培优专题(四) 一次函数与方程、不等式的实际应用问题

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一次函数与方程、不等式详细教案

一次函数与方程、不等式详细教案

一次函数与方程、不等式详细教案第一章:一次函数的概念与性质1.1 一次函数的定义介绍一次函数的定义:形式为y = kx + b(k、b为常数,k≠0)的函数。

强调一次函数的图像为直线。

1.2 一次函数的斜率与截距解释斜率k的意义:直线的倾斜程度。

解释截距b的意义:直线与y轴的交点。

1.3 一次函数的图像特点描述一次函数图像的形状、方向和位置。

第二章:一次函数的图像与解析式2.1 一次函数图像的绘制利用斜率和截距绘制一次函数的图像。

2.2 一次函数解析式的求解介绍求解一次函数解析式的方法:观察图像或给定的点。

2.3 一次函数图像与解析式的关系解释图像与解析式之间的联系。

第三章:一次函数的应用3.1 线性方程的解法介绍解线性方程的方法:代入法、消元法等。

3.2 实际问题中的一元一次方程举例说明一元一次方程在实际问题中的应用。

3.3 一次函数与不等式介绍一次函数与不等式的关系:图像与解集。

第四章:一元一次不等式的解法4.1 不等式的基本性质介绍不等式的加减乘除性质。

4.2 一元一次不等式的解法介绍解一元一次不等式的方法:同解变形、图像法等。

4.3 不等式的应用举例说明一元一次不等式在实际问题中的应用。

第五章:一次函数与方程的综合应用5.1 实际问题中的一次函数与方程组举例说明一次函数与方程组在实际问题中的应用。

5.2 一次函数与方程的综合解法介绍一次函数与方程的综合解法:代入法、图像法等。

5.3 一次函数与方程的拓展应用探讨一次函数与方程在其他领域的应用。

第六章:一次函数的图像与几何性质6.1 一次函数图像的交点介绍如何求出两条一次函数图像的交点。

强调交点在解析几何中的应用。

6.2 一次函数图像与坐标轴的交点解释一次函数与x轴、y轴的交点求解方法。

6.3 一次函数图像的距离和角度介绍如何利用一次函数图像求解两点间的距离和角度。

第七章:一次函数图像的变换7.1 一次函数图像的平移介绍如何对一次函数图像进行上下、左右平移。

一次函数与方程不等式练习题及教案设计

一次函数与方程不等式练习题及教案设计

一次函数、方程与不等式练习题及教案设计教案章节:一、一次函数的概念与性质1.1 理解一次函数的定义1.2 掌握一次函数的斜率和截距1.3 理解一次函数的图像特点二、一次函数的图像与解析式2.1 绘制一次函数的图像2.2 解析一次函数图像的斜率和截距2.3 一次函数图像的交点与解方程三、一次函数的应用题3.1 线性方程的应用题3.2 线性方程组的应用题3.3 实际问题转化为一次函数应用题四、一次方程的解法4.1 代入法解一次方程4.2 消元法解一次方程组4.3 图像法解一次方程五、一次不等式与一次方程的关系5.1 理解一次不等式的定义5.2 掌握一次不等式的解法5.3 一次不等式与一次方程的联系与区别教案设计:一、教学目标:1. 让学生理解一次函数的定义和性质。

2. 学会绘制一次函数的图像,并解析图像的斜率和截距。

3. 能够将实际问题转化为一次函数应用题,并求解。

二、教学方法:1. 采用问题驱动的教学方法,引导学生通过解决实际问题来学习一次函数的概念和性质。

2. 利用多媒体工具,展示一次函数的图像,帮助学生直观理解一次函数的特点。

3. 通过小组合作学习,培养学生的团队协作能力和问题解决能力。

三、教学内容:1. 引入一次函数的概念,引导学生通过观察图像来理解一次函数的性质。

2. 教授一次函数的图像与解析式,让学生学会绘制一次函数的图像,并能够解析图像的斜率和截距。

3. 提供一次函数的应用题,让学生通过解决实际问题来巩固一次函数的知识。

四、教学评估:1. 通过课堂练习题,检查学生对一次函数概念和性质的理解。

2. 通过小组讨论,评估学生对一次函数图像与解析式的掌握情况。

3. 通过课后作业,评估学生对一次函数应用题的解决能力。

五、教学资源:1. 多媒体教学课件,展示一次函数的图像和实际应用题。

2. 练习题和作业,供学生巩固知识和进行自我评估。

六、一次方程的解法6.1 理解一次方程的解法6.2 掌握代入法解一次方程6.3 学会消元法解一次方程组七、一次方程组的应用题7.1 理解一次方程组的定义7.2 学会解一次方程组的方法7.3 解决实际问题转化为一次方程组应用题八、一次不等式的解法8.1 理解一次不等式的解法8.2 掌握解法一次不等式的方法8.3 解决实际问题中的一次不等式九、一次不等式与一次方程的综合应用题9.1 理解一次不等式与一次方程的综合应用题9.2 学会解决一次不等式与一次方程的综合应用题9.3 解决实际问题中的综合应用题十、总结与复习10.1 总结一次函数、方程与不等式的关系10.2 复习一次函数、方程与不等式的解法10.3 巩固一次函数、方程与不等式的应用题解法教案设计:六、教学目标:1. 让学生理解一次方程的解法。

专题5.4 一次函数与方程、不等式的关系【十大题型】(学生版)

专题5.4 一次函数与方程、不等式的关系【十大题型】(学生版)

专题5.4一次函数与方程、不等式的关系【十大题型】【浙教版】【题型1一次函数与一元一次方程的解】 (1)【题型2两个一次函数与一元一次方程】 (2)【题型3利用一次函数的变换求一元一次方程的解】 (3)【题型4一次函数与二元一次方程(组)的解】 (3)【题型5不解方程组判断方程组解的情况】 (4)【题型6一次函数与一元一次不等式的解集】 (5)【题型7两个一次函数与一元一次不等式】 (6)【题型8绝对值函数与不等式】 (7)【题型9一次函数与一元一次不等式组的解集】 (9)【题型10一次函数与不等式组中的阴影区域问题】 (10)【例1】(2022秋•白塔区校级月考)直线y=3x﹣m﹣4经过点A(m,0),则关于x的方程3x﹣m﹣4=0的解是.【变式1-1】(2022春•安阳县期末)一次函数y=kx+b的图象如图所示,则关于x的方程kx+b=0的解为.【变式1-2】(2022春•雷州市校级期末)一次函数y=kx+b(k≠0,k,b是常数)的图象如图所示,则关于x的方程kx+b=4的解是()A.x=3B.x=4C.x=0D.x=b【变式1-3】(2022秋•招远市期末)已知关于x的一次函数y=3x+n的图象如图,则关于x的一次方程3x+n=0的解是()A.x=﹣2B.x=﹣3C.D.【题型2两个一次函数与一元一次方程】【例2】(2022秋•双流区期末)已知一次函数y=5x+m的图象与正比例函数y=kx的图象交于点(﹣2,4)(k,m是常数),则关于x的方程5x=kx﹣m的解是.【变式2-1】(2022秋•龙岗区期末)如图,函数y=2x+b与函数y=kx﹣1的图象交于点P,则关于x的方程kx﹣1=2x+b的解是.【变式2-2】(2022秋•苏州期末)已知一次函数y=kx+1与的图象相交于点(2,5),求关于x的方程kx+b=0的解.【变式2-3】(2022秋•包河区期末)已知直线y=x+b和y=ax+2交于点P(3,﹣1),则关于x的方程(a﹣1)x =b﹣2的解为.【题型3利用一次函数的变换求一元一次方程的解】【例3】(2022春•江都区校级月考)若一次函数y=kx+b(k为常数且k≠0)的图象经过点(﹣2,0),则关于x 的方程k(x﹣5)+b=0的解为.【变式3-1】(2022•姜堰区一模)若一次函数y=ax+b(a、b为常数,且a≠0)的图象过点(2,0),则关于x 的方程a(x+1)+b=0的解是.【变式3-2】(2022秋•庐阳区校级期中)若关于x的一次函数y=kx+b的图象经过点A(﹣1,0),则方程k(x+2)+b=0的解为.【变式3-3】(2022秋•庐阳区校级期中)将直线y=kx﹣2向下平移4个单位长度得直线y=kx+m,已知方程kx+m =0的解为x=3,则k=,m=.【题型4一次函数与二元一次方程(组)的解】【例4】(2022春•夏津县期末)如图,根据函数图象回答问题:方程组y=kx+3y=ax+b的解为.【变式4-1】(2022•贵阳)在平面直角坐标系内,一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2的图象如图所示,则关于x,y 的方程组y−k1x=b1y−k2x=b2的解是.【变式4-2】(2022秋•西乡县期末)已知二元一次方程组x−y=−5x+2y=−2的解为x=−4y=1,则在同一平面直角坐标系中,直线l1:y=x+5与直线l2:y=−12x﹣1的交点坐标为()A.(4,1)B.(1,﹣4)C.(﹣1,﹣4)D.(﹣4,1)【变式4-3】(2022•德城区二模)若以关于x、y的二元一次方程x+2y﹣b=0的解为坐标的点(x,y)都在直线y=−12x+b﹣1上,则常数b的值为()A.12B.1C.﹣1D.2【题型5不解方程组判断方程组解的情况】【例5】(2022秋•泰兴市校级期末)已知关于x,y的方程组y=kx+by=(3k−1)x+2(1)当k,b为何值时,方程组有唯一一组解;(2)当k,b为何值时,方程组有无数组解;(3)当k,b为何值时,方程组无解.【变式5-1】(2022秋•苏州期末)若二元一次方程组3x+y=−12x+my=−8有唯一的一组解,那么应满足的条件是()A.m=23B.m≠23C.m=−23D.m≠−23【变式5-2】(2022春•覃塘区期中)如果关于x,y的方程组x+y=1ax+by=c有唯一的一组解,那么a,b,c的值应满足的条件是()A.a≠b B.b≠c C.a≠c D.a≠c且c≠1【变式5-3】(2022春•高明区期末)k为何值时,方程组kx−y=−133y=1−6x有唯一一组解;无解;无穷多解?【题型6一次函数与一元一次不等式的解集】【例6】(2022•海淀区校级自主招生)已知一次函数y=kx+b中x取不同值时,y对应的值列表如下:A.x>1B.x>2C.x<1D.无法确定【变式6-1】(2022春•龙岗区期末)如图,已知一次函数y=kx+b的图象经过点A(﹣3,2),B(1,0),则关于x的不等式kx+b<2解集为.【变式6-2】(2022春•湖南期中)已知关于x的不等式ax+1>0(a≠0)的解集是x<1,则直线y=ax+1与x轴的交点是()A.(0,1)B.(﹣1,0)C.(0,﹣1)D.(1,0)【变式6-3】(2022春•高明区校级期末)如图,直线y=kx+b与直线y=−12x+52交于点A(m,2),则关于x的不等式kx+b≤−12x+52的解集是()A.x≤2B.x≥1C.x≤1D.x≥2【题型7两个一次函数与一元一次不等式】【例7】(2022•钟山县校级模拟)直线l1:y=k1x+b与直线l2:y=k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则关于x的不等式k2x>k1x+b的解集为()A.x>3B.x<3C.x>﹣1D.x<﹣1【变式7-1】(2022•烟台)如图,直线y=x+2与直线y=ax+c相交于点P(m,3),则关于x的不等式x+2≤ax+c 的解集为.【变式7-2】(2022春•楚雄州期末)已知关于x的一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过点A(2,4)、B(0,3).(1)求一次函数y=kx+b的解析式;(2)若关于x的一次函数y=mx+n(m<0)的图象也经过点A,则关于x的不等式mx+n≥kx+b的解集为.【变式7-3】(2022春•潮安区期末)已知直线y=kx+5交x轴于A,交y轴于B且A坐标为(5,0),直线y=2x﹣4与x轴于D,与直线AB相交于点C.(1)求点C的坐标;(2)根据图象,写出关于x的不等式2x﹣4>kx+5的解集;(3)求△ADC的面积.【题型8绝对值函数与不等式】【例8】(2022秋•临海市校级月考)小敏学习了一次函数后,尝试着用相同的方法研究函数y=a|x﹣b|+c的图象和性质.(1y=|x﹣2|和y=|x﹣2|+1的图象;(2)猜想函数y=﹣|x+1|和y=﹣|x+1|﹣3的图象关系;(3)尝试归纳函数y=a|x﹣b|+c的图象和性质;(4)当﹣2≤x≤5时,求y=﹣2|x﹣3|+4的函数值范围.【变式8-1】(2022秋•玄武区期末)请你用学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数y=|x|的图象和性质,并解决问题.(1)完成下列步骤,画出函数y=|x|的图象;①列表、填空;x…﹣3﹣2﹣10123…y…31123…②描点;③连线.(2)观察图象,当x时,y随x的增大而增大;(3)根据图象,不等式|x|<12x+32的解集为.【变式8-2】(2022春•确山县期末)画出函数y=|x|﹣2的图象,利用图象回答下列问题:(1)写出函数图象上最低点的坐标,并求出函数y的最小值;(2)利用图象直接写出不等式|x|﹣2>0的解集;(3)若直线y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)与y=|x|﹣2的图象有两个交点A(m,1),B(12,−32),直接写出关于x的方程|x|﹣2=kx+b的解.【变式8-3】(2022春•重庆期末)在初中阶段的函数学习中,我们经历了列表、描点、连线画函数图象,并结合图象研究函数性质的过程.以下是我们研究函数y=|2x+4|+x+m性质及其应用的部分过程,请按要求完成下列各小题.(1)如表是部分x,y的对应值:x…﹣6﹣5﹣4﹣3﹣2﹣1012…y…0n﹣2﹣3﹣4﹣1258…根据表中的数据可以求得m=,n=;(2)请在给出的平面直角坐标系中,描出以如表中各组对应值为坐标的点,再根据描出的点画出该函数的图象;(3)结合你所画的函数图象,写出该函数的一条性质;(4)若一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点(﹣4,﹣2)和点(1,5),结合你所画的函数图象,直接写出不等式kx+b<|2x+4|+x+m的解集.【题型9一次函数与一元一次不等式组的解集】【例9】(2022秋•青田县月考)如图,可以得出不等式组ax+b<0cx+d>0的解集是()A.x<﹣1B.﹣1<x<0C.﹣1<x<4D.x>4【变式9-1】(2022春•南康区期末)如图,直线y=﹣x+m与直线y=12x+3交点的横坐标为﹣2.则关于x的不x+m>12x+3+3>0的解集为.【变式9-2】(2022•富阳区二模)如图,直线y=kx+b经过点A(﹣1,3),B(−52,0)两点,则不等式组0<kx+b<﹣3x的解集为.【变式9-3】(2022•青羊区校级自主招生)如图,直线y1=ax+2与y2=bx+4交于点N(1,a+2),将直线y1=ax+2向下平移后得到y3=ax﹣5,则能使得y3<y2<y1的x的所有整数值分别为()A.1,2,3B.2,3C.2,3,4D.3,4,5【题型10一次函数与不等式组中的阴影区域问题】【例10】(2022•黄冈中学自主招生)如图,表示阴影区域的不等式组为()A.2x+y≥53x+4y≥9B.2x+y≤53x+4y≤9C.2x+y≥53x+4y≥93x+4y≥9D.2x+y≤5【变式10-1】(2022秋•包河区期中)图中所示的阴影部分为哪一个不等式的解集()A.x﹣y≤﹣5B.x+y≥﹣5C.x+y≤5D.x﹣y≤5【变式10-2】(2012春•南岸区期末)如图,用不等式表示阴影区域为()A.x+y≤0,且x﹣y≥0B.x+y≥0,且x﹣y≥0C.x+y≥0,且x﹣y≤0D.x+y≤0,且x﹣y≤0【变式10-3】(2022春•广水市期末)阅读材料:在平面直角坐标系中,二元一次方程x ﹣y =0的一个解x =1y =1可以用一个点(1,1)表示,二元一次方程有无数个解,以方程x ﹣y =0的解为坐标的点的全体叫作方程x ﹣y =0的图象.一般地,在平面直角坐标系中,任何一个二元一次方程的图象都是一条直线,我们可以把方程x ﹣y =0的图象称为直线x ﹣y =0.直线x ﹣y =0把坐标平面分成直线上方区域,直线上,直线下方区域三部分,如果点M (x 0,y 0)的坐标满足不等式x ﹣y ≤0,那么点M (x 0,y 0)就在直线x ﹣y =0的上方区域内.特别地,x =k (k 常数)表示横坐标为k 的点的全体组成的一条直线,y =m (m 为常数)表示纵坐标为m 的点的全体组成的一条直线.请根据以上材料,探索完成以下问题:(1)已知点A (2,1)、B (83,32)、C (136,54)、D (4,92),其中在直线3x ﹣2y =4上的点有(只填字母);请再写出直线3x ﹣2y =4上一个点的坐标;(2)已知点P (x ,y )的坐标满足不等式组0≤x ≤40≤y ≤3则所有的点P 组成的图形的面积是;(3)已知点P (x ,y )的坐标满足不等式组0≤x ≤10≤y ≤2x −y ≥0,请在平面直角坐标系中画出所有的点P 组成的图形(涂上阴影),并求出上述图形的面积.。

一次函数与方程、不等式的综合问题

一次函数与方程、不等式的综合问题

一次函数与方程、不等式的综合问题二、方法剖析与提炼例1.如图,是一次函数123+-=x y 的图象,观察图象思考:当0=y 时,=x ,由此可知方程0123=+-x 的解为 .【解答】(1)当0=y 时,=x ; (2)解为 .【解析】(1)y=0即寻找在一次函数图象上纵坐标为0的点,它的横坐标为4,则=x 4;(2)0123=+-x 的解即一次函数123+-=x y 中当y =0时x 的值. 【解法】解一元一次方程.【解释】一次函数图象与x 轴交点的横坐标即一次方程的解.例2.若直线42-=x y 与直线m x y +-=【解答】解得m 的取值范围是2>m .【解析】(1)两条直线的交点的横纵坐标即为两直线解析式联立方程组的解; (2)利用交点在第一象限,横坐标、纵坐标都大于0列不等式组求解m 的取值范围.【解法】用方程思想求交点坐标,解不等式组【解释】需要学生理解求两直线的交点坐标的方法就是联立两直线的解析式组成方程组,方程组的解就是交点的横纵坐标.例3.(2020长沙)如图,直线l :y =﹣x +1与x 轴,y 轴分别交于A ,B 两点,点P ,Q 是直线l 上的两个动点,且点P 在第二象限,点Q 在第四象限,∠POQ=135°. (1)求∆AOB 的周长;(2)设AQ=t>0试用含t 的代数式表示点P 的坐标.Oyx48124812函数与方程的关系直线的交点问题转化为求方程组的解GH【解答】(1)∴△AOB 周长为22+.(2)∴1PB t=在Rt △PBH 中,45PBO ∠=︒, ∴PH=、BH=;∴222(,)22t P t t+-. 【解析】(1)求三角形的周长即求边长,在函数图象中一般可利用点的坐标求得线段的长;(2)求点的坐标可转化为求某些特殊线段的长.本题中可尝试过P 点作x 轴、y 轴的垂线,利用直角三角形求解.由题意可得,AQ 、OA 、OB 的长,联想到可利用△P BO ∽△OAQ 求出PB 的长. 【解法】利用勾股定理、三角形相似求线段长.【解释】求点的坐标转化为求垂线段的长,利用相似三角形的对应边成比例求线段需要学生仔细观察几何图形和已知条件找到解决问题的方法.例4.(1)如图1,直线y kx b =+经过(21)A ,, (12)B --,两点,求不等式122x kx b >+>-的解集.(2)如图2,直线y 1=kx +b 过点A (0,2),且与直线y 2=mx 交于点P (1,m ),求不等式组mx >kx +b>mx -2的解集.利用线段长与点的坐标之间的关系求解图2yO AB图1【解答】(1)令121,22y x y ==-,则不等式122x kx b >+>-即为12y y y >>;在图中画出121,22y x y ==-的图象,观察得到不等式122x kx b >+>-的解集为12x -<<.(2)在图中画出32y mx =-的图象,∵3y 的图象是由2y 向下平移2个单位得到,∴P 是线段AB 的中点,∴点B 的横坐标为2;观察得到不等式mx >kx +b>mx -2的解集为12x <<.【解析】(1)先把不等式的问题转化成函数值的比较问题,从不等式组122x kx b >+>-得到三个函数121,,22y x y kx b y ==+=-;要比较函数值得大小先要找到函数值相等的情况,即求函数图象的交点,12y y y y 和,和的函数图象的交点分别为A 和B ;要得到12y y y >>观察图象得到是点A 、点B 之间的部分,所以不等式122x kx b >+>-的解集为12x -<<.(2)本题中3y 的图象没有给出,与1y 的交点也是未知,需要我们自己求得.3y 的图象是由2y 向下平移2个单位得到,OA=OC ,可得OP 是△ABC 的中位线,由P 是AB 的中点,求得点B 的横坐标为2;这样第2题的解答也可用类似第一题的办法解决.【解法】利用一次函数的图象求不等式的解.【解释】某些求不等式解的问题一般可把不等式的问题转化成函数值的比较问题,此类问题比较抽象。

培优专题(四) 一次函数与方程、不等式的实际应用问题

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数学
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2.某市出租车计费方法如图1所示,x(km)表示行驶里程,y(元)表 示车费,请根据图象回答下列问题:
图1 (1)出租车的起步价是多少元?当x>3时,求y关于x的函数解析 式;
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(2)若某乘客有一次乘出租车的车费为32元,求这位乘客乘车的 里程.
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8.[2014· 番禺]某化妆品公司每月付给销售人员的工资有两种方 案. 方案一:没有底薪,只拿销售提成; 方案二:底薪加销售提成. 已知每件商品的销售提成方案二比方案一少7元.设销售人员 月销售x件商品时的月工资为y元.如图4,l1表示方案一中y与x
函数关系的图象,l2表示方案二中y与x函数关系的图象.解答
(2)若某人计划在商场购买价格为5880元的电视机一台,请分析选 哪种方案更省钱. 解:(1)方案一:y=0.95x;方案二:y=0.9x+300; (2)∵0.95×5880=5586(元),0.9×5880+300=5592(元),∴选择方
案一更省钱.
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设按计划全部售出后的总利润为y百元,其中批发量为x吨,且 加工销售量为15吨.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)若零售量不超过批发量的4倍,求该生产基地按计划全部售 完荸荠后获得的最大利润.
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解: (1)依题意可知零售量为 (25- x)吨,则 y= 12x+ 22(25- x)+ 30×15, ∴ y=- 10x+ 1 000; (2)依题意有: x≥ 0, 25- x≥0, 解得:5≤x≤25, 25- x≤4x, ∵- 10< 0,∴ y 随 x 的增大而减小. ∴当 x= 5 时, y 有最大值,且 y 最大值= 950. ∴最大利润为 950 百元.

方程不等式与一次函数专题(实际应用)

方程不等式与一次函数专题(实际应用)

方程、不等式与一次函数专题练习(实际应用)题型一:方程、不等式的直接应用典型例题1:(2009,株洲)初中毕业了,孔明同学准备利用暑假卖报纸赚取140~200元钱,买一份礼物送给父母.已知:在暑假期间,如果卖出的报纸不超过1000份,则每卖出一份报纸可得0.1元;如果卖出的报纸超过1000份,则超过部分....每份可得0.2元. (1)请说明:孔明同学要达到目的,卖出报纸的份数必须超过1000份.(2)孔明同学要通过卖报纸赚取140~200元,请计算他卖出报纸的份数在哪个范围内.典型例题2:(2007,福州,10分)李晖到“宁泉牌”服装专卖店做社会调查.了解到商店为了激励营业员的工作积极性,实行“月总收入=基本工资+计件奖金”的方法,并获得如下信息: 假设月销售件数为x 件,月总收入为y 元,销售1件奖励a 元,营业员月基本工资为b 元. (1)求a ,b 的值;(2)若营业员小俐某月总收入不低于1800元,则小俐当月至少要卖服装多少件?配套练习:3、(2009,益阳)开学初,小芳和小亮去学校商店购买学习用品,小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本;小亮用31元买了同样的钢笔2支和笔记本5本.(1)求每支钢笔和每本笔记本的价格;(2)校运会后,班主任拿出200元学校奖励基金交给班长,购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品,奖给校运会中表现突出的同学,要求笔记本数不少于钢笔数,共有多少种购买方案?请你一一写出.4、(2009,济南)自20XX 年爆发全球金融危机以来,部分企业受到了不同程度的影响,为落实“促民生、促经济”政策,济南市某玻璃制品销售公司今年1月份调整了职工的月工资分配方案,调整后月工资由基本保障工资和计件奖励工资两部分组成(计件奖励工资=销售每件的奖励金额×销售的件数).下表是甲、乙两位职工今年五月份的工资情况信息:(1)试求工资分配方案调整后职工的月基本保障工资和销售每件产品的奖励金额各多少元?(2)若职工丙今年六月份的工资不低于2000元,那么丙该月至少应销售多少件产品?5、(2009,青岛)北京奥运会开幕前,某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销,就用32000元购进了一批这种运动服,上市后很快脱销,商场又用68000元购进第二批这种运动服,所购数量是第一批购进数量的2倍,但每套进价多了10元.(1)该商场两次共购进这种运动服多少套?(2)如果这两批运动服每套的售价相同,且全部售完后总利润率不低于20%,那么每套售价至少是多少元?(利润率100%=⨯利润成本)题型二:方案设计典型例题6、(2009,深圳)迎接大运,美化深圳,园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A 、B 两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧,已知搭配一个A 种造型需甲种花卉80盆,乙种花卉40盆,搭配一个B 种造型需甲种花卉50盆,乙种花卉90盆.(1)某校九年级(1)班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计,问符合题意的搭配方案有几种?请你帮助设计出来.(2)若搭配一个A 种造型的成本是800元,搭配一个B 种造型的成本是960元,试说明(1)中哪种方案成本最低?最低成本是多少元?典型例题7:(2008、湖北咸宁)“5、12”四川汶川大地震的灾情牵动全国人民的心,某市A 、B 两个蔬菜基地得知四川C 、D 两个灾民安置点分别急需蔬菜240吨和260吨的消息后,决定调运蔬菜支援灾区。

八上 一次函数与方程组、不等式 知识点+例题+练习 (非常好 分类全面)

八上 一次函数与方程组、不等式 知识点+例题+练习 (非常好 分类全面)

例1 从2014年起,中国的鞋号已“变脸”,新的国家标准要求鞋号用毫米数标注.据了解大多数市民还不了解此新标准,小明对新旧鞋号的标注变化进行了对比研究,发现新标准鞋子毫米数y与旧鞋号x之间存在着一次函数关系,并得到相关数据如下:旧鞋号 x 36 38 40新标准毫米数y230 240 250(1)请你帮助小明根据上述数据归纳出新标准毫米数与旧鞋号标注之间的换算关系式,并用一句简明的数学语言来表示;(2)如果小明的爸爸穿的一双42号凉鞋坏了,准备买一双同样尺寸的新凉鞋,那么应买一双多少毫米数的新凉鞋?例2 某种拖拉机的油箱可储油40L,加满油并开始工作后,•油箱中的余油量y(L)与工作时间x(h)之间为一次函数关系,如图所示.(1)求y与x的函数解析式.(2)一箱油可供拖位机工作几小时?知识点2 图像法解决实际问题注:读图时一定要明确横纵坐标表示的量所代表的意义。

例3 某公司推销一种产品,设x(件)是推销产品的数量,y(元)是推销费,如图表示了公司每月付给推销员推销费的两种方案,看图解答下列问题:(1)求yl 与y2的函数表达式;(2)解释图中表示的两种方案是如何付推销费的;(3)如果你是推销员,应如何选择付费方案.二、典型例题题型1 运用一次函数的关系解决生活中的实际问题例 1 如图,两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上,请根据图中给的数据信息,解答下列问题:(1)求整齐摆放在桌面上饭碗的高度y(cm)与饭碗数x(个)之间的一次函数表达式;(2)若桌面上有12个饭碗,整齐叠放成一摞,求出它的高度;(3)若桌面上有若干个饭碗,整齐叠放成一摞,已测得它的高度为37.5cm,你能求出此时有多少个饭碗吗?题型2利用图表信息解决实际问题例2 某厂家生产两种款式的布质环保购物袋,每天共生产4500个,两种购物袋的成本和售价如下表,设每天生产A种购物袋x个,每天共获利y元.(1)求y与x的函数关系式;(2)如果该厂每天最多投入成本10000元,那么每天最多获利多少元?题型3 建立一次函数模型解决实际问题例3 某下岗职工购进一批苹果到农贸市场零售,已知买出的苹果数量x(kg)与收入y(元)的关系如下表:在平面直角坐标系中描点,观察点的分布情况,探求收入y(元)与买出数量x(kg)之间的函数关系式。

专题4 一次函数与方程、不等式的关系-重难点题型(举一反三)(浙教版)(解析版)

专题4 一次函数与方程、不等式的关系-重难点题型(举一反三)(浙教版)(解析版)

专题5.4 一次函数与方程、不等式的关系-重难点题型【浙教版】【知识点1 一次函数与一元一次方程、不等式的关系】【例1】(2020秋•包河区期中)根据一次函数y=kx+b的图象,直接写出下列问题的答案:(1)关于x的方程kx+b=0的解;(2)代数式k+b的值;(3)关于x的方程kx+b=﹣3的解.【解题思路】(1)利用函数图象写出函数值为0时对应的自变量的值即可;(2)利用函数图象写出x=1时对应的函数值即可(3)利用函数图象写出函数值为﹣3时对应的自变量的值即可.【解答过程】解:(1)当x=2时,y=0,所以方程kx+b=0的解为x=2;(2)当x=1时,y=﹣1,所以代数式k+b的值为﹣1;(3)当x=﹣1时,y=﹣3,所以方程kx+b=﹣3的解为x=﹣1.【变式1-1】(2021秋•泰兴市校级期末)已知一次函数y=kx+1与y=−12x+b的图象相交于点(2,5),求关于x的方程kx+b=0的解.【解题思路】首先将(2,5)点代入一次函数解析式求出k,b的值,进而解方程得出答案.【解答过程】解:∵一次函数y=kx+1与y=−12x+b的图象相交于点(2,5),∴5=2k+1,5=−12×2+b,解得:k=2,b=6,则kx+b=0为:2x+6=0,解得:x=﹣3.【变式1-2】一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)的图象如图所示,根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=4的解为多少?【解题思路】先求出函数的解析式,再把y=4代入,即可求出x.【解答过程】解:把(0,1)和(2,3)代入y=kx+b得:{b=12k+b=3,解得:k=1,b=1,即y=x+1,当y=4时,x+1=4,解得:x=3,∴方程kx+b=4的解为x=3.【变式1-3】已知一次函数y=kx﹣6的图象如图(1)求k的值;(2)在图中的坐标系中画出一次函数y=﹣3x+3的图象(要求:先列表,再描点,最后连线);(3)根据图象写出关于x的方程kx﹣6=﹣3x+3的解.【解题思路】(1)将点(4,0)代入y=kx﹣6,利用待定系数求出k的值;(2)利用描点法画出一次函数y=﹣3x+3的图象;(3)根据图象写出它们的交点坐标,即可得到关于x的方程kx﹣6=﹣3x+3的解.【解答过程】解:(1)∵一次函数y=kx﹣6的图象过点(4,0),∴4k﹣6=0,∴k=3 2;(2)列表:描点:在平面直角坐标系中描出两点(0,3)、(1,0),连线:过点(0,3)、(1,0)画直线,得出一次函数y=﹣3x+3的图象;(3)一次函数y=kx﹣6与y=﹣3x+3的图象交于点(2,﹣3),则关于x的方程kx﹣6=﹣3x+3的解为x=2.【题型2 一次函数的与一元一次不等式(数形结合)】【例2】(2021春•高明区期末)一次函数y1=ax+b与y2=cx+d的图象如图所示,下列说法:①对于函数y1=ax+b来说,y随x的增大而增大;②函数y=ax+d不经过第二象限;③不等式ax﹣d≥cx﹣b的解集是x≥4;④a﹣c=14(d﹣b),其中正确的是()A.①②③B.①③④C.②③④D.①②④【解题思路】根据题意和函数图象中的数据,可以判断各个小题中的结论是否成立,从而可以解答本题.【解答过程】解:由图象可得,对于函数y=ax+b来说,y随x的增大而增大,故①正确;a>0,d>0,则函数y=ax+d经过第一、二、三象限,不经过第四象限,故②不正确;由ax﹣d≥cx﹣b可得ax+b≥cx+d,故不等式ax﹣d≥cx﹣b的解集是x≥4,故③正确;4a+b=4c+d可以得到a﹣c=14(d﹣b),故④正确;故选:B.【变式2-1】(2021•安徽模拟)已知一次函数y1=kx+3(k为常数,且k≠0)和y2=x﹣3.当x<2时,y1>y2,则k的取值范围是()A.﹣2≤k≤1且k≠0B.k≤﹣2C.k≥1D.﹣2<k<1且k≠0【解题思路】解不等式kx+3>x﹣3,根据题意得出k﹣1<0且−6k−1≥2且k≠0,解此不等式即可.【解答过程】解:∵一次函数y1=kx+3(k为常数,且k≠0)和y2=x﹣3,当x<2时,y1>y2,∴kx+3>x﹣3,∴kx﹣x>﹣6,∴k﹣1<0且−6k−1≥2且k≠0,当k﹣1<0时,−6k−1≥2时,k≥﹣2,所以不等式组的解集为﹣2≤k<1且k≠0;当k=1时,也成立,故k的取值范围是﹣2≤k≤1且k≠0,故选:A .【变式2-2】(2021春•盐湖区校级期末)我们知道,若ab >0.则有{a >0b >0或{a <b <0.如图,直线y =kx +b 与y =mx +n 分别交x 轴于点A (﹣0.5,0)、B (2,0),则不等式(kx +b )(mx +n )>0的解集是( )A .x >2B .﹣0.5<x <2C .0<x <2D .x <﹣0.5或x >2【解题思路】由若不等式(kx +b )(mx +n )>0,则{kx +b >0mx +n >0或{kx +b <0mx +n <0,然后分类讨论,分别根据函数图象求得解集.【解答过程】解:∵若ab >0.则有{a >0b >0或{a <0b <0,∴若不等式(kx +b )(mx +n )>0,则{kx +b >0mx +n >0或{kx+b <0mx +n <0.当{kx +b >0mx +n >0,由图得:{x <−0.5x >2,此时该不等式无解.当{kx +b <0mx +n <0,由图得:{x >−0.5x <2,此时不等式组的解集为﹣0.5<x <2.综上:﹣0.5<x <2.故选:B .【变式2-3】(2021春•中山市期末)一次函数y 1=ax +b 与y 2=cx +d 的图象如图所示,下列说法:①对于函数y 1=ax +b 来说,y 随x 的增大而减小;②函数y =ax +d 的图象不经过第一象限;③不等式ax +b >cx +d 的解集是x >3;④d ﹣b =3(a ﹣c ).其中正确的有( )A .①③B .②③④C .①②④D .②③【解题思路】仔细观察图象:①根据函数图象直接得到结论;②观察函数图象可以直接得到答案;③以两条直线的交点为分界,哪个函数图象在上面,则哪个函数值大;④根据两直线交点可以得到答案.【解答过程】解:由图象可得:对于函数y 1=ax +b 来说,y 随x 的增大而减小,故①说法正确;由于a <0,d <0,所以函数y 2=ax +d 的图象经过第二,三,四象限,即不经过第一象限,故②说法正确,由图象可得当x <3时,一次函数y 1=ax +b 图象在y 2=cx +d 的图象上方,∴ax +b >cx +d 的解集是x <3,故③说法不正确;∵一次函数y 1=ax +b 与y 2=cx +d 的图象的交点的横坐标为3,∴3a +b =3c +d∴3a ﹣3c =d ﹣b ,∴d ﹣b =3(a ﹣c ).故④说法正确,故选:C .【题型3 一次函数的与一元一次不等式(取值范围)】【例3】(2021春•海淀区期末)在平面直角坐标系xOy 中,直线l :y 1=x +1与直线l 2:y 2=2x ﹣2交于点A .(1)求点A 的坐标;(2)当y 1>y 2时,直接写出x 的取值范围;(3)已知直线l 3:y 3=kx +1,当x <3时,对于x 的每一个值,都有y 3>y 2,直接写出k 的取值范围.【解题思路】(1)由直线l :y 1=x +1与直线l 2:y 2=2x ﹣2交于点A ,故可联立方程组:{y =x +1,y =2x −2.得{x =3y =4,故A (3,4).(2)根据函数图象,可知:当y 1>y 2时,x <3.(3)当x <3时,对于x 的每一个值,都有y 3>y 2,故当x <3,y 3﹣y 2>0恒成立,得1≤k ≤2.【解答过程】解:(1)由题意得:{y =x +1,y =2x −2.解得:{x =3,y =4.∴A (3,4).(2)如图,当y 1>y 2时,x <3.(3)当x <3,y 3>y 2恒成立,则x <3,y 3﹣y 2>0恒成立.∵y 3=kx +1,y 2=2x ﹣2,∴y 3﹣y 2=(kx +1)﹣(2x ﹣2)=(k ﹣2)x +3.∴若x <3,y 3﹣y 2>0恒成立,则[(k ﹣2)x +3]min >0.当k ﹣2=0,即k =2,[(k ﹣2)x +3]min =3>0.当k ﹣2>0,即k >2,[(k ﹣2)x +3]min 不存在.当k ﹣2<0,即k <2,[(k ﹣2)x +3]min =3(k ﹣2)+3≥0,故k ≥1.综上:1≤k ≤2.【变式3-1】(2021春•茌平区期末)已知:如图一次函数y 1=﹣x ﹣2与y 2=x ﹣4的图象相交于点A .(1)求点A 的坐标;(2)若一次函数y 1=﹣x ﹣2与y 2=x ﹣4的图象与x 轴分别相交于点B 、C ,求△ABC 的面积.(3)结合图象,直接写出y 1≥y 2时x 的取值范围.【解题思路】(1)将两个函数的解析式联立得到方程组{y =−x −2y =x −4,解此方程组即可求出点A 的坐标;(2)先根据函数解析式求得B 、C 两点的坐标,可得BC 的长,再利用三角形的面积公式可得结果;(3)根据函数图象以及点A 坐标即可求解.【解答过程】解:(1)解方程组{y =−x −2y =x −4,得{x =1y =−3,所以点A坐标为(1,﹣3);(2)当y1=0时,﹣x﹣2=0,x=﹣2,则B点坐标为(﹣2,0);当y2=0时,x﹣4=0,x=4,则C点坐标为(4,0);∴BC=4﹣(﹣2)=6,∴△ABC的面积=12×6×3=9;【变式3-2】(2021春•海珠区期末)已知一次函数y1=ax+b的图象交x轴和y轴于点B和D;另一个一次函数y2=bx+a的图象交x轴和y轴于点C和E,且两个函数的图象交于点A(1,4)(1)当a,b为何值时,y1和y2的图象重合;(2)当0<a<4,且在x<1时,则y1>y2成立.求b的取值范围;【解题思路】(1)把A(1,4)代入y1=ax+b求得a+b=4,得到b=4﹣a,于是得到结论;(2)根据题意列不等式即可得到结论;【解答过程】解:(1)∵y1=ax+b的图象过点A(1,4),∴a+b=4,∴b=4﹣a,∴y1=ax+(4﹣a),y2=(4﹣a)x+a,∵y1和y2的图象重合,∴a=4﹣a,∴a=2,b=2;即当a=2,b=2时,y1和y2的图象重合;(2)∵a+b=4,如图1,∴a=4﹣b,∴y1=(4﹣b)x+b,y2=bx+(4﹣b),∵0<a<4,0<4﹣b<4且x<1时,y1>y2成立,∴由图象得4﹣b<b,∴2<b<4;【变式3-3】(2020春•赣县区期末)如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b的图象经过点A(﹣2,4),且与正比例函数y=−23x的图象交于点B(a,2).(1)求a的值及一次函数y=kx+b的解析式;(2)若一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点C,且正比例函数y=−23x的图象向下平移m(m>0)个单位长度后经过点C,求m的值;(3)直接写出关于x 的不等式0<−23x <kx +b 的解集.【解题思路】(1)先确定B 的坐标,然后根据待定系数法求解析式;(2)先求得C 的坐标,然后根据题意求得平移后的直线的解析式,把C 的坐标代入平移后的直线的解析式,即可求得M 的值;(3)找出直线y =−23x 落在y =kx +b 的下方且在x 轴上方的部分对应的x 的取值范围即可.【解答过程】解:(1)∵正比例函数y =−23x 的图象经过点B (a ,2),∴2=−23a ,解得,a =﹣3,∴B (﹣3,2),∵一次函数y =kx +b 的图象经过点A (﹣2,4),B (﹣3,2),∴{−2k +b =4−3k +b =2,解得{k =2b =8,∴一次函数y =kx +b 的解析式为y =2x +8;(2)∵一次函数y =2x +8的图象与x 轴交于点C ,∴C (﹣4,0),∵正比例函数y =−23x 的图象向下平移m (m >0)个单位长度后经过点C ,∴平移后的函数的解析式为y =−23x ﹣m ,∴0=−23×(﹣4)﹣m ,解得m =83;(3)∵一次函y =kx +b 与正比例函数y =−23x 的图象交于点B (﹣3,2),且一次函数y =2x +8的图象与x 轴交于点C (﹣4,0),∴关于x 的不等式0<−23x <kx +b 的解集是﹣3<x <0.【题型4 一次函数与一元一次不等式(面积问题)】【例4】(2021春•诸城市期末)如图,直线y=kx+b分别与x轴、y轴交于点A(﹣2,0),B(0,3);直线y=1﹣mx分别与x轴交于点C,与直线AB交于点D,已知关于x的不等式kx+b>1﹣mx的解集是x>−4 5.(1)分别求出k,b,m的值;(2)求S△ACD.【解题思路】(1)首先利用待定系数法确定直线的解析式,然后根据关于x的不等式kx+b>1﹣mx的解集是x>−45得到点D的横坐标为−45,再将x=−45代入y=32x+3,得:y=95,将x=−45,y=95代入y=1﹣mx求得m=1即可;(2)先确定直线与x轴的交点坐标,然后利用三角形的面积公式计算即可.【解答过程】解:(1)∵直线y=kx+b分别与x轴、y轴交于点A(﹣2,0),B(0,3),{−2k+b=0b=3,解得:k=32,b=3,∵关于x的不等式kx+b>1﹣mx的解集是x>−4 5,∴点D的横坐标为−4 5,将x=−45代入y=32x+3,得:y=95,∴D(−45,95),将x=−45,y=95代入y=1﹣mx,解得:m=1;(2)如图,过点D作DH⊥AC于H,则DH=9 5对于y =1﹣x ,令y =0,得:x =1,∴点C 的坐标为(1,0),∴S △ACD =12•AC •DH =12×[1﹣(﹣2)]×95=2710.【变式4-1】(2021春•东辽县期末)已知直线y =kx +5交x 轴于A ,交y 轴于B 且A 坐标为(5,0),直线y =2x ﹣4与x 轴于D ,与直线AB 相交于点C .(1)求点C 的坐标;(2)根据图象,写出关于x 的不等式2x ﹣4>kx +5的解集;(3)求△ADC 的面积.【解题思路】(1)根据点A 的坐标利用待定系数法可求出直线AB 的解析式,联立直线AB 、CD 的解析式成方程组,通过解方程组即可求出点C 的坐标;(2)根据直线AB 、CD 的上下位置关系结合点C 的坐标,即可得出不等式2x ﹣4>kx +5的解集;(3)利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点D 的坐标,再根据三角形的面积公式即可求出△ADC 的面积.【解答过程】解:(1)∵直线y =kx +5经过点A (5,0),∴5k +5=0,解得:k =﹣1,∴直线AB 的解析式为y =﹣x +5.联立直线AB 、CD 的解析式成方程组,{y =−x +5y =2x −4,解得:{x =3y =2,∴点C 的坐标为(3,2).(2)观察函数图象可知:当x >3时,直线y =2x ﹣4在直线y =﹣x +5的上方, ∴不等式2x ﹣4>kx +5的解集为x >3.(3)当y =2x ﹣4=0时,x =2,∴点D 的坐标为(2,0),∴S △ACD =12(x A ﹣x D )•y C =12×(5﹣2)×2=3.【变式4-2】(2020春•宁化县校级月考)如图,直线l1:y=2x与直线l2:y=kx+3在同一平面直角坐标系内交于点P(a,2).(1)求出不等式2x≤kx+3的解集;(2)求出△OAP的面积.【解题思路】(1)利用一次函数图象上点的坐标特征先求出a的值,然后观察函数图象,写出直线y=kx+3在直线y=2x上方所对应的自变量的取值范围即可;(2)先求出直线l2的解析式,再求出A点坐标,然后利用三角形面积公式求解.【解答过程】解:(1)把P(a,2)代入y=2x得2a=2,解得a=1,则P(1,2),当x≤1时,2x≤kx+3,所以不等式2x≤kx+3的解集为x≤1;(2)把P(1,2)代入y=kx+3得k+3=2,解得k=﹣1,所以直线l2的解析式为y=﹣x+3,当y=0时,﹣x+3=0,解得x=3,则A(3,0),所以△OAP的面积=12×2×3=3.【变式4-3】已知一次函数y1=﹣2x﹣3与y2=12x+2.(1)在同一平面直角坐标系中,画出这两个函数的图象;(2)根据图象,不等式﹣2x﹣3>12x+2的解集为x<﹣2;(3)求两图象和y轴围成的三角形的面积.【解题思路】(1)先求出直线y1=﹣2x﹣3,y2=12x+2与x轴和y轴的交点,再画出两函数图象即可;(2)直线y1=﹣2x﹣3的图象落在直线y2=12x+2上方的部分对应的x的取值范围就是不等式﹣2x﹣3>12x+2的解集;(3)根据三角形的面积公式求解即可.【解答过程】解:(1)函数y1=﹣2x﹣3与x轴和y轴的交点分别是(﹣1.5,0)和(0,﹣3),y2=12x+2与x轴和y轴的交点分别是(﹣4,0)和(0,2),其图象如图:(2)观察图象可知,函数y1=﹣2x﹣3与y2=12x+2交于点(﹣2,1),当x<﹣2时,直线y1=﹣2x﹣3的图象落在直线y2=12x+2的上方,即﹣2x﹣3>12x+2,所以不等式﹣2x﹣3>12x+2的解集为x<﹣2;故答案为x<﹣2;(3)∵y1=﹣2x﹣3与y2=12x+2与y轴分别交于点A(0,﹣3),B(0,2),∴AB=5,∵y1=﹣2x﹣3与y2=12x+2交于点C(﹣2,1),∴△ABC的边AB上的高为2,∴S△ABC=12×5×2=5.【题型5 一次函数的与一元一次不等式(求点的坐标)】【例5】如图,直线y=kx+b与坐标轴相交于点M(3,0),N(0,4),且MN=5.(1)求直线MN的解析式;(2)根据图象,写出不等式kx+b≥0的解集;(3)若点P 在x 轴上,且点P 到直线y =kx +b 的距离为125,直接写出符合条件的点P的坐标.【解题思路】(1)把点M 、N 的坐标分别代入一次函数解析式,列出关于系数k 、b 的方程组,通过解方程组求得它们的值;(2)直线y =kx +b 在x 轴及其上方的部分对应的x 的取值范围即为所求;(3)作△OMN 的高OA .根据三角形的面积公式求出OA =OM⋅ON MN =3×45=125,则点P 的坐标是(0,0);在x 轴上作O 关于M 的对称点为(6,0),易得(6,0)到直线y =kx +b 的距离也为125.【解答过程】解:(1)∵直线y =kx +b 与坐标轴相交于点M (3,0),N (0,4), 所以{3k +b =0b =4,解得:{k =−43b =4, ∴直线MN 的解析式为:y =−43x +4;(2)根据图形可知,当x ≤3时,y =kx +b 在x 轴及其上方,即kx +b ≥0,则不等式kx +b ≥0的解集为x ≤3;(3)如图,作△OMN 的高OA .∵S △OMN =12MN •OA =12OM •ON ,∴OA =OM⋅ON MN =3×45=125,∴点P 的坐标是(0,0);在x 轴上作O 关于M 的对称点为(6,0),易得(6,0)到直线y =kx +b 的距离也为125,所以点P 的坐标是(0,0)或(6,0).【变式5-1】(2021春•顺德区期末)一次函数y 1=kx +b 和y 2=﹣4x +a 的图象如图所示,且A (0,4),C (﹣2,0).(1)由图可知,不等式kx +b >0的解集是 x >﹣2 ;(2)若不等式kx +b >﹣4x +a 的解集是x >1.①求点B 的坐标;②求a 的值.【解题思路】(1)根据函数图象和题意可以直接写出不等式kx +b >0的解集;(2)①由题意可以求得k 、b 的值,然后将x =1代入y 1=kx +b 即可求得点B 的坐标; ②根据点B 也在函数y 2=﹣4x +a 的图象上,从而可以求得a 的值.【解答过程】解:(1)∵A (0,4),C (﹣2,0)在一次函数y 1=kx +b 上,∴不等式kx +b >0的解集是x >﹣2,故答案为:x >﹣2;(2)①∵A (0,4),C (﹣2,0)在一次函数y 1=kx +b 上,∴{b =4−2k +b =0,得{k =2b =4,∴一次函数y 1=2x +4,∵不等式kx +b >﹣4x +a 的解集是x >1,∴点B 的横坐标是x =1,当x =1时,y 1=2×1+4=6,∴点B 的坐标为(1,6);②∵点B (1,6),∴6=﹣4×1+a ,得a =10,即a 的值是10.【变式5-2】(2020秋•南京期末)已知直线y =kx +b 经过点A (5,0),B (1,4).(1)求直线AB 的函数关系式;(2)若直线y =2x ﹣4与直线AB 相交于点C ,求点C 的坐标;(3)根据图象,直接写出当x 在什么范围内,不等式2x ﹣4>kx +b .【解题思路】(1)利用待定系数法即可求得函数的解析式;(2)解两个函数解析式组成方程组即可求解;(3)关于x 的不等2x ﹣4>kx +b 的解集就是函数y =kx +b 的图象在下边的部分自变量的取值范围.【解答过程】解:(1)根据题意得{5k +b =0k +b =4,解得{k =−1b =5,则直线AB 的解析式是y =﹣x +5;(2)根据题意得{y =−x +5y =2x −4,解得:{x =3y =2,则C 的坐标是(3,2);(3)根据图象可得不等式的解集是x >3.【变式5-3】在平面直角坐标系中,直线y =﹣2x +1与y 轴交于点C ,直线y =x +k (k ≠0)与y 轴交于点A ,与直线y =﹣2x +1交于点B ,设点B 的横坐标为﹣2.(1)求点B 的坐标及k 的值;(2)求直线y =﹣2x +1、直线y =x +k 与y 轴所围成的△ABC 的面积;(3)根据图象直接写出不等式﹣2x +1>x +k 的解集.【解题思路】(1)对于y =﹣2x +1,计算自变量为﹣2时的函数值可得到B 点坐标,然后把B 点坐标代入y =x +k 可得到k 的值;(2)先确定两直线与y 轴的交点A 、C 的坐标,然后利用三角形面积公式求解;(3)观察函数图象,写出直线y =﹣2x +1在直线y =x +k 上方所对应的自变量的范围即可.【解答过程】解:(1)当x =﹣2时,y =﹣2×(﹣2)+1=5,则B (﹣2,5). 把B (﹣2,5)代入y =x +k 得﹣2+k =5,解得k =7;(2)当x =0时,y =﹣2x +1=1,则C (0,1);当x =0时,y =x +7=7,则A (0,7)所以AC =7﹣1=6,所以S △ABC =12×6×2=6;(3)x <﹣2.【例6】(2021•济南二模)中国古代数学专著《九章算术》“方程”一章记载用算筹(方阵)表示二元一次方程组的方法,发展到现代就是用矩阵式(a 1b 1a 2b 2)(x y )=(c 1c 2)来表示二元一次方程组{a 1x +b 1y =c 1a 2x +b 2y =c 2,而该方程组的解就是对应两直线(不平行)a 1x +b 1y =c 1与a 2x +b 2y =c 2的交点坐标P (x ,y ).据此,则矩阵式(4−1−31)(x y )=(3−1)所对应两直线交点坐标是 (2,5) .【解题思路】根据题意得出方程组,求出方程组的解,再得出答案即可.【解答过程】解:根据题意得:{4x −y =3①−3x +y =−1②,①+②,得x =2,把x =2代入①,得8﹣y =3,解得:y =5,所以方程组的解为{x =2y =5,∴两直线交点坐标是(2,5),故答案为:(2,5).【变式6-1】如图,直线y =﹣2x +6与直线y =mx +n 相交于点M (p ,4).(1)求p 的值;(2)直接写出关于x ,y 的二元一次方程组{y =−2x +6y =mx +n 的解;(3)判断直线y =3nx +m ﹣2n 是否也过点M ?并说明理由.【解题思路】(1)根据直线y =﹣2x +6经过点M ,即可求出p .(2)由图象可知交点的坐标就是方程组的解.(3)先求出m +n =4,用代入法可以解决.【解答过程】解:(1)∵直线y =﹣2x +6经过点M (p ,4),∴4=﹣2p +6,∴p =1.(2)由图象可知方程组的解为{x =1y =4,(3)结论:直线y =3nx +m ﹣2n 经过点M ,理由如下:∵点M (1,4)在直线y =mx +n 上,∴m +n =4,∴当x =1,时,y =3nx +m ﹣2n =m +n =4,∴直线y =3nx +m ﹣2n 经过点M .【变式6-2】(2021秋•文成县期末)如图,l 1,l 2分别表示两个一次函数的图象,它们相交于点P ,(1)求出两条直线的函数关系式;(2)点P 的坐标可看作是哪个二元一次方程组的解;(3)求出图中△APB 的面积.【解题思路】(1)由图可得两函数与坐标轴的交点坐标,用待定系数法可求出它们的函数解析式;(2)联立两个一次函数的解析式,所得方程组的解即为P 点坐标.(3)△ABP 中,以AB 为底,P 点横坐标的绝对值为高,可求出△ABP 的面积.【解答过程】解:(1)设直线l 1的解析式是y =kx +b ,已知l 1经过点(0,3),(1,0), 可得:{b =3k +b =0,解得{b =3k =−3,则函数的解析式是y =﹣3x +3;同理可得l 2的解析式是:y =x ﹣2.(2)点P 的坐标可看作是二元一次方程组{y =−3x +3y =x −2的解.(3)易知:A (0,3),B (0,﹣2),P (54,−34);∴S △APB =12AB •|x P |=12×5×54=258.【变式6-3】(2020秋•西安期末)学校准备五一组织老师去隆中参加诸葛亮文化节,现有甲、乙两家旅行社表示对老师优惠,设参加文化节的老师有x 人,甲、乙两家旅行社实际收费为y 1、y 2,且它们的函数图象如图所示,根据图象信息,请你回答下列问题:(1)当参加老师的人数为多少时,两家旅行社收费相同?(2)当参加老师的人数为多少人时,选择甲旅行社合算?(3)如果全共有50人参加时,选择哪家旅行社合算?【解题思路】(1)当两函数图象相交时,两家旅行社收费相同,由图象即可得出答案.(2)由图象比较收费y 1、y 2,即可得出答案.(3)当有50人时,比较收费y1、y2,即可得出答案.【解答过程】解:(1)当两函数图象相交时,两家旅行社收费相同,由图象知为30人;(2)由图象知:当有30人以下时,y1<y2,所以选择甲旅行社合算;(3)由图象知:当有50人参加时,y1>y2,所以选择乙旅行社合算;。

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图3
(1)A比B后出发几小时?B的速度是多少? (2)在B出发几小时后,两人相遇?
解:(1)A 比 B 后出发 1 小时,B 的速度是630=20 km/h; (2)由图知,A 的速度是39-01=45 km/h.设在 B 出发后 x 小时, 两人相遇,则 20x=45(x-1), 解得 x=1.8. 答:在 B 出发 1.8 小时后,两人相遇.
销售方式 批发 零售 加工销售
利润(百元/吨) 12 22
30
设按计划全部售出后的总利润为y百元,其中批发量为x吨,且 加工销售量为15吨. (1)求y与x之间的函数关系式; (2)若零售量不超过批发量的4倍,求该生产基地按计划全部售 完荸荠后获得的最大利润.
解:(1)依题意可知零售量为(25-x)吨,则
下列问题:
(1)每辆车改装前每天的燃料费a及每辆车的改装费b分别为多少 元? (2)正常运营后,经过多少天就可以从节省的燃料费中收回改 装成本? (3)某出租汽车公司一次性改装了100辆车,正常运营多少天可 节省燃料费40万元? 解:(1)∵y0=ax过点(100,9 000),得出a=90, 将点(100,9 000)代入y1=b+50x, 可得9 000=b+50×100, 解得b=4 000;
6.[2014·珠海]为庆祝商都正式营业,商都推出了两种购物方案.方案 一:非会员购物,所有商品价格可获九五折优惠;方案二:如交纳 300元会费成为该商都会员,则所有商品价格可获九折优惠. (1)以x(元)表示商品价格,y(元)表示支出金额,分别写出两种购物 方案中y关于x的函数解析式; (2)若某人计划在商场购买价格为5880元的电视机一台,请分析选 哪种方案更省钱. 解:(1)方案一:y=0.95x;方案二:y=0.9x+300; (2)∵0.95×5880=5586(元),0.9×5880+300=5592(元),∴选择方案 一更省钱.
(2)根据图象得出正常营运100天后从节省的燃料费中收回改装 成本; (3)依据题意及图象得:改装前、后的燃料费每天分别为90元, 50元, 则:100×(90-50)x=400 000+100×4 000, 解得x=200. 答:正常运营200天后可节省燃料费40万元.
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7.[2014·凉山]我州某校计划购买甲、乙两种树苗共1 000株用以 绿化校园.甲种树苗每株25元,乙种树苗每株30元,通过调查 了解,甲、乙两种树苗的成活率分别是90%和95%. (1)若购买这两种树苗共用去28000元,则甲、乙两种树苗各购 树苗最多购买多 少株? (3)在(2)的条件下,应如何选购树苗,使购买树苗的费用最 低?并求出最低费用.
27000. 答:当购甲种树苗 600 株,乙种树苗 400 株时,总费用最低,最低费 用是 27000 元.
8.[2014·番禺]某化妆品公司每月付给销售人员的工资有两种方 案. 方案一:没有底薪,只拿销售提成; 方案二:底薪加销售提成. 已知每件商品的销售提成方案二比方案一少7元.设销售人员 月销售x件商品时的月工资为y元.如图4,l1表示方案一中y与x 函数关系的图象,l2表示方案二中y与x函数关系的图象.解答 如下问题: (1)求l1所表示的函数关系式; (2)求方案二中每月付给销售人员的底薪是多少元;
解:(1)设购甲种树苗 x 株,乙种树苗 y 株, 则x2+5x+y=3100y=00,28000,解得yx==640000,, 所以购甲种树苗 400 株,乙种树苗 600 株; (2)设购甲种树苗 z 株,则购乙种树苗(1000-z)株,列不等式: 90%z+95%(1000-z)≥92%×1000,解得 z≤600. 答:甲种树苗最多购买 600 株; (3)设购买树苗的总费用为 w 元. 则 w=25z+30(1000-z)=-5z+30000, ∵-5<0,∴w 随 z 的增大而减小. 因为 0<z≤600,∴当 z=600 时,w 的最小值为 30000-5×600=
所以 y 与 x 的函数关系式为 y=-12x+40(0<x<40), 只有 D 选项符合.
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里程.
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培优专题(四) 一次函数与方程、不等式的实际应用问题
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每辆车改装前、后的燃料费(含改装费)
(单位:元)与正常运营时间x(单位:天)
之间分别满足关系式:y0=ax,y1=b+
图2
50x,其图象如图2所示.根据图象解决
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(2)依题意有:
x≥0, 25-x≥0, 解得:5≤x≤25, 25-x≤4x,
∵-10<0,∴y 随 x 的增大而减小.
∴当 x=5 时,y 有最大值,且 y 最大值=950. ∴最大利润为 950 百元.
5.[2014·绍兴]已知甲、乙两地相距90km,A,B两人沿同一公路 从甲地出发到乙地,A骑摩托车,B骑电动车.图3中DE、OC 分别表示A,B离开甲地的路程s(km)与时间t(h)的函数关系的 图象,根据图象解答下列问题.
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