =241z z -; 3) 当2≥z 时，.1}2{)(=≤-=z Y X P z F Z即分布函数为： .2,20,0,1,41,0)(2≥<≤<⎪⎩⎪⎨⎧-=z z z z z z F Z 故所求的概率密度为：.,20,0,211)(其他<<⎪⎩⎪⎨⎧-=z z z f Z （III ） .4341163}21{}21,21{}2121{==≤≤≤=≤≤X P Y X P X Y P （23）（本题满分13分）设)2(,,,21>n X X X n 为来自总体N(0,2σ)的简单随机样本，X 为样本均值，记.,,2,1,n i X X Y i i =-=求：（I ） i Y 的方差n i DY i ,,2,1, =；（II ）1Y 与n Y 的协方差).,(1n Y Y Cov（III ）}.0{1≤+n Y Y P【分析】 先将i Y 表示为相互独立的随机变量求和，再用方差的性质进行计算即可；求1Y 与n Y 的协方差),(1n Y Y Cov ，本质上还是数学期望的计算，同样应注意利用数学期望的运算性质；求概率}0{1≤+n Y Y P 的关键是先确定其分布.【详解】 由题设，知)2(,,,21>n X X X n 相互独立，且),,2,1(,02n i DX EX i i ===σ，.0=X E（I ）∑≠--=-=nij j i i i X n X n D X X D DY ]1)11[()(=∑≠+-n i j j i DXn DX n 221)11(=.1)1(1)1(222222σσσn n n nn n -=-⋅+- （II ） )])([(),(111n n n EY Y EY Y E Y Y Cov --= =)])([()(11X X X X E Y Y E n n --= =)(211X X X X X X X E n n +-- =211)(2)(X E X X E X X E n +-=22121)(][20X E X D X X X E n n j j +++-∑= =.112222σσσn n n -=+- （III ） X X X X Y Y n n -+-=+11=n n i i X nn X n X n n 222121-+--∑-=, 上式是相互独立的正态随机变量的线性组合，所以n Y Y +1服从正态分布，由于0)(1=+n Y Y E ，故 }0{1≤+n Y Y P =.21。
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北京大学2005 数学专业研究生 数学分析
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1. 设x x x x x x f sin sin 1
sin )(22--=，试求)(sup lim x f x +∞→和)(inf lim x f x +∞
→. 2. (1)设)(x f 在开区间),(b a 可微，且)(x f '在),(b a 有界。
证明)(x f 在),(b a 一致连续。
(2) 设)(x f 在开区间),(b a )(+∞<<<-∞b a 可微且一致连续，试问)(x f '在),(b a 是否一定有界。
（若肯定回答，请证明；若否定回答，举例说明）
3．设)1(sin )(22+=x x f .
(1)求)(x f 的麦克劳林展开式。
(2)求)0()(n f 。
)3,2,1( =n
4．试作出定),(y x f 义在2R 中的一个函数),(y x f ，使得它在原点处同时满足以下三个条
件：
（1）),(y x f 的两个偏导数都存在；（2）任何方向极限都存在；（3）原点不连续
5．计算⎰L
ds x 2
.其中L 是球面1222=++z y x 与平面0=++z y x 的交线。
6．设函数列)}({x f n 满足下列条件：（1）n ∀，)(x f n 在],[b a 连续且有)()(1x f x f n n +≤（],[b a x ∈）
（2）)}({x f n 点点收敛于],[b a 上的连续函数)(x s
证明：)}({x f n 在],[b a 上一致收敛于)(x s
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